精品解析：陕西西安市灞桥区西安滨河学校2025-2026学年九年级下学期三月学情调查数学试题

2025-2026学年九年级下学期三月学情调查数学试题 一．选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 下列各选项中，是无理数的是（ ） A. B. 0 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了无理数以及算术平方根，熟知无限不循环小数是无理数是解题的关键． 根据无理数的定义解答即可． 【详解】解：A、不是无理数，故本选项不符合题意； B、不是无理数，故本选项不符合题意； C、是无理数，故本选项符合题意； D、不是无理数，故本选项不符合题意； 故选：C． 2. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 【详解】解：A、图形不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意； B、图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意； C、图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； D、图形不是轴对称图形，但是中心对称图形，不符合题意． 3. 如图1是一个由齿轮、轴承、托架等元件构成的手动变速箱托架，其主要作用是动力传输．如图2是手动变速箱托架工作时某一时刻的示意图，已知，，，，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，熟知平行线的性质是解题的关键．延长交直线于点，根据平行线的性质求出，从而求出，再由求出，从而求出的度数． 【详解】解：延长交直线于点， ，， ， ， ， ， ， ， ， 故选：C． 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查指数运算规则，包括同底数幂相乘、合并同类项、幂的乘方和积的乘方，需逐一验证各选项． 【详解】解：A、，原运算错误； B、，原运算正确； C、，原运算错误； D、，原运算错误； 故选：B． 5. 关于一次函数的图象，下列说法正确的是（ ） A. 经过点 B. 在第二、四象限 C. 关于轴成轴对称 D. 随的增大而增大 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了一次函数的性质，关键是掌握一次函数的性质．根据一次函数的性质：，随的增大而增大，函数从左到右上升；，随的增大而减小，函数从左到右下降进行分析即可． 【详解】解：A、当时，．所以图象不过，故错误； B、因为，所以一次函数的图象在第一、三象限，故错误； C、关于原点成中心对称，故错误； D、因为，所以随的增大而增大，故正确． 故选：D． 6. 如图，在中，是斜边上的中线，，，于点E，则的长是（ ） A. 3 B. 5 C. 6 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，等腰三角形三线合一的性质，勾股定理等知识，由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半得出，根据等腰三角形三线合一的性质可得出，最后根据勾股定理即可得出答案． 【详解】解：∵中，是斜边上的中线， ∴， ∵， ∴， 在中， ， 故选：C． 7. 如图，在菱形中，，E是边上一动点（不与A、B重合），且，点F在边上．下列结论：①；②；③是等边三角形；④的周长与点E的位置无关．其中正确的结论有（ ） A. ①②③④ B. ①③④ C. ①②③ D. ①②④ 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质，首先连接，易证得，然后可证得，即可得是等边三角形，然后可证得，进一步得到的周长，由于点的位置不同，也发生变化，可得的周长与点E的位置有关，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：连接，如图： ∵四边形是菱形， ， ∵， ∴， 同理：， ∴， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵在和中， ∴， ∴，故①符合题意； 又∵， ∴是等边三角形，故③符合题意； ∴， ∴， ，故②符合题意； ∵， ∴的周长， ∵是等边三角形， ∴， ∵点不同位置时，的长发生变化，即的长也发生变化， ∴的周长也发生变化， ∴的周长与点E的位置有关，故④不符合题意， 综上所述，符合题意的是①②③， 故选：C． 8. 已知二次函数图象的顶点坐标为，且图象经过点，将二次函数的图象向右平移个单位，图象经过点，在平移后的图象上，当时，函数的最小值为，则n的值是（ ） A. 或 B. 或 C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象与性质、二次函数的平移及最值问题．首先确定平移后的函数解析式，再根据二次函数的性质得到最小值的位置，进而求解n的值即可． 【详解】解：原二次函数顶点为，设解析式为， 代入点得，即， 向右平移个单位后，解析式为， 代入点得方程， 解得， ∴平移后函数为，对称轴为直线，顶点坐标为， 解方程，得或， ∵当时，函数的最小值为， ∴必须包含或，且不跨越对称轴（否则最小值在顶点处为）， ∴或， 解得或， 故选：A． 二．填空题（共5小题，每小题3分，计15分） 9. 因式分解：_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查因式分解，先提公因式后，再运用平方差公式进行分解即可． 【详解】解：． 故答案为： 10. 五角星是常见的美丽图案，我国国旗上就有五个五角星，五角星图案中包含着许多数学知识，标准的五角星每个顶角都是．如图是活动课上同学们按如下步骤，沿虚线通过剪纸剪出的一个五角星，要得到一个标准的五角星，应为______度． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了折叠问题，三角形内角和定理．根据折叠可得有10层，进而得出，进而根据内角和定理解题． 【详解】解：展开如图： ，， ， ． 故答案为：． 11. 七巧板起源于我国先秦时期，古算书《周髀算经》中有关于正方形的分割术，经过历代演变而成七巧板．小深先用一副七巧板拼成了图1，图1的轮廓是一个边长为a的正方形，其中，小等腰直角三角板M的面积为，小深拿掉七巧板中的一块，又将剩下的六块拼成一个新的图形，其轮廓和M板的位置如图2所示，则图2的面积为______． 【答案】7 【解析】 【分析】本题考查七巧板，熟练掌握七巧板中各部分面积之间的关系，是解题的关键． 根据七巧板中，各部分的面积关系，利用割补法求出面积即可． 【详解】由图形可知：图1是由大正方形中，这七部分组成的，图2是由这六部分组成的， ∴图2的面积等于图1的面积减去正方形A的面积， ∵，小等腰直角三角板M的面积为， 即：图2的面积； 故答案为：7． 12. 我们规定：横、纵坐标都是整数的点叫做整点．在平面直角坐标系中，双曲线与直线交于第一象限内的点，点在射线上，分别过点作轴、轴的垂线，交双曲线于点，将线段和函数的图像在之间的部分围成的区域（不含边界）记为区域．如果区域内恰有8个整点，那么点的横坐标的取值范围是_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，正确画出函数图象是解题关键．由图可知点P不可能在点A下方，故点P在点A上方，结合函数图象列出不等式组求解即可． 【详解】解：依题意，如图所示： 则区域W内恰有8个整点，由图可知点P只能位于A的上方如图： 如图，当P的纵坐标为7时，横坐标为，即， 结合图象可知，当时，区域内有8个整数点． 结合图象可知，当P的纵坐标大于7时，则横坐标大于， 则区域W内的整点数大于，故不符合题意，舍去； 结合图象可知，当P的纵坐标小于或等于6时，则横坐标小于或等于2， 则区域W内的整点数小于，故不符合题意，舍去； 故答案为：． 13. 如图，AB是的弦，D为半径OA的中点，过D作交弦AB于点E，且．若，，那么的半径为_______________ 【答案】 【解析】 【分析】连接OB、OC，作CH⊥BE于H点，根据条件证明△ADE∽△CHE，得到，设AE=m，DE=n，n(5-n)=m2，然后再推出∠OBC=∠ADE=90°，根据勾股定理建立等式，两式联立求解，从而求出AD长，即可解决问题． 【详解】解：如图，连接OB、OC，作CH⊥BE于H点， ∵BC=EC，CH⊥BE， ∴BH=HE， ∵∠ADE=∠CHE=90°，∠AED=∠HEC， ∴△ADE∽△CHE， ∴ ， 设AE=m，DE=n， ∴n(5-n)=m2， 在Rt△OBC中， ∵OB2+BC2=OC2， ∴OD2=AD2= m2-n2， ∵OA=OB， ∴∠OAB=∠OBA， ∵CB=CE， 又∴∠BEC=∠CBE=∠AED， ∴， ∴∠OBC=∠ADE=90°， ∴ ∵ ， ，, ∴， 将m2=n(5-n)代入整理得： ， 解得n=1或0（舍去）， ∴m=2， ∴ ， ∴ ， 即的半径为 ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，以及圆的基本知识，解题的关键是利用构建方程的方法解决几何问题． 三．解答题（共13小题，共计81分，解答题应写出过程） 14. 计算：． 【答案】5 【解析】 【分析】主要考查了二次根式的运算．无理数的运算法则与有理数的运算法则是一样的．在进行二次根式的运算时要先化简再计算可使计算简便． 先根据二次根式的性质把每个二次根式化为最简二次根式，再计算除法，最后合并同类二次根式即可解答． 【详解】解： ． 15. 解不等式组：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，熟知同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到的原则是解答此题的关键．分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可． 【详解】解： 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴原不等式组的解集为． 16. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值问题，注意计算的准确性是解题的关键． 先通分，再运用乘法公式，根据分式的性质进行化简，再代入计算即可． 【详解】原式 ， 将代入得． 17. 如图，在边长为1的小正方形方格纸中，有一个以格点为顶点的，利用无刻度直尺作图． （1）画，使它与关于直线l对称； （2）在直线l上作点P，使的值最小； （3）在直线l上找一点Q，使点Q到、两边的距离相等． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】本题考查了画轴对称图形，熟练掌握轴对称图形的画法和等腰三角形的判定和性质是解题关键． （1）先分别画出点A，B，C关于直线的对称点，再顺次连接即可得； （2）连接，与直线l的交点即为点P，再证明为直角三角形，即可得的度数； （3）根据等腰三角形三角形合一即可得到点Q． 【小问1详解】 解：如图，即为所求； ； 【小问2详解】 解：如图，点P即为所求． ； 【小问3详解】 解：如图，点Q即为所求． ． 18. 如图，，点E，F在上，，且．判断与的数量关系和位置关系，并证明． 【答案】，，证明见解析 【解析】 【分析】利用线段的和差、平行线的性质、角的和差证明可得，再根据内错角相等、两直线平行即可解答． 【详解】解：，， 证明：∵点E，F在上，且， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 19. 某公司销售A、B两种设备，第一季度共卖出2000台，第二季度卖出A种设备的数量比第一季度多，卖出B种设备的数量比第一季度多，两种设备的总销售量增加了110台，第一季度两种设备各卖了多少台？ 【答案】第一季度种设备卖了1000台，种设备卖了1000台 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，先设第一季度种设备卖了台，种设备卖了台，再根据题意列方程求解即可作答． 【详解】解：设第一季度种设备卖了台，种设备卖了台， 依题意可列方程：， 解得：， ∴（台） 即第一季度种设备卖了1000台，种设备卖了1000台． 20. 广州的白云山、越秀山、莲花山和大夫山被誉为广州四大名山，不仅风景秀美而且有丰厚的历史底蕴，是广州市民喜欢游玩之地．