精品解析：福建厦门大学附属科技中学2026届高三下学期限时训练3数学试题

厦门大学附属科技中学2026届高三（下）限时训练3（3.13） 数学试题 （整理：邢昭良） 满分：150分 考试时间：120分钟 考生注意： 1.答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码“准考证号、姓名、考试科目”与考试本人准考证号、姓名是否一致． 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷无效． 3.考试结束后，将答题卡交回． 一、单项选择题：本大题共6小题，每小题5分，共计30分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数在复平面内所对应的点位于第一象限，且，则复数在复平面内所对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 已知，且在方向上的投影向量为，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 4. 已知正三棱台的下底面边长为，侧棱长为2，侧棱与底面所成的角为，则该三棱台的体积为（ ） A. B. C. D. 5. 已知，，，，则（ ） A. B. C. D. 6. “City不City”是一个今年在网络上迅速走红的流行语，这句流行语也成为了外国游客表达对中国城市深刻印象的一种新颖方式.现将一对C，一对i，一对t，一对y重新组合排成一行，若至多有2对相同的字母相邻（如CCiityty，CCitiyty等），则不同的排法有（ ） A. 2124种 B. 2148种 C. 2352种 D. 2420种 7. 已知函数（且）在上有唯一零点，则的范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知椭圆C：的左焦点为F，经过点F且倾斜角为30°的直线l与C交于A，B两点，若，则C的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分．每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题意．全部选对的得6分，部分选对的得2分或3分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若样本数据的样本方差为9，则数据的方差为16 B. 若一组样本数据的频率分布直方图为单峰不对称，且在左“拖尾”，则样本数据的平均数大于中位数 C. 已知随机变量 ，若 ，则 D. 运动员每次射击击中目标的概率为0.7 ，则在11次射击中，最有可能击中的次数是8次． 10. 函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 11. 我国知名品牌小米公司的具备“超椭圆”数学之美，设计师的灵感来源于数学中的曲线（、为常数，且）.则下列有关曲线的说法中正确的是（ ） A. 对任意的且，曲线总关于轴和轴对称 B. 当，时，曲线上的点到原点的距离最小值为 C. 当，时，曲线与坐标轴的交点个数为个 D. 当，时，曲线上的点到原点的距离最小值为 三、填空题：（本大题共3小题，每小题5分，共15分）． 12. 已知函数，且为偶函数，则的值为________. 13. 已知圆，其中为坐标原点，直线与圆交于点，则的面积的最大值为______． 14. 在中，，（），若当面积取最大值时，，则________. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 在四棱锥中，底面ABCD是正方形，若，， （1）求四棱锥的体积； （2）求二面角的平面角的正弦值. 16. 的内角所对的边分别为，， （1）求角的大小; （2）若，的延长线交于点，且，求的面积. 17. 某市高新技术开发区，一家光学元件生产厂家生产某种元件，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于76为合格品，小于76为次品，现抽取这种元件100件进行检测，检测结果统计如下表： 测试指标 元件数（件） 2 18 36 40 4 （1）现从这100件样品中随机抽取2件，在其中一件为合格品的条件下，求另一件为不合格品的概率； （2）关于随机变量，俄国数学家切比雪夫提出切比雪夫不等式：若随机变量具有数学期望，方差，则对任意正数，均有成立． （i）若，证明：； （ii）由切比雪夫不等式可知，随机变量的取值范围落在期望左右的一定范围内的概率是有界的．若该工厂声称本厂元件合格率为，那么根据所给样本数据，请结合“切比雪夫不等式”说明该工厂所提供的合格率是否可信？（注：当随机事件发生的概率小于0.05时，可称事件为小概率事件） 18. 已知抛物线的焦点为.抛物线上一点满足，为直线上的动点，过作曲线的两条切线，，其中为切点． （1）求抛物线的方程； （2）求证：直线恒过定点； （3）求面积的最小值． 19. 将有穷数列中部分项按原顺序构成的新数列称为的一个“子列”，剩余项按原顺序构成“子列”．若各项的和与各项的和相等，则称和为数列的一对“完美互补子列” （1）分别判断以下数列是否存在“完美互补子列”，并说明理由： A：1，2，3，4；B：2，，，，，． （2）数列一共项，且满足，，． （i）求证：当和时，都存在“完美互补子列”； （ii）设共有对“完美互补子列”，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 厦门大学附属科技中学2026届高三（下）限时训练3（3.13） 数学试题 （整理：邢昭良） 满分：150分 考试时间：120分钟 考生注意： 1.答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码“准考证号、姓名、考试科目”与考试本人准考证号、姓名是否一致． 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷无效． 3.考试结束后，将答题卡交回． 一、单项选择题：本大题共6小题，每小题5分，共计30分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据特殊角的三角函数值求出集合B，结合交集的概念与运算即可求解. 【详解】因为，， 所以. 故选：B 2. 已知复数在复平面内所对应的点位于第一象限，且，则复数在复平面内所对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】设，根据题意，，利用复数的除法运算，得出，求出复数对应的点的坐标，即可求出结果. 【详解】设， 因为复数在复平面内所对应的点位于第一象限， 所以，， 又， 所以， 所以复数对应的点的坐标为，位于第四象限. 故选：D. 3. 已知，且在方向上的投影向量为，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据投影向量的定义，结合条件列方程可求结论. 【详解】在方向上的投影向量为， 由已知可得， 因为，所以，又， 所以，又， 所以与的夹角为. 故选：D. 4. 已知正三棱台的下底面边长为，侧棱长为2，侧棱与底面所成的角为，则该三棱台的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将正棱台补全为一个棱锥，为底面中心，根据已知求得、棱台的高，在应用棱锥的体积公式求棱台的体积. 【详解】将正棱台补全为一个棱锥，为底面中心，如下图示， 所以，则，而棱台的高， 所以， 则该三棱台的体积为 . 故选：D 5. 已知，，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先切化弦，再结合两角和差正弦公式计算得出，，计算化简即可得出选项. 【详解】， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选: 6. “City不City”是一个今年在网络上迅速走红的流行语，这句流行语也成为了外国游客表达对中国城市深刻印象的一种新颖方式.现将一对C，一对i，一对t，一对y重新组合排成一行，若至多有2对相同的字母相邻（如CCiityty，CCitiyty等），则不同的排法有（ ） A. 2124种 B. 2148种 C. 2352种 D. 2420种 【答案】C 【解析】 【分析】由间接法，求得恰有3对和4对的情况，即可求解； 【详解】恰有3对相同的字母相邻的排法有：, 有4对相同的字母相邻的排法有：, 8个字母的全排列为：, 所以至多有2对相同的字母相邻的不同的排法有：， 故选：C 7. 已知函数（且）在上有唯一零点，则的范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将问题转化成两图象的交点问题，利用导数分析单调性数形结合求解. 【详解】由题意可得在上有唯一解，即， 令，则， 则， 令，则， 则， 当时，的，开口向上，恒大于零，所以为递增函数，为递减函数， 因为，所以在上无解； 当时，必须成立，若，会出现蓝色图象的情况， 即在上恒成立，（指数函数的增长速度大于幂函数，且）， 所以图象只能为红色，只需交点横坐标小于1即可，所以令可得， 又， 所以的范围为. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：本题关键是能够将问题转化为函数图象交点问题，构造函数，利用导数分析函数的单调性. 8. 已知椭圆C：的左焦点为F，经过点F且倾斜角为30°的直线l与C交于A，B两点，若，则C的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设出直线方程联立椭圆方程，写出韦达定理，根据题目中的等式，可得齐次方程，可得答案. 【详解】设，，则l的方程为， 由，得， 设，，则，①． 因为，所以②． 由①②可得，再结合，，得，解得． 故选：B. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分．每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题意．全部选对的得6分，部分选对的得2分或3分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若样本数据的样本方差为9，则数据的方差为16 B. 若一组样本数据的频率分布直方图为单峰不对称，且在左“拖尾”，则样本数据的平均数大于中位数 C. 已知随机变量 ，若 ，则 D. 运动员每次射击击中目标的概率为0.7 ，则在11次射击中，最有可能击中的次数是8次． 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用方差的性质计算判断A；利用平均数、中位数的意义判断B；利用正态分布的对称性计算判断C；利用二项分布的概率最大求解判断D. 【详解】对于A，设样本数据为，则，解得， 数据的方差为，A正确； 对于B，一组样本数据的频率分布直方图为单峰不对称，且在左“拖尾”，则样本数据的平均数小于中位数，B错误； 对于C，随机变量，由，得，C正确； 对于D，依题意，运动员击中次数，击中次的概率为， 由，解得，因此最有可能击中的次数是8，D正确. 故选：ACD 10. 函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据给定条件，利用轴对称有中心对称的意义推理可得函数是偶函数，再利用单调性逐项分析判断. 【详解】由为奇函数，得，即， 由为偶函数，得，则， ，于是， 因此函数是偶函数，且当时，单调递减， 对于A，，则，A正确； 对于B，，则，B正确； 对于C，，C正确； 对于D，，， 则，，即，D错误. 故选：ABC 【点睛】结论点睛：函数的定义域为D，， ①存在常数a，b使得，则函数图象关于点对称. ②存在常数a使得，则函数图象关于直线对称. 11. 我国知名品牌小米公司的具备“超椭圆”数学之美，设计师的灵感来源于数学中的曲线（、为常数，且）.则下列有关曲线的说法中正确的是（ ） A. 对任意的且，曲线总关于轴和轴对称 B. 当，时，曲线上的点到原点的距离最小值为 C. 当，时，曲线与坐标轴的交点个数为个 D. 当，时，曲线上的点到原点的距离最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用曲线的对称性可判断A选项；利用基本不等式结合平面内两点间的距离公式可判断BD选项；求出曲线与坐标轴的交点坐标，可判断C选项. 【详解】对于A，取曲线上点，则， 点关于轴的对称点为，关于轴的对称点为， 因为，， 即点、都在曲线上，故曲线总关于轴和轴对称，故A正确； 对于B，当，时，曲线的方程可化为， 在曲线上任取一点， 由， 当且仅当时，即当时，等号成立，得， 故曲线上的点到原点的距离最小值为，故B正确； 对于C，当，，时，，则，得， 所以或，所以曲线与轴有个交点， 当时，，，得或，所以曲线与轴有个交点， 综上，曲线与坐标轴的交点个数为个，故C错误； 对于D，当，时，在曲线上任取一点， 由 ，则， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故曲线上的点到原点的距离最小值为，故D正确. 故选：ABD 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数； （2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； （3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 三、填空题：（本大题共3小题，每小题5分，共15分）． 12. 已知函数，且为偶函数，则的值为________. 【答案】1 【解析】 【分析】根据为偶函数可得是偶函数，进而，即可求解. 【详解】因为为偶函数， 则为偶函数， 而是偶函数，故是偶函数， 所以，所以， 将代入函数，得， 因此，所以的值为1. 故答案为： 13. 已知圆，其中为坐标原点，直线与圆交于点，则的面积的最大值为______． 【答案】2 【解析】 【分析】由题意，利用点到直线的距离公式表示点到直线的距离，根据几何法求弦长，表示出三角形的面积为，结合导数求出面积的最大值即可. 【详解】如图， 点到直线的距离为，则， ， 所以， 令，则， 所以函数在上单调递增， 得，即的最大值为. 故答案为：2 14. 在中，，（），若当面积取最大值时，，则________. 【答案】 【解析】 【分析】设，结合余弦定理及面积公式可得：，再通过换元，得到，求导确定单调性即可解； 【详解】 由（），设，则， 由余弦定理可得：， 所以, 所以的面积为： 令，由，易得， 所以, 所以 所以，， ，， 又在单调递减， 可得：当时，面积取得最大值， 即， 所以， 即，又， 可得：， 故答案为： 四、解答题：本大题共5小题，共77分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 在四棱锥中，底面ABCD是正方形，若，， （1）求四棱锥的体积； （2）求二面角的平面角的正弦值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先应用线面垂直判定定理证明以平面，再应用棱锥体积公式计算即可； （2）建立空间直角坐标系先求法向量，再应用公式计算二面角余弦，最后应用同角三角函数关系计算即可. 【小问1详解】 取AD的中点O，连接QO，QC， 因为，所以， 又，， 所以， 在正方形ABCD中，， 所以， 所以， 又， 所以，即， 又，平面，平面， 所以平面， 所以四棱锥的体积为 ； 【小问2详解】 过O作交BC于M，则， 结合（1）中平面， 故可建以O为原点，OM，OD，OQ所在直线为x，y，z轴的空间直角坐标系，如图所示， 所以，，，， 故，， 设平面BQD的法向量为，则， 故，取，则，， 故平面的一个法向量为， 因为平面，所以平面的一个法向量为， 设二面角的大小为， 所以， 由图可知为锐角，所以， 所以， 所以二面角的平面角的正弦值为 16. 的内角所对的边分别为，， （1）求角的大小; （2）若，的延长线交于点，且，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据同角关系以及正弦定理边角互化可得，即可利用余弦定理求解， （2）根据重心的性质可得，即可利用向量的线性运算以及模长公式可得，结合余弦定理可得，即可根据面积公式求解 【小问1详解】 ，，， 所以原式可化为， 由正弦定理得：，由余弦定理得：， 【小问2详解】 设中点为，则， 且三点共线， 同理可得点为三条中线的交点，点为的重心， 为中点，， ，平方得：， ①， 又由余弦定理得：，即② 由①②得：， 17. 某市高新技术开发区，一家光学元件生产厂家生产某种元件，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于76为合格品，小于76为次品，现抽取这种元件100件进行检测，检测结果统计如下表： 测试指标 元件数（件） 2 18 36 40 4 （1）现从这100件样品中随机抽取2件，在其中一件为合格品的条件下，求另一件为不合格品的概率； （2）关于随机变量，俄国数学家切比雪夫提出切比雪夫不等式：若随机变量具有数学期望，方差，则对任意正数，均有成立． （i）若，证明：； （ii）由切比雪夫不等式可知，随机变量的取值范围落在期望左右的一定范围内的概率是有界的．若该工厂声称本厂元件合格率为，那么根据所给样本数据，请结合“切比雪夫不等式”说明该工厂所提供的合格率是否可信？（注：当随机事件发生的概率小于0.05时，可称事件为小概率事件） 【答案】（1） （2）（i）由题：若，则，， 又， 所以（或）， 由切比雪夫不等式可知，， 所以， （ii）不可信． 【解析】 【分析】（1）记事件为抽到一件合格品，事件为抽到另一件为不合格品，然后求出，，由条件概率求得； （2）（i）由二项分布期望和方差公式求得，，由二项分布随机变量的概率的性质得到，然后由切比雪夫不等式得到结果； （ii）假设厂家关于产品合格率的说法成立，随机抽取100件产品中合格品的件数为，则，再由期望和方差公式求得，，由由切比雪夫不等式求出，然后由小概率原理做出判断. 【小问1详解】 记事件为抽到一件合格品，事件为抽到另一件为不合格品， ，， ； 【小问2详解】 （i）略 （ii）设随机抽取100件产品中合格品的件数为，假设厂家关于产品合格率为的说法成立，则，所以，， 由切比雪夫不等式知，， 即在假设下100个元件中合格品为80个的概率不超过0.021，此概率极小，由小概率原理可知， 一般来说在一次试验中是不会发生的，据此我们有理由推断工厂的合格率不可信． 18. 已知抛物线的焦点为.抛物线上一点满足，为直线上的动点，过作曲线的两条切线，，其中为切点． （1）求抛物线的方程； （2）求证：直线恒过定点； （3）求面积的最小值． 【答案】（1） （2）证明如下： 设， ， ， 由得，故切线：，即， 同理可得切线： ， 在两条切线，则，所以直线，即， 因，故，故直线恒过定点. （法二） 当直线斜率存在时，设， 联立，得 设，，， ，，， 由得故切线，即 同理切线， 联立得，故， 代入直线得， 直线，所以恒过定点 当直线斜率不存在时，由对称性知，直线，也过定点 综上：直线恒过定点. （3） 【解析】 【分析】（1）由焦半径公式可得，进而可得解； （2）先设， ， ，求得切线方程，由切线交点可得直线的方程为，进而可得； （3）先求弦长，再求到直线的距离，可得，进而可得. 【小问1详解】 由题意故，所以抛物线方程为. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 联立，得， 由韦达定理可得，， 到直线的距离 当时，最小值为 （法二） 当直线斜率不存在时，直线，，到直线距离为8， 当直线斜率存在时 ， 所以到直线的距离， ， 当时，的最小值为3，故， 所以的面积的最小值为. 【点睛】关键点点睛：本题第三问，先用弦长公式表示，再用点到直线的距离公式表示到直线的距离，进而可得. 19. 将有穷数列中部分项按原顺序构成的新数列称为的一个“子列”，剩余项按原顺序构成“子列”．若各项的和与各项的和相等，则称和为数列的一对“完美互补子列” （1）分别判断以下数列是否存在“完美互补子列”，并说明理由： A：1，2，3，4；B：2，，，，，． （2）数列一共项，且满足，，． （i）求证：当和时，都存在“完美互补子列”； （ii）设共有对“完美互补子列”，求证：． 【答案】（1）存在“完美互补子列”，不存在. （2）（i）当时，因为， 所以…. 不妨令中的各项为：，； 中的各项为：. 则与中所有项的和均为. 所以时，数列存在“完美互补子列”. 当时，只需将中，中的移到中， 将放入中，将放入中，此时与中的和均在原来的基础上增加了， 所以，数列存在“完美互补子列”. （ii）当时，数列有对“完美互补子列”， 对的一对“完美互补子列”，比如： 中的各项为：，； 中的各项为：. ①将中的移到中，将放入中，将放入中， 此时与中的和均在原来的基础上增加了，可得的一对“完美互补子列”； ②将中的移到中，将放入中，将放入中， 此时与中的和均在原来的基础上增加了，可得的一对“完美互补子列”； ③将中的移到中，将放入中，将放入中， 此时与中的和均在原来的基础上增加了，可得的一对“完美互补子列”； 所以时的一对“完美互补子列”，时，都至少有三对“完美互补子列”与之对应. 所以. 【解析】 【分析】（1）根据“完美互补子列”的概念和性质进行判断即可. （2）先利用完美互补子列的定义证明当和时，都存在“完美互补子列”，再分类讨论证明. 【小问1详解】 对A选项：取：，；取：，. 则和是数列1，2，3，4的一对“完美互补子列”. 对B选项：因为， 假设该数列存在一对“完美互补子列”和， 则和的各项和为，但中各项均为偶数， 所以和的各项和为不可能成立. 故数列2，，，，，不存在“完美互补子列”. 【小问2详解】 略 【点睛】关键点点睛：本题的第二问中，证明的方法，就是说明时的一对“完美互补子列”，时都至少有三对“完美互补子列”与之对应. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $