专项复习一 幂的乘除（第1章 整式的乘除）-2025-2026学年北师大版数学七年级下册同步培优讲义

2025-2026学年北师大版（新教材）数学七年级下册专项复习培优讲义【题型讲练】 专项复习一 幂的乘除 （第一章 整式的乘除） 【北师大版七下●新教材】 题型分类讲练 1 题型讲练一 同底数幂相乘 1 题型讲练二 用科学记数法表示数的乘法 2 题型讲练三 幂的乘方运算 3 题型讲练四 幂的乘方的逆用 4 题型讲练五 积的乘方运算 6 题型讲练六 同底数幂的除法运算 7 题型讲练七 零指数冪 9 题型讲练八 负整数指数幂 10 题型讲练九 用科学记数法表示绝对值大于1的数 12 题型讲练十 用科学记数法表示绝对值小于1的数 13 题型讲练十一 同底数幂乘法的逆用 15 题型讲练十二 积的乘方的逆用 16 题型讲练十三 同底数幕除法的逆用 18 题型讲练十四 幂的混合运算 20 能力提升训练 21 题型讲练一 同底数幂相乘 【典例精讲】（25-26七年级下·河北张家口·月考）计算的过程如下：①②步骤①，②分别表示的运算是（   ） A．幂的乘方，同底数幂相乘 B．积的乘方，同底数幂相乘 C．幂的乘方，乘法结合律 D．积的乘方，合并同类项 【答案】B 【思路引导】根据积的乘方和同底数幂相乘的法则，分别判断两个步骤对应的运算类型即可． 【规范解答】解：∵，步骤①将化简为，是将积的每个因式分别乘方再相乘，符合积的乘方的运算法则， ∴步骤①是积的乘方运算； ∵计算时，用到底数不变，指数相加的计算规则，符合同底数幂相乘的运算法则， ∴步骤②是同底数幂相乘运算． 【变式训练】计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【思路引导】（1）根据同底数幂相乘法则、积的乘方法则、同底数幂相除法则、合并同类项法则计算即可； （2）根据同底数幂相乘法则、积的乘方法则、同底数幂相除法则计算即可 【规范解答】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 题型讲练二 用科学记数法表示数的乘法 【典例精讲】（23-24七年级下·广东佛山·期末）（1）计算：． （2）海王星是太阳系中离太阳最远的行星，太阳光到达海王星需要的时间大约是秒，光在真空中的速度约为米/秒．海王星距离太阳大约有多远？（结果用科学记数法表示）． 【答案】（1）；（2）海王星距离太阳大约米 【思路引导】（1）先计算零指数幂、负整数指数幂，再进行加减计算即可； （2）先利用同底数幂的乘法法则进行计算，再利用科学记数法表示即可． 【规范解答】（1）解：原式 ； （2）解：（米）， 答：海王星距离太阳大约米． 【考点再现】本题考查实数的混合运算、零指数幂、负整数指数幂、同底数幂的乘法法则及科学记数法，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 【变式训练】数学课上老师与同学们一起利用球的体积公式πr3计算出地球的体积约是立方千米，接着老师介绍道：“科学家们寻找到一颗星球，也可以近似地看作球体，它的半径是地球的10000倍”．则这个星球它的体积约是___________立方千米． 【答案】 【思路引导】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，n为整数，且n比原来的整数位数少1，据此判断即可． 【规范解答】解：， 故答案为：． 【考点再现】本题主要考查了用科学记数法表示较大的数，有理数的乘方运算，一般形式为，其中，确定a与n的值是解题的关键． 题型讲练三 幂的乘方运算 【典例精讲】（24-25七年级下·江苏苏州·月考）在幂的运算中规定：若（且，x、y是正整数），则，利用上面规定解答下列问题： (1)若，求x的值． (2)若，求x的值． 【答案】(1)24 (2)4 【思路引导】（1）根据幂的乘方计算法则得到，则，据此根据题意求解即可； （2）根据同底数幂乘法的逆运算法则把等式变形为，进而得到，据此根据题意求解即可． 【规范解答】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式训练】（25-26八年级上·全国·月考）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查幂的运算性质、代数式的化简求值，掌握幂的乘方和积的乘方运算法则是解题关键． 利用幂的乘方和积的乘方运算，结合推出，再化简并计算其次幂，得到结果． 【规范解答】解： ，， ，， ， ， ， ， ， ． 故选：． 题型讲练四 幂的乘方的逆用 【典例精讲】若 (且，、是正整数)，则．利用上面结论解决下面的问题： (1)如果，求的值； (2)若，，用含的代数式表示． 【答案】(1) (2) 【思路引导】（1）将等式的左边化为，根据已知结论，即可求解； （2）根据，得出，代入，即可求解． 【规范解答】（1）解：∵， ∴， 解得：； （2）解：∵， ∴， ∴． 【变式训练】（24-25七年级下·江苏苏州·月考）在学习了“幂的运算法则”后，经常遇到比较幂的大小的问题，对于此类问题，通常有两种解决方法，一种是将幂化为底数相同的形式，另一种是将幂化为指数相同的形式，请阅读下列材料：若，则、的大小关系是a________b（填“<”或“>”．） 解：，且， ， 类比阅读材料的方法，解答下列问题： (1)比较的大小； (2)比较与的大小； (3)已知．求之间的等量关系． 【答案】(1) (2) (3) 【思路引导】（1）将三个数都化为以3为底数的幂，然后比较指数大小即可； （2）将两数都化为指数为的幂，然后比较底数大小即可； （3）因为，根据已知条件，则可得，通过幂的运算可得结论． 【规范解答】（1）解：， 又∵， ； （2）解：， 又∵， （3）解：， 又∵， ． 题型讲练五 积的乘方运算 【典例精讲】（25-26七年级下·河北张家口·月考）下列式子中，正确的有（   ） ①②③④ A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【思路引导】按照运算法则逐个计算判断每个式子是否正确，统计正确个数即可得到答案． 【规范解答】解：① ∵ ，式子右边为， ∴①错误． ② ∵，式子右边为， ∴②错误． ③ ∵，，左右两边相等， ∴ ③正确． ④ ∵，左右两边相等， ∴ ④正确． 综上，正确的式子共2个． 【变式训练】（2025八年级上·河北邯郸·专题练习）计算 (1) (2) (3) (4) (5) (6) 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【思路引导】（）根据积的乘方和幂的乘方运算法则计算即可； （）根据单项式乘以单项式的运算法则计算即可； （）根据单项式乘以单项式的运算法则计算即可； （）先进行乘方运算，再进行乘法运算即可； （）进行乘方运算，再进行乘法运算，最后进行减法运算即可； （）先进行乘方运算，再进行加法运算即可； 本题考查了整式的运算，掌握整式的运算法则是解题的关键． 【规范解答】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式； （4）解：原式； （5）解：原式； （6）解：原式． 题型讲练六 同底数幂的除法运算 【典例精讲】（25-26六年级下·全国·课后作业）计算下列各题： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【思路引导】本题主要考查了整式的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （1）先算乘方，再算乘除即可； （2）先算乘方，再算乘除即可； （3）先算乘方，再算乘除，最后算加减即可． 【规范解答】（1）解：原式． （2）解：原式． （3）解：原式． 【变式训练】（24-25八年级上·湖北荆州·期末）【概念学习】我们规定两数之间的一种运算，记作，如果，那么；例如，记作． 【初步探究】 （1）根据以上规定直接写出结果： ； ； 【深入思考】 对于同底数的幂的乘除法运算，我们有，例如． （2）小颖发现也成立，并证明如下： 设，则， 因为，所以， 所以， 仿照以上证明，计算[， ]，写出计算过程； （3）猜想[， ]，并说明理由． 【答案】（1）3，4；（2）24，见解析；（3）6，理由见解析 【思路引导】本题主要考查同底数幂的乘除法，熟练掌握同底数幂的乘除法及题意是解题的关键； （1）根据题中所给新定义可直接进行求解； （2）设，，则，，然后根据同底数的乘法可进行求解； （3）设，，则，，进而根据新定义运算及同底数幂的除法可进行求解． 【规范解答】解：（1）∵， ∴； 故答案为：3，4； （2）设，，则，， ∵， ∴， ∴； （3），理由如下： 设，，则，， ∵， ∴， ∴． 题型讲练七 零指数冪 【典例精讲】计算： (1)； (2)． 【答案】(1)3 (2) 【思路引导】（1）根据乘方，零次幂，负整数指数幂计算即可； （2）逆用同底数幂的乘法法则，积的乘方计算即可． 【规范解答】（1）解： ． （2）解： ． 【变式训练】（25-26八年级上·江西南昌·期末）计算： 【答案】 【思路引导】此题考查了零指数幂和负整数指数幂、积的乘方逆运算、有理数的混合运算等知识．根据乘方、积的乘方逆运算、零指数幂和负整数指数幂进行计算即可． 【规范解答】解：原式． 题型讲练八 负整数指数幂 【典例精讲】（25-26七年级下·河北保定·开学考试）（1）计算：； （2）计算：； （3）解方程：； （4）解方程：； （5）先化简，再求值：，其中，． 【答案】（1）；（2）12；（3）；（4）；（5）， 【思路引导】（1）先计算乘除，再计算减法； （2）先计算乘方，零次幂，负整数指数幂，绝对值，再计算加减； （3）根据解一元一次方程的步骤：去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤求解即可； （4）根据解一元一次方程的步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤求解即可； （5）先根据整式的加减法则对式子化简，再代入值求解即可． 【规范解答】解：（1） ； （2） ； （3）， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． （4）， 去分母，得 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． （5） ， 当，时，原式． 【变式训练】（25-26七年级上·江苏盐城·期末）规定两数a，b之间的一种运算，记作，如果，那么．我们叫为“雅对”．例如：∵，∴．我们还可以利用“雅对”定义证明等式成立．证明如下： 设，则． ∴． ∴， 即． (1)根据上述规定，填空： ① ， ；②若，则 ． (2)计算： ，并说明理由． (3)记．求证：． 【答案】(1)① 3，5；② (2)，理由见解析 (3)见解析 【思路引导】本题考查了幂的运算和新定义运算，解题关键是准确理解题意，熟练运用幂的运算法则进行计算． （1）①按照题目给出的运算方法计算即可；②根据新定义列出方程求解即可； （2）按照题目给出的运算方法计算即可； （3）按照题目给出的运算方法计算即可． 【规范解答】（1）解：①∵， ∴； ∵， ∴； 故答案为：3，5， ②∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． （2）解：设，则． ∴． ∴，即； 故答案为：． （3）解：∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴． 题型讲练九 用科学记数法表示绝对值大于1的数 【典例精讲】（25-26七年级下·全国·课后作业）光年是一种距离单位，光在真空中一年内走过的路程为1光年，一般被用于计算恒星间的距离． (1)已知光的速度约为，如果按1年为365天、每天为计算，1光年约等于多少千米？（可以借助计算器计算） (2)太阳系以外离地球最近的恒星是比邻星，它与地球的距离大约为．比邻星与地球的距离约合多少光年？（可以借助计算器计算） 【答案】(1) 千米 (2)光年 【思路引导】本题考查了科学记数法的定义，有理数的运算． （1）利用路程等于速度乘以时间的公式，计算光在一年内走过的距离； （2）将比邻星与地球的距离除以1光年的距离，得到对应的光年数． 【规范解答】（1）解：光速为千米/秒，一年时间为秒， ， 所以一年时间为秒， 1光年等于千米， 约等于千米； （2）解：比邻星与地球的距离为千米，1光年约千米， （光年）． 答：比邻星与地球的距离约合光年 【变式训练】已知， ， ． (1)猜想：________，________（m，n均为正整数）． (2)运用上述猜想计算下列式子： ①； ②． 【答案】(1)， (2)①；② 【思路引导】（1）由已知可先求出原数，然后将其表示为科学记数法的形式即可解答前两个空； （2）根据上面的计算方法，注意将结果写为科学记数法的形式． 【规范解答】（1）， （2）①原式. ②原式． 【考点再现】本题考查了科学记数法与找规律问题． 题型讲练十 用科学记数法表示绝对值小于1的数 【典例精讲】（24-25七年级下·河北石家庄·期末）“燕山雪花大如席，片片吹落轩辕台”是唐代诗人李白《北风行》中的诗句．据测定，新降雪的密度约为0.05，将数据“0.05”用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题考查了科学记数法，将0.05克每立方厘米转换为千克每立方厘米，需利用单位换算关系，并结合科学记数法表示． 【规范解答】解：1克（g） 千克（kg）， 因此，， ， 故选：A． 【变式训练】（23-24八年级上·全国·课堂例题）用科学记数法表示下列数或算式的结果： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【思路引导】本题考查了用科学记数法表示绝对值小于的数，负整数指数幂的运算等知识． （1）用科学记数法表示绝对值小于的数，一般形式为，其中，n为整数位数减，据此即可解答； （2）用科学记数法表示绝对值小于的数，一般形式为，其中，n为整数位数减，据此即可解答； （3）先根据积的乘方和幂的乘方化为，再根据同底数幂的乘法法则进行计算，即可求解． 【规范解答】（1）解：； （2）解：； （3）解： ． 题型讲练十一 同底数幂乘法的逆用 【典例精讲】（24-25七年级下·江苏苏州·月考）已知，，求下列各式的值． (1)； (2)． 【答案】(1)18 (2) 【思路引导】（1）逆用同底数幂相乘法则计算即可得出结果； （2）逆用同底数幂相除以及幂的乘方法则计算即可得出结果． 【规范解答】（1）解：∵，， ∴； （2）解：∵，， ∴． 【变式训练】（25-26八年级上·江西上饶·期末）若（且，，是正整数），则． 你能利用上面的结论解决下面的3个问题吗？试试看，相信你一定行！ (1)如果，求的值； (2)如果，求的值； (3)已知满足，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【思路引导】本题主要考查了同底数幂的乘法，幂的乘方，同底数幂的乘法的逆运算，解题关键在于掌握同底数幂的乘法运算法则． （1）根据幂的乘方运算法则将等式，再根据题目给出的定义即可求出答案； （2）根据同底数幂的运算法则与幂的乘方以及题目给出的定义即可求出答案； （3）根据同底数幂的乘法的逆运算法则可将化为，由此可得再根据题目给出的定义即可求出答案． 【规范解答】（1）解：， ，， ， 解得； （2）解：， ， ， ， 即， ， ； （3）解：， ， ， ， 即， ． 题型讲练十二 积的乘方的逆用 【典例精讲】（24-25七年级下·全国·课后作业）逆向运用幂的运算法则可以得到，，，，在解题过程中，根据算式的结构特征，逆向运用幂的运算法则，常可以化繁为简，化难为易，使问题巧妙获解． (1)的结果是________． (2)若，求的值． (3)比较大小：已知，，，，则，，，的大小关系是什么？（提示：如果，为正整数，那么） 【答案】(1) (2) (3) 【思路引导】本题考查幂的运算，熟练掌握幂的运算的逆运算，是解题的关键： （1）逆用积的乘方进行计算即可； （2）利用幂的乘方，以及同底数的乘法法则进行求解即可； （3）先将各数化为同指数的形式，再比较底数的大小即可． 【规范解答】（1）解：； 故答案为：； （2）解：， ， ， ， 解得． （3）解：，， ，， 又∵， ， ． 【变式训练】计算或解方程 (1) (2) (3) 【答案】(1) (2)8 (3) 【思路引导】本题考查了含乘方的有理数混合运算，幂的乘方的逆用，解一元一次方程，掌握相关运算法则是解题关键． （1）先计算乘方和括号内运算，再计算乘除法，最后计算加减法即可； （2）逆用幂的乘方简便计算即可； （3）先去中括号，再移项合并化简求解即可． 【规范解答】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ， 解得． 题型讲练十三 同底数幕除法的逆用 【典例精讲】（25-26八年级上·黑龙江七台河·期末）已知，，，现给出，，之间的五个关系式：①；②；③；④；⑤．其中正确的关系式是（　　） A．①②③④ B．①③④⑤ C．①②③⑤ D．①②④⑤ 【答案】C 【思路引导】本题考查了幂的运算，熟练掌握同底数幂的乘法和除法法则、幂的乘方法则是解题的关键．根据幂的运算验证每个关系式，利用同底数幂的乘法、除法、幂的乘方的运算法则及逆运算法则计算指数表达式是否相等即可． 【规范解答】解：∵， ∴，即，故①正确； ∵，， ∴，故②正确； ∵，， ∴，故③正确； ∵，， ∴，故④错误； ∵，， ∴，故⑤正确； ∴正确的关系式为①②③⑤． 故选：C． 【变式训练】（24-25七年级下·江苏扬州·月考）根据已知条件求值 (1)已知，，求的值； (2)已知，求的值． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题主要考查了幂的乘方计算，同底数幂除法的逆运算，幂的乘方的逆运算，同底数幂乘法计算，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）根据题意可得，，再由计算求解即可； （2）先求出，再把所求式子变形为，进一步变形为，据此求解即可． 【规范解答】（1）解：∵，， ∴，， ∴，， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴ ． 题型讲练十四 幂的混合运算 【典例精讲】（24-25七年级下·江苏扬州·月考）（1）已知，求的值． （2）已知n为正整数，且，求的值． 【答案】（1）；（2）． 【思路引导】本题考查了幂的混合运算，代数式求值，掌握相关知识是解题的关键． （1）由题意可求出，根据幂的乘方逆运算和同底数幂的乘法运算可将式子变形为，整体代入求值即可； （2）根据幂的乘方和其逆用法则可将所求式子变形为，将代入求值即可． 【规范解答】解：（1）∵， ∴， ； （2）∵， ∴ ． 【变式训练】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3)2 (4) 【思路引导】本题考查幂的运算．掌握相关运算法则，正确的计算是解题的关键． （1）根据同底数幂的运算法则计算即可； （2）根据同底数幂的运算法则计算后，合并即可； （3）先进行乘方，零指数幂和负整数指数幂的运算，再进行加减运算即可； （4）先进行幂的相关运算，再合并即可． 【规范解答】（1）解：原式； （2）原式； （3）原式； （4）原式． 1．（25-26七年级上·安徽合肥·期末）合肥“人造太阳”全超导托卡马克核聚变实验装置（），实现等离子体高约束模下运行1066秒且温度超1亿摄氏度．将1066用科学记数法表示应为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题主要考查科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．解题关键是正确确定a的值以及n的值．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正整数；当原数的绝对值时，n是负整数． 【规范解答】解：． 故选：D． 2．（19-20七年级下·辽宁沈阳·期中）若，则等于（   ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【思路引导】利用幂的乘方和同底数幂的除法法则，将所求式子变形后，代入已知条件计算即可． 【规范解答】解：根据幂的运算规则可得， ， 把，代入得，原式 ． 故选：D． 3．