精品解析：陕西西安国际港务区铁一中陆港初级中学2025-2026学年九年级（下）数学限时作业数学试卷（一）

2025-2026学年九年级（下）数学限时作业数学试卷（一） 一．选择题（每小题3分，满分24分） 1. 实数10相反数等于（ ） A. B. C. D. 2. 小红想设计制作一个有盖的圆柱形礼品盒，下列展开图中设计正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，一座高的过街天桥，天桥的坡面的长为，则天桥的坡面与地面的夹角的正弦值为（　　） A. B. C. D. 5. 如图，在中，是的高，是的中线，若，的面积为，则的长为（ ） A. B. C. D. 6. 将直线向下平移2个单位长度，所得直线的关系式为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，是的直径，、是上的两点，连接，，，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 8. 二次函数的部分图象如图所示，图象过点，对称轴为直线，下列结论：①；②；③；④若方程的两根为和，且，则．其中正确的结论有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二．填空题（每小题3分，满分15分） 9. 比较大小：_____（填“>”、“<”或“=”）． 10. 分解因式：_____． 11. 如图1，这是中国古建筑中的正六边形窗户设计图，图2是由其抽象而成的正六边形，已知正六边形的外接圆半径为，则该正六边形的边心距是___________． 12. 如图，，为反比例函数图象上两点，直线分别交轴，轴于点、，若，的面积为，则反比例函数的解析式为_____． 13. 如图，在等腰直角三角形中，，点M、N分别为上的动点，且，，当的值最小时，的长为 __________________ ． 三．解答题（共13小题，满分81分） 14. 计算： 15. 不等式的最小整数解也是关于x的不等式的解，求k的取值范围． 16. 先化简，再求值：，其中． 17. 作正方形的外接圆． 18. 如图，A，B两点分别位于池塘两侧，池塘旁边有一水房D，在公路上C处有一棵树，小明从A点出发，沿走到E（A，C，E在一条直线上），并使，连接、，测得，这样就量出E到水房D的距离就是点A到点B的距离（即）．你能说出小明这样做的道理吗？ 19. 近年来，网购蓬勃发展方便了人们的生活，某快递分派站现有包裹若干件需快递员派送，若每个快递员派送12件，则还剩5件；若每个快递员派送14件，则还差7件．该快递分派站共有多少名快递员？（提示：此题只能用一元一次方程解决，其他方法不给分．） 20. 不透明的袋中装有个大小相同，红、白两种颜色的小球，现在每次从袋中摸1个，然后放回搅匀再摸，在摸球试验中得到下列表格中部分数据． 摸球次数 出现红色的频数 出现红色的频率 （1）将数据表补充完整．(精确到) （2）根据表中数据可知，从袋中摸出一个球，恰为红球的概率是多少？(精确到 （3）由以上结果估计袋中约有红球多少个？ 21. 如图，育才学校教学楼的后面有一建筑物，当光线与地面的夹角是时，教学楼在建筑物的墙上留下高的影子，而当光线与地面的夹角是时，教学楼顶点A在地面上的影子点F与墙角点C有的距离，B，F，C三点在同一条直线上，求教学楼的高度（结果精确到，参考数据：，，） 22. 为精准掌握九年级同学的体训情况，我校于10月28日对九年级全体同学进行了模拟测试．现从九年级（1）班和九年级（2）班参加模拟测试的同学中各随机抽取20名同学的成绩（满分50分）进行收集、整理、描述、分析，并将成绩分为四组（成绩用表示：：；：；：；：；） 九年级（1）班20名同学的模拟成绩为：29，37，40，42，43，44，45，45，46，46，47，48，48，48，49，49，50，50，50，50． 九年级（2）班的同学模拟成绩在组的数据为：50，45，47，49，49，49，49，49，50，49，45，50． 九年级（1）班、（2）班所抽学生比赛成绩统计表 九年级2班所抽取同学成绩扇形统计图 班级 平均数 中位数 众数 1班 45.3 46.5 50 2班 45.3 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中______，______，______； （2）根据以上数据分析，你认为九年级（1）、（2）班中哪个班级学生的模拟测试成绩较好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）我校九年级共有1400名同学参加了此次模拟测试，若把成绩为48分及以上的同学记为优秀，估计本次模拟测试成绩为优秀的学生一共有多少人？ 23. 某知名小吃店计划购买，两种食材制作小吃．已知购买种食材和种食材共需元，购买种食材和种食材共需元． （1）求，两种食材的单价． （2）该小吃店计划购买两种食材共，其中购买种食材千克数不少于种食材千克数的倍，当，两种食材分别购买多少千克时，总费用最少？并求出最少总费用． 24. 如图，中，，点O为边上一点，以O为圆心，为半径圆与交于点C，与相切于D，点P为上一点． （1）求证：． （2）若，，求的长． 25. 如图，已知抛物线（，是常数）与轴交于，两点，与轴交于点，已知，． （1）如图1，求该抛物线的表达式； （2）如图2，是直线上方抛物线上一点，与轴、分别交于，． ①若，求点的坐标； ②求的最大值． 26. 如图，在中，，，点E为上一动点，与相交于点G，，垂足为H，的延长线与相交于点F． （1）若，求的长； （2）当时，求的度数； （3）当点E在线段上运动时，试探究三者之间的数量关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年九年级（下）数学限时作业数学试卷（一） 一．选择题（每小题3分，满分24分） 1. 实数10的相反数等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查相反数的基本概念，根据相反数的定义即可直接得到结果. 【详解】解：相反数的定义为：只有符号不同的两个数互为相反数. 一个数的相反数只需改变原数的符号即可得到. 题目中原数为10，改变符号后得到， 10的相反数是， 答案选A． 2. 小红想设计制作一个有盖的圆柱形礼品盒，下列展开图中设计正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据圆柱形的侧面展开图进行解答即可． 【详解】解：圆柱有两个底面是圆，侧面展开图为长方形或正方形， ∴圆柱的平面展开图为． 3. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查幂的乘方，根据幂的乘方公式进行计算即可求解． 【详解】解： 故选：B． 4. 如图，一座高的过街天桥，天桥的坡面的长为，则天桥的坡面与地面的夹角的正弦值为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了求角的正弦值，根据正弦的定义可得，据此可得答案． 【详解】解：在中，，， ∴， ∴桥的坡面与地面的夹角的正弦值为， 故选：B． 5. 如图，在中，是的高，是的中线，若，的面积为，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先通过的面积和已知的高，利用面积公式求出的长度，再根据中线性质得到，进而计算出的长． 【详解】解：∵是的高，，， ∴，解得． 又∵是的中线， ∴． 6. 将直线向下平移2个单位长度，所得直线的关系式为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据一次函数图像的平移规律“上加下减，左加右减”求解即可． 【详解】解：∵一次函数上下平移遵循“上加下减”规则，图像向下平移n个单位，在原函数表达式的右侧减去n． ∴将直线向下平移2个单位长度，所得直线的关系式为． 7. 如图，是的直径，、是上的两点，连接，，，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先利用同弧所对的圆周角相等，求出的度数；再根据直径的性质得到是直角三角形，最后通过直角三角形两锐角互余计算出的度数． 【详解】解：如图，连接C． ∵和都是中弧所对的圆周角， ∴． ∵是的直径， ∴， ∴在中，． 8. 二次函数的部分图象如图所示，图象过点，对称轴为直线，下列结论：①；②；③；④若方程的两根为和，且，则．其中正确的结论有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次函数的对称性确定二次函数图象过点，把点和点坐标代入二次函数解析式中，用a表示b和c，然后代入计算即可判断①符合题意；根据二次函数的图象和增减性可知当x=3时，y>0，进而得到不等式，再根据不等式的性质即可判断②符合题意；把用a表示的b和c代入计算，再根据二次函数图象的开口方向和不等式的性质即可判断③不符合题意；根据二次函数图象和一元二次方程的关系确定x1和x2的取值范围，再根据二次函数的增减性和不等式的性质即可判断④符合题意． 【详解】解：∵二次函数图象过点，对称轴为直线， ∴二次函数图象过点， 把点和点坐标代入二次函数解析式得，， 用a表示b和c得， ∴， 故①符合题意； ∵二次函数图象开口方向向下，对称轴为直线， ∴当时，y随x的增大而减小， ∵二次函数图象过点， ∴当x=3时，y>0， ∴，即， ∴， 故②符合题意； ∵，， ∴， ∵二次函数图象开口方向向下， ∴a<0， ∴9a<0， ∴， 故③不符合题意； ∵，， ∴二次函数解析式为， ∵二次函数图象过点和， 方程的两根为和，且， ∴，， 对于y=x2来说，当时，；当时，， ∴根据y=x2的增减性可知，， ∴， 故④符合题意, 故①②④，共3个符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查二次函数的对称性，二次函数图象与系数关系，二次函数与一元二次方程的关系，不等式的性质，综合应用这些知识点是解题关键． 二．填空题（每小题3分，满分15分） 9. 比较大小：_____（填“>”、“<”或“=”）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查实数的比较大小，掌握二次根式的性质是解题的关键．利用二次根式的性质把4变为比较大小即可． 【详解】由，， ， 故答案为：． 10. 分解因式：_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查提公因式法分解因式，通过观察多项式的各项，找出公因式，然后提取公因式进行因式分解． 【详解】解：． 故答案为：． 11. 如图1，这是中国古建筑中的正六边形窗户设计图，图2是由其抽象而成的正六边形，已知正六边形的外接圆半径为，则该正六边形的边心距是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查正多边形和圆，掌握正六边形的性质是正确解答的关键． 根据正六边形的性质以及所对的直角边是斜边的一半，勾股定理进行计算即可． 【详解】解：由题意得，， 正六边形是的内接正六边形， ． ，， ． 在中，，， ． ， 即正六边形的边心距是． 故答案为：． 12. 如图，，为反比例函数的图象上两点，直线分别交轴，轴于点、，若，的面积为，则反比例函数的解析式为_____． 【答案】 【解析】 【分析】设点的坐标为，其中，根据及的面积为，求出点，由中点坐标公式得：点，建立关于的方程求解即可． 【详解】解：设点的坐标为，其中， ，的面积为， 则， 则， 则，即点， ，即点是的中点， 由中点坐标公式得：点， 将点的坐标代入反比例函数表达式得：， 解得． 反比例函数的解析式为． 13. 如图，在等腰直角三角形中，，点M、N分别为上的动点，且，，当的值最小时，的长为 __________________ ． 【答案】## 【解析】 【分析】如图：过点A作，且，证明可得，当三点共线时，取得最小值，证明，即可求解． 【详解】解：如图1：过点A作，且，连接， ， 又∵， ∴， ∴， ， 当三点共线时，取得最小值， 如图2所示， ∵在等腰直角三角形中，，， ，， ∵， ，， ∴， ， ∵， ， ， 设， ， ，即， ， ， ， ，即取得最小值时，的长为． 三．解答题（共13小题，满分81分） 14. 计算： 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查实数的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．利用二次根式的性质，负整数指数幂，零指数幂，特殊锐角三角函数值计算即可． 【详解】解：原式 ． 15. 不等式的最小整数解也是关于x的不等式的解，求k的取值范围． 【答案】 【解析】 【分析】先求得不等式的最小整数解是2，再求得关于x的不等式的解集为，最后根据题意列关于k的不等式求解即可． 【详解】解：解不等式得x， ∴不等式的最小整数解是2， 解关于x的不等式得， 由题意可知，解得． 16. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查分式的化简求值，先计算小括号内的减法，再计算除法，结果化为最简分式，再将代入计算即可．掌握相应的运算法则，运算顺序及公式是解题的关键． 【详解】解： ， 当时，原式． 17. 作正方形的外接圆． 【答案】见解析 【解析】 【分析】连接正方形的两条对角线，它们的交点就是外接圆的圆心，以交点到任意一个顶点的距离为半径画圆即可． 【详解】解：如图，为所作． 18. 如图，A，B两点分别位于池塘两侧，池塘旁边有一水房D，在公路上的C处有一棵树，小明从A点出发，沿走到E（A，C，E在一条直线上），并使，连接、，测得，这样就量出E到水房D的距离就是点A到点B的距离（即）．你能说出小明这样做的道理吗？ 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查的是全等三角形的判定和性质的应用．利用证明，从而可得结论． 【详解】解：在和中， ∵，， ∴， ∴， ∴E到水房D的距离就是点A到点B的距离． 19. 近年来，网购的蓬勃发展方便了人们的生活，某快递分派站现有包裹若干件需快递员派送，若每个快递员派送12件，则还剩5件；若每个快递员派送14件，则还差7件．该快递分派站共有多少名快递员？（提示：此题只能用一元一次方程解决，其他方法不给分．） 【答案】该快递分派站共有6名快递员 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用． 设该分派站有x个快递员，根据“若每个快递员派送12件，则还剩5件；若每个快递员派送14件，则还差7件”，得出关于x的一元一次方程求解即可． 【详解】解：设该分派站有x名快递员， 由题意得：， 解得：． 答：该快递分派站共有6名快递员． 20. 不透明的袋中装有个大小相同，红、白两种颜色的小球，现在每次从袋中摸1个，然后放回搅匀再摸，在摸球试验中得到下列表格中部分数据． 摸球次数 出现红色的频数 出现红色的频率 （1）将数据表补充完整．(精确到) （2）根据表中数据可知，从袋中摸出一个球，恰为红球的概率是多少？(精确到 （3）由以上结果估计袋中约有红球多少个？ 【答案】（1），，，； （2）； （3）个 【解析】 【分析】（1）根据“频率=出现红色的次数÷摸球次数”的公式，分别计算对应摸球次数下的红色球频率，精确到； （2）观察频率数据，随着试验次数增加，频率会稳定在某一常数附近，该常数即为摸出红球的概率； （3）用袋中总球数乘以估计的红球概率，即可得到红球的估计个数． 【小问1详解】 解：根据频率计算公式“频率”，计算： 当摸球次数次时，频率为； 当摸球次数为次时，频率为； 当摸球次数为次时，频率为； 当摸球次数为次时，频率为； 故补充表格如下： 摸球次数 出现红色的频数 出现红色的频率 【小问2详解】 解：观察表中频率数据，随着摸球次数的增加，出现红色的频率逐渐稳定在附近， ∴估计从袋中摸出一个球恰为红球的概率是； 【小问3详解】 解：∵袋中共有个小球，摸出红球的概率约为， ∴估计袋中红球的个数为(个)． 答：袋中约有红球个． 21. 如图，育才学校教学楼的后面有一建筑物，当光线与地面的夹角是时，教学楼在建筑物的墙上留下高的影子，而当光线与地面的夹角是时，教学楼顶点A在地面上的影子点F与墙角点C有的距离，B，F，C三点在同一条直线上，求教学楼的高度（结果精确到，参考数据：，，） 【答案】教学楼的高度约为 【解析】 【分析】本题主要考查解直角三角形的实际应用，过点E作于点M，构造矩形，设，解和求出x的值即可． 【详解】解：如图，过点E作于点M，则四边形为矩形， ，， 设， 在中，， ， ． 在中，，，， ， 解得． 答：教学楼的高度约为． 22. 为精准掌握九年级同学的体训情况，我校于10月28日对九年级全体同学进行了模拟测试．现从九年级（1）班和九年级（2）班参加模拟测试的同学中各随机抽取20名同学的成绩（满分50分）进行收集、整理、描述、分析，并将成绩分为四组（成绩用表示：：；：；：；：；） 九年级（1）班20名同学的模拟成绩为：29，37，40，42，43，44，45，45，46，46，47，48，48，48，49，49，50，50，50，50． 九年级（2）班的同学模拟成绩在组的数据为：50，45，47，49，49，49，49，49，50，49，45，50． 九年级（1）班、（2）班所抽学生比赛成绩统计表 九年级2班所抽取同学成绩扇形统计图 班级 平均数 中位数 众数 1班 45.3 46.5 50 2班 45.3 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中______，______，______； （2）根据以上数据分析，你认为九年级（1）、（2）班中哪个班级学生的模拟测试成绩较好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）我校九年级共有1400名同学参加了此次模拟测试，若把成绩为48分及以上的同学记为优秀，估计本次模拟测试成绩为优秀的学生一共有多少人？ 【答案】（1），， （2）九年级（1）班成绩较好，理由见解析 （3）估计本次模拟测试成绩为优秀的学生一共有630人． 【解析】 【分析】本题考查了扇形统计图、中位数、众数、由样本估计总体，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由题意可得九年级（2）班的同学模拟成绩在组的人数为，再求出九年级（2）班的同学模拟成绩在、组的人数，从而得出九年级（2）班的同学模拟成绩在组的人数，即可求出的值，再由中位数和众数的定义求解即可； （2）根据两个班级的成绩的中位数分析即可得解； （3）用乘以成绩为48分及以上的同学所占的比例即可得解． 【小问1详解】 解：由题意可得： 九年级（2）班的同学模拟成绩在组的人数为， 九年级（2）班的同学模拟成绩在组的人数为， 九年级（2）班的同学模拟成绩在组的人数为， 九年级（2）班的同学模拟成绩在组的人数为， 故，即， 将九年级（2）班的同学模拟成绩按从小到大排列，处在第、位的成绩为，，故中位数， 九年级（2）班的同学模拟成绩出现次数最多的为，共次，故众数； 故答案为：46；49；25； 【小问2详解】 解：九年级（1）班成绩较好．理由如下： 因为九年级（1）班成绩的中位数是46.5分，9年级（2）班成绩的中位数是46分， 且， 所以九年级（1）班成绩较好． 【小问3详解】 解：（人）， 答：估计本次模拟测试成绩为优秀的学生一共有630人． 23. 某知名小吃店计划购买，两种食材制作小吃．已知购买种食材和种食材共需元，购买种食材和种食材共需元． （1）求，两种食材的单价． （2）该小吃店计划购买两种食材共，其中购买种食材千克数不少于种食材千克数的倍，当，两种食材分别购买多少千克时，总费用最少？并求出最少总费用． 【答案】（1）种食材单价是每千克元，种食材单价是每千克元 （2）种食材购买，种食材购买时，总费用最少，为元 【解析】 【分析】（1）设种食材的单价为元千克，种食材的单价为元千克，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可求解； （2）设种食材购买千克，种食材购买千克，总费用为元，由题意得，，根据一次函数的性质，即可求解． 【小问1详解】 解：设种食材单价为元千克，种食材的单价为元千克， 由题意得， 解得， 种食材单价是每千克元，种食材单价是每千克元； 【小问2详解】 解：设种食材购买千克，种食材购买千克，总费用为元，由题意得： ， 且 解得： ， 随的增大而增大， 当时，有最小值为：元， 种食材购买千克，种食材购买千克时，总费用最少，为元． 24. 如图，中，，点O为边上一点，以O为圆心，为半径的圆与交于点C，与相切于D，点P为上一点． （1）求证：． （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质，垂径定理，圆周角定理，解直角三角形的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）结合切线的性质得，根据圆周角定理，得，又因为，则，最后由垂径定理进行解答即可； （2）根据圆周角定理，得，因为，得，故，整理得，把数值代入，解得．则，再把数值代入进行计算，则． 【小问1详解】 解：连接，， ∴是的切线， ∴； ∵是直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：∵ ∴， 由（1）得， ∴， ∴ 设半径为， ∴ 在中，， ∴． ∴， 在中，， ∴． 25. 如图，已知抛物线（，是常数）与轴交于，两点，与轴交于点，已知，． （1）如图1，求该抛物线表达式； （2）如图2，是直线上方抛物线上一点，与轴、分别交于，． ①若，求点坐标； ②求的最大值． 【答案】（1） （2）①；②最大值为 【解析】 【分析】本题为二次函数综合题，求函数解析式，相似三角形的性质与判定，二次函数与面积问题等知识． （1）由点得，再结合已知分别求出，，即可得点，点，进而可得抛物线的表达式； （2）①由得，过点P作轴于点，证明得，进而得，将代入即可得点P的坐标； ②设，由得关于t的二次函数，根据二次函数的性质求最值即可． 【小问1详解】 解：∵点， ∴， ∵，． ∴ ∴点，点， ∴； 【小问2详解】 解：①， ， 如图，过点P作轴于点， ， 又∵， ， ， ， 当时，，则； ②设， ， ， ， ∴当时，有最大值，最大值为． 26. 如图，在中，，，点E为上一动点，与相交于点G，，垂足为H，的延长线与相交于点F． （1）若，求的长； （2）当时，求的度数； （3）当点E在线段上运动时，试探究三者之间的数量关系． 【答案】（1） （2） （3），理由见解析 【解析】 【分析】本题主要考查等腰直角三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质以及角度计算，熟练掌握性质定理是解题的关键． （1）根据勾股定理求出，得到是等腰直角三角形，求出，即可得到答案； （2）利用等腰直角三角形以及平行四边形的性质求出，根据求出，再根据算出，最后由算出答案即可； （3）延长交延长线于点P，根据得到，证明，根据全等三角形的性质证明，证明，得到，再根据即可得到结论； 【小问1详解】 解：， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， 四边形是平行四边形， ； 【小问2详解】 解：， 是等腰直角三角形， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 【小问3详解】 解：，理由如下： 如图，延长交的延长线于点P， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， 又， ， ， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $