重难点9-1 排列与组合中常考模型归纳（12重难点题型+6秒杀技巧与性质+题型特训）-2026年高考数学二轮复习【重点•难点•热点】

重难点9-1 排列与组合中的常考模型 三年考情分析 考题统计 2026年考向预测 近年来，对排列组合的考查，常涉及对排列组合中的各种模型的理解及应用．这些题目要求考生在理解计数原理的基础上，根据定义的性质，按照新规则进行排列与组合的运算，难度较大. 2025年上海卷，选择题，5分 2024年上海卷，选择题，5分 2024年全国甲卷，填空题，5分 2024年天津卷，填空题，5分 近三年来，高考对于计数原理的考查，难度逐年增大．题目不仅要求考生理解新定义的概念和运算规则，还要求考生能够灵活运用计数原理的基本知识进行综合分析和推理． 知识点一 排列与组合的概念 名称 定义 排列 从n个不同元素中取出m(m≤n)个不同元素 按照一定的顺序排成一列 组合 合成一组 知识点二 排列数与组合数 (1)、从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数. (2)、从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数. (3)、排列数的公式：． 特例：当时，；规定：． (4)、排列数的性质： ①；②；③． (5)、组合数公式：． 这里，，且，这个公式叫做组合数公式．因为，所以组合数公式还可表示为：．特例：． (6)、组合数的主要性质：①；②． 知识点3、排列和组合的区别 组合：取出的元素地位平等，没有不同去向和分工． 排列：取出的元素地位不同，去向、分工或职位不同． 注意：排列、组合都是研究事物在某种给定的模式下所有可能的配置数目问题，它们之间的主要区别在于是否要考虑选出元素的先后顺序，不需要考虑顺序的是组合问题，需要考虑顺序的是排列问题．排列是在组合的基础上对入选的元素进行排队，因此，分析解决排列组合综合问题的基本思维是“先组合，后排列”． 知识点4、解决排列组合综合问题的一般过程 1、认真审题，确定要做什么事； 2、确定怎样做才能完成这件事，即采取分步还是分类或是分步与分类同时进行，弄清楚分多少类及多少步； 3、确定每一步或每一类是排列（有序）问题还是组合（无序）问题，元素总数是多少及取出多少个元素； 4、解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略． 【解题方法总结】 秒杀技巧与性质1：如图，在圆中，将圆分等份得到个区域，，，，，现取种颜色对这个区域涂色，要求每相邻的两个区域涂不同的两种颜色，则涂色的方案有种． 秒杀技巧与性质2：错位排列公式 秒杀技巧与性质3：数字排列问题的解题原则、常用方法及注意事项 解题原则：排列问题的本质是“元素”占“位子”问题，有限制条件的排列问题的限制条件主要表现在某元素不排在某个位子上，或某个位子不排某些元素，解决该类排列问题的方法主要是按“优先”原则，即优先排特殊元素或优先满足特殊位子，若一个位子安排的元素影响到另一个位子的元素个数时，应分类讨论． 秒杀技巧与性质4：定位、定元的排列问题，一般都是对某个或某些元素加以限制，被限制的元素通常称为特殊元素，被限制的位置称为特殊位置．这一类问题通常以三种途径考虑： （1）以元素为主考虑，这时，一般先解决特殊元素的排法问题，即先满足特殊元素，再安排其他元素； （2）以位置为主考虑，这时，一般先解决特殊位置的排法问题，即先满足特殊位置，再考虑其他位置； （3）用间接法解题，先不考虑限制条件，计算出排列总数，再减去不符合要求的排列数． 秒杀技巧与性质5：解决相邻问题的方法是“捆绑法”，其模型为将n个不同元素排成一排，其中某k个元素排在相邻位置上，求不同排法种数的方法是：先将这k个元素“捆绑在一起”，看成一个整体，当作一个元素同其他元素一起排列，共有种排法；然后再将“捆绑”在一起的元素“内部”进行排列，共有种排法．根据分步乘法计数原理可知，符合条件的排法共有种． 秒杀技巧与性质6：解决不相邻问题的方法为“插空法”，其模型为将个不同元素排成一排，其中某个元素互不相邻（），求不同排法种数的方法是：先将（）个元素排成一排，共有种排法；然后把个元素插入个空隙中，共有种排法．根据分步乘法计数原理可知，符合条件的排法共有·种． 重难点题型【一】、直接法 1．（2026·山东淄博·一模）有5名同学，，，，参加唱歌比赛，抽签决出出场顺序.若和都不是第1个出场，且不是最后一个出场，则这5人不同的出场顺序种数为（    ） A．42 B．50 C．54 D．60 【答案】D 【难度】0.6 【知识点】分类加法计数原理、元素（位置）有限制的排列问题 【分析】根据题意，分是第1个和不是第1个且不是最后一个，两类情况讨论，结合排列数和组合数的计算公式，以及分类计数原理，即可求解. 【详解】根据题意，分是第1个和不是第1个且不是最后一个，两类情况讨论： 当是第1个时，此时剩余的全排列，共有种不同的排法； 当不是第1个且不是最后一个时，先排第1个，从中选一人为第1个，有种选法； 再排，有三个位置可选，有种排法，最后三人全排列，有种排法， 所以共有种不同的排法， 由分类计数原理得，共有种不同的排列情况. 2．（2026·广东江门·一模）某班级图书角有5种课外书，甲、乙两名同学从5种课外书中各自选2种，则两人选的课外书没有相同种类的选法有（    ） A．20种 B．30种 C．40种 D．60种 【答案】B 【难度】0.84 【知识点】分步乘法计数原理及简单应用、实际问题中的组合计数问题 【分析】借助分步乘法计数原理计算即可得. 【详解】先从 5 种课外书中选 2 种给甲有种，再从剩下的3 种书中选 2 种给乙有种， 根据分步乘法计数原理，则两人选的课外书没有相同种类的选法有种. 3．（25-26高三上·广东·期末）有2位老师和3名学生排成一队照相，老师既不能分开也不排在首尾，则不同的排法有（   ） A．48种 B．12种 C．36种 D．24种 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】分步乘法计数原理及简单应用、元素（位置）有限制的排列问题、相邻问题的排列问题 【分析】将2位老师捆绑在一起，看成一个人，此时有种排列法，再求2位老师的内部排列，最后由分步计数原理即可得答案. 【详解】因为2位老师不能分开， 故将2位老师捆绑在一起，看成一个人， 则共有4人排成一排，其中不排首尾， 所以共有种排列法， 又因为2位老师的排列法共有种， 所以共有种排法. 故选：D 4．（2026·陕西西安·一模）现要从6名学生中选4名代表班级参加学校接力赛，其中已经确定甲参加且跑第1棒或第4棒，乙和丙2人只能跑第2，3棒，丁不能跑第1棒.那么合适的选择方法种数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】排列组合综合、分类加法计数原理、分步乘法计数原理及简单应用、元素（位置）有限制的排列问题 【分析】根据分类计数原理和分步计数原理可求答案. 【详解】若甲跑第1棒，剩余3棒需要从5人中选3人安排，分为三种情况： 乙，丙均不参加，此时有种安排方案； 乙，丙有且仅有一人参加，此时有种安排方案； 乙，丙均参加，此时有种安排方案； 若甲跑第4棒，第1棒只能从去除乙，丙，丁后的2人中选择，第2,3棒从剩余的4人中安排即可，此时有种安排方案； 由分类计数原理可得，共有种安排方案. 故选：B 5．（25-26高三上·山西太原·期末）某次市运会跳水项目的预赛中有名参赛选手，其中校有名，校有名，校有名.现要求校名选手的出场均不能和校选手的出场相邻，则这名选手不同出场顺序的种数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】不相邻排列问题 【分析】记校名选手分别为甲、乙，记事件甲与校选手的出场相邻，事件乙与校选手的出场相邻，结合韦恩图法可求出满足题设条件的排法种数. 【详解】记校名选手分别为甲、乙， 记事件甲与校选手的出场相邻，事件乙与校选手的出场相邻，如下图所示： 事件为：校选手的两边为甲和乙， 则满足题意的排法种数为 种. 故选：B. 6．（2026·河北邯郸·一模）某地普法小组安排4名男性普法员和2名女性普法员前往甲、乙、丙三个社区进行宣讲，每名普法员只能前往一个社区，每个社区至少有1名普法员，则2名女性普法员被安排在不同社区的方案共有______种． 【答案】390 【难度】0.65 【知识点】分步乘法计数原理及简单应用、实际问题中的计数问题、实际问题中的组合计数问题 【详解】第一步，安排女性普法员，分别去两个社区，有种安排方案； 第二步，安排4名男性普法员去三个社区，总共有种情况， 其中一个社区没人，即都在女性普法员所在社区，共有种情况， 因为社区至少有1名普法员，所以男性普法员的安排方案有种； 由分步乘法计数原理可知，共有种不同的方案. 7．（2026·山西晋中·模拟预测）小明参加校园新春体能打卡，需完成9次打卡动作，其中有2次柔韧打卡，3次力量打卡，4次耐力打卡，同类的打卡难度不同，需从易到难依次进行，任意2次耐力打卡不能相邻，不同类的打卡可以穿插进行，则完成全部打卡的不同顺序共有__________种. 【答案】150 【难度】0.65 【知识点】分步乘法计数原理及简单应用、不相邻排列问题、实际问题中的组合计数问题 【分析】由题意可知先排非耐力打卡，再利用插空法排耐力打卡，即可得答案. 【详解】第一步：排非耐力打卡：非耐力共有次打卡，同类顺序固定， 只需从5个位置中选2个放柔韧打卡，剩余3个放力量打卡， 放法数为：； 第二步：插入耐力打卡：5个排好的打卡共形成6个空隙（含两端）， 要选4个空隙各插入1次耐力打卡（保证不相邻），且耐力顺序固定， 选法数为：， 第三步：根据分步乘法计数原理，总顺序数为：. 8．（2026·陕西榆林·二模）中国灯笼又统称为灯彩、主要有宫灯、纱灯、吊灯等种类．育德中学4名同学在庆元旦活动中，每人从宫灯、纱灯、吊灯中选购1种，则不同的选购方法有___________种．（用数字作答） 【答案】 【难度】0.85 【知识点】分步乘法计数原理及简单应用 【分析】利用分步计数原理进行求解. 【详解】因为这4名同学每人有三种选购方法，所以共有种不同的选购方法． 故答案为：81. 9．（2026·四川巴中·一模）一个火车站有 8 股道，如果每股道只能停放 1 列火车，现要停放 4 列不同的火车，每两列火车不能停在相邻股道，则不同的停放方法共有_____种. 【答案】120 【难度】0.65 【知识点】分步乘法计数原理及简单应用、不相邻排列问题 【分析】利用插空法进行计算即可. 【详解】总共有 8 股股道，要停放 4 列火车，那么剩下的空股道有股. 这 4 股空股道排好后，会形成 个可以插入火车的 “空隙”（包括两端）. 首先，从 5 个空隙中选 4 个，有 种选法， 然后，将 4 列不同的火车在这 4 个位置上进行全排列，有种排法. 总的方法数是选位置的方法数乘以排列的方法数，即： 种. 故答案为：120. 10．（25-26高三上·重庆·月考）数字10在中华传统文化中有着“十全十美”的美好寓意，现有甲乙两人拟使用扑克牌来拼凑数字10，事先准备好红桃纸牌10张，分别含有数字2至数字10，以及一张字母．为了计数的方便，两人约定字母代表数字1，现两人轮流从纸牌中不放回地随机抽取一张纸牌，当有一人所抽数字总和为10时，则结束游戏，此人获胜．若甲先抽，则甲取三次纸牌即获胜的概率为______． 【答案】 【难度】0.4 【知识点】计算古典概型问题的概率、元素（位置）有限制的排列问题 【分析】由题抽牌顺序依次为甲乙甲乙甲，把它看成一排对应共5个数字，讨论的情况、、、依次求出对应满足要求的抽取情况数，结合排列数及古典概型的概率求法求概率. 【详解】由题设，抽牌顺序依次为甲乙甲乙甲，把它看成一排对应共5个数字， 由甲取三次纸牌即获胜，则不可能为10，不可能为10，且，， 由题意，的情况有、、、， 对于其中任意情况甲抽取数字的方式均有种，乙在余下的7个数字中选2个数字， 当由组成，若时有6种，若时，即从中选有种，此时满足题设的情况有种， 当由组成，若时有6种，若时，即从中选有种，此时满足题设的情况有种， 当由组成，若时有6种，若时，即从、中选有种，此时满足题设的情况有种， 当由组成，若时有6种，若时，即从、中选有种，此时满足题设的情况有种， 综上，满足要求的的情况有种， 又的所有情况有种， 所以甲取三次纸牌即获胜的概率为. 故答案为： 重难点题型【二】、捆绑法-相邻问题 1．（25-26高三上·河北衡水·期末）六艺，是我国周朝教育体系中的六种技能，即：礼､乐､射､御､书､数.在周朝官学中开设这六门课程，从这六门课中选5门，连排5节课，每门排一节，要求每天必须学“礼､乐､数”，并要求“礼”与“乐”相邻排课，但均不与“数”相邻排课，且“御”不能排在第一节，则不同的排课方案种数为（    ） A．24 B．48 C．64 D．128 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】元素（位置）有限制的排列问题、相邻问题的排列问题、不相邻排列问题 【分析】本题相邻用捆绑法，不相邻用插空法，然后减去御在第一节的情况. 【详解】情况一：不选“御”，则课程为{礼, 乐, 数, 射, 书}，将(礼,乐)捆绑， 先排“射”､“书”有种，再将(礼,乐)和“数”插入3个空中，有种，(礼,乐)内部有种，共种； 情况二：选择“御”，则另一门从“射”､“书”中选，有种， 以选{礼, 乐, 数, 御, 射}为例，先不考虑“御”的限制，排法同情况一，有24种， 再减去“御”在第一节的情况：固定“御”在第一位，(礼,乐)只能在(2,3)或(4,5)位， 对应“数”和“射”的位置唯一确定，故有种，因此该课程组合有种排法. 综上所述，总共有种； 汇总两种情况，总排课方案为种. 故选：C 2．（25-26高三上·贵州黔西南·月考）图书馆有4本不同的科普书籍（分别记为）和2本相同的故事书，现在需要将这6本书从左到右整齐摆放在书架上，则2本相同的故事书相邻摆放的概率（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】相邻问题的排列问题、实际问题中的组合计数问题、计算古典概型问题的概率 【分析】计算全部书籍的排列数，利用捆绑法计算2本相同的故事书相邻的排列数，再求解概率即可. 【详解】由题意知，4本不同的科普书籍和2本相同的故事书的排列数为， 2本相同的故事书看作一个整体同其他4本书进行排列，排列数为， 所以2本相同的故事书相邻摆放的概率为， 故选：C. 3．（25-26高二上·甘肃白银·期末）7个人站成一排，其中甲、乙必须相邻，丙不能站两端，则不同的站法种数为（    ） A．960 B．980 C．1060 D．1260 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】排列组合综合、元素（位置）有限制的排列问题、相邻问题的排列问题 【分析】先把甲乙相邻的总数算出来，然后把其中丙站两端算出来，最后相减. 【详解】甲、乙相邻，有种不同排法，其中丙站两端的站法有种， 故甲、乙必须相邻，丙不能站两端的站法有种. 故选：A. 4．（25-26高三上·青海西宁·期中）2025年10月西宁市大通回族土族自治县首次全面摸清野生动物资源“家底”，标志着生物多样性保护进入科学化、精细化新阶段．某校野生动物兴趣小组在野生动物宣传周后合影留念，2名指导老师和5名学生排成一排照相留念，若2位老师相邻，则不同的排法共有（   ） A．5040种 B．1440种 C．720种 D．360种 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】相邻问题的排列问题 【分析】利用捆绑法即可求解. 【详解】先将2位老师看作一个整体与5名学生全排，有种，2位老师自身排有种，所以2位老师相邻时不同的排法共有种． 故选 ：B． 5．（2025·湖南·三模）若甲､乙､丙､丁､戊随机站成一排，则甲､乙不相邻的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】计算古典概型问题的概率、不相邻排列问题 【分析】先求出所有排列情况，再求出甲乙相邻的排列情况，用总排列情况减去甲乙相邻的排列情况得到甲乙不相邻的情况，最后根据古典概型概率公式计算概率. 【详解】5个人随机排成一排的总排列数为：种. 将甲乙看成一个整体（捆绑法），此时相当于有4个人随机排列，排列数为， 而甲乙两人之间又有种排列顺序. 根据分步乘法计数原理，甲乙相邻的排列数为：种. 所以，甲乙不相邻的排列数为种. 根据古典概型概率公式可得，甲乙不相邻的概率为：. 故选：A. 6．（25-26高三上·贵州遵义·月考）7个人站成两排照相，前排3人，后排4人；其中甲乙两人须相邻，甲丙两人不能相邻（若两人分站两排视为不相邻），则共有________种不同安排方式． 【答案】1056 【难度】0.4 【知识点】不相邻排列问题、相邻问题的排列问题、元素（位置）有限制的排列问题 【分析】按甲站在每一排的两端和甲不站在每一排的两端分类，再利用排列计数问题列式求解. 【详解】依题意，分为两类情况： 当甲站在每一排的两端时，有4种站法，此时乙的位置确定，丙随便排都与甲不相邻，其他人随便排，有种排列方式； 当甲不站在每一排的两端时，有3种站法，此时乙和甲相邻有两个位置可选， 丙和甲不相邻有四个位置可选，剩下的人随便站，有种排列方式； 所以由分类加法计数原理，总共有种排列方式. 故答案为：1056 7．（2025·上海闵行·一模）某校的5位老师甲、乙、丙、丁、戊排成一排照相，其中甲、乙必须相邻，且甲不站在两端，则不同的排法种数为________ 【答案】 【难度】0.65 【知识点】分步乘法计数原理及简单应用、元素（位置）有限制的排列问题、相邻问题的排列问题 【分析】将甲、乙相邻的排列种数减去甲、乙相邻且甲站在两端的排列种数，即可得到答案. 【详解】先让甲、乙相邻共有种情况，再将甲、乙捆绑与其他三人排列共种情况， 所以甲、乙相邻共种情况. 甲、乙相邻且甲站在两端时：若甲在首位，则乙在第二位，其他三人全排列，有种排法；若甲在末位，则乙在倒数第二位，其他三人全排列，有种排法. 故共有种情况. 所以甲、乙相邻，且甲不站在两端，不同的排法种数为. 故答案为：. 8．（2025·上海金山·一模）某学校读书节活动中，甲、乙、丙3个班级各有2位同学获奖，现将这6人排成一排拍照，则同一班级的两位同学均站在一起的排法共有___________种． 【答案】48 【难度】0.85 【知识点】相邻问题的排列问题 【分析】用“捆绑法”以及全排列即可求解. 【详解】将每个班的2人捆绑，然后全排列，故总的排法有, 故答案为：48 9．（2025·浙江台州·一模）甲､乙､丙､丁､戊､己共6人站成一排，若甲､乙两人相邻，而乙､丙两人不相邻，则不同的排法种数共有__________.（用数字作答） 【答案】192 【难度】0.65 【知识点】元素（位置）有限制的排列问题、相邻问题的排列问题、不相邻排列问题 【分析】先计算甲乙相邻的总排列数，然后计算甲乙相邻且乙丙也相邻的排列数，两者相减即是结果. 【详解】先将甲、乙两人看成一个整体，则这个整体内部有种排列方式， 此时相当于有5个元素进行排列，所以甲乙相邻的总排列数为种. 若甲乙相邻且乙丙也相邻，则三人必须以（甲，乙，丙）或（丙，乙，甲）的顺序站在一起. 将这三个人视为一个整体，其内部有2种排法，再将此整体与其余3人进行全排列， 故甲乙相邻且乙丙也相邻的排法有种, 所以甲乙相邻，而乙丙不相邻的排法种数有. 故答案为：192. 10．（25-26高三上·广东·月考）为了表扬三位乐于助人的同学，班主任购买了4个价钱相同的礼盒全部分给这3名同学，若购买的4个礼盒仅有2个相同，按一人2个礼盒，另两人各1个礼盒进行分配，共有__________种分法.（用数字作答） 【答案】21 【难度】0.65 【知识点】分组分配问题、排列组合综合 【分析】考虑2个相同礼盒是否分给同一人两种情况，结合分步计数原理求解即可. 【详解】第一种情况，当2个相同礼盒分给同一人时： 第一步，分配2个相同礼盒， 即将这2个相同礼盒分给三个同学中的一个，共种分配方法； 第二步，分配剩下的2个不同礼盒， 即将剩下的2个不同礼盒，分给剩下的2个同学，共有种， 所以一共有种分法； 第二种情况，当2个相同礼盒不分给同一人时： 记4个礼盒分别为， 当或在一起时，共有种分配方法； 当在一起时，即将分给三个人中任何一个，剩下的2个人，每人分一个，共有种分配方法； 综上，共有种分配方法. 故答案为： 重难点题型【三】、插空法-不相邻问题 1．（2026·黑龙江齐齐哈尔·一模）3名男生和2名女生站成一排，其中男生甲不站在两端，且2名女生不相邻的不同站法有（    ） A．24种 B．48种 C．72种 D．96种 【答案】B 【难度】0.62 【知识点】分类加法计数原理、分步乘法计数原理及简单应用、元素（位置）有限制的排列问题、不相邻排列问题 【详解】第一类：先排3名男生，甲在两端的排序有种，再2名女生插空有种； 第二类：先排3名男生，甲在中间的排序有种，再2名女生插空有种， 故男生甲不站在两端，且2名女生不相邻的不同站法有（种）. 2．（2026·贵州贵阳·模拟预测）游乐场现有8个完全相同的泊车车位，现安排三辆完全不同的冰淇淋彩车停放，要求每辆车两侧均有空车位方便游客购买，问安排冰淇淋彩车的方法数是（    ） A．336 B．120 C．56 D．24 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】不相邻排列问题 【分析】利用插空法可得结果. 【详解】在空置的5个车位的4个间隔安排三辆不同的车， 故选：D. 3．（25-26高三上·河北张家口·期末）已知甲、乙、丙、丁四名学生利用假期的某周周一到周五去敬老院参加志愿者活动，每天去一人，且甲参加两天活动，其余三名学生每人一天，则安排甲不在相邻两天做志愿者的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】元素（位置）有限制的排列问题、实际问题中的组合计数问题、计算古典概型问题的概率 【分析】法一：先求出总情况数，再先全排列乙、丙、丁，然后插空得到满足题意的情况数，再利用古典概型计算概率即可得到答案；法二：先求出总情况数，再采用正难则反的原则即可得到答案. 【详解】解法1：总的安排方法数为种，其中乙、丙、丁全排列方法数为种， 甲在乙、丙、丁的排列形成的四个空当中任选两个的方法数为种， 故所求概率， 解法2：总的安排方法数为种，其中甲两天相邻的排列方法数为种， 故所求概率， 故选：B． 4．（25-26高三上·河北·期中）某市为弘扬科学精神，激励青少年投身科技事业，特别策划了一场“致敬科技先锋”的主题活动.活动期间，需将A，B，C，D，E五位功勋人物的画像自左至右排成一行展示，且要求A与B的画像不相邻，E的画像只能排在两端，则满足条件的排法种数为（    ） A．16 B．20 C．24 D．26 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】不相邻排列问题、元素（位置）有限制的排列问题、分步乘法计数原理及简单应用 【分析】根据不相邻及特殊位置列式结合排列数计算求解. 【详解】因为A与B的画像不相邻，所以先排再插空排有种排法， 又因为E的画像只能排在两端，则满足条件的排法种数为种排法. 故选：C. 5．（25-26高三上·广东佛山·月考）现将2本不同的数学书、3本不同的物理书、1本化学书放在一个单层的书架上，且同类的书各不相邻，则不同的放法有（   ） A．120种 B．144种 C．96种 D．160种 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】分步乘法计数原理及简单应用、不相邻排列问题 【分析】分化学书在2本数学书之间，或是1本物理书在2本数学书直接，再按照分步计数原理，插空法解决问题. 【详解】第一种情况，首先化学书在2本数学书的中间，数学书排列有2种方法，再让三本物理书插空，有种方法，所以共有种方法， 第二种情况，若1本物理书在2本数学书的中间，则这3本书看成1个元素，有种方法，再和化学书排列有种方法，最后剩下的2本物理书插空，有种方法，所以共有种方法， 综上，共有种方法. 故选：A 6．（25-26高三下·山东·月考）小李的银行卡的六位密码由组成，如果数字1与2不相邻，则小李可以设置的不同的密码个数为_____． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】不相邻排列问题 【分析】就是否相邻分类讨论并利用插空法可求不同的密码个数. 【详解】如果六位密码中相邻，则先排， 再利用插空法可得不同的密码个数为， 如果六位密码中不相邻，则先排，此时有个空挡， 这5个空挡中有3个空挡可以插入，故此时不同的密码个数为， 故不同密码的个数为. 7．（25-26高三下·浙江·开学考试）某校数学教师命制一张试卷，试卷要求考查函数、几何、概率统计三个板块内容，其中函数题3道、几何题2道、概率统计题2道，且同板块试题难度互不相同．现要求同一板块的试题不相邻且难度从易到难，则该试卷不同的排版方案有___________种（用数字作答）． 【答案】38 【难度】0.4 【知识点】元素（位置）有限制的排列问题、不相邻排列问题 【分析】先插入几何题与概率统计题，共有三类不同情况，再针对三类不同情况分别计算插入三道函数题的情况种数即可得. 【详解】用表示三道函数题且难度从易到难， 用表示两道几何题且难度从易到难， 用表示两道概率统计题且难度从易到难， 先排几何题与概率统计题，则有①或、②或、 ③或这三类不同情况， 针对情况①：之间与之间必须插入一道函数题， 则剩余的道函数题有个位置可选，共有种情况； 针对情况②：再插入三道函数题，共有种情况； 针对情况③：则之间或之间必须插入一道函数题，共有种情况； 综上，共有种不同情况. 8．（25-26高三上·上海·期末）有个男孩和个女孩排成一列，个女孩互不相邻的站法种数为_____________. 【答案】 【难度】0.65 【知识点】不相邻排列问题 【分析】先将个男孩排序，然后将个女孩插入个男孩形成的个空位中的个空位，结合插空法可得结果. 【详解】先将个男孩排序，然后将个女孩插入个男孩形成的个空位中的个空位， 由插空法可知，不同的站法种数为. 故答案为：. 9．（2026·湖南永州·一模）现有4名男生和2名女生排成一行照相，要求女生不相邻，男生甲因身高原因不能站在整个队伍的最左端，则一共有___________种不同的站法． 【答案】408 【难度】0.65 【知识点】元素（位置）有限制的排列问题、不相邻排列问题 【分析】利用排列知识结合正难则反思想计算即可. 【详解】当女生不相邻时共有种， 当男生甲站在左端且女生不相邻时，有， 故女生不相邻，男生甲不站在整个队伍的最左端，有种． 故答案为：408 10．（2025·山东·一模）现有3名男生和3名女生要与班主任站成一排合影，班主任站中间，则3名女生有且仅有2名相邻的站法总数为__________.（结果用数字作答）. 【答案】 【难度】0.4 【知识点】相邻问题的排列问题、元素（位置）有限制的排列问题、分步乘法计数原理及简单应用 【分析】先确定班主任位置，再从3名女生中选2名，将“相邻”的女生与剩余1名女生排列，最后排列男生，根据分步乘法计数原理计算站法总数. 【详解】班主任站中间位置，只有1种站法； 从3名女生中选2名女生，有种选法， 将“相邻”的2名女生排列，有种排法，则另外一个女生有种排法， 将3名男生排入剩下的3个空位种，有种排法， 根据分步乘法计数原理，总站法数为. 故答案为： 重难点题型【四】、先选后排（除法）-定序问题（摘灯笼） 1．（24-25高二下·湖北·期中）系统的登录密码由个字符组成，其中前位是大写字母、、、的某种排列，后位是不相同的数字，则可能的密码总数是多少（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】元素（位置）有限制的排列问题、其他排列模型 【分析】利用倍缩法可得出前个位置的排法种数，利用排列计数原理可得出后两位的排法种数，再利用分步乘法计数原理可得结果. 【详解】由题意可知，前个位置中有两个位置安排字母，有种， 然后从中选择两个不同的数字排最后两个位置，有种， 由分步乘法计数原理可知，可能的密码种数为. 故选：C. 2．（24-25高二下·江苏淮安·月考）如图所示，某码头有两堆集装箱，一堆2个，另一堆是3个，现需要全部装运，每次只能从其中一堆取最上面的一个集装箱，则在装运过程中不同取法的种数是（ ） A．10 B．20 C．60 D．120 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】其他排列模型 【分析】根据排列即可求解. 【详解】如下图所示，对集装箱编号，则可知排列相对顺序为1,2,3（即1号箱子一定在2号箱子前被取走，2号箱子一定在3号箱子前被取走）4,5,故不同取法的种数是 ， 故选：A 3．三根绳子上共挂有8只气球，绳子上的球数依次为2，3，3，每枪只能打破一只球，而且规定只有打破下面的球才能打上面的球，则将这些气球都打破的不同打法数是（    ） A．350 B．140 C．560 D．280 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】元素（位置）有限制的排列问题 【分析】由排列数的计算，结合定序问题倍缩法，代入计算，即可求解. 【详解】 将8只气球编号，依次从下往上，从右往左编号为， 问题等价于8只气球排列， 其中号，号，号必须是从下到上的顺序打破气球， 则有种. 故选：C 4．如图，有两串桃子挂在树枝上，其中一串有4个桃子，另外一串有3个桃子，一只猴子自下而上地依次摘桃子，每次只摘一个桃子，直至把所有7个桃子全部摘完，共有（    ）种不同的摘法． A．70 B．35 C．21 D．14 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】元素（位置）有限制的排列问题 【分析】利用倍缩法解决定序问题即摘的两列桃子顺序为和，从而可求解. 【详解】如果将7个桃子全排列有种方法， 但根据题意要摘的两列桃子顺序分别为和， 所以共有种方法，故B正确. 故选：B. 5．（2024高二·全国·专题练习）四根绳子上共挂有10只气球，绳子上的球数依次为1，2，3，4，每枪只能打破一只球，而且规定只有打破下面的球才能打上面的球，则将这些气球都打破的不同打法数是（    ） A．12600 B．6000 C．8200 D．12000 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】其他排列模型 【分析】由题意，转化为排列中部分元素定序排列即可. 【详解】根据题意，如图， 将10个气球进行编号1-10，原问题可以转化为将编号为1～10的10个气球排列， 其中2，3号，4，5，6号，7，8，9，10号气球必须是从下到上的顺序，按小球从下到上的编号顺序打破气球即可， 则有（种）排列方法，则有12600（种）不同打法， 故选：A． 6．（25-26高三上·湖南怀化·开学考试）在数字通信中，信号是由数字“0”和“1”排成一行组成的序列，不同的排列表示不同的信号．已知某信号由2个1和4个0组成，且每个0的左边或者右边位置至少有1个0与它相邻，则这样的信号有_____种． 【答案】6 【难度】0.65 【知识点】相邻问题的排列问题、排列组合综合 【分析】按照每个0的左边或者右边位置至少有1个0与它相邻有两种情况，再根据排列组合来求解即可. 【详解】第一种情况，4个0全部相邻，把4个0看成1个元素，共有种； 第二种情况，将4个0分成2组，每组2个0，每组不相邻，利用插空法共有种． 综上，这样的信号共有6种． 故答案为：. 7．如图，某水果店门前用3根绳子挂了6串香蕉，从左往右的串数依次为1，2，3.到了晚上，水果老板要收摊了，假设每次只取1串（挂在一列的只能先收下面的），则将这些香蕉都取完的不同取法种数为__________.（结果用数字表示） 【答案】60 【难度】0.94 【知识点】其他排列模型、元素（位置）有限制的排列问题 【分析】先不考虑收的顺序，有种方法，再考虑中间一列和右边一列在收取时的所有方法数，因挂在一列的只能先收下面的，故方法数为. 【详解】依题意，6串香蕉任意收取共有种方法， 考虑在收取最右边一列时有种取法，收取中间一列时有种取法， 而从下往上收取只是其中的一种，故按照从下往上的收取方法，不同取法数是种. 故答案为：60. 8．（2024·重庆·模拟预测）有6位同学排成一排准备拍照，拍照前加入了2位同学，如果要求他们仍站成一排，同时原来6位同学的相对顺序保持不变，则有_______________种不同的站法．（用数字作答） 【答案】56 【难度】0.85 【知识点】其他排列模型、元素（位置）有限制的排列问题、排列数的计算 【分析】利用排列中的定序问题的处理方法求解． 【详解】因为共8位同学站成一排，原来6位同学的相对顺序保持不变， 所以共有种不同站法， 故答案为：56． 重难点题型【五】、多面手问题 1．我校去年11月份，高二年级有10人参加了赴日本交流访问团，其中3人只会唱歌，2人只会跳舞，其余5人既能唱歌又能跳舞．现要从中选6人上台表演，3人唱歌，3人跳舞，有（   ）种不同的选法． A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据题意可按照只会跳舞的人中入选的人数分类处理． 第一类个只会跳舞的都不选，则从既能唱歌又能跳舞的5人中选择3人来跳舞，接着从剩余的5人中选择3人唱歌，故有种； 第二类个只会跳舞的有人入选，有种，再从从既能唱歌又能跳舞的5人中选择2人来跳舞，有种，再从剩余的6人中选择3人唱歌，有种，故有种； 第三类个只会跳舞的全入选，有种，再从从既能唱歌又能跳舞的5人中选择1人来跳舞，有种，再从剩余的7人中选择3人唱歌，有种，有种， 所以共有种不同的选法， 故选：A． 2．某国际旅行社现有11名对外翻译人员，其中有5人只会英语，4人只会法语，2人既会英语又会法语，现从这11人中选出4人当英语翻译，4人当法语翻译，则共有（    ）种不同的选法 A．225 B．185 C．145 D．110 【答案】B 【解析】根据题意，按“2人既会英语又会法语”的参与情况分成三类． ①“2人既会英语又会法语”不参加，这时有种； ②“2人既会英语又会法语”中有一人入选， 这时又有该人参加英文或日文翻译两种可能， 因此有种； ③“2人既会英语又会法语”中两个均入选， 这时又分三种情况：两个都译英文、两个都译日文、两人各译一个语种， 因此有种． 综上分析，共可开出种． 故选：B． 3．“赛龙舟”是端午节的习俗之一，也是端午节最重要的节日民俗活动之一，在我国南方普遍存在端午节临近，某单位龙舟队欲参加今年端午节龙舟赛，参加训练的8名队员中有3人只会划左桨，3人只会划右桨，2人既会划左桨又会划右桨．现要选派划左桨的3人、划右桨的3人共6人去参加比赛，则不同的选派方法共有（    ） A．26种 B．30种 C．37种 D．42种 【答案】C 【解析】根据题意，设只会划左桨的3人，只会划右桨的3人，既会划左桨又会划右桨的2人，据此分3种情况讨论： ①从中选3人划左桨，划右桨的在（）中剩下的人中选取，有种选法， ②从中选2人划左桨，中选1人划左桨，划右桨的在（）中选取，有种选法， ③从中选1人划左桨，中2人划左桨，中3人划右桨，有种选法， 则有种不同的选法． 故选：C． 4．某龙舟队有9名队员，其中3人只会划左舷，4人只会划右舷，2人既会划左舷又会划右舷．现要选派划左舷的3人、右舷的3人共6人去参加比赛，则不同的选派方法共有（    ） A．56种 B．68种 C．74种 D．92种 【答案】D 【解析】根据划左舷中有“多面手”人数的多少进行分类：划左舷中没有“多面手”的选派方法有 种，有一个“多面手”的选派方法有种，有两个“多面手”的选派方法有种，即共有(种)不同的选派方法． 故选：D 重难点题型【六】、错位排列（三人三卡、四人四卡） 1．“数独九宫格”原创者是18世纪的瑞士数学家欧拉，它的游戏规则很简单，将1到9这九个自然数填到如图所示的小九宫格的9个空格里，每个空格填一个数，且9个空格的数字各不相间，若中间空格已填数字5，且只填第二行和第二列，并要求第二行从左至右及第二列从上至下所填的数字都是从大到小排列的，则不同的填法种数为（    ） A．72 B．108 C．144 D．196 【答案】C 【解析】按题意5的上方和左边只能从1，2，3，4中选取，5的下方和右边只能从6，7，8，9中选取．因此填法总数为．故选：C. 2．编号为1、2、3、4、5的5个人分别去坐编号为1、2、3、4、5的五个座位，其中有且只有两个人的编号与座位号一致的坐法有（    ） A．10种 B．20种 C．30种 D．60种 【答案】B 【解析】先选择两个编号与座位号一致的人，方法数有， 另外三个人编号与座位号不一致，方法数有，所以不同的坐法有种.故选：B 3．（2023·全国·高三专题练习）将编号为、、、、、的小球放入编号为、、、、、的六个盒子中，每盒放一球，若有且只有两个盒子的编号与放入的小球的编号相同，则不同的放法种数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据题意，分以下两步进行： （1）在个小球中任选个放入相同编号的盒子里，有种选法，假设选出的个小球的编号为、； （2）剩下的个小球要放入与其编号不一致的盒子里， 对于编号为的小球，有个盒子可以放入，假设放入的是号盒子. 则对于编号为的小球，有个盒子可以放入，对于编号为、的小球，只有种放法. 综上所述，由分步乘法计数原理可知，不同的放法种数为种.故选：B. 4．将编号为1､2､3､4､5､6的六个小球放入编号为1､2､3､4､5､6的六个盒子里，每个盒子放一个小球，若有且只有三个盒子的编号与放入的小球编号相同，则不同的方法总数是（    ） A．20 B．40 C．120 D．240 【答案】B 【解析】第一步，先选取3个盒子，放入编号相同的3个球，方法数为，第二步剩下的3个盒子放入编号不同的小球，有2种方法，所以总方法数为．故选：B． 重难点题型【七】、涂色问题 1．（2025·河北沧州·一模）如图，为了出黑板报，某班级为黑板四个区域进行涂色装饰，每个区域涂一种颜色，相邻区域（有公共边）不能用同一种颜色，若只有四种颜色可供使用，则恰好使用了3种颜色的涂色方法共有（    ） A．24种 B．48种 C．72种 D．84种 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】实际问题中的组合计数问题、涂色问题、分类加法计数原理 【分析】根据组合的定义，结合分类计数原理进行求解即可. 【详解】由题意可知，使用了3种颜色则只有和颜色相同，或只有和颜色相同， 则涂色方法共有种. 故选：B 2．如图，一个环形的花坛被分成了编号为A、B、C、D的四个区域，现有4种不同的种子，要求同一区域种植同一种种子，且相邻区域种植的种子不同，则共有（   ）种不同的种植方法． A．36 B．60 C．84 D．120 【答案】C 【难度】0.4 【知识点】涂色问题、排列组合综合 【分析】设k种种子排成环形的n个区域种植不同的方法数为,利用间接法，先求出排成一行的4个区域种植且相邻区域种植4种不同的种子的方法数，减去区域1和区域n种植相同种子的方法数，即得答案. 【详解】设k种种子排成环形的n个区域种植不同的方法数为， 若先考虑排成一行的区域种植且相邻区域种植不同种子，则方法数应为， ①若区域1和区域n种植不同种子时，则把区域1和区域n粘在一起成一个环状时满足条件： ②若区域1和区域n种植相同种子时，把区域1和区域n粘在一起成一个环状时不满足条件，此方法数需从种方法中被减掉． 所以，依题意，易得，则， 即． 故选：C. 3．（2025·辽宁·二模）重庆九宫格火锅，是重庆火锅独特的烹饪方式.九宫格下面是相通的，实现了“底同火不同，汤通油不通”它把火锅分为三个层次，不同的格子代表不同的温度和不同的牛油浓度，其锅具抽象成数学形状如图（同一类格子形状相同）： “中间格“火力旺盛，不宜久煮，适合放一些质地嫩脆、顷刻即熟的食物； “十字格”火力稍弱，但火力均匀，适合煮食，长时间加热以锁住食材原香； “四角格”属文火，火力温和，适合焖菜，让食物软糯入味．现有6种不同食物（足够量），其中1种适合放入中间格，3种适合放入十字格，2种适合放入四角格．现将九宫格全部放入食物，且每格只放一种，若同时可以吃到这六种食物（不考虑位置），则有多少种不同放法（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】涂色问题、分步乘法计数原理及简单应用、分类加法计数原理 【分析】利用分步计数原理及分类计数原理即得. 【详解】由题可知中间格只有一种放法； 十字格有四个位置，种适合放入，所以有一种放两个位置，共有种放法； 四角格有四个位置，种适合放入，可分为一种放三个位置，另一种放一个位置， 有种放法，或每种都放两个位置，有种放法，故四角格共有种放法； 所以不同放法共有种. 故选：C. 4．（2025·广东茂名·模拟预测）如图，现要用5种不同的颜色对某市的4个区县地图进行着色，要求有公共边的两个地区不能用同一种颜色，共有几种不同的着色方法？（   ） A．120 B．160 C．180 D．300 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】分步乘法计数原理及简单应用、涂色问题、其他排列模型、实际问题中的组合计数问题 【分析】分两步，第一步先排Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，第二步再排Ⅳ，然后根据分步计数原理相乘即可. 【详解】先排Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ共有种，再排Ⅳ有种， 故不同的着色方法数有种. 故选：C 5．（24-25高二下·四川达州·月考）某社区广场有一个如图所示的花坛，花坛有四个区域，现有5种不同的花卉可供选择，要求相邻区域不能种植同一种花卉，中间圆圈区域不种植花卉，则该花坛的花卉种植方案共有（    ） A．210种 B．420种 C．180种 D．260种 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】涂色问题、分步乘法计数原理及简单应用 【分析】分区域1与区域3种同种花卉和不同花卉两种情况，根据分步乘法计数原理可得. 【详解】当区域1与区域3种植同一种花卉时，先种1、3，再种2、4， 由分步乘法计数原理可知，该花坛种植方案共有种； 当区域1与区域3不种植同一种花卉时，先种1、3，再种2、4， 由分步乘法计数原理可知，该花坛种植方案共有种. 故该花坛的花卉种植方案共有种. 故选：D 6．（25-26高三下·湖南·月考）如图所示的挂件由7个圆组成，中心圆为主挂件，从中心向三个方向延伸出分挂件，每个方向有两个分挂件，靠近主挂件的为第一层分挂件，远离主挂件的为第二层分挂件.现用四种不同的颜色给所有的挂件涂色，要求相邻的挂件涂不同的颜色，且同一层的分挂件涂不同的颜色，则所有的涂色方法种数为______. 【答案】 【难度】0.45 【知识点】排列组合综合、分步乘法计数原理及简单应用、涂色问题、元素（位置）有限制的排列问题 【分析】按中心主挂件、第一层分挂件、第二层分挂件的顺序分步涂色，中心 4 选 1，第一层用剩余 3 色全排列，第二层用容斥原理解决错位排列问题，最后用分步乘法计数原理得到总方法数. 【详解】按分步计数原理，依次涂色： 涂中心主挂件：共4种颜色可选，因此有种涂色方法； 涂第一层分挂件（共3个）： 要求：每个第一层都与中心相邻，故不能与中心同色； 且同一层分挂件颜色不同.中心已经用掉1种颜色，剩余3种颜色，给3个不同的第一层分挂件涂色， 是全排列问题，方法数为 ； 涂第二层分挂件（共3个）： 要求：每个第二层只和同方向第一层相邻，故不能等于对应第一层的颜色； 且同一层分挂件颜色不同.此时已有4种不同颜色：中心颜色，三个第一层颜色（互不相同，且都不等于）， 需要选3个不同颜色分配给3个第二层，满足位置不选，用容斥原理计算： 总排列数， 减去至少一个位置选自身对应颜色的情况，得总方法数： ； 总方法数：根据分步乘法计数原理，总涂色方法数为： . 【点睛】分步涂色，中心定色，第一层全排列，第二层用容斥解决错位排列，最后乘得总数. 7．（25-26高三上·海南海口·月考）装修师傅要用红、黄、绿三种颜色的地砖铺设一条长10格的走廊，地砖宽度与走廊宽度相同，每块红色地砖长1格，每块黄色地砖长2格，每块绿色地砖长3格，地砖只能整块铺设，且3种颜色都要使用，相同颜色的地砖不作区分．已知装修师傅共使用了6块地砖，恰好铺满这条走廊，若要求相邻2块地砖的颜色不同，则共有____种不同的铺设方法． 【答案】 【难度】0.4 【知识点】涂色问题 【分析】设出使用红色，黄色，绿色地砖的块数，根据题意列出方程组，从而求得所用每种颜色地砖的块数，再根据红色地砖所在位置分类讨论即可求解. 【详解】设使用红色地砖块，黄色地砖块，绿色地砖块， 由题意得，，解得 ， 即使用红色地砖3块，黄色地砖2块，绿色地砖1块． 下面分四种情形讨论： ①3块红色地砖使用在第1，3，5块地砖的位置时，1块绿色地砖有种方式铺设， 剩余2个位置铺设黄色地砖，所以共有3种不同的铺设方法； ②3块红色地砖使用在第2，4，6块地砖的位置时，1块绿色地砖有种方式铺设， 剩余2个位置铺设黄色地砖，所以共有3种不同的铺设方法； ③3块红色地砖使用在第1，3，6块地砖的位置时，1块绿色地砖只能在第4，5块地砖的位置铺设， 有种方法，剩余2个位置铺设黄色地砖，所以共有2种不同的铺设方法； ④3块红色地砖使用在第1，4，6块地砖的位置时，1块绿色地砖只能在第2，3块地砖的位置铺设， 有种方法，剩余2个位置铺设黄色地砖，所以共有2种不同的铺设方法. 综上，共有 种不同的铺设方法． 故答案为：. 8．（2025高三·全国·专题练习）如图所示的雨伞，其伞面被伞骨分成8个区域，每个区域分别印有数字1，2，3，…，8.现准备给该伞面的每个区域涂色，要求每个区域涂一种颜色，相邻两个区域所涂颜色不能相同，对称的两个区域（如区域1与区域5）所涂颜色相同.若有6种不同颜色的颜料可供选择，则不同的涂色方案有______种． 【答案】630 【难度】0.65 【知识点】涂色问题、分步乘法计数原理及简单应用 【分析】由题知只需考虑区域1，2，3，4的颜色即可，不妨先涂区域1、区域2，再分区域3与区域1涂的颜色不同及相同两种情况考虑即可求解. 【详解】涂色问题  根据题意，只需确定区域1，2，3，4的颜色，即可确定整个伞面的涂色情况． 先涂区域1，有6种选择，再涂区域2，有5种选择， 当区域3与区域1涂的颜色不同时，区域3有4种选择，剩下的区域4有4种选择； 当区域3与区域1涂的颜色相同时，剩下的区域4有5种选择． 故不同的涂色方案有（种）． 故答案为：630. 9．（2025高三·全国·专题练习）在如图的7块区域中，用5种颜色填充，且相邻区域不同色，不同的染色方法有______种. 【答案】3660 【难度】0.65 【知识点】涂色问题、分步乘法计数原理及简单应用、排列组合综合 【分析】先分区域同色和区域异色两种情况，再根据的颜色结合分步计数原理列式计算求解； 【详解】解法1：  若区域同色，则有种填色方法，此时有4种，有3种，有2种.由对称性可知，有3种，有2种，共有种. 若区域异色，则有种填色方法，有3种． 此时的颜色可再分两类，即同色时，有3种；异色时，有2种，有2种．与对称，共有种． 综上可得，，故不同的染色方法有3660种． 解法2 ：根据题意可得，故不同的染色方法有3660种． 故答案为：. 10．（2025·江苏南京·二模）英国数学家弗朗西斯·格思里提出四色猜想（四色定理）：任何平面或球面上的地图只需不超过四种颜色即可实现相邻区域颜色不同.该猜想于1976年由阿佩尔和哈肯借助计算机完成证明.如图，一个地区分为6个行政区域，现给地图上的行政区域涂色（注：人工湖不需要涂色），要求：每个区域涂1种颜色，相邻区域不同色.现有红、黄、蓝、绿4种颜色可供选择，则不同的涂色方法有__________种（用数字作答）. 【答案】216 【难度】0.85 【知识点】排列组合综合、分步乘法计数原理及简单应用、涂色问题 【分析】如图，将6个行政区标上序号，根据分步乘法计数原理，按照一定的顺序对各个区域进行涂色，同时考虑相邻区域颜色不同的限制条件即可求解. 【详解】如图，将6个行政区标上序号， 区域1有4种颜色可选，共4种方法； 区域2与区域1相邻，不能与区域1同色，有3种颜色可选，共3种方法； 区域3与区域1、2相邻，不能与区域1、2同色，有2种颜色可选，共2种方法； ①若区域4与区域2同色，有1种颜色可选，此时区域5与区域2不同色且有2种涂色方法，此时区域6有2种涂色方法； ②若区域4与区域2不同色，有1种颜色可选，此时若区域5与区域2同色，有1种涂色方法，区域6有3种涂色方法， 若区域5与区域2不同色，有1种涂色方法，区域6有2种涂色方法， 所以一共有种方法. 故答案为：216. 重难点题型【八】、分组分配问题（平均分与半平均分问题） 1．（2026·山东青岛·一模）某空间站由，，三个舱构成，某次实验需要5名宇航员同时在3个舱中开展，每个人只能去1个舱，每个舱至少安排1名宇航员，其中宇航员甲只能去舱，则不同的安排方法的种数为（   ） A．35 B．36 C．42 D．50 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】排列组合综合、分类加法计数原理、元素（位置）有限制的排列问题、分组分配问题 【分析】以舱的人数为分类依据，将 5 人分配到 A、B、C 三个舱中，分别计算各类分组与排列的方法数，最后求和得到总安排数. 【详解】有四类不同的安排情形： ①甲单独在舱，其余四人分成两组，一组1人，一组3人，安排在舱， 有种不同的安排方法； ②甲单独在舱，其余四人平均分成两组每组人，安排在舱， 有种不同的安排方法； ③舱安排人，其余三人分成两组，一组人，一组人，安排在舱， 有种不同的安排方法； ④舱安排人，其余二人分成两组，安排在舱， 有种不同的安排方法； 综上，不同的安排方法共有种. 【点睛】本题是分类加法计数原理 + 分组分配问题，核心方法是按特殊元素或位置分类，结合均匀 或不均匀分组与排列计算. 2．（2026·河北唐山·一模）某学校组织同学们假期参加社区服务活动，4名同学被分配到甲、乙两个社区，每个社区至少一名同学，不同的分配方案有（    ） A．6种 B．12种 C．14种 D．28种 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】分组分配问题 【详解】4名同学按分配到两个社区，有种方法；按分配到两个社区，有种方法， 所以不同的分配方案有（种）. 3．（25-26高三上·湖南常德·月考）在《红楼梦》中，史湘云邀众姐妹和贾宝玉一起作诗.共编写了十首不同的咏菊诗，假设分配贾宝玉作《访菊》《种菊》两首，薛宝钗作《忆菊》、《画菊》两首，剩下六首诗分别由林黛玉、史湘云、探春三人创作，且每人至少创作一首，至多创作三首，则不同的分工方案共有（    ） A．150种 B．360种 C．450种 D．800种 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】分组分配问题 【分析】结合两类计数原理，将6首诗按和两种情况求解即可. 【详解】第一类，将6首诗按的数量分给3人，有种； 第二类，将6首诗按的数量分给3人，有种， 所以不同的分工方案共有种． 故选：C. 4．（25-26高三上·河南漯河·期末）将6名学生分别安排到甲､乙､丙三地参加社会实践活动，每个地方至少安排一名学生参加，学生A不安排到甲地且与学生不安排到同一个地方，则不同的安排方案的种数为（    ） A．392 B．390 C．262 D．260 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】元素（位置）有限制的排列问题、实际问题中的组合计数问题 【分析】分学生A独自1人去乙地或丙地、学生A与学生B外的1人成一队去乙地或丙地、学生A与学生B外的2人成一队去乙地或丙地、学生A与学生B外的3人成一队去乙地或丙地这四种情况讨论求解即可. 【详解】学生A独自1人去乙地或丙地，则不同的安排方案的种数为； 学生A与学生B外的1人成一队去乙地或丙地，则不同的安排方案的种数为； 学生A与学生B外的2人成一队去乙地或丙地，则不同的安排方案的种数为； 学生A与学生B外的3人成一队去乙地或丙地，则不同的安排方案的种数为； 综上，符合题意的安排方案共有种. 故选：D. 5．（25-26高三上·河南·期中）某校园诗歌朗诵大赛共有5名同学进入决赛，决赛要求这5名同学均从《琵琶行》《蜀道难》《离骚》中选择1篇进行参赛，且这3篇诗歌中每篇均有同学选择，则这5名同学诗歌篇目的选择情况共有（    ） A．150种 B．240种 C．180种 D．120种 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】分组分配问题、实际问题中的组合计数问题 【分析】由题意人数分配只能是“2,2,1”与“3,1,1” 两种组合，分类求解即可. 【详解】5名同学分配到3篇诗歌（每篇至少1人），人数分配只能是 “2,2,1” 或 “3,1,1” 两种组合， 若人数分配为“2,2,1”，则有种不同选择情况； 若人数分配为“3,1,1”，则有种不同选择情况； 综上，共有种不同选择情况. 故选：A 6．（25-26高三上·湖南邵阳·期中）赣超联赛作为江西本土热门足球赛事，正处于激烈的关键赛程阶段.为保障赛事服务质量，需将4名志愿者小赵、小孙、小周、小吴平均分配到A，B两个比赛场馆服务，则恰好小赵与小周分到同一个场馆的概率为__________． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】分组分配问题、计算古典概型问题的概率 【分析】先将四人分成两组，再将两组人分配到两个场馆，根据分步乘法计数原理即可求出总的分法数，再求出小赵与小周分到一个场馆的分法数，最后利用古典概型概率计算公式即可求解． 【详解】将4人平均分为两组，每组两人，共种分法， 再将两组人分配到A，B两个场馆，因此共种分法， 小赵与小周分到同一个场馆的分法有2种； 故小赵与小周分到同一个场馆的概率为． 故答案为：． 7．（25-26高三上·湖南衡阳·月考）现有4名同学要报名参加冰雪兴趣小组，要求雪上项目和冰上项目都至少有1人参加，则不同的报名方案有__________种(用数字作答)． 【答案】14 【难度】0.85 【知识点】分组分配问题、实际问题中的组合计数问题、分步乘法计数原理及简单应用、分类加法计数原理 【分析】根据要求雪上项目和冰上项目都至少有1人参加，可将4名同学分为“1+3”和“2+2”两类，通过分步乘法计数原理，分别求出每一类组合有多少种，再由分类加法计数原理可得答案. 【详解】由题干可知，要求雪上项目和冰上项目都至少有1人参加，则组合为：“1+3”和“2+2”两类； （1）若为“1+3”组合，将4名同学分为两组，一组1人，另一组3人，有种分组方式； 将分好的2组在雪上项目和冰上项目进行全排列有种，由分步乘法计数原理，则该组合有种； （2）若为“2+2”组合，将4名同学分为两组，一组2人，另一组也为2人，有种分组方式； 将分好的2组在雪上项目和冰上项目进行全排列有种，由分步乘法计数原理，则该组合有种； 由分类加法计数原理，则不同的报名方式有8+6=14种. 故答案为：14 8．（2025·湖南永州·模拟预测）将个不同的球分给个不同的盒子（每个盒子至少有一个球），则不同的分配方法的种数为______． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】分类加法计数原理、分组分配问题 【分析】对每组的球的数量进行分类讨论，按照先分组再分配原则计算出每种情况下不同的分配方法种数，综合可得结果. 【详解】先给不同的个球分成三组，不同的分组方式如下： 第一种情况，一组个、一组个、一组个，此为不平均分组，遵循先分组再分配原则， 分配给不同的个盒子，则不同的分配方法种数为种； 第二种情况，一组个、一组个、一组个，此为部分平均分组，遵循先分组再分配原则， 分配给不同的个盒子，则不同的分配方法种数为种； 第三种情况，一组个、一组个、一组个．此为平均分组，遵循先分组再分配原则， 分配给不同的个盒子，则不同的分配方法种数为种. 综上所述，不同的分配方法种数为种. 故答案为：. 9．（2026·湖北孝感·二模）2025年泡泡玛特旗下的IP“LABUBU”突然爆火．现有5个不同造型的“LABUBU”．把这5个“LABUBU”装入3个不同的盒内，每盒至少装一个，共有_______种不同的装法． 【答案】150 【难度】0.65 【知识点】排列组合综合、分步乘法计数原理及简单应用、分组分配问题 【分析】先按和两种方式分组，再排列即可. 【详解】把这5个“LABUBU”装入3个不同的盒内，每盒至少装一个，分组方式有两种： 按分组：先从个中选个为一组，剩下的个各成一组， 组数；按分组：先从个中选个为一组， 剩下的个中选个为一组，最后个为一组(消除重复分组)， 组数，分配到3个不同的盒内，， 故装法总数. 10．将个不同的科研项目分配给个不同的研究所，要求每个研究所至少负责个项目，则项目和项目被分配到同一研究所的概率是_____． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】分组分配问题、计算古典概型问题的概率 【分析】利用分组分配原理求出“每个研究所至少负责个项目”的分配方法种数，并求出“项目和项目被分配到同一研究所且每个研究所至少负责个项目”的方法种数，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率. 【详解】每个研究所至少负责个项目，可能分成型和型， 第一型有种方法，第二型有种方法， 共种方法． 若限定项目与分配到同一研究所，第一型有种方法， 第二型有种方法，共种方法． 故所求概率为． 故答案为：. 重难点题型【九】、隔板法-相同元素 1．（2026·江西上饶·一模）将6个相同的小球全部放入3个不同的盒子中，每个盒子都要有小球，则不同的放球方法共有（   ） A．4种 B．6种 C．10种 D．12种 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】分组分配问题 【分析】根据隔板法来解决相同元素分组问题，通过在元素之间插入隔板来将元素分成不同的组. 【详解】本题是6个相同的小球放入3个不同的盒子，且每个盒子至少有1个小球的组合问题，可以使用隔板法， 将6个小球排成一排，中间形成5个空隙，在这5个空隙中插入2个隔板， 即可将小球分成3份，每份至少有1个， 因此，不同的放法共有种， 故选：C． 2．（2025·江苏泰州·二模）2025年央视春晚的四个分会场分别为重庆、武汉、无锡和拉萨，现有11个志愿者名额分配给这四个分会场，其中一个分会场分5个名额，在余下的三个分会场中每个会场至少分一个名额，则名额分配的不同种数为（    ） A．210 B．35 C．40 D．120 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】实际问题中的组合计数问题 【分析】根据给定条件，选择一个分会场获5个名额，再将余下6个名额利用隔板法分到另外3个分会场即可. 【详解】依题意，选择一个分会场获取5个名额，有种方法， 再将余下的6个名额分配到另三个分会场，用隔板法有种， 所以名额分配的不同种数为. 故选：C 3．（24-25高二下·安徽安庆·月考）已知，，，则关于，，的方程共有（    ）组不同的解. A．36 B．45 C．50 D．24 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】x+y+z=n的整数解的个数 【分析】根据题意将问题转化为把10个相同的小球放入3个不同的盒子，每个盒子至少放入1个小球的不同放法，由挡板分析可得答案. 【详解】根据题意，对于方程将10看成10个相同的小球，将其分成3组，每组至少1个， 第一组有个，第二组有个，第三组有个，即可得一个方程的解， 所以10个相同的小球形成9个空，从中选2个，插入隔板即可， 所以共有组不同的解. 故选：A 4．（2025·全国·模拟预测）不等式，其中是非负整数，则使不等式成立的四元数组的组数为（    ） A．1360 B．2380 C．2510 D．760 【答案】B 【难度】0.4 【知识点】x+y+z=n的整数解的个数、组合数的性质及应用 【分析】设，，，，问题转化成不等式的正整数解的组数，即求方程的正整数解，应用隔板法求解的组数. 【详解】设，，，， 由，且是非负整数， 将问题转化成不等式的正整数解的组数. 求方程的正整数解， 可先将看作个“1”，将这个“1”排成一排， 在其中间形成的个空位中选择3个空位放入隔板， 则隔板隔开形成4组“1”，每组“1”的和分别对应的值， 因此，方程的正整数解的组数为， 方程的正整数解的组数为， 方程的正整数解的组数为， ， 方程的正整数解的组数为， 所以原不等式的非负整数解的组数为 . 故选：B 【点睛】方法点睛：将个相同元素分成组，可用“隔板法”计数，将个元素排成一排，它们之间有个空位，要把它们分成组，只需在这个空位中插入个隔板，故方法总数为.“隔板法”常用来解决名额分配问题、不定方程的正整数解的组数问题等. 5．（25-26高三下·甘肃白银·月考）将1，2，3，…，10这10个数平均分成甲、乙两组，若乙组的第75百分位数恰为甲组的中位数的2倍，则不同的分组个数为（   ） A．18 B．20 C．22 D．24 【答案】A 【难度】0.47 【知识点】分类加法计数原理、分步乘法计数原理及简单应用、分组分配问题 【分析】根据百分位数与中位数的定义，结合组合原理求解即可. 【详解】甲、乙两组各5个数，各按从小到大排列，甲组的中位数是甲组的第3个数，设为，乙组的第75百分位数是乙组的第4个数，设为. 由题意，，，故或， 当时，，该分组个数为（在1，2，3中选2个数，5，6，7中选1个数，9，10中选1个数，与组成甲组）， 当时，，则甲组的中位数为3，甲组必须包含1和2；乙组的第75百分位数为6，乙组必须有3个小于6的数，由于1, 2, 3均在甲组，乙组只有2个小于6的数（4,5），故此情况不成立． 综上，不同的分组个数为18． 故选：A. 6．（25-26高三上·河北衡水·期末）如果一个四位数的各位数字之和为9，则称A是一个“好数”，则“好数”的个数为__________. 【答案】 【难度】0.65 【知识点】数字排列问题 【分析】本题可通过设出四位数的各位数字，将问题转化为求不定方程的非负整数解的个数，再利用隔板法进行求解. 【详解】设这个四位数的各位数字从最高位到最低位依次是， 则，均为整数， 设，，，， ，，， 对于方程 可将其看作是把个相同的元素分成组，每组元素个数分别对应的值， 为了使用隔板法，我们可以想象在个元素和个隔板的排列中， 隔板将元素分成组，总共有个位置，从中选个位置放隔板， 其余位置放元素，其组合数为. 故答案为：. 7．（2025高三·全国·专题练习）不定方程的正整数解有_____组，非负整数解有_____组. 【答案】 【难度】0.4 【知识点】x+y+z=n的整数解的个数 【分析】利用隔板法求解不定方程的解的组数. 【详解】第一空: 利用隔板法求解，不定方程的正整数解, 相当于将100个名额分配给50个班级，每班至少一人，也就是将100个名额分成50堆， 每堆至少一个名额，因此，把这100个名额排成一队，除去队前队后的空外， 有99个空，在这99个空中选49个空，插入49个板子，则把这100个名额分成了50堆，故有组，每一堆的名额数就是的数值，则不定方程的正整数解的组数为组； 第二空: 设， ，，， 不定方程的非负整数解 就是不定方程正整数解， 利用隔板法求解，不定方程的正整数解, 相当于将150个名额分配给50个班级，每班至少一人，也就是将150个名额分成50堆， 每堆至少一个名额.把这150个名额排成一队，除去队前队后的空外， 有149个空，在这149个空中选49个空，插入49个板子，则把这150个名额分成了50堆， 故有组，每一堆的名额数就是的数值， 则不定方程的非负整数解的组数为组. 故答案为：，. 8．（2025高三·全国·专题练习）15个相同的小球放入编号为1，2，3的盒子内，盒子内的小球数不小于编号数，则不同的放法有______种. 【答案】55 【难度】0.65 【知识点】分组分配问题 【分析】个数不小于盒子编号数，用填满分隔法． 【详解】由于小球是相同的，故先用6个小球按编号数“填满”各盒子（符合最低要求），再把9个小球放入3个盒子内即可． 可用2块挡板与9个球一起排列（即为两类元素的排列问题），可得． 故符合题意的不同放法有55种. 故答案为：55. 9．（2025高三·全国·专题练习）把1，2，3，…，20这20个数分成四组，若组内的数不少于两个时必须是连续自然数，则有______种分组方法．（用数字作答） 【答案】969 【难度】0.65 【知识点】其他组合计数模型 【分析】利用隔板法将3个板不相邻插入19个间隙中，即可求解. 【详解】由于要求的组内的数是连续的，因此不改变这20个数由小到大的顺序， 只需在19个间隙中不相邻地插入3块挡板，把20个数分隔成4段，即分成了四组， 共有种分组法. 故答案为：. 重难点题型【十】、数字排列问题 1．（2026·甘肃·一模）由数字，可以组成多少个不同的四位数（    ） A．24 B．12 C．10 D．6 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】数字排列问题、排列数的计算、元素（位置）有限制的排列问题 【分析】先计算所有数字的全排列，再除以重复数字的排列数即可. 【详解】4个数字的全排列数为. 因为有2个相同的数字2 ，所以需除以重复数字的排列数， 故数字，可以组成不同的四位数的个数：. 2．（25-26高三上·湖南娄底·期末）从这五个数中任选三个数，其中至少有两个数为相邻的数，所选的三个数组成的三位数共有（    ） A．8个 B．54个 C．10个 D．60个 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】元素（位置）有限制的排列问题、写出某事件的对立事件 【分析】利用对立事件的性质与排列数的性质求解即可. 【详解】由题意得至少有两个数为相邻的数的对立事件是三个数都不相邻， 则在中选数，共有符合，共个， 而从这五个数中任选三个数组成三位数，共有个， 可得符合题意的三位数共有个，故B正确. 故选：B 3．（25-26高三上·河南郑州·期中）盲盒是指消费者不能提前得知具体产品款式的商品盒子．已知某盲盒产品共有3种玩偶，且每个盲盒中出现任意一种玩偶的概率均相等，小明购买4个盲盒，则他能集齐3种玩偶的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】计算古典概型问题的概率、实际问题中的组合计数问题 【分析】根据给定的条件，求出买4个盲盒的基本事件数，再求出集齐3种玩偶的基本事件数即可. 【详解】总情况数：每个盲盒有3种可能，4个盲盒的总情况数为，即81种， 符合条件的情况数：要集齐三种玩偶，需在4个盲盒中包含所有3种玩偶， 即一种玩偶出现2次，其余两种出现1次. 选择出现2次的种类：种，分配位置：将4个位置中选2个给该种类， 剩余2个位置分别给另外两种：种， 总符合条件的情况数：种， 因此，总概率为. 故选：C． 4．（25-26高三上·陕西咸阳·期末）从0，1，2，3，4，5，6这7个数字中选出2个奇数数字和2个偶数数字，组成奇数数字相邻且没有重复数字的四位数，则这样的四位数的个数为_____________. 【答案】180 【难度】0.4 【知识点】数字排列问题 【分析】先取2个奇数并捆绑，再分类讨论所取的偶数是否有0，结合排列数、组合数运算求解. 【详解】先从1，3，5中任意取2个，并排列有种排法， 若取偶数含0时，在2，4，6中取1个有种取法， 将2个奇数看成一个整体，并与取出的这个非零偶数进行排列，有种排法， 再将0插入有2种方法，所以含0的满足条件的四位数有个； 若不含0时，先从2，4，6中任意取2个有种取法， 将2个奇数看成一个整体，并与取出的这2个偶数进行排列，有种排法， 所以满足条件的四位数有个； 综上所述：所以共有个数. 故答案为：180. 5．（25-26高三上·湖南·月考）从0，1，2，…，9这10个数字中选出3个不同的数字组成三位数，其中小于329的共有_____个. 【答案】167 【难度】0.85 【知识点】分类加法计数原理、数字排列问题 【分析】以百位数为3和小于3两种情况分析即可求解. 【详解】当百位数小于3时，共有个； 当百位数为3，十位数小于2时，此时共有个； 当百位数为3，十位数为2时，共有个. 综上所述，共有个. 故答案为：167 6．（25-26高二上·甘肃兰州·期末）用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的自然数，能够组成多少个小于2018的正偶数_______． 【答案】个 【难度】0.65 【知识点】数字排列问题、元素（位置）有限制的排列问题 【分析】组成小于的正偶数，可以是一位数、两位数、三位数、四位数，再分类计算，即可得出结论. 【详解】有一位正偶数时，可选、， 当有两位正偶数时，个位可为、、，所以当最后一位为时，可能的结果为，当最后一位为或时，可能结果为，所以共有种， 当有三位正偶数时，个位可为、、，所以当最后一位为时，可能的结果为，当最后一位为或时，可能结果为，所以共有种， 当有四位正偶数时，首项为时，由种， 首位为时，只有符合条件，所以共有种. 故答案为：个. 7．（24-25高二下·湖北孝感·月考）有张卡片分别写有数字，从中任取张，可排出不同的四位数的个数______. 【答案】38 【难度】0.65 【知识点】元素（位置）有限制的排列问题、数字排列问题、分步乘法计数原理及简单应用、排列组合综合 【分析】先根据取出的张卡片中重复数字的可能情况讨论取到哪些数字，再将取出的数字排列. 【详解】根据题意，分种情况讨论： ①取出的张卡片中有且只有对数字重复，则个重复的数字为或， 若重复的数字为，另两个数字为、，有种情况， 若重复的数字为，另两个数字为、，有种情况，共有种； ②若取出的张卡片为张和张， 在个位置安排两个，有种情况，剩余位置安排两个，则可以排出个四位数 ③取出的张卡片中有个重复数字，则重复的数字为， 在、中取出张卡片，有种取法，安排在四个位置中的一个，有种情况，剩余位置安排，可以排出个四位数； 则一共有个四位数． 故答案为． 重难点题型【十一】、最短路径问题 1．如图，小黑圆表示网络的结点，结点之间的连线表示它们有网线相连．连线上标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量．现从结点A向结点B单位时间内传递的最大信息量为（    ）    A．26 B．24 C．20 D．19 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】分类加法计数原理 【分析】根据题意，结合图形得出从A到B传播路径有4条，写出每条途径传播的最大信息量，再求和，即得答案． 【详解】解：根据题意，结合图形知， 从A到B传播路径有4条，如图所示；    途径①传播的最大信息量为3，途径②传播的最大信息量为4； 途径③传播的最大信息量为6，途径④传播的最大信息量为6； 所以从A向B传递信息，单位时间内传递的最大信息量为， 故选：D． 2．一只蚂蚁从正四面体的顶点出发，沿着正四面体的棱爬行，每秒爬一条棱，每次爬行的方向是随机的，则蚂蚁第1秒后到点，第4秒后又回到点的不同爬行路线有（    ） A．6条 B．7条 C．8条 D．9条 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】分步乘法计数原理及简单应用、分类加法计数原理 【分析】根据已知，可作出树状图，利用分类加法计数原理和分步乘法计数原理求解. 【详解】根据已知，可作出下图，由图知，不同的爬行路线有7条. 故选：B 【点睛】本题主要考查分类加法计数原理和分步乘法计数原理，属于基础题. 3．如图所示是一段灌溉用的水渠，上游和下游之间建有，，，，五个水闸，若上游有充足的水源但下游没有水，则这五个水闸打开或关闭的情况有（    ）    A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】实际问题中的计数问题、分步乘法计数原理及简单应用、分类加法计数原理 【分析】分水闸关闭，水闸打开时，同时关闭，水闸打开时，同时关闭，三种情况，去掉重复的情况，得到答案. 【详解】①水闸关闭时，满足要求，此时打开或关闭时均可，故此时有种情况， ②若水闸打开时，同时关闭时，满足要求，此时打开或关闭时均可，故此时有种情况， ③若水闸打开时，同时关闭时，满足要求，此时打开或关闭时均可，故此时有种情况， 上面②③两种情况有重复的1种情况，就是水闸打开，同时关闭的情况， 故共有种情况. 故选：B 4．（2025高三·全国·专题练习）如图所示，在间有四个焊接点1，2，3，4，若某焊接点脱落，则此处断路，则焊接点脱落导致电路不通的情况的种数为（    ）    A．9 B．11 C．13 D．15 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】分类加法计数原理 【分析】按照焊接点脱落的个数分类讨论，运用分类加法计数原理求解即可. 【详解】按照焊接点脱落的个数分类讨论，若脱落1个，则有共2种情况， 若脱落2个，则有共6种情况， 若脱落3个，则有共4种情况， 若脱落4个，则有共1种情况， 由分类加法计数原理，情况种数共有种． 故选：C． 5．（24-25高二下·广东江门·期中）在如图所示的电路（规定只能闭合其中一个开关）中，接通电源使灯泡发光的方法有（    ）种.    A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】分类加法计数原理 【分析】根据分类加法计数原理求解即可. 【详解】接通电源使灯泡发光的方案可分为两类：第一类，闭合中的一个开关，共2种方法； 第二类，闭合中的一个开关，共3种方法.根据分类加法计数原理可知. 故选：B 6．（2026·重庆·模拟预测）小明玩一款棋，如图所示，地图上标记了不能走的山或湖，小明每一步只能向上或向右移动1格，则从起点到终点共有______种不同的走法. 【答案】29 【难度】0.4 【知识点】分步乘法计数原理及简单应用、实际问题中的计数问题、实际问题中的组合计数问题 【分析】利用分类计数加法原理和分步计数乘法原理来求解即可. 【详解】设：列从左到右为，行从下到上为， 起点()，简记为，终点()，简记为 如图所示，地图上标记了不能走的山或湖，小明每一步只能向上或向右移动1格， 则小明必经过和， 当小明经过到达时，按以下步骤： 从到，这三步中有一步向右，两步向上，故有种走法， 下面又分两类情形到达， 第1类是从到，只有2种走法，然后再向右走到， 而从到，这三步中有一步向上，两步向右，故有种走法， 所以第1类从到的走法有种； 第2类是从到，这三步中有一步向右，两步向上，故有种走法， 然后从到，只能全向右走，只有1种走法， 所以第2类从到的走法有种； 所以小明经过到达的走法有种； 当小明经过到达时，按以下步骤： 从到，只能全向右走，只有1种走法， 再从到，只能全向上走，也是只有1种走法， 最后从到，只有2种走法， 所以小明经过到达的走法有种； 故小明从起点到终点不同的走法共有种. 7．如图，沿着箭头从点P走到点Q，有______种不同的最短路径． 【答案】12 【难度】0.65 【知识点】实际问题中的组合计数问题、分步乘法计数原理及简单应用 【分析】利用直接列举树状图法来研究，或转化为四步中必向右走两步，必向前走一步，必向下走一步，从而利用分步计数原理来求即可. 【详解】（方法1，直排法）直接写出经过每个点的路径种数，如图所示． 通过树状图列举： 所以总共有12种不同的最短路径． （方法2）最短路径必为四步走完，根据图形位置， 四步中必向右有走两步，必向前有走一步，必向下有走一步， 从而利用分步计数原理即有种． 8．（2025·宁夏吴忠·二模）在中国象棋的棋盘上，红方“车”从初始位置（如图，第1行第5列）出发，每一步可以横向或纵向移动任意格（但不能斜着移动，也不能连续两次均横向或纵向移动），已知黑方“将”位于第10行第5列，红方“车”必须在恰好4步后到达第10行第5列．若棋盘上仅存在黑方“将”和红方“车”，黑方“将”不移动，则红方“车”不同的移动路径有________种． 【答案】128 【难度】0.4 【知识点】实际问题中的计数问题、分步乘法计数原理及简单应用、分类加法计数原理 【分析】根据题意，恰好4步后到达，且每次移动必须改变方向，可能的移动模式有两种：纵向→横向→纵向→横向（记为模式A）或横向→纵向→横向→纵向（记为模式B），讨论求解. 【详解】记红方“车”的初始位置为，则目标位置为， 由题意知必须恰好4步后到达，且每次移动必须改变方向， 所以可能的移动模式有两种：纵向→横向→纵向→横向（记为模式A）或横向→纵向→横向→纵向（记为模式B）． 模式A的详细步骤如下． 步骤1：纵向移动a格到，， 步骤2：横向移动x格到，且，即且，所以x的可能取值有8种． 步骤3：纵向移动b格到，且． 步骤4：横向移动格到． 因此，a和b必须满足，，，则，对应的． 对于每个x，a均有8种可能，因此模式A的移动路径有（种）． 模式B的详细步骤如下． 步骤1：横向移动m格到，且，有8种可能． 步骤2：纵向移动n格到，，且． 步骤3：横向移动格到． 步骤4：纵向移动y格到． 因此，n和y必须满足，，，则，对应的． 对于每个m，n均有8种可能，因此模式B的移动路径有（种）． 综上，不同的移动路径有（种）． 故答案为：128. 重难点题型【十二】、环排问题 1．21个人按照以下规则表演节目：他们围坐成一圈，按顺序从1到3循环报数，报数字“3”的人出来表演节目，并且表演过的人不再参加报数．那么在仅剩两个人没有表演过节目的时候，共报数的次数为（     ） A．19 B．38 C．51 D．57 【答案】D 【解析】当倒数第个人出来表演节目时，一共报数了次. 故选：D 2．A，B，C，D，E，F六人围坐在一张圆桌周围开会，A是会议的中心发言人，必须坐最北面的椅子，B，C二人必须坐相邻的两把椅子，其余三人坐剩余的三把椅子，则不同的座次有（   ） A．60种 B．48种 C．30种 D．24种 【答案】B 【解析】首先，A是会议的中心发言人，必须坐最北面的椅子， 考虑B、C两人的情况，只能选择相邻的两个座位，位置可以互换， 根据排列数的计算公式，得到，，接下来，考虑其余三人的情况， 其余位置可以互换，可得种，最后根据分步计数原理，得到种， 故选B. 3．现有8个人围成一圈玩游戏，其中甲、乙、丙三人不全相邻的排法种数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】8个人围成一圈,有种. 其中甲、乙、丙三人相邻，看做一个整体，由. 所以甲、乙、丙三人不全相邻的排法种数为. 故答案为：D 4．（2025·内蒙古赤峰·高二赤峰二中校考阶段练习）如图，某伞厂生产的太阳伞的伞篷是由太阳光的七种颜色组成，七种颜色分别涂在伞篷的八个区域内，且恰有一种颜色涂在相对区域内，则不同颜色图案的此类太阳伞最多有（    ）. A．40320种 B．5040种 C．20160种 D．2520种 【答案】D 【解析】先从7种颜色中任意选择一种，涂在相对的区域内，有种方法， 再将剩余的6种颜色全部涂在剩余的6个区域内，共有种方法， 由于图形是轴对称图形，所以上述方法正好重复一次， 所以不同的涂色方法，共有种不同的涂法. 故选：D. 5．5个女孩与6个男孩围成一圈，任意2个女孩中间至少站1个男孩，则不同排法有______种（填数字）． 【答案】86400 【解析】因为任意2个女孩中间至少站1个男孩，则有且仅有2个男孩站在一起， 先把5个女孩排成一个圈，这是个圆形排列，因此排法共有(种)， 把6个男孩按2，1，1，1，1分成5组有种分法， 最后把5组男孩放入5个女孩构成圆排列的5个间隔中有种方法，而站在一起的两个男孩有顺序性，有2种站法， 所以，由分步乘法计数原理得，不同的排法共有(种). 故答案为：86400 1．（2025·辽宁·三模）9本不同的书平均分成三摞，如图所示，现将这9本书全部取走，且每次只能从其中一摞的上面取一本，则不同的取法有（   ）种． A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】实际问题中的组合计数问题、组合数的计算、分步乘法计数原理及简单应用 【分析】根据题意，将取书转换为放书，再由每次只能从其中一摞的最上面取一本确定每摞书的顺序唯一确定，再由组合数即可得到结果. 【详解】对取出的书进行编号，记取出的第一本书为，第二本书为，依次类推，最后取出的书为， 则不同的取法对应这个编号的书在书堆中的排列， 因此不同的取法数目等于不同的排列数目， 即将本书分成三摞的摆放方法数， 又因为每次只能从其中一摞的最上面取一本， 故每摞书的编号从上往下依次增大， 因此再摆放时每摞书的顺序唯一确定， 从本书中选三本放在第一摞，有种方法， 再从剩下的本书中选三本放在第二摞，有种方法， 最后剩下的本书中选三本放在第三摞，有种方法， 综上，共有种方法. 故选：B 2．（2026·湖南邵阳·二模）清明将至，为倡导文明祭祀，筑牢防火安全防线，4名青年志愿者到3个社区参加“绿色清明”公益宣讲活动，要求每名志愿者只能选择一个社区，每个社区至少要有一名志愿者，则不同的分配方案共有（   ） A．24种 B．36种 C．64种 D．72种 【答案】B 【难度】0.75 【知识点】分步乘法计数原理及简单应用、分组分配问题 【分析】根据分组分配问题解法，先分组再分配即可求解． 【详解】根据题意，将4名青年志愿者分为三组，共有种情况，再分配到3个社区，共有种情况， 所以共有种不同情况． 3．（2026·湖南衡阳·模拟预测）在某道选词填空题中，有3个空格，4个备选单词。每个空格只能填入一个备选单词，且每个空格都有一个唯一的正确答案（这3个正确答案是4个备选单词中的3个，剩余1个备选单词是多余的）。若随机选择3个备选单词分别填入3个空格，则3个空格全部选错的概率是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】排列组合综合、计算古典概型问题的概率 【详解】假设4个单词分别是甲、乙、丙、丁，正确的顺序为甲乙丙. 第一类，选出的3个单词不包括丁，则符合要求的情况有乙丙甲，丙甲乙，共2种选法； 第二类，选出的3个单词包含丁，则从剩下的3个单词选两个有种情况，不妨设选出的单词为甲，乙， 则符合要求的情况有乙甲丁，丁甲乙，乙丁甲，共3种，即共有种选法. 综上，符合要求的情况共有种，全部情况为种， 则3个空格全部选错的概率是. 4．（2026·浙江·模拟预测）《水浒传》、《三国演义》、《西游记》和《红楼梦》被称为中国古代四大名著.书架的某一层上有4本不同的文学书，现将四大名著各一本插入这4本书的5个空隙中，要求原有书的顺序不变且四大名著中至少有3本相邻，则不同的插法共有（    ） A．120种 B．240种 C．480种 D．600种 【答案】D 【难度】0.74 【知识点】分步乘法计数原理及简单应用、相邻问题的排列问题、组合数的计算 【分析】利用计数原理以及相邻问题捆绑法可得答案. 【详解】四大名著恰有3本相邻共有种插法； 4本相邻时共有种插法， 所以不同的插法共有600种， 故选：D. 5．（2026·甘肃兰州·一模）为全面提升学生的核心素养与综合实践能力，某校举办“模拟联合国大会”活动，设置了A，B，C，D共4个不同的国家立场，由4名同学通过随机抽签确定每人代表一个国家立场参与活动.已知这4名同学每人都有且仅有一个心仪的国家立场，且4人心仪的国家立场互不相同，则仅有1名同学抽到自己心仪国家立场的抽取方法数是（    ） A．4 B．8 C．12 D．24 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】实际问题中的计数问题、组合数的计算 【详解】从4名同学中选1名抽到自己心仪国家立场，则有种， 设剩下3名同学分别为甲，乙，丙，他们心仪国家分别为， 当甲抽到时，乙只能抽到，丙只能抽到； 当甲抽到时，乙只能抽到，丙只能抽到，共2种情况， 仅有1名同学抽到自己心仪国家立场的抽取方法数有种. 6．（2026·湖北省直辖县级单位·模拟预测）某学术会议有个相邻座位（编号至），安排来自所不同大学的位教授入座，每校人（甲校、乙校、丙校），要求甲校的必须坐在乙校的的左侧且相邻；丙校的与两人座位不相邻，则符合条件的安排方法共有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】相邻问题的排列问题、不相邻排列问题 【分析】采用捆绑、插空的方法结合排列数计算即可求解. 【详解】先将绑在一起，当做一个人和进行排列，共有种排列， 有个空位选两个插入与，所以共有种符合条件的安排方法. 故选：B 7．某中学为迎接新年到来，筹备“唱响时代强音，放飞青春梦想”为主题的元旦文艺晚会.晚会组委会计划在原定排好的5个学生节目中增加2个教师节目，若保持原来5个节目的出场顺序不变，则增加的2个教师节目有______种不同排法（用数字作答） 【答案】42 【难度】0.85 【知识点】其他排列模型 【分析】用相对顺序已定的排列模型求解. 【详解】5个学生节目中增加2个教师节目，共有7个节目，把7个节目看成有顺序的7个位置， 将这7个位置挑出2个位置安排给2个教师节目，共有种安排方法，再将剩下的5个位置安排给5个学生节目，因原来5个学生节目的出场顺序不变，故只有1种安排方法，故共有种不同排法. 故答案为：42 8．六个身高不同的人排成二排三列，每一列后面的那个人比他（她）前面的那个人高，则共有________种排法． 【答案】90 【难度】0.85 【知识点】元素（位置）有限制的排列问题 【分析】根据有限制的排列问题求解即可. 【详解】由于六个身高不同的人排成二排三列，每一列后面的那个人比他（她）前面的那个人高，则排法有种． 故答案为：. 9．（25-26高三上·贵州黔南·期末）第十五届全国运动会共有约5万名“小海豚”志愿者奔波于各个比赛场馆，他们在赛场内外用贴心的服务照亮每一场精彩赛事.若要把4名新加入的志愿者全部随机分配到A、B、C三个不同的场馆服务，每个场馆至少能分配到1名志愿者，共有_____种分配方法.设这4名志愿者中被分配到A场馆的人数为，则的数学期望为_____. 【答案】 36 / 【难度】0.5 【知识点】分组分配问题、求离散型随机变量的均值 【分析】根据题意有两名志愿者去同一场馆，进而根据排列组合分组分配问题得共有（种）分配方法；再结合的可能取值为1，2，求解对应概率计算期望即可. 【详解】4名志愿者被随机分配到A、B、C三个不同的场馆，每个场馆至少1名志愿者， 故有两名志愿者去同一场馆，有种情况，再将这个2人小组和另外2名志愿者（共三个整体）分配到三个不同的场馆中, 故共有（种）分配方法. 的可能取值为1，2，且，， 所以. 10．（2026·福建龙岩·一模）某商场组织抽奖活动，在一个不透明的箱子中装有1个红球、1个白球、1个黑球，共3个形状、大小完全相同的小球.活动规则为：每人有放回地先后两次摸球（每次至少摸1个），摸到红球或白球各计1分，摸到黑球计3分.若两次摸到的小球记录的总得分为5分，则获得一等奖，那么获一等奖的概率为______. 【答案】 【难度】0.65 【知识点】实际问题中的组合计数问题、计算古典概型问题的概率、有放回与无放回问题的概率 【分析】先求两次摸球共有多少种情况，然后讨论一等奖的可能情况，由古典概型计算求解. 【详解】每次摸球的情况有种. 先后两次摸球共有种情况. 两次得分5分的情况有： 第一次1分，第二次4分，共有种； 第一次2分，第二次3分，共有1种； 第一次4分，第二次1分，共有4种； 第一次3分，第二次2分，共有1种； 所以， 故答案为：. 11．（2026·山西运城·一模）如图，某片雪花有6个主枝，每个主枝上有9个侧枝，从该雪花的所有侧枝中随机选取2个，则它们位于同一主枝上的概率为______． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】组合数的计算、计算古典概型问题的概率 【详解】某片雪花的总侧枝数为，故它们位于同一主枝上的概率为. 12．（2026·河北·一模）截至2025年10月28日，国际乒联公布的最新世界排名，男单前5名中有2名中国运动员，3名外国运动员，女单前5名均为中国运动员．若从这10人中随机选取4人进行技术分析，则这4人中至少有一名外国运动员，且男运动员不少于女运动员的所有不同情况有__________种． 【答案】145 【难度】0.65 【知识点】分类加法计数原理、实际问题中的组合计数问题 【分析】需先根据“男运动员不少于女运动员”确定男女人数组合，再分别计算每种组合下“至少有一名外国运动员”的情况数，最后求和. 【详解】若这4人中有4名男运动员，则不同的选取情况共有种； 若这4人中有3名男运动员，1名女运动员，则不同的选取情况共有种， 若这4人中有2名男运动员，2名女运动员，则不同的选取情况有种， 故满足条件的所有不同情况共有种. 故答案为：145 13．（2026·新疆·模拟预测）截至到2025年8月中旬，2025年暑期档电影总票房突破100亿元.其中战争历史片《南京照相馆》与《东极岛》，国产动画片《浪浪山小妖怪》与《罗小黑战记II》，国产古装片《长安的荔枝》，类型片《戏台》与《捕风追影》七部电影更是在票房与口碑上收获满满.小明将这七部电影的宣传海报（各1份）分别赠予2名男生和5名女生，每人1份，其中电影《戏台》的宣传海报赠予女生甲，2名男生收到的电影海报不属于同一电影题材，则不同的赠予方案总数为______. 【答案】624 【难度】0.65 【知识点】分类加法计数原理、全排列问题、实际问题中的组合计数问题 【分析】分2名男生收到的电影海报分别为战争历史片和国产动画片，战争历史片和国产古装片，战争历史片和类型片，国产动画片和国产古装片，国产动画片和类型片，国产古装片和类型片6种情况，分别求出每种情况数，相加可得答案. 【详解】当2名男生收到的电影海报分别为战争历史片和国产动画片，则有种情况， 又电影《戏台》的宣传海报赠予女生甲，故剩余的4个人与4张宣传海报进行全排列， 有种情况，故此时共有种情况； 当2名男生收到的电影海报分别为战争历史片和国产古装片，则有种情况， 同理可得此时共有种情况； 当2名男生收到的电影海报分别为战争历史片和类型片，则有种情况， 同理可得此时共有种情况； 当2名男生收到的电影海报分别为国产动画片和国产古装片，则有种情况， 同理可得此时共有种情况； 当2名男生收到的电影海报分别为国产动画片和类型片，则有种情况， 同理可得此时共有种情况； 当2名男生收到的电影海报分别为国产古装片和类型片，则有种情况， 同理可得此时共有种情况； 综上，共有种情况. 故答案为：624 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点9-1 排列与组合中的常考模型 三年考情分析 考题统计 2026年考向预测 近年来，对排列组合的考查，常涉及对排列组合中的各种模型的理解及应用．这些题目要求考生在理解计数原理的基础上，根据定义的性质，按照新规则进行排列与组合的运算，难度较大. 2025年上海卷，选择题，5分 2024年上海卷，选择题，5分 2024年全国甲卷，填空题，5分 2024年天津卷，填空题，5分 近三年来，高考对于计数原理的考查，难度逐年增大．题目不仅要求考生理解新定义的概念和运算规则，还要求考生能够灵活运用计数原理的基本知识进行综合分析和推理． 知识点一 排列与组合的概念 名称 定义 排列 从n个不同元素中取出m(m≤n)个不同元素 按照一定的顺序排成一列 组合 合成一组 知识点二 排列数与组合数 (1)、从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数. (2)、从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数. (3)、排列数的公式：． 特例：当时，；规定：． (4)、排列数的性质： ①；②；③． (5)、组合数公式：． 这里，，且，这个公式叫做组合数公式．因为，所以组合数公式还可表示为：．特例：． (6)、组合数的主要性质：①；②． 知识点3、排列和组合的区别 组合：取出的元素地位平等，没有不同去向和分工． 排列：取出的元素地位不同，去向、分工或职位不同． 注意：排列、组合都是研究事物在某种给定的模式下所有可能的配置数目问题，它们之间的主要区别在于是否要考虑选出元素的先后顺序，不需要考虑顺序的是组合问题，需要考虑顺序的是排列问题．排列是在组合的基础上对入选的元素进行排队，因此，分析解决排列组合综合问题的基本思维是“先组合，后排列”． 知识点4、解决排列组合综合问题的一般过程 1、认真审题，确定要做什么事； 2、确定怎样做才能完成这件事，即采取分步还是分类或是分步与分类同时进行，弄清楚分多少类及多少步； 3、确定每一步或每一类是排列（有序）问题还是组合（无序）问题，元素总数是多少及取出多少个元素； 4、解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略． 【解题方法总结】 秒杀技巧与性质1：如图，在圆中，将圆分等份得到个区域，，，，，现取种颜色对这个区域涂色，要求每相邻的两个区域涂不同的两种颜色，则涂色的方案有种． 秒杀技巧与性质2：错位排列公式 秒杀技巧与性质3：数字排列问题的解题原则、常用方法及注意事项 解题原则：排列问题的本质是“元素”占“位子”问题，有限制条件的排列问题的限制条件主要表现在某元素不排在某个位子上，或某个位子不排某些元素，解决该类排列问题的方法主要是按“优先”原则，即优先排特殊元素或优先满足特殊位子，若一个位子安排的元素影响到另一个位子的元素个数时，应分类讨论． 秒杀技巧与性质4：定位、定元的排列问题，一般都是对某个或某些元素加以限制，被限制的元素通常称为特殊元素，被限制的位置称为特殊位置．这一类问题通常以三种途径考虑： （1）以元素为主考虑，这时，一般先解决特殊元素的排法问题，即先满足特殊元素，再安排其他元素； （2）以位置为主考虑，这时，一般先解决特殊位置的排法问题，即先满足特殊位置，再考虑其他位置； （3）用间接法解题，先不考虑限制条件，计算出排列总数，再减去不符合要求的排列数． 秒杀技巧与性质5：解决相邻问题的方法是“捆绑法”，其模型为将n个不同元素排成一排，其中某k个元素排在相邻位置上，求不同排法种数的方法是：先将这k个元素“捆绑在一起”，看成一个整体，当作一个元素同其他元素一起排列，共有种排法；然后再将“捆绑”在一起的元素“内部”进行排列，共有种排法．根据分步乘法计数原理可知，符合条件的排法共有种． 秒杀技巧与性质6：解决不相邻问题的方法为“插空法”，其模型为将个不同元素排成一排，其中某个元素互不相邻（），求不同排法种数的方法是：先将（）个元素排成一排，共有种排法；然后把个元素插入个空隙中，共有种排法．根据分步乘法计数原理可知，符合条件的排法共有·种． 重难点题型【一】、直接法 1．（2026·山东淄博·一模）有5名同学，，，，参加唱歌比赛，抽签决出出场顺序.若和都不是第1个出场，且不是最后一个出场，则这5人不同的出场顺序种数为（    ） A．42 B．50 C．54 D．60 2．（2026·广东江门·一模）某班级图书角有5种课外书，甲、乙两名同学从5种课外书中各自选2种，则两人选的课外书没有相同种类的选法有（    ） A．20种 B．30种 C．40种 D．60种 3．（25-26高三上·广东·期末）有2位老师和3名学生排成一队照相，老师既不能分开也不排在首尾，则不同的排法有（   ） A．48种 B．12种 C．36种 D．24种 4．（2026·陕西西安·一模）现要从6名学生中选4名代表班级参加学校接力赛，其中已经确定甲参加且跑第1棒或第4棒，乙和丙2人只能跑第2，3棒，丁不能跑第1棒.那么合适的选择方法种数为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高三上·山西太原·期末）某次市运会跳水项目的预赛中有名参赛选手，其中校有名，校有名，校有名.现要求校名选手的出场均不能和校选手的出场相邻，则这名选手不同出场顺序的种数为（    ） A． B． C． D． 6．（2026·河北邯郸·一模）某地普法小组安排4名男性普法员和2名女性普法员前往甲、乙、丙三个社区进行宣讲，每名普法员只能前往一个社区，每个社区至少有1名普法员，则2名女性普法员被安排在不同社区的方案共有______种． 7．（2026·山西晋中·模拟预测）小明参加校园新春体能打卡，需完成9次打卡动作，其中有2次柔韧打卡，3次力量打卡，4次耐力打卡，同类的打卡难度不同，需从易到难依次进行，任意2次耐力打卡不能相邻，不同类的打卡可以穿插进行，则完成全部打卡的不同顺序共有__________种. 8．（2026·陕西榆林·二模）中国灯笼又统称为灯彩、主要有宫灯、纱灯、吊灯等种类．育德中学4名同学在庆元旦活动中，每人从宫灯、纱灯、吊灯中选购1种，则不同的选购方法有___________种．（用数字作答） 9．（2026·四川巴中·一模）一个火车站有 8 股道，如果每股道只能停放 1 列火车，现要停放 4 列不同的火车，每两列火车不能停在相邻股道，则不同的停放方法共有_____种. 10．（25-26高三上·重庆·月考）数字10在中华传统文化中有着“十全十美”的美好寓意，现有甲乙两人拟使用扑克牌来拼凑数字10，事先准备好红桃纸牌10张，分别含有数字2至数字10，以及一张字母．为了计数的方便，两人约定字母代表数字1，现两人轮流从纸牌中不放回地随机抽取一张纸牌，当有一人所抽数字总和为10时，则结束游戏，此人获胜．若甲先抽，则甲取三次纸牌即获胜的概率为______． 重难点题型【二】、捆绑法-相邻问题 1．（25-26高三上·河北衡水·期末）六艺，是我国周朝教育体系中的六种技能，即：礼､乐､射､御､书､数.在周朝官学中开设这六门课程，从这六门课中选5门，连排5节课，每门排一节，要求每天必须学“礼､乐､数”，并要求“礼”与“乐”相邻排课，但均不与“数”相邻排课，且“御”不能排在第一节，则不同的排课方案种数为（    ） A．24 B．48 C．64 D．128 2．（25-26高三上·贵州黔西南·月考）图书馆有4本不同的科普书籍（分别记为）和2本相同的故事书，现在需要将这6本书从左到右整齐摆放在书架上，则2本相同的故事书相邻摆放的概率（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·甘肃白银·期末）7个人站成一排，其中甲、乙必须相邻，丙不能站两端，则不同的站法种数为（    ） A．960 B．980 C．1060 D．1260 4．（25-26高三上·青海西宁·期中）2025年10月西宁市大通回族土族自治县首次全面摸清野生动物资源“家底”，标志着生物多样性保护进入科学化、精细化新阶段．某校野生动物兴趣小组在野生动物宣传周后合影留念，2名指导老师和5名学生排成一排照相留念，若2位老师相邻，则不同的排法共有（   ） A．5040种 B．1440种 C．720种 D．360种 5．（2025·湖南·三模）若甲､乙､丙､丁､戊随机站成一排，则甲､乙不相邻的概率为（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高三上·贵州遵义·月考）7个人站成两排照相，前排3人，后排4人；其中甲乙两人须相邻，甲丙两人不能相邻（若两人分站两排视为不相邻），则共有________种不同安排方式． 7．（2025·上海闵行·一模）某校的5位老师甲、乙、丙、丁、戊排成一排照相，其中甲、乙必须相邻，且甲不站在两端，则不同的排法种数为________ 8．（2025·上海金山·一模）某学校读书节活动中，甲、乙、丙3个班级各有2位同学获奖，现将这6人排成一排拍照，则同一班级的两位同学均站在一起的排法共有___________种． 9．（2025·浙江台州·一模）甲､乙､丙､丁､戊､己共6人站成一排，若甲､乙两人相邻，而乙､丙两人不相邻，则不同的排法种数共有__________.（用数字作答） 10．（25-26高三上·广东·月考）为了表扬三位乐于助人的同学，班主任购买了4个价钱相同的礼盒全部分给这3名同学，若购买的4个礼盒仅有2个相同，按一人2个礼盒，另两人各1个礼盒进行分配，共有__________种分法.（用数字作答） 重难点题型【三】、插空法-不相邻问题 1．（2026·黑龙江齐齐哈尔·一模）3名男生和2名女生站成一排，其中男生甲不站在两端，且2名女生不相邻的不同站法有（    ） A．24种 B．48种 C．72种 D．96种 2．（2026·贵州贵阳·模拟预测）游乐场现有8个完全相同的泊车车位，现安排三辆完全不同的冰淇淋彩车停放，要求每辆车两侧均有空车位方便游客购买，问安排冰淇淋彩车的方法数是（    ） A．336 B．120 C．56 D．24 3．（25-26高三上·河北张家口·期末）已知甲、乙、丙、丁四名学生利用假期的某周周一到周五去敬老院参加志愿者活动，每天去一人，且甲参加两天活动，其余三名学生每人一天，则安排甲不在相邻两天做志愿者的概率为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高三上·河北·期中）某市为弘扬科学精神，激励青少年投身科技事业，特别策划了一场“致敬科技先锋”的主题活动.活动期间，需将A，B，C，D，E五位功勋人物的画像自左至右排成一行展示，且要求A与B的画像不相邻，E的画像只能排在两端，则满足条件的排法种数为（    ） A．16 B．20 C．24 D．26 5．（25-26高三上·广东佛山·月考）现将2本不同的数学书、3本不同的物理书、1本化学书放在一个单层的书架上，且同类的书各不相邻，则不同的放法有（   ） A．120种 B．144种 C．96种 D．160种 6．（25-26高三下·山东·月考）小李的银行卡的六位密码由组成，如果数字1与2不相邻，则小李可以设置的不同的密码个数为_____． 7．（25-26高三下·浙江·开学考试）某校数学教师命制一张试卷，试卷要求考查函数、几何、概率统计三个板块内容，其中函数题3道、几何题2道、概率统计题2道，且同板块试题难度互不相同．现要求同一板块的试题不相邻且难度从易到难，则该试卷不同的排版方案有___________种（用数字作答）． 8．（25-26高三上·上海·期末）有个男孩和个女孩排成一列，个女孩互不相邻的站法种数为_____________. 9．（2026·湖南永州·一模）现有4名男生和2名女生排成一行照相，要求女生不相邻，男生甲因身高原因不能站在整个队伍的最左端，则一共有___________种不同的站法． 10．（2025·山东·一模）现有3名男生和3名女生要与班主任站成一排合影，班主任站中间，则3名女生有且仅有2名相邻的站法总数为__________.（结果用数字作答）. 重难点题型【四】、先选后排（除法）-定序问题（摘灯笼） 1．（24-25高二下·湖北·期中）系统的登录密码由个字符组成，其中前位是大写字母、、、的某种排列，后位是不相同的数字，则可能的密码总数是多少（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·江苏淮安·月考）如图所示，某码头有两堆集装箱，一堆2个，另一堆是3个，现需要全部装运，每次只能从其中一堆取最上面的一个集装箱，则在装运过程中不同取法的种数是（ ） A．10 B．20 C．60 D．120 3．三根绳子上共挂有8只气球，绳子上的球数依次为2，3，3，每枪只能打破一只球，而且规定只有打破下面的球才能打上面的球，则将这些气球都打破的不同打法数是（    ） A．350 B．140 C．560 D．280 4．如图，有两串桃子挂在树枝上，其中一串有4个桃子，另外一串有3个桃子，一只猴子自下而上地依次摘桃子，每次只摘一个桃子，直至把所有7个桃子全部摘完，共有（    ）种不同的摘法． A．70 B．35 C．21 D．14 5．（2024高二·全国·专题练习）四根绳子上共挂有10只气球，绳子上的球数依次为1，2，3，4，每枪只能打破一只球，而且规定只有打破下面的球才能打上面的球，则将这些气球都打破的不同打法数是（    ） A．12600 B．6000 C．8200 D．12000 6．（25-26高三上·湖南怀化·开学考试）在数字通信中，信号是由数字“0”和“1”排成一行组成的序列，不同的排列表示不同的信号．已知某信号由2个1和4个0组成，且每个0的左边或者右边位置至少有1个0与它相邻，则这样的信号有_____种． 7．如图，某水果店门前用3根绳子挂了6串香蕉，从左往右的串数依次为1，2，3.到了晚上，水果老板要收摊了，假设每次只取1串（挂在一列的只能先收下面的），则将这些香蕉都取完的不同取法种数为__________.（结果用数字表示） 8．（2024·重庆·模拟预测）有6位同学排成一排准备拍照，拍照前加入了2位同学，如果要求他们仍站成一排，同时原来6位同学的相对顺序保持不变，则有_______________种不同的站法．（用数字作答） 重难点题型【五】、多面手问题 1．我校去年11月份，高二年级有10人参加了赴日本交流访问团，其中3人只会唱歌，2人只会跳舞，其余5人既能唱歌又能跳舞．现要从中选6人上台表演，3人唱歌，3人跳舞，有（   ）种不同的选法． A． B． C． D． 2．某国际旅行社现有11名对外翻译人员，其中有5人只会英语，4人只会法语，2人既会英语又会法语，现从这11人中选出4人当英语翻译，4人当法语翻译，则共有（    ）种不同的选法 A．225 B．185 C．145 D．110 3．“赛龙舟”是端午节的习俗之一，也是端午节最重要的节日民俗活动之一，在我国南方普遍存在端午节临近，某单位龙舟队欲参加今年端午节龙舟赛，参加训练的8名队员中有3人只会划左桨，3人只会划右桨，2人既会划左桨又会划右桨．现要选派划左桨的3人、划右桨的3人共6人去参加比赛，则不同的选派方法共有（    ） A．26种 B．30种 C．37种 D．42种 4．某龙舟队有9名队员，其中3人只会划左舷，4人只会划右舷，2人既会划左舷又会划右舷．现要选派划左舷的3人、右舷的3人共6人去参加比赛，则不同的选派方法共有（    ） A．56种 B．68种 C．74种 D．92种 重难点题型【六】、错位排列（三人三卡、四人四卡） 1．“数独九宫格”原创者是18世纪的瑞士数学家欧拉，它的游戏规则很简单，将1到9这九个自然数填到如图所示的小九宫格的9个空格里，每个空格填一个数，且9个空格的数字各不相间，若中间空格已填数字5，且只填第二行和第二列，并要求第二行从左至右及第二列从上至下所填的数字都是从大到小排列的，则不同的填法种数为（    ） A．72 B．108 C．144 D．196 2．编号为1、2、3、4、5的5个人分别去坐编号为1、2、3、4、5的五个座位，其中有且只有两个人的编号与座位号一致的坐法有（    ） A．10种 B．20种 C．30种 D．60种 3．（2023·全国·高三专题练习）将编号为、、、、、的小球放入编号为、、、、、的六个盒子中，每盒放一球，若有且只有两个盒子的编号与放入的小球的编号相同，则不同的放法种数为（    ） A． B． C． D． 4．将编号为1､2､3､4､5､6的六个小球放入编号为1､2､3､4､5､6的六个盒子里，每个盒子放一个小球，若有且只有三个盒子的编号与放入的小球编号相同，则不同的方法总数是（    ） A．20 B．40 C．120 D．240 重难点题型【七】、涂色问题 1．（2025·河北沧州·一模）如图，为了出黑板报，某班级为黑板四个区域进行涂色装饰，每个区域涂一种颜色，相邻区域（有公共边）不能用同一种颜色，若只有四种颜色可供使用，则恰好使用了3种颜色的涂色方法共有（    ） A．24种 B．48种 C．72种 D．84种 2．如图，一个环形的花坛被分成了编号为A、B、C、D的四个区域，现有4种不同的种子，要求同一区域种植同一种种子，且相邻区域种植的种子不同，则共有（   ）种不同的种植方法． A．36 B．60 C．84 D．120 3．（2025·辽宁·二模）重庆九宫格火锅，是重庆火锅独特的烹饪方式.九宫格下面是相通的，实现了“底同火不同，汤通油不通”它把火锅分为三个层次，不同的格子代表不同的温度和不同的牛油浓度，其锅具抽象成数学形状如图（同一类格子形状相同）： “中间格“火力旺盛，不宜久煮，适合放一些质地嫩脆、顷刻即熟的食物； “十字格”火力稍弱，但火力均匀，适合煮食，长时间加热以锁住食材原香； “四角格”属文火，火力温和，适合焖菜，让食物软糯入味．现有6种不同食物（足够量），其中1种适合放入中间格，3种适合放入十字格，2种适合放入四角格．现将九宫格全部放入食物，且每格只放一种，若同时可以吃到这六种食物（不考虑位置），则有多少种不同放法（ ） A． B． C． D． 4．（2025·广东茂名·模拟预测）如图，现要用5种不同的颜色对某市的4个区县地图进行着色，要求有公共边的两个地区不能用同一种颜色，共有几种不同的着色方法？（   ） A．120 B．160 C．180 D．300 5．（24-25高二下·四川达州·月考）某社区广场有一个如图所示的花坛，花坛有四个区域，现有5种不同的花卉可供选择，要求相邻区域不能种植同一种花卉，中间圆圈区域不种植花卉，则该花坛的花卉种植方案共有（    ） A．210种 B．420种 C．180种 D．260种 6．（25-26高三下·湖南·月考）如图所示的挂件由7个圆组成，中心圆为主挂件，从中心向三个方向延伸出分挂件，每个方向有两个分挂件，靠近主挂件的为第一层分挂件，远离主挂件的为第二层分挂件.现用四种不同的颜色给所有的挂件涂色，要求相邻的挂件涂不同的颜色，且同一层的分挂件涂不同的颜色，则所有的涂色方法种数为______. 7．（25-26高三上·海南海口·月考）装修师傅要用红、黄、绿三种颜色的地砖铺设一条长10格的走廊，地砖宽度与走廊宽度相同，每块红色地砖长1格，每块黄色地砖长2格，每块绿色地砖长3格，地砖只能整块铺设，且3种颜色都要使用，相同颜色的地砖不作区分．已知装修师傅共使用了6块地砖，恰好铺满这条走廊，若要求相邻2块地砖的颜色不同，则共有____种不同的铺设方法． 8．（2025高三·全国·专题练习）如图所示的雨伞，其伞面被伞骨分成8个区域，每个区域分别印有数字1，2，3，…，8.现准备给该伞面的每个区域涂色，要求每个区域涂一种颜色，相邻两个区域所涂颜色不能相同，对称的两个区域（如区域1与区域5）所涂颜色相同.若有6种不同颜色的颜料可供选择，则不同的涂色方案有______种． 9．（2025高三·全国·专题练习）在如图的7块区域中，用5种颜色填充，且相邻区域不同色，不同的染色方法有______种. 10．（2025·江苏南京·二模）英国数学家弗朗西斯·格思里提出四色猜想（四色定理）：任何平面或球面上的地图只需不超过四种颜色即可实现相邻区域颜色不同.该猜想于1976年由阿佩尔和哈肯借助计算机完成证明.如图，一个地区分为6个行政区域，现给地图上的行政区域涂色（注：人工湖不需要涂色），要求：每个区域涂1种颜色，相邻区域不同色.现有红、黄、蓝、绿4种颜色可供选择，则不同的涂色方法有__________种（用数字作答）. 重难点题型【八】、分组分配问题（平均分与半平均分问题） 1．（2026·山东青岛·一模）某空间站由，，三个舱构成，某次实验需要5名宇航员同时在3个舱中开展，每个人只能去1个舱，每个舱至少安排1名宇航员，其中宇航员甲只能去舱，则不同的安排方法的种数为（   ） A．35 B．36 C．42 D．50 2．（2026·河北唐山·一模）某学校组织同学们假期参加社区服务活动，4名同学被分配到甲、乙两个社区，每个社区至少一名同学，不同的分配方案有（    ） A．6种 B．12种 C．14种 D．28种 3．（25-26高三上·湖南常德·月考）在《红楼梦》中，史湘云邀众姐妹和贾宝玉一起作诗.共编写了十首不同的咏菊诗，假设分配贾宝玉作《访菊》《种菊》两首，薛宝钗作《忆菊》、《画菊》两首，剩下六首诗分别由林黛玉、史湘云、探春三人创作，且每人至少创作一首，至多创作三首，则不同的分工方案共有（    ） A．150种 B．360种 C．450种 D．800种 4．（25-26高三上·河南漯河·期末）将6名学生分别安排到甲､乙､丙三地参加社会实践活动，每个地方至少安排一名学生参加，学生A不安排到甲地且与学生不安排到同一个地方，则不同的安排方案的种数为（    ） A．392 B．390 C．262 D．260 5．（25-26高三上·河南·期中）某校园诗歌朗诵大赛共有5名同学进入决赛，决赛要求这5名同学均从《琵琶行》《蜀道难》《离骚》中选择1篇进行参赛，且这3篇诗歌中每篇均有同学选择，则这5名同学诗歌篇目的选择情况共有（    ） A．150种 B．240种 C．180种 D．120种 6．（25-26高三上·湖南邵阳·期中）赣超联赛作为江西本土热门足球赛事，正处于激烈的关键赛程阶段.为保障赛事服务质量，需将4名志愿者小赵、小孙、小周、小吴平均分配到A，B两个比赛场馆服务，则恰好小赵与小周分到同一个场馆的概率为__________． 7．（25-26高三上·湖南衡阳·月考）现有4名同学要报名参加冰雪兴趣小组，要求雪上项目和冰上项目都至少有1人参加，则不同的报名方案有__________种(用数字作答)． 8．（2025·湖南永州·模拟预测）将个不同的球分给个不同的盒子（每个盒子至少有一个球），则不同的分配方法的种数为______． 9．（2026·湖北孝感·二模）2025年泡泡玛特旗下的IP“LABUBU”突然爆火．现有5个不同造型的“LABUBU”．把这5个“LABUBU”装入3个不同的盒内，每盒至少装一个，共有_______种不同的装法． 10．将个不同的科研项目分配给个不同的研究所，要求每个研究所至少负责个项目，则项目和项目被分配到同一研究所的概率是_____． 重难点题型【九】、隔板法-相同元素 1．（2026·江西上饶·一模）将6个相同的小球全部放入3个不同的盒子中，每个盒子都要有小球，则不同的放球方法共有（   ） A．4种 B．6种 C．10种 D．12种 2．（2025·江苏泰州·二模）2025年央视春晚的四个分会场分别为重庆、武汉、无锡和拉萨，现有11个志愿者名额分配给这四个分会场，其中一个分会场分5个名额，在余下的三个分会场中每个会场至少分一个名额，则名额分配的不同种数为（    ） A．210 B．35 C．40 D．120 3．（24-25高二下·安徽安庆·月考）已知，，，则关于，，的方程共有（    ）组不同的解. A．36 B．45 C．50 D．24 4．（2025·全国·模拟预测）不等式，其中是非负整数，则使不等式成立的四元数组的组数为（    ） A．1360 B．2380 C．2510 D．760 5．（25-26高三下·甘肃白银·月考）将1，2，3，…，10这10个数平均分成甲、乙两组，若乙组的第75百分位数恰为甲组的中位数的2倍，则不同的分组个数为（   ） A．18 B．20 C．22 D．24 6．（25-26高三上·河北衡水·期末）如果一个四位数的各位数字之和为9，则称A是一个“好数”，则“好数”的个数为__________. 7．（2025高三·全国·专题练习）不定方程的正整数解有_____组，非负整数解有_____组. 8．（2025高三·全国·专题练习）15个相同的小球放入编号为1，2，3的盒子内，盒子内的小球数不小于编号数，则不同的放法有______种. 9．（2025高三·全国·专题练习）把1，2，3，…，20这20个数分成四组，若组内的数不少于两个时必须是连续自然数，则有______种分组方法．（用数字作答） 重难点题型【十】、数字排列问题 1．（2026·甘肃·一模）由数字，可以组成多少个不同的四位数（    ） A．24 B．12 C．10 D．6 2．（25-26高三上·湖南娄底·期末）从这五个数中任选三个数，其中至少有两个数为相邻的数，所选的三个数组成的三位数共有（    ） A．8个 B．54个 C．10个 D．60个 3．（25-26高三上·河南郑州·期中）盲盒是指消费者不能提前得知具体产品款式的商品盒子．已知某盲盒产品共有3种玩偶，且每个盲盒中出现任意一种玩偶的概率均相等，小明购买4个盲盒，则他能集齐3种玩偶的概率是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高三上·陕西咸阳·期末）从0，1，2，3，4，5，6这7个数字中选出2个奇数数字和2个偶数数字，组成奇数数字相邻且没有重复数字的四位数，则这样的四位数的个数为_____________. 5．（25-26高三上·湖南·月考）从0，1，2，…，9这10个数字中选出3个不同的数字组成三位数，其中小于329的共有_____个. 6．（25-26高二上·甘肃兰州·期末）用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的自然数，能够组成多少个小于2018的正偶数_______． 7．（24-25高二下·湖北孝感·月考）有张卡片分别写有数字，从中任取张，可排出不同的四位数的个数______. 重难点题型【十一】、最短路径问题 1．如图，小黑圆表示网络的结点，结点之间的连线表示它们有网线相连．连线上标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量．现从结点A向结点B单位时间内传递的最大信息量为（    ）    A．26 B．24 C．20 D．19 2．一只蚂蚁从正四面体的顶点出发，沿着正四面体的棱爬行，每秒爬一条棱，每次爬行的方向是随机的，则蚂蚁第1秒后到点，第4秒后又回到点的不同爬行路线有（    ） A．6条 B．7条 C．8条 D．9条 3．如图所示是一段灌溉用的水渠，上游和下游之间建有，，，，五个水闸，若上游有充足的水源但下游没有水，则这五个水闸打开或关闭的情况有（    ）    A．种 B．种 C．种 D．种 4．（2025高三·全国·专题练习）如图所示，在间有四个焊接点1，2，3，4，若某焊接点脱落，则此处断路，则焊接点脱落导致电路不通的情况的种数为（    ）    A．9 B．11 C．13 D．15 5．（24-25高二下·广东江门·期中）在如图所示的电路（规定只能闭合其中一个开关）中，接通电源使灯泡发光的方法有（    ）种.    A．4 B．5 C．6 D．8 6．（2026·重庆·模拟预测）小明玩一款棋，如图所示，地图上标记了不能走的山或湖，小明每一步只能向上或向右移动1格，则从起点到终点共有______种不同的走法. 7．如图，沿着箭头从点P走到点Q，有______种不同的最短路径． 8．（2025·宁夏吴忠·二模）在中国象棋的棋盘上，红方“车”从初始位置（如图，第1行第5列）出发，每一步可以横向或纵向移动任意格（但不能斜着移动，也不能连续两次均横向或纵向移动），已知黑方“将”位于第10行第5列，红方“车”必须在恰好4步后到达第10行第5列．若棋盘上仅存在黑方“将”和红方“车”，黑方“将”不移动，则红方“车”不同的移动路径有________种． 重难点题型【十二】、环排问题 1．21个人按照以下规则表演节目：他们围坐成一圈，按顺序从1到3循环报数，报数字“3”的人出来表演节目，并且表演过的人不再参加报数．那么在仅剩两个人没有表演过节目的时候，共报数的次数为（     ） A．19 B．38 C．51 D．57 2．A，B，C，D，E，F六人围坐在一张圆桌周围开会，A是会议的中心发言人，必须坐最北面的椅子，B，C二人必须坐相邻的两把椅子，其余三人坐剩余的三把椅子，则不同的座次有（   ） A．60种 B．48种 C．30种 D．24种 3．现有8个人围成一圈玩游戏，其中甲、乙、丙三人不全相邻的排法种数为（    ） A． B． C． D． 4．（2025·内蒙古赤峰·高二赤峰二中校考阶段练习）如图，某伞厂生产的太阳伞的伞篷是由太阳光的七种颜色组成，七种颜色分别涂在伞篷的八个区域内，且恰有一种颜色涂在相对区域内，则不同颜色图案的此类太阳伞最多有（    ）. A．40320种 B．5040种 C．20160种 D．2520种 5．5个女孩与6个男孩围成一圈，任意2个女孩中间至少站1个男孩，则不同排法有______种（填数字）． 1．（2025·辽宁·三模）9本不同的书平均分成三摞，如图所示，现将这9本书全部取走，且每次只能从其中一摞的上面取一本，则不同的取法有（   ）种． A． B． C． D． 2．（2026·湖南邵阳·二模）清明将至，为倡导文明祭祀，筑牢防火安全防线，4名青年志愿者到3个社区参加“绿色清明”公益宣讲活动，要求每名志愿者只能选择一个社区，每个社区至少要有一名志愿者，则不同的分配方案共有（   ） A．24种 B．36种 C．64种 D．72种 3．（2026·湖南衡阳·模拟预测）在某道选词填空题中，有3个空格，4个备选单词。每个空格只能填入一个备选单词，且每个空格都有一个唯一的正确答案（这3个正确答案是4个备选单词中的3个，剩余1个备选单词是多余的）。若随机选择3个备选单词分别填入3个空格，则3个空格全部选错的概率是（     ） A． B． C． D． 4．（2026·浙江·模拟预测）《水浒传》、《三国演义》、《西游记》和《红楼梦》被称为中国古代四大名著.书架的某一层上有4本不同的文学书，现将四大名著各一本插入这4本书的5个空隙中，要求原有书的顺序不变且四大名著中至少有3本相邻，则不同的插法共有（    ） A．120种 B．240种 C．480种 D．600种 5．（2026·甘肃兰州·一模）为全面提升学生的核心素养与综合实践能力，某校举办“模拟联合国大会”活动，设置了A，B，C，D共4个不同的国家立场，由4名同学通过随机抽签确定每人代表一个国家立场参与活动.已知这4名同学每人都有且仅有一个心仪的国家立场，且4人心仪的国家立场互不相同，则仅有1名同学抽到自己心仪国家立场的抽取方法数是（    ） A．4 B．8 C．12 D．24 6．（2026·湖北省直辖县级单位·模拟预测）某学术会议有个相邻座位（编号至），安排来自所不同大学的位教授入座，每校人（甲校、乙校、丙校），要求甲校的必须坐在乙校的的左侧且相邻；丙校的与两人座位不相邻，则符合条件的安排方法共有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 7．某中学为迎接新年到来，筹备“唱响时代强音，放飞青春梦想”为主题的元旦文艺晚会.晚会组委会计划在原定排好的5个学生节目中增加2个教师节目，若保持原来5个节目的出场顺序不变，则增加的2个教师节目有______种不同排法（用数字作答） 8．六个身高不同的人排成二排三列，每一列后面的那个人比他（她）前面的那个人高，则共有________种排法． 9．（25-26高三上·贵州黔南·期末）第十五届全国运动会共有约5万名“小海豚”志愿者奔波于各个比赛场馆，他们在赛场内外用贴心的服务照亮每一场精彩赛事.若要把4名新加入的志愿者全部随机分配到A、B、C三个不同的场馆服务，每个场馆至少能分配到1名志愿者，共有_____种分配方法.设这4名志愿者中被分配到A场馆的人数为，则的数学期望为_____. 10．（2026·福建龙岩·一模）某商场组织抽奖活动，在一个不透明的箱子中装有1个红球、1个白球、1个黑球，共3个形状、大小完全相同的小球.活动规则为：每人有放回地先后两次摸球（每次至少摸1个），摸到红球或白球各计1分，摸到黑球计3分.若两次摸到的小球记录的总得分为5分，则获得一等奖，那么获一等奖的概率为______. 11．（2026·山西运城·一模）如图，某片雪花有6个主枝，每个主枝上有9个侧枝，从该雪花的所有侧枝中随机选取2个，则它们位于同一主枝上的概率为______． 12．（2026·河北·一模）截至2025年10月28日，国际乒联公布的最新世界排名，男单前5名中有2名中国运动员，3名外国运动员，女单前5名均为中国运动员．若从这10人中随机选取4人进行技术分析，则这4人中至少有一名外国运动员，且男运动员不少于女运动员的所有不同情况有__________种． 13．（2026·新疆·模拟预测）截至到2025年8月中旬，2025年暑期档电影总票房突破100亿元.其中战争历史片《南京照相馆》与《东极岛》，国产动画片《浪浪山小妖怪》与《罗小黑战记II》，国产古装片《长安的荔枝》，类型片《戏台》与《捕风追影》七部电影更是在票房与口碑上收获满满.小明将这七部电影的宣传海报（各1份）分别赠予2名男生和5名女生，每人1份，其中电影《戏台》的宣传海报赠予女生甲，2名男生收到的电影海报不属于同一电影题材，则不同的赠予方案总数为______. 1 学科网（北京）股份有限公司 $