精品解析：2026年湖南省衡阳市衡东县一中教育集团招生试卷

数学学科质量检测试题 本试卷共3道大题，24道小题，满分120分，时量90分钟． 一、单选题：本题共10小题，每题3分，共30分． 1. 中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，下列四幅作品分别代表“立春”、“立夏”、“芒种”、“大雪”，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．解决本题的关键是根据中心对称图形和轴对称图形的概念判断即可． 【详解】解：A选项：该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故A选项不符合题意； B选项：该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故B选项不符合题意； C选项：该图形既不是轴对称图形，又不是中心对称图形，故C选项不符合题意； D选项：该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故D选项符合题意． 2. 截至2025年2月，DeepSeek的日活跃用户数增长至万，突破万大关．这一数字约为ChatGPT日活跃用户数的，并成功超越了豆包的万．“万”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法的表示方法，即的形式，，为整数，熟练掌握科学记数法的表示方法是解题关键． 先将万变形为，再根据科学记数法表示为的形式即可求解． 【详解】解：万， 万用科学记数法表示为． 故选：A． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次根式的混合运算、整式的混合运算，根据幂的乘方可以判断A；根据同底数幂的除法，可以判断B；根据二次根式的化简和加法可以判断C；根据完全平方公式可以判断D． 【详解】A. ，故该选项不正确，不符合题意； B. ，故该选项不正确，不符合题意； C. ，故该选项不正确，不符合题意； D. ，故该选项正确，符合题意； 故选：D． 4. 有、、、四种量筒和一个足够大容器，若每次至多允许用两个量筒，问最多能盛出（ ）种不同体积的水． A. 11 B. 12 C. 13 D. 14 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意分情况列举所有可能得到的体积，去重后统计不同体积的数量即可求解. 【详解】解：每次至多允许用两个量筒，分三种情况讨论： ①只用一个量筒时，可得体积：、、、，共4种不同体积. ②用两个量筒相加量取时，可得体积：，，，，，，，，，.去掉重复的、，新增8种不同体积. ③用两个量筒相减（大体积减小体积，取正体积）量取时，可得体积：，，，，，；重复的、、、，新增2种不同体积， 汇总后不重复的体积共有种． 5. 若，我们记，那么以下说法错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先明确题意，若，则，据此判断各选项． 【详解】解：A、设，， ∵由定义得，， ∴， ∴由定义得，A正确； B、∵， ∴由定义得，B正确； C、设， ∵由定义得， ∴， ∴由定义得，C正确； D、举反例验证，取，，， 左边， 右边， 设，则，即，所以，，得，计算得， 等式不成立，D错误． 6. 直线满足（ ） A. 随增大而增大 B. 一定不过第一象限 C. 无论取何值，必过定点 D. 与轴交于点 【答案】C 【解析】 【分析】根据一次函数的性质，逐一判断各选项即可． 【详解】解：A、∵的符号不确定，当时，随增大而减小， ∴A错误，该选项不符合题意； B、当时，直线解析式为，经过第一象限， ∴B错误，该选项不符合题意； C、， ∵当，即时，无论取何值，恒成立， ∴直线必过定点， ∴C正确，该选项符合题意； D、令，代入解析式得， ∴直线与轴交于点，只有当即时，才交于点，由于的值不确定，因此直线不一定与轴交于点， ∴D错误，该选项不符合题意． 7. “珠算”一词最早见于东汉徐岳所撰的《数术记遗》．其中有云：“珠算控带四时，经纬三才．”用如图所示的算盘表示数时，约定每档中有两粒算珠（上珠中最上面一粒和下珠中最下面一粒）不使用．如果一个数在算盘上能够用个位、十位和百位这三档中的2粒算珠表示，则这个数能够被5整除的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意列举出所有可能表示的数，再找到能被5整除的数，最后根据概率公式求解即可． 【详解】解：由题意得，所有可能的情况有： 两粒算珠在同一档： 百位：200,600；十位：20,60；个位：2,6； 两粒算珠在不同档： 十位、个位组合：， 百位、个位组合：， 百位、十位组合：， ∴一共可以表示个数，其中能被整除的数（个位为或）有：，共个， ∴这个数能够被5整除的概率是． 8. 如图，中，，D为边上一点，，以A为圆心，为半径作圆弧，与于相切于点E，交于点F．若弧的长度是弧的长度的2倍，则边的长度为（ ） A. 6 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设，，根据弧的长度是弧的长度的2倍，求得，从而得出，则，，再结合30度角所对的直角边等于斜边一半求解即可． 【详解】解：以A为圆心，为半径作圆弧，与相切于点E， ，， 设，， 弧的长度，弧的长度， 弧的长度是弧的长度的2倍， ， ， ， ， ， ， ， 在中，． 9. 如图，一张三角形纸片，其中．某同学将纸片做两次折叠：第一次使点A落在C处，折痕记为m；然后将纸片展平做第二次折叠，使点A落在B处，折痕记为n．则m、n的长度分别是（ ） A. 4， B. 4，3 C. 4， D. 3，5 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了折叠的性质、三角形中位线定理，勾股定理，相似三角形的判定与性质，掌握知识点是解题的关键． 由三角形中位线定理求出；由勾股定理求出，证明，得出对应边成比例求出即可． 【详解】解：如图所示： 由折叠的性质得：是线段的垂直平分线， ∴是的中位线， ∴； ∵， ∴， 由折叠的性质得： ， ∵， ∴， ∴， 即， 解得： ，即， 故答案为：A． 10. 已知二次函数（，a，b，c为常数）的对称轴为直线，其图象如图所示，下列说法中： ①；②当时，函数的最大值为；③关于x的不等式的解为或；④若关于x的函数与关于t的函数有相同的最小值，则正确的有（ ）个 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】由抛物线开口方向，对称轴位置，抛物线与轴交点位置可判断，从而可判断①；由对称轴得出，再根据，得出，由函数的性质可得出当时，函数的最大值为，从而可判断②；把代入不等式中，解不等式可判断③；关于的函数与关于的函数有相同的最小值可得，解不等式可判断④． 【详解】解：由二次函数的图象可知，，， 对称轴， ， ， ，故①说法正确； ，即， ， ， ， ， 当时，随的增大而减小， 当时，有最大值，最大值， 故②说法错误； ， ， ， 关于的不等式变形为， 化简得， ， ， 或．故③说法正确； ， 当时，的最小值为， ， 当时，的最小值为， ，即， ， 即．故④说法正确． 综上①③④说法正确． 二、填空题：本题共6小题，每题4分，共24分． 11. 已知，，则a与b的大小关系为________． 【答案】## 【解析】 【分析】可求出，比较出与的大小，即可得到与的大小关系，进而可得答案． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴． 12. 已知分别为的两根，，则a的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得到①，由得到②，求出，再由两根之积即可求出答案． 【详解】解：∵分别为的两根， ∴①， ∵， ∴②， 由①②解得， ∴ 13. 用长为L米的铁丝围成一个矩形或正方形，则其所围成的最大面积为________平方米． 【答案】## 【解析】 【分析】设围成矩形的一边长，根据周长得到邻边长，列出面积关于边长的二次函数，利用二次函数的性质求最大值即可． 【详解】解：设围成矩形的一边长为米，则该矩形邻边长为米，其中， 因此矩形面积为， 因为二次项系数， 所以当时，S取得最大值， 所以所围成的最大面积为平方米． 14. 将菱形以点为中心，按顺时针方向分别旋转，，后形成如图所示的图形，若，，则图中阴影部分的面积为__． 【答案】 【解析】 【分析】由菱形性质可得AO，BD的长，根据．可求，则可求阴影部分面积． 【详解】连接，交于点，， 四边形是菱形， ，，，，且 ， 将菱形以点为中心按顺时针方向分别旋转，，后形成的图形 ， 故答案为 【点睛】本题考查了：图形旋转的性质、菱形的性质、直角三角形的性质，掌握菱形性质是解题的关键． 15. 有一个六个面分别标上数字1、2、3、4、5、6的正方体，甲、乙、丙三位同学从不同的角度观察的结果如图所示．如果记2的对面的数字为的对面的数字为n，则方程的解x满足为整数，则________． 【答案】0 【解析】 【分析】由图甲、乙、丙可看出看出2的相对面是4；再由图乙、丙可看出3的相对面是6，从而确定m、n的值后即可确定答案． 【详解】解：从图可以看出2和6、1、3、5都相邻，所以2的对面只能是4，即m=4 3和1、2、5、4相邻，那么3的对面是6，即n=6， ∵mx+1=n， ∴4x+1=6， ∴1＜x+1＜2， ∵k＜x＜k+1，k为整数， ∴k=0． 故答案为：0． 【点睛】本题考查灵活运用正方体的相对面解答问题，立意新颖，是一道不错的题． 16. 如图①是半径为1的圆，在其中挖去2个半径为的圆得到图②，挖去22个半径为（）2的圆得到图③……，则第n(n>1)个图形阴影部分的面积是_____________. 【答案】（1-） 【解析】 【分析】分别求出图②与图③中阴影部分的面积，再从中发现规律，然后根据规律即可得出第n（n＞1）个图形阴影部分的面积． 【详解】图②中阴影部分的面积为：π×12-π×（）2×2=π-π=（1-）π=π； 图③中阴影部分的面积为：π×12-π×[（）2]2×22=π-π=（1-）π= π； 图④是半径为1的圆，在其中挖去23个半径为（）3的圆得到的，则图④中阴影部分的面积为：π×12-π×[（）3]2×23=π-π=（1-）π= π； …， 则第n（n＞1）个图形阴影部分的面积为：π×12-π×[（ ）n-1]2×2n-1=π-π=（1-）π． 故答案为（1-）π． 【点睛】本题考查了圆的面积公式，根据题目要求，结合具体的图形找到规律是解题的关键． 三、解答题：本题共8小题，共66分． 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了特殊角度锐角三角函数的混合运算，解题的关键是掌握绝对值化简的方法，0次幂和负整数幂的计算方法，以及熟记特殊角度的三角函数值． 先将绝对值，0次幂，负整数幂，以及三角函数化简，再进行计算即可． 【详解】解： ． 18. 解方程组： 【答案】 【解析】 【分析】根据题意可得，则可得到，进而推出，根据非负数的性质可求出a、c的值，进而求出b的值即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴原方程组的解为． 19. 如图，在四边形中，，，对角线、交于点O，平分，过点C作交的延长线于点E． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵， ． 平分， ， ∴， ． ， ， ∵， 四边形是平行四边形， ， 平行四边形是菱形． （2） 【解析】 【分析】本题考查的是平行四边形的判定与性质，菱形的判定，含角的直角三角形的性质，勾股定理等知识点，熟记判定方法是解本题的关键； （1）先证明，可得，再证明四边形是平行四边形，即可得到结论； （2）先证明，可得．证明，可得，可得，再进一步可得答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：四边形是菱形，且， ． ，， ， ． ， ， ∴， ， ， ． ． 20. 为了了解学生关注热点新闻的情况，“两会”期间，小明对班级同学一周内收看“两会”新闻的次数情况作了调查，调查结果统计如图所示（其中男生收看次的人数没有标出）. 根据上述信息，解答下列各题： （1）该班级女生人数是__________，女生收看“两会”新闻次数的中位数是________； （2）对于某个群体，我们把一周内收看某热点新闻次数不低于次的人数占其所在群体总人数的百分比叫做该群体对某热点新闻的“关注指数”.如果该班级男生对“两会”新闻的“关注指数”比女生低，试求该班级男生人数； （3）为进一步分析该班级男、女生收看“两会”新闻次数的特点，小明给出了男生的部分统计量（如表）. 统计量 平均数（次） 中位数（次） 众数（次） 方差 … 该班级男生 … 根据你所学过的统计知识，适当计算女生的有关统计量，进而比较该班级男、女生收看“两会”新闻次数的波动大小. 【答案】（1）20，3；（2）25人；（3）男生比女生的波动幅度大． 【解析】 【分析】（1）将柱状图中的女生人数相加即可求得总人数，中位数为第10与11名同学的次数的平均数． （2）先求出该班女生对“两会”新闻的“关注指数”，即可得出该班男生对“两会”新闻的“关注指数”，再列方程解答即可． （3）比较该班级男、女生收看“两会”新闻次数的波动大小，需要求出女生的方差． 【详解】（1）该班级女生人数是2+5+6+5+2=20，女生收看“两会”新闻次数的中位数是3． 故答案为20，3． （2）由题意：该班女生对“两会”新闻的“关注指数”为=65%，所以，男生对“两会”新闻的“关注指数”为60%．设该班的男生有x人，则=60%，解得：x=25． 答：该班级男生有25人． （3）该班级女生收看“两会”新闻次数的平均数为=3，女生收看“两会”新闻次数的方差为：=． ∵2＞，∴男生比女生的波动幅度大． 【点睛】本题考查了平均数，中位数，方差的意义．解题的关键是明确平均数表示一组数据的平均程度，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数）；方差是用来衡量一组数据波动大小的量． 21. 解答下列问题： （1）运用几何方法推导平方差公式和立方差公式； （2）根据平方差公式和立方差公式求． 【答案】（1） 证明：如图1所示，在一个边长为a的正方形中剪去一个边长为b的正方形，把剩余的部分裁剪成一个长为，宽为的长方形， ∵图1中，中间那一幅图的面积等于最右边那幅图的面积， ∴； 如图2所示，在棱长为a的正方体中剪去一个棱长为b的正方体，则剩余部分可分为三个长方体， ∵最左边那幅图的体积等于其他三幅图的体积之和， ∴， ∴； （2）128 【解析】 【分析】（1）在一个边长为a的正方形中剪去一个边长为b的正方形，把剩余的部分裁剪成一个长为，宽为的长方形，根据中间那一幅图的面积等于最右边那幅图的面积可推导平方差公式；在棱长为a的正方体中剪去一个棱长为b的正方体，则剩余部分可分为三个长方体，根据最左边那幅图的体积等于其他三幅图的体积之和可推导立方差公式； （2）根据立方差公式先把原式变形，再根据进一步变形，进而计算求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解： ． 22. [概念学习]圆的切线与过切点的弦的夹角，称为弦切角．如图，直线切于点，是弦，则，都是弦切角，把弧称为弦切角所夹的弧． （1）[性质探索]弦切角与它所夹的弧对的圆周角有何数量关系？如图，直线切于点，是弦，点为优弧上一点，猜想并证明与的数量关系： （2）[性质应用]如图，过外一点作的两条切线，切点分别为点，，作直线交于点，，过点作，交的延长线于点，交于点．求证：点为线段的中点． 【答案】（1） ， 证明：如图，连接并延长，交于点，连接， ∵与切于点， ∴，即， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2） 证明：如图，连接，，， ∵是过圆外一点作的圆的两条切线， 由（）结论可知，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∵，， ∴，， ∴，， ∵是过圆外一点作的圆的两条切线， ∴， ∴，即， 结合式可得即， ∴， ∴点为线段的中点． 【解析】 【分析】（）连接并延长，交于点，连接，得到，再通过同弧所对的圆周角相等即可得证； （）连接，，，由（）结论可知，，又，所以，从而可得，所以，则，即，证明，所以，即，又，，则有，，根据切线长定理得，则，即，由式即可求证． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 23. 在平面直角坐标系中，顶点为C的抛物线与x轴交于A，B两点，点A在点B的左侧． （1）若点B的坐标为，求b的值． （2）规定：横、纵坐标均为整数的点叫做整点．已知抛物线的对称轴为y轴． ①求抛物线与x轴所围成封闭图形G内部（不包括边界）整点的个数； ②若反比例函数的图象与抛物线在第四象限内围成的封闭图形W内部及边界上的整点的个数总和为2，求实数m的取值范围． （3）若点C在第三象限，且点C到x轴的距离为，直线与抛物线在x轴下方的部分有两个交点，试求出t的取值范围． 【答案】（1） （2）①7② （3） 【解析】 【分析】（1）将点B代入抛物线方程即可求解； （2）①根据对称轴可得抛物线方程，根据列举法即可求出所有的整数点； ②结合抛物线和双曲线的图象特征即可确定两个整数点为，，即可求解； （3）根据C到x轴的距离为可得抛物线方程为，根据直线与抛物线的相切只有一个公共点时可得，进而结合图形特征即可求解． 【小问1详解】 解：顶点为C的抛物线与x轴交于A，B两点，点B的坐标为，把点B的坐标代入得：， 解得：； 【小问2详解】 解：∵抛物线的对称轴为y轴， ∴， ∴． 抛物线与x轴交于A，B两点，点A在点B的左侧， 当时，得， 解得或， ∴点，点， ①∵当时，， ∴点，在区域G的内部； 当时，得：， ∴点，，在区域G的内部； 当时，得：， ∴点，在区域G的内部； ∴在区域G的内部（不包括边界）的整点的个数为； ②抛物线过点，，， ∴抛物线在第四象限内的部分是之间的图象． ∴抛物线在第四象限内的整数点坐标为，抛物线在第四象限内内部的整数点坐标为，， 依题意得：， 解得：； 【小问3详解】 解：t的取值范围为．理由如下： ∵点C在第三象限，且点C到x轴的距离为，抛物线， ∴其顶点C的纵坐标为， 解得：，（不合题意，舍去）， ∴， 当时，得：， 解得：，， ∴，． 当直线经过点B时，将点B的坐标代入得：， 解得：； 当直线与抛物线在x轴下方的部分只有一个交点时，方程有两个相等的实数根， ∴方程整理得 ∴， 解得：， ∴． 24. 在矩形中，，，点E、F、M、N分别是上的动点． （1）若，．求证：回字形“”（阴影部分）的面积不变，并求出其值． （2）若，，，求证：“8”字型周长为定值． 【答案】（1） 作，设， ∴， ∵在矩形中，，， ∴，，， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴，， ∴， ∴ ； ∴回字形“”（阴影部分）的面积，为定值； （2） 作，设， 由（1）可知：，，， ∴，， ∵，， ∴， 在中，， 在中，， ∴，， ∴， ∴ ， ∵为定值，为定角， ∴和均为定值， ∴为定值． 【解析】 【分析】（1）作，设，得到，解直角三角形，求出的长，利用分割法求出四边形的面积，即可得出结论； （2）作，设，解直角三角形，利用周长公式进行求解即可得出结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学学科质量检测试题 本试卷共3道大题，24道小题，满分120分，时量90分钟． 一、单选题：本题共10小题，每题3分，共30分． 1. 中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，下列四幅作品分别代表“立春”、“立夏”、“芒种”、“大雪”，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 截至2025年2月，DeepSeek的日活跃用户数增长至万，突破万大关．这一数字约为ChatGPT日活跃用户数的，并成功超越了豆包的万．“万”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 有、、、四种量筒和一个足够大容器，若每次至多允许用两个量筒，问最多能盛出（ ）种不同体积的水． A. 11 B. 12 C. 13 D. 14 5. 若，我们记，那么以下说法错误的是（ ） A. B. C. D. 6. 直线满足（ ） A. 随增大而增大 B. 一定不过第一象限 C. 无论取何值，必过定点 D. 与轴交于点 7. “珠算”一词最早见于东汉徐岳所撰的《数术记遗》．其中有云：“珠算控带四时，经纬三才．”用如图所示的算盘表示数时，约定每档中有两粒算珠（上珠中最上面一粒和下珠中最下面一粒）不使用．如果一个数在算盘上能够用个位、十位和百位这三档中的2粒算珠表示，则这个数能够被5整除的概率是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，中，，D为边上一点，，以A为圆心，为半径作圆弧，与于相切于点E，交于点F．若弧的长度是弧的长度的2倍，则边的长度为（ ） A. 6 B. C. D. 9. 如图，一张三角形纸片，其中．某同学将纸片做两次折叠：第一次使点A落在C处，折痕记为m；然后将纸片展平做第二次折叠，使点A落在B处，折痕记为n．则m、n的长度分别是（ ） A. 4， B. 4，3 C. 4， D. 3，5 10. 已知二次函数（，a，b，c为常数）的对称轴为直线，其图象如图所示，下列说法中： ①；②当时，函数的最大值为；③关于x的不等式的解为或；④若关于x的函数与关于t的函数有相同的最小值，则正确的有（ ）个 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题：本题共6小题，每题4分，共24分． 11. 已知，，则a与b的大小关系为________． 12. 已知分别为的两根，，则a的值为________． 13. 用长为L米的铁丝围成一个矩形或正方形，则其所围成的最大面积为________平方米． 14. 将菱形以点为中心，按顺时针方向分别旋转，，后形成如图所示的图形，若，，则图中阴影部分的面积为__． 15. 有一个六个面分别标上数字1、2、3、4、5、6的正方体，甲、乙、丙三位同学从不同的角度观察的结果如图所示．如果记2的对面的数字为的对面的数字为n，则方程的解x满足为整数，则________． 16. 如图①是半径为1的圆，在其中挖去2个半径为的圆得到图②，挖去22个半径为（）2的圆得到图③……，则第n(n>1)个图形阴影部分的面积是_____________. 三、解答题：本题共8小题，共66分． 17. 计算：． 18. 解方程组： 19. 如图，在四边形中，，，对角线、交于点O，平分，过点C作交的延长线于点E． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求的长． 20. 为了了解学生关注热点新闻的情况，“两会”期间，小明对班级同学一周内收看“两会”新闻的次数情况作了调查，调查结果统计如图所示（其中男生收看次的人数没有标出）. 根据上述信息，解答下列各题： （1）该班级女生人数是__________，女生收看“两会”新闻次数的中位数是________； （2）对于某个群体，我们把一周内收看某热点新闻次数不低于次的人数占其所在群体总人数的百分比叫做该群体对某热点新闻的“关注指数”.如果该班级男生对“两会”新闻的“关注指数”比女生低，试求该班级男生人数； （3）为进一步分析该班级男、女生收看“两会”新闻次数的特点，小明给出了男生的部分统计量（如表）. 统计量 平均数（次） 中位数（次） 众数（次） 方差 … 该班级男生 … 根据你所学过的统计知识，适当计算女生的有关统计量，进而比较该班级男、女生收看“两会”新闻次数的波动大小. 21. 解答下列问题： （1）运用几何方法推导平方差公式和立方差公式； （2）根据平方差公式和立方差公式求． 22. [概念学习]圆的切线与过切点的弦的夹角，称为弦切角．如图，直线切于点，是弦，则，都是弦切角，把弧称为弦切角所夹的弧． （1）[性质探索]弦切角与它所夹的弧对的圆周角有何数量关系？如图，直线切于点，是弦，点为优弧上一点，猜想并证明与的数量关系： （2）[性质应用]如图，过外一点作的两条切线，切点分别为点，，作直线交于点，，过点作，交的延长线于点，交于点．求证：点为线段的中点． 23. 在平面直角坐标系中，顶点为C的抛物线与x轴交于A，B两点，点A在点B的左侧． （1）若点B的坐标为，求b的值． （2）规定：横、纵坐标均为整数的点叫做整点．已知抛物线的对称轴为y轴． ①求抛物线与x轴所围成封闭图形G内部（不包括边界）整点的个数； ②若反比例函数的图象与抛物线在第四象限内围成的封闭图形W内部及边界上的整点的个数总和为2，求实数m的取值范围． （3）若点C在第三象限，且点C到x轴的距离为，直线与抛物线在x轴下方的部分有两个交点，试求出t的取值范围． 24. 在矩形中，，，点E、F、M、N分别是上的动点． （1）若，．求证：回字形“”（阴影部分）的面积不变，并求出其值． （2）若，，，求证：“8”字型周长为定值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $