8.3实数及其简单运算第1课时实数的概念 课时分层训练2025-2026学年七年级数学下册（人教版）

8.3实数及其简单运算第1课时实数的概念 知识分点练 夯基础 知识点1 无理数的概念 1．下列实数中，属于无理数的是（   ） A． B． C．3.1415 D．0 【答案】B 【分析】本题考查了无理数的定义，正确把握相关定义是解题关键． 无限不循环小数叫无理数，初中范围内常见的无理数有三类：①类；②开方开不尽的数；③虽有规律但却是无限不循环的小数，根据无理数的特征即可解答． 【详解】解：A、，是分数，属于有理数，不是无理数，故此选项不符合题意； B、，是无限不循环小数，是无理数，故此选项符合题意； C、3.1415是有限小数，属于有理数，不是无理数，故此选项不符合题意； D、0，是整数，属于有理数，不是无理数，故此选项不符合题意； 故选：B． 2．在实数（相邻两个2之间1的个数逐次加1）中，无理数的个数有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题考查了无理数的识别，无限不循环小数叫无理数，初中范围内常见的无理数有：①π类，如，等；②开方开不尽的数，如，等；③具有特殊结构的数，如（两个1之间依次增加1个0），（两个2之间依次增加1个1）．根据无理数的定义进行判断即可． 【详解】解：0是整数，属于有理数； 是开方开不尽的数，属于无理数； 2025是整数，属于有理数； π是无限不循环小数，属于无理数； ，3是整数，属于有理数； （相邻两个2之间1的个数逐次加1）是无限不循环小数，属于无理数； ∴无理数有、π、，共3个； 故选：B． 3．下列说法正确的是（   ） A．是分数 B．如果，那么 C．若，那么 D．两个无理数的和不一定是无理数 【答案】D 【分析】本题主要考查实数，逐一分析各选项的正误，结合数学定义及反例进行判断即可． 【详解】解：A、是无理数，不是分数，原说法错误，本选项不符合题意； B、如果，那么或或，原说法错误，本选项不符合题意； C、取反例，，满足，但，故原说法错误，本选项不符合题意； D、两个无理数的和不一定是无理数，说法正确，符合题意， 故选：D． 知识点2 实数的定义与分类 4．下列说法：①在实数范围内，一个数如果不是有理数，则一定是无理数；②无限小数都是无理数；③无理数都是无限小数；④最小的实数是0；⑤带根号的数都是无理数．其中错误的共有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查实数，熟练掌握无理数的定义是解题的关键． 根据无理数和实数的定义来判断正误即可． 【详解】解：①在实数范围内，一个数如果不是有理数，则一定是无理数，该选项说法正确，不符合题意； ②无限不循环小数是无理数，该选项说法错误，符合题意； ③无理数都是无限小数，该选项说法正确，不符合题意； ④没有最小的实数，该选项说法错误，符合题意； ⑤带根号的数不一定是无理数，比如，该选项说法错误，符合题意； 错误选项有：②④⑤， 故选：C． 5．下列关于的描述正确的是（    ） A．它是一个有理数 B．27的平方根 C．体积为27的正方体的棱长 D．面积为27的正方形的边长 【答案】D 【分析】本题考查算术平方根的应用，根据算术平方根的定义和勾股定理，逐一进行判断即可． 【详解】解：A. 它是一个无理数，故该选项不正确，不符合题意；     B. 27的算术平方根，故该选项不正确，不符合题意； C. 不能表示为体积为27的正方体的棱长，故该选项不正确，不符合题意；     D. 面积为27的正方形的边长，故该选项正确，符合题意； 故选：D． 6．把下列各数分别填入相应的集合里： ，，0，，，，，，（每两个2之间依次多一个1） 有理数集合： 无理数集合： 正实数集合： 负实数集合： 【答案】见解析 【分析】本题考查了实数的分类，掌握实数的分类和概念是解题的关键． 根据实数的分类，逐一判断，即可求解． 【详解】解：，， 有理数是整数和分数的统称，包括有限小数和无限循环小数， 有理数集合为，0，，，，； 无理数是无限不循环小数， 无理数集合为，（每两个2之间依次多一个1）； 正实数是大于0的实数， 正实数集合为，，，，（每两个2之间依次多一个1）； 负实数是小于0的实数， 负实数集合为，． 知识点3 实数与数轴的关系 7．如图，数轴上表示2，的对应点为A、B，点B关于点A的对称点为C，则点C表示的数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设点C表示的数为x，根据对称得出，得出方程，求出方程的解即可． 【详解】解：设点C表示的数为x， ∵数轴上表示2，的对应点分别是A、B， ∴， 即， 解得． 即点C表示的数为． 8．以下说法：①有理数与数轴上的点一一对应；②过一点有且只有一条直线与已知直线平行；③从直线外一点到这条直线的垂线段叫做点到直线的距离；④若a、b互为相反数，则；⑤若，则．其中说法正确的个数有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】A 【分析】只需逐个判断每个说法的正误，统计正确说法的个数即可，用到数轴对应关系，平行线的基本性质，点到直线距离的定义，相反数性质，绝对值性质等基础知识点． 【详解】解：①实数与数轴上的点一一对应，有理数只是实数的一部分，①错误； ②只有过直线外一点，才有且只有一条直线与已知直线平行，若该点在已知直线上，无法作出已知直线的平行线，②错误； ③从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，才叫做点到直线的距离，距离是长度不是垂线段本身，③错误； ④当时，a和b互为相反数，但分母b为0时分式无意义，无法得到，④错误； ⑤若，则，并非，⑤错误； 综上，五个说法全部错误，正确的个数为0． 9．如图，直径为1个单位长度的圆，从点（点在数轴上表示的数是1）．设数轴向左滚动一周后到达点，则点表示的数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查实数与数轴上的点的关系，求出圆的周长是解题的关键．求出圆的周长，根据数轴与实数的一一对应关系解答即可． 【详解】解：∵直径为1的圆的周长为，A点在数轴上表示的数是1， A点沿数轴向左滚动一周后到达点B， ∴点B表示的数为． 故选：D． 知识点4 实数的大小比较 10．下列实数中，比大的无理数的是（    ） A． B． C． D．0 【答案】B 【分析】本题考查了无理数的定义，实数的大小比较，先依据无理数的定义排除有理数选项，再利用负数比较大小的规则（绝对值大的数反而小），比较剩余无理数与的大小即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：、0为整数，属于有理数，故C、D不符合题意； ∵， ∴，即， ∴， ∴比大的无理数的是， 故选：B． 11．若，，，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了实数的大小比较，掌握正数比较大小时，可通过比较其平方的大小来确定原数的大小是解题的关键． 通过比较平方值来确定大小关系，因为所有数都是正数，平方后大小关系不变． 【详解】解：， ； ， ； ， ， ，即，且均为正数， ． 故选：D． 12．实数在数轴上对应的点位置如图所示，则下列代数式中，结果最小的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了数轴、整式的加减、绝对值，熟练掌握数轴的性质是解题关键．先根据数轴可得，，则，，，，再比较与的大小，由此即可得． 【详解】解：由数轴可知，，， ∴，，，， ， ∴， ∴在这四个代数式中，结果最小的是， 故选：C． 13．将下列各数近似地表示在数轴上，并把它们按从小到大的顺序排列，用“”号连接． ，，， 【答案】图见解析， 【分析】本题考查实数与数轴，无理数的估算，先化简各数，确定无理数的范围，进而在数轴上表示出各数，根据数轴上的数右边的比左边的大，比较大小即可． 【详解】解：∵，，， ∴， 在数轴上表示各数如图： 由数轴可知：． 能力综合练 练思维 14．实数，是连续整数，如果，那么的值是(　　) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先利用和是与相邻的平方数，得出在4和5之间，再得到的范围；结合、是连续整数且满足，确定、的值；最后计算的结果即可． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴， 又∵，是连续整数，且， ∴，， ∴． 15．已知非零实数，，，，用数轴上的点表示，，下列选项正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了用数轴上的点表示有理数，绝对值的意义，熟练掌握数轴上点的特点，是解题的关键．根据得出、b异号，根据得出，再结合、b异号，得出，，且，最后进行判断即可． 【详解】解：∵非零实数，满足， ∴， ∴、b异号， ∵， ∴， ∴， ∵、b异号， ∴，，且， 因此四个选项中，只有B选项符合题意． 故选：B． 16．有一个数值转换器，原理如图．当输入的为64时，输出的为（    ） A．4 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意求得各数的立方根，直到输出值即可． 【详解】解：当输入的为时，其立方根为，它是有理数，返回继续运算；的立方根为，它是无理数，输出的值. 故选：B． 【点睛】本题考查了立方根求解和无理数的概念，解决本题的关键是熟练掌握其定义． 17．如图所示，直径为个单位长度的半圆，从原点开始沿着数轴向右滚动一周，半圆上的一点由到达，则点对应的数为_____． 【答案】 【分析】本题考查的是半圆滚动与数轴的结合，灵活运用半圆的周长公式是解题的关键．根据半圆的周长等于半圆弧长与直径之和，先求出直径为个单位长度的半圆的周长，进而确定点对应的数． 【详解】解：由图可知，半圆向右滚动一周，走过的路径为半圆的周长， 即， 点对应的数为． 故答案为：． 18．阅读材料：，的整数部分为2，的小数部分为． (1)的小数部分是多少？ (2)已知a是的整数部分，b是的小数部分，求代数式的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据即解答即可； （2）根据得到，确定整数部分为1，小数部分为，结合已知，确定a，b的值，解答即可． 【详解】（1）解：∵即， ∴的整数部分为8，小数部分为． （2）解：∵即， ∴ ∴的整数部分为1，小数部分为， ∵a是的整数部分，b是的小数部分， ∴， ∴． 拓展探究练 提素养 19．在数学课上“说不完的”探究活动中，根据各探究小组的汇报，完成下列问题． (1)到底有多大？下面是龙龙探索的近似值的过程，请补充完整： 我们知道面积是2的正方形边长是，且，设，画出如图1的示意图： 由图形面积可得． 因为x值很小，所以更小，略去，得方程 ，解得 （保留到0.001），即 ． (2)请仿照上述探究过程探究的大小． 已知：，在图2中画出示意图，并标出相关数据，求出的近似值（保留到0.001）． 【答案】(1)，， (2)见解析， 【分析】本题考查无理数的估算，掌握数形结合的思想，是解题的关键． （1）根据图形中大正方形的面积列方程求解即可； （2）画一个面积为的正方形，类比（1），根据图形中大正方形的面积列方程求解即可． 【详解】（1）解：设，由图形面积可得， ． 因为x值很小， 所以更小，略去， 得方程， 解得，即． 故答案为：，，； （2）解：如图，设， 由图形面积可得，． 因为y值很小， 所以更小，略去， 得方程， 解得，即． 20．如图，一只蚂蚁从点沿数轴向右爬了个单位长度到达点，点表示，设点所表示的数为． (1)的值是 ； (2)求的值； (3)在数轴上还有两点分别表示实数和，且有与互为相反数，求的平方根． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题考查了实数与数轴，绝对值和算术平方根非负性，求一个数的平方根和立方根，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据数轴上点的移动，左减右加，求出的值即可； （）根据点的位置，确定，，进而化简即可； （）根据绝对值和算术平方根非负性求出的值，进而求出代数式的值，再求出平方根即可． 【详解】（1）解：由题意知：， 故答案为：； （2）解：∵， ∴，， ∴ ； （3）解：∵与互为相反数， ∴， ∴，且， 解得：，， ∴， ∴的平方根为：． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 8.3实数及其简单运算第1课时实数的概念 知识分点练 夯基础 知识点1 无理数的概念 1．下列实数中，属于无理数的是（   ） A． B． C．3.1415 D．0 2．在实数（相邻两个2之间1的个数逐次加1）中，无理数的个数有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 3．下列说法正确的是（   ） A．是分数 B．如果，那么 C．若，那么 D．两个无理数的和不一定是无理数 知识点2 实数的定义与分类 4．下列说法：①在实数范围内，一个数如果不是有理数，则一定是无理数；②无限小数都是无理数；③无理数都是无限小数；④最小的实数是0；⑤带根号的数都是无理数．其中错误的共有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．下列关于的描述正确的是（    ） A．它是一个有理数 B．27的平方根 C．体积为27的正方体的棱长 D．面积为27的正方形的边长 6．把下列各数分别填入相应的集合里： ，，0，，，，，，（每两个2之间依次多一个1） 有理数集合： 无理数集合： 正实数集合： 负实数集合： 知识点3 实数与数轴的关系 7．如图，数轴上表示2，的对应点为A、B，点B关于点A的对称点为C，则点C表示的数为（   ） A． B． C． D． 8．以下说法：①有理数与数轴上的点一一对应；②过一点有且只有一条直线与已知直线平行；③从直线外一点到这条直线的垂线段叫做点到直线的距离；④若a、b互为相反数，则；⑤若，则．其中说法正确的个数有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 9．如图，直径为1个单位长度的圆，从点（点在数轴上表示的数是1）．设数轴向左滚动一周后到达点，则点表示的数是（   ） A． B． C． D． 知识点4 实数的大小比较 10．下列实数中，比大的无理数的是（    ） A． B． C． D．0 11．若，，，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 12．实数在数轴上对应的点位置如图所示，则下列代数式中，结果最小的是（    ） A． B． C． D． 13．将下列各数近似地表示在数轴上，并把它们按从小到大的顺序排列，用“”号连接． ，，， 能力综合练 练思维 14．实数，是连续整数，如果，那么的值是(　　) A． B． C． D． 15．已知非零实数，，，，用数轴上的点表示，，下列选项正确的是（   ） A． B． C． D． 16．有一个数值转换器，原理如图．当输入的为64时，输出的为（    ） A．4 B． C． D． 17．如图所示，直径为个单位长度的半圆，从原点开始沿着数轴向右滚动一周，半圆上的一点由到达，则点对应的数为_____． 18．阅读材料：，的整数部分为2，的小数部分为． (1)的小数部分是多少？ (2)已知a是的整数部分，b是的小数部分，求代数式的值． 拓展探究练 提素养 19．在数学课上“说不完的”探究活动中，根据各探究小组的汇报，完成下列问题． (1)到底有多大？下面是龙龙探索的近似值的过程，请补充完整： 我们知道面积是2的正方形边长是，且，设，画出如图1的示意图： 由图形面积可得． 因为x值很小，所以更小，略去，得方程 ，解得 （保留到0.001），即 ． (2)请仿照上述探究过程探究的大小． 已知：，在图2中画出示意图，并标出相关数据，求出的近似值（保留到0.001）． 20．如图，一只蚂蚁从点沿数轴向右爬了个单位长度到达点，点表示，设点所表示的数为． (1)的值是 ； (2)求的值； (3)在数轴上还有两点分别表示实数和，且有与互为相反数，求的平方根． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $