专题02 圆与扇形的面积重难点题型专训（1个知识点+7大题型+3大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年沪教版（五四制）六年级数学下册重难点专题提升讲练

专题02 圆与扇形的面积重难点题型专训 （1个知识点+7大题型+3拓展训练+自我检测） 题型一 圆的面积 题型二 圆环的面积 题型三 扇形的周长和面积 题型四 含圆的组合图形的计算（周长和面积） 题型五 组合图形的面积 题型六 阴影部分的周长和面积 题型七 不规则图形的面积 拓展训练一 面积比问题 拓展训练二 钟面面积问题 拓展训练三 重叠面积问题 知识点一：扇形面积的计算 （1）扇形的定义：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫作扇形。 （2）扇形的面积：为扇形所在圆的半径，为扇形的弧长。 （3）公式推导： ①在半径为的圆中，因为360°的圆心角所对的扇形的面积就是圆面积，所以圆心角是的扇形面积是于是圆心角为的扇形面积是 ②即其中为扇形的弧长，为半径。 点拨：（1）扇形面积公式与三角形的面积公式有些类似，只需把扇形看成一个曲边三角形，把弧长看成底，半径看成高即可。 （2）在求扇形面积时，可根据已知条件来确定是使用公式还是 （3）已知四个量中任意两个，都可以求出另外两个。 （4）公式中的“”与弧长公式中的“”的意义是一样的，表示“”的圆心角的倍数，计算时不带单位。 【即时训练】 1．（25-26七年级上·湖南长沙·开学考试）下面图（   ）的阴影部分是扇形． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了扇形的特征，扇形是由圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的封闭图形，据此解答． 【详解】解：扇形是由圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的封闭图形， A、符合扇形特征，是扇形； B、不符合扇形特征，不是扇形； C、不符合扇形特征，不是扇形； D、不符合扇形特征，不是扇形； 故选：A． 2．（2025七年级上·上海杨浦·专题练习）如图，一段公路的转弯处是一段圆弧，则扇形的面积为________．（结果保留） 【答案】 【分析】本题考查了利用圆的面积求扇形的面积；将代入，即可求解；掌握是解题的关键． 【详解】解：由题意得 ； 故答案：． 【经典例题一 圆的面积】 【例1】（25-26六年级下·上海嘉定·期末）如图，圆心在正方形的一个顶点上，半径是正方形的边长，一个正方形的面积是，圆的面积是（   ）（取3.14） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查圆的面积，得到圆的面积与大正方形面积之比是解题的关键． 正方形内最大的圆的直径等于正方形的边长，据此分别求出大正方形和圆的面积，用圆的面积除以大正方形的面积即可解答问题，发现规律即可． 【详解】解：设大正方形的边长为， 可得大正方形的面积为， 圆的面积为， ∴圆的面积与大正方形的面积之比为， 小正方形的面积是， ∴大正方形的面积是 圆的面积是， 故选：A． 【例2】（25-26六年级下·上海松江·期末）窗户如图所示，其中上方的装饰物由两个四分之一圆和一个半圆组成（它们的半径相同）．窗户中能射进阳光部分的面积是_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了列代数式，求不规则图形的面积，将不规则图形的面积转化为规则图形的面积是解题的关键．先根据半径相同的两个四分之一圆和一个半圆正好构成了一个整圆，得出装饰物的面积正好是一个整圆的面积，再根据能射进阳光部分的面积等于窗户面积减去装饰物面积，即可得出答案． 【详解】解：半径相同的两个四分之一圆和一个半圆正好构成了一个整圆， 装饰物的面积为， 窗户中能射进阳光部分的面积是． 故答案为：． 1．（24-25六年级下·上海松江·期末）中国建筑中经常能见到“外圆内方”和“外方内圆”的设计，如图，在外圆内方图案中，圆与正方形面积比是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查圆的面积公式和正方形与圆的关系．因为正方形的对角线为直径，对角线将正方形分成两个三角形，三角形的底为直径，高为半径，假设圆的半径为，三角形的面积底高，即可算出一个三角形的面积，最后乘2可得到这个正方形的面积，根据圆的面积公式表示出圆的面积，再根据比的意义，即可得解． 【详解】解：设圆的半径为．则正方形的面积为： ； 圆的面积：； 圆与正方形的面积比是： ． 故选：A． 2．（25-26六年级下·上海嘉定·期末）秋分过后就是寒露和霜降，正是吃螃蟹的好时节．小明舅舅承包了一个小鱼塘养螃蟹（如图），水池中间有片芦苇地，这个芦苇地的面积是( )平方米，水池的面积是( )平方米． 【答案】 【分析】本题主要考查组合图形的面积公式，关键是利用规则图形的面积公式计算．用20除以2计算大圆的半径，再减去4，就是芦苇地的半径，再利用圆的面积公式：计算芦苇地的面积及水池的面积即可． 【详解】解：（米）， （米）， （平方米）， （平方米）， 答：这个芦苇地的面积是平方米，水池的面积是平方米． 故答案为：；． 3．（24-25六年级下·上海长宁·期中）如图，4个圆的圆心是正方形的4个顶点，它们的公共点是该正方形的中心．如果每个圆的半径都是1厘米，求阴影部分的周长和面积．（结果保留π） 【答案】阴影部分的周长为厘米，面积为8平方厘米 【分析】利用整体的思想方法和圆的周长公式与面积公式解答即可． 【详解】解：由题意得：阴影部分的周长为4个小圆的周长之和， 每个圆的半径都是1厘米， 阴影部分的周长为（厘米）， 添加如图所示的辅助线， ①的面积是（平方厘米）， 4个白色部分的面积是（平方厘米）， 阴影部分的面积是（平方厘米）， 阴影部分的面积是8平方厘米． 【经典例题二 圆环的面积】 【例1】（24-25七年级上·江苏南京·开学考试）如图所示，一个半径的圆形花坛，周围有一条宽的小路．这条小路的占地面积是（    ）． A． B． C． 【答案】A 【分析】本题主要考查圆环，熟练掌握计算公式是解题的关键．根据圆环面积的计算方法进行计算即可． 【详解】解：小路的占地面积是 【例2】（24-25七年级上·上海杨浦·假期作业）如图中阴影部分的面积是平方厘米，图中大圆的面积比小圆的面积大( )平方厘米． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的面积公式及圆的面积公式．假设大圆的半径为，小圆的半径为，用含有字母的算式表示图中阴影部分的面积，求出的差，进一步求出大圆面积比小圆面积大出的面积． 【详解】解：设大圆的半径为，小圆的半径为， ， 大圆面积比小圆面积大出的面积：（平方厘米）， 故答案为：． 1．（24-25七年级上·天津·开学考试）如图，把一块圆形桌布铺在一张圆桌上，圆形桌布下垂．已知桌布直径与圆桌直径的比为．这个圆形桌布下垂的面积是（  ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查圆环面积的计算，解题关键是根据直径比设未知数，结合下垂长度求出半径． 依据桌布与圆桌直径比，设桌布直径为、圆桌直径为，进而得各自半径和．利用“桌布半径比圆桌半径大，列方程，解得方程．然后算出桌布半径，圆桌半径，根据圆环面积公式，求得面积． 【详解】解：因为，桌布直径与圆桌直径的比为， 所以，设桌布直径为，则圆桌直径为， 由题意得桌布半径比圆桌半径大， 即， 解得：， 所以，桌布半径为，则圆桌半径为， 所以，圆形桌布下垂的面积是 故选：C． 2．（24-25六年级下·上海松江·期末）在研究圆环的面积时，小云借助推导圆面积公式时所使用的方法，把圆环等分成16份，拼成一个近似的平行四边形（如图）．如果圆环的内圆半径是2cm，外圆半径是6cm，则圆环的面积为_____cm2，拼成的近似平行四边形的底边长约为_____cm． 【答案】 100.48 25.12 【分析】根据圆面积公式的推导过程可知，把圆环平均分成16份，沿半径剪开后再拼成一个近似的平行四边形，这个平行四边形的底等于圆环外圆周长的一半加上内圆周长的一半，如果外圆半径用“”表示，内圆半径用“”表示．根据圆的周长公式：，外圆周长的一半是，内圆周长的一半是，则这个平行四边形的底是．据此解答． 【解答】解：在研究圆环面积时，小云借助研究圆面积公式时所用的方法，把圆环分成16份，拼成一个近似的平行四边形， 如果圆环外圆半径用“”表示，内圆半径用“”表示．则这个平行四边形的底是： 高是， 圆环的面积为． 故答案为：100.48，25.12． 【点睛】此题考查的目的是借助圆面积公式的推导过程探索圆环面积的计算及应用． 3．（25-26六年级下·上海嘉定·开学考试）看图列算式并解答． (1) (2)花坛周围建有宽的水泥路，水泥路的面积是多少平方米？（π取3.14，单位：m） 【答案】(1) (2)水泥路的面积是213.3平方米 【分析】（1）根据多列式计算即可； （2）先求出花坛半圆的直径为，进而列式计算水泥路的面积即可． 【详解】（1）解：； （2）解：花坛两侧半圆的直径为 ， ， 答：水泥路的面积是213.3平方米． 【经典例题三 扇形的周长和面积】 【例1】（25-26六年级下·上海长宁·期中）如图，一个三角形的三个顶点分别是半径为3厘米的圆的圆心，则图中阴影部分的面积是（    ）． A．3平方厘米 B．9π平方厘米 C．3π平方厘米 D．4.5π平方厘米 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理、半圆的面积公式等知识点．观察图形，三角形的内角和是，即这三个扇形的圆心角之和是，然后运用半圆的面积公式即可解答． 【详解】解：∵一个三角形的三个顶点分别是半径为3厘米的圆的圆心， ∴三个扇形的圆心角之和是， ∴图中阴影部分的面积是（平方厘米）． 故选：D． 【例2】（24-25六年级下·上海长宁·期中）已知扇形的面积是28平方厘米，若扇形的圆心角缩小到原来的一半，半径扩大到原来的4倍，则现在扇形的面积为 ________ 平方厘米． 【答案】224 【分析】利用扇形面积公式，设出原扇形的圆心角和半径，得到原面积的表达式，再根据圆心角和半径的变化，推导变化后扇形面积与原面积的数量关系，代入计算即可得到结果. 【详解】解：设原扇形的圆心角为，半径为， 根据扇形面积公式，可得原扇形面积， 由题意得，变化后扇形的圆心角，半径， 则变化后扇形面积： （平方厘米） 1．（25-26七年级上·内蒙古鄂尔多斯·开学考试）下面三幅图中，所有圆的半径都相等，圆心分别是平行四边形、梯形和三角形的顶点．比较三幅图中阴影部分的面积之和，描述正确的是（   ） A．图中阴影部分的面积之和最大 B．图中阴影部分的面积之和最大 C．图中阴影部分的面积之和最大 D．三幅图中阴影部分的面积之和一样大 【答案】A 【分析】本题主要考查了组合图形的面积，图中阴影部分角度和大于，图中阴影部分角度和小于，图中阴影部分角度和等于，即可求解，解题的关键是理解图中阴影部分角度和的大小判断． 【详解】解：图中阴影部分角度和大于，图中阴影部分角度小于，图中阴影部分角度等于， 因为圆的半径都相等， 所以图中阴影部分的面积之和最大， 故选：． 2．（24-25六年级下·上海·期中） 如图，图中阴影部分的面积是_________（答案保留）． 【答案】 【分析】本题主要考查了扇形的面积计算，用半径为，圆心角度数为60度的扇形面积减去半径为，圆心角度数为60度的扇形面积即可得到答案． 【详解】解： ， 所以图中阴影部分的面积是， 故答案为：． 3．（2025七年级上·湖南长沙·专题练习）求图中阴影部分的面积．（单位：） 【答案】 【分析】本题考查了扇形的面积公式，熟练掌握扇形的面积公式是解题的关键． 根据阴影部分的面积等于扇形的面积减去三角形的面积，即可求解． 【详解】解：如图， 由图可得，阴影部分的面积等于扇形的面积减去三角形的面积， ∴阴影部分的面积． 【经典例题四 含圆的组合图形的计算（周长和面积）】 【例1】（24-25六年级下·上海长宁·期中）在一张长8cm、宽6cm的长方形纸上画一个最大的圆，圆的半径是（    ）． A．6cm B．3cm C．4cm 【答案】B 【分析】要在一张长为8cm、宽为6cm的长方形的纸上剪一个尽量大的圆，长方形的宽就是圆的直径，再用直径除以2即可解答． 【详解】解：由题意可得， 6÷2=3（cm） 答：这个圆的半径是3cm． 故选：B 【点睛】考查了长方形和圆的关系，在长方形中要剪一个最大的圆，要以长方形最短的边当作圆的直径． 【例2】（2025七年级上·江苏宿迁·专题练习）如图所示，的长是10厘米，甲的面积比乙的面积大20平方厘米，求的长．（取） 【答案】 【分析】本题考查的是阴影部分的面积，由半圆的面积减去三角形的面积等于甲的面积减去乙的面积，进一步求解即可． 【详解】解：半圆的面积是（平方厘米）． 三角形的面积为：， 因为甲的面积比乙的面积大20平方厘米， 所以， 解得：（厘米）． 故答案为：． 1．（24-25六年级下·上海黄浦·期中）下列各正方形的边长相同，其中图中各扇形的半径都是正方形边长的一半，那么下面4个图形中阴影部分面积与图中阴影部分面积不同的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了扇形的面积，正方形的面积，掌握扇形的面积公式是解本题的关键．设正方形的边长为，根据正方形的面积-扇形的面积即可作判断． 【详解】解：设正方形的边长为，则图中阴影部分面积， A、图中阴影部分面积， B、图中阴影部分面积， C、图中阴影部分面积 D、图中阴影部分面积（r为右下角扇形半径）， 故选：D． 2．（24-25六年级下·上海金山·期末）如图，在中，，，则图中阴影部分的面积是_____．（结果保留） 【答案】 【分析】本题考查了求组合图形的面积；根据，即可求解． 【详解】解：∵在中，，， ∴是等腰直角三角形， ∴图中阴影部分的面积是： ． 故答案为：． 3．（25-26六年级下·上海闵行·期末）求出下列图形的周长或面积： (1)求出如图图形的周长． (2)求阴影部分面积． 【答案】(1)周长约为122.8cm (2)面积约为 【分析】（1）利用圆的周长加长方形的两条长即可求得整个图形的周长． （2）利用正方形的面积减去圆的面积即可求得阴影部分的面积． 本题考查了求组合图形的周长和面积，熟练掌握圆的周长和面积公式是解题的关键． 【详解】（1）解：周长为； （2）解：阴影部分的面积． 【经典例题五 组合图形的面积】 【例1】（24-25七年级上·北京西城·开学考试）草场上有一个长20米，宽10米的关闭着的羊圈，在羊圈的一角用长30米的无弹性绳子拴着一只羊，如图，问这只羊的活动范围有（    ）平方米？（取3.14） A．2512 B．5024 C．1256 D．628 【答案】A 【分析】本题主要考查圆的面积的求解，解答此题的关键是：将羊的活动范围分割，分别求出各部分的面积，问题即可得解． 由图意可知：羊活动的范围可以分为A，B，C三部分，其中A是半径为30米的个圆，B、C分别是半径为20米和10米的个圆，分别求出三部分的面积，即可求得羊的活动范围． 【详解】解：如图， （米），（米） （平方米）， 故选A． 【例2】（24-25六年级下·陕西西安·自主招生）如图，在一个的方格纸中，有一个红色的“单引号”．若方格纸中每个小正方形的边长为，则图中红色“单引号”的面积为_____（取）． 【答案】 【分析】本题主要考查了组合图形的面积计算，单引号中一个图形的面积等于一个半径为的圆的面积的四分之一减去一个边长为的正方形面积，再减去一个半径为的圆的面积的四分之一，最后加上一个半径为的圆的面积的一半，据此计算求解即可． 【详解】解：， ， ， ， ， 故答案为：． 1．（24-25七年级上·四川成都·开学考试）（组合图形的面积）如图，平行四边形的底长是，线段长是，那么平行四边形中的阴影部分的面积是（    ）平方厘米．    A．24 B．36 C．48 D．72 【答案】C 【分析】本题主要考查组合图形的面积，根据和，得，根据题意求得即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴平行四边形中的阴影部分的面积， 故选：C． 2．（24-25六年级下·陕西西安·自主招生）课外活动中，活动小组把的画板分成如图所示的正方形网格，利用网格设计了一个和平鸽图案，和平鸽轮廓是由圆的一部分或者线段组成．那么和平鸽的面积为______平方厘米 【答案】21600 【分析】本题考查求组合图形的面积，圆的面积，利用分割法求出和平鸽的面积即可． 【详解】解：由题意和图可知，小正方形的边长为， 和平鸽的面积 （平方厘米）； 故答案为：21600 3．（24-25七年级上·河南郑州·开学考试）求如图各图形中涂色部分的面积． 【答案】；． 【分析】本题主要考查了求不规则图形的面积，求不规则图形的面积通常用割补法，把不规则图形的面积转化为规则图形的面积．第一个图形中涂色部分的面积就是两个三角形的面积之和，利用三角形的面积公式计算即可；第二个图形涂色部分的面积是半径为的扇形的面积减去直径为的半圆的面积． 【详解】解：如下图所示， ； 如下图所示， 【经典例题六 阴影部分的周长和面积】 【例1】（24-25七年级上·湖北宜昌·开学考试）如图，在长方形中割去一个半圆，剩下的阴影部分的周长是（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查半圆弧长的计算，解题的关键是明确阴影部分的周长个长个宽半圆的弧长． 根据剩下的阴影部分的周长个长个宽半圆的弧长，据此求解即可． 【详解】解：在长方形中割去一个半圆，剩下的阴影部分的周长是： 故选：A． 【例2】 （25-26七年级上·浙江金华·开学考试）如图中每个小圆的半径是1厘米，阴影部分的周长是( )厘米．（取） 【答案】 【分析】本题主要考查了圆的周长计算，根据题意可知，大圆的直径是小圆直径的3倍，阴影部分的周长等于大圆的周长加上七个小圆的周长，据此根据圆的周长计算公式求解即可． 【详解】解：厘米， 厘米， 所以阴影部分的周长是厘米， 故答案为：． 1．（25-26七年级上·广西南宁·开学考试）大正方形的边长8厘米，小正方形的边长4厘米，下面的图形中阴影部分面积一样大的图形有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】分别求出每个图形中阴影部分面积，进行判断即可． 【详解】解：大正方形的边长8厘米，小正方形的边长4厘米， 图1的面积为（平方厘米）， 图2的面积为（平方厘米）， 图3的面积为（平方厘米）， 图4的面积为（平方厘米）， 图5的面积为（平方厘米）， 图形中阴影部分面积一样大的图形4个， 故选：C． 【点睛】本题考查了阴影部分的面积，熟练掌握平行四边形的面积公式，梯形的面积，正方形的面积公式，三角形的面积公式以及分割法求面积是解题的关键． 2．（24-25七年级上·天津·开学考试）图中阴影部分的面积是______（图中的三角形是等腰直角三角形，） 【答案】107 【分析】本题主要考查扇形面积公式和三角形面积公式，熟记相关公式是解题的关键． 由左右对称，根据求解即可． 【详解】如图，左右两边对称，可先求左边阴影的面积， 由题知，， 又为等腰直角三角形， 所以也为等腰直角三角形， ， 解得， ， 所以． 故答案为：107． 3．（25-26六年级下·上海闵行·期末）求阴影部分的面积（） (1) (2) 【答案】(1)平方厘米 (2)平方厘米 【分析】本题考查了求不规则图形面积，解题的关键是将不规则图形面积转化为规则图形面积求解即可； （1）利用即可求解； （2）利用． 【详解】（1）解：： 平方厘米； （2）解：： 平方厘米． 【经典例题七 不规则图形的面积】 【例1】（24-25六年级下·上海杨浦·单元测试）如图，正方形的边长为2，以各边为直径在正方形内画半圆，则所围成的图形（阴影部分）的面积等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由正方形面积减去两个半圆面积可得两个空白面积，再将正方形面积将去4个空白面积即得阴影部分面积． 【详解】解：则，， 由题意得：图中阴影部分的面积， 故选：． 【点睛】该题主要考查了正方形的面积、圆的面积公式；解题的关键是将阴影部分的面积转化为规则图形的面积和或差． 【例2】（2026七年级上·重庆·专题练习）如图，三个同心圆分别被直径，，，八等分，那么，图中阴影部分面积与非阴影部分面积之比是___________． 【答案】 【分析】本题考查不规则图形的面积，熟练掌握割补法是解题关键． 将所有阴影部分转移到一起，可以得到一个的扇形，然后计算比即可． 【详解】解；如图，将阴影部分拼接在一起，可以组成一个的扇形，面积为最大圆的， ∴阴影部分面积与非阴影部分面积之比为， 故答案为：． 1．（24-25七年级上·上海杨浦·假期作业）如图中有一个圆和一个等腰直角三角形，阴影部分的面积是（ ）． A．25 B．50 C．75 D．100 【答案】B 【分析】本题考查了图形的面积，利用割补法求面积是解题的关键．阴影、与空白、的面积相等，将阴影、移到空白、的位置，则这个等腰直角三角形被4等分，阴影部分占2份，所以阴影部分的面积就变成了原来等腰直角三角形的面积的一半，利用三角形的面积公式即可求解． 【详解】解：如图所示，连接，， 阴影、与空白、的面积相等，将阴影、移到空白、的位置，则等腰直角三角形被4等分，阴影部分占2份， 阴影部分的面积为， （）． 故选：B． 2．（2025六年级下·湖南长沙·模拟预测）如图，矩形中，，，扇形半径，扇形的半径，则阴影部分的面积为 ___________． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的特点和扇形的面积公式，根据题意可的扇形和扇形都为个圆，再根据阴影部分的面积扇形阴影部分面积扇形阴影部分面积，根据图形可知阴影部分的面积扇形面积矩形面积右下空白部分面积扇形面积右下空白部分面积，即可得到阴影部分的面积扇形面积扇形面积矩形面积，代入数据计算即可． 【详解】解：四边形为矩形， ， 由图可知：阴影部分的面积扇形面积矩形面积右下空白部分面积扇形面积右下空白部分面积， 阴影部分的面积扇形面积扇形面积矩形面积， ． 故答案为：． 3．（25-26七年级上·陕西宝鸡·月考）分别求出两幅图中阴影部分的面积．（，单位：） (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了求不规则图形的面积． （1）用半圆的面积减去三角形和扇形的面积和即可； （2）用梯形面积减去扇形面积即可． 【详解】（1）如图，连接， 则，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ （2） 【拓展训练一 面积比问题】 【例1】（24-25七年级上·河南郑州·开学考试）【圆的面积】大圆的半径等于小圆的直径，那么大圆的面积与小圆的面积的比是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆的面积，比值的运算，熟悉掌握圆的面积公式是解题的关键． 运算出面积后进行比较即可． 【详解】解：设小圆的半径为，则小圆的直径为，大圆的半径为， 大圆的面积为：， 小圆的面积为：， 大圆的面积与小圆的面积的比是： 故选：D． 【例2】（25-26六年级下·上海嘉定·期中）甲乙两圆的周长之比是，则甲乙两圆的面积之比是_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了比，解题的关键是掌握圆的周长和面积公式． 根据圆的周长公式，周长之比等于半径之比；再根据圆的面积公式，面积之比等于半径之比的平方． 【详解】解：设甲圆半径为，乙圆半径为，由圆的周长公式得，周长之比 ； 由圆的面积公式得，面积之比； 故答案为：． 1．（24-25六年级下·上海松江·月考）有两个大小相同正方形，在正方形中剪一个最大的圆，在正方形中剪一个最大的圆心角为的扇形，两次剪剩下的材料的面积相比（    ） A．正方形剩下的面积大 B．B正方形剩下的面积大 C．一样大 D．和两个正方形边长有关 【答案】C 【分析】本题考查求圆的面积和扇形的面积，根据题意得到最大的圆和最大的圆心角为的扇形的半径均为正方形的边长，进行求解即可． 【详解】解：设两个正方形的边长均为2，如图，最大的圆的直径和最大的圆心角为的扇形的半径均为正方形的边长， 故正方形中圆的面积为，正方形中扇形的面积为：， 即：圆的面积等于扇形的面积， ∴剩余的面积也相同， 故选C． 2．（24-25七年级上·辽宁本溪·开学考试）如图中，小圆的是阴影，大圆的是阴影．大圆阴影部分的面积与小圆阴影部分的面积之比是( )． 【答案】 【分析】本题是考查图形的重叠问题，如图，在图中，小圆的是阴影，大圆的是阴影，也就是说小圆的等于大圆的，设小圆面积为“1”，则大圆面积就是．小圆阴影部分面积是，大圆阴影部分面积是，用大圆的阴影部分的面积比小圆阴影部分的面积化简即可． 【详解】解：如图，非阴影部分是小圆的，大圆的， 即小圆的大圆的， 设小圆面积是“1”，则大圆面积是， 所以大圆阴影部分的面积与小圆阴影部分的面积之比是． 故答案为： 3．（24-25六年级下·嘉定·开学考试）求圆中阴影部分与大圆的面积之比和周长之比． 【答案】圆中阴影部分与大圆的面积之比为，周长之比为： 【分析】本题考查了比的应用． 把阴影部分看作一个特殊图形，而大圆的面积恰好是4个这种特殊图形，所以，阴影部分面积：大圆面积． 观察图形可知，阴影部分周长小圆周长小圆周长大圆周长，然后计算出与大圆周长的比即可． 【详解】解：大圆恰好是由4个阴影部分组成，所以，阴影部分面积：大圆面积． 设小圆半径为，则大圆半径为． 大圆周长， 阴影部分周长小圆周长小圆周长大圆周长 ， 所以，周长之比． 答：圆中阴影部分与大圆的面积之比为，周长之比为：． 【拓展训练二 钟面面积问题】 【例1】（24-25六年级下·陕西西安·开学考试）钟面上的分针长为，从点到点，分针在钟面上扫过的面积是______． 【答案】 【分析】本题考查了圆的面积和角度计算，根据分针小时（分钟）转周，扫过的面积是一个圆的面积，分钟分针扫过的面积是圆面积的，根据圆的面积公式，把数据代入公式进行解答即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：根据分针小时（分钟）转周，扫过的面积是一个圆的面积，分钟分针扫过的面积是圆面积的， ∴分针在钟面上扫过的面积是， 故答案为：． 【例2】（25-26七年级上·重庆·开学考试）在一个钟面上，它的时针长，分针长．从3时到6时，时针扫过的面积是( )，分针针尖走过的路程是( )． 【答案】 3.14 56.52 【分析】本题主要考查圆的面积和周长，从3时到6时，时针扫过的图形是圆，代入数据可得结论，从3时到6时，分针转动3圈，求出一圈的长度再乘以3即可． 【详解】解：从3时到6时，时针扫过的图形面积为： ； 从3时到6时，分针针尖走过的路程是 ， 故答案为：3.14；56.52． 1．（25-26六年级下·上海杨浦·课后作业）一个钟面上的分针长6厘米，分针走一圈，针尖走了( )厘米；分针从“12”起到“2”，扫过的图形是圆心角为( )°的( )形，它的面积占这个圆面积的( )（填分数）．（取） 【答案】 60 扇 【分析】本题考查圆的周长和扇形，熟记圆的周长公式和扇形的面积的计算方法是解题的关键．分针走一圈的轨迹是个圆形，针尖走了多少厘米就是求圆的周长，根据圆的周长公式：，据此计算即可；钟面上共有12个大格，每个大格为，则分针从“12”起到“2”，分针旋转了，扫过的图形是一个扇形；用扇形的圆心角除以即可求出它的面积占这个圆面积的几分之几． 【详解】解：根据题意，得： （厘米） ， ， 即分针从“12”起到“2”，扫过的图形是圆心角为的扇形， ， 即它的面积占这个圆面积的． 故答案为：，60，扇形，． 2．（24-25七年级上·广东广州·开学考试）如图是一幅钟面的示意图，图中的阴影部分是一个近似的梯形．已知钟面直径是24厘米，则这个近似梯形的面积是多少平方厘米？ 【答案】 【分析】本题主要考查了不规则图形的面积，根据一点和圆心的虚线将上面半圆分成了两个部分，左边是右边的2倍，且十一至十二点围成的面积和一点至三点围成的面积相等，则左边比右边多的恰好就是阴影部分的面积求解即可． 【详解】解：如图， (平方厘米) 答：这个近似梯形的面积是平方厘米 3．（24-25六年级下·山东泰安·期末）如图，甲、乙、丙、丁四个扇形的圆心角度数比为，请完成下面问题： (1)求出扇形丁的圆心角度数； (2)如果圆的半径为6，请求出扇形乙的面积（取3）． (3)把圆想像为钟表，当钟表上的钟针指向上午时，时针与分针的夹角是多少度？ 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）用乘以扇形丁在整个圆中的占比即可得到答案； （2）用圆的面积乘以扇形乙在整个圆中的占比即可得到答案． （3）钟表上一大格表示，时针一分钟转，再根据角的和差计算即可． 【详解】（1）解：扇形丁的圆心角度数为：； （2）解：扇形乙的面积为： ； （3）钟表上的钟针指向上午时，时针与分针的夹角为： ． 【点睛】本题主要考查了求扇形的圆心角的度数，扇形的面积，以及钟面角，熟练掌握相关知识是解题的关键． 【拓展训练三 重叠面积问题】 【例1】（25-26七年级上·吉林长春·开学考试）如图，三个正方形边长相等，比较三幅图中阴影部分的面积，说法正确的是（   ） A．图1阴影部分面积最大 B．图2阴影部分面积最大 C．图3阴影部分面积最大 D．三幅图阴影部分面积同样大 【答案】D 【分析】本题考查了圆的面积公式，分别计算出三幅图中阴影部分的面积，再进行比较，计算时用到圆的面积公式（表示圆的面积，r表示圆的半径）， 【详解】解：设大正方形的边长为， 观察图形，图的阴影部分的面积， 图2的阴影部分的面积， 图3的阴影部分的面积， ∴三幅图阴影部分面积同样大， 故选：D． 【例2】（24-25六年级下·上海青浦·期中）大小两个圆重叠在一起，重叠部分面积占小圆面积的，占大圆面积的，那么小圆与大圆的半径之比是_______________． 【答案】 【分析】本题考查圆的面积，设重叠部分的面积为1，求出小圆和大圆的面积，根据圆的面积比等于半径的平方比，进行求解即可． 【详解】解：设两个圆重叠的部分的面积为1，小圆的面积为：，大圆的面积为：， ∴两个圆的面积比为：， ∴小圆与大圆的半径之比是； 故答案为：． 1．（25-26六年级下·上海·期中）如图所示，圆的面积的被阴影覆盖，三角形面积的被阴影覆盖，且它们被阴影覆盖的面积相等，圆与三角形重叠部分的面积S是正方形面积的．已知正方形面积的被阴影覆盖，那么S是圆面积的（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查图形面积的计算．设正方形面积为，圆面积为，三角形面积为，且圆与三角形的重叠部分面积为，根据题意列式求解即可． 【详解】解：设正方形面积为，圆面积为，三角形面积为，且圆与三角形的重叠部分面积为： 由题意知： 圆被盖住的面积， 三角形被盖住的面积， 这两部分阴影面积相等，故有； 重叠部分面积， 正方形有的面积被阴影覆盖；由于重叠区全部在阴影中，阴影面积即， 将代入上式，得， ， ； 由题知，代入可得， ， ， ∴． 故选：A． 2．（24-25六年级下·上海奉贤·期中）如图是某体育馆在草坪上修建出的五环图案，已知每个圆环的内、外半径分别为3米和4米，图中重叠部分的每个小曲边四边形的面积都为1平方米，则该五环图案的面积是______平方米．（结果保留） 【答案】 【分析】本题主要考查环形的面积，掌握大圆面积小圆面积环形面积是关键． 根据环形的面积公式结合题意列出算式即可求解． 【详解】解：由题意得 五环图案的面积 ． 故答案为：． 3．（24-25六年级下·上海虹口·期中）有一个长方形，宽，在其两个顶点B、D处分别以顶点为圆心，以4为半径画出两个扇形．（本题计算结果保留π） (1)如图1所示，当时，把长方形未被扇形覆盖部分的面积记作S，求S． (2)如图2所示，当这个长方形的长缩短到一定长时，两个扇形会出现重叠，重叠部分面积记作，上下各有两个区域的面积分别记作和，当时，直接写出此时的长． 【答案】(1) (2)． 【分析】本题考查扇形面积的计算，矩形的性质，掌握矩形面积、扇形面积的计算方法是正确解答的关键． （1）根据进行计算即可； （2）根据题意可得当时，，进而代入进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：由题意得，， 当时，即， ∴， ∴． A基础训练 1．（24-25六年级下·上海闵行·期末）若扇形的圆心角扩大为原来的4倍，半径是原来的，则扇形的弧长为原来的（    ） A．2倍 B．1倍 C． D．4倍 【答案】A 【分析】本题考查扇形的弧长．熟记扇形的弧长公式是解题的关键．根据扇形的弧长公式，进行求解即可． 【详解】解：设原扇形的圆心角度数为，半径为， ∴扇形的弧长， 圆心角扩大为原来的4倍，半径是原来的，扇形的弧长变为： ， ∴这个扇形的弧长为原来的2倍； 故选：A． 2．（25-26六年级下·上海闵行·期末）如图中，O点是大圆的圆心，也是小圆直径的端点，小圆的面积是大圆的（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了圆的面积，解题的关键是掌握圆的面积公式，直接表示出小圆与大圆的面积，求比值即可． 【详解】解：设大圆半径为，小圆半径为， 小圆面积/大圆面积， 故选：A． 3．（24-25六年级下·上海松江·期末）观察如图有两个同样大小的正方形，两图中阴影部分的周长和面积的关系是（    ） A．周长和面积都不相等 B．周长和面积都相等 C．周长相等，面积不相等 D．周长不相等，面积相等 【答案】D 【分析】此题考查了面积和周长大小比较的方法，关键是找出面积和周长的求法，再比较大小． 观察图形可发现：两个正方形的面积相等；两个图形中空白部分可以组成一个完整的圆，从图中可以看出两个图形阴影部分的面积=正方形的面积-圆的面积，所以阴影部分的面积相等．第一个图形中阴影部分的周长是圆的周长再加上正方形的两条边，第二个图形中阴影部分周长是圆的周长加上正方形的一条边，所以周长不相等；据此选择． 【详解】解：由图可知，正方形相等，圆也相等，两个图形阴影部分的面积=正方形的面积-圆的面积，所以阴影部分的面积相等． 第一个图形中阴影部分的周长是圆的周长再加上正方形的两条边，第二个图形中阴影部分周长是圆的周长加上正方形的一条边，所以周长不相等． 故选：D． 4．（24-25六年级下·上海虹口·期中）如图，以正方形的4个顶点为圆心的4个圆都经过该正方形的中心．如果每个圆的半径都是，那么阴影部分的总面积是（　　）平方厘米 A．8 B． C．24 D．32 【答案】D 【分析】本题主要考查了不规则图形的面积，解答本题的关键是把不规则的图形转化成规则的图形．如图把大正方形外边的八部分补到中间空白部分，拼成一个完整的大正方形，大正方形的对角线的长度正好等于两条直径的和，然后根据正方形的面积=对角线的长度×对角线的长度解答即可． 【详解】解：如图，把大正方形外边的八部分补到中间空白部分，拼成一个完整的大正方形， ∴圆的直径是：(厘米)， (平方厘米)， 故选：D． 5．（24-25七年级上·湖南衡阳·开学考试）学完平行四边形和三角形的面积计算方法后，几位同学会尝试解决梯形面积的问题，想法分别如图．三位同学的想法中，（    ）．    A．甲对 B．乙对 C．丙对 D．三人都对 【答案】D 【分析】根据两个完全相同的梯形拼成一个平行四边形，以及平行四边形的面积推导出梯形的面积，可以判断甲的正误；根据把一个梯形沿高的一半剪成两个梯形，然后通过旋转平移拼成一个平行四边形，以及平行四边形的面积推导出梯形的面积，可以判断乙的正误；根据把一个梯形分割成两个三角形，以及三角形的面积推导梯形的面积可以判断丙的正误． 【详解】解：由题意知，甲中，两个完全相同的梯形拼成一个平行四边形， ∴（上底+下底）高梯形面积，正确， 乙中，把一个梯形沿高的一半剪成两个梯形，然后通过旋转平移拼成一个平行四边形， ∴，，正确， 丙中，把一个梯形分割成两个三角形， ∴，，，正确， 故选：D． 【点睛】本题考查了几何图形的面积，平行四边形的面积．解题的关键在于从图中获取正确的信息，正确的求解梯形面积． B 提高训练 6．（25-26六年级下·上海嘉定·期末）两圆周长差为，其中一个圆的周长为，则另一个圆的面积为______．（结果保留π） 【答案】或 【分析】本题考查了圆的周长与面积的计算；根据两圆周长差求出半径差，再根据已知圆的周长求出其半径，分情况讨论另一个圆的半径，最后利用圆的面积公式计算 【详解】解：设两圆半径分别为和，且，则周长差为， 即，所以， 已知一个圆的周长为，设其半径为，则，解得， 若该圆是较小圆，则另一个圆半径，面积 若该圆是较大圆，则另一个圆半径，面积， 故另一个圆的面积为或； 故答案为：或． 7．（2025七年级上·上海杨浦·专题练习）如图大圆半径是小圆半径的2倍，阴影部分面积是60平方厘米，那么环形面积是__________平方厘米．（取）    【答案】188.4 【分析】设小圆的半径是r，则大圆的半径是2r，由阴影部分的面积为60平方厘米，可得，根据环形的面积为，计算求解即可． 【详解】解：设小圆的半径是r，则大圆的半径是2r． ∵阴影部分的面积为60平方厘米， ∴， ∴环形的面积为（平方厘米）， 故答案为：188.4． 【点睛】本题考查了圆环的面积．解题的关键在于对知识的掌握与灵活运用． 8．（25-26七年级上·山东淄博·期末）如图，正方形的边长为1，以各边为直径在正方形内画半圆，则图中阴影部分的面积为_____．（结果保留） 【答案】 【分析】本题主要考查不规则图形的面积，熟练掌握面积的转化是做题的关键．根据将不规则图形的面积转化为规则图形的面积，即可求解． 【详解】解：如图所示， 正方形的边长为1， 正方形的面积为， ． 又上方以为直径的半圆面积为， 图中①②两部分的面积之和为， 图中阴影部分的面积为． 故答案为：． 9．（25-26六年级下·上海杨浦·课后作业）如图，等边三角形的边长为6厘米，其中D、E、F分别是各边的中点，分别以A、B、C为圆心，为半径画弧，中间阴影部分的周长是( ) 【答案】 【分析】根据题意可知，中间阴影部分的周长等于图中三个扇形的弧长之和；三个扇形的半径都是（）厘米，三个扇形的圆心角正好是三角形的三个内角，因为三角形的内角和是，所以这三个扇形的圆心角拼在一起，正好组成一个半圆； 本题考查了这三个扇形的弧长之和，就是求半圆的弧长，即圆周长的一半；根据圆的周长公式，代入数据计算求解是解题的关键． 【详解】解： 中间阴影部分的周长是， 故答案为：． 10．（25-26七年级上·重庆·开学考试）如图，一个边长为1的正方形被两条弧线分割为、、、四部分，图中两条弧线是以正方形的顶点为圆心，半径为1的圆弧，则图中与部分的面积之差是______．（结果保留π） 【答案】 【分析】本题考查的是扇形面积，正方形面积，掌握相关知识是解决问题的关键．根据题意得到以为圆心的扇形面积以为圆心的扇形面积正方形的面积，根据面积公式计算即可． 【详解】解： ， =以为圆心的圆面积以为圆心的圆面积正方形的面积， ， ． 故答案为：． C 培优训练 11．（2025七年级上·陕西西安·专题练习）如图，空白部分的面积是，求阴影部分的面积． 【答案】 【分析】本题考查了圆的面积公式，三角形面积公式，根据题意可得直角三角形的直角边就是半圆的半径，则，即可求得半圆的面积，用半圆的面积减去直角三角形的面积，即可解答． 【详解】解：可得直角三角形的直角边就是圆的半径， ， 半圆的面积为， 所以阴影部分的面积为． 12．（24-25七年级上·陕西西安·开学考试）求阴影部分的面积．（单位：厘米） 【答案】 【分析】本题考查了梯形面积公式，半圆面积公式和不规则阴影图形面积的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； 本题用梯形面积减去半圆面积，然后即可求解； 【详解】解：， 故答案为：； 13．（24-25六年级下·上海浦东新·期中）学校建一个周长为米的圆形花坛，并在花坛周围铺了一条1米的石子路． (1)圆形花坛的半径是多少米？ (2)这条石子路的面积是多少平方米？（本题取） 【答案】(1)10 米 (2)平方米 【分析】本题主要考查圆的周长和面积计算，以及圆环面积的应用问题． （1）已知圆的周长求半径，直接利用周长公式变形求解． （2）石子路是圆环，面积等于外圆面积减去内圆面积，需先确定外圆半径（花坛半径米）． 【详解】（1）解：圆形花坛的半径（米）， 答：圆形花坛的半径是 10 米． （2）解：外圆半径（米）， 石子路面积为：（平方米）， 答：石子路的面积是平方米． 14．（25-26六年级下·上海杨浦·课后作业）莱洛三角形是一种特殊的三角形，它是分别以等边三角形的三个顶点为圆心，以其边长为半径作圆弧，由这三段弧组成的曲边三角形（图1）．莱洛三角形的特点是在任何方向上都有相同的宽度．根据以上的描述，请你以等边三角形（图2）的三个顶点为圆心，画出一个莱洛三角形．如果等边三角形的边长是3厘米，画出的这个莱洛三角形的周长是多少厘米？ 【答案】见解析，这个莱洛三角形的周长是厘米 【分析】根据描述，分别以A、B、C三个顶点为圆心，以等边三角形的边长为半径，画出三条圆弧．莱洛三角形的周长等于三条圆弧的长度之和，每个圆对应的圆心角是等边三角形的其中的一个内角，三角形的内角和是，等边三角形的内角相等，则每一个内角是．则每条圆弧是整个圆的．则每条圆弧的长度＝圆的周长×，最后再乘3即可． 【详解】解：根据题意，作图如下： （厘米）， 答：这个莱洛三角形的周长是厘米． 15．（24-25六年级下·上海·期中） 圆的滚动问题探索： (1)如图1，已知半径为1厘米的圆O沿直线无滑动滚动一周，求圆心O经过的距离． (2)如图2，将圆A固定，让圆O绕着圆A外侧边缘作无滑动滚动一周，已知圆O和圆A的半径都为1厘米，求圆心O经过的距离． (3)如图3，已知等边的边长为6厘米，将半径为1厘米的圆O从某一位置沿等边三角形的三边作无滑动滚动，当第一次回到原出发位置时，试画出圆O滚过的区域，并求出该区域的面积． 【答案】(1)厘米 (2)厘米 (3)平方厘米 【分析】本题考查圆的周长和面积问题，将圆的运动轨迹转化为规则的圆或者扇形即可解答； （1）圆心O经过的距离为半径为1厘米的圆的周长； （2）圆心O经过的距离为以为半径的圆的周长； （3）圆O滚过的区域为三个长方形区域和三个圆心角度数为的扇形区域，据此画出示意图，并求解面积即可． 【详解】（1）解：（厘米）， 所以圆心O经过的距离为厘米； （2）解：（厘米）， （厘米）， 所以圆心O经过的距离为厘米； （3）解：如图所示，圆O滚过的区域为三个长方形区域和三个圆心角度数为的扇形区域， （厘米） （平方厘米） （平方厘米） 所以圆O滚过区域的面积为平方厘米。 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 圆与扇形的面积重难点题型专训 （1个知识点+7大题型+3拓展训练+自我检测） 题型一 圆的面积 题型二 圆环的面积 题型三 扇形的周长和面积 题型四 含圆的组合图形的计算（周长和面积） 题型五 组合图形的面积 题型六 阴影部分的周长和面积 题型七 不规则图形的面积 拓展训练一 面积比问题 拓展训练二 钟面面积问题 拓展训练三 重叠面积问题 知识点一：扇形面积的计算 （1）扇形的定义：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫作扇形。 （2）扇形的面积：为扇形所在圆的半径，为扇形的弧长。 （3）公式推导： ①在半径为的圆中，因为360°的圆心角所对的扇形的面积就是圆面积，所以圆心角是的扇形面积是于是圆心角为的扇形面积是 ②即其中为扇形的弧长，为半径。 点拨：（1）扇形面积公式与三角形的面积公式有些类似，只需把扇形看成一个曲边三角形，把弧长看成底，半径看成高即可。 （2）在求扇形面积时，可根据已知条件来确定是使用公式还是 （3）已知四个量中任意两个，都可以求出另外两个。 （4）公式中的“”与弧长公式中的“”的意义是一样的，表示“”的圆心角的倍数，计算时不带单位。 【即时训练】 1．（25-26七年级上·湖南长沙·开学考试）下面图（   ）的阴影部分是扇形． A． B． C． D． 2．（2025七年级上·上海杨浦·专题练习）如图，一段公路的转弯处是一段圆弧，则扇形的面积为________．（结果保留） 【经典例题一 圆的面积】 【例1】（25-26六年级下·上海嘉定·期末）如图，圆心在正方形的一个顶点上，半径是正方形的边长，一个正方形的面积是，圆的面积是（   ）（取3.14） A． B． C． D． 【例2】（25-26六年级下·上海松江·期末）窗户如图所示，其中上方的装饰物由两个四分之一圆和一个半圆组成（它们的半径相同）．窗户中能射进阳光部分的面积是_____． 1．（24-25六年级下·上海松江·期末）中国建筑中经常能见到“外圆内方”和“外方内圆”的设计，如图，在外圆内方图案中，圆与正方形面积比是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26六年级下·上海嘉定·期末）秋分过后就是寒露和霜降，正是吃螃蟹的好时节．小明舅舅承包了一个小鱼塘养螃蟹（如图），水池中间有片芦苇地，这个芦苇地的面积是( )平方米，水池的面积是( )平方米． 3．（24-25六年级下·上海长宁·期中）如图，4个圆的圆心是正方形的4个顶点，它们的公共点是该正方形的中心．如果每个圆的半径都是1厘米，求阴影部分的周长和面积．（结果保留π） 【经典例题二 圆环的面积】 【例1】（24-25七年级上·江苏南京·开学考试）如图所示，一个半径的圆形花坛，周围有一条宽的小路．这条小路的占地面积是（    ）． A． B． C． 【例2】（24-25七年级上·上海杨浦·假期作业）如图中阴影部分的面积是平方厘米，图中大圆的面积比小圆的面积大( )平方厘米． 1．（24-25七年级上·天津·开学考试）如图，把一块圆形桌布铺在一张圆桌上，圆形桌布下垂．已知桌布直径与圆桌直径的比为．这个圆形桌布下垂的面积是（  ）． A． B． C． D． 2．（24-25六年级下·上海松江·期末）在研究圆环的面积时，小云借助推导圆面积公式时所使用的方法，把圆环等分成16份，拼成一个近似的平行四边形（如图）．如果圆环的内圆半径是2cm，外圆半径是6cm，则圆环的面积为_____cm2，拼成的近似平行四边形的底边长约为_____cm． 3．（25-26六年级下·上海嘉定·开学考试）看图列算式并解答． (1) (2)花坛周围建有宽的水泥路，水泥路的面积是多少平方米？（π取3.14，单位：m） 【经典例题三 扇形的周长和面积】 【例1】（25-26六年级下·上海长宁·期中）如图，一个三角形的三个顶点分别是半径为3厘米的圆的圆心，则图中阴影部分的面积是（    ）． A．3平方厘米 B．9π平方厘米 C．3π平方厘米 D．4.5π平方厘米 【例2】（24-25六年级下·上海长宁·期中）已知扇形的面积是28平方厘米，若扇形的圆心角缩小到原来的一半，半径扩大到原来的4倍，则现在扇形的面积为 ________ 平方厘米． 1．（25-26七年级上·内蒙古鄂尔多斯·开学考试）下面三幅图中，所有圆的半径都相等，圆心分别是平行四边形、梯形和三角形的顶点．比较三幅图中阴影部分的面积之和，描述正确的是（   ） A．图中阴影部分的面积之和最大 B．图中阴影部分的面积之和最大 C．图中阴影部分的面积之和最大 D．三幅图中阴影部分的面积之和一样大 2．（24-25六年级下·上海·期中） 如图，图中阴影部分的面积是_________（答案保留）． 3．（2025七年级上·湖南长沙·专题练习）求图中阴影部分的面积．（单位：） 【经典例题四 含圆的组合图形的计算（周长和面积）】 【例1】（24-25六年级下·上海长宁·期中）在一张长8cm、宽6cm的长方形纸上画一个最大的圆，圆的半径是（    ）． A．6cm B．3cm C．4cm 【例2】（2025七年级上·江苏宿迁·专题练习）如图所示，的长是10厘米，甲的面积比乙的面积大20平方厘米，求的长．（取） 1．（24-25六年级下·上海黄浦·期中）下列各正方形的边长相同，其中图中各扇形的半径都是正方形边长的一半，那么下面4个图形中阴影部分面积与图中阴影部分面积不同的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25六年级下·上海金山·期末）如图，在中，，，则图中阴影部分的面积是_____．（结果保留） 3．（25-26六年级下·上海闵行·期末）求出下列图形的周长或面积： (1)求出如图图形的周长． (2)求阴影部分面积． 【经典例题五 组合图形的面积】 【例1】（24-25七年级上·北京西城·开学考试）草场上有一个长20米，宽10米的关闭着的羊圈，在羊圈的一角用长30米的无弹性绳子拴着一只羊，如图，问这只羊的活动范围有（    ）平方米？（取3.14） A．2512 B．5024 C．1256 D．628 【例2】（24-25六年级下·陕西西安·自主招生）如图，在一个的方格纸中，有一个红色的“单引号”．若方格纸中每个小正方形的边长为，则图中红色“单引号”的面积为_____（取）． 1．（24-25七年级上·四川成都·开学考试）（组合图形的面积）如图，平行四边形的底长是，线段长是，那么平行四边形中的阴影部分的面积是（    ）平方厘米．    A．24 B．36 C．48 D．72 2．（24-25六年级下·陕西西安·自主招生）课外活动中，活动小组把的画板分成如图所示的正方形网格，利用网格设计了一个和平鸽图案，和平鸽轮廓是由圆的一部分或者线段组成．那么和平鸽的面积为______平方厘米 3．（24-25七年级上·河南郑州·开学考试）求如图各图形中涂色部分的面积． 【经典例题六 阴影部分的周长和面积】 【例1】（24-25七年级上·湖北宜昌·开学考试）如图，在长方形中割去一个半圆，剩下的阴影部分的周长是（   ）． A． B． C． D． 【例2】 （25-26七年级上·浙江金华·开学考试）如图中每个小圆的半径是1厘米，阴影部分的周长是( )厘米．（取） 1．（25-26七年级上·广西南宁·开学考试）大正方形的边长8厘米，小正方形的边长4厘米，下面的图形中阴影部分面积一样大的图形有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．（24-25七年级上·天津·开学考试）图中阴影部分的面积是______（图中的三角形是等腰直角三角形，） 3．（25-26六年级下·上海闵行·期末）求阴影部分的面积（） (1) (2) 【经典例题七 不规则图形的面积】 【例1】（24-25六年级下·上海杨浦·单元测试）如图，正方形的边长为2，以各边为直径在正方形内画半圆，则所围成的图形（阴影部分）的面积等于（    ） A． B． C． D． 【例2】（2026七年级上·重庆·专题练习）如图，三个同心圆分别被直径，，，八等分，那么，图中阴影部分面积与非阴影部分面积之比是___________． 1．（24-25七年级上·上海杨浦·假期作业）如图中有一个圆和一个等腰直角三角形，阴影部分的面积是（ ）． A．25 B．50 C．75 D．100 2．（2025六年级下·湖南长沙·模拟预测）如图，矩形中，，，扇形半径，扇形的半径，则阴影部分的面积为 ___________． 3．（25-26七年级上·陕西宝鸡·月考）分别求出两幅图中阴影部分的面积．（，单位：） (1) (2) 【拓展训练一 面积比问题】 【例1】（24-25七年级上·河南郑州·开学考试）【圆的面积】大圆的半径等于小圆的直径，那么大圆的面积与小圆的面积的比是（    ） A． B． C． D． 【例2】（25-26六年级下·上海嘉定·期中）甲乙两圆的周长之比是，则甲乙两圆的面积之比是_____． 1．（24-25六年级下·上海松江·月考）有两个大小相同正方形，在正方形中剪一个最大的圆，在正方形中剪一个最大的圆心角为的扇形，两次剪剩下的材料的面积相比（    ） A．正方形剩下的面积大 B．B正方形剩下的面积大 C．一样大 D．和两个正方形边长有关 2．（24-25七年级上·辽宁本溪·开学考试）如图中，小圆的是阴影，大圆的是阴影．大圆阴影部分的面积与小圆阴影部分的面积之比是( )． 3．（24-25六年级下·嘉定·开学考试）求圆中阴影部分与大圆的面积之比和周长之比． 【拓展训练二 钟面面积问题】 【例1】（24-25六年级下·陕西西安·开学考试）钟面上的分针长为，从点到点，分针在钟面上扫过的面积是______． 【例2】（25-26七年级上·重庆·开学考试）在一个钟面上，它的时针长，分针长．从3时到6时，时针扫过的面积是( )，分针针尖走过的路程是( )． 1．（25-26六年级下·上海杨浦·课后作业）一个钟面上的分针长6厘米，分针走一圈，针尖走了( )厘米；分针从“12”起到“2”，扫过的图形是圆心角为( )°的( )形，它的面积占这个圆面积的( )（填分数）．（取） 2．（24-25七年级上·广东广州·开学考试）如图是一幅钟面的示意图，图中的阴影部分是一个近似的梯形．已知钟面直径是24厘米，则这个近似梯形的面积是多少平方厘米？ 3．（24-25六年级下·山东泰安·期末）如图，甲、乙、丙、丁四个扇形的圆心角度数比为，请完成下面问题： (1)求出扇形丁的圆心角度数； (2)如果圆的半径为6，请求出扇形乙的面积（取3）． (3)把圆想像为钟表，当钟表上的钟针指向上午时，时针与分针的夹角是多少度？ 【拓展训练三 重叠面积问题】 【例1】（25-26七年级上·吉林长春·开学考试）如图，三个正方形边长相等，比较三幅图中阴影部分的面积，说法正确的是（   ） A．图1阴影部分面积最大 B．图2阴影部分面积最大 C．图3阴影部分面积最大 D．三幅图阴影部分面积同样大 【例2】（24-25六年级下·上海青浦·期中）大小两个圆重叠在一起，重叠部分面积占小圆面积的，占大圆面积的，那么小圆与大圆的半径之比是_______________． 1．（25-26六年级下·上海·期中）如图所示，圆的面积的被阴影覆盖，三角形面积的被阴影覆盖，且它们被阴影覆盖的面积相等，圆与三角形重叠部分的面积S是正方形面积的．已知正方形面积的被阴影覆盖，那么S是圆面积的（    ） A． B． C． D． 2．（24-25六年级下·上海奉贤·期中）如图是某体育馆在草坪上修建出的五环图案，已知每个圆环的内、外半径分别为3米和4米，图中重叠部分的每个小曲边四边形的面积都为1平方米，则该五环图案的面积是______平方米．（结果保留） 3．（24-25六年级下·上海虹口·期中）有一个长方形，宽，在其两个顶点B、D处分别以顶点为圆心，以4为半径画出两个扇形．（本题计算结果保留π） (1)如图1所示，当时，把长方形未被扇形覆盖部分的面积记作S，求S． (2)如图2所示，当这个长方形的长缩短到一定长时，两个扇形会出现重叠，重叠部分面积记作，上下各有两个区域的面积分别记作和，当时，直接写出此时的长． A基础训练 1．（24-25六年级下·上海闵行·期末）若扇形的圆心角扩大为原来的4倍，半径是原来的，则扇形的弧长为原来的（    ） A．2倍 B．1倍 C． D．4倍 2．（25-26六年级下·上海闵行·期末）如图中，O点是大圆的圆心，也是小圆直径的端点，小圆的面积是大圆的（   ） A． B． C． D． 3．（24-25六年级下·上海松江·期末）观察如图有两个同样大小的正方形，两图中阴影部分的周长和面积的关系是（    ） A．周长和面积都不相等 B．周长和面积都相等 C．周长相等，面积不相等 D．周长不相等，面积相等 4．（24-25六年级下·上海虹口·期中）如图，以正方形的4个顶点为圆心的4个圆都经过该正方形的中心．如果每个圆的半径都是，那么阴影部分的总面积是（　　）平方厘米 A．8 B． C．24 D．32 5．（24-25七年级上·湖南衡阳·开学考试）学完平行四边形和三角形的面积计算方法后，几位同学会尝试解决梯形面积的问题，想法分别如图．三位同学的想法中，（    ）．    A．甲对 B．乙对 C．丙对 D．三人都对 B 提高训练 6．（25-26六年级下·上海嘉定·期末）两圆周长差为，其中一个圆的周长为，则另一个圆的面积为______．（结果保留π） 7．（2025七年级上·上海杨浦·专题练习）如图大圆半径是小圆半径的2倍，阴影部分面积是60平方厘米，那么环形面积是__________平方厘米．（取）    8．（25-26七年级上·山东淄博·期末）如图，正方形的边长为1，以各边为直径在正方形内画半圆，则图中阴影部分的面积为_____．（结果保留） 9．（25-26六年级下·上海杨浦·课后作业）如图，等边三角形的边长为6厘米，其中D、E、F分别是各边的中点，分别以A、B、C为圆心，为半径画弧，中间阴影部分的周长是( ) 10．（25-26七年级上·重庆·开学考试）如图，一个边长为1的正方形被两条弧线分割为、、、四部分，图中两条弧线是以正方形的顶点为圆心，半径为1的圆弧，则图中与部分的面积之差是______．（结果保留π） C 培优训练 11．（2025七年级上·陕西西安·专题练习）如图，空白部分的面积是，求阴影部分的面积． 12．（24-25七年级上·陕西西安·开学考试）求阴影部分的面积．（单位：厘米） 13．（24-25六年级下·上海浦东新·期中）学校建一个周长为米的圆形花坛，并在花坛周围铺了一条1米的石子路． (1)圆形花坛的半径是多少米？ (2)这条石子路的面积是多少平方米？（本题取） 14．（25-26六年级下·上海杨浦·课后作业）莱洛三角形是一种特殊的三角形，它是分别以等边三角形的三个顶点为圆心，以其边长为半径作圆弧，由这三段弧组成的曲边三角形（图1）．莱洛三角形的特点是在任何方向上都有相同的宽度．根据以上的描述，请你以等边三角形（图2）的三个顶点为圆心，画出一个莱洛三角形．如果等边三角形的边长是3厘米，画出的这个莱洛三角形的周长是多少厘米？ 15．（24-25六年级下·上海·期中） 圆的滚动问题探索： (1)如图1，已知半径为1厘米的圆O沿直线无滑动滚动一周，求圆心O经过的距离． (2)如图2，将圆A固定，让圆O绕着圆A外侧边缘作无滑动滚动一周，已知圆O和圆A的半径都为1厘米，求圆心O经过的距离． (3)如图3，已知等边的边长为6厘米，将半径为1厘米的圆O从某一位置沿等边三角形的三边作无滑动滚动，当第一次回到原出发位置时，试画出圆O滚过的区域，并求出该区域的面积． 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