（24-25七年级下·江苏苏州·月考）将，，这三个数按从小到大的顺序排列，正确的顺序是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】先根据乘方、零指数幂、负整数指数幂的运算法则，计算出三个数的结果，再比较大小得到正确排序． 【规范解答】解：∵，，， 又∵， ∴. 4．一粒某种植物花粉的质量约为毫克，那么毫克用科学记数法表示为______克． 【答案】 【思路引导】先根据质量单位的进率，将原数换算为以克为单位的数，再根据科学记数法的要求，将结果表示为的形式，正确确定和的值即可，对于绝对值小于1的数，为负整数，的绝对值与小数点移动的位数相同． 【规范解答】解：毫克克． 毫克克克克． 5．（2026七年级下·江苏苏州·专题练习）观察下列等式： ； ； ； … 依据你所发现的规律，请写出第个等式：______． 【答案】 【思路引导】观察已知等式中各项与等式序号的变化规律，归纳总结得到一般性规律，即可写出第n个等式． 【规范解答】解：由已知等式可得： 第个等式：， 第个等式：， 第个等式：， … 根据上述规律可知，第个等式为， ∴第个等式为． 6．计算：_____． 【答案】 【思路引导】根据同底数幂的乘法和积的乘方运算法则的逆运算进行化简，再根据互为倒数的两个数积是1，即可求解． 【规范解答】解： ． 7．计算：＝______． 【答案】 【思路引导】先利用同底数幂的乘法法则将变形，再逆用积的乘方法则将同指数的幂合并简化计算，即可得到结果． 【规范解答】解： ． 8．（24-25七年级下·全国·课后作业）计算的结果是________． 【答案】 【思路引导】本题考查了幂的混合运算，熟练掌握幂的混合运算是关键．先计算积的乘方，幂的乘方，再计算同底数幂的乘法即可． 【规范解答】解：． 故答案为：． 9．（25-26七年级下·山东青岛·开学考试）若，，试用含，的代数式表示 　 ． 【答案】 【规范解答】解：． 10．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【思路引导】（1）首先计算积的乘方，同底数幂相乘和幂的乘方，然后计算加减； （2）首先计算零指数幂，负整数指数幂，有理数的乘法，然后计算加减． 【规范解答】（1） ． （2） ． 11．已知，， (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1)64 (2)1 【思路引导】（1）根据同底数幂乘法的逆用、幂的乘方的逆用将原式变形为，代入计算即可； （2）根据同底数幂除法的逆用、幂的乘方的逆用将原式变形为，代入计算即可． 【规范解答】（1）解：∵，， ∴ ． （2）解：∵，， ∴ ． 12．（24-25七年级下·全国·课后作业）小丽给小强和小亮出了一道计算题：若，求的值．小强的答案是，小亮的答案是，两人都认为自己的结果是正确的，假如你是小丽，你能判断谁的计算结果正确吗？ 【答案】小亮的答案是正确的 【思路引导】本题考查同底数幂的乘法，熟记同底数幂的乘法法则，是解题的关键．根据同底数幂的运算，得到关于的一元一次方程，进行求解即可． 【规范解答】解：小亮的答案是正确的，理由如下： ， ，即． 故小亮的答案是正确的． 13．（25-26八年级上·北京门头沟·期末）计算：． 【答案】 【思路引导】本题考查绝对值，零指数，负指数，乘方运算，掌握相关知识是解决问题的关键．先计算绝对值，零指数，负指数，乘方运算，再进行加减运算即可． 【规范解答】解： ． 14．（25-26八年级上·吉林长春·周测）阅读：已知正整数a、b、c，显然，当同底数时，指数大的幂也大，若对于同指数，不同底数的两个幂和，当时，则有，根据上述材料，回答下列问题． (1)比较大小：_______（填写、或）． (2)比较与的大小（写出比较的具体过程）． (3)计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【思路引导】本题主要考查积的乘方的逆运算、幂的大小的比较以及有理数的混合运算等知识，解答的关键是熟练掌握相关的运算法则． （1）根据“对于同指数，不同底数的两个幂和，当时，则有”比较大小即可； （2）将与化为指数相同的幂，然后再根据“当同指数时，底数大的幂也大”即可进行比较大小； （3）首先将和化为指数相同的幂，将和也化为指数相同的幂，再根据积的乘方逆运算进行运算，然后进行减法运算即可得出答案． 【规范解答】（1）解：由题意，对于同指数，不同底数的两个幂和， 当时，则有， ∴． 故答案为：； （2）解：∵，， 又∵， ∴； （3）原式 ． 15．（25-26九年级上·河北邯郸·月考）科学研究发现，一个水分子是由两个氢原子和一个氧原子所构成，已知一个氢原子的质量是m千克，一个氧原子的质量是n千克，一个水分子的质量是Q千克． (1)用含m，n的代数式表示Q； (2)若一个氧原子的质量是，一个氢原子的质量是，用科学记数法表示Q的值． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查了列代数式，科学记数法—表示较小的数，读懂题意是解题的关键． （1）根据一个水分子的质量=两个氢原子的质量+一个氧原子的质量列式即可； （2）将，代入计算即可． 【规范解答】（1）解：由题意，得 ； （2）解：∵，， ∴ ． 16．（25-26七年级下·全国·课后作业）用科学记数法表示下列横线上的数： (1)在标准状况下，空气的密度是0.001293． (2)人的大脑皮层约有14000000000个神经细胞（神经元）．一个人如果活100岁，经常使用的脑神经细胞只不过有1000000000多个． (3)中国科学院古脊椎动物与古人类研究所于2022年3月30日发布了一项最新化石发现及研究．该所科研团队在江西省武宁县一处地层中，首次发现早期真盔甲鱼类的两个新属种化石，距今约438000000年，代表了迄今为止最古老、最原始的真盔甲鱼类化石记录． (4)明长城东起辽宁虎山，西至甘肃嘉峪关，分布于北方10省区市，总长度约为8900000，其中，人工墙体的长度约为6300000． 【答案】(1) (2) (3) (4)， 【思路引导】本题考查了科学记数法．科学记数法是将一个数表示为的形式，其中，为整数，对于大于1的数，为正整数；对于小于1的正数，为负整数，解题时需根据数字的大小移动小数点，确定指数． （1）根据科学记数法的表达方法进行作答即可； （2）根据科学记数法的表达方法进行作答即可； （3）根据科学记数法的表达方法进行作答即可； （4）根据科学记数法的表达方法进行作答即可； 【规范解答】（1）解：依题意，用科学记数法表示为； （2）解：依题意，用科学记数法表示为，用科学记数法表示为； （3）解：依题意，用科学记数法表示为； （4）解：依题意，用科学记数法表示为，6300000用科学记数法表示为． 17．按要求解答下列各小题． (1)已知，，则________； (2)如果，求的值． 【答案】(1) (2) 【思路引导】（1）根据同底数幂的除法法则逆用可直接进行求解； （2）根据幂乘方的法则逆用，同底数幂的乘法法则的逆用可直接进行求解． 【规范解答】（1）解：∵，， ∴； 故答案为：3； （2）解：∵， ∴． 18．（2026七年级下·江苏苏州·专题练习）“整体思想”在数学运算中有着重要的作用：请解决以下问题： (1)以下是小明计算的过程． 解：原式① ．② 小明的计算过程是从第______步开始出现错误（填序号），请写出正确的过程． (2)若，求的值． 【答案】(1)①，正确过程见解析 (2) 【思路引导】（1）化为同底数后进行运算，即可求解； （2）由同底数幂的乘法及幂的乘方公式得，即可求解. 【规范解答】（1）解：小明的计算过程是从第①步开始出现错误， ； （2）解： 解得 19．（25-26六年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【思路引导】本题主要考查了整式的混合运算． (1)根据积的乘方、幂的乘方、同底数幂的乘法法则进行计算，可得：原式，再根据合并同类项的法则进行计算； (2)根据同底数幂的乘法法则、幂的乘方、积的乘方的法则进行计算，可得：原式，再根据合并同类项的法则进行计算； (3)根据同底数幂的乘法法则、幂的乘方、积的乘方的法则进行计算，可得：原式，再根据合并同类项的法则进行计算； (4)根据积的乘方的法则进行计算，可得：原式，再根据合并同类项的法则进行计算． 【规范解答】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 20．（25-26八年级上·河南南阳·期末）某初中数学小组在学完“幂的运算”章节后就“幂的大小”展开了交流，请你仔细阅读并完成任务． 小亮：在比较幂的大小时，我想到了可以通过比较底数的大小来解决，比如比较 和 的大小时，先转换 因为，所以 即 小丽：你的思路没问题，我想到了可以通过比较指数的大小来解决，比如比较 和 的大小时，先转换 因为，所以 即 小佳：你们两个人的思路不同，角度不同，举一反三，值得学习． 任务： (1)比较和的大小； (2)已知且a，b均为正数，比较a、b的大小； (3)比较大小： （填“”“”或“”） 【答案】(1) (2) (3) 【思路引导】本题考查幂的乘方与积的乘方、有理数大小比较，解答本题的关键是明确有理数大小的比较方法． （1）根据，结合即可比较； （2）根据题意可知，，结合，再逆向推导a、b的大小即可； （3）由指数幂的运算，得，，再结合即可比较； 【规范解答】（1）解：，且， ，即； （2）解：， ， ， ， ； （3）解： ， ， 又， ， 即． 故答案为：． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年北师大版（新教材）数学七年级下册专项复习培优讲义【题型讲练】 专项复习一 幂的乘除 （第一章 整式的乘除） 【北师大版七下●新教材】 题型分类讲练 1 题型讲练一 同底数幂相乘 1 题型讲练二 用科学记数法表示数的乘法 2 题型讲练三 幂的乘方运算 2 题型讲练四 幂的乘方的逆用 3 题型讲练五 积的乘方运算 4 题型讲练六 同底数幂的除法运算 4 题型讲练七 零指数冪 5 题型讲练八 负整数指数幂 5 题型讲练九 用科学记数法表示绝对值大于1的数 7 题型讲练十 用科学记数法表示绝对值小于1的数 7 题型讲练十一 同底数幂乘法的逆用 8 题型讲练十二 积的乘方的逆用 9 题型讲练十三 同底数幕除法的逆用 10 题型讲练十四 幂的混合运算 10 能力提升训练 11 题型讲练一 同底数幂相乘 【典例精讲】（25-26七年级下·河北张家口·月考）计算的过程如下：①②步骤①，②分别表示的运算是（   ） A．幂的乘方，同底数幂相乘 B．积的乘方，同底数幂相乘 C．幂的乘方，乘法结合律 D．积的乘方，合并同类项 【变式训练】计算： (1)； (2)． 题型讲练二 用科学记数法表示数的乘法 【典例精讲】（23-24七年级下·广东佛山·期末）（1）计算：． （2）海王星是太阳系中离太阳最远的行星，太阳光到达海王星需要的时间大约是秒，光在真空中的速度约为米/秒．海王星距离太阳大约有多远？（结果用科学记数法表示）． 【变式训练】数学课上老师与同学们一起利用球的体积公式πr3计算出地球的体积约是立方千米，接着老师介绍道：“科学家们寻找到一颗星球，也可以近似地看作球体，它的半径是地球的10000倍”．则这个星球它的体积约是___________立方千米． 题型讲练三 幂的乘方运算 【典例精讲】（24-25七年级下·江苏苏州·月考）在幂的运算中规定：若（且，x、y是正整数），则，利用上面规定解答下列问题： (1)若，求x的值． (2)若，求x的值． 【变式训练】（25-26八年级上·全国·月考）已知，，则（    ） A． B． C． D． 题型讲练四 幂的乘方的逆用 【典例精讲】若 (且，、是正整数)，则．利用上面结论解决下面的问题： (1)如果，求的值； (2)若，，用含的代数式表示． 【变式训练】（24-25七年级下·江苏苏州·月考）在学习了“幂的运算法则”后，经常遇到比较幂的大小的问题，对于此类问题，通常有两种解决方法，一种是将幂化为底数相同的形式，另一种是将幂化为指数相同的形式，请阅读下列材料：若，则、的大小关系是a________b（填“<”或“>”．） 解：，且， ， 类比阅读材料的方法，解答下列问题： (1)比较的大小； (2)比较与的大小； (3)已知．求之间的等量关系． 题型讲练五 积的乘方运算 【典例精讲】（25-26七年级下·河北张家口·月考）下列式子中，正确的有（   ） ①②③④ A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【变式训练】（2025八年级上·河北邯郸·专题练习）计算 (1) (2) (3) (4) (5) (6) 题型讲练六 同底数幂的除法运算 【典例精讲】（25-26六年级下·全国·课后作业）计算下列各题： (1) ； (2)； (3)． 【变式训练】（24-25八年级上·湖北荆州·期末）【概念学习】我们规定两数之间的一种运算，记作，如果，那么；例如，记作． 【初步探究】 （1）根据以上规定直接写出结果： ； ； 【深入思考】 对于同底数的幂的乘除法运算，我们有，例如． （2）小颖发现也成立，并证明如下： 设，则， 因为，所以， 所以， 仿照以上证明，计算[， ]，写出计算过程； （3）猜想[， ]，并说明理由． 题型讲练七 零指数冪 【典例精讲】计算： (1) ； (2)． 【变式训练】（25-26八年级上·江西南昌·期末）计算： 题型讲练八 负整数指数幂 【典例精讲】（25-26七年级下·河北保定·开学考试） （1） 计算：； （2）计算：； （2） 解方程：； （4）解方程：； （5） 先化简，再求值：，其中，． 【变式训练】（25-26七年级上·江苏盐城·期末）规定两数a，b之间的一种运算，记作，如果，那么．我们叫为“雅对”．例如：∵，∴．我们还可以利用“雅对”定义证明等式成立．证明如下： 设，则． ∴． ∴， 即． (1)根据上述规定，填空： ① ， ；②若，则 ． (2)计算： ，并说明理由． (3)记．求证：． 题型讲练九 用科学记数法表示绝对值大于1的数 【典例精讲】（25-26七年级下·全国·课后作业）光年是一种距离单位，光在真空中一年内走过的路程为1光年，一般被用于计算恒星间的距离． (1)已知光的速度约为，如果按1年为365天、每天为计算，1光年约等于多少千米？（可以借助计算器计算） (2)太阳系以外离地球最近的恒星是比邻星，它与地球的距离大约为．比邻星与地球的距离约合多少光年？（可以借助计算器计算） 【变式训练】已知， ， ． (1)猜想：________，________（m，n均为正整数）． (2)运用上述猜想计算下列式子： ①； ②． 题型讲练十 用科学记数法表示绝对值小于1的数 【典例精讲】（24-25七年级下·河北石家庄·期末）“燕山雪花大如席，片片吹落轩辕台”是唐代诗人李白《北风行》中的诗句．据测定，新降雪的密度约为0.05，将数据“0.05”用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【变式训练】（23-24八年级上·全国·课堂例题）用科学记数法表示下列数或算式的结果： (1)； (2)； (3)． 题型讲练十一 同底数幂乘法的逆用 【典例精讲】（24-25七年级下·江苏苏州·月考）已知，，求下列各式的值． (1)； (2)． 【变式训练】（25-26八年级上·江西上饶·期末）若（且，，是正整数），则． 你能利用上面的结论解决下面的3个问题吗？试试看，相信你一定行！ (1)如果，求的值； (2)如果，求的值； (3)已知满足，求的值． 