专题1.2 整式与因式分解（题型归纳+知识点梳理+常考题型） -2026年数学中考一轮复习讲义.

专题1.2 整式与因式分解 (中考复习讲义) 💧 考点分析 考点要求：掌握整式与因式分解的基本概念与核心运算。具体包括：理解单项式与多项式的相关概念（系数、次数、项）；熟练运用幂的运算性质（同底数幂的乘除、幂的乘方、积的乘方）进行运算；掌握整式的加、减、乘运算法则；熟练掌握因式分解的两种基本方法：提公因式法和公式法（平方差公式、完全平方公式）。 ☘ 题型归纳 题型1 列代数式. 题型2 求代数式的值. 题型3 整式的相关概念. 题型4 与代数式有关的规律探索问题. 题型5 与整式有关的开放性问题. 题型6 同类项的概念. 题型7 合并同类项. 题型8 去（添）括号. 题型9 整式的加减. 题型10整式加减的应用. 题型11 幂的运算及其逆运算. 题型12整式的乘除. 题型13乘法公式. 题型14整式的混合运算. 题型15与整式混合运算有关的新定义运算. 题型16提公因式法分解因式. 题型17公式法分解因式. 题型18综合提公因式和公式法分解因式. 题型19因式分解的应用. ✍ 知识点梳理 【知识点一、代数式及代数式的值】 1.代数式：用运算符号把数和表示数的字母连接而成的式子，叫做代数式；单独的一个数或一个字母也是代数式。 2.列代数式：把问题中与数量有关的词语，用含有数字、字母和运算符号的式子表示出来，就是列代数式。 3.代数式的值：一般地，用数代替代数式里的字母，按照代数式中的运算关系计算得出的结果，叫做代数式的值。 【知识点二、整式相关的概念】 1.单项式：由数或字母的乘积组成的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式． （1）系数：单项式中的数字因数称为这个单项式的系数. （2）次数：一个单项式中，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数. 2.多项式：几个单项式的代数和叫做多项式．在多项式中，每个单项式叫做多项式的项．没有字母的项叫做常数项. （1）次数：多项式里，次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数. 3.降幂排列：把一个多项式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来，叫做把这个多项式按这个字母降幂排列． 4.升幂排列：把一个多项式按某一个字母的指数从小到大的顺序排列起来，叫做把这个多项式按这个字母升幂排列． 5.整式‌：单项式和多项式统称为整式。也就是说，整式是包含加法、减法、乘法和乘方运算（但除数不能含有字母）的代数式。 【知识点三、整式加减运算】 ◉同类项及合并同类项 1.同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项. 几个常数项也是同类项. 2.合并同类项 （1）把多项式中的同类项合并成一项叫做合并同类项. （2）合并同类项的法则：系数相加减，字母和字母的指数保持不变； ◉去、添括号 1. 去括号法则：（1）如果括号前面是“+“号，把“+”号连同括号去掉，括号里面的各项都不改变正负号； （2）如果括号前面是“-“号，把“-”号连同括号去掉，括号里面的各项都改变正负号； 2.添括号法则：（1）如果括号前面是“+”号，括入括号里面的各项都不改变正负号； （2）如果括号前面是“-”号，括入括号里面的各项都改变正负号； ◉整式的加减法：先去括号，再合并同类项； 【知识点四、幂的运算】 1、同底数幂的乘法法则：底数幂相乘，底数不变，指数相加； （都是正整数） 2、幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘。 （都是正整数） 3、积的乘方法则：积的乘方，等于把各因数分别乘方，再把所得的结果相乘； （是正整数）。 4、同底数幂的除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减； （都是正整数，且 【知识点五、整式的乘除】 ◉整式的乘法 1.单项式乘单项式‌：把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余的字母连同它的指数不变，作为积的因式； 2.单项式乘多项式‌：就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加，； 3.多项式乘多项式‌：先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加；； ◉乘法公式 1.平方差公式： 两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差；，注意平方差公式展开只有两项 公式特征：左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数。右边是相同项的平方减去相反项的平方。                               2.完全平方公式： 两数和 (差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的2倍. ； 完全平方公式的口诀：首平方+尾平方，首尾2倍在中央，符号跟着2倍走,系数计算不能忘。 ◉整式的除法 1.单项式除以单项式‌：把系数、同底数幂分别相除后，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式。 2.多项式除以单项式‌：把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加。 需要注意的是，整式的乘除运算要遵循运算的优先级，即先进行乘除运算，再进行加减运算（有括号先算括号里的）。 ◉整式的混合运算 1.运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；如果有括号，先算括号里面的，再算括号外面的； 【知识点六、因式分解】 1.因式分解：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫作把这个多项式分解因式。 2.提公因式法 （1）公因式：一个多项式各项都含有的因式，叫做这个多项式的公因式； 公因式的构成一般情况下有三部分： ①系数一各项系数的最大公约数； ②字母——各项含有的字母； ③指数——相同字母的次数最低的指数； （2）提公因式：把多项式中的公因式提出来作为一个因式，各项剩下的组合成另一个因式，这种分解因式的方法叫做提公因式； 3.公式法 （1）公式法：如果把乘法公式的等号两边互换位置，就可以得到用于分解因式的公式，用来把某些具有特殊形式的多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做公式法； （2）常用的公式： 平方差公式：， 完全平方公式：； 核心考点解析 题型1.列代数式 1．在生活中我们会遇到打折销售的问题，若某商品原价元，降价后的售价为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】用原价减去降价金额得到最终售价即可． 【详解】解：降价后的售价为（元）． 2．“m与3的差的2倍”用代数式可以表示成（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查列代数式，解答本题的关键是明确题意，列出相应的代数式． m与3的差即，然后即可得到m与3的差的2倍为． 【详解】解：由题意可得， m与3的差的2倍可以表示为， 故选：D． 3．为落实“双减”政策，某校利用课后服务开展了主题为“书香满校园”的读书活动．现需购买甲，乙两种读本共本供学生阅读，其中甲种读本的单价为元/本，乙种读本的单价为元/本，设购买甲种读本本，则购买乙种读本的费用为 ____________ 元． 【答案】 【分析】根据乙读本的总费用等于乙读本的单价乘以乙读本的购买数量，列式即可． 【详解】解：设购买甲种读本本， 已知甲，乙两种读本共本，则购买乙种读本的数量为本， 乙种读本的单价为元/本， 因此购买乙种读本的费用为：元． 4．如图，某中学准备在校园里利用长的旧围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园（其中墙留宽的入口），现已备足可以砌长的墙的材料（全部用完），设的长为． (1)的长为________m，的取值范围是________； (2)当为何值时，可使矩形花园的面积为？ (3)亮亮说：“矩形花园的面积可以为．”请你判断亮亮的说法正确吗？并说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)亮亮的说法不正确，理由见解析 【分析】（1）根据题意列代数式，再结合旧围墙的长度列不等式求解； （2）根据矩形花园的面积为列一元二次方程，取范围内的解即可； （3）根据矩形花园面积列一元二次方程，再结合根的判别式确定方程无解，即可得解． 【详解】（1）解：， ， ， ， ； （2）解：根据题意得， 整理得， 解得（舍），， 答：当时，矩形花园的面积为； （3）解：亮亮的说法不正确，理由如下： 根据题意得，即， ， 该方程无实数根， 矩形花园的面积不可以为，即亮亮的说法不正确． 题型2.求代数式的值 1．请将分别填入如图所示的九宫格中，要求同一横行、同一竖行以及同一条斜对角线上的3个数相加都得0．则的值为（   ） A．5 B． C． D．0 【答案】B 【详解】解：同一横行、同一竖行以及同一条斜对角线上的3个数相加都得0， ，解得； 设右下角数字为，则，即，解得， ，即，解得， ． 2．若α，β是方程的两个根，则的值为（    ） A．7 B． C． D．3 【答案】A 【分析】由一元二次方程根与系数的关系，，，由此可解． 【详解】由题意得，，， ． 3．在平面直角坐标系中，点与点关于y轴对称，则的值是________． 【答案】 【分析】根据关于y轴对称的点横坐标互为相反数，纵坐标相等，求出a和b的值，再计算即可． 【详解】解：∵点与点关于轴对称， ，， ． 4．先化简，再求值：，其中x、y满足： 【答案】； 【分析】先利用整式乘法公式化简整式，再整理已知等式，根据非负数的性质求出x和y的值，代入化简后的结果计算即可． 【详解】解： ∵ ∴，即， ∵， ∴， ∴，， ∴原式． 题型3.整式的相关概念 1．下列各式计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了单项式乘以单项式，掌握单项式乘以单项式的运算法则是解题的关键． 利用单项式乘以单项式的运算法则逐项判断即可． 【详解】解：A．，故该选项错误，不符合题意； B．，故该选项正确，符合题意； C．，故该选项错误，不符合题意；     D．，故该选项错误，不符合题意． 故选B． 2．已知，则__________． 【答案】 8 【分析】本题考查了完全平方公式变形求值．利用完全平方公式展开已知条件，通过加减方程组求解和的值，再代入所求表达式计算． 【详解】解：∵，， ∴两式相加得， ∴； 两式相减得， ∴． 则． 故答案为：8． 3．若展开合并后不含的一次项，则常数的值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查多项式乘多项式的运算，解题的关键是理解“不含x的一次项”意味着一次项的系数为0． 通过展开多项式、合并同类项后令一次项系数为0求解n的值． 【详解】解：∵ 又∵展开合并后不含x的一次项， ∴一次项系数， 解得， ∴常数n的值为2． 故选：A． 4．已知，，． (1)先化简，再计算当时，求该式子的值； (2)若，求x的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）把分别代入后再化简，然后代入求值； （2）把代入等式后再解方程即可． 【详解】（1）解：原式 ， 当时，原式． （2）解：由题意可得：， 解得：． 题型4.与整式有关的规律探索问题 1.【文化欣赏】我国南宋时期数学家杨辉于年写下《详解九章算法》，书中记载的二项式的乘方展开式的系数规律如图所示，其中“三乘”对应的展开式：． 【应用体验】已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了多项式乘多项式的规律探究，根据“三乘”对应的展开式：，即可求解． 【详解】解：“三乘”对应的展开式：， ∴ ， ∴． 故选：D． 2．观察下列各式： … 根据上面各式的规律，写出的各项的系数和为_______． 【答案】256 【分析】本题考查二项式展开式的系数和规律问题．通过观察已知展开式的系数和，归纳出一般规律，再代入计算即可． 【详解】解：观察已知展开式可得， 的各项系数和为， 的各项系数和为， 的各项系数和为， 的各项系数和为， 归纳可得规律：的各项系数和为， 当时，， 故答案为：256． 3．观察下面的运算规律： ，，，……若一个两位数个位为，其十位数字为（为正整数），则_________ 【答案】 【分析】本题考查了数的运算规律的探究，观察给出的算式得到一般规律是解决本题的关键；观察给出的运算规律，发现个位数为的两位数的平方等于十位数字与的乘积乘以再加． 【详解】解：∵，，， ∴对于任意个位为的两位数，其十位数字为，则其数为，其平方为，可表示为； 故答案为：． 4．观察下列各式： ； ； … (1)请根据上述规律直接写出计算结果：______；______． (2)设这两个两位数的十位数字都为a，其中一个两位数的个位数字为b，另一个两位数的个位数字为c，且．请用代数式表示上述规律，并用所学的知识说明上述规律的正确性． 【答案】(1)5621；9016 (2)；理由见解析 【分析】本题考查多项式乘多项式的应用，正确表示出两个乘数是解题的关键． （1）利用所给规律可直接得出答案； （2）两个乘数可以表示为和，积可以表示为，根据多项式乘多项式，结合可证． 【详解】（1）， ； 故答案是：；． （2）用代数式表示规律：； 理由如下：， ， ． 题型5与整式有关的开放性问题 1．已知代数式是一个完全平方式，则t的值是（   ） A．5 B． C．5或 D．或 【答案】D 【分析】利用完全平方公式的结构特征求解． 【详解】解：∵代数式是完全平方式， 又∵， ∴， ∴， 当时，解得； 当时，解得； ∴t的值为或． 2．我们定义一种新运算：记，如果设A为代数式，若，则A=_____________（用含x，y的代数式表示）． 【答案】 【分析】本题考查定义新运算，理解新运算，熟练掌握分式的计算是解题的关键． 利用新运算将方程变形为，然后化简即可． 【详解】解：， ， ， ， ． 故填：． 3．对于任意的整数，如果，则称为的“最简平方差”，为的“最佳分解数”．例如：，则为的“最简平方差”，为的“最佳分解数”．已知“最简平方差”对应的“最佳分解数”分别为、，且，则的最小值为_____． 【答案】 【分析】本题考查了新定义运算及平方差公式，关键是对定义的理解；根据定义可得关于的表达式，再结合得到的关系式，最后根据为整数，求出的最小值． 【详解】解：∵“最简平方差”对应“最佳分解数”， ∴； 同理， ∵， ∴，即， ∴， ∵、均为整数，且由， ∴ 当时，； 当时，； 因此的最小值为， 故答案为：． 4．如果，那么的结果是_____． 【答案】6 【分析】本题主要考查整式的混合运算-化简求值，解题的关键是掌握整式的混合运算顺序和运算法则及完全平方公式、平方差公式．先利用完全平方公式和平方差公式计算，再去括号、合并同类项即可化简原式，继而根据，即，代入可得答案． 【详解】解：， ， 由得， ∴原式． 故答案为：6． 题型6同类项的概念 1．下列每组单项式中是同类项的是（　　） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】A 【详解】解：A、与所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，所以是同类项，故选项A符合题意； B、与，字母的指数不同，字母的指数也不同，所以不是同类项，故选项B不符合题意； C、与所含字母不相同，所以不是同类项，故选项C不符合题意； D、与所含字母不相同，所以不是同类项，故选项D不符合题意 2．若单项式与是同类项，则_____． 【答案】5 【分析】本题考查同类项的定义，解题的关键是根据同类项的定义，相同字母的指数相同，可求出 和的值，再代入计算． 【详解】解：∵ 单项式与是同类项， ∴ ，， ∴ 故答案为：5． 3．下列说法正确的是（    ） A．单项式的系数是 B．多项式的次数是5 C．是一个单项式 D．和是同类项 【答案】C 【详解】解：A、∵单项式的数字因数为， ∴该单项式的系数是，故选项A错误，不符合题意； B、∵多项式中，项的次数是3，项的次数是，最高次项的次数是3， ∴该多项式的次数是3，故选项B错误，不符合题意； C、∵单独的一个数是单项式， ∴0是单项式，故选项C正确，符合题意； D、∵与中，相同字母的指数不相等， ∴二者不是同类项，故选项D错误，不符合题意． 4．化简求值 (1)化简求值：，其中． (2)已知与是同类项，求多项式的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查同类项的概念以及整式的化简求值，解题的关键是掌握同类项定义和整式加减运算法则． （1）先通过合并同类项化简式子，再代入的值计算． （2）先根据同类项定义求出、的值，再代入多项式求值． 【详解】（1）解： 把代入，可得： 原式 ； （2）解：已知与是同类项，所以， 把代入， 原式 ． 题型7.合并同类项 1．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据完全平方公式、合并同类项法则、同底数幂乘法法则及积的乘方法则计算即可． 【详解】解：、，该选项运算错误，不符合题意； 、，该选项运算错误，不符合题意； 、，该选项运算错误，不符合题意； 、，该选项运算正确，符合题意． 2．如果单项式 与的和仍是单项式，则________． 【答案】 【分析】根据两个单项式的和仍是单项式，则这两个单项式为同类项.根据同类项定义求出a与b的值，再代入所求代数式计算即可. 【详解】解：∵单项式与的和仍是单项式， ∴与是同类项， ∴，， ∴，， ∴. 3．有理数a、b、c在数轴上的对应点的位置如图所示，化简：______ 【答案】 【分析】本题考查数轴及绝对值，合并同类项，根据所给数轴得出绝对值内代数式的正负，去掉绝对值符号后合并同类项即可． 【详解】解：由题知， ，且， 所以， 则原式 故答案为： 4．阅读材料 “整体思想”是数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛．比如．由此，若我们把看成一个整体，当成字母“”，则． 迁移应用： (1)把看成一个整体，合并的结果是__________； (2)已知，则的结果是__________； (3)已知，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了合并同类项，代数式求值，利用整体代入思想解题是关键. ()仿照材料，把看成一个整体，即可合并； ()将整体代入计算即可； ()先去括号，再添括号，根据已知，然后整体代入求值即可. 【详解】（1）解：原式 故答案为：； （2）由，得 因此 故答案为：； （3）解：， 又∵，即， ∴原式. 题型8.去（添）括号 1．下列各式中，添括号或去括号正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了去括号与添括号的法则，按照去括号或添括号的法则进行即可． 【详解】解：A、，故添括号错误； B、，故添括号错误； C、，故去括号错误； D、，故去括号正确． 故选：D． 2．若，则的值为______． 【答案】 【分析】本题考查了代数式的计算和整体代入法．化简代数式，然后将条件式整体代入即可． 【详解】解： ， ∵， ∴． 故答案为：． 3．在等式中，括号里应填（ ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查添括号，熟练掌握添括号中符号的变化规律是解题关键． 根据整式减法的性质，括号前是负号，因此括号内所有项的符号都要改变． 【详解】解：∵ 括号前是负号， ∴括号内所有项的符号都要改变， ∴应填． 故选：A． 4．去括号：_______． 【答案】 【分析】本题主要考查了去括号，括号前是“”，去括号后，括号里的各项都不改变符号；括号前是“”，去括号后，括号里的各项都改变符号，据此求解即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 题型9.整式的加减 1．若，，a为有理数，则的值是（　　） A．为正数 B．为负数 C．为非正数 D．不能确定 【答案】B 【分析】计算后，根据平方的非负性判断结果的符号即可得到结论． 【详解】解：∵， ∴ ∵为有理数， ∴ ∴ ∴， 即的值为负数． 2．有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简：__________． 【答案】 【分析】先由数轴可得，那么，再化简绝对值，进行整式的加减计算即可． 【详解】解：由数轴可得，， ∴， ∴ ． 3．已知多项式，． (1)化简：； (2)直接写出下列条件下的值． ①； ②． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题考查了整式的加减、化简求值． （1）根据整式的加减运算法则计算即可； （2）根据（1）中的化简结果代入求解即可； 【详解】（1）解： ， （2）解；①当时，， ②当时，． 4．若对于任意实数，方程恒成立，则m，n的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先整理原方程，分离含的项与常数项，根据方程对任意恒成立的条件，列出关于m，n的二元一次方程组，求解得到结果． 【详解】解：∵ 方程对任意实数恒成立．展开整理原方程得 ．要使该式对任意都成立，则的系数和常数项都为0． ∴ ， 解得 ． 题型10.整式加减的应用 1．若，则与的和是（   ） A．8 B．0 C．4 D． 【答案】A 【分析】本题考查了整式的加减、整式的代入求值，掌握“整体思想”的应用是解题的关键，先将所求的两个式子相加并化简，再通过已知等式变形得到的值，最后整体代入计算即可得出结果． 【详解】解：∵ 要求与的和， ∴． ∵ ， ∴． 将代入，得 ， ∴与的和为8． 故选：A． 2．有下列四个表达式： ①；②；③；④．其中不能表示如图所示的正方形的面积的是___________（填序号）． 【答案】③ 【分析】根据正方形的面积公式，大正方形的面积可以表示为边长的平方，也可以表示为四个小图形面积之和，还可以表示为两个矩形面积之和，分别对四个表达式进行判断即可． 【详解】解：由图可知，大正方形的边长为， 大正方形的面积为，故①能表示； 大正方形的面积也可以看作是四个小图形的面积之和，即，故②能表示； 大正方形的面积还可以看作是上下两个矩形的面积之和，上方矩形面积为，下方矩形面积为，总面积为，故④能表示； 而表示的是边长为的正方形的面积，与题意不符，故③不能表示． 3．如图，公园有一块长为米，宽为a米的长方形土地（一边靠着墙），余下部分设计成花圃，并用篱笆把花圃不靠墙的三边围起来． (1)花圃的宽为 米，花圃的长为 米；（用含a，b的代数式表示） (2)求篱笆的总长度；（用含a、b的代数式表示） (3)若，，篱笆的单价为50元/米，则总费用为多少？ 【答案】(1)， (2)总长度米 (3)总价为950元 【分析】（1）利用图中尺寸计算即可； （2）先根据所给的图形，得出花圃的长和宽，然后根据长方形周长公式求出篱笆总长度； （3）直接将和代入第（2）问所得的式子中，将所得结果乘以篱笆的单价，得出篱笆的总价． 【详解】（1）解：米，米， （2）解：由图可得：花圃的长为米，宽为米； ∴篱笆的总长度为： 米， 答：篱笆的总长度米； （3）解：当，时，篱笆的总长度为（米）， 篱笆的总价为（元）， 答：篱笆的总价为950元． 4．一批水泥，用汽车运走了a吨，剩下的水泥比运走的少b吨，用含a、b的代数式表示这批水泥共有_________吨．（结果化为最简） 【答案】 【分析】先根据已知条件求出剩余水泥的吨数，再将运走的水泥吨数与剩余的相加，最后化简代数式得到总吨数． 【详解】解：由题意可知，运走水泥a吨，剩下的水泥比运走的少b吨， 剩下的水泥为吨． 这批水泥的总吨数为． 题型11.幂的运算及逆运算 1．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A．∵与不是同类项，不能合并，∴A错误． B．∵，∴B错误． C．∵，∴C错误． D．∵，等式成立，∴D正确． 2．已知，则=____________ 【答案】16 【分析】先根据已知等式得到的值，再利用同底数幂的乘法法则化简后代入计算即可． 【详解】解：由可得. ∴． 3．下列运算中，计算错误的是（） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】分别根据合并同类项法则，积的乘方法则，同底数幂的乘法法则，完全平方公式计算各选项，找出计算错误的选项即可． 【详解】解：A、，本选项计算正确； B、，本选项计算正确； C、，本选项计算正确； D、，本选项计算错误． 4．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查有理数的混合运算，幂的混合运算，准确应用运算法则是解题的关键． （1）先计算乘方、绝对值，再乘除，最后进行加减运算； （2）先计算幂的乘方、积的乘方，再计算同底数幂乘法，最后合并同类项． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 题型12整式的乘除 1．计算结果正确的是（   ） A．2 B． C．x D． 【答案】D 【分析】本题主要考查单项式乘以多项式，熟练掌握单项式乘以多项式是解题的关键；因此此题可根据单项式乘以多项式进行求解． 【详解】解：； 故选：D． 2．如图是李伟家住房的结构图（单位：），李伟打算把卧室和客厅铺上木地板，请你帮他算一算，卧室和客厅的面积和为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了整式混合运算，正确从图形上获取正确数据是解题关键．直接利用已知数据结合矩形面积列代数式即可． 【详解】解：由题意可得，卧室和客厅的面积和为： ． ． 故选：A． 3．若，则多项式应是______________． 【答案】 【分析】根据乘法与除法的互逆关系，可得为除以，对被除式运用平方差公式分解因式，进一步计算即可得到结果. 【详解】解：∵， ∴ . 4．先化简，再求值：，其中，． 【答案】化简为，值为 【分析】首先利用完全平方公式和平方差公式展开括号内的整式，然后去括号、合并同类项，再根据多项式除以单项式的法则进行化简，得到最简整式后，代入给定的、的值计算最终结果． 【详解】解： ， 当，时，原式． 题型13.乘法公式 1．下列多项式乘法中，可以用平方差公式计算的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了平方差公式，解题的关键是掌握平方差公式的形式． 根据平方差公式的结构特征，判断各选项是否符合“两个二项式相乘，一项完全相同，另一项互为相反数”的条件． 【详解】解：A选项：中，含的项分别为和，既不相同也不互为相反数，不符合平方差公式结构； B选项：=，两项均互为相反数，不符合平方差公式结构； C选项：=，两项均互为相反数，不符合平方差公式结构； D选项：=，其中相同项为，互为相反数的项为与，符合平方差公式结构，可计算为； 故选：D． 2．下列等式中能够成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据完全平方公式展开各选项左边的式子，和右边对比即可判断求解． 【详解】解：、，该选项等式不成立，不符合题意； 、，该选项等式不成立，不符合题意； 、，该选项等式不成立，不符合题意； 、，该选项等式成立，符合题意． 3．长方形的周长为14，一组邻边的长、满足，则这个长方形的面积为______． 【答案】12 【分析】本题主要考查了完全平方公式在几何图形中的应用，根据长方形周长公式得到，再由完全平方公式的变形得到，据此代值计算即可． 【详解】解：∵长方形的周长为14，x、y为该长方形的一组邻边长， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴这个长方形的面积为12， 故答案为：12． 4．探究及应用： （1）如左图，可以求出阴影部分的面积是______； （2）如右图，若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个矩形，面积是______． （3）比较左、右两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式______． 运用你所得到的公式，计算： （4） （5） （6）若，，求． 【答案】（1）（2）（3）（4）（5）（6） 【分析】（1）利用正方形的面积公式就可求出； （2）仔细观察图形就会知道长，宽，由面积公式就可求出面积； （3）利用等面积法建立等式就可得出公式； （4）把原式化为，利用平方差公式就可方便简单的计算； （5）把原式化为，利用平方差公式就可方便简单的计算； （6）根据平方差公式，再列方程求解即可． 【详解】（1）解：利用正方形的面积公式可知：阴影部分的面积； （2）解：由图可知矩形的宽是，长是，所以面积是； （3）解： ； （4）解： ； （5）解：； （6）解：， ， 又，即， ． 题型14.整式的混合运算及化简求值 1．若，，，其中，，为连续整数，且，则，，的大小关系是（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查比较二次根式的大小，由m，n，k为连续整数且，设，（），代入表达式计算a，b，c，再比较大小． 【详解】解：∵m，n，k为连续整数，且， ∴，（）． ∴， ， ， ∵， ∴， ∴． 故选：D． 2．已知，．则___________． 【答案】 【分析】本题主要考查了整式乘法的应用，准确利用完全平方公式化简计算是解题的关键． 利用已知条件求出和的值，然后将所求表达式转化为的形式，代入计算。 【详解】由，得； 由，得， 将两式相加，得，所以； 将两式相减，得，所以， 所求表达式为， 将其分组为， 代入已知值： ， 将，代入， 得． 故答案是：． 3．化简求值：，其中，． 【答案】，值为3 【分析】本题考查的是整式的混合运算，化简求值．先计算括号内整式的乘法运算，再合并，最后计算整式的除法运算，最后代入计算即可． 【详解】解： 当，时， 原式． 4．计算： (1) ； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据多项式除以单项式求解即可； （2）根据单项式乘以多项式，平方差公式计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 题型15.与整式混合运算有关新定义问题 1．对于任意有理数，，现用“☆”定义一种运算：☆，根据这个定义，代数式☆可以化简为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了整式的混合运算；根据新定义的运算规则代入，再利用完全平方公式展开化简即可． 【详解】解：∵☆， ∴☆， ∵， ∴， 故选：C． 2．数学计算中给出如下定义：．若，，则的值为______． 【答案】 【分析】本题考查了整式的化简求值，理解新定义的规定是解题的关键． 先根据新定义变形，再化简可得，把的值代入计算即可． 【详解】解：， 由题意得：， 整理得， ∵， ∴，即， 解得， 故答案为：． 3．对于有理数，定义，则将化简后得（    ） A．0 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题需要根据新定义的运算规则，先计算内层的，再将结果与进行新定义运算，逐步化简得出最终结果． 【详解】原式， ， ， ， ， 故选：C． 【点睛】本题考查了新定义运算和整式的化简，掌握新定义的运算规则并按照运算顺序逐步计算是解题的关键． 4．若规定，则的结果是_____，因式分解的结果是____． 【答案】 【分析】本题考查了新定义运算，整式混合运算，因式分解，准确熟练地进行计算是解题的关键．按照定义的新运算进行计算，即可解答． 【详解】解：由题意得： ； ， 故答案为：；． 题型16.提公因式分解因式 1．利用“提公因式法”对多项式进行因式分解，正确的是 （    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：． 2．若，则____________． 【答案】0 【分析】题目主要考查因式分解，求代数式的值，熟练掌握是解题关键． 先对所求代数式提取公因式进行因式分解，再将已知条件整体代入计算求解． 【详解】解： 将，代入上式，得 原式 ， 故答案为：0． 3．把下列各式因式分解： (1)； (2)； (3)（为正整数）． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】应用提公因式法解题即可，确定一个多项式的公因式时，要对数字系数和字母分别进行考虑． 【详解】（1）解：． （2）解：． （3）解：． 4．将下列多项式因式分解，结果中不含有因式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了因式分解， 对每个多项式进行因式分解，判断是否含有因式来解答． 【详解】解：A：，含有因式，不符合题意； B：在实数范围内不可分解，因此不含有因式，符合题意； C：，含有因式，不符合题意； D：，含有因式，不符合题意． 故选：B． 题型17.公式法分解因式 1．下列因式分解正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用平方差公式和完全平方公式，对比等式左右两边即可判断． 【详解】解：A、，该选项不符合题意； B、，该选项不符合题意； C、，该选项不符合题意； D、，该选项符合题意． 2．已知，则______． 【答案】110 【分析】本题考查的是完全平方公式、立方和公式及代数式求值，先根据完全平方公式变形求出，再整体代入计算即可． 【详解】解：， 等式两边除以x得到， ， 即， 解得， 根据立方和的公式， 则， 故答案为：． 3．因式分解：________ 【答案】 【分析】本题考查分组分解法进行因式分解，通过重新分组并提取公因式后，再提取二次公因式即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 4．在实数范围内分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了因式分解． （1）首先利用完全平方公式变形，然后利用平方差公式因式分解即可． （2）首先利用完全平方公式变形，然后利用平方差公式因式分解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型18综合提公因式和公式法分解因式 1．多项式因式分解的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先提取公因式，再利用完全平方公式进行分解． 【详解】解： ． 2．对因式分解，嘉嘉的解答为：；琪琪的解答为：，下列判断正确的是（　　） A．只有嘉嘉的结果对 B．只有琪琪的结果对 C．两人的结果都对 D．两人的结果都不对 【答案】A 【分析】本题考查因式分解的正确步骤，需先提取公因式，再利用平方差公式分解，同时要保证因式分解结果与原式等价且分解彻底． 【详解】解：∵原式为 ∴先提取公因式4，得 又∵符合平方差公式（其中，） ∴ ∴最终因式分解结果为，即嘉嘉的结果正确 ∵琪琪的结果展开后为，与原式不相等 ∴琪琪的结果错误， ∴只有嘉嘉的结果对． 故选：A． 3．分解因式：___________． 【答案】 / 【详解】解: 4．分解因式 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先凑出公因式，然后提取公因式，最后运用平方差公式分解即可； （2）先把原式化成完全平方公式的形式，然后运用完全平方公式分解即可． 【详解】（1）解： . （2）解： ． 题型19.因式分解的应用 1．若实数x，y满足，则下列式子一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查的知识点为完全平方公式的应用以及因式分解．通过观察式子的结构，对化简后的式子进行因式分解，得到，因为一个数的平方等于 0，所以这个数为 0，所以推导出，从而得出答案． 【详解】解：， ， ， ， 因为一个数的平方等于 0，所以这个数为 0，即， 所以， 故选：C． 2．若，且，，则的值为（    ） A． B．2 C． D．1 【答案】D 【分析】两式作差后，利用因式分解进行求解即可. 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴. 3．已知因式分解为，其中，，均为整数，则的值为______． 【答案】11 【分析】先通过变形将式子转化为含有相同公因式的形式，提取公因式后整理化简，再与给定的因式分解形式对比确定a、b、c的取值，最后代入代数式计算的值． 【详解】解： ， 对比，可得，，， 则． 4．方法探究： 已知二次多项式，我们把代入多项式，发现，由此可以推断多项式中有因式．设另一个因式为，多项式可以表示成，则有，因为对应项的系数是对应相等的，即，解得，因此多项式分解因式得：． 我们把以上分解因式的方法叫做“试根法”． 问题解决： (1)用“试根法”分解因式：． (2)对于三次多项式，我们把代入多项式，发现，由此可以推断多项式中有因式，设另一个因式为，多项式可以表示成，试求出题目中． 【答案】(1) (2)； 【分析】（1）将代入，可得多项式含有因式，设并将其展开进行求解即可； （2）将展开进行求解即可． 【详解】（1）解：将代入多项式，得 ， ∴多项式含有因式， 设， ∴ ∴一次项系数： 解得， 常数项：， ∴； （2）解：由题意得， ， ∴二次项系数： 解得， 常数项： 解得． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.2 整式与因式分解 (中考复习讲义) 💧 考点分析 考点要求：掌握整式与因式分解的基本概念与核心运算。具体包括：理解单项式与多项式的相关概念（系数、次数、项）；熟练运用幂的运算性质（同底数幂的乘除、幂的乘方、积的乘方）进行运算；掌握整式的加、减、乘运算法则；熟练掌握因式分解的两种基本方法：提公因式法和公式法（平方差公式、完全平方公式）。 ☘ 题型归纳 题型1 列代数式. 题型2 求代数式的值. 题型3 整式的相关概念. 题型4 与代数式有关的规律探索问题. 题型5 与整式有关的开放性问题. 题型6 同类项的概念. 题型7 合并同类项. 题型8 去（添）括号. 题型9 整式的加减. 题型10整式加减的应用. 题型11 幂的运算及其逆运算. 题型12整式的乘除. 题型13乘法公式. 题型14整式的混合运算. 题型15与整式混合运算有关的新定义运算. 题型16提公因式法分解因式. 题型17公式法分解因式. 题型18综合提公因式和公式法分解因式. 题型19因式分解的应用. ✍ 知识点梳理 【知识点一、代数式及代数式的值】 1.代数式：用运算符号把数和表示数的字母连接而成的式子，叫做代数式；单独的一个数或一个字母也是代数式。 2.列代数式：把问题中与数量有关的词语，用含有数字、字母和运算符号的式子表示出来，就是列代数式。 3.代数式的值：一般地，用数代替代数式里的字母，按照代数式中的运算关系计算得出的结果，叫做代数式的值。 【知识点二、整式相关的概念】 1.单项式：由数或字母的乘积组成的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式． （1）系数：单项式中的数字因数称为这个单项式的系数. （2）次数：一个单项式中，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数. 2.多项式：几个单项式的代数和叫做多项式．在多项式中，每个单项式叫做多项式的项．没有字母的项叫做常数项. （1）次数：多项式里，次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数. 3.降幂排列：把一个多项式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来，叫做把这个多项式按这个字母降幂排列． 4.升幂排列：把一个多项式按某一个字母的指数从小到大的顺序排列起来，叫做把这个多项式按这个字母升幂排列． 5.整式‌：单项式和多项式统称为整式。也就是说，整式是包含加法、减法、乘法和乘方运算（但除数不能含有字母）的代数式。 【知识点三、整式加减运算】 ◉同类项及合并同类项 1.同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项. 几个常数项也是同类项. 2.合并同类项 （1）把多项式中的同类项合并成一项叫做合并同类项. （2）合并同类项的法则：系数相加减，字母和字母的指数保持不变； ◉去、添括号 1. 去括号法则：（1）如果括号前面是“+“号，把“+”号连同括号去掉，括号里面的各项都不改变正负号； （2）如果括号前面是“-“号，把“-”号连同括号去掉，括号里面的各项都改变正负号； 2.添括号法则：（1）如果括号前面是“+”号，括入括号里面的各项都不改变正负号； （2）如果括号前面是“-”号，括入括号里面的各项都改变正负号； ◉整式的加减法：先去括号，再合并同类项； 【知识点四、幂的运算】 1、同底数幂的乘法法则：底数幂相乘，底数不变，指数相加； （都是正整数） 2、幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘。 （都是正整数） 3、积的乘方法则：积的乘方，等于把各因数分别乘方，再把所得的结果相乘； （是正整数）。 4、同底数幂的除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减； （都是正整数，且 【知识点五、整式的乘除】 ◉整式的乘法 1.单项式乘单项式‌：把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余的字母连同它的指数不变，作为积的因式； 2.单项式乘多项式‌：就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加，； 3.多项式乘多项式‌：先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加；； ◉乘法公式 1.平方差公式： 两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差；，注意平方差公式展开只有两项 公式特征：左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数。右边是相同项的平方减去相反项的平方。                               2.完全平方公式： 两数和 (差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的2倍. ； 完全平方公式的口诀：首平方+尾平方，首尾2倍在中央，符号跟着2倍走,系数计算不能忘。 ◉整式的除法 1.单项式除以单项式‌：把系数、同底数幂分别相除后，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式。 2.多项式除以单项式‌：把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加。 需要注意的是，整式的乘除运算要遵循运算的优先级，即先进行乘除运算，再进行加减运算（有括号先算括号里的）。 ◉整式的混合运算 1.运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；如果有括号，先算括号里面的，再算括号外面的； 【知识点六、因式分解】 1.因式分解：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫作把这个多项式分解因式。 2.提公因式法 （1）公因式：一个多项式各项都含有的因式，叫做这个多项式的公因式； 公因式的构成一般情况下有三部分： ①系数一各项系数的最大公约数； ②字母——各项含有的字母； ③指数——相同字母的次数最低的指数； （2）提公因式：把多项式中的公因式提出来作为一个因式，各项剩下的组合成另一个因式，这种分解因式的方法叫做提公因式； 3.公式法 （1）公式法：如果把乘法公式的等号两边互换位置，就可以得到用于分解因式的公式，用来把某些具有特殊形式的多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做公式法； （2）常用的公式： 平方差公式：， 完全平方公式：； 核心考点解析 题型1.列代数式 1．在生活中我们会遇到打折销售的问题，若某商品原价元，降价后的售价为（   ） A． B． C． D． 2．“m与3的差的2倍”用代数式可以表示成（   ） A． B． C． D． 3．为落实“双减”政策，某校利用课后服务开展了主题为“书香满校园”的读书活动．现需购买甲，乙两种读本共本供学生阅读，其中甲种读本的单价为元/本，乙种读本的单价为元/本，设购买甲种读本本，则购买乙种读本的费用为 ____________ 元． 4．如图，某中学准备在校园里利用长的旧围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园（其中墙留宽的入口），现已备足可以砌长的墙的材料（全部用完），设的长为． (1)的长为________m，的取值范围是________； (2)当为何值时，可使矩形花园的面积为？ (3)亮亮说：“矩形花园的面积可以为．”请你判断亮亮的说法正确吗？并说明理由． 题型2.求代数式的值 1．请将分别填入如图所示的九宫格中，要求同一横行、同一竖行以及同一条斜对角线上的3个数相加都得0．则的值为（   ） A．5 B． C． D．0 2．若α，β是方程的两个根，则的值为（    ） A．7 B． C． D．3 3．在平面直角坐标系中，点与点关于y轴对称，则的值是________． 4．先化简，再求值：，其中x、y满足： 题型3.整式的相关概念 1．下列各式计算正确的是（    ） A． B． C． D． 2．已知，则__________． 3．若展开合并后不含的一次项，则常数的值为（    ） A．2 B． C． D． 4．已知，，． (1)先化简，再计算当时，求该式子的值； (2)若，求x的值． 题型4.与整式有关的规律探索问题 1.【文化欣赏】我国南宋时期数学家杨辉于年写下《详解九章算法》，书中记载的二项式的乘方展开式的系数规律如图所示，其中“三乘”对应的展开式：． 【应用体验】已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 2．观察下列各式： … 根据上面各式的规律，写出的各项的系数和为_______． 3．观察下面的运算规律： ，，，……若一个两位数个位为，其十位数字为（为正整数），则_________ 4．观察下列各式： ； ； … (1)请根据上述规律直接写出计算结果：______；______． (2)设这两个两位数的十位数字都为a，其中一个两位数的个位数字为b，另一个两位数的个位数字为c，且．请用代数式表示上述规律，并用所学的知识说明上述规律的正确性． 题型5与整式有关的开放性问题 1．已知代数式是一个完全平方式，则t的值是（   ） A．5 B． C．5或 D．或 2．我们定义一种新运算：记，如果设A为代数式，若，则A=_____________（用含x，y的代数式表示）． 3．对于任意的整数，如果，则称为的“最简平方差”，为的“最佳分解数”．例如：，则为的“最简平方差”，为的“最佳分解数”．已知“最简平方差”对应的“最佳分解数”分别为、，且，则的最小值为_____． 4．如果，那么的结果是_____． 题型6同类项的概念 1．下列每组单项式中是同类项的是（　　） A．与 B．与 C．与 D．与 2．若单项式与是同类项，则_____． 3．下列说法正确的是（    ） A．单项式的系数是 B．多项式的次数是5 C．是一个单项式 D．和是同类项 4．化简求值 (1)化简求值：，其中． (2)已知与是同类项，求多项式的值． 题型7.合并同类项 1．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 2．如果单项式 与的和仍是单项式，则________． 3．有理数a、b、c在数轴上的对应点的位置如图所示，化简：______ 4．阅读材料 “整体思想”是数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛．比如．由此，若我们把看成一个整体，当成字母“”，则． 迁移应用： (1)把看成一个整体，合并的结果是__________； (2)已知，则的结果是__________； (3)已知，求的值． 题型8.去（添）括号 1．下列各式中，添括号或去括号正确的是（   ） A． B． C． D． 2．若，则的值为______． 3．在等式中，括号里应填（ ）． A． B． C． D． 4．去括号：_______． 题型9.整式的加减 1．若，，a为有理数，则的值是（　　） A．为正数 B．为负数 C．为非正数 D．不能确定 2．有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简：__________． 3．已知多项式，． (1)化简：； (2)直接写出下列条件下的值． ①； ②． 4．若对于任意实数，方程恒成立，则m，n的值是（    ） A． B． C． D． 题型10.整式加减的应用 1．若，则与的和是（   ） A．8 B．0 C．4 D． 2．有下列四个表达式： ①；②；③；④．其中不能表示如图所示的正方形的面积的是___________（填序号）． 3．如图，公园有一块长为米，宽为a米的长方形土地（一边靠着墙），余下部分设计成花圃，并用篱笆把花圃不靠墙的三边围起来． (1)花圃的宽为 米，花圃的长为 米；（用含a，b的代数式表示） (2)求篱笆的总长度；（用含a、b的代数式表示） (3)若，，篱笆的单价为50元/米，则总费用为多少？ 4．一批水泥，用汽车运走了a吨，剩下的水泥比运走的少b吨，用含a、b的代数式表示这批水泥共有_________吨．（结果化为最简） 题型11.幂的运算及逆运算 1．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 2．已知，则=____________ 3．下列运算中，计算错误的是（） A．2 B． C． D． 4．计算： (1) (2) 题型12整式的乘除 1．计算结果正确的是（   ） A．2 B． C．x D． 2．如图是李伟家住房的结构图（单位：），李伟打算把卧室和客厅铺上木地板，请你帮他算一算，卧室和客厅的面积和为（   ） A． B． C． D． 3．若，则多项式应是______________． 4．先化简，再求值：，其中，． 题型13.乘法公式 1．下列多项式乘法中，可以用平方差公式计算的是（    ） A． B． C． D． 2．下列等式中能够成立的是（　　） A． B． C． D． 3．长方形的周长为14，一组邻边的长、满足，则这个长方形的面积为______． 4．探究及应用： （1）如左图，可以求出阴影部分的面积是______； （2）如右图，若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个矩形，面积是______． （3）比较左、右两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式______． 运用你所得到的公式，计算： （4） （5） （6）若，，求． 题型14.整式的混合运算及化简求值 1．若，，，其中，，为连续整数，且，则，，的大小关系是（） A． B． C． D． 2．已知，．则___________． 3．化简求值：，其中，． 4．计算： (1) ； (2)． 题型15.与整式混合运算有关新定义问题 1．对于任意有理数，，现用“☆”定义一种运算：☆，根据这个定义，代数式☆可以化简为（     ） A． B． C． D． 2．数学计算中给出如下定义：．若，，则的值为______． 3．对于有理数，定义，则将化简后得（    ） A．0 B． C． D． 4．若规定，则的结果是_____，因式分解的结果是____． 题型16.提公因式分解因式 1．利用“提公因式法”对多项式进行因式分解，正确的是 （    ） A． B． C． D． 2．若，则____________． 3．把下列各式因式分解： (1)； (2)； (3)（为正整数）． 4．将下列多项式因式分解，结果中不含有因式的是（   ） A． B． C． D． 题型17.公式法分解因式 1．下列因式分解正确的是（    ） A． B． C． D． 2．已知，则______． 3．因式分解：________ 4．在实数范围内分解因式： (1)； (2)． 题型18综合提公因式和公式法分解因式 1．多项式因式分解的结果是（   ） A． B． C． D． 2．对因式分解，嘉嘉的解答为：；琪琪的解答为：，下列判断正确的是（　　） A．只有嘉嘉的结果对 B．只有琪琪的结果对 C．两人的结果都对 D．两人的结果都不对 3．分解因式：___________． 4．分解因式 (1) (2) 题型19.因式分解的应用 1．若实数x，y满足，则下列式子一定成立的是（    ） A． B． C． D． 2．若，且，，则的值为（    ） A． B．2 C． D．1 3．已知因式分解为，其中，，均为整数，则的值为______． 4．方法探究： 已知二次多项式，我们把代入多项式，发现，由此可以推断多项式中有因式．设另一个因式为，多项式可以表示成，则有，因为对应项的系数是对应相等的，即，解得，因此多项式分解因式得：． 我们把以上分解因式的方法叫做“试根法”． 问题解决： (1)用“试根法”分解因式：． (2)对于三次多项式，我们把代入多项式，发现，由此可以推断多项式中有因式，设另一个因式为，多项式可以表示成，试求出题目中． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $