精品解析：陕西省西安高新区第四完全中学2025—2026学年下学期九年级 模拟数学试题（3月）

2025—2026学年下学期九年级3月模拟数学试题 一．选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题目要求的） 1. ﹣6的相反数是（　　） A. ﹣6 B. ﹣ C. 6 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据相反数的意义，即可解答． 【详解】解：的相反数是6， 故选：C． 【点睛】本题考查了相反数，熟练掌握相反数的意义是解题的关键． 2. 山西汾酒是中国清香型白酒的典型代表，工艺精湛，源远流长，素以入口绵、落口甜、饮后余香、回味悠长等特色而著称．如图，这是常用装汾酒的酒坛，关于它的三视图，下列说法正确的是（    ） A. 主视图与左视图相同 B. 主视图与俯视图相同 C. 左视图与俯视图相同 D. 三种视图都相同 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的知识点是简单几何体的三视图，解题关键是正确把握观察的角度． 根据三视图的定义求解即可． 【详解】解：这个几何体的主视图与左视图相同，俯视图与主视图和左视图不相同． 故选：． 3. 科学家在海底发现了世界上最小的生物，它们的最小身长只有米．将这个数用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：， 故选：B． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查合并同类项，同底数幂的除法，同底数幂的乘法，积的乘方，掌握合并同类项，同底数幂的除法，同底数幂的乘法，积的乘方的运算法则是解题的关键．逐一进行计算即可得出答案． 【详解】解 ：A、， 故此选项错误，不符合题意； B、， 故此选项错误，不符合题意； C、， 故此选项错误，不符合题意； D、， 故此选项正确，符合题意． 故选：D． 5. 如图，在中， 是的中点，， 与交于点， 且． 下列说法错误的是（ ） A. 的垂直平分线一定与相交于点 B. C. 当为中点时，是等边三角形 D. 当为中点时， 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线，线段垂直平分线的判定和性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，理解相关性质定理是解决问题的关键．连接，由，是的中点， 根据直角三角形斜边上的中线性质可得， 证得， 从而得到点在线段的垂直平分线上，即可判断A选项； 设， 根据， 得到， 从而得到， 根据， 得到， 从而得到， 即可判断B选项； 当为中点时，则， 结合， 得到是线段的垂直平分线， 从而得到， 根据，，， 证得， 即可判断C选项；当为中点时，是等边三角形， 易证， ，得到，从而证得，即可判断D选项． 【详解】解：如图所示， 连接， ，是的中点， 为斜边上的中线， ， ， ， 点在线段的垂直平分线上， 即的垂直平分线一定与相交于点，故选项A正确，不符合题意； 设， ， ， ， ， ， ， 即，故选项B正确，不符合题意； 当为中点时，则， ， 是线段的垂直平分线， ， ，，， ， ， 是等边三角形，故选项C正确，不符合题意； 当为中点时，等边三角形， ，平分， ， ， ， 又点为的中点， ， ， ， ，， ， ，即， 故选项D不正确，符合题意．  故选：D ． 6. 已知直线与x轴、y轴分别交于点A，B，将直线m绕点B顺时针旋转得到新的直线m，则直线n与x轴的交点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一次函数图象与几何变换．设直线交轴于，，，可得出，根据将直线绕点逆时针旋转得到新的直线，即可得，故，可得． 【详解】解：设直线交轴于，如图： 在中，令得，令得， ，； ，， ， 将直线绕点逆时针旋转得到新的直线， ， ， ， ， ， ， ， ， 直线与轴的交点坐标为； 故选：B． 7. 如图，在中，，垂足分别为．线段交于点，若，，则的面积为（ ） A. 15 B. 14 C. 13 D. 12 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法（即和）和全等三角形的性质（对应边相等、对应角相等）是解题的关键． 根据同角的余角相等可得，然后由条件可证明，根据全等三角形的性质可得，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， 则的面积． 故选：A． 8. 已知二次函数的图象与x轴只有一个公共点，且当和时函数值都为m，则m、n的关系式为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查抛物线与x轴的交点问题，利用抛物线的对称性解题是关键．根据题意可得抛物线的对称轴为直线，且，即，然后根据当和时函数值都为m，，从而可得，然后根据当时函数值为m，即可求出结论． 【详解】解：∵抛物线与x轴只有一个交点， ∴抛物线的对称轴为直线，且，即． 又∵当和时函数值都为m， ∴ 解得：， 当时函数值为m，得， 即， ∵， ∴， 故选：D． 二．填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 9. 比较实数的大小：______． 【答案】> 【解析】 【分析】本题考查实数大小比较，熟练掌握相关的知识点是解题的关键． 先判断的取值范围，再判断的取值范围，最后再进行比较即可． 【详解】 故答案为：． 10. 先数一数下面每个图中各有多少个白色小正方形和黑色小正方形． 照这样接着画，第个图有_________个黑色小正方形． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了图形变化的规律及列代数式，根据所给图形，依次求出图形中黑色的小正方形的个数，发现规律即可解决问题，能根据所给图形发现黑色的小正方形个数依次增加2是解题的关键． 【详解】解：第一个图案中黑色小正方形有（个）； 第二个图案中有黑色小正方形（个）； 第三个图案中有黑色小正方形（个）； ； 第个图案中有黑色小正方形个； 故答案为：． 11. 三角形的角平分线长可用斯库顿定理计算，其内容为：如图（1），在中，为的平分线，则．如图（2），四边形是的内接四边形，对角线，相交于点．若，，，，，则的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是根据阅读部分的提示灵活运用新的知识点，相似三角形的判定与性质，圆周角定理的应用，先求解，再证明，利用相似三角形的性质可得，从而可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴平分， ∴由斯库顿定理可得：， ∵，，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为： 12. 如图，一次函数与反比例函数的图象交于点．则关于x的不等式的解集是______． 【答案】或##或 【解析】 【分析】此题主要考查了反比例函数与一次函数的交点，根据，则反比例函数图象位于一次函数图象下方，进而结合图象得出答案． 【详解】解：如图所示：一次函数与反比例函数的图象交于点． ∴关于x的不等式的解集是或； 故答案：或． 13. 如图，在矩形中，，M，N分别是边，上的点，连接，，过点D作的垂线交的延长线于点E，若平分矩形的面积，且，则的长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】如图，过点M作于点H．先根据矩形的性质和勾股定理求出，，再证明，然后利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】如图，过点M作于点H． ∵， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵平分矩形的面积， ∴，， ∵，， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 三．解答题：本题共12小题，共78分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 14. 计算：； 【答案】2025 【解析】 【分析】先求绝对值、零次幂、负整数指数幂，算术平方根，再计算加减即可． 【详解】解： 15. 解不等式组：． 【答案】 【解析】 【分析】分别求出一元一次不等式组中每个不等式的解集，它们的公共部分，即为一元一次不等式组的解集． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 不等式组的解集为：． 16. 解分式方程：． 【答案】原方程无解 【解析】 【分析】方程两边都乘以，把分式方程转化为整式方程，求出整式方程的解，最后进行检验即可． 【详解】解：， 两边都乘以，得， 解得， 检验：当时，， ∴是原方程的增根， ∴原方程无解． 17. 小明同学在折纸时发现：可以用一张纸折出一个等边三角形．他的折纸方式如下： （1）对折纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平； （2）再一次沿折叠纸片，使点B落在上的点N处； （3）连接，则为等边三角形． 小明将折法与小云分享，小云发现小明的方法也可以通过尺规作图的方式来呈现． 请你完成下面小云的作图（保留作图痕迹）及证明过程并在括号中填写推理依据． 如图，已知长方形 ①尺规作图：作的垂直平分线； ②以点为圆心，长为半径画弧，交直线于点； ③连接、，则为等边三角形． 证明：直线垂直平分 ____________（ ） ____________ 为等边三角形． 【答案】图见解析；，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等， 【解析】 【分析】本题考查的是线段垂直平分线的作图、线段垂直平分线的性质及等边三角形的判定，先按要求完成作图，再根据线段垂直平分线的性质进行证明即可． 【详解】解：如下图即为所求作； 证明：直线垂直平分， （线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等）， ， ， 为等边三角形． 18. 如图， 在和中， 延长交于 F． 求证：． 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，先分别证明，，再证明，即可证明． 【详解】证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴． 19. 目前国内有137座国家历史文化名城，其中甘肃有四座，分别是张掖、武威、敦煌和天水．甘肃四座国家历史文化名城中，有三座位于河西走廊，均属于汉武帝时设立的河西四郡成员．李老师为了让学生深入地了解甘肃文化，将正面印有“张掖七彩丹霞”“武威文庙”“敦煌莫高窟”“天水麦积山石窟”的4张卡片背面朝上放在桌面上（这4张卡片除正面外，其他完全相同），邀请小红上讲台随机抽取1张卡片，并向大家介绍卡片上相对应的文化内容（四张卡片分别记为A，B，C，D．） （1）求小红从中随机抽取到的卡片上印有“敦煌莫高窟”的概率； （2）若小红第一个上讲台，从4张卡片中随机抽取1张（放回重新排列），小兰第二个上讲台，也从4张卡片中随机抽取1张，请用画树状图或列表的方法，求小红、小兰两人至少有一人选中“张掖七彩丹霞”的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查的是用列表法或树状图法求概率，列表法可以重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比． （1）直接利用概率公式求解即可； （2）列表得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：由题意得：随机抽取1张卡片，上面印有“敦煌莫高窟”的概率为， 【小问2详解】 解：将“张掖七彩丹霞”“武威文庙”“敦煌莫高窟”“天水麦积山石窟”分别记作，列表如下： A B C D A B C D 由表格知，共有16种可能结果，每种结果出现的可能性相同，其中两人中至少有一人选中“张掖七彩丹霞”的结果有7种， 所以P（两人中至少有一人选中“张掖七彩丹霞”）． 20. “泾渭分明”的奇特景观，主要是因为泾河和渭河的含沙量不同，两者交汇后形成了互不相融的壮丽景观．某中学数学兴趣组的同学想要测量这一景观某一段河流的宽度．如图，测量的河流两侧河岸平行，小志在河的对岸选定一个目标作为点A，再在另一侧的河岸边选出点C和点D，分别在，的延长线上取点E，F，连接，使得．经测量，，，且点F到河岸的距离为．过点A作于点B（即为这一段河流的宽度），请你根据提供的数据计算这段河流的宽度． 【答案】这段河流的宽度为 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质综合，相似三角形实际应用，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 先证明，再根据相似三角形的性质列出比例求得，从而可得．再证明，根据相似三角形的性质列出比例求得． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴这段河流的宽度为． 21. 王华用的练习本可在甲、乙两个商店买到，已知两个商店的标价都是每本1元，但甲商店的优惠条件是：购买10本以上，从第11本开始按标价的七折卖；乙商店的优惠条件是：从第1本开始就按标价的八五折卖．设小明买本练习本，甲商店的费用为，乙商店的费用为． （1）分别求出，与x之间的关系式； （2）王华买了24本练习本，选择哪家商店更优惠？请说明理由． 【答案】（1），； （2）买24个练习本到甲商店购买更优惠． 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的应用． （1）根据总价=单价×数量就可以表示出y与x之间的关系式； （2）根据（1）的解析式分别求出两个商店的费用即可． 【小问1详解】 解：由题意，得： ， ； 【小问2详解】 解：买24本练习本， 甲商店的费用为(元)， 乙商店的费用为(元)． ， 所以买24个练习本到甲商店购买更优惠． 22. 为提升学生的文化认同感，弘扬中华民族优秀传统文化，某校举办了以“赏中华诗词，寻文化基因，品文学之美”为主题的古诗词知识竞赛，现从八、九年级的参赛学生中各随机抽取10名学生的竞赛成绩进行整理、描述和分析（分数用x表示，总分为100分，共分成四组：A.；B.；C.；D.），下面给出部分信息： 八年级10名学生的竞赛成绩为：69，72，72，79，85，88，91，91，91，97． 九年级10名学生的竞赛成绩在C组中的数据是：83，88，88，88，89． 八、九年级所抽学生的竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 八年级 83.5 86.5 a 九年级 83.5 b 88 九年级所抽学生的竞赛成绩扇形统计图 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：_____，_____； （2）根据以上数据分析，你认为该校八、九年级中哪个年级学生的古诗词竞赛成绩更好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）若该校八年级的参赛学生有300人，九年级的参赛学生有240人，请估计该校八、九年级参赛学生的竞赛成绩达到“优秀”（）的共有多少人？ 【答案】（1）； （2）八年级，理由见解析 （3）324人 【解析】 【分析】本题考查了扇形统计图和统计表，中位数、众数的求解，用样本估计总体等知识点，正确理解题意，读懂统计图是解题的关键． （1）根据中位数、众数的概念分析即可； （2）根据中位数做决策即可； （3）用样本估计总体的方法求解即可． 【小问1详解】 解：在八年级10名学生的竞赛成绩中91出现的次数最多，故众数； 九年级A、B两组的人数均为：（人）， 把九年级10名学生的竞赛成绩从小到大排列，排在中间的两个数分别是83，88， 故中位数， 故答案为：91，85.5； 【小问2详解】 解：八年级学生的古诗词竞赛成绩更好， 理由：因为两个年级学生的古诗词竞赛成绩的平均数相同，但八年级学生的古诗词竞赛成绩的中位数比九年级的高， 所以八年级学生的古诗词竞赛成绩更好（答案不唯一）； 【小问3详解】 解：（人）， 答：估计该校八、九年级参赛学生的竞赛成绩达到“优秀”（）的共有324人． 23. 如图，已知的弦，过作的切线交CE的延长线于点、且． （1）求证：四边形平行四边形； （2）若，，求的半径． 【答案】（1）证明过程见解析； （2）的半径是． 【解析】 【分析】（1）由等边对等角结合圆内接四边形的性质，可得，由平行线的判定和性质，等量代换，可得，从而可证得结论； （2）连接延长分别交和于点、，连、，过作于点，由平行线的性质和圆的切线的性质可得，由等腰三角形的性质和圆的性质可得，结合已知可得线段之间的数量关系，用勾股定理解直角三角形，即可得的半径． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∵四边形内接于， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形． 【小问2详解】 解：连接延长分别交和于点、，连、，过作于点， ∵， ∴， ∵与相切于点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， 设，，则， 在中，， ∴， 解得，（负解舍掉）， ∴， ∴的半径是． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质，圆内接四边形的性质，平行线的判定和性质，切线的性质，锐角三角函数，圆周角定理的推论，勾股定理，解题的关键是熟练掌握相关的判定定理和性质定理． 24. 自古以来，放风筝便是春天不可或缺的乐趣之一．如图是某同学设计的一只风筝的平面示意图，其外轮廓为三角形，中间有一个抛物线形的装饰图案，抛物线的顶点为P，抛物线与三角形的一边相交于O、A两点（点O与点A关于抛物线的对称轴对称），以所在直线为轴，过点且垂直于的直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系，已知，点到的距离为． （1）求抛物线的函数表达式； （2）已知点H的坐标为，该同学准备在抛物线上取两点、（点与点关于抛物线的对称轴对称），与抛物线对称轴的交点为，点在点的上方，沿和缝制两条装饰线条，请你计算与长度之和的最大值． 【答案】（1）抛物线的函数表达式为 （2） 【解析】 【分析】（）根据题意得抛物线的顶点，设抛物线的函数表达式为，利用待定系数法解答即可求解； （）设，则，可得，，进而得到，再根据二次函数的性质即可求解； 【小问1详解】 解：根据题意得，抛物线的顶点， 设抛物线的函数表达式为， 将点代入，得， 解得， ∴抛物线的函数表达式为， 即； 【小问2详解】 解：设，则， ∴， ∵点的坐标为， ∴， ∴， ∵， ∴当时，取得最大值，最大值为， ∴与长度之和的最大值为． 25. 四边形内接于，对角线，F为延长线上一点，连接，． （1）如图1，求证：； （2）如图2，连接并延长至点E，连接，若平分，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，，，，延长交于点T，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）由等腰三角形的性质及已知得；再由圆内接四边形的性质得，从而得结论成立； （2）证明，得，再结合即可求证； （3）过点C作于点H，于点G，证明，，则，；证明，则；设，则，从而可表示出，由面积可求得x的值，从而求得的值；过点A作，交延长线于点Q，可证明，得；设，则得；由勾股定理求得a的值，即可求解． 【小问1详解】 证明：∵， ∴； ∵， ∴； ∵四边形是圆内接四边形， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 证明：如图，设； ∵， ∴， ∴； ∵， ∴； ∵， ∴， ∵，， ∴； ∵平分， ∴； ∵， ∴， ∴； ∵， ∴； 【小问3详解】 解：过点C作于点H，于点G，如图； ∵， ∴，； ∵， ∴； ∵， ∴； ∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴； ∵， ∴； 设，则， ∴； ∵，， ∴， 解得：（舍去）， ∴， 由勾股定理得：； 过点A作，交延长线于点Q， ∴； ∵平分， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， 即， ∴； 设，则； 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：（舍去）， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年下学期九年级3月模拟数学试题 一．选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题目要求的） 1. ﹣6的相反数是（　　） A. ﹣6 B. ﹣ C. 6 D. 2. 山西汾酒是中国清香型白酒的典型代表，工艺精湛，源远流长，素以入口绵、落口甜、饮后余香、回味悠长等特色而著称．如图，这是常用装汾酒的酒坛，关于它的三视图，下列说法正确的是（    ） A. 主视图与左视图相同 B. 主视图与俯视图相同 C. 左视图与俯视图相同 D. 三种视图都相同 3. 科学家在海底发现了世界上最小的生物，它们的最小身长只有米．将这个数用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在中， 是的中点，， 与交于点， 且． 下列说法错误的是（ ） A. 的垂直平分线一定与相交于点 B. C. 当为中点时，是等边三角形 D. 当为中点时， 6. 已知直线与x轴、y轴分别交于点A，B，将直线m绕点B顺时针旋转得到新的直线m，则直线n与x轴的交点坐标是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，，垂足分别为．线段交于点，若，，则的面积为（ ） A. 15 B. 14 C. 13 D. 12 8. 已知二次函数的图象与x轴只有一个公共点，且当和时函数值都为m，则m、n的关系式为（ ） A. B. C. D. 二．填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 9. 比较实数的大小：______． 10. 先数一数下面每个图中各有多少个白色小正方形和黑色小正方形． 照这样接着画，第个图有_________个黑色小正方形． 11. 三角形的角平分线长可用斯库顿定理计算，其内容为：如图（1），在中，为的平分线，则．如图（2），四边形是的内接四边形，对角线，相交于点．若，，，，，则的长为________． 12. 如图，一次函数与反比例函数的图象交于点．则关于x的不等式的解集是______． 13. 如图，在矩形中，，M，N分别是边，上的点，连接，，过点D作的垂线交的延长线于点E，若平分矩形的面积，且，则的长为_____． 三．解答题：本题共12小题，共78分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 14. 计算：； 15. 解不等式组：． 16. 解分式方程：． 17. 小明同学在折纸时发现：可以用一张纸折出一个等边三角形．他的折纸方式如下： （1）对折纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平； （2）再一次沿折叠纸片，使点B落在上点N处； （3）连接，则为等边三角形． 小明将折法与小云分享，小云发现小明的方法也可以通过尺规作图的方式来呈现． 请你完成下面小云的作图（保留作图痕迹）及证明过程并在括号中填写推理依据． 如图，已知长方形 ①尺规作图：作的垂直平分线； ②以点为圆心，长为半径画弧，交直线于点； ③连接、，则为等边三角形． 证明：直线垂直平分 ____________（ ） ____________ 为等边三角形． 18. 如图， 和中， 延长交于 F． 求证：． 19. 目前国内有137座国家历史文化名城，其中甘肃有四座，分别是张掖、武威、敦煌和天水．甘肃四座国家历史文化名城中，有三座位于河西走廊，均属于汉武帝时设立的河西四郡成员．李老师为了让学生深入地了解甘肃文化，将正面印有“张掖七彩丹霞”“武威文庙”“敦煌莫高窟”“天水麦积山石窟”的4张卡片背面朝上放在桌面上（这4张卡片除正面外，其他完全相同），邀请小红上讲台随机抽取1张卡片，并向大家介绍卡片上相对应的文化内容（四张卡片分别记为A，B，C，D．） （1）求小红从中随机抽取到的卡片上印有“敦煌莫高窟”的概率； （2）若小红第一个上讲台，从4张卡片中随机抽取1张（放回重新排列），小兰第二个上讲台，也从4张卡片中随机抽取1张，请用画树状图或列表的方法，求小红、小兰两人至少有一人选中“张掖七彩丹霞”的概率． 20. “泾渭分明”的奇特景观，主要是因为泾河和渭河的含沙量不同，两者交汇后形成了互不相融的壮丽景观．某中学数学兴趣组的同学想要测量这一景观某一段河流的宽度．如图，测量的河流两侧河岸平行，小志在河的对岸选定一个目标作为点A，再在另一侧的河岸边选出点C和点D，分别在，的延长线上取点E，F，连接，使得．经测量，，，且点F到河岸的距离为．过点A作于点B（即为这一段河流的宽度），请你根据提供的数据计算这段河流的宽度． 21. 王华用的练习本可在甲、乙两个商店买到，已知两个商店的标价都是每本1元，但甲商店的优惠条件是：购买10本以上，从第11本开始按标价的七折卖；乙商店的优惠条件是：从第1本开始就按标价的八五折卖．设小明买本练习本，甲商店的费用为，乙商店的费用为． （1）分别求出，与x之间关系式； （2）王华买了24本练习本，选择哪家商店更优惠？请说明理由． 22. 为提升学生的文化认同感，弘扬中华民族优秀传统文化，某校举办了以“赏中华诗词，寻文化基因，品文学之美”为主题的古诗词知识竞赛，现从八、九年级的参赛学生中各随机抽取10名学生的竞赛成绩进行整理、描述和分析（分数用x表示，总分为100分，共分成四组：A.；B.；C.；D.），下面给出部分信息： 八年级10名学生的竞赛成绩为：69，72，72，79，85，88，91，91，91，97． 九年级10名学生的竞赛成绩在C组中的数据是：83，88，88，88，89． 八、九年级所抽学生的竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 八年级 83.5 865 a 九年级 83.5 b 88 九年级所抽学生的竞赛成绩扇形统计图 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：_____，_____； （2）根据以上数据分析，你认为该校八、九年级中哪个年级学生的古诗词竞赛成绩更好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）若该校八年级的参赛学生有300人，九年级的参赛学生有240人，请估计该校八、九年级参赛学生的竞赛成绩达到“优秀”（）的共有多少人？ 23. 如图，已知弦，过作的切线交CE的延长线于点、且． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，，求的半径． 24. 自古以来，放风筝便是春天不可或缺的乐趣之一．如图是某同学设计的一只风筝的平面示意图，其外轮廓为三角形，中间有一个抛物线形的装饰图案，抛物线的顶点为P，抛物线与三角形的一边相交于O、A两点（点O与点A关于抛物线的对称轴对称），以所在直线为轴，过点且垂直于的直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系，已知，点到的距离为． （1）求抛物线的函数表达式； （2）已知点H的坐标为，该同学准备在抛物线上取两点、（点与点关于抛物线的对称轴对称），与抛物线对称轴的交点为，点在点的上方，沿和缝制两条装饰线条，请你计算与长度之和的最大值． 25. 四边形内接于，对角线，F为延长线上一点，连接，． （1）如图1，求证：； （2）如图2，连接并延长至点E，连接，若平分，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，，，，延长交于点T，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $