21.1.2 多边形及其内角和 课件2025-2026学年人教版 数学八年级下册

20.1.2 多边形及其内角和 22051 1. 理解多边形、正多边形的概念，掌握多边形的边、顶点、内角、外角、对角线等相关定义. 2. 熟练推导并掌握多边形内角和公式与外角和定理，能运用公式解决多边形内角和、边数等相关计算问题. 学习目标 22051 法国的建筑事务所 atelierd 将协调坚固的蜂窝与人类天马行空的想象力结合，创造了这个“蜂窝”. 这座小房子为昆虫和人类提供了一个小小避难所. 在自然界中，蜜蜂用六边形构筑蜂巢，用最少的材料获得了最大的空间和最强的结构. 今天，我们就从这座神奇的“蜂窝”建筑出发，一起探索多边形的奥秘. 情境导入 22051 在实际生活当中，除了三角形、四边形，还有许多由线段围成的图形. 观察下面的图片，你能从中找到一些多边形的形象吗？ 你能依照四边形的概念给这些图形命名吗? 新知讲解 22051 在平面内，由n(n≥3)条线段A₁A₂，A₂A₃，…，An－1An，AnA₁首尾顺次相接，组成的图形叫作多边形. 多边形有几条边就叫作几边形. A1 A2 A3 A4 A5 An－1 An 多边形定义的要素： ①在同一平面内；②若干条线段； ③首尾顺次连接；④封闭图形. 归纳小结 22051 问 题 类比四边形，说出多边形的边、顶点、内角、外角、对角线的定义. 组成多边形的各条线段叫作多边形的边 每相邻两条线段的公共端点叫作多边形的顶点 A B C F E D 多边形同样用表示它的各个顶点的字母表示，上图中的六边形，记作“六边形ABCDEF”. 新知讲解 22051 A B C F E D 多边形相邻两边组成的角叫作多边形的内角 多边形的角的一边与另一边的延长线组成的角叫作多边形的外角 连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫作多边形的对角线 1 2 3 4 5 6 问 题 类比四边形，说出多边形的边、顶点、内角、外角、对角线的定义. 新知讲解 22051 与四边形类似，在多边形中，有的是凸多边形，有的不是凸多边形. 今后，如无特殊说明，所讨论的多边形都是凸多边形. 观 察 下面正三角形、正方形的边和角有什么特点. 正三角形 正方形 边：三条边相等； 角：三个角相等. 边：四条边相等； 角：四个角相等. 新知讲解 22051 正多边形的概念： 像正方形这样，各个角都相等、各条边都相等的多边形叫作正多边形. 正五边形 正六边形 如果一个多边形由 n 条线段组成，各个角都相等，各条边都相等那么这个多边形叫作正n边形. 归纳小结 22051 探 究1 类比四边形的内角和的推导过程，你能推导出五边形和六边形的内角和各是多少度吗? 由结果你能得出多边形的内角和与边数的关系吗? 分析：五边形、六边形的对角线可以将五边形、六边形分为n个三角形，类比四边形的内角和推导过程，五边形、六边形内角和的有关问题也可以利用三角形的相关知识加以解决. 新知讲解 22051 名称 五边形 六边形 n边形 图形 从一个顶点出发能作的对角线条数 过一个顶点的对角线把多边形分成的三角形个数 多边形内角和 2 3 3 4 3×180° 4×180° n－3 n－2 (n－2)×180° 新知讲解 22051 一般地，从n边形的一个顶点出发，可以作(n－3)条对角线，它们将n边形分为(n—2)个三角形，n边形的内角和等于(n－2)×180°. A₁ A2 A3 A4 A5 An－1 An 这样就得出了多边形的内角和公式： n边形的内角和等于(n－2)×180°. 注意：①n边形的内角和随边数的增加而增加，每增加一条边其内角和增加180°.②多边形的内角和是180°的整倍数. 归纳小结 22051 1.下列说法中，错误的有( ) A. 三角形是边数最少的多边形 B. 等边三角形和长方形都是正多边形 C. n边形有n条边、n个顶点、n个内角 D. 六边形从一个顶点出发可以画3条对角线，所有的对角线共有9条 B 小试牛刀 22051 思 考 把一个多边形分成若干个三角形，还有其他分法吗? 由新的分法，能得出多边形的内角和公式吗？ 方法一：如图，在n边形内任取一点O，连接点O与各个顶点的线段，把n边形分成n个三角形. 因为这n个三角形的内角和是n×180°，以O为公共顶点的n个角的和是360°，所以n边形的内角和是n×180°－360°，即(n－2)×180°. A₁ A2 A3 A4 A5 An O 新知讲解 22051 方法二：如图，在n边形的边上任意取一点P，连接这点与各顶点的线段，把n边形分成(n－1)个三角形. 因为这(n－1)个三角形的内角和是(n－1)×180°，以P为公共顶点的(n－1)个角的和是180°， 所以n边形的内角和是(n－1)×180°－180°， 即(n－2)×180°. A₁ A2 A3 A4 A5 An P 思 考 把一个多边形分成若干个三角形，还有其他分法吗? 由新的分法，能得出多边形的内角和公式吗？ 新知讲解 22051 探 究2 与四边形的外角和类似，在多边形的每个顶点处各取一个外角. 它们的和叫作多边形的外角和. 多边形的外角和等于多少度? 多边形的每一个内角与和它相邻的外角是_______. n 边形的内角和与外角和的总和等于__________. n 边形的内角和等于_____________. ∴ n 边形的外角和等于： . 邻补角 n × 180° (n－2)×180° n×180°－(n－2)×180°= 360° A1 A2 A3 A4 A5 An－1 An 新知讲解 22051 理解：如图，从多边形的一个顶点A出发，沿多边形的各边依次走过各顶点，再回到点A，然后转向出发时的方向. 在行程中所转的各个角的和，就是多边形的外 角和. 由于走了一周，所转的各个角的和等于一个 周角，所以多边形的外角和等于360°. 新知讲解 22051 多边形的内(外)角和与边数间的关系： (1)多边形的内角与边数有关，且随着边数的增加而增加． (2)多边形的外角和恒等于360°，与边数的多少无关， 其作用是： ①已知正多边形外角的度数，求正多边形的边数； ②已知正多边形的边数，求各相等外角的度数． 归纳小结 22051 例2 一个多边形的内角和等于外角和的2倍，这个多边形是几边形? 解：设这个多边形的边数为n. 因为它的内角和等于(n－2)×180°，外角和等于360°，所以 (n－2)×180°＝2×360°. 解得 n＝6. 因此这个多边形是六边形. 例题讲解 22051 2.已知一个多边形的每个内角与外角的比都是7:2，求这个多边形的边数. 方法一：设这个多边形的内角为 7x°，外角为 2x°， 根据题意得 7x°＋2x°＝180°，解得 x＝20. 即每个内角是140°，每个外角是40°. 360°÷40 °=9. 所以，这个多边形是九边形. 方法二：由题意可得此多边形的内角和与外角和之比为7:2， 即为： ， 解得：n = 9 所以，这个多边形是九边形. 小试牛刀 22051 边 顶点 A B C F E 内角 外角 对角线 在平面内，由n(n≥3)条线段A₁A₂，A₂A₃，…，An－1An，AnA₁首尾顺次相接，组成的图形叫作多边形.(多边形有几条边就叫作几边形.) 正多边形：各个角都相等、各条边都相等的多边形叫作正多边形. n边形内角和计算公式：(n－2)×180° 多边形的外角和等于360° 课堂小结 22051 1. 图中不是凸多边形的是(　　) B A B C D 2. 连接多边形的一个顶点与其他顶点的线段把这个多边形分成了 6 个三角形，则原多边形是(　　) D A． 5 B．6 C． 7 D．8 当堂检测 基础 22051 3. 填空： (1)若多边形的每个内角都是140°,则这个多边形的边数为 ________． 9 (2)如图，五边形ABCDE中，∠B＝120°，∠C＝110°，∠D＝105°，则∠A＋∠E＝ ________． 205° 当堂检测 基础 22051 4 如图，小明从点A出发沿直线前进10m到达点B，向左转30°后又沿直线前进10m到达点C，再向左转30°后沿直线前进10m到达点D……照这样走下去，小明第一次回到出发点A，一共走了多少米? 解：∵小明每次都是沿直线前进10m后向左转30°, ∴他走过的图形是正多边形，且这个正多边形的每一个外角都是30°, ∴边数n=360°÷30°=12, ∴他第一次回到出发点时，一共走了12×10=120m. 当堂检测 基础 22051 $