小明、小丽两家人决定周末去游玩，并用抽卡片的方式从白云山、越秀山、莲花山和大夫山（分别记为、、、）选出一个景点．他们准备了张不透明的卡片，正面分别写上、、和．卡片除正面字母不同外其余均相同． （1）小明随机抽取一张卡片，则抽取到卡片的概率是_______； （2）小明随机抽取一张卡片后，放回洗匀，小丽再随机抽取一张卡片，请用列或画树状图的方法求他们都抽取到同一地点的概率． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． （1）直接根据概率公式求解即可； （2）画树状图展示所有16种等可能的结果数，找出小明与小亮抽到同一卡片的结果数，然后根据概率公式计算． 【小问1详解】 解：小明抽到A卡片的概率是； 【小问2详解】 解：画树状图为： 共有16种等可能的结果数，其中小明与小丽抽到同一卡片的结果数为4， 所以小明与小丽抽到同一地点的概率． 21. 如图，在综合实践课上，李玲要测量一棵与地面垂直的大树的高度，她从大树底部点B处水平前进到达斜坡的底部点C处，然后沿斜坡前行到达最佳测量点D处，在点D处测得树顶A的仰角为，于点E，已知斜坡的坡角为，且点A，B，C，D，E在同一平面内，求大树的高度．（参考数据：，，） 【答案】 【解析】 【分析】由题意可知：，过点作，垂足为，连接，解直角三角形求出，证明四边形是矩形，得，解直角三角形求出，再根据即可求解． 【详解】解：由题意可知：， 如图：过点作，垂足为，连接， ∵斜坡的坡角为， ， ， ， ∴四边形是矩形， ， ， ， ， ∴大树的高度为． 22. 为丰富学校图书资源，鼓励学生多读书、读好书、好读书，学校决定购买若干甲、乙两种品牌的平板电脑组建新的电子阅览室．经了解，甲、乙两种品牌的平板电脑单价分别为3000元和2500元，学校计划购买甲、乙两种品牌的平板电脑共60台． （1）若恰好支出170000元，求甲、乙两种品牌的平板电脑各购买了多少台？ （2）若购买乙种品牌数量不超过甲种品牌数量的2倍，问甲、乙两种品牌的平板电脑各购买多少台时花费最少？最少花费是多少元？ 【答案】（1）甲种品牌的电脑购买了40台，乙种品牌的电脑购买了20台 （2）甲种品牌的电脑购买20台，乙种品牌的电脑购买40台最省钱，最少费用为160000元 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的实际应用，二元一次方程组的应用，方案设计题型的运用，解答时找到等量关系建立方程是解答本题的关键． （1）设甲种品牌的电脑购买了台，乙种品牌的电脑购买了台．依据甲、乙两种品牌的平板电脑共60台，恰好支出170000元，列式解答即可； （2）设甲种品牌的电脑购买了台，乙种品牌的电脑购买了台，依据乙种品牌数量不超过甲种品牌数量的2倍，得到；设费用为，则，依据的取值范围解答即可． 【小问1详解】 解：设甲种品牌的电脑购买了台，乙种品牌的电脑购买了台． 则， 解得， 答：甲种品牌的电脑购买了40台，乙种品牌的电脑购买了20台； 【小问2详解】 解：设甲种品牌的电脑购买了台，乙种品牌的电脑购买了台， 由题，， 解得； 设费用为，则， ， 随的增大而增大， 当时，最少，此时， 甲种品牌的电脑购买20台，乙种品牌的电脑购买40台最省钱，最少费用为160000元． 23. 某农业科技部门为了解甲、乙两种新品西瓜的品质（大小、甜度等），进行了抽样调查．在相同条件下，随机抽取了两种西瓜各7份样品，对西瓜的品质进行评分（百分制），并对数据进行收集、整理，下面给出两种西瓜得分的统计图表． 甲、乙两种西瓜得分表 序号 1 2 3 4 5 6 7 甲种西瓜（分 75 85 86 88 90 96 96 乙种西瓜（分 80 83 87 90 90 92 94 甲、乙两种西瓜得分统计表 平均数 中位数 众数 甲种西瓜 a b 96 乙种西瓜 88 90 c （1）a=_______，b=_______，c=_______； （2）从离散程度看， 种西瓜的得分较稳定（填“甲”或“乙”）； （3）小明认为甲种西瓜的品质较好些，小军认为乙种西瓜的品质较好些．请结合统计图表中的信息分别写出他们的理由． 【答案】（1）88，88，90 （2）乙 （3）甲种西瓜的品质较好些，理由为：甲种西瓜得分的众数比乙种的高；乙种西瓜的品质较好些，理由为：乙种西瓜得分的中位数比甲种的高 【解析】 【分析】（1）根据平均数、中位数、众数的意义求解即可； （2）根据数据大小波动情况，可得答案； （3）从中位数、众数的比较得出答案． 【小问1详解】 解：， 将甲种西瓜的得分从小到大排列得75、85、86、88、90、96、96，处在中间位置的一个数是88， 因此中位数是88，即b=88， 乙种西瓜的得分出现次数最多的是90分， 所以众数是90，即c=90， 故答案为：88，88，90； 【小问2详解】 解：由图可得s甲2＞s乙2， ∴乙种西瓜的得分较稳定， 故答案为：乙； 【小问3详解】 解：甲种西瓜的品质较好些， 理由：甲种西瓜得分的众数比乙种的高． 乙种西瓜的品质较好些， 理由：乙种西瓜得分的中位数比甲种的高． 【点睛】本题考查频数分布表，平均数、中位数、众数、方差，理解平均数、中位数、众数、方差的意义和计算方法是正确解答的关键． 24. 如图，是的直径，点D为上一点，连接并延长至点C，使，过点D作的垂线，交于点E，点F为劣弧上一点，连接并延长交的延长线于点P，连接与交于点G． （1）求证：是的切线； （2）若的半径为1，设，，试求y关于x的函数解析式． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理，圆周角定理，切线的判定，相似三角形的判定与性质等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）是的直径，得到，，再进一步得到，根据切线的判定定理即可得出结论； (2)连接证明，得到，进一步证明，得到，，设，则，由，求出，即可解答． 【小问1详解】 证明：如图所示 ∵是的直径， ∴， ∴， ∵由题意得：， ∴， ∴， ∵，是的直径， ∴是的切线． 【小问2详解】 解：如图，连接 ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，且为的直径， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴． 25. 现要修建一条隧道，其截面为抛物线型，如图所示，线段表示水平的路面，以为坐标原点，以所在的直线为轴，以过点作垂直于轴的直线为轴，建立平面直角坐标系．根据设计要求，该抛物线的顶点到的距离为9m． （1）求满足设计要求的抛物线的函数解析式； （2）现需在这一隧道内壁的同样高度的A、B处安装上照明灯，如图所示，若要求A、B两个照明灯之间的水平距离为8m，求出此时A、B两个照明灯距离地面的高度． 【答案】（1） （2）5m 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，待定系数法求解析式，根据题意求得函数解析式是解题的关键． （1）设抛物线的函数表达式为，将代入，即可求解． （2）求出点A的横坐标，即可求解． 【小问1详解】 解：∵，该抛物线的顶点到的距离为9m． ∴抛物线的顶点， 可设抛物线的解析式为， 把代入，得， 抛物线的解析式为． 【小问2详解】 解：、B距离地面的高度相同， 、两点关于抛物线的对称轴对称． 如图，过点作轴的垂线，交轴于点，交抛物线的对称轴于点，则经过点A． 由（1）知，抛物线的对称轴为，则． ， 则， ，， 点的横坐标为2，B点的横坐标为10， 令，代入抛物线的解析式， 得， 此时A、B两个照明灯距离地面的高度为5m． 26. 【综合与实践】 （1）如图①，在矩形中，，，点E，F分别在边，上，连接，相交于点P，．若，则 ； 【类比探究】 （2）小明同学在学习时遇到这样一个问题： 如图②，在平行四边形中，，，点E，F分别在边，上，连接，相交于点P，．求证：． 小明发现，以A为圆心，长为半径画弧，交于点Q，连接．通过等腰三角形和平行四边形的性质可证明．再利用相似三角形的性质即可得到问题的答案．下面是小明的部分证明过程： 证明：如图③，以A为圆心，长为半径画弧，交于点Q，连接． ∵， ∴． ∵四边形是平行四边形， ∴． ∵，， ∴． ∵， ∴． 请你补全余下的证明过程． 【拓展迁移】 （3）如图④，在四边形中，，，，，点E在边上，F为的中点，连接，相交于点P．若，则的长为 ． 【答案】（1） （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意，证明，得，代入求值即可； （2）根据题意证明，得即可求解； （3）过点C作于点G，作于点H，过点F作交的延长线于点M，延长，交的延长线于点Q，证明四边形为矩形，求出．证明，得出，，求出，证明，求出，，证，求出．过点A作，交的延长线于点N，则四边形为矩形，则，，再根据勾股定理即可求解． 【小问1详解】 解：∵， ∴． 在矩形中，，， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 【小问2详解】 证明：以A为圆心，长为半径画弧，交于点Q，连接，如图， 则， ∴． ∵四边形是平行四边形， ∴，． ∵，， ∴． ∵， ∴． ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴． ∴， ∴． ∵， ∴； 【小问3详解】 解：过点C作于点G，作于点H，过点F作交的延长线于点M，延长，交的延长线于点Q，如图， ∵，， ∴，， ∵，，， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴， ∴． ∵F为的中点， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 过点A作，交的延长线于点N，则四边形为矩形， ∴，， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年九年级下学期三月学情调查数学试题 一．选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 下列各选项中，是无理数的是（ ） A. B. 0 C. D. 2. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 3. 如图1是一个由齿轮、轴承、托架等元件构成的手动变速箱托架，其主要作用是动力传输．如图2是手动变速箱托架工作时某一时刻的示意图，已知，，，，则的度数为（　　） A. B. C. D. 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 关于一次函数的图象，下列说法正确的是（ ） A. 经过点 B. 在第二、四象限 C. 关于轴成轴对称 D. 随的增大而增大 6. 如图，在中，是斜边上的中线，，，于点E，则的长是（ ） A. 3 B. 5 C. 6 D. 7. 如图，在菱形中，，E是边上一动点（不与A、B重合），且，点F在边上．下列结论：①；②；③是等边三角形；④的周长与点E的位置无关．其中正确的结论有（ ） A. ①②③④ B. ①③④ C. ①②③ D. ①②④ 8. 已知二次函数图象的顶点坐标为，且图象经过点，将二次函数的图象向右平移个单位，图象经过点，在平移后的图象上，当时，函数的最小值为，则n的值是（ ） A. 或 B. 或 C. 1 D. 二．填空题（共5小题，每小题3分，计15分） 9. 因式分解：_____． 10. 五角星是常见的美丽图案，我国国旗上就有五个五角星，五角星图案中包含着许多数学知识，标准的五角星每个顶角都是．如图是活动课上同学们按如下步骤，沿虚线通过剪纸剪出的一个五角星，要得到一个标准的五角星，应为______度． 11. 七巧板起源于我国先秦时期，古算书《周髀算经》中有关于正方形的分割术，经过历代演变而成七巧板．小深先用一副七巧板拼成了图1，图1的轮廓是一个边长为a的正方形，其中，小等腰直角三角板M的面积为，小深拿掉七巧板中的一块，又将剩下的六块拼成一个新的图形，其轮廓和M板的位置如图2所示，则图2的面积为______． 12. 我们规定：横、纵坐标都是整数的点叫做整点．在平面直角坐标系中，双曲线与直线交于第一象限内的点，点在射线上，分别过点作轴、轴的垂线，交双曲线于点，将线段和函数的图像在之间的部分围成的区域（不含边界）记为区域．如果区域内恰有8个整点，那么点的横坐标的取值范围是_________． 13. 如图，AB是的弦，D为半径OA的中点，过D作交弦AB于点E，且．若，，那么的半径为_______________ 三．解答题（共13小题，共计81分，解答题应写出过程） 14. 计算：． 15. 解不等式组：． 16. 先化简，再求值：，其中． 17. 如图，在边长为1的小正方形方格纸中，有一个以格点为顶点的，利用无刻度直尺作图． （1）画，使它与关于直线l对称； （2）在直线l上作点P，使的值最小； （3）在直线l上找一点Q，使点Q到、两边的距离相等． 18. 如图，，点E，F在上，，且．判断与的数量关系和位置关系，并证明． 19. 某公司销售A、B两种设备，第一季度共卖出2000台，第二季度卖出A种设备的数量比第一季度多，卖出B种设备的数量比第一季度多，两种设备的总销售量增加了110台，第一季度两种设备各卖了多少台？ 20. 广州的白云山、越秀山、莲花山和大夫山被誉为广州四大名山，不仅风景秀美而且有丰厚的历史底蕴，是广州市民喜欢游玩之地．小明、小丽两家人决定周末去游玩，并用抽卡片的方式从白云山、越秀山、莲花山和大夫山（分别记为、、、）选出一个景点．他们准备了张不透明的卡片，正面分别写上、、和．卡片除正面字母不同外其余均相同． （1）小明随机抽取一张卡片，则抽取到卡片的概率是_______； （2）小明随机抽取一张卡片后，放回洗匀，小丽再随机抽取一张卡片，请用列或画树状图的方法求他们都抽取到同一地点的概率． 21. 如图，在综合实践课上，李玲要测量一棵与地面垂直的大树的高度，她从大树底部点B处水平前进到达斜坡的底部点C处，然后沿斜坡前行到达最佳测量点D处，在点D处测得树顶A的仰角为，于点E，已知斜坡的坡角为，且点A，B，C，D，E在同一平面内，求大树的高度．（参考数据：，，） 22. 为丰富学校图书资源，鼓励学生多读书、读好书、好读书，学校决定购买若干甲、乙两种品牌的平板电脑组建新的电子阅览室．经了解，甲、乙两种品牌的平板电脑单价分别为3000元和2500元，学校计划购买甲、乙两种品牌的平板电脑共60台． （1）若恰好支出170000元，求甲、乙两种品牌的平板电脑各购买了多少台？ （2）若购买乙种品牌数量不超过甲种品牌数量的2倍，问甲、乙两种品牌的平板电脑各购买多少台时花费最少？最少花费是多少元？ 23. 某农业科技部门为了解甲、乙两种新品西瓜的品质（大小、甜度等），进行了抽样调查．在相同条件下，随机抽取了两种西瓜各7份样品，对西瓜的品质进行评分（百分制），并对数据进行收集、整理，下面给出两种西瓜得分的统计图表． 甲、乙两种西瓜得分表 序号 1 2 3 4 5 6 7 甲种西瓜（分 75 85 86 88 90 96 96 乙种西瓜（分 80 83 87 90 90 92 94 甲、乙两种西瓜得分统计表 平均数 中位数 众数 甲种西瓜 a b 96 乙种西瓜 88 90 c （1）a=_______，b=_______，c=_______； （2）从离散程度看， 种西瓜的得分较稳定（填“甲”或“乙”）； （3）小明认为甲种西瓜的品质较好些，小军认为乙种西瓜的品质较好些．请结合统计图表中的信息分别写出他们的理由． 24. 如图，是的直径，点D为上一点，连接并延长至点C，使，过点D作的垂线，交于点E，点F为劣弧上一点，连接并延长交的延长线于点P，连接与交于点G． （1）求证：是的切线； （2）若的半径为1，设，，试求y关于x的函数解析式． 25. 现要修建一条隧道，其截面为抛物线型，如图所示，线段表示水平的路面，以为坐标原点，以所在的直线为轴，以过点作垂直于轴的直线为轴，建立平面直角坐标系．根据设计要求，该抛物线的顶点到的距离为9m． （1）求满足设计要求的抛物线的函数解析式； （2）现需在这一隧道内壁的同样高度的A、B处安装上照明灯，如图所示，若要求A、B两个照明灯之间的水平距离为8m，求出此时A、B两个照明灯距离地面的高度． 26. 【综合与实践】 （1）如图①，在矩形中，，，点E，F分别在边，上，连接，相交于点P，．若，则 ； 【类比探究】 （2）小明同学在学习时遇到这样一个问题： 如图②，在平行四边形中，，，点E，F分别在边，上，连接，相交于点P，．求证：． 小明发现，以A为圆心，长为半径画弧，交于点Q，连接．通过等腰三角形和平行四边形的性质可证明．再利用相似三角形的性质即可得到问题的答案．下面是小明的部分证明过程： 证明：如图③，以A为圆心，长为半径画弧，交于点Q，连接． ∵， ∴． ∵四边形是平行四边形， ∴． ∵，， ∴． ∵， ∴． 请你补全余下的证明过程． 【拓展迁移】 （3）如图④，在四边形中，，，，，点E在边上，F为的中点，连接，相交于点P．若，则的长为 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $