专项复习二 整式的乘法（第1章 整式的乘除）-2025-2026学年北师大版数学七年级下册同步培优讲义

该初中数学讲义通过题型分类系统构建整式乘法的知识体系，以框架图呈现从单项式乘单项式、多项式乘多项式到图形面积应用、规律性问题的递进脉络，突出运算法则、字母求值、几何直观等重难点及内在联系。 讲义亮点在于“典例精讲+变式训练”设计，如“多项式乘多项式与图形面积”题型结合几何直观培养数学眼光，“不含某项求字母值”训练推理意识提升数学思维，基础题与提升题兼顾不同学生，助力教师实施精准分层教学。

2025-2026学年北师大版（新教材）数学七年级下册专项复习培优讲义【题型讲练】 专项复习二 整式的乘法 （第一章 整式的乘除） 【北师大版七下●新教材】 题型分类讲练 1 题型讲练一 计算单项式乘单项式 1 题型讲练二 计算单项式乘多项式及求值 3 题型讲练三 单项式乘多项式的应用 5 题型讲练四 计算多项式乘多项式 7 题型讲练五 多项式乘多项式与图形面积 9 题型讲练六 (x+p)(x+q）型多项式乘法 12 题型讲练七 利用单项式乘法求字母或代数式的值 14 题型讲练八 利用单项式乘多项式求字母的值 16 题型讲练九 已知多项式乘积不含某项求字母的值 18 题型讲练十 多项式乘法中的规律性问题 21 能力提升训练 24 题型讲练一 计算单项式乘单项式 【典例精讲】（2026·河北沧州·一模）下列计算，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查了同底数幂的乘除法则、合并同类项法则、单项式乘法法则，负整数指数幂，对各选项逐一计算判断对错. 【规范解答】解：A. ，故该选项不正确，不符合题意；     B. ，故该选项不正确，不符合题意； C. ，故该选项不正确，不符合题意；     D. ，故该选项正确，符合题意； 故选：D． 【变式训练1】（25-26七年级下·全国·课后作业）化简计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查了单项式乘单项式、同底数幂的乘法以及合并同类项，解题关键是熟练掌握幂的运算法则，注意符号的处理，以及同类项的合并． （1）这是单项式乘单项式的运算，需要将系数相乘，同底数幂分别相乘； （2）先进行幂的运算与整式的乘法． 【规范解答】（1）解：原式． （2）解：原式 ． 【变式训练2】（25-26七年级下·全国·周测）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【思路引导】本题考查了单项式乘多项式，多项式乘多项式，积的乘方，熟练掌握其运算法则是解题的关键. （1）根据单项式乘单项式的运算法则计算即可； （2）先根据多项式乘多项式的运算法则计算，然后去括号，最后合并同类项即可； （3）先算乘方，然后根据单项式乘多项式的运算法则计算即可. 【规范解答】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． 题型讲练二 计算单项式乘多项式及求值 【典例精讲】（24-25七年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查了单项式乘多项式、整式的混合运算，关键是熟练应用运算法则进行计算； （1）根据单项式与多项式的乘法法则进行计算即可； （2）先算单项式乘以多项式，然后合并同类项即可． 【规范解答】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【变式训练1】（2026七年级下·全国·专题练习）计算 (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【思路引导】本题主要考查了单项式乘以多项式，熟知单项式乘以多项式的计算法则是解题的关键． （）根据单项式乘以多项式的计算法则求解即可； （）根据单项式乘以多项式的计算法则求解即可． 【规范解答】（1）解： ； （2）解： ． 【变式训练2】（25-26七年级下·全国·课后作业）阅读：已知，求的值． 分析：考虑到，的可能值较多，不能逐一代入求解，故考虑运用整体思想，将整体代入求值． 解： ． 用上述方法解决以下问题． (1)已知，求的值． (2)已知，求的值． 【答案】(1) (2)2027 【思路引导】本题考查了整式的混合运算、整体代入思想和降次法。解题关键是通过变形将表达式转化为已知条件的形式，避免直接求解未知数，从而简化计算． （1）先展开整式乘法，将表达式整理为用表示的形式，再代入进行求值； （2）由已知等式变形得到和，通过降次将高次幂转化为低次幂，再整体代入化简求值． 【规范解答】（1）解： ． ∵， ∴原式 ． （2）解：∵， ∴，， ∴ ． 题型讲练三 单项式乘多项式的应用 【典例精讲】（25-26七年级上·湖北咸宁·期末）如图，将边长为的大正方形和边长为的小正方形放在同一平面上（）． (1)用含、的代数式表示阴影部分的面积_________． (2)请说明：图形空白部分的面积与的大小无关． 【答案】(1) (2)说明见解析 【思路引导】（1）分别求出两个三角形面积，即可得出答案； （2）根据题意表示出空白部分的面积即可求解． 【规范解答】（1）解：图中阴影部分的面积： ； （2）解：空白部分的面积为 空白部分面积与无关． 【变式训练1】（25-26七年级上·重庆·期末）重庆来福士坐落于重庆朝天门是重庆的地标建筑，其中来福士的南塔有四座塔楼，以及一座连接4座塔楼位于60层楼高空的“水晶廊桥”如图，南塔的整体可以近似地看作五个长方体组成，建筑整体高度为h，其中． (1)求该几何体的体积； (2)若，求该几何体的表面积（包括底面，不包括连接面）． 【答案】(1) (2)该几何体的表面积为． 【思路引导】本题考查列代数式，整式乘法的应用，整式加减的应用，正确列出代数式是解题的关键． （1）根据长方体的体积公式列出代数式即可； （2）根据长方体的表面积公式列式化简，再整体代入计算即可． 