5.5.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式（第1课时） 课件-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学课件聚焦“两角差的余弦公式”，通过“cos15°是否等于cos45°-cos30°”的问题导入，联系特殊角三角函数值引发认知冲突，搭建从旧知到新知的学习支架，引导学生探究公式推导。 其亮点在于以单位圆坐标探究为基础培养数学抽象，通过证明、求值、给值求角等多样例题（如例5求β值）强化逻辑推理与数学运算，小结中角的拆分组合（如β=α-(α-β)）体现整体代换思想。学生能提升运算与推理能力，教师可借助系统例题和练习优化教学效果。

第五章 三角函数 5.5.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式 （第1课时） （一）新知导入 1. 创设情境，生成问题 我们知道cos45°＝，cos30°＝.请同学们思考这样一个问题：cos15°＝cos(45°－30°)＝cos45°－cos30°成立吗？答案当然是不成立，因为cos15°的值应该是一个正值，而cos45°－cos30°是一个负值，那么cos15°的值与cos45°和cos30°之间到底存在什么关系呢？ 学习目标 1．了解两角差的余弦公式的推导过程,体会单位圆上点的坐标的表示方法,培养数学抽象的核心素养； 2．会用两角差的余弦公式进行简单的三角函数的求值、化简、计算等，提升数学运算的核心素养； 3．熟悉两角差的余弦公式的灵活运用，了解公式的正用、逆用以及角的变换的常用方法，强化逻辑推理的核心素养。 重点、难点 重点：了解两角差的余弦公式的推导过程． 难点：会用两角差的余弦公式进行简单的三角函数的求值、化简、计算等。 （一）新知导入 2.探索交流，解决问题 如图所示，设单位圆与x轴的正半轴相交于点A(1,0)，以x轴非负半轴为始边作角α，β，α－β，它们的终边分别与单位圆相交于点、 【探究1】、、P点的坐标如何表示？ 【探究2】 （二）两角差的余弦公式 对于任意角α，β都有 此公式给出了任意角α，β的正弦、余弦与其差角α－β的余弦之间的关系，称为差角的余弦公式，简记作 . 注意事项： (1)公式的结构特点 (2)公式中的角α，β (3)公式的灵活应用 =cos+ 左边是差角的余弦 右边同名函数之积的和 角α，β为任意角 也可以是一个“团体” 逆用 角的灵活变化 （三）公式简单应用 题型一：利用公式证明、化简、求值 例1 利用公式差角的余弦公式证明： = = 例2 求下列各式的值 ++ 15° （三）公式简单应用 题型二：公式灵活应用 例4 答案：-1/2 （四）典型例题 题型三：利用两角差的余弦公式求角 例5.　已知cos α＝，cos(α－β)＝，且0<β<α<，求β的值． [解析]　由cos α＝，0<α<，得sin α＝. 由0<β<α<，得0<α－β<. 又∵cos(α－β)＝，∴sin(α－β)＝. 由β＝α－(α－β)，得 cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝×＋×＝. ∵0<β<，∴β＝. 【类题通法】给值求角的三个解题步骤： (1)求所求角的某一种三角函数值． (2)确定所求角的范围． (3)在所求角的范围内，根据三角函数值确定角． （四）典型例题 例6 若cos(α－β)＝，cos 2α＝，且α，β均为锐角，α＜β， 求α＋β的值． 解：因为0＜α＜，0＜β＜，α＜β.所以－＜α－β＜0. 又cos(α－β)＝，所以sin(α－β)＝－. 又因为0＜2α＜π，cos 2α＝，所以sin 2α＝， 所以cos(α＋β)＝cos[2α－(α－β)]＝cos 2αcos(α－β)＋sin 2αsin(α－β)＝×＋×(－)＝－. 又0＜α＋β＜π，故α＋β＝. 小结 （五）操作演练 能力提升 （六）课堂小结 反思：通过这节课，你学到了什么知识？ 作业布置 完成教材——第217页 练习 第1，2，3，4，5题 第228页 习题5.5 第1，2，3题 谢 谢 ~~ $