题型讲练十二 积的乘方的逆用 【典例精讲】（24-25七年级下·全国·课后作业）逆向运用幂的运算法则可以得到，，，，在解题过程中，根据算式的结构特征，逆向运用幂的运算法则，常可以化繁为简，化难为易，使问题巧妙获解． (1)的结果是________． (2)若，求的值． (3)比较大小：已知，，，，则，，，的大小关系是什么？（提示：如果，为正整数，那么） 【变式训练】计算或解方程 (1) (2) (3) 题型讲练十三 同底数幕除法的逆用 【典例精讲】（25-26八年级上·黑龙江七台河·期末）已知，，，现给出，，之间的五个关系式：①；②；③；④；⑤．其中正确的关系式是（　　） A．①②③④ B．①③④⑤ C．①②③⑤ D．①②④⑤ 【变式训练】（24-25七年级下·江苏扬州·月考）根据已知条件求值 (1)已知，，求的值； (2)已知，求的值． 题型讲练十四 幂的混合运算 【典例精讲】（24-25七年级下·江苏扬州·月考）（1）已知，求的值． （2）已知n为正整数，且，求的值． 【变式训练】计算： (1) ； (2)； (2) ； (4)． 1．（25-26七年级上·安徽合肥·期末）合肥“人造太阳”全超导托卡马克核聚变实验装置（），实现等离子体高约束模下运行1066秒且温度超1亿摄氏度．将1066用科学记数法表示应为（   ） A． B． C． D． 2．（19-20七年级下·辽宁沈阳·期中）若，则等于（   ） A．1 B． C． D． 3．（24-25七年级下·江苏苏州·月考）将，，这三个数按从小到大的顺序排列，正确的顺序是（   ） A． B． C． D． 4．一粒某种植物花粉的质量约为毫克，那么毫克用科学记数法表示为______克． 5．（2026七年级下·江苏苏州·专题练习）观察下列等式： ； ； ； … 依据你所发现的规律，请写出第个等式：______． 6．计算：_____． 7．计算：＝______． 8．（24-25七年级下·全国·课后作业）计算的结果是________． 9．（25-26七年级下·山东青岛·开学考试）若，，试用含，的代数式表示 　 ． 10．计算： (1) (2) 11．已知，， (1)求的值； (2)求的值． 12．（24-25七年级下·全国·课后作业）小丽给小强和小亮出了一道计算题：若，求的值．小强的答案是，小亮的答案是，两人都认为自己的结果是正确的，假如你是小丽，你能判断谁的计算结果正确吗？ 13．（25-26八年级上·北京门头沟·期末）计算：． 14．（25-26八年级上·吉林长春·周测）阅读：已知正整数a、b、c，显然，当同底数时，指数大的幂也大，若对于同指数，不同底数的两个幂和，当时，则有，根据上述材料，回答下列问题． (1)比较大小：_______（填写、或）． (2)比较与的大小（写出比较的具体过程）． (3)计算：． 15．（25-26九年级上·河北邯郸·月考）科学研究发现，一个水分子是由两个氢原子和一个氧原子所构成，已知一个氢原子的质量是m千克，一个氧原子的质量是n千克，一个水分子的质量是Q千克． (1)用含m，n的代数式表示Q； (2)若一个氧原子的质量是，一个氢原子的质量是，用科学记数法表示Q的值． 16．（25-26七年级下·全国·课后作业）用科学记数法表示下列横线上的数： (1)在标准状况下，空气的密度是0.001293． (2)人的大脑皮层约有14000000000个神经细胞（神经元）．一个人如果活100岁，经常使用的脑神经细胞只不过有1000000000多个． (3)中国科学院古脊椎动物与古人类研究所于2022年3月30日发布了一项最新化石发现及研究．该所科研团队在江西省武宁县一处地层中，首次发现早期真盔甲鱼类的两个新属种化石，距今约438000000年，代表了迄今为止最古老、最原始的真盔甲鱼类化石记录． (4)明长城东起辽宁虎山，西至甘肃嘉峪关，分布于北方10省区市，总长度约为8900000，其中，人工墙体的长度约为6300000． 17．按要求解答下列各小题． (1)已知，，则________； (2)如果，求的值． 18．（2026七年级下·江苏苏州·专题练习）“整体思想”在数学运算中有着重要的作用：请解决以下问题： (1)以下是小明计算的过程． 解：原式① ．② 小明的计算过程是从第______步开始出现错误（填序号），请写出正确的过程． (2)若，求的值． 19．（25-26六年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3) ； (4)． 20．（25-26八年级上·河南南阳·期末）某初中数学小组在学完“幂的运算”章节后就“幂的大小”展开了交流，请你仔细阅读并完成任务． 小亮：在比较幂的大小时，我想到了可以通过比较底数的大小来解决，比如比较 和 的大小时，先转换 因为，所以 即 小丽：你的思路没问题，我想到了可以通过比较指数的大小来解决，比如比较 和 的大小时，先转换 因为，所以 即 小佳：你们两个人的思路不同，角度不同，举一反三，值得学习． 任务： (1)比较和的大小； (2)已知且a，b均为正数，比较a、b的大小； (3)比较大小： （填“”“”或“”） 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $