重庆市南开中学2025-2026学年高一下学期周数学练习（3.22）

参考答案 第1题 D 本题考查向量共线的判定。 若两个向量a,b共线，则存在实数入，使得a=入b。 对于每个选项，我们需要判断是否存在这样的实数入。 1.选项A 已知a=e1,b=-2e2,假设a与b共线，则存在实数入，使得a=入b,即e1=(-2e2)=-2入 → 7 〉 e2. 〉 因为e1,e2是不共线的向量，所以e1不能表示为e2的倍数，即不存在这样的实数入，所以a与b不共 线。 2.选项B 〉 〉〉 〉 已知a=e1-3e2,b=-2e1-6e2,假设a与b共线，则存在实数入，使得a=入b,即e1一3 〉 e2=A(-2e1-6e2)=-2λe1-6入e2。 根据向量相等的性质，若两个向量相等，则它们对应的系数相等，可得一3三6X 1=-2λ 由1=-2入，解得入=- ：由-3=6认，解得入=方，两个方程强得的值不相等，所以不存在这样的 实数入，d与6不共线 3.选项C 已知d=e+e2,6--3c,假设d与6共线，则存在实数以，使得d=入6，即e+=入 7 (e1-3e2)=Xe1-3λe2。 1=入 根据向量相等的性质，可得1=一3X 由1=入，解得入=1；由1=-3入，解得入=一号，两个方程解得的X值不相等，所以不存在这样的实数入 〉 ,a与b不共线。 4.选项D 已知d-8后-8,6=2日-号 〉 e2,假设a与b共线，则存在实数入，使得d=入6，即3e7 〉 2 =28-号eg) 3→ 〉1e2 2e2)=2入e1- 3=2λ 根据向量相等的性质，可得 -= 4 一第1页一 由3=2以，解得入-号：由是=号入，解得入-号，两个方程解得的入值相群，所以存在实致入 3 ,使得a=入b,a与b共线。 因此，答案是D选项。 第2题 答案：B 解题关键总结： 平行四边形时条件必然成立一条件是必要条件 条件成立时四边形不一定是平行四边形→条件不是充分条件 综上 AB+AD 是平行四边形的必要不充分条件 〉 本题考查向量的模长性质与平行四边形判定条件的关系。解题关键在于理解向量AB十AD的几何意义， 以及充分条件和必要条件的定义。需要通过向量运算验证条件与结论之间的逻辑关系。 第一步：分析平行四边形时的条件 当四边形ABCD是平行四边形时： AB+AD=AC 因此： 〉 AC =AB+AD 说明平行四边形成立时条件一定满足，即条件是必要条件。 第二步：验证条件满足时是否一定是平行四边形 〉 假设AC AB十AD成立，但四边形不一定是平行四边形。例如： 当∠BAD=60°且AB=AD=1时： 1AB+AD|=√12+12+2×1×1×cos60°=v3 若AC的长度也取√3，但此时四边形不是平行四边形。 说明条件成立时结论不一定成立，即条件不是充分条件。 第3题 因为-2028°=-6×360°+132°， 所以-sin2028°=sin(-2028)=sin(-6×360°+132)=sin132°=sin48°， 又sin48非常接近sin45°=V2 2 所以-sin2028最接近Y2 2 故选：C 利用三角函数的诱导公式，将-si2028°化简为一个锐角三角函数，再根据特殊角的三角函数值判断其最接 近的值. 第4题 一第2页一 由题意△ABC中，a,b,c分别为内角A,B,C所对的边，若a=2bcos(2026π+C), 可得a=2 bcos C,即sinA=2 sin Bcos C, 因为sinA=sin(B+C)=sin B cos C+cos Bsin C, 所以sin Bcos C+cos Bsin C=2 sin Bcos C， 整理为cos Bsin C-sin Bcos C=sin(C-B)=0, 所以B=C, 所以△ABC是等腰三角形， 故选：C. 根据诱导公式和正弦定理化简为sinA=2 sin Bcos C,再根据sinA=sin(B+C),结合两角和的正弦公 式化简，即可求解。 第5题 解题心得1.进行向量运算时，要尽可能地将它们转化到 三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、相反向量、 三角形的中位线及相似三角形的对应边成比例等性质， 把未知向量用已知向量表示出来. 2.向量的线性运算类似于代数多项式的运算，实数 运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形 方法在向量的线性运算中同样适用」 【例3】B解析依题意，DE=DA+AE= 一专心号耐=-号成+赋 威威成 第6题 解：2h=a*e,即=g, 由余弦定理得：sB++-学到 2ae 20 3d+02ac,32a2a-, Bac 当且仅当a=时取等号， 又不是三角形的最大边， 为锐角 则角的取值范围是？. 故选 利用余弦定理表示出s,将已知的等式左右两边同时除以2表示出代入sB中，整理后利用基本不等式化简，可 得出的最小值，由不是三角形的最大边，得到▣为锐角，利用余弦函数的图象与性质可得出的取值范围， 第7题 B 本题考查余弦定理和正弦定理的应用。 先利用余弦定理求出边a、b的值，再根据同角三角函数的基本关系求出sC的值，最后利用正弦定理求出 sinA的值。 1.利用余弦定理求出边a、b的值 已知c=4,b-a=1,即6=a+1,cosC=- 1 4° -第3页一 根据余弦定理2=a2+2-2abc0sC,将c=4,b=a+1,cosC=-代入可得：4=a2+(a+1 P-2aa+1)×(←). 限开式子行：16=a2+a2+2a+1+02+ 2. 合并同类项得：16-号02+号0+1. 等式两边同时乘以2得：32=5a2+5a+2。 移项化为标准的一元二次方程形式：5a2+5a一30=0，两边同时除以5得a2十a-6=0。 分解因式得(a十3)(a-2)=0,解得a=2或a=-3(边长不能为负舍去)。 因为a=2,所以b=a十1=3。 2.求出sinC的值 因为c08C=-是，且C是三角形内角，0<C<T,根据同角三角函数的某本关系sin2C+c0s2C=1 可得：siC=1-os20=V1-(P=V1-名=√%=亚 4。 3.利用正弦定理求出sinA的值 根据正弦定理a C 4 诚A=mC,将a=2,c=4,sinC=Y5代入可得：sinA三V元 4 。 4 交叉相乘得：4sinA=2×y5 49 化简得：sinA-15 8 因此，答案为B选项。 第8题 【答案】A 【解折】由余弦定理知：在△ABD中，有BD2=AB2+AD-2AB·ADcos A =1+42-2×1×4:cosA=17-8co3A,在△BCD中，有BD2=CB+CD2-2CB:CDeosC 22-2x2x2.coC8-coC8-8C4-c0C 由四边形ABCD的面积=三角形ABD的面积+三角形CD的面积， 54BD油4+0BcD油c-144+2x2油c=2a4+血0， 在三角形中，易知4，C∈(0，π)，sin4,sinC>0, (sin4+sin C)+(cos A-cos C)'=sin'4+sin'C+2sin AsinC+cos4+cos'C-2cos 4cosC =2-2co3(4+C)≤4，当且仅当A+C=π时等号成立， 时(m4血G-图)4→4+如cg 8 锁S=26n4+sn9s2x5y5_55,放选A 4 第9题 BD 本题主要考查向量的基本概念，包括单位向量、零向量、平行向量以及共线向量的定义。 解题的关键在于准确理解这些概念，并根据概念逐一分析每个选项。 1.分析选项A 单位向量是指模长为1的向量，但方向可以不同。 一第4页一 例如，在平面直角坐标系中，a=(1,0)和b=(0,1)都是单位向量，但它们的方向不同，所以a≠b, 故选项A错误 2.分析选项B 根据零向量的定义，模长为0的向量叫做零向量，且零向量是唯一模长为0的向量，所以只有零向量的模长等 于0，故选项B正确。 3.分析选项C 平行向量是指方向相同或相反的非零向量，规定零向量与任意向量平行。 例如，a=(1,0)和b=(2,0)是平行向量，但a≠b,故选项C错误。 4.分析选项D 假设a与b中至少有一个为零向量，因为零向量与任意向量共线，这与a与b不共线矛盾，所以a与b都是 非零向量，故选项D正确。 综上，答案是BD。 第10题 BC 本题考查正弦定理以及三角函数的性质。 本题可先利用正弦定理将号转化为角的关系，再结合锐角三角形的性质求出角A的取值范围，进而求出号的 取值范围，最后据此判断选项。 1.利用正弦定理将号转化为角的关系 根据正弦定理a。 b sin A-sin B =sinC=2R(R为△ABC外接圆半径)，可得a=2 Rsin A,b=2R sinB。 那么号= 2Rsin A sin A 2Rsin B sin B 已知B=2A,所以号=4 sin2A° 根据二倍角公式sin2a=2 sinco,可得号 sin A 1 =2 sin AcosA=2c0sA° 2.求出角A的取值范围 0<A<受 因为△ABC是锐角三角形，所以 0<B=2A< (0<C=T-A-B=T-3A<罗 解不等式0<2A<受，可得0<A<至 解不等式0<不-3A<空，移项可得一不<-3A<受-元=一受，两边同时除以-3，不等号方向改 变，可得君<A< 综合可得晋<A<: 3.求出号的取值范围 由吾<A<至，根据余弦函数的单调性，y=cos在0， )上单调递减，可得cosT<cosA<cos 6 即2<cosA<5 2 2。 -第5页一 那么2x9<2casA<2×,即V<2cosA<V3, 对不等式<2s4<V两达做，不得号方，可阳<方即< 1 1 3 号<9 4.判断选项 逐一分析选项： 选队：9不满足号<台<号 3 所以A选项错误。 选项那：因为卓< 3 4Y2,所以B选页正确。 进c:因为9<要、 6 ，所以c选顶亚确 法D:要不满足9<号< 2 ,所以D选项错误。 综上，答案是BC。 第11题 〉 一〉 —〉 〉 若入+4=0，则BO=A(BA-BC)=入CA, 此时△ABC为钝角三角形； 当入十4≠0时，如图，设直线BO交直线AC于点D, 不失一般性，记BO1=1,又B0=入BA十4BC, D 一〉 则B0 入BA+HBC 〉 〉 入十4 入+ 入十μ BABC-BL 故可得BO=(A+)BD 若入十4>0，此时入十4= 1 而BD∈号.+o, BD 当且仅当△ABC为等边三角形时BD|取最小值（此值为等边三角形的高）， 故此时X+u∈0.导引. 一第6页一 B 1 若入十4<0，则入十4=一 BD 而BD|∈(0，十∞)，故入十4∈(-∞，0)， D 综上，入+的取值范国是（一60，？， 当入+取得最大值号时，△ABC为等边三角形 故选：D, 根据向量的运算及性质，结合三角形形状的判定，对各选项进行分析判定即可得出结论. 第12题 12. 0A=30范-20元， ∴.OA-OB=2(OB-OC),即BA=2CB=2(AB-AC). 可得3A店-2A衣，侧A南-2 第13题 因为sinr-)-9in(经+0=sn0+cos0=-2y 5 所以(sin0+cos0)2=1+2sin0cos0= →2sin0eas0-3 所以(sin日-cos0)2=1-2sin0cos6=号， 2 所以sin6-cos6=±1⑩ 5 @当sin9-cos0=Y厘，sin9+cos0=_2y0时，sin0=-V 5 2,cos9=-3y1 ,故tan0- 5 10 10 3: ②当sin0-cos6=-V10 Y写0.sim0+csg=-2Y时，im0=-3v画 10,cos0=-V10 故tan0 5 10 =3; 一第7页一 综合00，得tam0=专或3 故答案为：写或3 利用诱导公式可得sin0+cos0=_2V①，根据同角三角函数关系式，得sin0-cos0,从而求得sin0, 5 cos的值，进而求得tan0. 第14题 2 3 一第8页一 1.解：设等腰△ABC中，AB=AC=2 BC=2W3,J顶点A折叠后落在BC上的点A(t,O)。 以B(-√3,0)、C(W3,0)、A(0,1)建立坐标系。DE 为AA的垂直平分线，D在AB上，设D(X1,y),满 足AD=A'D且DE⊥AA。 AB的方程为= 1 =x+1,AA'的中点为 v 斜率为-上， 故DE的斜率为t,方程 为y- 联立AB与DE方程，结合AD=AD条件，解得D点 2+1 横坐标1 V3 t2+1 化简得AD= v3t、 1 分析函数最小值，当t=一1 时，AD取得最小 3 值2 答： 线段AD的长度的最小值为 3 第15题 本题考查正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式，考查运算求解能力. (1)由正弦定理化简已知等式可得02+2-c2=ab利用余弦定理可求cosC=结合范围Cc(0,m)可求 C的值； 一第9页 (2)由已知利用三角形的内角和定理可求A的值，由正弦定理可得α，b的值，即可计算得解△ABC的周长. 解：(1)因为 sin A bsin B sin B+sinC+osin A+csin B=1 b2 所以e十ab千c =1 所以a2+b2-c2=ab, 所以cosC= a2+b2-c2 ab」 1 2ab 2a6=2 因为C∈(0，π)， 所以C=吾 (2)因为C= 5,c=2V2,B=T 所以A=不-B-C=。 由正弦定理a b sinC,可得 = b 2W2 sin A=sin B=s π sin 12 sm含 解得a= 22×6+5-2W6+2w5,6=22x2-4y3 3 4 V3 2 3 2 2 所以△ABC的圈长C=a+6+c=2V6+2V2+4y3+2V2=2V6+8y2+4V3 3 3 3 第16题 13露而(1)由题可得=ò（店+时)=+ d名（花-=+后流，（3分） 231 6 3 6=d-破=应+d子=}+。4.(6分) 3 (2)由P元=2BP可得AC-AP=2(AP-AB),即AP= 子破+d() 对于A应=入AB(0≤入≤1)，A疗=uAC(0≤≤1)，(**) 一第10页重庆南开中学高2028届高一数学练习（3.22) 数学试卷 本试卷分为第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分，考试时间120 分钟：第I卷和第Ⅱ卷都答在答题卷上. 一、单项选释题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一 个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1.己知马，已是不共线的向量，下列向量4，b共线的是() A.a=g,b=-22 B.a=6-38,b=-2g-6e, C.a=ete;b=e-3e D.=38-6,6=2-26 2.在四边形ABCD中，“|ACHAB+AD1”是“四边形ABCD是平行四边形”的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D,既不充分也不必要条件 3.下面四个数中，与-sin2028°最接近的是() A.-1 B. 。9 D.0 4.在△ABC中，a,b,c分别为内角A,B,C所对的边，若a=2bcos(2026m+C),则此三角 形一定是() A.等腰直角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等腰或直角三角形 5.如图所示的△ABC中，点D是线段AC上靠近A的三等分点，点E是线段AB的中点， 则DE=() A.-1BA-IBC B.-1BA-18G 3 6 6 3 C.-5B- D.-5B4+BC 6 3 6 6.在△ABC中，角A,B,C的对边分别是a,b,c,若2b=a+c,则角B的取值范围是() A原 B.( C.(0, D.0, 7.在△ABC中，若c=4,b-a=1,cosC=- 4,则sinA为() B.vis D.5 8 6 6 试卷第1页，共4页 8.在平面四边形ABCD中，AB=1,AD=4,BC=CD=2,则四边形ABCD面积的最大值为() A. 5v万 B.5V6 C.42 D.2W2 4 8 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分、在每小题给出的四个选项中，有多项符 合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.下列说法正确的是() A.若a与b都是单位向量，则a=b B.只有零向量的模长等于0 C.若a与b是平行向量，则a=b D.向量a与b不共线，则ā与b都是非零向量 10.在锐角△ABC中，a,b,c分别为△ABC三个内角A,B,C的对边，若B=2A,则2的取 值可能为() B.6 c.vis D.② 4 6 v 11.己知O为△ABC的外心，∠ABC=60°，BO=1BA+uBC,下面说法错误的是（) A.1+μ的最小值为}，此时△ABC为直角三角形 B.元+u的最大值为，此时△ABC为直角三角形 C,+4的最小值为，此时△ABC为等边三角形 D.1+u的最大值为名，此时△ABC为等边三角形 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. AB 12.己知40C-30A=0B,则 AC 13.已知sim(e-)-s如(+)=-20，则an0= 14.已知三角形ABC为等腰三角形，其中AB=AC=2,BC=25,在AB、AC上分别取D、E 两点，若沿线段DE折叠该三角形时，顶点A恰好落在边BC上.则线段AD的长度的最小值为一· 四、解答思：本题共5小愿，共77分.解答应写出文字说明、正明过程或淀算步骤。 15.(本小题湖分13分) 已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,湖足 sin bsin B sinB+sinCbsin1. (I)求角C: (2)若c=22,B=,求△ABC的周长. 4 16.(本小画满分15分) 如图，在△ABC中，点P满足PC=2BF,O是线段AP的中点，过点O的直线与线段B,AC分别交 于点E,F. ()诺花=子丽，谓用向显瓜，AC来表示向量40,0： (2)若AE=1AB(0<元≤1)，AF=μAC(0<μ≤1)，求2+μ的最小值 17.(本小题满分15分) 在△ABC中，∠A为钝角，V3aanB=2 bsin A. (1)求∠B: (2)若a=4W5,b=√3，D为AB边上一点，再从条件①，条件②条件③这三个条件中选择一个 作为已知，使△ACD存在且唯一确定，求△ACD的面积. 条件①：DC=4; 条件@：血∠0C= 条件③：△ACD的周长为5+√3， 注：如果选择的条件不符合要求，第（2)问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第 一个解答计分. 试卷第3页，共4页 18.(本小四满分17分) 如图，在等边△ABC中，AB=2,点D,E,F分别在边AB,BC,CA上，且AD=kAB(0<k<), DB⊥DF,∠AFD=O. (1)用k,O表示DE,DF: (2)若aDEF为等腰直角三角形，求k的取值范围： (3)若DF=1,求DEF面积的最小值 19.(本小题满分17分) 三角形的布沼卡点是法国数学家、数学教育学家克洛尔于1816年首次发现，但他的发现并未被当时 的人们所注意.1875年，布洛卡点被一个数学爱好者布洛卡重新发现，并用他的名字命名.当△ABC 内一点P满足条件∠PAB=∠PBC=PCA=日时，则称点P为△ABC的布洛卡点，角0为布洛卡角.如 图，在△ABC中，角A,B,C所对边长分别为a,b,C,点P为△ABC的布洛卡点，其布洛卡角为 0, ()求证：aPB+bPC+cPA=2匹： sino (2)若A=20,是否存在常数∈R,使得a2+b2+c2=becos20,若存在， 求1的值；若不存在，锵说明理由， (3)若0=30°，试判断△ABC的形状. 试ǚ第4页，儿4页