21.3.3 正方形 课件 2025-2026学年人教版 数学八年级下册

21.3.3 正方形 22051 21.3.3 正方形 课时1 正方形的性质 22051 1.理解正方形的概念，探索并证明正方形的性质，了解平行四边形、矩形、菱形之间的联系和区别. 2.会应用正方形的性质解决相关证明及计算问题. 学习目标 22051 平行四边形 有一个角是直角 矩形 平行四边形 一组邻边相等 菱形 除了矩形、菱形之外，正方形也是特殊的平行四边形，那么它们之间有什么关系吗？ 回顾 矩形、菱形和平行四边形有什么关系？ 复习导入 22051 问题 (1)矩形怎样变化后就成了正方形呢？你有什么发现？ 如图，当矩形的一组邻边相等时，就成了正方形. (2)菱形怎样变化后就成了正方形呢？你有什么发现？ 如图，当菱形的一个角是直角时，就成了正方形. 尝试写出正方形的定义，并举例生活中的正方形. 新知讲解 22051 正方形的定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫正方形. 矩形+有一组邻边相等⟹ 正方形 菱形+有一个角是直角⟹ 正方形 归纳小结 22051 正方形是日常生活中常见的图形，你有注意到吗？ 新知讲解 22051 探究 正方形既是特殊的平行四边形，也是特殊的矩形、菱形，因此它具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质. 从正方形的边、角、对角线出发，写出正方形的性质，并证明其中的一些结论. 正方形 性质 边 角 对角线 对边平行，四条边都相等 四个角都是直角 对角线相等且互相垂直平分， 并且每一条对角线平分一组对角. 新知讲解 22051 已知：如图，四边形ABCD是正方形. 求证：正方形ABCD四边相等，四个角都是直角. A B C D 证明：∵四边形ABCD是正方形. ∴∠A=90°，AB=BC （正方形的定义）. 又∵正方形是平行四边形. ∴正方形是矩形（矩形的定义），正方形是菱形(菱形的定义). ∴∠A=∠B =∠C =∠D = 90°，AB=BC=CD=AD. 猜想1：正方形的四个角都是直角,四条边相等. 新知讲解 22051 已知：如图，四边形ABCD是正方形.对角线AC、BD相交于点O. 求证：AO=BO=CO=DO，AC⊥BD. A B C D O 证明：∵正方形ABCD是矩形， ∴AO=BO=CO=DO. ∵正方形ABCD是菱形. ∴AC⊥BD. 猜想2：正方形的对角线相等且互相垂直平分. 新知讲解 22051 思考：正方形是轴对称图形吗？如果是，有几条对称轴？ 菱形 矩形 轴对称图形 正方形 对称轴是两条对角线所在的直线 对称轴是过对边中点的两条直线 4条 新知讲解 22051 例5 求证：正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形. 已知：如图，四边形ABCD是正方形， 对角线AC，BD相交于点O. 求证：△ABO，△BCO，△CDO， △DAO是全等的等腰直角三角形. 证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AC=BD，AC⊥BD， ∴∠AOB=∠BOC=∠COD=∠AOD=90°， AO=BO=CO=DO. ∴△ABO，△BCO，△CDO，△DAO都是等腰直角三角形，并且△ABO△BCO△CDO△DAO. 例题讲解 22051 如图，在正方形ABCD中，ΔBEC是等边三角形. 求证： ∠EAD＝∠EDA＝15° . 证明：∵ΔBEC是等边三角形， ∴BE=CE=BC,∠EBC=∠ECB=60°， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=BC=CD,∠ABC=∠DCB=90°， ∴AB=BE=CE=CD, ∠ABE=∠DCE=30°， ∴△ABE，△DCE是等腰三角形， ∴∠BAE=∠BEA=∠CDE=∠CED=75°， ∴∠EAD=∠EDA=90°－75°=15°. 小试牛刀 22051 思考 正方形、菱形、矩形、平行四边形之间有什么关系？与同学讨论一下，并列表或画框图表示这些关系. 平行 四边形 从一般到特殊 矩形 一个角是直角 菱形 一组邻 边相等 一个角是直角 一组邻 边相等 正方形 新知讲解 22051 正方形及其性质 定义 对于一个平行四边形，如果它不仅 ，而且 ，那么它就是正方形． 与矩形的关系 的矩形是正方形. 与菱形的关系 的矩形是正方形. 性质 边 正方形的 ； 角 正方形的 ； 对角线 正方形的 . 有一组邻边相等 有一个角是直角 有一组邻边相等 有一个角是直角 对边平行，四条边都相等 四个角都是直角 对角线相等且互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角 课堂小结 22051 1.下列命题中，假命题是（    ） A．矩形的对角线相等 B．菱形的对角线互相垂直 C．正方形的对角线相等且互相垂直 D．平行四边形的对角线相等 D 当堂检测 基础 22051 2.如图，正方形ABCD的面积为4，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，AD的中点，则四边形EFGH的面积为 ． 2 当堂检测 基础 22051 3.如图所示，某兴趣小组需要在正方形纸板ABCD上剪下机翼状纸板(阴影部分)，点E在对角线BD上． (1)该机翼状纸板是由两个全等三角形组成，请写出△ABE△CBE的证明过程． 证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=CB，∠ABD=∠CBD， 又∵BE=BE， ∴△ABE△CBE(SAS)； 当堂检测 提升 22051 3.如图所示，某兴趣小组需要在正方形纸板ABCD上剪下机翼状纸板(阴影部分)，点E在对角线BD上． (2)若裁剪过程中满足DE=DA，求“机翼角”∠BAE的度数． 解：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠BAD=90°，∠ADB=45°， ∵DE=DA，∴∠DAE=∠DEA， ∵∠DAE+∠DEA+∠ADE=180°， ∴∠DAE=∠DEA=67.5°， ∴∠BAE=∠BAD−∠DAE=22.5°． 当堂检测 提升 22051 21.3.3 正方形 课时2 正方形的判定 22051 1.探索并证明正方形的判定. 2.会运用正方形的判定条件进行有关的论证和计算. 学习目标 22051 回顾正方形的概念和性质： 定义：有一组邻边相等，且有一个角是直角的平行四边形是正方形. 正方形性质 边：对边平行，四边相等 角：四个角都是直角 对角线：对角线相等且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角 判定 除了正方形的定义，还有其他的判定方法吗? 复习导入 22051 问题1：矩形的边有什么样的性质？正方形的边有什么样的性质？ 正方形 矩形 对边相等且平行 四边相等且对边平行 矩形添加邻边相等能否得到正方形？ 上节课，我们已经学过有一组邻边相等的矩形是正方形. 如何证明呢？ 新知讲解 22051 1.有一组邻边相等的矩形是正方形． 已知：如图，在矩形 ABCD 中，AB=AD. 求证：矩形 ABCD 是正方形． 证明：∵四边形 ABCD 是矩形， ∴∠A=90°． 又∵AB=AD， ∴矩形 ABCD 是正方形． A B C D 有一组邻边相等，且有一个角是直角的平行四边形是正方形. 新知讲解 22051 问题2：矩形的对角线具有什么性质？正方形的对角线具有什么样的性质？ 对角线相等且互相平分 对角线相等且互相垂直平分 矩形添加对角线互相垂直能否得到正方形？ 新知讲解 22051 已知：在矩形ABCD中，AC，DB是它的两条对角线，且 AC⊥DB. 求证：四边形ABCD是正方形. 证明：∵四边形 ABCD 是矩形， ∴OB=OD． ∵AC⊥BD， ∴AC 是线段 BD 的垂直平分线． ∴AB=AD． ∴矩形 ABCD 是正方形． 2.对角线互相垂直的矩形是正方形. 有一组邻边相等的矩形是正方形 A D C B O 新知讲解 22051 正方形的判定定理1：有一组邻边相等的矩形是正方形. 符号语言： 在矩形ABCD中，∵ AB=AD， ∴四边形ABCD是正方形. 符号语言： 在矩形ABCD中，∵ AC⊥BD， ∴四边形ABCD是正方形. 正方形的判定定理2：对角线互相垂直的矩形是正方形. A D C B O 归纳小结 22051 问题3：菱形的角具有什么性质？正方形的角具有什么性质？ 正方形 对角相等 四个角相等，都为90° 菱形添加有一个角为直角能否得到正方形？ 上节课，我们已经学过有一个角是直角的菱形是正方形. 如何证明呢？ 菱形 新知讲解 22051 已知：如图，在菱形 ABCD 中，∠A=90°． 求证：菱形 ABCD 是正方形． 证明：∵四边形 ABCD 是菱形， ∴AB=AD． 又∵∠A=90°， ∴菱形 ABCD 是正方形． A B C D 3.有一个角是直角的菱形是正方形． 新知讲解 22051 问题4：菱形的对角线有什么性质？正方形的对角线有什么样的性质？ 对角线垂直且互相平分 对角线相等且互相垂直平分 菱形添加对角线相等能否得到正方形？ 新知讲解 22051 已知：在菱形 ABCD 中，对角线 AC = DB. 求证：四边形 ABCD 是正方形. 证明：∵四边形 ABCD 是菱形， ∴OA=OC，OB=OD，AC⊥BD． ∵AC=BD，∴OA=OB=OC=OD． ∴△AOB，△BOC 是等腰直角三角形． ∴∠ABO=∠CBO=45°，∴∠ABC=90°． ∴菱形 ABCD 是正方形． 4.对角线相等的菱形是正方形. 有一个角是直角的菱形是正方形 A D C B O 新知讲解 22051 正方形的判定定理3：有一个角是直角的菱形是正方形. 符号语言： 在菱形ABCD中，∵ ∠A=90°， ∴四边形ABCD是正方形. 符号语言： 在菱形ABCD中， ∵ AC=BD， ∴四边形ABCD是正方形. 正方形的判定定理4：对角线相等的菱形是正方形. A D C B O A B C D 归纳小结 22051 探究 分别从矩形、菱形、平行四边形、四边形出发，写出正方形的判定方法，并与同学交流你的结论. 矩形 菱形 平行 四边形 正方形 四边形 ①②③④⑤ ⑥ ⑦ ⑥ ⑦ ⑧ ⑨ ⑧ ⑨ ⑩ ⑪ 新知讲解 22051 矩形 菱形 平行 四边形 正方形 四边形 ①②③④⑤ ⑥ ⑦ ⑥ ⑦ ⑧ ⑨ ⑧ ⑨ ⑩ ⑪ ①两组对边分别平行 ②两组对边分别相等 ③两组对角分别相等 ④对角线互相平分 ⑤一组对边平行且相等 ⑩三个角为直角 ⑪四条边相等 ⑥一个角为直角 ⑦对角线相等 ⑧一组邻边相等 ⑨对角线互相垂直 归纳小结 22051 例6 如图，E，F，G，H 分别是正方形 ABCD 四条边上的点，且 AE = BF = CG = DH. 求证：四边形 EFGH 是正方形. 分析：要证明四边形 EFGH 是正方形，需证明它既是菱形，也是矩形，也就是要先证明它的四条边相等，再证明它的一个角是直角，而这可以由△AEH，△BFE，△CGF，△DHG 全等得出. 例题讲解 22051 证明：∵四边形 ABCD 是正方形，∴AB = BC = CD = DA . 又 AE = BF = CG = DH，∴EB = FC = GD = HA . ∵∠A=∠B=∠C=∠D=90°， ∴△AEH △BFE △CGF △DHG . ∴HE = EF = FG = GH . ∴四边形 EFGH 是菱形 . ∵△AEH △BFE，∴∠2 = ∠3. 又∠1 + ∠2 = 90°，∴∠1 + ∠3 = 90°. ∴∠HEF = 180°－(∠1 + ∠3) = 90°. ∴四边形 EFGH 是正方形 . 例题讲解 22051 正方形判定的几条途径： 先判定菱形 先判定矩形 平行四边形 正方形 ①一组邻边相等且有一个直角 ②对角线相等且垂直 正方形 ①有一个直角；②对角线相等 矩形条件(二选一) 正方形 ①一组邻边相等；②对角线垂直 菱形条件(二选一) 课堂小结 22051 1.下列命题，其中是真命题的是（     ） A.对角线互相垂直的四边形是平行四边形 B.有一个角是直角的四边形是矩形 C.对角线互相平分的四边形是菱形 D.对角线互相垂直的矩形是正方形 D 2.若顺次连接四边形ABCD各边的中点所得的四边形是正方形，则四边形ABCD的两条对角线AC，BD一定是( ) A.互相平分 B.互相垂直 C.互相平分且相等 D.互相垂直且相等 D 当堂检测 基础 22051 3.如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O．小乐同学欲添加两个条件使得四边形ABCD是正方形，现有三个条件可供选择： ①AC⊥BD； ②AC=BD； ③∠ADC=90°． 则正确的组合是 （只需填一种组合即可）． ①②/①③ 当堂检测 基础 22051 4.如图，∠ACB=∠AED=90°，AC=FE，AB平分∠CAE，AB∥DF． (1)求证：四边形ABDF是平行四边形； 证明：∵AB平分∠CAE，∴∠CAB=∠BAF， ∵AB∥DF，∴∠EFD=∠BAF， ∴∠CAB=∠EFD. 在△ACB和△FED中， ∠ACB=∠FED，AC=FE，∠CAB=∠EFD， ∴△ACB△FED(ASA)，∴AB=FD， 由∵AB∥DF， ∴四边形ABDF是平行四边形． 当堂检测 提升 22051 解：四边形BGED是正方形．理由如下： 过点B作BG⊥AE于点G，∴∠BGE=∠DEG=90°， ∵四边形ABDF是平行四边形．∴BD∥AE，BD=AF， ∴∠GBD+∠BGE=180°，∠DEG+∠EDB=180°， ∴∠GBD=90°，∠EDB=90°， 由（1）△ACB△FED，∴CB=ED， ∵CB=AF，∴ED=AF，∴BD=ED， ∴四边形BGED是正方形． 4.如图，∠ACB=∠AED=90°，AC=FE，AB平分∠CAE，AB∥DF． (2)过点B作BG⊥AE于点G，若CB=AF，请写出四边形BGED的形状，并说明理由． 当堂检测 提升 22051 $