【规范解答】（1）解：该几何体的体积为； （2）解： ∵， ∴． 答：该几何体的表面积为． 【变式训练2】（24-25八年级上·北京门头沟·期末）如图，点，，在同一条直线上，正方形与正方形的边长分别为，，且，则阴影部分面积为__________ 【答案】 【思路引导】本题考查整式的运算，根据图形进行面积计算是解题的关键．观察图形，阴影部分面积可以通过大正方形面积减去小正方形面积，再减去两个直角三角形的面积计算得出． 【规范解答】解：∵，， ∴，， ∴ ∵， ∴上式， 故答案为：． 题型讲练四 计算多项式乘多项式 【典例精讲】（24-25七年级下·四川成都·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)21 (2) 【思路引导】（1）先化简各式，然后再进行计算即可解答； （2）利用多项式乘多项式的法则进行计算，即可解答． 【规范解答】（1）解： ； （2）解： ． 【变式训练1】（24-25七年级下·全国·课后作业）将4个数，，，排成2行、2列，两边各加一条竖直线记成，叫做2阶行列式，定义．若，求的值． 【答案】 【思路引导】本题考查多项式乘多项式的运算，关键是先根据二阶行列式的定义将所求行列式转化为整式的减法运算，再利用多项式乘多项式法则和平方差公式展开并化简，最后代入的值计算． 【规范解答】解：根据二阶行列式的定义， ， 当时，原式． 【变式训练2】（2026七年级下·全国·专题练习）小亮学习多项式，研究了多项式值为的问题，发现当或时，多项式的值为，把此时的值称为多项式的零点． (1)已知多项式，则此多项式的零点为 ； (2)小亮继续研究，及等，发现在数轴上表示这些多项式零点的两个点关于表示的点对称，他把这些多项式称为“系多项式”．若多项式是“系多项式”，求的值． 【答案】(1)或； (2) 【思路引导】本题考查了多项式乘多项式的运算，正确进行计算是解题的关键． ()根据题意，令，解方程得出的值，即可得出答案； ()根据‘系多项式’的定义求出的值，再根据多项式恒等，通过比较系数求出的值． 【规范解答】（1）解：由多项式零点的概念可得：或， 解得：或， ∴此多项式的零点为或； 故答案为：或； （2）解：∵，解得：或， ∴的两个零点分别是或， 由系多项式的定义可得：，解得：， 把代入得：， ∵， ∴， ∴， ∴的值分别是． 题型讲练五 多项式乘多项式与图形面积 【典例精讲】（25-26八年级上·湖北宜昌·期末）有边长分别为，（）的两种正方形（如图1）卡片若干． (1)将两种正方形卡片各一张按如图2放置，用含，的代数式表示阴影部分（未重叠部分）的面积； (2)将一张边长为的正方形卡片和两张边长为的正方形卡片按如图放置，用含，的代数式表示阴影部分（三张卡片都重叠部分）的面积； (3)将两种正方形卡片各一张按如图放置在一个边长为（）的大正方形内，左下角长方形的面积为，两张卡片重叠部分的面积为．若，请直接用等式写出与的数量关系． 【答案】(1) (2) (3) 【思路引导】此题考查了多项式乘法和图形面积． （1）根据正方形的边长为a，正方形的边长为b，根据大正方的面积减去小正方形的面积，即可得出阴影部分的面积； （2）正方形的边长为a，正方形和正方形的边长均为b，得，再根据得，则，由此可得出阴影部分的面积； （3）根据正方形的边长为c，正方形的边长为a，正方形的边长为b， ，即可得到结论． 【规范解答】（1）解：如图2所示： ∵正方形的边长为a，正方形的边长为b， ∴阴影部分的面积为：； （2）如图3所示： ∵正方形的边长为a，正方形和正方形的边长均为b， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积为：； （3）与的数量关系是：，理由如下： 如图4所示： ∵正方形的边长为c，正方形的边长为a，正方形的边长为， ∴， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∴． 【变式训练1】．（25-26八年级上·福建漳州·期末）为了更好地开展劳动教育，某校暑期对校内闲置的长为米，宽为米的长方形地块进行规划改造．如图，学校准备在该地块内修一条宽为a米的小路，并计划将阴影部分改造为种植区． (1)用含有a、b的式子表示出种植区的总面积S；（请将结果化为最简） (2)若，，求出此时种植区的总面积S的值． 【答案】(1)阴影部分的面积为平方米 (2)此时种植区的总面积S为130平方米 【思路引导】（1）把两个阴影长方形拼成一个长为米，宽为米的长方形，根据长方形面积公式列式，再进行多项式乘以多项式进行计算即可求解； （2）把，代入即可求解． 【规范解答】（1）解： ∴阴影部分的面积为平方米； （2）解：当，时， （平方米）． 答：此时种植区的总面积S为130平方米． 【变式训练2】（25-26八年级上·四川乐山·期末）我们知道对于一个几何图形，可以采用两种不同的方法计算它的面积，从而得到一个数学等式．如图，可以得到的数学等式是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查了整式乘法的几何意义，体现数形结合的思想．图中的面积可表示为一个大的正方形的面积或所分成的9个图形的面积之和，由此可得到答案． 【规范解答】解：图中的面积可表示为：， 或， 故可以得到的数学等式是：， 故选：D． 题型讲练六 (x+p)(x+q）型多项式乘法 【典例精讲】若，则__________． 【答案】 【思路引导】这道题是一个多项式乘法与等式的问题．需要通过展开左边的乘积，并将其与右边的表达式进行比较，从而确定和的值．然后利用这些值计算．本题主要考查了多项式乘法，熟练掌握多项式展开及系数比较方法是解题的关键． 【规范解答】解： ∴， 解得， ∴ 故答案为：． 【变式训练1】若，，则与的大小关系为（   ） A． B． C． D．由的取值而定 【答案】C 【思路引导】本题主要考查了多项式乘多项式以及作差法比较代数式的大小，熟练掌握多项式乘多项式的运算法则是解题的关键． 本题可通过计算的值，根据其正负性来判断与的大小关系．