2026年美国奥林匹克数学竞赛试题

2026年美国数学奥林匹克 第一天 1.设誓数n>1,求nd-∑经 的最大值，并求取得最大值时x的值 k 2.安妮正在玩一个游戏：她先在黑板上写下一行正整数，每个数都是2的幂. 每一轮操作中，她可以擦去两个相邻的数，并用一个比这两个被擦去的数都更 大的2的幂来替换它们.这一行数的长度会随之缩短，她不断重复操作，直到 黑板上只剩下一个数.如果最后剩下的这个数小于原数总和的4倍，安妮就赢 得游戏.无论初始的这行数是什么，安妮是否总能获胜？ 3.设△ABC是一个非等腰的锐角三角形，且没有内角等于60°.设w为 △ABC的外接圆，△B是三个顶点均在w上，且其中一个顶点为B的等边 三角形，B是过△B中除B以外另外两个顶点的直线.类似定义△c与c: 设Y为直线AC与LB的交点，Z为直线AB与c的交点. 设N是w上劣弧BC的中点，R是由直线B、c以及过点N作w的切 线所围成的三角形.求证：△AYZ的外接圆与R的内切圆相切. 第二天 4.称正整数n是“孤独的”，如果对任意非负整数a,b,若a+b=n,则a或b 含数码1.求小于102026的数中“孤独的”数的个数. 5.在△ABC中，点D,E,F分别在边BC,CA,AB上，且满足∠AFE= ∠BDF=∠CED.设OA,OB,Oc分别为△AEF,△BFD,△CDE的外心. M,N,O分别为△ABC,△DEF,△O4OBOc的外心.求证：OM=ON. 6.设正整数a,b满足p(ab+1)|a2+b2+1.求证：a和b均为斐波那契数. 1