2026年广东中考数学专题复习 锐角三角函数的应用三大类型

2026年广东中考数学专题复习（锐角三角函数的应用三大类型） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、项目学习表格类： 1．铭记革命先烈，赓续红色基因．某数学兴趣小组参观了位于焦作温县的张祥云烈士纪念碑，并开展了测量纪念碑高度的活动，记录如下： 活动主题 测量纪念碑的高度 实物图 和测量 示意图 测量步骤 如图，某同学在点处用测角仪测得纪念碑的最高点的仰角，另一名同学在他的正后方的点处用相同的测角仪测得点的仰角（测角仪的高度为），且图中所有的点都在同一平面内， 测量数据 在点处测得点的仰角为，在点处测得点的仰角为 参考数据 …… …… 根据以上信息，解决下列问题． (1)求该纪念碑的高度．（结果精确到m） (2)该数学兴趣小组要写出一份完整的课题活动报告，除上表中的项目外，你认为还需要补充哪些项目？（写出一个即可） 2．项目学习 项目背景：某综合实践小组的同学围绕“校园内校徽长度的测量与计算”开展了项目性学习的实践活动，形成了如下实验报告． 项目主题 校徽长度的测量与计算 活动任务 如何测量校园内教学楼上方的校徽的长度 活动内容 利用三角函数等知识进行校徽的测量与计算 活动过程 方案说明 1．工具准备：测角仪、卷尺等． 2．测量过程：（1）如图，站在与教学楼底部同一水平地面的处，由于大树的遮挡，视线恰能看到悬挂的校徽的顶部的点，此时，，三点在同一条直线上，测量，两点与，两点间的距离； （2）用测角仪测量从眼睛处看校徽顶部的仰角； （3）向后退至点处时，视线恰能看到校徽的底部点，此时点，，在同一条直线上，测量，两点间的距离； （4）用测角仪测量从眼睛处看校徽底部的仰角． 3．测量图示： 数据测量 ，，米，米，米，，图上所有的点均在同一平面内，，，，均与地面垂直 计算 …… 交流展示 …… 请根据上述实验过程与测量数据，计算校徽的长度．(精确到米，参考数据：，) 3．根据以下材料，完成任务． 材料1 如图，幸福村村口有棵大树，平时是居民喜欢的一个聚集地 材料2 小明画出了大树的侧面示意图，经过测量，点距离地面，与水平面的夹角为 材料3 当太阳光线与地面的夹角为时，阴影的长约为 任务1 求出大树的树枝的边缘点到树干的距离 任务2 求出大树的树枝的长度（保留整数） 备注 参考数据： 4． 《观景拱桥的设计》 项目背景 某公园有一个抛物线形状的观景拱桥，其横截面如图所示： 任务1 建立模型 （1）在图中建立的直角坐标系中，抛物线过顶点，（长度单位：）．求出抛物线的解析式． 任务2 利用模型 （2）在拱桥加固维修时，搭建的“脚手架”为矩形（、分别在抛物线的左右侧上）．并铺设斜面．已知“脚手架”的三边所用钢材长度为（在地面，无需使用钢材），求“脚手架”打桩点与拱桥端点的距离． 任务3 分析计算 （3）在平面内，把一个图形上的任意一点与另一个图形上任意一点之间的距离的最小值称为这两个图形的距离．为了美观，在距离点处米的地面、处安装射灯，射灯射出的光线与地面成角，如图所示，光线交汇点在拱桥的正上方，其中光线所在的直线解析式为，求光线与抛物线拱桥之间的距离．（忽略台阶的高度） 二、方位角与视角应用类： 5．如图，一艘渔船自东向西以每小时海里的速度向码头航行，小组同学收集到以下信息： 位置信息 码头在灯塔北偏西方向 时，渔船航行至灯塔北偏东方向的处 时，渔船航行至灯塔东北方向的D处 天气预警 受冷空气影响，今天到夜间，码头附近海域将出现浓雾天气．请注意防范 请根据以上信息，解答下列问题： (1)求渔船在航行过程中到灯塔的最短距离；（结果精确到） (2)若不改变航行速度，请通过计算说明渔船能否在浓雾到来前到达码头． （参考数据：，，） 6．某县社会主义新农村建设办公室，为了解决该县甲，乙两村和一所中学长期存在的饮水困难问题，想在这三个地方的其中一处建一所供水站，由供水站直接铺设管道到另外两处．如图，甲，乙两村坐落在夹角为的两条公路的段和段（村子和公路的宽均不计），点M表示这所中学．点B在点M的北偏西的处，点A在点M的正西方向，点D在点M的南偏西的km处．为使供水站铺设到另两处的管道长度之和最短，现有如下三种方案： (1)方案一：供水站建在点M处，请你求出铺设到甲村某处和乙村某处的管道长度之和的最小值； (2)方案二：供水站建在乙村（线段某处），甲村要求管道铺设到A处，请你在图①中，画出铺设到点A和点M处的管道长度之和最小的线路图，并求其最小值； (3)方案三：供水站建在甲村（线段某处），请你在图②中，画出铺设到乙村某处和点M处的管道长度之和最小的线路图，并求其最小值． (4)综上，你认为把供水站建在何处，所需铺设的管道最短？ 7．近年来我国实施一系列惠农政策，加大对农村基础设施的投入，其中“村村通公路”政策为群众出行提供了便利，推进了新农村建设的步伐．如图，公路为东西走向，在其间修建了一个汽车站，在点北偏东方向上，距离5千米处是村庄；在点北偏东方向上，距离10千米处是村庄N． (1)______度，______度； (2)求两村庄、之间的距离．（参考值：，，，，，） 8．某初中数学兴趣小组想测量某大桥的收费站的最高点距离地面的高度，如图，他们在地面上选取了一个测量点，在点处用测角仪测得点的仰角为，然后他们沿方向移动10米到达测量点（即米），在点处用测角仪测得点的仰角为，已知测角仪的高度为1.2米，求该收费站的高度．（结果保留整数，参考数据：，，，） 9．如图，一艘渔船正以40海里／小时的速度由西向东赶鱼群，在处看小岛在船北偏东，1小时后，渔船行至处，此时看见小岛在船的北偏东． (1)求小岛到航线的距离；（结果保留一位小数） (2)已知以小岛C为中心周围海里内为我军导弹部队军事演习的着弹危险区，问这艘渔船继续向东追赶鱼群，是否有进入危险区的可能？若渔船进入危险区，那么经过多少小时可穿过危险区？（结果保留一位小数，参考数据：，，） 10．研学实践：泛舟禅师塔位于山西运城，是全国唯一的唐代单层圆形砖塔，在建筑设计和营造上均具有高超的艺术价值．某校研学小组在了解泛舟禅师塔的历史背景后，利用测量工具测量了相关数据． 数据采集：如下图是测量过程的几何示意图，点A是塔的顶端，AB的长表示点A到水平地面的距离．研学小组在地面上一点C处放置测角仪，测得顶端A的仰角，安装测角仪支架CD后测得顶端A的仰角，测得（米．（测角仪的高度忽略不计） 数据应用：已知图中各点均在同一竖直平面内，根据上述数据，计算点A到地面的距离AB的长．（结果精确到0.1米，参考数据：，，，，，） 11．东光连镇炮楼位于沧州市东光县连镇镇后一村，是沧州市第五批市级文物保护单位．它见证了日军侵略罪行和中国人民的抗战历史，具有重要的历史价值．某校数学实践小组利用所学数学知识测量该炮楼的高度． (1)图-1是嘉淇制作的简易测角仪，如图-2，从观测炮楼顶部的仰角为．若铅垂线在量角器上的读数为，则的值为________度； (2)如图-2．在（1）的基础上，又得到下列数据：，，求炮楼的高度．（参考数据：，，，，，） 三、生活实践应用类： 12．如图1是一款手推婴儿车，图2是该款婴儿车的车架示意图，为半径均为的圆形轮胎的圆心，后轮支架杆与地面所成的角为，主支架杆与所成的角度为，推手支架的支点恰好为的中点，已知．若推手支架的长为，，求此手推婴儿车的握把距地面的高度．（结果精确到） （参考数据：，，，，，，．） 13．图为《天工开物》记载的用于舂（）捣谷物的工具——“碓（）”的结构简图，图为其工作时的平面示意图，此时点和点在同一水平线上，已知：，于点，于点，于点，若分米，．（参考数据：，，） (1)求的长； (2)“碓”工作时举起到最高处如图所示，此时，求点上升的高度． 14．建筑施工中，工人更换屋顶瓦片时常用的便携折叠梯（图1）是高空作业的重要工具，其侧面示意图可抽象为如图2所示的几何图形．已知梯子两侧的承重支架米，梯子顶端用于放置工具和站立的横档D到支架顶点A的距离米，设两侧支架的夹角，为保障高空作业安全，施工规范要求的调整范围是．（参考数据：，，，，，精确到米） (1)当时，若人站在的中点处，求此人离地面（）的高度； (2)在安全使用范围下，求折叠梯顶端到地面的距离范围． 15．某种水龙头关闭时如图1所示，将其简画成图2，三点共线，是水管，台面是开关，可整体绕点上下旋转，且，连接． (1)求的长度（结果保留整数）： (2)如图3，当开关开到最大时，旋转到的位置上，旋转角，求此时点到台面的距离（结果保留整数）．（参考数据：，，，取） 16．一辆高空作业的工作示意图如右图所示，支撑点A距地面有，主臂与水平面的夹角，与的夹角，，，求吊篮的边沿点C到地面的距离（结果精确到）．（参考数据：，，） 17．某临街店铺在窗户上方安装如图1所示的遮阳棚，其侧面如图2所示，遮阳棚展开长度，遮阳棚前端自然下垂边的长度，遮阳棚固定点距离地面高度，遮阳棚与墙面的夹角．某一时刻，太阳光线与地面夹角，求遮阳棚在地面上的遮挡宽度的长（结果精确到）．（参考数据：，，，） 18．【课本再现】 （1）如图1，在锐角中，为证明成立，小明给出了的证明过程如下： 如图，过点作于点， 在中，，， 在中，，， ，． 请继续完成的证明过程． 【迁移应用】 （2）如图2，位于贵阳市东山山体公园的东山寺塔，有着“贵阳第一观景台”的美称．如图3，某测量队想测量东山寺塔的高度，他们在塔底的正东方的点处测得塔顶的仰角为，然后从点处出发，沿着南偏西的方向行进了到达点（三点位于同一水平面内），且点在点南偏东方向上．根据以上信息，求东山寺塔的高度．（结果精确到；参考数据：，，） 19．【问题情境】 在我们的生活中，处处都蕴含着数学．小刚所在的数学社团开展了一项关于学校门锁的调查研究．他们发现，学校的门锁主要有两类：一类是常见的防盗门锁（如图①），另一类是洗手间内的旋转门锁（如图②）． 【问题提出】 数学社团的同学们画出了两种类型门锁“工作”时的平面示意图． 图③是图①门锁工作时的平面结构图，锁身可以看作由，和矩形组成，且 ，圆心是倒锁按钮点 ，若 的弓形高，，此时可求出图③中圆心到的距离． 图④是图②门锁的工作简化图，锁芯O固定在门边右侧，在自然状态下，把手竖直向下，底端到达处，把手绕锁芯旋转一定角度，使得把手底端正好卡在门边点处，此时．将绕点O顺时针旋转得到，过点作于点．若 所在圆的半径，此时可求出的长度．(参考数据： ，，） 【问题解决】 (1)请求出图③中圆心到的距离； (2)请求出图④中的长度(结果保留小数点后一位)． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2026年广东中考数学专题复习（锐角三角函数的应用三大类型） 参考答案 一、项目学习表格类： 1．（1）解：延长交于点，则由题意可知：，，，， 在中，， ∴； 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴； 答：该纪念碑的高度为； （2）解：该数学兴趣小组要写出一份完整的课题活动报告，除上表中的项目外，还需要补充误差分析与改进建议，总结与反思等项目． 2．解：设测角仪高度米． ，， 四边形是矩形， (米)，． 在中，，， ， ． ，， 四边形是矩形， (米)，． 在中，，， ， ． ， (米)． 答：校徽的长度约为米． 3．解：（1）如图，过点作，垂足为点，过点作于点， 则，． 由题意，得． ， ， ， ． 又， ． ，，， 四边形是矩形， ． 即树枝的边缘点到树干的距离为． （2）在中，，， ， 树枝的长约为． 4．解：（1）设抛物线的解析式为， 将点，代入得， ，解得， 抛物线的解析式为； （2）由（1）知，， 根据对称性可得， 设点的坐标为， 根据题意得，， ， ， 解得，（不合题意，舍去）， ，， ， ； （3）作直线的平行线，使它与抛物线相切于点，分别交轴，轴于点，，过点作，垂足为，如图所示， ，光线所在的直线解析式为， 设直线的解析式为， 联立， 整理得， 直线与抛物线相切， 方程只有一个根， ， 解得， 直线的解析式为， 令，则， ， ， 射灯射出的光线与地面成角， ， ，， ， 即光线与抛物线之间的距离为米． 二、方位角与视角应用类： 5．（1）解：如图，过点作于点． 设． 由题意可知，， ， ， ． 在中，， 解得， ∴渔船在航行过程中到灯塔的最短距离约为海里； （2）解：在中，， ， ， （小时）（分钟） 从，经过分钟是，在之前能到达， ∴不改变航行速度，渔船能在浓雾到来前到达码头． 6．（1）解：方案一： 由题意可得：，，，， ∴点M到甲村的最短距离为， ∵点M到乙村的最短距离为， ∴将供水站建在点M处时，管道沿，线路铺设的长度之和最小， 即最小值为； （2）解：方案二：如图，作点M关于射线的对称点，则， 连接交于点P，， ∴， ∴， ∴， 结合题意可得：，，， ∴， ∴， 在中， ， ， ∴， ∴P点与D点重合，即过D点， 在线段上任取一点，连接，，， 则， ∵， ∴把供水站建在乙村的D点处，管道沿，线路铺设的长度之和最小， 即最小值为． （3）解：方案三：作点M关于射线的对称点，作于N点，交于点G，交于点H，连接，则， ∴为点到的最短距离，即， ∵，， ∴， 在中，， ∴， ∴，， ∵， ∴N，D两点重合，即过D点， 在中，，， ∴ 在线段上任取一点，过作于点， 连接，， 显然， ∴把供水站建在甲村的G处，管道沿，线路铺设的长度之和最小，即最小值为． （4）解：综上：， ∴供水站建在M处，所需铺设的管道长度最短． 7．（1）解：村庄在点北偏东方向上，村庄N在点北偏东方向上， 、； （2）解：过点N作于点E，过点M作于点C，于点D，则四边形是矩形， 、， 在中，、， （千米），（千米）， 在中，千米、， （千米），（千米）， 在中，（千米）、（千米）， （千米）， 答：两村庄、之间的距离为千米． 8．解：设米，由题意可知四边形和四边形为矩形，则米． 在中，，， 则． 在中，，， 则． ，即，解得， （米）． 答：该收费站的高度约为14米． 9．（1）解：作交于点D，如图1所示 由题意可知： ∴ ∴ ∴ 在中， ∴小岛C到航线的距离为海里； （2）解：∵ ∴这艘渔船继续向东追赶鱼群，会有进入危险区的可能 设M为开始进入危险区的位置，N为离开危险区的位置，如图2所示： 即 ∵， ∴， 在中， ∴ ∴可穿过危险区的时间为：（小时） ∴渔船进入危险区，那么经过小时可穿过危险区． 10．解：如图，延长交于点F． 由题意，得四边形为矩形． ，． 在中，，， ． 在中，，， ． ． 设， ， ． ． 解得． 答：点A到地面的距离的长约为10.2米． 11．（1）解： （2）解：设， 在中， ∴ 在中， ∴ ∵ ∴ ∴ 解得： 答：炮楼的高度为米 三、生活实践应用类： 12．解：如图，过作水平线，过作该水平线的垂线，垂足为E 根据题意得：，，， ∴ ∵， ∵是的中点， ∴， ∵， ∴ 在中：， ∴点A距地面高度． 13．（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵，分米， ∴分米， 答：的长为分米； （2）解：如图，作于点， 则点上升的高度为的长， ∵，，， ∴， ∴， ∵，， ∴分米， 答：点上升的高度为分米． 14．（1）解：如图1，过点作，垂足为点． 米，， 是等边三角形， ． 点是的中点， （米）， （米）， 在中，（米）， 此人离地面（）的高度约为米． （2）如图2，过点作，垂足为点． 当时． 米， ． 米， （米）， 在中，（米）； 当时． ， ． 在中，（米）． 综上所述，在安全使用范围下，折叠梯顶端到地面的距离范围约为米米． 15．（1）解：由题意得，在中，，， ， ∴． ∴的长度约为； （2）解：如图，过点作，垂足为，交于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴． ∴点到台面的距离约为． 16．解：如图，过点C作于点，过点B作于点，过点作于点G，反向延长射线交于点H，则，， 在中，，，， ∴，， ∴， ∵， ∴， 在中，，， ∴， ． 即吊篮的边沿点C到地面的距离为． 17．解：过点作于，延长交于，如图所示： ， 四边形是矩形， 则， ∵在中，，，， ∴， ， ， ， ， ∴， ∵在中，，，， ∴， 遮阳棚在地面上的遮挡宽度的长为． 18．解：（1）如图，过作于点， 在中， ， ， 在中， ， ， ， ， ． （2）如图，根据题意，，， ， 由（1）的结论得， 即， ， 在中， ， ． 答：东山寺塔的高度为． 19．（1）解：如图，连接，延长交 于点，设圆的半径为， 由题意可知，， ∴，， ∵， ∴弓形高，， ∴，， 在直角中，， ∴， 解得， ∴． 答：圆心F 到的距离为． （2）解：如图，延长，交于点， 由题意可知，，， 在直角中，， ∴， ∵由绕点O顺时针旋转得到， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在直角中，， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴． 答：的长度约为． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $