2026年中考数学一轮复习《二次函数》同步综合达标测试题

2026年春九年级数学中考一轮复习《二次函数》同步综合达标测试题（附答案） 一、单选题（满分24分） 1．已知点，均在抛物线上，则，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 2．若二次函数的图象经过点，则方程的解为（   ） A． B． C．或 D．或 3．将抛物线向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得到的抛物线为（    ） A． B． C． D． 4．已知抛物线（b，c为常数）经过点，且不经过第三象限．当时，函数的最大值与最小值之差为16，则b的值为（ ） A．3 B．2 C．3或1 D．2或6 5．如图为喷泉某一截面的水流可看作关于y轴对称的两条抛物线，右侧水流的竖直高度与距水管的水平距离之间满足，则的长为（   ） A． B． C． D． 6．画二次函数的图象时，先列表得到自变量x与函数值y的部分对应值： x … 0 1 … y … 2 m 2 n … 则下列结论：①若，则函数图象的开口向上； ②关于x的方程的两个根是和1； ③点在一次函数的图象上； ④； ⑤若图象与x轴无交点，则． 以上结论正确的个数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 7．如图，二次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点B，对称轴为直线，下列四个结论： ； ； ； ；其中正确结论的个数为（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 8．如图，在中，的面积为，点从点出发，以的速度沿路线匀速移动，同时，点从点出发，以的速度沿路线匀速移动，直到两个点都到达终点即停止运动，若点的运动时间为的面积为，则关于的函数的大致图像是（   ）． A． B． C． D． 二、填空题（满分24分） 9．已知函数的图象与坐标轴有两个交点，则的值为____． 10．二次函数（a，b，c是已知数，且）的x与y的部分对应值如表，则当时，___ ． x … 0 1 2 3 … y … 7 6 7 … 11．抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），点在抛物线上，且点的横坐标为2，若点为轴上非原点的一点，且为等腰三角形，则点的坐标为______． 12．二次函数的部分图象如图所示，其对称轴为直线，若该抛物线与轴的一个交点为，则由图象可知，不等式的解集是______． 13．如图，一块材料的形状是锐角三角形，边，高，把它加工成矩形零件，使矩形的一边在上，其余两个顶点分别在、上，这个矩形的最大面积是______． 14．如图，抛物线与轴相交于点，，与轴相交于点，过点作轴，点在抛物线上，则________． 15．如图，已知平行四边形顶点的坐标为，点在轴上，且轴，过，，三点的抛物线的顶点坐标为，则抛物线的表达式是__________． 16．定义一种新函数：形如的函数叫做“鹊桥”函数．已知某“鹊桥”函数（如图所示）的图象，若图象与直线有四个交点，则的取值范围是_____． 三、解答题（满分72分） 17．抛物线经过，两点． (1)当时，求抛物线的表达式； (2)求一元二次方程的根； (3)若点，在抛物线上，且，求的取值范围． 18．加强劳动教育，落实五育并举．某中学在当地政府的支持下，建成了一处劳动实践基地，年计划将其中的土地全部种植甲、乙两种蔬菜，经调查发现：甲种蔬菜种植成本(元/)与其种植面积的函数关系如图所示，其中；乙种蔬菜的种植成本为元/． (1)求与之间的函数关系式： (2)学校如何分配甲、乙两种蔬菜的种植面积才能使总种植成本最小？最小种植成本是多少元？ 19．如图，在中，，，，动点P、Q分别从点A、B同时出发，点P以的速度沿向终点B运动，点Q以的速度沿向终点A运动．过的中点D作交于点E．将绕着的中点顺时针旋转得到，点P的对应点为M，设四边形的面积为，点P的运动时间为． (1)_________，_________； (2)当点M落在边上时，求t的值； (3)求S与t之间的函数关系式． 20．图1为音乐喷泉，喷头的高度在垂直地面的方向上随着音乐变化而上下移动．不同高度的喷头喷出来的水呈抛物线型或抛物线的一部分，但形状相同，最高高度也相同，水落地点都在喷水管的右侧．图2是当喷水头在地面上时（喷水头最低），其抛物线形水柱的示意图，水落地点离喷水口的距离为，水柱最高点离地面．图3是某一时刻时，水柱形状的示意图．为喷水管，为水的落地点，记长度为喷泉跨度．如图4，安全通道在线段上，若无论喷头高度如何变化，水柱都不会进入上方的矩形区域，则称这个矩形区域为安全区域． (1)在图2中，以为原点，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，求出抛物线的函数表达式． (2)在图3中，若喷水管最高伸长到，求此时喷泉跨度的长． (3)在（2）的条件下，在图4中，现在需要一条宽为的安全通道，则安全区域的高度约为多少米？（精确到） 21．如图，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)若点是该抛物线上一动点，求面积的最大值； (3)若函数的最大值与最小值的差为，求出的值； (4)若点是坐标平面内一动点，请直接写出的最小值及此时点的坐标． 22．如图，已知抛物线与轴交于点，点（点在点的左侧），与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)求直线的解析式； (3)点是第一象限内抛物线上的一个动点（与点，不重合），过点作轴于点，交直线于点，连接、，当的面积为时，求点的横坐标． 23．如图，抛物线与x轴交于、两点，与y轴交于点C，连接，D为第一象限内抛物线上一动点，过点D作于点E，与交于点F，设点D的横坐标为m． (1)求抛物线的表达式和C点坐标； (2)当线段的长度最大时，求D点的坐标； (3)抛物线上是否存在点D，使得以点O，D，E为顶点的三角形与相似？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由． 参考答案 1．解：抛物线解析式为， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线， ∵， ∴当时，随的增大而减小， ∵点，均在抛物线上，且， ∴． 故选：A 2．解：∵方程的解是二次函数与直线交点的横坐标， 已知其中一个交点为， 二次函数的对称轴为， 设另一个交点横坐标为， 由二次函数的对称性得， 解得， ∴方程的解为或， 故选：D． 3．解：∵二次函数图像的平移遵循“左加右减，上加下减”的规律， ∴将抛物线向左平移1个单位长度，得到的抛物线为， 再将该抛物线向下平移2个单位长度，得到的抛物线为，即． 故选：C． 4．解：∵抛物线（b，c为常数）经过点， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为， ∴抛物线的对称轴为直线，且开口向上， 当时，，即此时抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴， ∵抛物线不经过第三象限， ∴抛物线的顶点在x轴上或在x轴的上方， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵抛物线开口向上， ∴当，且当时，函数有最小值，最小值为， 当时，则，解得， 此时当时，函数有最大值，最大值为， ∴， 解得或（舍去）； 当时，则，解得， 此时当时，函数有最大值，最大值为， ∴， 解得或（舍去）； 当时，，即此时抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴，且对称轴在y轴右侧，故此时函数图象一定经过第三象限，不符合题意； 当时，则抛物线解析式为， ∵， ∴当时，函数有最大值，最大值为，当时，函数有最小值，最小值为0， 此时不满足函数的最大值与最小值之差为16； 综上所述，b的值为1或3， 故选：C． 5．解：当时，， 解得，， ∴， ∵喷泉某一截面的水流可看作关于y轴对称的两条抛物线， ∴， ∴， 即的长为， 故选：A． 6．B 【分析】本题先根据表格中对称点确定二次函数对称轴，再结合二次函数的性质、方程与函数的关系、判别式等知识点逐一验证每个结论． 【详解】解：∵当时，时， ∴二次函数图象的对称轴为， ∴，即， 又∵时，代入得， ①若，∵， ∴，即，函数图象开口向下，故①错误， ②∵时，根据对称性，与关于对称轴对称的点为， ∴时，即方程的两个根是和，故②正确， ③∵，点即，代入得右边为，左边为，， ∴点不在的图象上，故③错误， ④∵，， ∴， 又∵，，代入得，故④正确， ⑤若图象与轴无交点，则判别式， 代入，得， 即，解得，故⑤正确， 综上，正确的结论有②④⑤，共3个， 故选：B． 7．C 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，根据开口向上，可得，根据对称轴计算公式可得，根据抛物线与y轴的交点位置可得，据此可判断①②；根据对称性可得抛物线与x轴的另一个交点的坐标为，则当时，，据此可判断③；根据抛物线与x轴的交点个数，据此可判断④． 【详解】解：函数图象开口方向向上， ， 对称轴为直线， ∴， ∴，即，故②正确 抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴， ， ，故①错误； 二次函数的图象与x轴交于点，对称轴为直线， ∴抛物线与x轴的另一个交点的坐标为， ∴由函数图象可知，当时，， ∴，故③错误； 抛物线与x轴有两个不同的交点， ∴，故④正确； 综上所述，正确的有②④， 故选：C． 8．B 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质、勾股定理、正弦的定义、二次函数的性质等知识点，掌握数形结合思想是解题的关键． 如图：过C作于D，根据题意可得，；然后再分当点P在上、、点P在上三种情况分别求得函数解析式，进而确定函数图像即可解答． 【详解】解：如图：过C作于D， 在中，的面积为， ∴，， ∴，解得：， ∴； 如图：当点P在上时，即时，此时，过P作于E， ∵，即， ∴的面积为，即函数图像是关于y轴对称、开口向上，上的一部分； 当时，，即点P与点C重合，点Q与点B重合，的面积与的面积相等，即； 如图：当点P在上时，即时，此时，点Q与点B重合，，过P作于E， ∵，即， ∴的面积为，即函数图像是y随x增大而减小的一次函数，在上的一部分． 综上，B选项符合题意． 故选B． 9．0，1，2或3 【分析】本题主要考查一元二次方程与函数的关系，分两种情况讨论：①函数为一次函数；②函数为二次函数，其中又分两种子情况：与x轴有一个交点，或图象经过原点．针对每一种情况，分别求出a的值． 【详解】解：当函数为一次函数时，二次项系数为零，即，解得，此时，与坐标轴有两个交点，符合条件． 当函数为二次函数时（），需进一步讨论： ①若图象与x轴有一个交点，则判别式 ， 即， 解得或； ②若图象经过原点，则当时，，解得，此时，与坐标轴有两个交点，符合条件． 综上，的值为0，1，2或3． 故答案为：0，1，2或3． 10． 【分析】本题考查二次函数的性质，熟练掌握关于对称轴对称的点的纵坐标相等是解题的关键．根据表格数据，二次函数对称轴为，利用二次函数的对称性及点，即可求出答案． 【详解】解：由表格可知，当和时，y值均为7， 故对称轴为， ， 由点可得，当时，， 故答案为：． 11．或或 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．令，求得点的坐标，依据分类讨论的思想方法，利用为等腰三角形和等腰三角形的性质进行分类讨论，解答即可得出结论． 【详解】解：令，则， 解得：或． 抛物线与轴交于，两点，点在点的左侧， ， 点的横坐标为2， ， ； ①当时，如图， 过点作于点， ，， ，，， ． 在和中， ， ， ． ，， ， ， ； 结合是等腰三角形，且， ； ②当时，如图， 过点作轴于点， ，， ，，， 设点， 点为轴的正半轴上的一点， ，， ， ， ， ， 解得：， ； ③当时，如图 此时点P与O重合，与题意不符合，故舍去． 综上，当为等腰三角形，则点的坐标为或或． 故答案为：或或． 12． 【分析】本题主要考查了二次函数与不等式组、抛物线与轴的交点．依据题意，由抛物线的对称轴是直线，且与轴的一个交点为，利用对称性可得另一个交点的坐标为，结合抛物线的开口向下，进而可得不等式的解集． 【详解】解：抛物线的对称轴是直线，且与轴的一个交点为， 另一个交点的横坐标为， 即另一个交点的坐标为， 抛物线的开口向下， 不等式的解集是， 故答案为：． 13．2400 【分析】本题考查了相似三角形的应用，二次函数的应用，熟练掌握相似三角形的性质是解答本题的关键．由矩形的性质可得，，进而由得到，，设，则，证明得到，得到，即可得，最后根据二次函数的性质即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴，， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴当时，矩形的面积最大，最大面积是． 故答案为：2400． 14．1 【分析】本题考查了抛物线与坐标轴的交点问题．根据题意得出抛物线的对称轴为直线，根据抛物线与轴相交于点，轴，求得点的坐标，即可得到答案． 【详解】解：抛物线与轴相交于点，， 抛物线的对称轴为直线， 抛物线与轴相交于点， ， 轴，点在抛物线上， ， ， 故答案为：1． 15． 【分析】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求二次函数的解析式，平行四边形的性质， 根据抛物线的对称性求得，根据平行四边形的性质求得A的坐标，然后根据待定系数法即可求得． 【详解】解：∵过B，C，D三点的抛物线的顶点坐标为，轴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵A的坐标为， ∴， 设抛物线为， 代入D的坐标得， 解得， ∴抛物线的函数解析式为． 故答案为：． 16． 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，图象法求参数的范围． 先求得与轴的交点坐标，以及顶点坐标，利用图象法进行求解即可． 【详解】解：当即时，解得或， 由图象可知，图象的对称轴为直线， ∴当时，， ∴当时，函数与函数的图象有4个交点， 即：关于x的方程有四个不相等的实数根， ∴； 故答案为：． 17．(1) (2)， (3)或 【分析】（1）根据抛物线经过的两个轴交点设出交点式，代入给定的，展开化简即可得到抛物线的表达式； （2）先由抛物线与轴的两个交点求出对称轴，利用对称轴公式推导出的关系，将其代入待解的一元二次方程后通过因式分解求解方程的根； （3）抛物线的对称轴为直线，再分(抛物线开口向上)和(抛物线开口向下)两种情况，结合二次函数的性质，开口向上时离对称轴越远函数值越大，开口向下时离对称轴越近函数值越大，分别列出关于的绝对值不等式，求解后结合的正负范围确定最终的取值范围． 【详解】（1）解：∵抛物线经过，两点， ∴可设抛物线的交点式为， 当时，， ∴抛物线的表达式为． （2）解：∵抛物线经过，两点， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴，， 对于一元二次方程，化为， ∵， ∴或，解得，， 即方程的根为，． （3）解：抛物线对称轴为直线， ∵点、在抛物线上，且， 点到对称轴的距离为，点到对称轴的距离为， ∴当时，抛物线开口向上，离对称轴越远函数值越大， 则，解得或， ∴； 当时，抛物线开口向下，离对称轴越近函数值越大， 则，解得， ∴； 综上，的取值范围是或． 18．(1) (2)甲种蔬菜种植面积为，乙种蔬菜种植面积为，最小种植成本是元． 【分析】（1）设与的一次函数解析式，根据图象给出的两个点的坐标代入解析式得到二元一次方程组，解方程组求出和的值，即可得到对应的函数关系式； （2）先设甲种蔬菜种植面积为，进而表示出乙种蔬菜的种植面积，根据成本关系列出总种植成本的表达式，化简得到关于的二次函数，根据二次项系数判断抛物线开口方向并求出对称轴，结合自变量的取值范围，确定在对称轴处取得总种植成本的最小值，最后计算出最小成本和对应的乙种蔬菜种植面积． 【详解】（1）解：设与之间的函数关系式为， 由图象可知，当时，；当时，， 代入得，解得， ∴与之间的函数关系式为； （2）解：设甲种蔬菜种植面积为，则乙种蔬菜种植面积为，总种植成本为元， 由题意得， ∵， ∴抛物线开口向上，对称轴为， 又∵， ∴当时，取得最小值，此时，乙种蔬菜种植面积为， 答：当甲种蔬菜种植面积为，乙种蔬菜种植面积为时，总种植成本最小，最小种植成本是元． 19．(1)；． (2) (3) 【分析】本题考查四边形综合题、平行四边形的判定和性质、菱形的判定和性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题．属于中考压轴题． （1）根据在直角三角形的性质得到，再根据勾股定理求出； （2）作于，交于．先由直角三角形的性质得到， ，再结合图形得到，，，，最后证明，得到，代入列方程即可； （3）由（2）可得四边形是平行四边形，， 当时，与相遇，当时，点P到达终点B，点Q到达终点A，即可分，，三种情况分别画出图形，根据求解即可． 【详解】（1）解：在中，，，， ∴，； （2）解：如图1中，作于，交于．则四边形为矩形， ∵将绕着的中点顺时针旋转得到， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴，，， 由题意， ∴， ∴， ∴， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∵点在上，， ∴， ∴， ∴， 解得． （3）解：由（2）可得四边形是平行四边形，， ∴； 当与相遇时，，即，解得； ∵点P以的速度沿向终点B运动，点Q以的速度沿向终点A运动 ∴当时，点P到达终点终点B，点Q到达终点A， ①当时，与相遇之前，如图， 此时由（2）可得，， ． ②当时，与相遇之后，到达终点之前，如图， 由题意，， ∴， ∴， ∴． ③如图3中，当时，点达到终点， 由题意， ∴， 综上所述，． 20．(1) (2) (3) 【分析】（1）抛物线过原点，可设抛物线解析式为，根据题意，得抛物线的顶点坐标为，，把这两点代入抛物线的解析式，解答即可； （2）两个抛物线的形状相同，则二次项的系数相同，抛物线的最高高度相同，那么两个抛物线顶点的纵坐标也相等，设抛物线解析式为，把代入抛物线解析式，可得抛物线的解析式，进而求解； （3）设点，则点，根据点在过点O的抛物线上，点在过点A的抛物线上，求得纵坐标相等时的m值，代入过点O的抛物线可得纵坐标n的值，即为能够进入该安全区域的最大高度． 本题考查了待定系数法，二次函数的应用，根据二次函数图象的不同特点设出相关函数解析式是解题的关键． 【详解】（1）解：根据题意，建立坐标系如下， 由抛物线经过原点，不妨设抛物线的解析式为， 根据题意，得抛物线的顶点坐标为，， 故， 解得， 故抛物线的解析式为． （2）解：∵抛物线， 新抛物线与该抛物线形状相同，最高高度也相同， ∴设新抛物线的解析式为， ∵新抛物线经过点， ∴， 解得或（舍去）， ∴抛物线的解析式是， 当时，得， 解得或（舍去）， 故此时喷泉跨度的长为． （3）解：根据题意，设点，则点， 根据点在过点O的抛物线上，点在过点A的抛物线上，为能够进入该安全区域的最大高度， 故， 解得， 把代入过点O的抛物线， 得， 故能够进入该安全区域的最大高度约为． 21．(1) (2) (3)或 (4)的最小值为，此时点的坐标为 【分析】（1）将点，代入抛物线表达式，解方程即可； （2）过点作轴的平行线，交于点，用的代数式表示出点和点的坐标，进而表示出．利用割补法将的面积分为竖直的两个小三角形，得到关于的关系式，结合二次函数的性质求出最大值即可； （3）分为区间在对称轴左侧、右侧和经过对称轴三类情况，由二次函数的增减性判断最大值和最小值，构造方程并求解．对于区间经过对称轴的情况，还需细分为处取最大值和处取最大值，解方程可知这两种情况下无解； （4）由点的横纵坐标关系，消去参数后，发现点在直线上，此时符合“将军饮马”模型，作点关于直线的对称点，当、、三点共线时，取得最小值，即，使用勾股定理计算出，点的坐标可通过联立直线和直线求得． 【详解】（1）解：将点，代入，得， ， 解得， ∴抛物线的函数表达式为； （2）解：如图，过点作轴的平行线，交于点， 设直线的函数表达式为， 将，代入，得， ， 解得， ∴直线的函数表达式为， ∵点是该抛物线上一动点， ∴点的坐标为， ∵轴， ∴， ∴点的坐标为， ∵， ∴点在下方， ∴， ， ， ， ， ， ∵， ∴当时，取得最大值； （3）解：在抛物线中，图象开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为， ①当区间在对称轴左侧，即时， ∵， ∴， 在上，随的增大而减小， ∴当时，取得最大值， 当时，取得最小值， ∴， 解得； ②当区间在对称轴右侧，即时， ∴ 在上，随的增大而增大， ∴当时，取得最小值， 当时，取得最大值， ∴， 解得； ③当区间包含对称轴，即时， ∴， 此时二次函数在顶点处取得最小值，即的最小值为， ∵抛物线开口向上， ∴离对称轴越远，函数值越大， 当时， ∵， ∴在处，取得最大值， ∴， 化简，得， 解得，两根均不在的范围内，故舍去； 当时， 同理，在处，取得最大值， ∴， 化简，得， 解得，两根均不在的范围内，故舍去； 综上所述，或． （4）解：∵， ∴，， 两式相加得，即， ∴点在直线上， 如图，作直线，交轴于点，交轴于点，作点关于直线的对称点，连接、、， 将代入，得， ∴点的坐标为， 将代入，得， ∴点的坐标为， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， 将代入，得， ， 解得，， ∴点的坐标为，点的坐标为， ∴，， ∴，， ∵点与点关于对称， ∴，，， ∴，即， ∴点的坐标为， ∵， 又∵， ∴当、、三点共线时，取得最小值，即， 在直角中，， ∴的最小值为， 设直线的函数表达式为， 将点，代入，得， ， 解得， ∴直线的函数表达式为， 联立直线与直线，得， ， 解得， ∴点的坐标为； 综上所述，的最小值为，此时点的坐标为． 【点睛】本题是二次函数的综合题，考查三角形面积最值问题，二次函数区间上的最值问题，线段和最值问题，解第二问的关键是将面积最值转化为线段最值，第三问需要根据对称轴和区间相对位置分类讨论，第四问则使用“将军饮马”模型来解． 22．(1) (2) (3)点的横坐标为或 【分析】（1）将代入求解即可； （2）当时，求出，得出，利用，即可求出直线解析式； （3）设，则 ， 得出，利用，列式求解即可． 【详解】（1）解：抛物线过点， ，   解得， 抛物线解析式为； （2）解：抛物线与轴交于点， 当时，， ， 设直线的解析式为， ∵直线过点，， ， 解得：， 直线的解析式为； （3）解：设，则， ， 的面积为， ， 解得：，， ∵轴于点， 当的面积为时，点的横坐标为或． 23．(1)； (2)； (3)存在，或 【分析】（1）根据待定系数法求解即可； （2）求点的坐标，根据待定系数法求出的解析式，设点D的横坐标为m，则点，则点，则，根据二次函数性质求解即可； （3），则，，以点O，D，E为顶点的三角形与相似，分两种情况：①当时两三角形相似；②当时两三角形相似，求解即可． 【详解】（1）解：由A、B的坐标分别为、， 则抛物线的表达式为：， 解得：，， 故抛物线的表达式为：； 对于，令，则， 故点； （2）解：由点A、C的坐标得直线的表达式为：， 设点D的横坐标为m， 则点，则点， 则， ∵，故有最大值， 此时，点； （3）解：存在，理由：   点，则，， 以点O，D，E为顶点的三角形与相似， 则或，即或， 即或， 解得：或（舍去） 解得或（舍去）， 综上：或． 学科网（北京）股份有限公司 $