精品解析：黑龙江大庆第一中学2025-2026学年下学期九年级数学学情自测

2026大庆一中初三下周测数学（3.17） 一元二次方程 一．选择（每题3分） 1. 用直接开平方的方法解方程，做法正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 若方程x2-6x+8=0的两个根是等腰三角形的底边和腰长，则三角形的周长为（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 8或10 3. 方程与所有实数根的乘积等于（ ） A B. C. D. 4. 若是关于x的一元二次方程的一个根，则的值等于（ ） A 2024 B. 2023 C. 2022 D. 2021 5. 若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 6. 若m是方程的根，则的值为（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 7. 若菱形两条对角线的长度是方程的两根，则该菱形的边长为（ ） A. B. 4 C. D. 5 8. 若方程中，，，满足和，则方程根是（　　） A. ， B. ， C. ， D. 无法确定 9. 若a*b＝ab2﹣2ab﹣3，则方程3*x＝0的根的情况为（　　） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 无实数根 D. 不能确定 10. 已知实数满足，且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二．填空题（每空3分） 11. 若关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+2x+（m2﹣4）＝0有一个根是0，则m＝_____． 12. 设是关于x的方程的两个根，且，则_______． 13. 已知，且，则的值___________． 14. 已知，则的值为____． 15. 已知a，b，c是△ABC的三边长，若方程有两个相等的实数根，则△ABC是 _______ 三角形． 16. 如果、是一元二次方程的两个实数根，那么多项式的值是_______． 17. 已知关于x一元二次方程恰有一个根小于，则k的取值范围为___________． 18. 代数式的最小值为___________． 19. 若，求的值___________． 20. 已知实数m，n满足等式m2+2m﹣1＝0，n2+2n﹣1＝0，那么求的值是_____． 三、解答题 21 解方程： （1）． （2）． （3）． （4）(用配方法解) 22. 已知：关于x的方程，有两个不相等的实数根， （1）求实数m的取值范围， （2）若方程的两个实数根满足，求出符合条件的m的值． 23. 学校为每个班级准备了免洗抑菌洗手液．去市场购买时发现当购买量不超过瓶时，洗手液的单价为8元；超过瓶时，每增加瓶，每瓶单价就降低元，但最低价格不能低于每瓶5元．若学校购买洗手液共花费元，求购买洗手液的瓶数是多少？ 24. 如图，在平面直角坐标系中，已知正方形，，点为轴上一动点，以为边在的右侧作等腰，，连接，则的最小值为___． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026大庆一中初三下周测数学（3.17） 一元二次方程 一．选择（每题3分） 1. 用直接开平方的方法解方程，做法正确的是（ ） A B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】一元二次方程，表示两个式子的平方相等，因而这两个数相等或互为相反数，据此即可把方程转化为两个一元一次方程，即可求解． 【详解】解： 开方得， 故选：C． 【点睛】本题考查了解一元二次方程-直接开平方法，关键是将方程右侧看做一个非负已知数，根据法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”来求解． 2. 若方程x2-6x+8=0的两个根是等腰三角形的底边和腰长，则三角形的周长为（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 8或10 【答案】C 【解析】 【分析】先解一元二次方程，根据题意分类讨论，即可确定三角形的周长． 【详解】方程x2-6x+8=0的两个根是等腰三角形的底边和腰长， 解得， 当等腰三角形的腰为时，，不能构成三角形， 当等腰三角形的腰为时，定三角形的周长为． 故选C． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，三角形三边关系，等腰三角形的定义，分类讨论是解题的关键． 3. 方程与所有实数根的乘积等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根和系数的关系，根据两根之积等于解答即可求解，掌握一元二次方程根和系数的关系是解题的关键． 【详解】解：由根和系数的关系可得，方程的两根之积等于，方程的两根之积等于， ∴所有实数根的乘积等于， 故选：． 4. 若是关于x的一元二次方程的一个根，则的值等于（ ） A. 2024 B. 2023 C. 2022 D. 2021 【答案】A 【解析】 分析】将代入元二次方程，求得，整体代入即可． 【详解】解：将代入元二次方程得，，即 故答案为A． 【点睛】本题考查一元二次方程的解，掌握方程解的概念和整体代入思想是解题的关键． 5. 若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】先根据一元二次方程的定义确定的限制条件，再通过判别式建立不等式求解的范围，最后求解集得到最终结果． 【详解】解：∵方程是关于的一元二次方程， ∴． 又∵该方程有实数根， ∴， 解得， ∴可得的取值范围是且． 故选：D． 6. 若m是方程的根，则的值为（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】把x=m代入，可得，再代入即可求解． 【详解】解：∵m是方程的根， ∴，即：， ∴=， 故选A． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的解以及代数式求值，掌握方程的解的定义以及整体代入思想方法是解题的关键． 7. 若菱形两条对角线的长度是方程的两根，则该菱形的边长为（ ） A. B. 4 C. D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】先求出方程的解，即可得出AC＝4，BD＝2，根据菱形的性质求出AO和OD，根据勾股定理求出AD即可． 【详解】解：解方程x2−6x＋8＝0得：x＝4或2， 即AC＝4，BD＝2， ∵四边形ABCD是菱形， ∴∠AOD＝90°，AO＝OC＝2，BO＝DO＝1， 由勾股定理得：AD＝＝， 故选：A． 【点睛】本题考查了解一元二次方程和菱形的性质，能求出方程的解是解此题的关键． 8. 若方程中，，，满足和，则方程的根是（　　） A. ， B. ， C. ， D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，当时，，当时，，则方程的根是，． 【详解】解：根据题意，当时，，当时， ∴方程的根是，， 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解的定义，理解题意是解题的关键． 9. 若a*b＝ab2﹣2ab﹣3，则方程3*x＝0的根的情况为（　　） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 无实数根 D. 不能确定 【答案】A 【解析】 【分析】方程利用题中的新定义化简，判断根的情况即可． 【详解】解：方程利用题中的新定义化简得：3x2﹣6x﹣3＝0， ∵Δ＝b2﹣4ac＝36+36＝72＞0， ∴方程有两个不相等的实数根． 故选：A． 【点睛】本题考查了新定义计算，一元二次方程根的判别式判断根的情况，根据新定义列出一元二次方程是解题的关键． 10. 已知实数满足，且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，先利用完全平方公式求出的取值范围，再把代入即可求解，灵活运用完全平方公式是解题的关键． 详解】解：∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：． 二．填空题（每空3分） 11. 若关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+2x+（m2﹣4）＝0有一个根是0，则m＝_____． 【答案】﹣2 【解析】 【分析】把x＝0代入（m﹣2）x2+2x+（m2﹣4）＝0得m2﹣4＝0，然后解关于m的方程，最后利用一元二次方程的定义确定m的值． 【详解】解：把x＝0代入（m﹣2）x2+2x+（m2﹣4）＝0得m2﹣4＝0，解得m1＝2，m2＝﹣2， 而m﹣2≠0， 所以m＝﹣2． 故答案为：﹣2． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 12. 设是关于x方程的两个根，且，则_______． 【答案】2 【解析】 【分析】先利用根与系数的关系中两根之和等于3，求出该方程的两个根，再利用两根之积得到k的值即可． 【详解】解：由根与系数的关系可得：，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴; 故答案为：2． 【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数之间的关系，解决本题的关键是牢记公式，即对于一元二次方程，其两根之和为 ，两根之积为． 13. 已知，且，则的值___________． 【答案】或 【解析】 【分析】先对原方程左边的二次三项式因式分解，得到两个一次方程乘积为0的形式，根据“若两数乘积为0，则至少其中一个数为0”得到两个一次方程，再将方程两边同时除以，转化为关于的等式，进而求解． 【详解】解：对左边的多项式因式分解，得， ∴或， ∵， ∴由得； 由，得． 综上，的值为或． 14. 已知，则的值为____． 【答案】1 【解析】 【分析】此题考查了换元法解一元二次方程，设，原方程变形为，然后利用因式分解法解得，，进而求解即可． 【详解】设 ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴或 ∴， ∵ ∴应舍去 ∴ ∴． 故答案为：1． 15. 已知a，b，c是△ABC的三边长，若方程有两个相等的实数根，则△ABC是 _______ 三角形． 【答案】直角 【解析】 【分析】根据方程有两个相等实数根，即可得到Δ=b2－4ac=0即（2b）2－4（a－c）（a+c）=0，然后利用勾股定理的逆定理判定即可. 【详解】解：∵方程有两个相等的实数根， ∴Δ=b2－4ac=0， ∴（2b）2－4（a－c）（a+c）=0，整理可得a2=b2+c2， 所以△ABC是直角三角形. 故答案为：直角 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式和勾股定理的逆定理，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解. 16. 如果、是一元二次方程的两个实数根，那么多项式的值是_______． 【答案】22 【解析】 【分析】先根据根与系数的关系得出，，，再代入原式计算即可． 【详解】解：、是一元二次方程，即的两个实数根， ，，， ， 则原式 ， 故答案为：22． 【点睛】本题主要考查根与系数的关系及一元二次方程的解，解题的关键是掌握，是一元二次方程的两根时，，． 17. 已知关于x的一元二次方程恰有一个根小于，则k的取值范围为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，解一元一次不等式，解一元二次方程得出，，结合题意得出，解一元一次不等式即可得解． 【详解】解：由题意可得：， ∴此方程总有两个实数根， ∴， ∴，， ∵关于x的一元二次方程恰有一个根小于， ∴， ∴， 故答案为：． 18. 代数式的最小值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】先对二次三项式的二次项和一次项进行配方，凑成完全平方公式，再结合完全平方式的非负性，确定代数式的最小值． 【详解】解：． ∵， ∴当时，代数式取得最小值，此时最小值为． 19. 若，求的值___________． 【答案】 【解析】 【分析】通过配方法将原式转化为两个完全平方式的和，利用“几个非负数的和为0，则每个非负数都为0”的性质求解、的值，再代入计算目标式． 【详解】解：∵， ∴， 即， ∵，， ∴，解得， ∴． 20. 已知实数m，n满足等式m2+2m﹣1＝0，n2+2n﹣1＝0，那么求的值是_____． 【答案】2或﹣6 【解析】 【分析】分两种情况讨论：①当m≠n时，根据根与系数的关系即可求出答案；②当m=n时，直接得出答案． 【详解】由题意可知：m、n是方程x2+2x﹣1=0的两根，分两种情况讨论： ①当m≠n时，由根与系数的关系得： m+n=﹣2，mn=﹣1， ∴原式6， ②当m=n时，原式=1+1=2． 综上所述：的值是2或﹣6． 故答案为：2或﹣6． 【点睛】本题考查了构造一元二次方程求代数式的值，解答本题的关键是熟练运用根与系数的关系，本题属于中等题型． 三、解答题 21. 解方程： （1）． （2）． （3）． （4）(用配方法解) 【答案】（1），； （2），； （3），； （4），； 【解析】 【分析】（1）方程左边是完全平方式，右边是非负常数，适合用直接开平方法，关键是将方程转化为两个一元一次方程求解； （2）先整理为一元二次方程的一般形式，再通过因式分解求解，关键是准确分解二次三项式； （3）方程左右两边都含有，不能直接除以该式，需移项后提取公因式分解因式； （4）先移项，再在两边加上一次项系数一半的平方，转化为直接开平方的形式． 【小问1详解】 解：直接开平方得， 当时，解得； 当时，解得； ∴方程的解为，． 【小问2详解】 解：移项整理得， 因式分解得， ∴或， 解得，． 【小问3详解】 解：移项得， 因式分解得， ∴或， 解得，． 【小问4详解】 解：移项得， 配方得， 直接开平方得， 当时，解得； 当时，解得； ∴方程的解为，． 22. 已知：关于x的方程，有两个不相等的实数根， （1）求实数m的取值范围， （2）若方程的两个实数根满足，求出符合条件的m的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式建立不等式求解即可； （2）由方程根与系数关系得出关于m的一元二次方程求解，然后结合（1）中结果求解即可． 【小问1详解】 解：， 其中a=1，b=-(8-4m)，c=， ∵方程有两个不相等的实数根， ∴， 即 解得：m<1； 【小问2详解】 ∵方程有两个实数根， ∴，， ∵， ∴， 解得：， 由（1）得m<1， ∴m=-2． 【点睛】题目主要考查一元二次方程的根的判别式与根与系数的关系，解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的基础知识点是解题关键． 23. 学校为每个班级准备了免洗抑菌洗手液．去市场购买时发现当购买量不超过瓶时，洗手液的单价为8元；超过瓶时，每增加瓶，每瓶单价就降低元，但最低价格不能低于每瓶5元．若学校购买洗手液共花费元，求购买洗手液的瓶数是多少？ 【答案】瓶 【解析】 【分析】先计算瓶的总花费，判断实际购买量超过瓶；接着表示超过瓶的单价表达式，再结合“最低单价不低于5元”的条件，确定购买量的上限为瓶；随后分两类讨论：当购买量在时，依据“总价=单价×数量”列一元二次方程，求解后舍去超出范围的根；当购买量超过瓶时，单价固定为5元，列方程求解后发现结果不满足前提条件故舍去；最终确定购买洗手液的瓶数为瓶． 【详解】解：设购买洗手液的瓶数为瓶． ∵购买瓶时的总花费为元，而， ∴． 当购买量超过瓶时，每增加瓶单价降低元，单价为元， ①又∵最低单价为5元， ∴，解得，即． 根据题意，列方程：， 整理得：， 因式分解得：， 解得：，(舍去)． ②当时，根据题意，列方程：， 解得：(舍去)， 综上，购买洗手液的瓶数是瓶． 答：购买洗手液的瓶数是瓶． 24. 如图，在平面直角坐标系中，已知正方形，，点为轴上一动点，以为边在的右侧作等腰，，连接，则的最小值为___． 【答案】 【解析】 【分析】过点E作轴于点F，易证，得出，，从而证明为等腰直角三角形，即得出点E在的平分线所在的直线上运动，再结合垂线段最短可知当时，最小，最后根据勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，过点E作轴于点F，连接， ∵为等腰直角三角形， ∴，，， ∴． ∵四边形为正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴，即平分， ∴点E在的平分线所在的直线上运动， ∴当时，最小，如图． ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查正方形的性质，三角形全等的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，垂线段最短等知识，正确作出辅助线，证明点E在的平分线所在的直线上运动是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $