精品解析： 山东省烟台市福山区（五四制）2021-2022学年八年级下学期期末考试数学试题

2021-2022学年第二学期期末学业水平考试 初三数学试题 温馨提示： 1.考试时间120分钟，满分120分． 2.考试过程中允许考生进行剪、拼、折叠等实验． 一、选择题（本题共12个小题，每小题3分，满分36分）每小题都给出标号为A，B，C，D四个备选答案，其中有且只有一个是正确的． 1. 下列二次根式中与是同类二次根式的是（　 　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：A、，与的被开方数不同，不是同类二次根式，故A选项错误； B、，与的被开方数不同，不是同类二次根式，故B选项错误； C、，与的被开方数不同，不是同类二次根式，故C选项错误； D、，与的被开方数相同，是同类二次根式，故D选项正确． 故选：D． 2. 实数a，b在数轴上的位置如图，则化简的结果是（ ） A. b B. b－2a C. 2a－b D. 2a+b 【答案】A 【解析】 【分析】先根据数轴确定a，b的范围，再根据二次根式的性质进行化简，即可解答． 【详解】解：由数轴可得：， ∴， ． 3. 如图，图形甲与图形乙是位似图形，O是位似中心，位似比为，点A，B的对应点分别为点．若，则的长为（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 15 【答案】B 【解析】 【分析】直接利用位似图形的性质得出线段比进而得出答案． 【详解】解：∵图形甲与图形乙是位似图形，O是位似中心，位似比为， ∴， ∵， ∴， ∴． 4. 某城市为绿化环境，改善城市容貌，计划经过两年时间，使绿地面积增加44%，这两年平均每年绿地面积的增长率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设这两年平均每年绿地面积的增长率为x，然后根据题意可列方程为，进而求解即可． 【详解】解：设这两年平均每年绿地面积的增长率为x，由题意得： ， 解得：（不符合题意，舍去）， 故选B． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程的增长率问题是解题的关键． 5. 在反比例函数为常数）上有三点，，，，，，若，则，，的大小关系为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据偶次方的非负性，得，再根据反比例函数的图象的特点解决此题． 【详解】解：， ． 反比例函数为常数）的函数图象在第一、第三象限；在第一象限内，随着的增大而减小；在第三象限内，随着的增大而减小． ， ，，即． 故选：C． 【点睛】本题主要考查反比例函数图象的特点，熟练掌握反比例函数的图象的特点是解决本题的关键． 6. 关于x的方程的两个根满足，且，则m的值为（　　） A. B. 1 C. 3 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】利用因式分解法将方程变形为，再结合得到，由可得m的方程，解m的方程即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴或， ∴或， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得． 7. 已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示．下列说法正确的是（ ） A. 函数解析式为 B. 蓄电池的电压是18V C. 当时， D. 当时， 【答案】C 【解析】 【分析】将将代入求出U的值，即可判断A，B，D，利用反比例函数的增减性可判断C． 【详解】解：设，将代入可得，故A错误； ∴蓄电池的电压是36V，故B错误； 当时，，该项正确； 当当时，，故D错误， 故选：C． 【点睛】本题考查反比例函数的实际应用，掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键． 8. 古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：点 将一线段分为两线段，，使得其中较长的一段是全长与较短的一段的比例中项，即，把点 称为线段的“黄金分割”点，如图，在 中，已知，若D，E是边 的两个“黄金分割”点，则的面积为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理，三线合一定理，解一元二次方程，黄金分割，过点A作于F，由三线合一定理和勾股定理可求出 的长，由“黄金分割”点定义可得，即，解方程可求出 的长，同理可求出的长，据此求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，过点A作于F， 设，则， ∵， ∴， ∴； ∵点D是边 的“黄金分割”点， ∴， ∴， 解得（经检验，符合题意）或（舍去）， 同理可得， ∴， ∴， 故选：A． 9. 如图，在平行四边形 中，点在对角线 上，，交于点，，交于点，则下列式子一定正确的是（ ）. A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意可证四边形为平行四边形，根据相似三角形对应线段成比例及平行四边形对边相等的性质判断即可. 【详解】解：∵在中， ∴易证四边形为平行四边形 ∴易证 ∴，A项错误 ，B项错误 ，C项错误 ，D项正确 故选D． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质、平行四边形的判定与性质，熟练运用两者性质确定线段比例关系是解题的关键. 10. 如图，在中，．边 在 轴上，顶点 的坐标分别为和．将正方形沿 轴向右平移当点落在边上时，点 的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先画出落在上的示意图，如图，根据锐角三角函数求解的长度，结合正方形的性质，从而可得答案． 【详解】解：由题意知： 四边形为正方形， 如图，当落在上时， 由 故选 【点睛】本题考查的是平移的性质的应用，同时考查了正方形的性质，图形与坐标，锐角三角函数，掌握以上知识是解题的关键． 11. 如图，点B在反比例函数（）的图象上，点C在反比例函数（）的图象上，且轴， ，垂足为点C，交y轴于点A，则 的面积为 （ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】作BD⊥BC交y轴于D，可证四边形ACBD是矩形，根据反比例函数k的几何意义求出矩形ACBD的面积，进而由矩形的性质可求 的面积． 【详解】作BD⊥BC交y轴于D， ∵轴， ， ∴四边形ACBD是矩形， ∴S矩形ACBD=6+2=8， ∴ 的面积为4． 故选B． 【点睛】本题考查了反比例函数比例系数的几何意义，一般的，从反比例函数（k为常数，k≠0）图象上任一点P，向x轴和y轴作垂线你，以点P及点P的两个垂足和坐标原点为顶点的矩形的面积等于常数，以点P及点P的一个垂足和坐标原点为顶点的三角形的面积等于 ．也考查了矩形的性质． 12. 我国古代数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载过一元二次方程（正根）的几何解法．以方程，即为例，记载的方法如下：构造如图所示的正方形，大正方形的面积是，同时它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即，因此，在下面四个选项中，能正确说明方程解法的构图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解一元二次方程的正数解的几何解法是解题的关键． 根据题意，画出方程，即的拼图过程，由面积之间的关系可得出答案． 【详解】解：方程，即的拼图如图所示； 中间小正方形的边长为，其面积为， 大正方形的面积：，其边长为7， 因此，A选项所表示的图形符合题意， 故选：A． 二、填空题（共6个小题，每小题3分，满分18分） 13. 若，则____________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了分式的化简求值，以及比例的性质，熟练掌握比例性质是解本题的关键． 设比例常数为 ，用 表示 ， ，，代入所求表达式计算. 【详解】由 ，设 ，则 ，，. 代入 ，得 . 故答案为：． 14. 如图，铁路道口的栏杆短臂长，长臂长．当短臂端点下降时，长臂端点升高（杆的宽度忽略不计）的长度为__________． 【答案】 【解析】 【分析】栏杆长短臂在升降过程中，将形成两个相似三角形，利用对应边成比例解题． 【详解】设长臂端点升高，则，解得． 故答案为： 【点睛】本题考查了相似三角形在实际生活中的应用，列出比例式是解题关键． 15. 如图，在平面直角坐标系中， 的顶点坐标分别是，，，以原点为位似中心，在原点的同侧画，使与 成位似图形，且相似比为，则线段的长度为_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据位似图形的性质可得，然后根据两点间的距离公式求出即可解决问题． 【详解】解：∵与 是位似图形，且相似比为， ∴， ∵， ∴． 16. 德尔塔（Delta）是一种全球流行的新冠病毒变异毒株，其传染性极强．某地有 人感染了德尔塔，因为没有及时隔离治疗，经过两轮传染后，一共有人感染了德尔塔病毒，如果不及时控制，照这样的传染速度，经过三轮传染后，一共有______人感染德尔塔病毒． 【答案】 【解析】 【分析】设每轮传染中平均一个人传染 个人，第一轮传染中有 个人被传染，第二轮传染中有个人被传染，可计算出每轮传染中平均一个人传染人，由此即可求出三轮传染的人数． 【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染 个人，第一轮传染中有 个人被传染，第二轮传染中有个人被传染， ∴，解方程得，，（不符合题意，舍去），即每轮传染中平均一个人传染人， ∴（人），即经过三轮传染后，一共有人感染． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的实际运用，理解题意找出等量关系列方程是解题的关键． 17. 如图，菱形 的两个顶点B，D在反比例函数的图象上，对角线与 的交点恰好是坐标原点O，已知点，，则k的值是_______． 【答案】12 【解析】 【分析】根据菱形的性质得到，证明，求出，得到，即可求出答案． 【详解】解： 菱形 ， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， 直线的解析式为， 直线 的解析式为， 设， ， 求出， ， B在反比例函数的图象上， ． 18. 如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于点．点为 轴正半轴上一点，过作 轴的垂线交反比例函数的图象于点 ，交正比例函数的图象于点 ．若，则的面积_______． 【答案】 【解析】 【分析】由反比例函数解析式可求得点A的坐标，则可求出正比例函数解析式，然后可得点C的坐标，进而可得 的长，进而问题可求解． 【详解】解：由题意可得：， ∴， ∴，解得：， ∴正比例函数解析式为， ∵，即点 的纵坐标为， ∴， ∴ 即， 依题意，把代入得 ∴， ∴， ∴； 三、解答题（本大题共8个题．满分66分，解答题要写出必要的计算步骤或文字说明或说理过程） 19. 计算及解方程 （1） （2）－． （3）用两种不同的方法解方程： 方法一 方法二 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先化简二次根式，再合并即可； （2）先计算二次根式乘除法，再计算加减即可； （3）利用因式分解法和配方法求解即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解：方法一：， ， 或， ； 方法二：， ， ， ， ， ． 20. 已知关于x的一元二次方程有两个实数根． （1）求k的取值范围； （2）若，求k的值． 【答案】(1) ；(2) 【解析】 【分析】(1)根据建立不等式即可求解； (2)先提取公因式对等式变形为，再结合韦达定理求解即可． 【详解】解：(1)由题意可知，， 整理得：， 解得：， ∴的取值范围是：． 故答案为：． (2)由题意得：， 由韦达定理可知：，， 故有：， 整理得：， 解得：， 又由(1)中可知， ∴的值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程判别式、根与系数的关系、韦达定理、一元二次方程的解法等知识点，当＞0时，方程有两个不相等的实数根；当=0时，方程有两个相等的实数根；当＜0时，方程没有实数根． 21. 如图，已知 ，，是三个全等的等腰三角形，底边 ，，在同一条直线上，且，，交于点 ． 求，及的值． 【答案】，， 【解析】 【分析】先证明，根据平行线分线段成比例定理求得，证明，由相似三角形的性质求得两三角形的面积比及 的长度，进而求得． 【详解】解：根据题意得： ，， ， ，， ， ， ， ， ， 故，，． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、平行线分线段成比例定理，熟练掌握相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、平行线分线段成比例定理，是解题的关键． 22. 如图，在平面直角坐标系中，已知三个顶点的坐标分别为，，． （1）画出绕点顺时针旋转后得到的△； （2）以原点为位似中心，在图中画出将△放大为原来的2倍后的△，并写出，的坐标． 【答案】（1）见解析 （2）画图见解析，或，或 【解析】 【分析】（1）利用旋转变换的性质分别作出，，的对应点，即可； （2）分两种情形，利用位似变换的性质作出图形即可． 【小问1详解】 解：如图，即为所求； 【小问2详解】 如图，或即为所求． 或，或． 【点睛】本题考查作图位似变换，旋转变换，解题的关键是掌握位似变换，旋转变换的性质，属于中考常考题型． 23. 如图，在中，，轴，O为坐标原点，A的坐标为，反比例函数的图象的一支过A点，反比例函数的图象的一支过B点，过A作轴于H，若的面积为． （1）求n的值； （2）求反比例函数的解析式． 【答案】（1）1；（2）． 【解析】 【分析】（1）将A的坐标为代入,然后根据三角形的面积即可求出n的值； （2）过点B作BQ⊥x轴于点Q，利用△BOQ∽△OAH求出QO的值，再表示出B点坐标，进而求出k2，即可求得y2的解析式． 【详解】解：（1）∵A，且轴 ∴AH=，OH=n 又∵的面积为． ∴ ,即 解得，； （2）如图：过点B作BQ⊥x轴于点Q， ∵轴， ∴BQ=AH=， 又OH=1，则AO=2 ∵， ∴∠AOH+∠BOQ=90°， 又∠AOH+∠OAH=90°， ∴∠OAH=∠BOQ， 又∵∠OHA=∠BQO=90°， ∴ ∴，即 ∴QO=3 ∵B位于第二象限 ∴B点的坐标为（-3，） ∵B在反比例函数的图象上， ∴ ∴． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质以及求反比例函数解析式，求出B(-3,)是解答此题的关键． 24. 如图，四边形 是菱形，点 为对角线的中点，点在的延长线上，，垂足为，点 在的延长线上，，垂足为 ． （1）若，求证：四边形是菱形； （2）若 ，的面积为16，求菱形 的面积． 【答案】 （1）解：∵四边形 是菱形，， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， 同理可得：， ∴，即：四边形是菱形； （2）20． 【解析】 【分析】（1）由直角三角形斜边中线等于斜边一半和30度直角三角形性质性质可证，即可证明结论； （2）由根据三角形面积求法可求AE，设AB=x，在，由勾股定理列方程即可求出菱形边长，进而可求面积． 【详解】（1）略 （2）∵， ∴， ∴， 在四边形 是菱形中，设，则 在中，， ∴， 解得， ∴菱形ABCD面积=． 【点睛】本题主要考查了菱形的判定和性质，涉及了直角三角形性质和勾股定理．解题关键是灵活运用直角三角形性质得出线段之间发热关系． 25. 如图，在四边形中，，过点D作于E，若． （1）求证：； （2）连接交于点F，若，，求的长． 【答案】（1）详见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）过D作 的垂线，交 的延长线于点G，连接，证明四边形为正方形，得到条件证明，可得； （2）根据，，得到，，从而可得，，设，证明，得到比例式，求出x值即可． 【小问1详解】 证明：作，交 的延长线于点 ，如下图所示， ， ， 四边形是矩形， 又， 四边形是正方形， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ； 【小问2详解】 解：， ， 由（1）知，，四边形是正方形， ， ， ， ， ， ，即， 解得， ， 即的长是． 26. 如图1，在四边形ABCD中，，点E在边BC上，且，，作交线段AE于点F，连接BF． （1）求证：； （2）如图2，若，，，求BE的长； （3）如图3，若BF的延长线经过AD的中点M，求的值． 【答案】（1）证明：， ； ， ，， ， ，， ，， ，， 四边形AFCD是平行四边形 在与中． ， （2）6； （3） 【解析】 【分析】（1）根据平行线的性质及已知条件易证，，即可得，；再证四边形AFCD是平行四边形即可得 ，所以，根据SAS即可证得； （2）证明，利用相似三角形的性质即可求解； （3）延长BM、ED交于点G．易证，可得；设，，，由此可得，；再证明，根据全等三角形的性质可得．证明，根据相似三角形的性质可得，即，解方程求得x的值，继而求得的值． 【详解】（1）略 （2）， ， 在中，， ， ， 又，， ， 在与中． ， ； ； ， ； ， ； ， ， 或（舍）； （3）延长BM、ED交于点G． 与均为等腰三角形，， ， ， 设，，， 则，， ， ， ； 在与中， ， ； ． ； ， ， ， ， ， ， ， ， （舍），， ． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的性质及判定、相似三角形的性质及判定，熟练判定三角形全等及相似是解决问题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2021-2022学年第二学期期末学业水平考试 初三数学试题 温馨提示： 1.考试时间120分钟，满分120分． 2.考试过程中允许考生进行剪、拼、折叠等实验． 一、选择题（本题共12个小题，每小题3分，满分36分）每小题都给出标号为A，B，C，D四个备选答案，其中有且只有一个是正确的． 1. 下列二次根式中与是同类二次根式的是（　 　） A. B. C. D. 2. 实数a，b在数轴上的位置如图，则化简的结果是（ ） A. b B. b－2a C. 2a－b D. 2a+b 3. 如图，图形甲与图形乙是位似图形，O是位似中心，位似比为，点A，B的对应点分别为点．若，则的长为（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 15 4. 某城市为绿化环境，改善城市容貌，计划经过两年时间，使绿地面积增加44%，这两年平均每年绿地面积的增长率是（ ） A. B. C. D. 5. 在反比例函数为常数）上有三点，，，，，，若，则，，的大小关系为（　　） A. B. C. D. 6. 关于x的方程的两个根满足，且，则m的值为（　　） A. B. 1 C. 3 D. 9 7. 已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示．下列说法正确的是（ ） A. 函数解析式为 B. 蓄电池的电压是18V C. 当时， D. 当时， 8. 古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：点 将一线段分为两线段，，使得其中较长的一段是全长与较短的一段的比例中项，即，把点 称为线段的“黄金分割”点，如图，在中，已知，若D，E是边 的两个“黄金分割”点，则的面积为（　　） A. B. C. D. 9. 如图，在平行四边形中，点在对角线 上，，交 于点 ，，交 于点 ，则下列式子一定正确的是（ ）. A. B. C. D. 10. 如图，在中，．边 在轴上，顶点的坐标分别为和．将正方形沿轴向右平移当点落在 边上时，点的坐标为（ ） A. B. C. D. 11. 如图，点B在反比例函数（）的图象上，点C在反比例函数（）的图象上，且轴，，垂足为点C，交y轴于点A，则的面积为 （ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 12. 我国古代数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载过一元二次方程（正根）的几何解法．以方程，即为例，记载的方法如下：构造如图所示的正方形，大正方形的面积是，同时它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即，因此，在下面四个选项中，能正确说明方程解法的构图是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共6个小题，每小题3分，满分18分） 13. 若，则____________． 14. 如图，铁路道口的栏杆短臂长，长臂长．当短臂端点下降时，长臂端点升高（杆的宽度忽略不计）的长度为__________． 15. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是，，，以原点为位似中心，在原点的同侧画 ，使 与成位似图形，且相似比为 ，则线段的长度为_______． 16. 德尔塔（Delta）是一种全球流行的新冠病毒变异毒株，其传染性极强．某地有人感染了德尔塔，因为没有及时隔离治疗，经过两轮传染后，一共有人感染了德尔塔病毒，如果不及时控制，照这样的传染速度，经过三轮传染后，一共有______人感染德尔塔病毒． 17. 如图，菱形的两个顶点B，D在反比例函数的图象上，对角线 与 的交点恰好是坐标原点O，已知点，，则k的值是_______． 18. 如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于点．点为轴正半轴上一点，过作轴的垂线交反比例函数的图象于点 ，交正比例函数的图象于点．若，则的面积_______． 三、解答题（本大题共8个题．满分66分，解答题要写出必要的计算步骤或文字说明或说理过程） 19. 计算及解方程 （1） （2）－． （3）用两种不同的方法解方程： 方法一 方法二 20. 已知关于x的一元二次方程有两个实数根． （1）求k的取值范围； （2）若，求k的值． 21. 如图，已知，，是三个全等的等腰三角形，底边 ，，在同一条直线上，且，，交 于点． 求，及的值． 22. 如图，在平面直角坐标系中，已知三个顶点的坐标分别为，，． （1）画出绕点顺时针旋转 后得到的△； （2）以原点为位似中心，在图中画出将△放大为原来的2倍后的△，并写出，的坐标． 23. 如图，在中，，轴，O为坐标原点，A的坐标为，反比例函数的图象的一支过A点，反比例函数的图象的一支过B点，过A作轴于H，若的面积为． （1）求n的值； （2）求反比例函数的解析式． 24. 如图，四边形是菱形，点为对角线 的中点，点在 的延长线上，，垂足为，点在 的延长线上，，垂足为． （1）若，求证：四边形是菱形； （2）若，的面积为16，求菱形的面积． 25. 如图，在四边形中，，过点D作于E，若． （1）求证：； （2）连接交 于点F，若，，求的长． 26. 如图1，在四边形ABCD中，，点E在边BC上，且，，作交线段AE于点F，连接BF． （1）求证：； （2）如图2，若，，，求BE的长； （3）如图3，若BF的延长线经过AD的中点M，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $