精品解析：福建厦门大学附属科技中学2025-2026学年高三下学期第4周数学限时训练（3.20）

第4周数学限时训练（3.20） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】，则. 2. 已知复数，则（ ） A. B. 3 C. D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数模的计算公式计算即可. 【详解】因为， 所以. 3. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为，则的周长为（ ） A. 5 B. 6 C. 8 D. 10 【答案】D 【解析】 【分析】由椭圆方程求得椭圆的参数，结合椭圆的定义即可求焦点三角形的周长. 【详解】由题意得，，，所以， 因为在椭圆上，则有，且有， 则的周长为. 4. 记的内角，，的对边分别是，，，若，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据余弦定理求出的值，再结合角的取值范围确定角的大小. 【详解】 因为，所以. 故选：B. 5. 已知，，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】对于AB，利用不等式的性质可判断，对于C，使用作差法即可判断，对于D，结合余弦函数的单调性和奇偶性即可判断. 【详解】对于A，因为，所以，即，故A错误； 对于B，当时，，，此时，故B错误； 对于C，， 因为，所以，，， 所以，即，故C正确； 对于D，函数在上单调递减，所以， 又因为函数为偶函数，所以，故D错误. 6. 为了探究六年级学生每日自主阅读时间与语文成绩的关系，某研究小组随机调查了50名学生，得到成对样本数据，其中表示每日自主阅读时间（单位：小时），表示语文成绩（单位：分）.经计算得回归直线方程为.下列说法正确的是（ ） A. 该样本数据的相关系数为5.2 B. 当阅读时间每增加1小时，语文成绩平均增加5.2分 C. 该样本数据中，至少有一个点在回归直线上 D. 若某学生每日阅读时间为2小时，则他的语文成绩一定为分 【答案】B 【解析】 【分析】根据相关系数范围可以判断A；由回归系数定义可以判断B对；根据回归方程性质可以判断C，D. 【详解】对于A，相关系数取值范围是，故错误； 对于B，回归系数的含义是：当自变量每增加1个单位时，因变量平均增加的量。 这里表示每日自主阅读时间（小时），表示语文成绩（分），所以当阅读时间每增加1小时，语文成绩平均增加5.2分，故正确； 对于C，回归直线是对样本的拟合直线，不一定经过样本点，故错误； 对于D，当时，，为预测值，不是确定值，故错误. 7. 已知数列是公比为的等比数列，，，，，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】根据等比数列的项的性质判断A；根据时，判断B；根据基本不等式计算求解判断C，根据常数列判断D； 【详解】对于A选项，数列是公比为的等比数列，且，则，所以或，故错误； 对于B选项，若，当时，有，则，故错误； 对于C选项，数列是公比为的等比数列，则，， 又因，所以，所以，故正确； 对于D选项，当等比数列为公比为的非零常数列时，始终满足， 但不一定成立，故错误. 8. 已知函数的定义域为，任意给定，都存在，使得，则不可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】对于AB，可通过确定的代入判断，对于C，可通过构造函数，由其单调性和最值，确定方程有解判断，对于D，取，通过和分析方程无解，可判断. 【详解】对于A， ，定义域为， 取，，即，A可能， 对于B， ，定义域为， 取，，即，B可能， 对于C，，定义域为， 由， ， ， ， 构造函数，， 则， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 最小值，且当时，， 即存在，使得，即， 也即存在，使得，C可能， 对于D，，定义域为， 由得， 取，方程为：， 当时，不成立， 当时，两边取对数得， 即，因为，显然此方程无解， 综上可知：当时，不存在满足条件，即D不可能. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求、全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 记为数列的前项和，若，则下列说法正确的是（ ） A. 为等差数列 B. 为单调递增数列 C. D. 的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】由与的关系求得通项公式，可判断ABC，通过的赋值结合的符号，可判断D. 【详解】由，可得， 所以， 又，符合上式， 所以， 故为等差数列，且单调递增，AB正确， ，C错误， ， 当时，， 当时，， 当时，， 当，可知， 此时， 由上可知的最小值为，D正确. 10. 已知函数，则下列说法正确的有（ ） A. 有且只有一个零点 B. 点为曲线的对称中心 C. 曲线在点处的切线方程为 D. ， 【答案】AC 【解析】 【分析】对A：令，解出即可得；对B：举出反例即可得；对C：借助导数的几何意义计算即可得；对D：利用导数研究函数单调性，求出时的最大值与时的最小值即可得. 【详解】对A：令，解得， 故有且只有一个零点，故A正确； 对B：由， 故点不为曲线的对称中心，故B错误； 对C：因，则， 故曲线在点处的切线方程为，故C正确； 对D：因函数的定义域为， ， 当时，，当时，， 故在、上单调递增，在、上单调递减， 则当时，，当时，， 故不存在，使得，故D错误. 11. 已知正三棱台的所有顶点都在球的球面上，且，点满足，则（ ） A. 当为棱的中点时， B. C. 若直线平面，则 D. 若，则球的表面积为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对A：借助空间向量线性运算法则计算即可得；对B：设该三棱台高为，建立适当空间直角坐标系后可表示出、，再利用向量坐标运算即可得；对C：求出平面的法向量及向量后计算即可得解；对D：可计算出，从而得到、坐标，再设出球心坐标，利用外接球性质计算可得球心及该球半径，再利用球的表面积公式计算即可得. 【详解】对A：当为棱的中点时，， 则，故A正确； 对B：以为原点，为轴正半轴，建立如图所示空间直角坐标系， 设该三棱台高为，则、、， 设该三棱台上下底面中心为、，作底面于点， 则，，， 则，，故， 则，， 则，故B错误； 对C：、， 设平面的法向量为， 则有， 取，则，，即， 、、， 则， 则， 由直线平面，则， 即， 故，故C正确； 对D：若，则， 则，， 由正三棱台性质，可设球心坐标， 则，即有， 解得，则， 故球的表面积为，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，，若，则_____. 【答案】 【解析】 【分析】求出的坐标，再由向量垂直的坐标运算可得答案. 【详解】向量，，所以， 若，则， 解得. 13. 有4个大小、形状相同的球，分别标有数字1，2，3，4，从中随机取球一次（至少取一个），则取出的球的标号之和不超过5的概率为_____. 【答案】 【解析】 【详解】设集合，数字代表对应标号的小球，根据题意每次至少取一个球， 总的取球情况数即为集合的非空子集的个数，即个， 满足取出的球的标号之和不超过5的样本点有，共有8种， 所以取出的球的标号之和不超过5的概率为. 14. 已知双曲线的左顶点为，右焦点为，过的直线交于，两点.若，则的外接圆的半径为_____. 【答案】 【解析】 【分析】设直线方程，通过证明从而得到为直角三角形，即可得到答案. 【详解】由题意可知，，， 易知直线的斜率不为，设直线方程为，，， 则，， 联立，整理得， ， 所以，， 所以 ， 所以， 即为直角三角形， 又因为，所以的外接圆的半径为. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数（）的图象过点. （1）求的单调递增区间； （2）当，且时，证明：. 【答案】（1）， （2）证明：由（1）知， 则， ， 依题意，有，即， 因为，即， 代入得， 所以，即， 则有，得证. 【解析】 【分析】（1）代入点 坐标，结合的范围，求出，再由正弦函数的单调性即可求得； （2）由条件化简得，再由和差公式求得，两式相比即可证明. 【小问1详解】 将点代入函数解析式，得，即， 则有，解得，， 因为，令，则，所以， 由，，解得，， 故的单调递增区间为，. 【小问2详解】 略 16. 已知函数. （1）当时，求的极值； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1）极小值为，无极大值 （2） 【解析】 【分析】（1）求，根据其正负性得出函数的单调性即可； （2）令，根据得出，接着利用导数得出的单调性，解不等式即可. 【小问1详解】 当时，，则， 由得；得， 则在上单调递减，在上单调递增， 则的极小值为，无极大值； 【小问2详解】 等价于， 令，则在上恒成立， 则，得， 因为， 则得；得， 则在上单调递减，在上单调递增， 则， 因为在上单调递增， 所以在上单调递增， 所以当时，， 综上，实数的取值范围为. 17. 已知抛物线的焦点为，准线为，直线与，的交点分别为，，且. （1）求； （2）若过点的直线交于，两点，且，求的值. 【答案】（1）2 （2）或. 【解析】 【分析】（1）由抛物线定义可得进而得到为等边三角形，从而求得，结合图形特征及角的正切即可求解； （2）设直线：,联立直线与抛物线可得，则由韦达定理得，，计算弦长代入中即可求得，再列方程结合弦长公式求值. 【小问1详解】 由抛物线定义得，又因为，所以为等边三角形， 所以， 设准线为与x轴交于点，且的纵坐标为，所以， 所以，所以； 【小问2详解】 设： ，，， 联立得，， 由韦达定理得，， 所以 ， 所以，所以，则， 由韦达定理得，， 所以，所以， 所以， 或， 所以 或， 所以的值为或. 18. 如图，五面体中，，，，，，，. （1）证明：； （2）当时，求直线与平面所成角的正弦值； （3）若，当该五面体的体积取到最大值时，求的值. 【答案】（1） 取中点，连接，由， 得≌，则，，而， 平面，因此平面，又平面， 所以. （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）取中点，利用全等三角形性质，线面垂直的判定及性质推理得证. （2）利用余弦定理求出，再利用线面垂直的性质及判断确定直线与平面所成角，进而求出其正弦值. （3）利用几何法由的余弦表示出点到平面的距离，再利用割补法及三棱锥的体积将五面体的体积表示为的函数，然后利用换元法及导数求出取最大值的条件即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 当时，在中，， 则，，由（1）知，平面， 于是平面，而平面，则，而， 因此，又，平面， 则平面，是直线与平面所成的角， 在等边中，，， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 【小问3详解】 过作于，由（1）知平面，则，又， 平面，于是平面，由平面，得， 过作于，连接，而平面， 因此平面，而平面，则， ， ， 连接，由，得，又，则， ，因此该五面体的体积， 而， 设，， 求导得，由，得；由，得， 函数在上单调递增，在上单调递减， 当时，取得最大值，此时取得最大值，五面体的体积取得最大值， 所以当该五面体的体积取到最大值时，. 19. 有张编号分别为到的卡片，横向随机排列.对于这张卡片，初始状态下卡片标号从左到右为，，…，记此时的卡片排列为（，，…）.对这张卡片的排列进行如下三步操作：1.取出最左边的卡片，记其标号为；2.剩余卡片中，标号小于的卡片按照原排列中的从左到右顺序依次为，，…（若不存在则为空），标号大于的卡片按照原排列中的从左到右顺序依次为，，…（若不存在则为空）；3.对这张卡片重新排列，得到新排列：（，，…，k，，，…）.每进行完上述三步操作，称为一次“完整操作”. （1）若初始排列为，写出连续经过两次完整操作后得到的新排列； （2）求初始排列经过一次完整操作后恰好能得到的顺序排列的概率； （3）记初始排列中有个排列种数能经过连续若干次完整操作后能得到的顺序排列，当时，证明：. 【答案】（1） （2） （3） 补充定义．对于长度为的排列，一次操作后变为， 要使该排列经过若干次操作后能变为顺序排列，必须满足： （1）本身是可排序的排列（共种可能）： （2）在初始时就必须是严格递增的序列（仅1种可能）． 因此，首位为的可排序序列数为：． 将从1到的所有情况相加，得到递推式：． 下面证明原不等式，根据递推式写出的展开式： ， 将上式代入要证的不等式并移项整理，等价于证明： ， 又由的递推式可知：． 移项可得：． 代入前述等价不等式，问题转化为证明： 要使上式成立，只需证明对任意的，都有． 由于且由于，该不等式等价于证明：． 因为，所以，进而有． 又已知，故恒成立． 因此，对任意的，不等式均成立． 原不等式得证． 【解析】 【分析】（1）根据题意，逐步对初始数列进行完整操作； （2）分析初始排列的特点，计算出满足条件的排列种数与总排列数的比值； （3）分析初始排列经过连续若干次完整操作后能得到的顺序排列的情况，通过对排列的构造和分析证明不等式. 【小问1详解】 第一次完整操作： 初始排列为，最左边的卡片标号， 可得标号小于的卡片，， 标号大于的卡片， 重新排列得到新排列， 第二次完整操作： 最左边的卡片标号， 可得标号小于的卡片， 标号大于的卡片，，， 重新排列得到新排列. 连续经过两次完整操作后得到的新排列. 【小问2详解】 要使初始排列经过一次完整操作后恰好能得到的顺序排列，必须满足： ，即原排列中小于的个元素已经是递增顺序； ，即原排列中大于的个元素已经是递增顺序； 首元素为时，剩余个位置由已经各自内部有序的和穿插而成， 确定中元素的位置可确定整个排列，共有种排法， 又因为可以取遍中的任意整数， 所以满足条件的初始排列总数为. 又因为个元素的全排列总数为， 所以初始排列经过一次完整操作后恰好能得到的顺序排列的概率. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第4周数学限时训练（3.20） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数，则（ ） A. B. 3 C. D. 5 3. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为，则的周长为（ ） A. 5 B. 6 C. 8 D. 10 4. 记的内角，，的对边分别是，，，若，，，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知，，且，则（ ） A. B. C. D. 6. 为了探究六年级学生每日自主阅读时间与语文成绩的关系，某研究小组随机调查了50名学生，得到成对样本数据，其中表示每日自主阅读时间（单位：小时），表示语文成绩（单位：分）.经计算得回归直线方程为.下列说法正确的是（ ） A. 该样本数据的相关系数为5.2 B. 当阅读时间每增加1小时，语文成绩平均增加5.2分 C. 该样本数据中，至少有一个点在回归直线上 D. 若某学生每日阅读时间为2小时，则他的语文成绩一定为分 7. 已知数列是公比为的等比数列，，，，，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 8. 已知函数的定义域为，任意给定，都存在，使得，则不可能为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求、全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 记为数列的前项和，若，则下列说法正确的是（ ） A. 为等差数列 B. 为单调递增数列 C. D. 的最小值为 10. 已知函数，则下列说法正确的有（ ） A. 有且只有一个零点 B. 点为曲线的对称中心 C. 曲线在点处的切线方程为 D. ， 11. 已知正三棱台的所有顶点都在球的球面上，且，点满足，则（ ） A. 当为棱的中点时， B. C. 若直线平面，则 D. 若，则球的表面积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，，若，则_____. 13. 有4个大小、形状相同的球，分别标有数字1，2，3，4，从中随机取球一次（至少取一个），则取出的球的标号之和不超过5的概率为_____. 14. 已知双曲线的左顶点为，右焦点为，过的直线交于，两点.若，则的外接圆的半径为_____. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数（）的图象过点. （1）求的单调递增区间； （2）当，且时，证明：. 16. 已知函数. （1）当时，求的极值； （2）若，求实数的取值范围. 17. 已知抛物线的焦点为，准线为，直线与，的交点分别为，，且. （1）求； （2）若过点的直线交于，两点，且，求的值. 18. 如图，五面体中，，，，，，，. （1）证明：； （2）当时，求直线与平面所成角的正弦值； （3）若，当该五面体的体积取到最大值时，求的值. 19. 有张编号分别为到的卡片，横向随机排列.对于这张卡片，初始状态下卡片标号从左到右为，，…，记此时的卡片排列为（，，…）.对这张卡片的排列进行如下三步操作：1.取出最左边的卡片，记其标号为；2.剩余卡片中，标号小于的卡片按照原排列中的从左到右顺序依次为，，…（若不存在则为空），标号大于的卡片按照原排列中的从左到右顺序依次为，，…（若不存在则为空）；3.对这张卡片重新排列，得到新排列：（，，…，k，，，…）.每进行完上述三步操作，称为一次“完整操作”. （1）若初始排列为，写出连续经过两次完整操作后得到的新排列； （2）求初始排列经过一次完整操作后恰好能得到的顺序排列的概率； （3）记初始排列中有个排列种数能经过连续若干次完整操作后能得到的顺序排列，当时，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $