2026年中考数学一轮复习《二次函数》同步综合达标测试题

2026年春九年级数学中考一轮复习《二次函数》同步综合达标测试题（附答案） 一、单选题（满分24分） 1．二次函数的最小值是（   ） A． B． C．2 D．3 2．把抛物线先向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得抛物线解析式为（    ） A． B． C． D． 3．标枪是一项技巧与力量相结合的田径运动．在一名运动员投掷标枪后，标枪的飞行路线是一条抛物线．若不考虑空气阻力，标枪的飞行高度（单位：）与水平距离（单位：）之间的函数关系式为，则标枪落地点到运动员的距离为（   ） A． B． C． D． 4．抛物线上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表： x y 由表可知，抛物线与轴的一个交点是，则与轴另一个交点的坐标是（     ） A． B． C． D． 5．从地面竖直向上抛出的小球离地面的高度h（单位；）与小球的运动时间t（单位：）之间满足．则下列选项中正确的是（   ） A．和时，小球离地面的高度相同 B．时，小球到达最高点 C．时，小球回到地面 D．时，小球处于下降阶段 6．已知抛物线部分图象如图所示，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 7．二次函数的图象如图所示，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 8．如图，搭建一座蔬菜大棚，横截面形状为抛物线 （单位：米），施工队计划在大棚正中搭建一个矩形脚手架，已知，则脚手架高为（    ）    A．7米 B．6米 C．5米 D．4米 二、填空题（满分24分） 9．抛物线的顶点坐标是 ． 10．已知直角三角形两条直角边之和为5，则这个直角三角形的面积的最大值为 11．平面直角坐标系中，与抛物线关于原点成中心对称的抛物线的解析式为 ． 12．如图是一座截面图为抛物线的拱形桥，当拱顶离水面2米高时，水面l为4米，则当水面下降2米时，水面的宽度增加 米． 13．已知一元二次方程的一个根为，抛物线的对称轴为直线，则方程的另一个根为 ． 14．一身高的篮球运动员在距篮板处跳起投篮，球在运动员头顶上方处出手．按如图所示的直角坐标系，球在空中运行的路线可以用来描述，那么球出手时，运动员跳离地面的高度为 m． 15．如图，函数的图象是由函数的图象x轴上方部分保持不变，下方部分沿x轴向上翻折而成，若图象与直线有四个交点，则m的取值范围是 ． 16．如图为函数和的图象，则图中阴影部分的面积为 ． 三、解答题（满分72分） 17．已知二次函数，其图象过点． (1)求此二次函数的解析式，并写出顶点C的坐标． (2)设此二次函数与轴交于A（左侧），B（右侧）两点，求出A、B两点坐标及的面积． 18．如图抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点D，抛物线的顶点为C． (1)求的面积； (2)点P是抛物线上一动点，当的面积为6时，求所有符合条件的点P的坐标． 19．已知二次函数． (1)用配方法将化成的形式（要求过程）； (2)在平面直角坐标系中，画出该函数的图像； (3)当时，结合函数图像，直接写出y的取值范围； (4)当时，结合函数图像，直接写出x的取值范围． 20．一个抛物线形拱桥的示意图如图所示，桥的跨度为，支撑桥的是一些等距的立柱，相邻立柱的水平距离为（不考虑立柱的粗细），其中距A点处的立柱的高度为． (1)求正中间的立柱的高度． (2)是否存在一根立柱，其高度恰好是的一半？请说明理由． 思考1：本题如何建立平面直角坐标系，能使计算较为简便？ 思考2：如果以直线为x轴，以点A为原点，建立平面直角坐标系，那么每根立柱上的点的横坐标有什么共同特点？ 21．某茶叶种植基地风景秀丽，每年都吸引全国各地的游客，茶园旅游景区在2023年五一长假期间，共接待游客7万人次，2025年五一长假期间，接待游客8.47万人次． (1)求该茶叶基地景区以2023-2025年五一长假期间接待游客人次的平均增长率； (2)新茶上市时，一茶商在该地收购新茶，茶商经过包装处理试销数日发现，平均每斤茶叶利润为20元，并且每天可售出60斤．进一步根据茶叶市场调查发现，销售单价每增加5元，每天销售量会减少10斤．设销售单价每增加x元，每天售出y斤． ①直接写出y与x的函数关系式：_____； ②求该茶商每天的最大利润． 22．如图，抛物线与轴交于，两点，并经过，交轴于点． (1)请求出抛物线解析式； (2)如图1，连接，点在抛物线上，连接，若，求点的坐标； (3)如图2，直线与抛物线交于点，，连接，分别交轴的正，负半轴于点，，若，求证：直线经过定点，并求出这个定点的坐标． 23．如图，二次函数的图象与轴相交于点和点，交轴于点． (1)求此二次函数的解析式； (2)如图①，设二次函数图象的顶点为，对称轴与轴交于点，求四边形的面积（请在图①中探索）； (3)二次函数图象的对称轴上是否存在点，使得是以为底边的等腰三角形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由（请在图②中探索）； (4)点为抛物线上的一个动点，且横坐标为，点的横坐标为，且线段轴，当线段与抛物线有两个公共点时，请直接写出的取值范围． 参考答案 1．C 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据二次函数的顶点式特征，当开口向上时，函数在顶点处取得最小值． 【详解】解：∵ 的顶点坐标为，且二次项系数， ∴ 函数有最小值，最小值为． 故选：C． 2．A 【分析】本题考查二次函数图象的平移与几何变换．根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可． 【详解】解：由题意得，即． 故选：A． 3．B 【分析】本题考查了二次函数的应用． 标枪落地时高度，解方程求x的值，即落地点到运动员的距离． 【详解】解：标枪落地时， 当时， 方程两边同乘39得 两边同乘： 因式分解得： ∴或 解得：（舍去负值）， 故标枪落地点到运动员的距离为． 故选：B． 4．C 【分析】本题考查抛物线的对称性，解题关键是找到对称轴并应用对称性求点． 根据表中数据，抛物线上的点具有对称性，对称轴为直线 ，利用对称性求另一个交点． 【详解】解：∵点与关于对称轴对称， ∴抛物线的对称轴为直线． 设另一个交点的横坐标为m， ∵抛物线与x轴的一个交点为，且两个交点关于对称轴对称， ∴则， 解得， ∴另一个交点为． 故选：C． 5．D 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，由题意得，当时，，利用待定系数法可得，据此利用二次函数的性质逐一判断即可． 【详解】解：由题意得，当时，， ∴， ∴或（舍去）； ∴， 当时， 当时，， ∴和时，小球离地面的高度不相同，故A说法错误； ∵， ∴当时，有最大值， ∴时，小球到达最高点，故B说法错误； 当时，， ∴时，小球没有回到地面，故C说法错误； ∵，， ∴当时，h随t的增大而减小， ∴当时，小球处于下降阶段，故D说法正确； 故选：D． 6．C 【分析】本题考查了二次函数的对称性，二次函数与不等式，掌握数形结合思想的应用是解题的关键．根据二次函数的对称性得出图象与轴的另一个交点坐标为，结合图象找出图象在轴上方时对应的的取值范围即可得答案． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点坐标为， ∴抛物线与轴的另一个交点坐标为， ∵抛物线开口向下，， ∴． 故选：C． 7．D 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，根据开口方向，对称轴公式和与y轴的交点可得，，据此可判断A；根据当时，，得到，则可推出，据此可判断B；根据对称性推出当时，，则，据此可判断C；根据可判断D． 【详解】解：∵二次函数的图象开口向下，与y轴的交点在y轴的正半轴， ∴， ∵对称轴为直线， ∴， ∴， ∴，故A结论正确，不符合题意； ∵当时，， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴，即，故B结论正确，不符合题意； ∵对称轴为直线， ∵当时，， ∴当时，， ∴， ∴，即，故C结论正确，不符合题意； ∵，， ∴， ∴，故D结论错误，符合题意； 故选：D． 8．B 【分析】本题考查了二次函数的应用问题，设出点的坐标并代入解析式是解题的关键．设，然后用表示点的坐标，将点坐标代入抛物线解析式求出，从而可得到的值． 【详解】解：，矩形脚手架在大棚正中， 设，，则， 点坐标为， 将代入， 得， 解得或（舍）， ， 故选：B． 9． 【分析】r'rrr本题考查了抛物线的顶点坐标．结合得出顶点坐标是，即可作答． 【详解】解：依题意的顶点坐标为， 故答案为：． 10． 【分析】本题考查二次函数的应用，设一条直角边为，则另一条直角边为，则，变形为顶点式，即可求出最值． 【详解】解：设一条直角边为，则另一条直角边为， ， ， 当时，S取最大值， 即这个直角三角形的面积的最大值为． 故答案为：． 11． 【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换，熟练掌握利用顶点坐标求抛物线解析式是解题的关键．先求出抛物线的顶点坐标，再利用关于原点对称的点的坐标特征得到点关于原点的对称点，然后再利用顶点式写出对称后的抛物线解析式． 【详解】解：， 抛物线的顶点为， 点关于原点的对称点为， 抛物线关于原点对称所得新抛物线的解析式为， 故答案为：． 12． 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，根据题意建立平面直角坐标系，求出抛物线的解析式，进而求出当时x的值，则可求出水面下降2米时，水面的宽度，进而可得答案． 【详解】解：如图所示，建立平面直角坐标系，则抛物线的顶点C的坐标为，点A的坐标为， 设抛物线解析式为，则，解得， ∴抛物线解析式为， 当时，， 解得， ∴水面下降2米时，水面的宽度为， ∴水面下降2米时，水面的宽度增加， 故答案为：． 13． 【分析】本题考查了二次函数的对称轴及一元二次方程根与系数的关系，由抛物线对称轴条件得出的值，再根据根与系数的关系求另一根． 【详解】解：抛物线化简为，其对称轴为，代入对称轴得，解得． 对于一元二次方程，设另一根为，根据根与系数的关系，有，解得． 故答案为：． 14．0.2/ 【分析】本题考查了二次函数的应用，求得球出手时运动员的横坐标是解题的关键．求得当时，x的值，进而根据题意求得运动员所在的横坐标，即可求得篮球出手时的高度，进而求得运动员跳离地面的高度． 【详解】解：令，即， 解得，（舍）， 运动员所在的横坐标为：， 当时，， 运动员跳离地面的高度为：， 故答案为：0.2． 15． 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，绝对值函数的图象变换及一次函数与二次函数的交点问题．先分别求出直线与抛物线恰好只有一个交点时和直线恰好经过点时的m的值即可得到答案． 【详解】解：由函数图象可知，的图象经过点，，， ∴，解得， ∴二次函数的解析式为， ∴二次函数关于x对称的函数解析式为， 联立，得， 当直线与抛物线恰好只有一个交点时， 则， ∴， 当直线恰好经过点时，则，解得， ∴由函数图象可知，当时，函数的图象与直线有四个交点， 故答案为：． 16．4 【分析】本题考查二次函数图象的平移、平行四边形的面积等知识，掌握相关知识是解题关键． 连接，根据平移的性质得出阴影部分的面积即可． 【详解】解：各点如图所示，连接， 根据抛物线的对称性和平移可得， 函数的图象是由的图象向上平移一个单位长度得到， ∴, ∴四边形为平行四边形， 由图可知，平行四边形的高为2， ∴阴影部分的面积为， 故答案为：4． 17．(1)，顶点C的坐标为 (2)，的面积为8 【分析】本题主要考查了求二次函数解析式，求二次函数与x轴的交点坐标，求二次函数的顶点坐标，正确求出对应的解析式是解题的关键． （1）利用待定系数法求出函数解析式，进而可得顶点C的坐标； （2）求出函数值为0时x的值，则可得到点A和点B的坐标，再根据可求出对应三角形的面积． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象过点， ∴， 解得， ∴二次函数的解析式为， ∴顶点C的坐标为； （2）解：在中，当时，，解得或， ∴， ∴， ∴． 18．(1)面积为8 (2)符合条件的点P的坐标为或或或 【分析】本题考查了二次函数的综合知识，解题的关键是求得抛物线与坐标轴的交点坐标． （1）求得点的坐标即可求得的面积； （2）设点的坐标为，由的面积为6得到，从而求得，即，求得的值后即可求得点的坐标. 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于A，B两点，抛物线的顶点为C， ，点C到x轴的距离为， ∴当时，，解得，， ，， ， ， 的面积为8． （2）解：设点P的坐标为， 的面积为6， ， ． ∵点在抛物线上， ， 或， 解得，，，， ∴符合条件的点P的坐标为或或或． 19．(1) (2)见解析 (3) (4)或 【分析】本题主要考查了把二次函数化成顶点式、画二次函数图像、二次函数的图像确定函数值和自变量的取值范围等知识点，灵活运用数形结合思想是解题的关键． （1）用配方法把二次函数化为顶点式即可解答； （2）根据题意画出函数图像即可； （3）由函数图像写出符合条件的y的取值范围即可； （4）由函数图像写出符合条件的x的取值范围即可． 【详解】（1）解：用配方法把二次函数化为顶点式可得： ． （2）解：列表如下： x … 0 1 … y … 0 0 … 根据表中数值描点，画图如下： （3）解：由函数图像可得：当时，y的取值范围是． （4）解：由函数图像可得：当时，x的取值范围是或． 20．(1) (2)不存在一根立柱，理由见解析； 【分析】本题考查二次函数的应用，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键， （1）以直线为x轴，以直线为y轴，建立平面直角坐标系，根据题意可得，，设抛物线的解析式为，代入即可得到抛物线的解析式，当时，，即可得到答案； （2）设存在一根立柱的高度是的一半，则，求得，由于相邻立柱之间的间距为米．最中间的立柱在y轴上，根据题意每根立柱上的点的横坐标为的整数倍，由于不是的整数倍，故与题意不符，从而得到结论． 【详解】（1）解：以点O为原点，以所在的直线为x轴，建立直角坐标系，如图， 由题可得：， 设抛物线的解析式为， 解得： ∴， 当时，， ∴正中间的立柱的高度是． （2）解：设存在一根立柱的高度是的一半，即这根立柱的高度是5米． 则， 解得：， ∵相邻立柱之间的间距为米．最中间的立柱在y轴上， 根据题意每根立柱上的点的横坐标为的整数倍， ∴与题意不符， ∴不存在一根立柱，其高度恰好是高度的一半． 思考1：以直线为x轴，以直线为y轴，建立平面直角坐标系，计算较简便； 思考2：由题意，相邻立柱上的点的横坐标为10的整数倍． 21．(1) (2) ①；② 1250元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用（增长率问题）、二次函数的实际应用（利润最值），解题的关键是根据数量关系建立方程或函数模型． （1） 设平均增长率，根据2023和2025年游客人次列一元二次方程求解； （2） ①根据单价增加量与销量减少的关系，列出销量与的函数式；②根据利润公式建立二次函数，配方求最大值． 【详解】（1）解∶设平均增长率为， 由题意得 解得， 即（舍去负根）， 故 平均增长率为． （2）① 单价每增加元，销量减少斤， 故． 故答案为：． ② 设每天利润为元，每斤利润为元， 销量为， 则∶ 当时，取得最大值1250元． 22．(1) (2)或 (3)证明见解析，定点坐标 【分析】（1）使用待定系数法求出抛物线解析式即可； （2）作，垂足为，设点坐标为，可得，．容易证明，则，根据点在轴上下方分别计算出坐标即可； （3）设点坐标为，点坐标为，联立直线与抛物线的方程，根据一元二次方程根与系数的关系求出，．使用待定系数法求出直线的解析式为，从而得到点的坐标为，同理点的坐标为．结合，求出和的关系，进而求出定点的坐标． 【详解】（1）解：将，代入，得， ， 解得， ∴抛物线解析式为； （2）解：作，垂足为，设点坐标为， ①当点在轴上方时，如图， 将代入，得， ∴点坐标为， ∵， ∴，， ∴点坐标为， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 化简，得， 解得，或， 当时，点与点重合，故舍去， ∴，此时点坐标为； ②当点在轴下方时，如图， 同理①可得，，，且， ∴， 化简，得， 解得，或（点与点重合，舍去）， ∴，此时点坐标为； 综上所述，点坐标为或； （3）解：设点坐标为，点坐标为， 当直线与抛物线相交时， ， 化简，得， 由韦达定理可得，，， 设直线的解析式为， 将，代入，得， ， 解得，， ∵点在抛物线上， ∴， 变形，得， ∴，， ∴直线的解析式为， 将代入，得， ∴点的坐标为， 同理可得，点的坐标为， ∵点在轴正半轴，点在轴负半轴， ∴，， ∵， ∴， 化简，得， ∵，， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， 当时，为定值， ∴直线过定点． 【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，一次函数的图象与性质，待定系数法求函数解析式，相似三角形的判定与性质，解一元二次方程，熟练掌握函数与方程的关系是解题关键． 23．(1) (2) (3)点的坐标为 (4)或 【分析】本题考查了二次函数图象与的性质，等腰三角形的判定，勾股定理等知识，解决问题的关键是熟练掌握有关基础知识． （1）将B，C两点坐标代入抛物线的解析式，进一步求解得出结果； （2）连接，将二次函数的解析式配方求得顶点的坐标，令求得A的坐标，从而求得，，的长，再根据求得结果； （3）设，表示出和，根据列出方程求得m的值，进而求得结果． （4）分情况考虑E、F情况，结合线段与抛物线有两个公共点，求得的取值范围． 【详解】（1）解：二次函数的图象与轴交于点，交轴于点， 解得 二次函数的解析式． （2）解：连接， ，二次函数图象的顶点为， ． ，． 由，得 ，． 二次函数的图象与轴相交于点， ． ． （3）解：由点在对称轴上，则设， 由（2）知，， ． 是以为底边的等腰三角形， ． 则． ． 解得． ． （4）解：点为抛物线上的一个动点，且横坐标为， ． 点的横坐标为，且线段轴， 、F纵坐标相等． ． 当时，E、F重合， 解得． 线段与抛物线有两个公共点， 不符合题意． 当时，． 在F左侧．如图 此时，线段与抛物线有一个交点，不符合题意． 当时，． 在F左侧．如图 点关于直线对称点横坐标为 此时，线段与抛物线有两个公共点． ． 当时，． 在F右侧，如图 此时，点关于直线对称点横坐标为． 当与F重合时，线段与抛物线有两个公共点． ，解得． ． 综上，或 学科网（北京）股份有限公司 $