需要先分别展开和的表达式，然后作差，再对差进行化简，最后根据化简结果判断大小． 【规范解答】解：∵，， ∴ ， 因为，即， 所以 故选：C． 【变式训练2】（25-26八年级上·全国·随堂练习）已知都是整数，则的值为________． 【答案】7或或8或或13或 【思路引导】本题考查的是多项式的乘法，先计算 ，可得，，再进一步求解即可． 【规范解答】解： ， ，． 都是整数， 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，． 故的值为7或或8或或13或． 故答案为：7或或8或或13或 题型讲练七 利用单项式乘法求字母或代数式的值 【典例精讲】（25-26七年级下·全国·周测）若，，则____________． 【答案】1 【思路引导】此题考查了单项式乘单项式，化简求值， 熟练掌握运算法则是解本题的关键． 先利用单项式乘以单项式法则计算，然后将已知等式代入计算即可求出值． 【规范解答】解：原式＝， 当 和 时， 原式． 故答案为：． 【变式训练1】（24-25七年级下·全国·课后作业）小明计算一道整式乘法题时，由于将第一个单项式中的抄成了，将第二个单项式中的抄成了，结果得到． (1)根据上述信息，分别计算出m，n的值． (2)在（1）的条件下，请你计算出这道题的正确答案． 【答案】(1)， (2) 【思路引导】本题考查了单项式乘单项式，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）由题意得，，利用单项式乘单项式法则计算后得到关于，的方程，解方程即可； （2）先利用单项式乘单项式法则进行化简，然后把（1）中求出的，的值代入即可得到答案；或将，的值代入原式中计算即可． 【规范解答】（1）解：由题意得， ， 即， 所以，， 解得，． （2）解：原式 ． 由（1）知，，， 所以原式． 一题多解法（2）由（1）知，，， 所以原式 ． 【变式训练2】（23-24六年级下·山东青岛·月考）已知与的积与是同类项． (1)求的值， (2)先化简，再求值：． 【答案】(1) (2)， 【思路引导】本题主要考查了单项式乘以单项式，积的乘方，同类项的定义： （1）先根据单项式乘以单项式的计算法按照求出，再由同类项的定义得到，解之即可得到答案； （2）先计算积的乘方，再计算单项式乘以单项式， 然后合并同类项化简，最后代值计算即可． 【规范解答】（1）解：， ∵与的积与是同类项， ∴与是同类项， ∴， ∴； （2）解： ， 当时，原式． 题型讲练八 利用单项式乘多项式求字母的值 【典例精讲】（25-26八年级上·全国·周测）一个多项式因式分解得到的结果是，则M表示的式子是______． 【答案】 【思路引导】本题考查了因式分解与多项式乘法的互逆关系，解题的关键是利用多项式乘法将分解的结果展开，再通过对比确定M的表达式． 根据因式分解与整式乘法互为逆运算，先将展开；再与原式进行对比，通过移项求出M表示的式子． 【规范解答】解：∵多项式因式分解的结果是， ∴将右边展开可得：． 又∵，移项可得． 故答案为：． 【变式训练1】（24-25七年级下·全国·单元测试）已知中不含项，求a的值． 【答案】 【思路引导】本题考查了整式的无关型运算． 先计算原整式，求出的系数，进而根据“不含项”计算即可． 【规范解答】解：原式 ． 因为不含项， 所以．解得． 【变式训练2】（23-24八年级上·河南周口·月考）仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：已知关于x的多项式有一个因式是，求另一个因式以及m的值． 解：设另一个因式为，得：，则， ∴，解得：，． ∴另一个因式为，m的值为－21． 问题：仿照以上方法解答下面问题： (1)二次三项式有一个因式是，求p的值； (2)已知关于x的多项式有一个因式是，求另一个因式以及k的值； (3)已知关于x的多项式有一个因式为，求b的值． 【答案】(1)p的值为6 (2)另一个因式是， (3) 【思路引导】本题主要考查了整式的乘法； （1）设另一个因式为，根据整式乘法的法则进行计算，得出关于p、n的方程，求解即可； （2）设另一个因式为，根据整式乘法的法则进行计算，得出关于k、n的方程，求解即可； （3）设另一个因式为，根据整式乘法的法则进行计算，得出关于m、n、b的方程，求解即可． 【规范解答】（1）解：设二次三项式的另一个因式为， 则， 即， ∴， 解得， 答：p的值为6； （2）设关于x的多项式的另一个因式是， 则， 即， ∴， 解得， ∴关于x的多项式的另一个因式是，； （3）设关于x的多项式的另一个因式为， 则， 即， ∴， ∴， 即． 题型讲练九 已知多项式乘积不含某项求字母的值 【典例精讲】已知，若b不影响W的取值，则常数______． 【答案】2 【思路引导】先根据整式乘法法则展开原式，合并同类项后，根据b不影响W的取值可知，W中所有含b的项的系数为0，据此列一元一次方程求解即可得到k的值． 【规范解答】解： ， 因为b不影响W的取值，所以含b的项的系数为0，即， 解得． 【变式训练1】（25-26七年级上·河北沧州·期末）定义一种新运算：对任意有理数，都有．例如：． (1)求的值． (2)化简并求值：，其中，互为相反数，是最大的负整数． (3)已知与的差中不含项，求的值． 【答案】(1) (2)， (3) 【思路引导】本题主要考查了新定义运算、整式的化简求值、多项式中不含某一项的条件应用，熟练掌握根据新运算定义转化为常规运算，以及利用多项式不含某一项则其系数为0的性质是解题的关键． （1）根据新运算定义，直接代入和进行计算． （2）先按照新运算定义展开，再通过去括号、合并同类项化简，最后利用、互为相反数及是最大的负整数的条件代入求值． （3）先根据新运算定义分别表示出与，再计算它们的差，合并同类项后，根据差中不含项，令项的系数为0，解方程求出的值． 【规范解答】（1）解：． （2）解： ， 由题意得，， 原式． （3）解：由题意得 ， 与的差中不含项， ， 解得． 【变式训练2】（24-25七年级下·江苏泰州·期中）小华同学在计算后，爱思考的他发现：是x项的系数，与通过计算后的结果对比，x项的系数是正确的．为了验证这个发现，又计算，，x项的系数为；用他发现的方法计算：，结果还是一样的．请你认真领会小华同学的方法，并用他的方法解决下面问题． (1)①中x项的系数是 ． ②若，其中 ． (2)若的积中不含x项，求p的值． (3)拓展应用：某超市计划购进A，B两种型号某品牌矿泉水共100箱（每箱24瓶），有多种购进方案．这两种型号矿泉水的进价和售价如表格所示： A B 进价（元/箱） 24 30 售价（元/箱） 48 57 该超市积极参与做慈善活动，决定每售出一箱B型号矿泉水，向社会福利机构捐款m元，A型号矿泉水每箱的售价不变，100箱矿泉水全部售出后，不同的购进方案，超市获得的利润都相同，设购进A型号矿泉水有a箱，超市获得的利润为w元，用含a，m的式子表示w，并求m的值． 【答案】(1)①；② (2) (3)， 【思路引导】本题主要考查了多项式乘以多项式的运算及应用等知识点，理解多项式乘以多项式所得的多项式每一项的系数及题干中得出的规律是解决问题的关键． （1）①由题干中计算方法即可得解；②由题干和前面计算知：几个多项式相乘的积的一次项系数为每个多项式中一次项系数与另外的多项式的常数项的积之和，根据规律即可得解； （2）由题干中计算方法即可得解； （3）根根题意列出式子，由无论a为多少，w都不变，得出m的值，即可得解； 【规范解答】（1）解：由题中计算方法知：， 故答案为：19； ②∵是由2025个相乘， 又由题干和前面计算知：几个多项式相乘的积的一次项系数为每个多项式中一次项系数与另外的多项式的常数项的积之和， ∴它的展开式的一次项系数为2025个2的和， ∴； 故答案为：； （2）解：由题干中计算方法知：中x的系数为， ∵x的系数为零， ∴， ∴； （3）解：设购进A型号矿泉水有a箱，则购进B型号矿泉水有箱， ∴ ， ∵无论a为多少，w都不变， ∴中，a的系数为0， ∴, ∴，不同的购进方案，超市获得的利润都相同，都为元， ∴，． 题型讲练十 多项式乘法中的规律性问题 【典例精讲】（24-25七年级下·四川成都·期中）【观察思考】 ， ， ， 【规律发现】 （1）根据规律可得 ；（其中n为正整数） 【规律应用】； （2）①计算：； ②若，求的值． 【答案】（1）；（2）①；② 【思路引导】（1）观察所给等式，发现各部分的变化规律即可解决问题； （2）①把原式化为，再结合（1）中发现的规律进行计算即可； ②由结合条件可得x的值，进而即可求解． 【规范解答】（1）解：因为， ， ， 所以（其中n为正整数）； （2）②解：原式 ； ②解：因为， 则，即， 解得或， 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意； 故，． 【变式训练1】（24-25七年级下·广西桂林·月考）观察下列各式： … 根据上面各式的规律，写出的各项的系数和为_______． 【答案】256 【思路引导】本题考查二项式展开式的系数和规律问题．通过观察已知展开式的系数和，归纳出一般规律，再代入计算即可． 【规范解答】解：观察已知展开式可得， 的各项系数和为， 的各项系数和为， 的各项系数和为， 的各项系数和为， 归纳可得规律：的各项系数和为， 当时，， 故答案为：256． 【变式训练2】你能求的值吗？ 遇到这样的问题，我们可以先思考一下，从简单的情形入手．先计算下列各式的值： （1）_______； （2）_______； （3）_______；… （4）由此我们可以得到_______； 请你利用上面的结论，完成下面三题的计算： （5）； （6）； （7）若，求的值． 【答案】（1） （2） （3） （4） （5） （6） （7）1 【思路引导】（1）（2）（3）根据多项式乘多项式直接计算即可； （4）根据计算规律可直接得出结果； （5）（6）将原式变形，然后利用（4）中规律求解即可； （7）利用（3）可得，即，再根据指数幂的运算求解． 【规范解答】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：由此我们可以得到； （5）解： ； （6） ； （7）， ， 解得， ． 1．（25-26八年级上·福建泉州·期末）下面四个整式中，不能表示图中几何图形的面积的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查了多项式乘法与几何图形面积，利用长方形面积公式以及割补法分别表示图中几何图形面积即可． 【规范解答】解：A、如图，①中，， ∴图中几何图形的面积的是，故A不符合题意； B、图中几何图形的面积无法用表示，故B符合题意； C、由于图中几何图形的面积4个长方形的面积和，即，故C不符合题意； D、图中右侧两个长方形可以拼接成一个长为，宽为的长方形，故图中几何图形的面积的是，故D不符合题意； 故选：B． 2．（25-26八年级上·河南信阳·期末）我国南宋数学家杨辉所著《详解九章算术》中记载了用如图所示的三角形解释了二项和的乘方展开式中的系数规律，我们把这种数字三角形叫做“杨辉三角”，请你利用杨辉三角，计算的展开式中，含项的系数是（   ） A．15 B．10 C．9 D．6 【答案】A 【思路引导】本题考查杨辉三角的规律，运用归纳推理思想，解题关键是掌握杨辉三角的生成规律，易错点是行数与项数的对应关系错误，解题思路是通过推导杨辉三角后续行的系数，确定展开式中含项的系数． 【规范解答】解：杨辉三角的规律是：每行两端的数为，中间的数为上一行相邻两数之和． 的系数行：； 的系数行：； 对于含项的系数是从左向右第个数，即． 故选：A． 3．（25-26八年级上·湖北荆门·期末）如图，若用正方形卡片A类（边长为a）、B类（边长为b）和长方形卡片C类（长为a、宽为b）拼成长为、宽为的长方形，需要C类卡片的张数为（    ） A．8 B．7 C．6 D．5 【答案】B 【思路引导】本题考查了多项式乘法运算及图形面积的理解．先计算出长为、宽为的长方形面积，再分析该面积表达式中与C类卡片面积相关项的系数，从而确定C类卡片的张数． 【规范解答】解：∵大长方形的长为、宽为， ∴大长方形面积为， 而A类正方形卡片的面积为，B类正方形卡片的面积为，C类长方形卡片的面积为， 由大长方形的面积可知，对应A类卡片的面积，对应B类卡片的面积，对应C类卡片的面积， ∴需要C类卡片的张数为， 故选：B． 4．（25-26七年级上·江苏南通·月考）如图，将两张边长分别为6和5的正方形纸片分别按图①和图②两种方式放置在长方形内（图①和图②中两张正方形纸片均有部分重叠），未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示．若长方形中边、的长度分别为m、n．设图①中阴影部分面积为，图②中阴影部分面积为，当时，的值为（   ） A．6 B．15 C．18 D．30 【答案】B 【思路引导】本题考查了整式的混合运算，代数式求值，正确表示出和是解题关键． 利用图形得出，，作差得到，再代入计算求值即可． 【规范解答】解：图①中阴影部分面积， 图②中阴影部分面积， ， 当时，的值为． 故选：B． 5．（25-26八年级上·福建泉州·期末）如图，将6张长为a，宽为b的小长方形不重叠地放在大长方形中，大长方形中未被覆盖的两个部分都是长方形，记右上角长方形的面积为，左下角长方形的面积为，当的长变化时，与的差始终不变，则a与b的数量关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题主要考查整式的加减及整式的乘法，设，然后分别表示出和，，由与的差始终不变，得，从而可得结论． 【规范解答】解：设，则，， ∴ ∵与的差始终不变，即与的取值无关， ∴的系数必须为0， ∴， ∴， 故选：C． 6．（25-26八年级上·重庆北碚·期末）已知关于x的两个多项式，．下列说法： ①； ②若不含项，则； ③若，其中N为整式，则． 其中正确的个数是（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【思路引导】本题考查了多项式的展开与系数比较，多项式乘法的系数计算，代数式求值等知识点．先根据多项式A的展开，求出a、b、c、d的值；然后分别验证三个说法：说法①直接计算；说法②通过中项系数为0推导f与e的关系；说法③利用，推导f与e的关系． 【规范解答】解：∵， 展开， 比较系数得：，，，且， ∴， 则，， ∴，故说法①正确； ∵，，， M中项系数来自： A的项的常数项：， A的项的x项：， A的项的项：， ∴项系数为， 令其为0：， ∴，故说法②正确； ∵，， 由于， 又∵N为整式， ∴余数，即，故说法③正确， 综上，三个说法均正确， 故选：D． 7．（24-25七年级下·全国·课后作业）已知，，．若的值与m无关，则a的值为（    ） A． B． C．3 D．5 【答案】B 【思路引导】本题考查了单项式乘多项式，合并同类项，准确熟练地进行计算是解题的关键． 计算并合并同类项，由于表达式与无关，令的系数为零求解的值即可． 【规范解答】解：∵， ， ∴ ∴ ∵的值与无关 ∴ ∴ 故选：B． 8．若，则_______． 【答案】3 【思路引导】利用多项式乘以多项式化简等式的左边，根据恒等式的意义，构造方程，逐一解答计算即可． 【规范解答】解：∵，， ∴， ∴，， ∴，， ∴． 9．（25-26七年级下·江苏徐州·月考）有下列四个表达式： ①；②；③；④．其中不能表示如图所示的正方形的面积的是___________（填序号）． 【答案】③ 【思路引导】根据正方形的面积公式，大正方形的面积可以表示为边长的平方，也可以表示为四个小图形面积之和，还可以表示为两个矩形面积之和，分别对四个表达式进行判断即可． 【规范解答】解：由图可知，大正方形的边长为， 大正方形的面积为，故①能表示； 大正方形的面积也可以看作是四个小图形的面积之和，即，故②能表示； 大正方形的面积还可以看作是上下两个矩形的面积之和，上方矩形面积为，下方矩形面积为，总面积为，故④能表示； 而表示的是边长为的正方形的面积，与题意不符，故③不能表示． 10．（25-26九年级上·黑龙江哈尔滨·期末）定义新运算：，则的运算结果为__________ 【答案】/ 【思路引导】本题考查整式的运算，根据新运算的定义，将 和 分别替换为 和 ，列出算式，利用单项式乘以单项式的法则，以及合并同类项的法则，进行计算即可． 【规范解答】解：由定义 ，得 ， 故答案为 ． 11．两个边长分别为a和b的正方形如图放置（图1），其未叠合部分（阴影）面积为；若再在图1中大正方形的右下角摆放一个边长为b的小正方形（如图2），两个小正方形叠合部分（阴影）面积为．当时，则图3中阴影部分的面积______． 【答案】30 【思路引导】由正方形和长方形的面积公式得出 和，再由可以得出，再用割补法求出，再整体代入求值即可； 【规范解答】解：由题意得， ，， ， ， ， ． 12．（25-26七年级下·山东青岛·开学考试）在学习整式乘法的时候，我们发现一个有趣的问题：将下面等号右边的式子的各项系数排成如图所示．这个图叫做“杨辉三角”， 请观察这些系数的规律，直接写出 ______．并说出第9行的第三个数是______． 【答案】 / 【思路引导】观察图表寻找系数变化规律：三角形是一个由数字排列成的三角形数表，它两侧的边都是数字1组成，而其余的数则是等于它“肩”上的两个数之和，a的次数按降幂排列，b的次数按升幂排列，进而可写出的结果；找出第三项的系数规律，进而可知第9行的第三个数． 【规范解答】解：由题意可得， 第三行的第三项为， 第四行的第三项为， 第五行的第三项为， 第六行的第三项为， ， 第九行的第三项为． 13．（24-25七年级下·全国·课后作业）“三角”表示，“方框”表示，则________． 【答案】 【思路引导】考查新定义和单项式与单项式相乘相结合，按照法则计算即可求解． 【规范解答】解：原式， 故答案为：． 14．（24-25七年级下·全国·周测）已知，，．若的值与x的取值无关，则a的值为__________． 【答案】－3 【思路引导】本题考查了整式的乘法与代数式化简，掌握若代数式的值与某个字母无关，则该字母对应项的系数为0是解题的关键． 计算，化简后得到关于的多项式，根据值与无关的条件，令所有含的项的系数为零，从而求解． 【规范解答】解： 由于的值与的取值无关， 因此项的系数， 解得： 故答案为：． 15．（24-25七年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【思路引导】本题考查单项式的乘法及积的乘方运算，熟练掌握各个运算法则是解题关键． （1）直接根据单项式乘以单项式法则计算即可； （2）先计算积的乘方运算，然后计算单项式乘以单项式即可； （3）先计算积的乘方运算，然后计算单项式乘以单项式即可； （4）先计算积的乘方运算，然后计算单项式乘以单项式即可． 【规范解答】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： 16．（25-26八年级上·江西上饶·期末）已知多项式与的乘积中不含有项，常数项为4． (1)求，的值； (2)计算：． 【答案】(1)； (2) 【思路引导】本题主要考查多项式乘以多项式，掌握多项式乘以多项式的运算法则是关键.． （1）先计算A与B的乘积，合并同类项后，由乘积中不含有x项和常数项为4，列方程即可得到答案； （2）把代入，利用整式的四则运算法则进行计算即可． 【规范解答】（1）解：， 与的乘积中不含有项，常数项为4， ，解得． 把代入，可得， 故． （2）解：根据（1）可知，， ． 17．（25-26八年级上·四川内江·期中）已知的展开式中不含的一次项，且常数项是，求的值． 【答案】 【思路引导】本题考查了多项式乘多项式，已知多项式乘积不含某项求字母的值，先将原式进行化简，然后将与的值代入即可求出答案． 【规范解答】解： ∵的展开式中不含的一次项，且常数项是 ∴ 解得： 故． 18．（25-26七年级下·江苏徐州·月考）教材中，在计算如图①所示的正方形ABCD的面积时，分别从两个不同的角度进行了操作： 角度一：把它看成是一个大正方形，则它的面积为． 角度二：把它看成是2个小长方形和2个小正方形组成的，则它的面积为．因此，可得到等式：． (1)类比教材中的方法，由图②中的大正方形可得等式：___________； (2)利用①中得到的结论，解决下面的问题：若，，则的值为___________； (3)代数式展开、合并同类项后，得到的多项式的项数一共有___________项． (4)若将代数式展开后合并同类项，得到多项式N，则多项式N一共有___________项． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【思路引导】（1）根据图②，利用直接求与间接法分别表示出正方形面积，即可确定出所求等式； （2）由（1）中结论可得，将所给式子的值整体代入即可； （3）由，共有项，， 共有项，进而找出规律，即可做答； （4）根据（3）中规律作答即可． 【规范解答】（1）解：由题意可知，； （2）解：由（1）知， ∵，， ∴ ； （3）解：，共有项， 共有项， 可知展开后合并同类项共项， ∴展开后合并同类项共项； （4）解：由（3）知，展开后合并同类项共项． 19．（24-25七年级下·江苏苏州·月考）观察下列各式： (1)根据以上的规律得：______（为正整数） (2)根据这一规律，计算： 【答案】(1) (2) 【思路引导】（1）观察已知等式即可求解； （2）化为，即可求解． 【规范解答】（1）解：； （2）解：原式 ． 20．（25-26八年级上·江西南昌·期末）日历与人们日常生活密切相关，其中蕴含着丰富的数学问题．如图是某月的日历，若任意选择图中上下相邻的四个日期（阴影部分），将其中四个位置上的数交叉相乘，再相减，例如：________，________，不难发现，结果都是________．    (1)请将上面三个空补充完整； (2)设符合条件的四个日期左上角位置上的数为a，请你利用整式的运算对以上的规律加以证明． 【答案】(1)7，7，7 (2)见解析 【思路引导】此题考查了整式的混合运算，以及规律型：数字的变化类，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）根据所给算式进行计算即可； （2）表示出各个角上的数字，再根据“右上角×左下角-左上角×右下角”写出规律；利用多项式乘多项式法则，证明结论． 【规范解答】（1）解：， ， 不难发现，结果都是7， 故答案为：7；7；7； （2）解：设左上角的数字为a，则右上角的数字为，左下角的数字为，右下角的数字为． 则． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年北师大版（新教材）数学七年级下册专项复习培优讲义【题型讲练】 专项复习二 整式的乘法 （第一章 整式的乘除） 【北师大版七下●新教材】 题型分类讲练 1 题型讲练一 计算单项式乘单项式 1 题型讲练二 计算单项式乘多项式及求值 2 题型讲练三 单项式乘多项式的应用 3 题型讲练四 计算多项式乘多项式 4 题型讲练五 多项式乘多项式与图形面积 5 题型讲练六 (x+p)(x+q）型多项式乘法 6 题型讲练七 利用单项式乘法求字母或代数式的值 7 题型讲练八 利用单项式乘多项式求字母的值 7 题型讲练九 已知多项式乘积不含某项求字母的值 8 题型讲练十 多项式乘法中的规律性问题 9 能力提升训练 11 题型讲练一 计算单项式乘单项式 【典例精讲】（2026·河北沧州·一模）下列计算，正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式训练1】（25-26七年级下·全国·课后作业）化简计算： (1) ． (2)． 【变式训练2】（25-26七年级下·全国·周测）计算： (1) ； (2)； (3)． 题型讲练二 计算单项式乘多项式及求值 【典例精讲】（24-25七年级下·全国·课后作业）计算： (1) ； (2)． 【变式训练1】（2026七年级下·全国·专题练习）计算 (1) ； (2)． 【变式训练2】（25-26七年级下·全国·课后作业）阅读：已知，求的值． 分析：考虑到，的可能值较多，不能逐一代入求解，故考虑运用整体思想，将整体代入求值． 解： ． 用上述方法解决以下问题． (1)已知，求的值． (2)已知，求的值． 题型讲练三 单项式乘多项式的应用 【典例精讲】（25-26七年级上·湖北咸宁·期末）如图，将边长为的大正方形和边长为的小正方形放在同一平面上（）． (1)用含、的代数式表示阴影部分的面积_________． (2)请说明：图形空白部分的面积与的大小无关． 【变式训练1】（25-26七年级上·重庆·期末）重庆来福士坐落于重庆朝天门是重庆的地标建筑，其中来福士的南塔有四座塔楼，以及一座连接4座塔楼位于60层楼高空的“水晶廊桥”如图，南塔的整体可以近似地看作五个长方体组成，建筑整体高度为h，其中． (1)求该几何体的体积； (2)若，求该几何体的表面积（包括底面，不包括连接面）． 【变式训练2】（24-25八年级上·北京门头沟·期末）如图，点，，在同一条直线上，正方形与正方形的边长分别为，，且，则阴影部分面积为__________ 题型讲练四 计算多项式乘多项式 【典例精讲】（24-25七年级下·四川成都·期中）计算： (1) ； (2)． 【变式训练1】（24-25七年级下·全国·课后作业）将4个数，，，排成2行、2列，两边各加一条竖直线记成，叫做2阶行列式，定义．若，求的值． 【变式训练2】（2026七年级下·全国·专题练习）小亮学习多项式，研究了多项式值为的问题，发现当或时，多项式的值为，把此时的值称为多项式的零点． (1)已知多项式，则此多项式的零点为 ； (2)小亮继续研究，及等，发现在数轴上表示这些多项式零点的两个点关于表示的点对称，他把这些多项式称为“系多项式”．若多项式是“系多项式”，求的值． 题型讲练五 多项式乘多项式与图形面积 【典例精讲】（25-26八年级上·湖北宜昌·期末）有边长分别为，（）的两种正方形（如图1）卡片若干． (1)将两种正方形卡片各一张按如图2放置，用含，的代数式表示阴影部分（未重叠部分）的面积； (2)将一张边长为的正方形卡片和两张边长为的正方形卡片按如图放置，用含，的代数式表示阴影部分（三张卡片都重叠部分）的面积； (3)将两种正方形卡片各一张按如图放置在一个边长为（）的大正方形内，左下角长方形的面积为，两张卡片重叠部分的面积为．若，请直接用等式写出与的数量关系． 【变式训练1】．（25-26八年级上·福建漳州·期末）为了更好地开展劳动教育，某校暑期对校内闲置的长为米，宽为米的长方形地块进行规划改造．如图，学校准备在该地块内修一条宽为a米的小路，并计划将阴影部分改造为种植区． (1)用含有a、b的式子表示出种植区的总面积S；（请将结果化为最简） (2)若，，求出此时种植区的总面积S的值． 【变式训练2】（25-26八年级上·四川乐山·期末）我们知道对于一个几何图形，可以采用两种不同的方法计算它的面积，从而得到一个数学等式．如图，可以得到的数学等式是（    ） A． B． C． D． 题型讲练六 (x+p)(x+q）型多项式乘法 【典例精讲】若，则__________． 【变式训练1】若，，则与的大小关系为（   ） A． B． C． D．由的取值而定 【变式训练2】（25-26八年级上·全国·随堂练习）已知都是整数，则的值为________． 题型讲练七 利用单项式乘法求字母或代数式的值 【典例精讲】（25-26七年级下·全国·周测）若，，则____________． 【变式训练1】（24-25七年级下·全国·课后作业）小明计算一道整式乘法题时，由于将第一个单项式中的抄成了，将第二个单项式中的抄成了，结果得到． (1)根据上述信息，分别计算出m，n的值． (2)在（1）的条件下，请你计算出这道题的正确答案． 【变式训练2】（23-24六年级下·山东青岛·月考）已知与的积与是同类项． (1)求的值， (2)先化简，再求值：． 题型讲练八 利用单项式乘多项式求字母的值 【典例精讲】（25-26八年级上·全国·周测）一个多项式因式分解得到的结果是，则M表示的式子是______． 【变式训练1】（24-25七年级下·全国·单元测试）已知中不含项，求a的值． 【变式训练2】（23-24八年级上·河南周口·月考）仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：已知关于x的多项式有一个因式是，求另一个因式以及m的值． 解：设另一个因式为，得：，则， ∴，解得：，． ∴另一个因式为，m的值为－21． 问题：仿照以上方法解答下面问题： (1)二次三项式有一个因式是，求p的值； (2)已知关于x的多项式有一个因式是，求另一个因式以及k的值； (3)已知关于x的多项式有一个因式为，求b的值． 题型讲练九 已知多项式乘积不含某项求字母的值 【典例精讲】已知，若b不影响W的取值，则常数______． 【变式训练1】（25-26七年级上·河北沧州·期末）定义一种新运算：对任意有理数，都有．例如：． (1)求的值． (2)化简并求值：，其中，互为相反数，是最大的负整数． (3)已知与的差中不含项，求的值． 【变式训练2】（24-25七年级下·江苏泰州·期中）小华同学在计算后，爱思考的他发现：是x项的系数，与通过计算后的结果对比，x项的系数是正确的．为了验证这个发现，又计算，，x项的系数为；用他发现的方法计算：，结果还是一样的．请你认真领会小华同学的方法，并用他的方法解决下面问题． (1)①中x项的系数是 ． ②若，其中 ． (2)若的积中不含x项，求p的值． (3)拓展应用：某超市计划购进A，B两种型号某品牌矿泉水共100箱（每箱24瓶），有多种购进方案．这两种型号矿泉水的进价和售价如表格所示： A B 进价（元/箱） 24 30 售价（元/箱） 48 57 该超市积极参与做慈善活动，决定每售出一箱B型号矿泉水，向社会福利机构捐款m元，A型号矿泉水每箱的售价不变，100箱矿泉水全部售出后，不同的购进方案，超市获得的利润都相同，设购进A型号矿泉水有a箱，超市获得的利润为w元，用含a，m的式子表示w，并求m的值． 题型讲练十 多项式乘法中的规律性问题 【典例精讲】（24-25七年级下·四川成都·期中）【观察思考】 ， ， ， 【规律发现】 （1）根据规律可得 ；（其中n为正整数） 【规律应用】； （2）①计算：； ②若，求的值． 【变式训练1】（24-25七年级下·广西桂林·月考）观察下列各式： … 根据上面各式的规律，写出的各项的系数和为_______． 【变式训练2】你能求的值吗？ 遇到这样的问题，我们可以先思考一下，从简单的情形入手．先计算下列各式的值： （1）_______； （2）_______； （3）_______；… （4）由此我们可以得到_______； 请你利用上面的结论，完成下面三题的计算： （5）； （6）； （7）若，求的值． 1．（25-26八年级上·福建泉州·期末）下面四个整式中，不能表示图中几何图形的面积的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·河南信阳·期末）我国南宋数学家杨辉所著《详解九章算术》中记载了用如图所示的三角形解释了二项和的乘方展开式中的系数规律，我们把这种数字三角形叫做“杨辉三角”，请你利用杨辉三角，计算的展开式中，含项的系数是（   ） A．15 B．10 C．9 D．6 3．（25-26八年级上·湖北荆门·期末）如图，若用正方形卡片A类（边长为a）、B类（边长为b）和长方形卡片C类（长为a、宽为b）拼成长为、宽为的长方形，需要C类卡片的张数为（    ） A．8 B．7 C．6 D．5 4．（25-26七年级上·江苏南通·月考）如图，将两张边长分别为6和5的正方形纸片分别按图①和图②两种方式放置在长方形内（图①和图②中两张正方形纸片均有部分重叠），未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示．若长方形中边、的长度分别为m、n．设图①中阴影部分面积为，图②中阴影部分面积为，当时，的值为（   ） A．6 B．15 C．18 D．30 5．（25-26八年级上·福建泉州·期末）如图，将6张长为a，宽为b的小长方形不重叠地放在大长方形中，大长方形中未被覆盖的两个部分都是长方形，记右上角长方形的面积为，左下角长方形的面积为，当的长变化时，与的差始终不变，则a与b的数量关系为（    ） A． B． C． D． 6．（25-26八年级上·重庆北碚·期末）已知关于x的两个多项式，．下列说法： ①； ②若不含项，则； ③若，其中N为整式，则． 其中正确的个数是（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 7．（24-25七年级下·全国·课后作业）已知，，．若的值与m无关，则a的值为（    ） A． B． C．3 D．5 8．若，则_______． 9．（25-26七年级下·江苏徐州·月考）有下列四个表达式： ①；②；③；④．其中不能表示如图所示的正方形的面积的是___________（填序号）． 10．（25-26九年级上·黑龙江哈尔滨·期末）定义新运算：，则的运算结果为__________ 11．两个边长分别为a和b的正方形如图放置（图1），其未叠合部分（阴影）面积为；若再在图1中大正方形的右下角摆放一个边长为b的小正方形（如图2），两个小正方形叠合部分（阴影）面积为．当时，则图3中阴影部分的面积______． 12．（25-26七年级下·山东青岛·开学考试）在学习整式乘法的时候，我们发现一个有趣的问题：将下面等号右边的式子的各项系数排成如图所示．这个图叫做“杨辉三角”， 请观察这些系数的规律，直接写出 ______．并说出第9行的第三个数是______． 13．（24-25七年级下·全国·课后作业）“三角”表示，“方框”表示，则________． 14．（24-25七年级下·全国·周测）已知，，．若的值与x的取值无关，则a的值为__________． 15．（24-25七年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (2) ； (4)． 16．（25-26八年级上·江西上饶·期末）已知多项式与的乘积中不含有项，常数项为4． (1)求，的值； (2)计算：． 17．（25-26八年级上·四川内江·期中）已知的展开式中不含的一次项，且常数项是，求的值． 18．（25-26七年级下·江苏徐州·月考）教材中，在计算如图①所示的正方形ABCD的面积时，分别从两个不同的角度进行了操作： 角度一：把它看成是一个大正方形，则它的面积为． 角度二：把它看成是2个小长方形和2个小正方形组成的，则它的面积为．因此，可得到等式：． (1)类比教材中的方法，由图②中的大正方形可得等式：___________； (2)利用①中得到的结论，解决下面的问题：若，，则的值为___________； (3)代数式展开、合并同类项后，得到的多项式的项数一共有___________项． (4)若将代数式展开后合并同类项，得到多项式N，则多项式N一共有___________项． 19．（24-25七年级下·江苏苏州·月考）观察下列各式： (1)根据以上的规律得：______（为正整数） (2)根据这一规律，计算： 20．（25-26八年级上·江西南昌·期末）日历与人们日常生活密切相关，其中蕴含着丰富的数学问题．如图是某月的日历，若任意选择图中上下相邻的四个日期（阴影部分），将其中四个位置上的数交叉相乘，再相减，例如：________，________，不难发现，结果都是________．    (1)请将上面三个空补充完整； (2)设符合条件的四个日期左上角位置上的数为a，请你利用整式的运算对以上的规律加以证明． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $