6.4 平面向量的应用 讲义-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

6.4 平面向量的应用 目录 题型01 平面几何求值问题 3 题型02 平面几何证明问题 5 题型03 向量在物理中的应用 7 新知廊 知识点1： 向量方法解决平面几何问题 1．建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题． 2．通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题． 3．把运算结果“翻译”成几何关系． 知识点2： 向量方法解决物理问题 1．问题转化，即把物理问题转化为数学问题． 2．建立模型，即建立以向量为载体的数学模型． 3．求解参数，即求向量的模、夹角、数量积等． 4．回答问题，即把所得的数学结论回归到物理问题． 求甚解 1．由线性运算证明几何问题的步骤． (1)选取基底． (2)用基底表示相关向量． (3)利用向量的线性运算或数量积找出相应关系． (4)把几何问题向量化． 2．由坐标运算证明几何问题的步骤． (1)建立适当的平面直角坐标系． (2)把相关向量坐标化． (3)用向量的坐标运算找出相应关系． (4)把几何问题向量化． 3．由向量法求长度的策略． (1)根据图形特点选择基底，利用向量的数量积转化，用公式|a|2＝a2求解． (2)建立坐标系，确定相应向量的坐标，代入公式：若a＝(x，y)，则|a|＝． 4．由向量法解决平面几何问题的思路． (1)几何法：选取适当的基底(基底中的向量尽量已知模或夹角)，将题中涉及的向量用基底表示，利用向量的运算法则、运算律或性质求解． (2)坐标法：建立平面直角坐标系，实现向量的坐标化，将几何问题中的长度、垂直、平行等问题转化为代数运算． 5．向量法解决物理问题的步骤． (1)问题的转化，即把物理问题转化为数学问题． (2)模型的建立，即建立以向量为主体的数学模型． (3)参数的获得，即求出数学模型的有关解——理论参数值． (4)问题的答案，即回到问题的初始状态，解释相关的物理现象． 练题型 题型01 平面几何求值问题 典型例题 典例 01 （2025春•浙江月考）在平面直角坐标系中，点A（1，0）和B（﹣1，0），点C在以坐标原点为圆心，2为半径的圆上运动，则的最大值是（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】设C（2cosα，2sinα），利用坐标法表示出，，再根据向量模的坐标表示及余弦函数的性质计算可得． 【解答】解：在平面直角坐标系中，点A（1，0）和B（﹣1，0），点C在以坐标原点为圆心，2为半径的圆上运动， 设C（2cosα，2sinα），则，， 所以， 所以， 因为﹣1≤cosα≤1，所以当cosα＝﹣1时，取得最大值，且． 故选：C． 即学即练 【变式练1】（2025春•海淀区校级期末）如图所示，已知正方形ABCD的中心为点O，其边长为2．分别以A，B，C，D为圆心，1为半径作圆．若动点P，Q，M，N分别在圆A，圆B，圆C，圆D上，则||的最大值为（　　） A． B．2 C． D．4 【变式练2】（多选）（2025秋•新乡月考）在Rt△ABC中，CA＝CB＝2，E为BC的中点，动点P在以点E为圆心且与AB相切的圆上，点P在该三角形内部（包括边界），则（　　） A．的最小值为 B．的最大值为4 C．若，则m+n的最小值为 D．若，则m+n的最大值为1 【变式练3】（2025秋•江西校级月考）已知扇形AOB半径为1，∠AOB＝60°，弧AB上的动点P满足，则λ+μ的取值范围为　　　　． 题型02 平面几何证明问题 典型例题 典例 02 （2025秋•安丘市校级月考）如图，O，A，B三点不共线，，，设，． （1）试用，表示向量． （2）设线段AB，OE，CD的中点分别为L，M，N，试证明L，M，N三点共线． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）由B，E，C三点共线，可得到一个向量等式，由A，E，D三点共线又可得到另一个等式，两者结合即可解决（1）； （2）欲证三点共线，可先证明两向量共线得到． 【解答】解：（1）∵B，E，C三点共线， ∴x（1﹣x）2x（1﹣x），① 同理，∵A，E，D三点共线，可得y3（1﹣y），② 比较①，②，得解得x，y， ∴． （2）∵，，， ∴，， ∴，∴L，M，N三点共线． 即学即练 【变式练1】（2025春•怒江州校级期末）如图，在平行四边形ABCD中，点E是AB的中点，点F，G分别是AD，BC的三等分点（AFAD，BGBC．设，． （1）用，表示，； （2）如果||||，EF，EG有什么位置关系？用向量方法证明你的结论． 【变式练2】（2025春•昆明校级期中）设A（x1，y1），B（x2，y2）是函数的图象上任意两点，点M（x0，y0）满足，其中O为坐标原点． （1）若，求证：y0为定值； （2）若x2＝2x1，且y0＞2，求x1的取值范围，并比较y1与y2的大小． 【变式练3】（2025秋•惠山区校级月考）对于平面向量（k＝1，2，…），定义“Fθ变换”：，（0＜θ＜π） （1）若向量，，求； （2）求证：； （3）已知，，，，求证：． 题型03 向量在物理中的应用 典型例题 典例 03 （2025春•韩城市期中）如图，作用于同一点O的三个力F1，F2，F3处于平衡状态，已知|F1|＝1，，F1与F2的夹角为，则F3的大小为　　　　． 【答案】1． 【分析】先得到F1+F2＝﹣F3，再利用平面向量的数量积运算求解即可． 【解答】解：∵三个力F1，F2，F3处于平衡状态，∴F1+F2＝﹣F3， ∵|F1|＝1，，F1与F2的夹角为， ∴2F1•F2＝1+2+2（）＝1， ∴F3的大小为1， 故答案为：1． 即学即练 【变式练1】（2025春•道里区校级月考）如图所示，一条河两岸平行，河的宽度为400米，一艘船从河岸的A地出发，向河对岸航行．已知船在静水中的航行速度v1的大小为|v1|＝6km/h，水流速度v2的大小为|v2|＝2km/h，船的速度与水流速度的合速度为v，那么当航程最短时，下列说法正确的是（　　） A．船头方向与水流方向垂直 B． C． D．该船到达对岸所需时间为3分钟 【变式练2】（多选）（2025春•东莞市月考）在日常生活中，我们会看到这样的情境：两个人共提一个行李包，假设行李包所受重力为，作用在行李包上的两个拉力分别为，，且，与的夹角为θ，则下列结论中正确的是（　　） A． B．θ越小越费力，θ越大越省力 C．当时，||＝|| D．θ的范围为[0，π] 【变式练3】（2025春•福州期中）一质点在力的共同作用下，由点A（4，﹣5）移动到点B（2，0），则的合力对该质点所做的功为　　　　． 学科网（北京）股份有限公司 $ 6.4 平面向量的应用 目录 题型01 平面几何求值问题 3 题型02 平面几何证明问题 8 题型03 向量在物理中的应用 12 新知廊 知识点1： 向量方法解决平面几何问题 1．建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题． 2．通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题． 3．把运算结果“翻译”成几何关系． 知识点2： 向量方法解决物理问题 1．问题转化，即把物理问题转化为数学问题． 2．建立模型，即建立以向量为载体的数学模型． 3．求解参数，即求向量的模、夹角、数量积等． 4．回答问题，即把所得的数学结论回归到物理问题． 求甚解 1．由线性运算证明几何问题的步骤． (1)选取基底． (2)用基底表示相关向量． (3)利用向量的线性运算或数量积找出相应关系． (4)把几何问题向量化． 2．由坐标运算证明几何问题的步骤． (1)建立适当的平面直角坐标系． (2)把相关向量坐标化． (3)用向量的坐标运算找出相应关系． (4)把几何问题向量化． 3．由向量法求长度的策略． (1)根据图形特点选择基底，利用向量的数量积转化，用公式|a|2＝a2求解． (2)建立坐标系，确定相应向量的坐标，代入公式：若a＝(x，y)，则|a|＝． 4．由向量法解决平面几何问题的思路． (1)几何法：选取适当的基底(基底中的向量尽量已知模或夹角)，将题中涉及的向量用基底表示，利用向量的运算法则、运算律或性质求解． (2)坐标法：建立平面直角坐标系，实现向量的坐标化，将几何问题中的长度、垂直、平行等问题转化为代数运算． 5．向量法解决物理问题的步骤． (1)问题的转化，即把物理问题转化为数学问题． (2)模型的建立，即建立以向量为主体的数学模型． (3)参数的获得，即求出数学模型的有关解——理论参数值． (4)问题的答案，即回到问题的初始状态，解释相关的物理现象． 练题型 题型01 平面几何求值问题 典型例题 典例 01 （2025春•浙江月考）在平面直角坐标系中，点A（1，0）和B（﹣1，0），点C在以坐标原点为圆心，2为半径的圆上运动，则的最大值是（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】设C（2cosα，2sinα），利用坐标法表示出，，再根据向量模的坐标表示及余弦函数的性质计算可得． 【解答】解：在平面直角坐标系中，点A（1，0）和B（﹣1，0），点C在以坐标原点为圆心，2为半径的圆上运动， 设C（2cosα，2sinα），则，， 所以， 所以， 因为﹣1≤cosα≤1，所以当cosα＝﹣1时，取得最大值，且． 故选：C． 即学即练 【变式练1】（2025春•海淀区校级期末）如图所示，已知正方形ABCD的中心为点O，其边长为2．分别以A，B，C，D为圆心，1为半径作圆．若动点P，Q，M，N分别在圆A，圆B，圆C，圆D上，则||的最大值为（　　） A． B．2 C． D．4 【答案】D 【分析】利用角为圆上动点的参数，然后利用向量的坐标运算来求模，最后可求最大值． 【解答】解：如图，建立平面直角坐标系， 由题意可设：P（1+cosα，1+sinα），Q（﹣1+cosβ，1+sinβ）， M（﹣1+cosγ，﹣1+sinγ），N（1+cosθ，﹣1+sinθ）， 则，， ，， 所以 ＝|（cosα+cosβ+cosγ+cosθ，sinα+sinβ+sinγ+sinθ）|2 ＝（cosα+cosβ+cosγ+cosθ）2+（sinα+sinβ+sinγ+sinθ）2 ＝4+2cos（α﹣β）+2cos（α﹣γ）+2cos（α﹣θ）+2cos（β﹣γ）+2cos（β﹣θ）+2cos（γ﹣θ） ≤4+2×6＝16，当且仅当α＝β＝γ＝θ时取等号， 故． 故选：D． 【变式练2】（多选）（2025秋•新乡月考）在Rt△ABC中，CA＝CB＝2，E为BC的中点，动点P在以点E为圆心且与AB相切的圆上，点P在该三角形内部（包括边界），则（　　） A．的最小值为 B．的最大值为4 C．若，则m+n的最小值为 D．若，则m+n的最大值为1 【答案】ABD 【分析】建立合适的平面直角坐标系，求出各点坐标，用坐标表示可求其最值，再以坐标表示出m+n与θ关系，并求最值． 【解答】解：过E作EF⊥BC，以E为原点，EB，EF分别为x轴，y轴，建立平面直角坐标系如下图所示： 则C（﹣1，0），B（1，0），A（﹣1，2）， 因此直线AB：y＝﹣x+1，点E到直线AB的距离为， 所以动点P的轨迹为， 设，θ∈[0，π]， 则，， 故， 因θ∈[0，π]，所以当时，有最小值， 当θ＝0或π时，有最大值4，故选项A和B正确； ，因为， 所以， 所以m+n＝1，当θ＝0或π时，m+n有最大值1， 当时，m+n有最小值，故选项C错误，选项D正确． 故选：ABD． 【变式练3】（2025秋•江西校级月考）已知扇形AOB半径为1，∠AOB＝60°，弧AB上的动点P满足，则λ+μ的取值范围为　　　　． 【答案】． 【分析】建立平面直角坐标系，根据平面向量线性运算的坐标表示公式，结合辅助角公式、正弦型函数的最值性质进行求解即可． 【解答】解：根据题意建立平面直角坐标系，如下图所示： 所以可得，B（1，0）， 若，则P（cosθ，sinθ）， ，，， 因为， 所以可得， 故可以得到， 解得，， ， 因为，所以， 所以，当时，， 当θ＝0时，， 所以λ+μ的取值范围为， 故答案为：． 题型02 平面几何证明问题 典型例题 典例 02 （2025秋•安丘市校级月考）如图，O，A，B三点不共线，，，设，． （1）试用，表示向量． （2）设线段AB，OE，CD的中点分别为L，M，N，试证明L，M，N三点共线． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）由B，E，C三点共线，可得到一个向量等式，由A，E，D三点共线又可得到另一个等式，两者结合即可解决（1）； （2）欲证三点共线，可先证明两向量共线得到． 【解答】解：（1）∵B，E，C三点共线， ∴x（1﹣x）2x（1﹣x），① 同理，∵A，E，D三点共线，可得y3（1﹣y），② 比较①，②，得解得x，y， ∴． （2）∵，，， ∴，， ∴，∴L，M，N三点共线． 即学即练 【变式练1】（2025春•怒江州校级期末）如图，在平行四边形ABCD中，点E是AB的中点，点F，G分别是AD，BC的三等分点（AFAD，BGBC．设，． （1）用，表示，； （2）如果||||，EF，EG有什么位置关系？用向量方法证明你的结论． 【答案】（1）， （2）EF⊥EG，证明见解析． 【分析】（1）根据平面向量运算法则可得， （2）根据（1）的表示形式计算即可解． 【解答】解：（1）， ， （2）EF⊥EG，证明：由（1）得，，， ∴•（）0， ∴， ∴EF⊥EG． 【变式练2】（2025春•昆明校级期中）设A（x1，y1），B（x2，y2）是函数的图象上任意两点，点M（x0，y0）满足，其中O为坐标原点． （1）若，求证：y0为定值； （2）若x2＝2x1，且y0＞2，求x1的取值范围，并比较y1与y2的大小． 【答案】（1）证明见解析； （2）x1∈，y1＜y2． 【分析】（1）由推导出x1+x2＝1，结合加以计算，可证出y0（定值）． （2）由x2＝2x1、y0＞2且，建立关于x1的不等式组，算出x1的取值范围，然后利用作差法比较，结合对数函数的单调性判断出y1、y2的大小关系，可得答案． 【解答】（1）证明：由（）， 可得M是AB的中点，，即x1+x2＝1， 则 ，所以y0为定值． （2）解：由x2＝2x1，y0＞2， 可得y0（y1+y2）（log2log2）＞2， 化简得， 即log2log23，可得log23， 由0，0且8， 解得x1，所以x1的取值范围是． 作差得， 因为，可得1﹣2x1＞0，1﹣x1＞0，﹣x1＜0， 所以， 可得，故，即y1＜y2． 【变式练3】（2025秋•惠山区校级月考）对于平面向量（k＝1，2，…），定义“Fθ变换”：，（0＜θ＜π） （1）若向量，，求； （2）求证：； （3）已知，，，，求证：． 【答案】（1）； （2）； （3）． 【分析】（1）根据定义，直接代入公式，即可求解； （2）计算得，，，再展开计算，即可证明； （3）根据定义，可得向量，，再结合向量的减法运算，可求得向量，，根据向量的模的公式计算，即可得证． 【解答】解：（1）因为向量，， 所以； （2）证明：因为向量，，所以， ， 所以； （3）证明：因为，，，， 则， ， 故，所以， ， ， 所以． 题型03 向量在物理中的应用 典型例题 典例 03 （2025春•韩城市期中）如图，作用于同一点O的三个力F1，F2，F3处于平衡状态，已知|F1|＝1，，F1与F2的夹角为，则F3的大小为　　　　． 【答案】1． 【分析】先得到F1+F2＝﹣F3，再利用平面向量的数量积运算求解即可． 【解答】解：∵三个力F1，F2，F3处于平衡状态，∴F1+F2＝﹣F3， ∵|F1|＝1，，F1与F2的夹角为， ∴2F1•F2＝1+2+2（）＝1， ∴F3的大小为1， 故答案为：1． 即学即练 【变式练1】（2025春•道里区校级月考）如图所示，一条河两岸平行，河的宽度为400米，一艘船从河岸的A地出发，向河对岸航行．已知船在静水中的航行速度v1的大小为|v1|＝6km/h，水流速度v2的大小为|v2|＝2km/h，船的速度与水流速度的合速度为v，那么当航程最短时，下列说法正确的是（　　） A．船头方向与水流方向垂直 B． C． D．该船到达对岸所需时间为3分钟 【答案】C 【分析】设A′是河对岸一点，且AA′与河岸垂直，当这艘船实际沿AA′方向行驶时船的航程最短，由此求解即可． 【解答】解：设A′是河对岸一点，且AA′与河岸垂直，那么当这艘船实际沿AA′方向行驶时船的航程最短， 由，得||4（km/h），选项C正确； 设船头方向与AA′的夹角为θ，则sinθ，即船头方向与水流方向不垂直，选项A错误； cos，cos（θ）＝﹣sinθ，选项B错误； 该船到达对岸的时间为t60＝34.4（分钟），选项D错误． 故选：C． 【变式练2】（多选）（2025春•东莞市月考）在日常生活中，我们会看到这样的情境：两个人共提一个行李包，假设行李包所受重力为，作用在行李包上的两个拉力分别为，，且，与的夹角为θ，则下列结论中正确的是（　　） A． B．θ越小越费力，θ越大越省力 C．当时，||＝|| D．θ的范围为[0，π] 【答案】AC 【分析】根据向量的平行四边形法则，由可知平行四边形法则为菱形，再逐一可验证求解． 【解答】解：因为，所以平行四边形法则为菱形，故，即，故A正确； 根据向量加法的平行四边形法则θ越小越省力，θ越大越费力，故B错误； 当时，，又AB＝AD，所以ΔABD为等边三角形，即，故C正确； 若θ＝π，则，与矛盾，所以θ≠π，故D错误． 故选：AC． 【变式练3】（2025春•福州期中）一质点在力的共同作用下，由点A（4，﹣5）移动到点B（2，0），则的合力对该质点所做的功为　　　　． 【答案】6． 【分析】根据平面向量数量积的坐标表示即可求解． 【解答】解：（2，2），，∴4+10＝6． 故答案为：6． 学科网（北京）股份有限公司 $