第5章 5.5 5.5.1 第3课时 两角和与差的正弦、余弦、正切公式(二)-（配套教参Word版）【创新教程·五维课堂】2026-2027学年高中数学必修第一册同步课时作业（人教A版）

**基本信息** 本同步练习以正切公式为核心，通过基础计算、公式变形到综合应用的三层设计，构建“概念理解—运算能力—应用意识”的巩固路径，适配新授课分层教学需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|正切和差公式直接应用|选择题1-4、填空题7-8，如tan105°计算，强化公式记忆与基本运算| |提升层|公式变形与简单综合|选择题5-6、填空题9、解答题10-11，如利用方程根求α+β，培养推理能力| |综合层|跨知识整合与实际应用|解答题12-13，函数化简结合参数范围、正方形动点问题，发展数学建模与创新意识|

1．tan 105°＝(　　) A．2＋　　　　　　　 B．2－ C．－2－ D．－2＋ 答案：C 2.＝(　　) A. B. C．tan 6° D. 答案：A 3．已知2tan θ－tan ＝7，则tan θ＝(　　) A．－2　　 B．－1　　 C．1　　 D．2 答案：D 4．已知tan α，tan β是方程x2＋3x＋4＝0的两根，且－＜α＜，－＜β＜，则α＋β的值为(　　) A. B．－ C.或－ D．－或 答案：B 5．已知tan α＝，则的值是(　　) A．2 B. C．－1 D．－3 解析：B　[因为tan α＝，所以tan＝ ＝＝3， 所以＝＝.故选B.] 6．已知A＋B＝，则tan A＋tan B＋tan Atan B－＝(　　) A．－2 B．2 C．0 D．1－ 解析：C　[∵tan A＋tan B＝tan(A＋B)(1－tan Atan B)＝(1－tan Atan B)，∴tan A＋tan B＋tan Atan B－＝0.] 7．计算tan ＝　________　. 解析：tan＝tan＝ ＝＝2－. 答案：2－ 8．tan 70°＋tan 50°－tan 50°tan 70°＝　________　. 解析：∵tan 70°＋tan 50°＝tan 120°(1－tan 50°·tan 70°)＝－＋tan 50°·tan 70°，∴原式＝－＋tan 50°·tan 70°－tan 50°·tan 70°＝－. 答案：－ 9．已知△ABC中，tan Atan B－tan A－tan B＝，则C的大小为　________　. 解析：依题意有＝－， 即tan(A＋B)＝－. 又∵0＜A＋B＜π，∴A＋B＝，∴C＝π－A－B＝. 答案： 10．求下列各式的值： (1)； (2)； (3)tan 12°＋tan 33°＋tan 12°tan 33°. 解：(1)原式＝tan(75°－15°)＝tan 60°＝. (2)原式＝＝tan(60°－15°)＝tan 45°＝1. (3)∵tan 45°＝tan(12°＋33°)＝＝1， ∴tan 12°＋tan 33°＝1－tan 12°tan 33°. ∴tan 12°＋tan 33°＋tan 12°tan 33° ＝1－tan 12°tan 33°＋tan 12°tan 33°＝1. 11．若锐角α，β满足(1＋tan α)(1＋tan β)＝4，求α＋β. 解：∵(1＋tan α)(1＋tan β) ＝1＋(tan α＋tan β)＋3tan αtan β＝4， ∴tan α＋tan β＝(1－tan αtan β)． ∴tan(α＋β)＝＝. 又∵α，β均为锐角，∴0＜α＋β＜180°. ∴α＋β＝60°. 12．已知f(x)＝. (1)化简函数f(x)； (2)若f(α)＝，求sin αcos α＋2sin2α的值； (3)若f(α－β)＝－2，f(α)＝－3且α∈，β∈，求2α－β的值． 解：(1)f(x)＝ ＝ ＝－＝－. (2)由已知得，f(α)＝－＝， 所以tan α＝－2，所以sin αcos α＋2sin2α ＝＝＝＝. (3)由f(α－β)＝－2，f(α)＝－3， 可知tan(α－β)＝，tan α＝， 所以tan(2α－β)＝tan[(α－β)＋α] ＝＝＝1. 因为α∈，β∈， 所以－π＜α－β＜0，且tan(α－β)＝＞0，可得－π＜α－β＜－，所以2α－β∈(－π，0)，所以2α－β＝－. 13．如图，正方形ABCD的边长为1，P，Q分别为边AB，AD上的动点． (1)设∠BCP＝α，∠DCQ＝β，请用含有α，β的式子表示△APQ的周长t； (2)若点P，Q在运动的过程中，∠PCQ的大小保持不变，试探究△APQ的周长t的变化情况． 解：(1)由题知BP＝tan α，DQ＝tan β，则AP＝1－tan α，AQ＝1－tan β， 所以△APQ的周长t＝AP＋AQ＋PQ＝2－tan α－tan β＋. (2)因为点P，Q在运动的过程中，∠PCQ的大小保持不变， 所以α＋β的大小保持不变，所以tan(α＋β)为定值． 由(1)得t＝1－tan α＋1－tan β＋， 令x＝1－tan α，y＝1－tan β， 则有t＝x＋y＋，化简得2t(x＋y)＝t2＋2xy. 又tan(α＋β)＝ ＝＝ ＝＝， 要使得tan(α＋β)为定值，则有＝， 解得t＝2， 此时tan(α＋β)＝1，α＋β＝，即∠PCQ＝. 所以若点P，Q在运动的过程中，∠PCQ的大小保持不变， 则△APQ的周长t为定值2. 学科网（北京）股份有限公司 $