第七章 三角函数单元复习（高效培优讲义）数学人教B版高一必修第三册

第七章 三角函数单元复习 教学目标 1．理解任意角、弧度制定义，掌握角度与弧度互化，能判断象限角、表示终边相同的角。 2．掌握三角函数的定义、符号规律及同角基本关系式，会用诱导公式化简求值。 3．熟悉正余弦正切函数的图像与性质，掌握三角函数图象的平移、伸缩变换方法。 4．能运用三角函数相关知识解决简单的求值、化简、图像变换及性质应用问题。 教学重难点 重点： 1．弧度制与角度制的互化，终边相同角的表示，三角函数的定义及符号判断。 2．同角三角函数的基本关系式、诱导公式的灵活运用，三角函数的图像与核心性质。 3．三角函数图象的平移和伸缩变换规律，能根据要求进行图象变换或求解析式。 难点： 1．任意角概念的理解，终边相同角的集合表示，三角函数定义的灵活应用。 2．诱导公式的记忆与灵活化简，同角关系式中符号的判断及弦切互化技巧。 3．三角函数图象变换中 “先平移后伸缩” 与 “先伸缩后平移” 的区别与应用。 知识点1：角的推广 一、任意角 1．角的概念：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置________到另一个位置所成的图形． 2．角的表示 如图，射线的端点是圆心，它从起始位置按________方向旋转到终止位置，形成一个角，射线分别是角的________和________． “角”或“”可以简记成“________”． （3）角的分类 正角：一条射线绕其端点按________方向旋转形成的角 负角：一条射线绕其端点按________方向旋转形成的角 零角：如果一条射线没有作任何旋转，就称它形成了一个零角 （4）相等角与相反角 ①设角由射线绕端点旋转而成，角由射线绕端点旋转而成．如果它们的旋转方向________且旋转量________，那么就称． ②我们把射线OA绕端点O按________方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为________．角的相反角记为． ③设是任意两个角．我们规定，把角的终边旋转角，这时终边所对应的角是________． ④角的减法可以转化为角的________． 二、象限角和终边相同的角 1．象限角 把角放在平面直角坐标系中，使角的顶点与________重合，角的始边与________重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是________；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限． 2．终边相同的角 所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合________，即任一与角终边相同的角，都可以表示成角与________的和． 温馨提示：（1）为任意角，“”这一条件不能漏； （2） 与中间用“”连接，如可理解成． （3）象限角的表示： 是第一象限角，所以________ 是第二象限角，所以 是第三象限角，所以________ 是第四象限角，所以 【即学即练】 1．（多选）下列命题中错误的是（   ） A．第二象限的角是钝角 B．钝角的补角是第一象限的角 C．小于90°的角是锐角 D．第一象限的角小于第二象限的角 2．已知角，则角为（    ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 知识点2：弧度制 1．角的单位制 （1）角度制：规定1度的角等于周角的________，这种用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制． （2）弧度制：长度等于________的圆弧所对的圆心角叫做1弧度(radian)的角，弧度单位用符号________表示，读作弧度． 2．角度与弧度的换算 角度化弧度 弧度化角度 度数弧度数 弧度数度数 3．扇形的弧长公式及面积公式 弧长公式：________（角度制）、（弧度制） 面积公式：（角度制）、________（弧度制） 【即学即练】 3．若，则为（   ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 4．已知半径为2的扇形的圆心角为，则扇形面积是__________. 知识点3 三角函数的概念 1．任意角的三角函数的定义 前提 如图,设是一个任意角,,它的终边与单位圆交于点 定义 正弦 点的________叫做的正弦,记作,即 余弦 点的________叫做的正弦,记作,即 正切 把点的纵坐标与横坐标的________叫做的正切,记作,即 三角 函数 正弦、余弦、正切都是以角为自变量,以单位圆上的点的坐标或坐标的比值为函数值的函数,将正弦函数、余弦函数、正切函数统称为________,记为 正弦函数；余弦函数 正切函数 温馨提示：（1）在任意角的三角函数的定义中,应该明确是一个任意角． （2）三角函数值是比值,是一个实数,这个实数的大小和所在终边上的位置无关,而由角的________位置决定． 2．三角函数值的符号 如图所示： 正弦：________象限正,________象限负； 余弦：________象限正,________象限负； 正切：________象限正,________象限负． 简记口诀：________ 【即学即练】 5．已知角的终边过点且，则（   ） A．3 B．4 C． D． 6．计算：______. 知识点4 单位圆与三角函数线 1．单位圆与三角函数 在平面直角坐标系中,坐标满足________的点构成的集合,角α的终边与单位圆相交于点,如图,则,则角α的终边与单位圆的交点为________． 2．三角函数线 三角函数线：如图,设单位圆与x轴的正半轴交于点A,与角α的终边交于点P.过点P作x轴的垂线PM,垂足为过点作单位圆的切线交的延长线(或反向延长线)于点.单位圆中的有向线段别叫做角α的正弦线、余弦线、正切线．记作 【即学即练】 7．对于三角函数线，下列说法正确的是（   ） A．对任意角都能作出正弦线、余弦线和正切线 B．有的角的正弦线、余弦线和正切线都不存在 C．任意角的正弦线、正切线总是存在的，但余弦线不一定存在 D．任意角的正弦线、余弦线总是存在的，但正切线不一定存在 8．请作出下列各角的正弦线： (1)； (2)； (3). 知识点5 同角三角函数的基本关系式 （1）平方关系:________. （2）商数关系:________. 这就是说,同一个角的正弦、余弦的平方和等于1,商等于角的正切. 温馨提示:(1)注意“同角”,这里“同角”有两层含义,一是“角相同”,二是对“任意”一个角(在使函数有意义的前提下)都成立,即与角的表达形式无关,如成立,但是就不一定成立. （3）是的简写,读作“的平方”,不能将写成,前者是的正弦的平方,后者是的正弦. （4）注意同角三角函数的基本关系式都是对于使它们有意义的角而言的,对一切________恒成立,而仅对________成立. 【即学即练】 9．已知，且为锐角，则的值为（   ） A． B． C． D． 10．已知，则（   ） A． B． C． D． 知识点6 三角函数的诱导公式 诱导公式一：，________，，其中 诱导公式二：，________，，其中 诱导公式三：，________，，其中 诱导公式四：________，．，________，其中 知识点诠释：（1）要化的角的形式为（为常整数）； （2）记忆方法：“奇________偶________，________看象限”； （3）必须对一些特殊角的三角函数值熟记，做到“见角知值，见值知角”； （4）；． 【即学即练】 11．（    ） A． B． C． D． 12．已知是角终边上的一点，则（    ） A． B． C． D． 知识点7 三角函数的性质与图像 函数 图象 定义域 值域 最值 当时，； 当时， 当时，； 当时，． 既无最大值，也无最小值 周期性 最小正周期为 最小正周期为 最小正周期为 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 单调性 在上是增函数； 在上是减函数． 在上是增函数； 在上是减函数． 在上是增函数． 对称性 对称中心； 对称轴， 既是中心对称图形又是轴对称图形. 对称中心； 对称轴， 既是中心对称图形又是轴对称图形. 对称中心； 无对称轴， 是中心对称图形但不是轴对称图形. 【即学即练】 13．已知函数（其中）的最小正周期为2，则的值为________. 14．在上满足的的取值范围是（   ） A． B． C． D． 知识点8 三角函数的图象变换 由函数的图象通过变换得到（A>0,ω>0）的图象，有两种主要途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”.如下图. 【即学即练】 15．函数，，把与的图象作以下三种变换:①先把图象向右平移个单位，再把所得图象上各点的横坐标缩短到原来的;②先把图象上各点的横坐标压缩到原来的，再把所得图象向左平移个单位；③先把图象向右平移个单位，再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来．在上面三种变换中，能使与重合的变换的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 16．将函数的图像按以下顺序进行变换：①向左平移个单位长度；②横坐标变为原来的，纵坐标不变；③向上平移1个单位长度；④纵坐标变为原来的3倍.可得到的图像，则（    ） A． B． C． D． 题型01 任意角与弧度制概念 例1．已知集合，则（   ） A． B． C． D． 变式1-1．已知平面直角坐标系中，角的始边与轴正半轴重合，终边落在直线上，则满足条件的角的集合是___________． 变式1-2．已知集合第一象限角锐角小于90°的角，则下列关系式中正确的是（   ） A． B． C． D． 变式1-3．已知为小于的正角，这个角的倍与角的终边关于轴对称，那么______． 题型02 根据图形写出角的范围 例2．用弧度制写出终边在阴影部分的角的集合： (1)   (2)   变式2-1．集合中的角所表示的范围（阴影部分）是（   ） A．   B．   C．   D．   变式2-2．用弧度制写出终边在阴影部分的角的集合： （1） （2） 变式2-3．设，B为终边在如图所示阴影部分中的角的集合，求. 题型03 确定n分角与n倍角的象限 例3．已知角α的终边在第四象限，确定下列各角终边所在的象限： (1)； (2)； (3)； (4)． 变式3-1．若是第一象限角，是第三象限角，则构成的集合为（   ） A．（） B．（） C．（） D．（） 变式3-2．（多选）下列结论正确的有（    ） A．若角为锐角，则角为钝角 B．终边在直线上的角的集合是 C．若是第二象限角，则是第一象限角或第三象限角 D．若是第三象限角，则可能是第二象限角 变式3-3．已知角是第三象限角．求： (1)角是第几象限的角． (2)角终边的位置． 题型04 弧长与扇形面积问题 例4．已知扇形的周长为16，面积为15，且圆心角为锐角，则该扇形的半径为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 变式4-1．某扇形的周长为20，圆心角为3弧度，则该扇形的半径为______． 变式4-2．如图为某校数学社团用数学软件制作的“蚊香”．画法如下：在水平直线上取长度为1的线段，作一个等边，然后以点为圆心，为半径逆时针画圆弧交线段的延长线于点（第一段圆弧），再以点为圆心，为半径逆时针画圆弧交线段的延长线于点，再以点为圆心，为半径逆时针画圆弧……以此类推，当得到的“蚊香”恰好有8段圆弧时，“蚊香”的长度为________． 变式4-3．窗花是中国传统民间工艺，承载着吉祥寓意与文化内涵.图1为一张手工制作的扇环形窗花，可视为图2扇形截去扇形所剩余部分.已知，，.则此扇环形窗花的面积为______. 题型05 三角函数的定义及符号的判断 例5．使得有意义的角是（   ） A．第一或第二象限角 B．第二或第三象限角 C．第三或第四象限角 D．第一或第四象限角 变式5-1．已知，则角是（   ） A．第一、二象限角 B．第二、三象限角 C．第二、四象限角 D．第三、四象限角 变式5-2．若角的终边经过点，则（   ） A． B． C． D． 变式5-3．如果角的终边过点，则的值等于（   ） A． B． C． D． 题型06 正、余弦齐次式的计算 例6．已知，则__________. 变式6-1．若，则的值为（   ） A． B． C． D．－2 变式6-2．已知，则___________． 变式6-3．已知，则_____. 题型07 sina±cosa与sina·cosa关系 例7．（多选）已知，且，则（    ） A． B． C． D． 变式7-1．已知，则（   ） A． B． C． D． 变式7-2．已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 变式7-3．已知，，则（   ） A．2 B． C．2或 D．-2 题型08 利用诱导公式化简求值 例8．已知，且是第四象限角，则（   ） A． B． C． D． 变式8-1．已知，则（    ） A．4 B．2 C． D． 变式8-2．已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 变式8-3．已知，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 题型09 三角函数的单调性 例9．（多选）下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间上单调递减的有（   ） A． B． C． D． 变式9-1．下列函数中，在上为减函数的是（   ） A． B． C． D． 变式9-2．函数的单调递减区间是（ ） A． B． C． D． 变式9-3．已知函数的最小正周期为，且在上单调递增，则的取值范围为________. 题型10 三角函数的奇偶性 例10．已知函数的图象关于轴对称，则__________. 变式10-1．已知函数，且，则（    ） A． B． C． D．2 变式10-2．函数是（  ） A．最小正周期为的奇函数 B．最小正周期为的偶函数 C．最小正周期为的奇函数 D．最小正周期为的偶函数 变式10-3．已知函数，写出满足“将函数的图象向左平移个单位长度后得到的图象，为奇函数”的的一个值：_____． 题型11 三角函数的对称性 例11．若函数的一个对称中心为，则函数的一条对称轴为（   ） A． B． C． D． 变式11-1．已知函数（）的最小正周期为，点是其图象的一个对称中心，则的最小值为（） A． B． C． D． 变式11-2．（多选）已知函数的最小正周期为，则图象的对称中心的坐标可能为（   ） A． B． C． D． 变式11-3．若关于的方程在上恰有3个根，则（   ） A． B． C． D． 题型12 三角函数的周期性 例12．若的最小正周期为，则（    ） A．0 B．1 C． D．2 变式12-1．已知下列函数中，最小正周期为的是（    ） A． B． C． D． 变式12-2．已知函数的两个相邻零点间的距离为，则__________. 变式12-3．设，则“”是“存在，使”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 题型13 三角函数的最值与值域 例13．设函数，若对任意的实数x都成立，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 变式13-1．函数在区间上的值域是______． 变式13-2．若函数在上最大值为，则最小值为____________． 变式13-3．求函数，的值域． 题型14 根据函数图象求解析式 例14．如图，某地一天从早上6时至中午14时的温度变化曲线近似满足函数（其中）的关系式，其中点和分别是曲线的最低和最高点，则这段曲线的函数解析式为______. 变式14-1．如图，已知是函数的一个零点，曲线与直线交于A，B两点，若，且，，则________，________． 变式14-2．智能主动降噪耳机工作的原理是通过耳机两端的噪声采集器采集周围的噪声，然后通过主动降噪芯片生成与噪声相位相反、振幅相同的声波来抵消噪声（如图）．已知噪声的声波曲线（其中，，）的振幅为1，周期为，初相位为，则通过主动降噪芯片生成的声波曲线的解析式为____________ 变式14-3．如图所示，将函数的图象向右平移得到的图象，其中和分别是图象上相邻的最高点和最低点，点分别是图象的一个对称中心，若，则的解析式为_____．    题型15 三角函数的图象变换 例15．将函数的图象向右平移个单位后，得到函数的图象，则函数的图象的一条对称轴是（    ） A． B． C． D． 变式15-1．函数的图象向右平移得到曲线，的图象向左平移得到曲线，若曲线与正好关于轴对称，且都经过原点，则（   ） A． B． C． D．1 变式15-2．把函数的图象向左平移个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标扩大到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，则函数的解析式可能是（    ） A． B． C． D． 变式15-3．（多选）将函数的图象向左平移个单位，再将横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象，则（    ） A．函数的图象的一条对称轴为直线 B．函数的图象的一个对称中心为 C．函数的周期为 D．不等式的解集为 一、单选题 1．已知角的终边绕原点O逆时针旋转后与角的终边重合，且，则的取值可以为（   ） A． B． C． D． 2．已知是第一象限角，则下列一定为正值的是（        ） A． B． C． D． 3．若，则（    ） A． B． C． D． 4．把函数的图象上的所有点的横坐标变为原来的两倍（纵坐标不变），再将函数图象向左平移个单位长度后，所得图象对应的函数为（   ） A． B． C． D． 5．若，则＝（   ） A． B． C． D． 6．函数与图象的交点个数为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 7．已知函数在上不单调，则函数图象的对称中心为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 8．已知函数，则（   ） A． B．的最小正周期为 C．图象的对称中心为 D．不等式的解集为 9．下列函数中，周期为的是（    ） A． B． C． D． 10．已知函数的部分图像如图所示，且阴影部分的面积为，则下列说法正确的有（   ） A．函数的最小正周期为 B．为函数的一个对称轴 C．要得到函数，需将函数向右平移个单位长度 D．函数在区间上单调递增 三、填空题 11．已知，函数在区间上严格增，则的取值范围是________. 12．已知函数的部分图象如图所示，其中，函数在不单调，则a的取值范围为______． 四、解答题 13．已知． (1)化简 (2)若a是第二象限角，且，求的值． (3)若，求的值． 14．已知函数的最小正周期为． (1)若，，求的值； (2)将函数的图象向右平移个单位，再向上平移1个单位，得到的图象对应函数记为，求函数在上的值域． 15．为监测风力发电机叶片的运行状态，在其中一片叶片的尖端安装一个传感器（可视为点P），在稳定运行阶段，叶片可视作在匀速转动.如图，点P在时刻t（单位：秒）距离地面的高度y（单位：米）满足（，，），已知叶片长40米，旋转中心O距离地面80米，每片叶片转一圈需要12秒，点P的起始位置在最低点处. (1)求A，，，b； (2)在叶片转动的一圈内，试问有多长时间点P距离地面的高度不低于100米？ 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 第七章 三角函数单元复习 教学目标 1．理解任意角、弧度制定义，掌握角度与弧度互化，能判断象限角、表示终边相同的角。 2．掌握三角函数的定义、符号规律及同角基本关系式，会用诱导公式化简求值。 3．熟悉正余弦正切函数的图像与性质，掌握三角函数图象的平移、伸缩变换方法。 4．能运用三角函数相关知识解决简单的求值、化简、图像变换及性质应用问题。 教学重难点 重点： 1．弧度制与角度制的互化，终边相同角的表示，三角函数的定义及符号判断。 2．同角三角函数的基本关系式、诱导公式的灵活运用，三角函数的图像与核心性质。 3．三角函数图象的平移和伸缩变换规律，能根据要求进行图象变换或求解析式。 难点： 1．任意角概念的理解，终边相同角的集合表示，三角函数定义的灵活应用。 2．诱导公式的记忆与灵活化简，同角关系式中符号的判断及弦切互化技巧。 3．三角函数图象变换中 “先平移后伸缩” 与 “先伸缩后平移” 的区别与应用。 知识点1：角的推广 一、任意角 1．角的概念：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形． 2．角的表示 如图，射线的端点是圆心，它从起始位置按逆时针方向旋转到终止位置，形成一个角，射线分别是角的始边和终边． “角”或“”可以简记成“”． （3）角的分类 正角：一条射线绕其端点按逆时针方向旋转形成的角 负角：一条射线绕其端点按顺时针方向旋转形成的角 零角：如果一条射线没有作任何旋转，就称它形成了一个零角 （4）相等角与相反角 ①设角由射线绕端点旋转而成，角由射线绕端点旋转而成．如果它们的旋转方向相同且旋转量相等，那么就称． ②我们把射线OA绕端点O按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角．角的相反角记为． ③设是任意两个角．我们规定，把角的终边旋转角，这时终边所对应的角是． ④角的减法可以转化为角的加法． 二、象限角和终边相同的角 1．象限角 把角放在平面直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限． 2．终边相同的角 所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合，即任一与角终边相同的角，都可以表示成角与整数个周角的和． 温馨提示：（1）为任意角，“”这一条件不能漏； （2） 与中间用“”连接，如可理解成． （3）象限角的表示： 是第一象限角，所以 是第二象限角，所以 是第三象限角，所以 是第四象限角，所以 【即学即练】 1．（多选）下列命题中错误的是（   ） A．第二象限的角是钝角 B．钝角的补角是第一象限的角 C．小于90°的角是锐角 D．第一象限的角小于第二象限的角 【答案】ACD 【详解】对于A，角是第二象限角，而它不是钝角，A错误； 对于B，钝角的补角是锐角，而锐角是第一象限角，因此钝角的补角是第一象限的角，B正确； 对于C，角小于角，而角不是锐角，C错误； 对于D，是第一象限角，角是第二象限角，D错误. 故选：ACD 2．已知角，则角为（    ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【答案】B 【详解】已知，故角为第二象限角． 知识点2：弧度制 1．角的单位制 （1）角度制：规定1度的角等于周角的，这种用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制． （2）弧度制：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度(radian)的角，弧度单位用符号rad表示，读作弧度． 2．角度与弧度的换算 角度化弧度 弧度化角度 度数弧度数 弧度数度数 3．扇形的弧长公式及面积公式 弧长公式：（角度制）、（弧度制） 面积公式：（角度制）、（弧度制） 【即学即练】 3．若，则为（   ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【答案】B 【详解】由，得，因此为第二象限角. 故选：B 4．已知半径为2的扇形的圆心角为，则扇形面积是__________. 【答案】 【详解】因为扇形的半径为2，圆心角为，所以扇形面积是. 知识点3 三角函数的概念 1．任意角的三角函数的定义 前提 如图,设是一个任意角,,它的终边与单位圆交于点 定义 正弦 点的纵坐标叫做的正弦,记作,即 余弦 点的横坐标叫做的正弦,记作,即 正切 把点的纵坐标与横坐标的比值叫做的正切,记作,即 三角 函数 正弦、余弦、正切都是以角为自变量,以单位圆上的点的坐标或坐标的比值为函数值的函数,将正弦函数、余弦函数、正切函数统称为三角函数,记为 正弦函数；余弦函数 正切函数 温馨提示：（1）在任意角的三角函数的定义中,应该明确是一个任意角． （2）三角函数值是比值,是一个实数,这个实数的大小和所在终边上的位置无关,而由角的终边位置决定． 2．三角函数值的符号 如图所示： 正弦：一二象限正,三四象限负； 余弦：一四象限正,二三象限负； 正切：一三象限正,二四象限负． 简记口诀：一全正、二正弦、三正切、四余弦 【即学即练】 5．已知角的终边过点且，则（   ） A．3 B．4 C． D． 【答案】B 【详解】角的终边过点且， 所以且，解得. 故选：B. 6．计算：______. 【答案】 【详解】原式. 故答案为： 知识点4 单位圆与三角函数线 1．单位圆与三角函数 在平面直角坐标系中,坐标满足的点构成的集合,角α的终边与单位圆相交于点,如图,则,则角α的终边与单位圆的交点为． 2．三角函数线 三角函数线：如图,设单位圆与x轴的正半轴交于点A,与角α的终边交于点P.过点P作x轴的垂线PM,垂足为过点作单位圆的切线交的延长线(或反向延长线)于点.单位圆中的有向线段别叫做角α的正弦线、余弦线、正切线．记作 【即学即练】 7．对于三角函数线，下列说法正确的是（   ） A．对任意角都能作出正弦线、余弦线和正切线 B．有的角的正弦线、余弦线和正切线都不存在 C．任意角的正弦线、正切线总是存在的，但余弦线不一定存在 D．任意角的正弦线、余弦线总是存在的，但正切线不一定存在 【答案】D 【详解】终边在轴上的角的正切线不存在，故A、C不正确； 对任意角都能作出正弦线、余弦线，故B不正确；D正确． 8．请作出下列各角的正弦线： (1)； (2)； (3). 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3)答案见解析 【分析】 【详解】（1）如图所示，正弦线为 （2）如图所示，正弦线为 （3）因为，所以的正弦线和的正弦线一样，如图所示，正弦线为 nn 知识点5 同角三角函数的基本关系式 （1）平方关系:. （2）商数关系:. 这就是说,同一个角的正弦、余弦的平方和等于1,商等于角的正切. 温馨提示:(1)注意“同角”,这里“同角”有两层含义,一是“角相同”,二是对“任意”一个角(在使函数有意义的前提下)都成立,即与角的表达形式无关,如成立,但是就不一定成立. （3）是的简写,读作“的平方”,不能将写成,前者是的正弦的平方,后者是的正弦. （4）注意同角三角函数的基本关系式都是对于使它们有意义的角而言的,对一切恒成立,而仅对成立. 【即学即练】 9．已知，且为锐角，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，且为锐角， 所以. 故选：A 10．已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为， 所以． 故选：C 知识点6 三角函数的诱导公式 诱导公式一：，，，其中 诱导公式二：，，，其中 诱导公式三：，，，其中 诱导公式四：，．，，其中 知识点诠释：（1）要化的角的形式为（为常整数）； （2）记忆方法：“奇变偶不变，符号看象限”； （3）必须对一些特殊角的三角函数值熟记，做到“见角知值，见值知角”； （4）；． 【即学即练】 11．（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】. 12．已知是角终边上的一点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意得． 知识点7 三角函数的性质与图像 函数 图象 定义域 值域 最值 当时，； 当时， 当时，； 当时，． 既无最大值，也无最小值 周期性 最小正周期为 最小正周期为 最小正周期为 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 单调性 在上是增函数； 在上是减函数． 在上是增函数； 在上是减函数． 在上是增函数． 对称性 对称中心； 对称轴， 既是中心对称图形又是轴对称图形. 对称中心； 对称轴， 既是中心对称图形又是轴对称图形. 对称中心； 无对称轴， 是中心对称图形但不是轴对称图形. 【即学即练】 13．已知函数（其中）的最小正周期为2，则的值为________. 【答案】 【详解】由题意可得，解得. 14．在上满足的的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】如图，在轴正半轴上取，过点作轴的垂线交单位圆于两点， 由图知满足的角的范围如图中阴影部分所示，而， 所以的取值范围是． 知识点8 三角函数的图象变换 由函数的图象通过变换得到（A>0,ω>0）的图象，有两种主要途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”.如下图. 【即学即练】 15．函数，，把与的图象作以下三种变换:①先把图象向右平移个单位，再把所得图象上各点的横坐标缩短到原来的;②先把图象上各点的横坐标压缩到原来的，再把所得图象向左平移个单位；③先把图象向右平移个单位，再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来．在上面三种变换中，能使与重合的变换的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【详解】对于①，先把图象向右平移个单位，得到， 再把所得图象上各点的横坐标缩短到原来的，得到，故不重合， 对于②，先把图象上各点的横坐标压缩到原来的，得到， 再把所得图象向左平移个单位；，重合； 对于③，先把图象向右平移个单位，得到， 再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来．得到，重合； 故选：C. 16．将函数的图像按以下顺序进行变换：①向左平移个单位长度；②横坐标变为原来的，纵坐标不变；③向上平移1个单位长度；④纵坐标变为原来的3倍.可得到的图像，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】函数向左平移个单位长度， 得到， 横坐标变为原来的，纵坐标不变，得到， 向上平移1个单位长度，得到， 纵坐标变为原来的3倍，得到， 则，又， 解得， 则. 故选：A. 题型01 任意角与弧度制概念 例1．已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为， 当时， ，此时； 当时，，此时； 综上所述，. 变式1-1．已知平面直角坐标系中，角的始边与轴正半轴重合，终边落在直线上，则满足条件的角的集合是___________． 【答案】 【详解】终边落在直线上，则或， 所以， 故答案为：. 变式1-2．已知集合第一象限角锐角小于90°的角，则下列关系式中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题知第一象限角， 锐角，小于90°的角 对于A，三个集合的范围完全不同，故错误； 对于B，，故错误； 对于C，，，但，故错误； 对于D，，故正确. 故选：D 变式1-3．已知为小于的正角，这个角的倍与角的终边关于轴对称，那么______． 【答案】或 【详解】依题意，可知角与角终边相同，故，所以， 又因为，即，可得， 因为，故或， 当时，；当时，. 故或. 故答案为：或. 题型02 根据图形写出角的范围 例2．用弧度制写出终边在阴影部分的角的集合： (1)   (2)   【答案】(1) (2) 【详解】（1）边界对应射线所在终边的角分别为，， 所以终边在阴影部分的角的集合为. （2）边界对应射线所在终边的角分别为，，，， 所以终边在阴影部分的角的集合为 变式2-1．集合中的角所表示的范围（阴影部分）是（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【详解】当时，，， 此时表示的范围与表示的范围一样， 当时，，， 此时表示的范围与表示的范围一样. 故选：C. 变式2-2．用弧度制写出终边在阴影部分的角的集合： （1） （2） 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）先写出边界对应射线所在终边的角，再根据图象写范围，注意虚实线； （2）先写出边界对应射线所在终边的角，再根据图象写范围，最后求并集得结果. 【详解】（1）边界对应射线所在终边的角分别为 所以终边在阴影部分的角的集合为 （2）边界对应射线所在终边的角分别为 所以终边在阴影部分的角的集合为 = 【点睛】本题考查终边相同的角，考查基本分析求解能力，属基础题. 变式2-3．设，B为终边在如图所示阴影部分中的角的集合，求. 【答案】 【详解】图中的阴影部分表示终边由逆时针旋转到的所有角， 故， 又， . 题型03 确定n分角与n倍角的象限 例3．已知角α的终边在第四象限，确定下列各角终边所在的象限： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)的终边在第二或第四象限 (2)的终边在第三或第四象限，也可在轴的负半轴上 (3)的终边在第二､第三或第四象限 (4)的终边在第二或三或第四象限，也可在轴的负半轴上 【详解】（1）由于为第四象限角，所以， 所以， 当时，，终边在第二象限， 当时，，终边在第四象限， 所以的终边在第二或第四象限； （2）由（1）得， 所以的终边在第三或第四象限，也可在轴的负半轴上. （3）由（1）得， 当时，，终边在第二象限， 当时，，终边在第三象限， 当时，，终边在第四象限， 所以的终边在第二､第三或第四象限； （4）由（1）得，即， 所以的终边在第二或三或第四象限，也可在轴的负半轴上. 变式3-1．若是第一象限角，是第三象限角，则构成的集合为（   ） A．（） B．（） C．（） D．（） 【答案】C 【详解】记，由是第一象限角，则， ， 又是第三象限角，的终边必须落在上述区间内第三象限部分， 即，解得， 构成的集合为（）． 故选：C． 变式3-2．（多选）下列结论正确的有（    ） A．若角为锐角，则角为钝角 B．终边在直线上的角的集合是 C．若是第二象限角，则是第一象限角或第三象限角 D．若是第三象限角，则可能是第二象限角 【答案】BC 【详解】若取为锐角，但也是锐角，A错误； 终边落在直线上的角的集合是， 终边落在直线上的角的集合是， 所以终边在直线上的角的集合是，B正确； 若是第二象限角，则，， 所以，，所以是第一象限角或第三象限角，C正确； 若是第三象限角，则， 所以. 当时，； 当时，； 当时，， 所以可能是第一、三或四象限角，不可能是第二象限角，D错误. 故选：BC. 变式3-3．已知角是第三象限角．求： (1)角是第几象限的角． (2)角终边的位置． 【答案】(1)第二象限或第四象限的角 (2)第一象限或第二象限或轴的正半轴 【分析】 【详解】（1）因为是第三象限角，所以， 所以， 当为偶数时，设，则， 此时为第二象限角， 当为奇数时，设，则， 此时为第四象限角. 综上所述，是第二象限或第四象限的角． （2）因为， 所以， 即角终边在第一象限或第二象限或轴的正半轴． 题型04 弧长与扇形面积问题 例4．已知扇形的周长为16，面积为15，且圆心角为锐角，则该扇形的半径为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【详解】设扇形的半径为，圆心角为，圆心角为锐角，， 由扇形的周长为16，①， 由面积为15，即②， ①②解方程组，解得或， 当时，，而，舍去； 当时，，满足； 综上可得，. 故选：C. 变式4-1．某扇形的周长为20，圆心角为3弧度，则该扇形的半径为______． 【答案】4 【详解】设该扇形的弧长为，半径为. 因为扇形的周长为20，圆心角为3弧度. ，解得. 所以扇形的半径为4. 变式4-2．如图为某校数学社团用数学软件制作的“蚊香”．画法如下：在水平直线上取长度为1的线段，作一个等边，然后以点为圆心，为半径逆时针画圆弧交线段的延长线于点（第一段圆弧），再以点为圆心，为半径逆时针画圆弧交线段的延长线于点，再以点为圆心，为半径逆时针画圆弧……以此类推，当得到的“蚊香”恰好有8段圆弧时，“蚊香”的长度为________． 【答案】 【详解】由题意知，每段圆弧的圆心角均为， 第一段圆弧长度为， 第二段圆弧长度为， 第三段圆弧长度为， 第四段圆弧长度为， 第五段圆弧长度为， 第六段圆弧长度为， 第七段圆弧长度为， 第八段圆弧长度为， 故得到的“蚊香”恰好有8段圆弧时，“蚊香”的长度为． 故答案为：. 变式4-3．窗花是中国传统民间工艺，承载着吉祥寓意与文化内涵.图1为一张手工制作的扇环形窗花，可视为图2扇形截去扇形所剩余部分.已知，，.则此扇环形窗花的面积为______. 【答案】 【详解】设圆心角为，则， 已知，，所以，解得. 因为，所以. 所以此扇环形窗花的面积为： 故答案为：. 题型05 三角函数的定义及符号的判断 例5．使得有意义的角是（   ） A．第一或第二象限角 B．第二或第三象限角 C．第三或第四象限角 D．第一或第四象限角 【答案】A 【详解】要使函数有意义，则，即需或， 当时，是第一象限角；当时，是第二象限角， 所以是第一或第二象限角. 变式5-1．已知，则角是（   ） A．第一、二象限角 B．第二、三象限角 C．第二、四象限角 D．第三、四象限角 【答案】B 【详解】由已知， 若，则是第一、二象限角；若，则是第三、四象限角. 若，则是第一、三象限角；若，则是第二、四象限角. 因为，所以与异号， 情况一：且，此时是第二象限角， 情况二：且，此时是第三象限角， 综上，角是第二、三象限角. 变式5-2．若角的终边经过点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意，角的终边经过点， 所以. 变式5-3．如果角的终边过点，则的值等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由，则， 又，所以． 题型06 正、余弦齐次式的计算 例6．已知，则__________. 【答案】 【详解】由知. 对等式的左边分子、分母同时除以得 ，解得. 故答案为：. 变式6-1．若，则的值为（   ） A． B． C． D．－2 【答案】A 【详解】由，可得， 则 变式6-2．已知，则___________． 【答案】 【详解】 故答案为：. 变式6-3．已知，则_____. 【答案】 【详解】解法一：， ，， ， ，. 解法二： ， ，解得， . 故答案为：. 题型07 sina±cosa与sina·cosa关系 例7．（多选）已知，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】对于选项A：因为，，则，， 所以，故A正确； 对于选项B：，故B错误； 对于选项C：因为， 所以，故C正确； 对于选项D：因为， 所以，故D错误． 变式7-1．已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为， 所以，即， 所以， 所以，所以，所以， 又因为， 所以， 所以. 故选：B. 变式7-2．已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，所以， 即， 则. 变式7-3．已知，，则（   ） A．2 B． C．2或 D．-2 【答案】A 【详解】因为，① 所以， 解得，又， 所以， 又， 所以，② 联立①②解得， 所以. 题型08 利用诱导公式化简求值 例8．已知，且是第四象限角，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以. 因为是第四象限角， 所以. 变式8-1．已知，则（    ） A．4 B．2 C． D． 【答案】D 【详解】． 变式8-2．已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】若，则，又，所以或，则， 所以当时，“”推不出“”； 若，，则，可得，则， 所以当时，“”可以推出. 综上，“”是“”的必要不充分条件. 变式8-3．已知，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】令，则． 因为，所以， 所以. 题型09 三角函数的单调性 例9．（多选）下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间上单调递减的有（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】对于A，因函数在上单调递减，故在区间上单调递增，故A错误； 对于B，函数的最小正周期为，且在上单调递减，故B正确； 对于C，函数的最小正周期为，故C错误； 对于D，因函数的最小正周期为，则函数的最小正周期为， 当时，，函数在上单调递减且函数值为正， 故函数在上单调递减，即D正确. 变式9-1．下列函数中，在上为减函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】当时，，，，. 在上递减，在上单调递增. 所以在上递减． 故选：D. 变式9-2．函数的单调递减区间是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为， 令，， 解得，， 所以函数的单调递减区间为． 故选：C 变式9-3．已知函数的最小正周期为，且在上单调递增，则的取值范围为________. 【答案】 【详解】因为的最小正周期为，所以，解得， 所以， 当，， 因为，所以， 因为在上单调递增， 所以，解得. 故答案为：. 题型10 三角函数的奇偶性 例10．已知函数的图象关于轴对称，则__________. 【答案】 【详解】因为函数的图象关于轴对称，故为偶函数， 所以.又，所以. 故答案为： 变式10-1．已知函数，且，则（    ） A． B． C． D．2 【答案】B 【详解】因为， 故，而，故， 故选：B. 变式10-2．函数是（  ） A．最小正周期为的奇函数 B．最小正周期为的偶函数 C．最小正周期为的奇函数 D．最小正周期为的偶函数 【答案】A 【详解】因为. 所以，， 所以是最小正周期为的奇函数. 故选：A 变式10-3．已知函数，写出满足“将函数的图象向左平移个单位长度后得到的图象，为奇函数”的的一个值：_____． 【答案】（答案不唯一，满足即可） 【详解】将函数的图象向左平移个单位长度后， 得到的图象， 又因为函数为奇函数，则，解得， 故可取的一个值为． 故答案为：（答案不唯一，满足即可）. 题型11 三角函数的对称性 例11．若函数的一个对称中心为，则函数的一条对称轴为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】结合正余弦函数的图象可知， 的对称中心和的对称轴在一条直线上， 所以若的对称中心为， 则函数的一条对称轴为． 故选：B. 变式11-1．已知函数（）的最小正周期为，点是其图象的一个对称中心，则的最小值为（） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，得，令，则，容易验证当时，最小，此时. 故选：A 变式11-2．（多选）已知函数的最小正周期为，则图象的对称中心的坐标可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】由题意可得，解得（负值舍去），则， 令，则， 当时，，当时，，故、都是图象的对称中心，故B、D正确； 令，解得，由 不符，故不是图象的对称中心， 令，解得，由 不符，故不是图象的对称中心，故A、C 错误. 变式11-3．若关于的方程在上恰有3个根，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 如图作出的函数图象，其中，是函数的对称轴， 当与的有三个交点时，有，， 所以，， 所以. 题型12 三角函数的周期性 例12．若的最小正周期为，则（    ） A．0 B．1 C． D．2 【答案】A 【详解】因为的最小正周期为， 所以，即， 所以. 故选：A 变式12-1．已知下列函数中，最小正周期为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】画的图象，如图， 由图可知函数的最小正周期为，故A正确； 对于B，函数周期为，故B错误； 对于C，设，则，， 所以，故C错误； 对于D，对于函数，当时，， 当时，， 所以，其最小正周期为，故D错误. 故选：A. 变式12-2．已知函数的两个相邻零点间的距离为，则__________. 【答案】或 【详解】令，可得， 因为函数的两个相邻零点间的距离为，则，解得， 若，则，可得； 若，则，可得； 综上所述：或 变式12-3．设，则“”是“存在，使”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】或， 所以“”是“存在，使”的必要不充分条件， 故选：B. 题型13 三角函数的最值与值域 例13．设函数，若对任意的实数x都成立，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由对任意的实数x都成立，得在处取得最大值， 则，解得， 所以的最小值是. 故选：B 变式13-1．函数在区间上的值域是______． 【答案】 【详解】当时，， ，即的值域为． 故答案为：． 变式13-2．若函数在上最大值为，则最小值为____________． 【答案】 【详解】由图象知在为平口单峰， 两边小部分不影响，极小值点， 根据破解结论得． 故答案为：. 变式13-3．求函数，的值域． 【答案】． 【详解】当时， ，设， 则，， 而在上单调递减， 所以，即， 所以求得值域为． 题型14 根据函数图象求解析式 例14．如图，某地一天从早上6时至中午14时的温度变化曲线近似满足函数（其中）的关系式，其中点和分别是曲线的最低和最高点，则这段曲线的函数解析式为______. 【答案】 【详解】由图像可知，从时至时的曲线恰好是函数的半个周期， 得，； 又，解得； 由“五点作图”原理知，解得. 故这段曲线的函数解析式为， 故答案为：. 变式14-1．如图，已知是函数的一个零点，曲线与直线交于A，B两点，若，且，，则________，________． 【答案】 4 / 【详解】令，结合两点处的单调性可得， 又，所以，又， 可得，因此， 又，且在处函数图象单调递增， 因此，解得， 又，所以. 故答案为：4；； 变式14-2．智能主动降噪耳机工作的原理是通过耳机两端的噪声采集器采集周围的噪声，然后通过主动降噪芯片生成与噪声相位相反、振幅相同的声波来抵消噪声（如图）．已知噪声的声波曲线（其中，，）的振幅为1，周期为，初相位为，则通过主动降噪芯片生成的声波曲线的解析式为____________ 【答案】 【详解】因为噪声的声波曲线（其中，，）的振幅为1， 则，周期为，则，初相位为，， 所以噪声的声波曲线的解析式为， 所以通过主动降噪芯片生成的声波曲线的解析式为． 故答案为： 变式14-3．如图所示，将函数的图象向右平移得到的图象，其中和分别是图象上相邻的最高点和最低点，点分别是图象的一个对称中心，若，则的解析式为_____．    【答案】 【详解】将函数的图象向右平移个单位长度得的图象， 由于分别是图象的一个对称中心，结合图象可知． ，故， 由于，所以， 进而可得，故， 解得，故． 故答案为：. 题型15 三角函数的图象变换 例15．将函数的图象向右平移个单位后，得到函数的图象，则函数的图象的一条对称轴是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题可知，， 令，得， 取，得，故A正确； 不存在使得等于，故B、C、D错误. 故选：A. 变式15-1．函数的图象向右平移得到曲线，的图象向左平移得到曲线，若曲线与正好关于轴对称，且都经过原点，则（   ） A． B． C． D．1 【答案】C 【详解】由题意，， ， 因为曲线与都经过原点， 所以，， 则，且， 又因为曲线与正好关于轴对称， 所以， 则，即， 联立，则，即， 则. 变式15-2．把函数的图象向左平移个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标扩大到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，则函数的解析式可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】将函数的图象上所有点的横坐标缩小到原来的（纵坐标不变）， 即得函数的图象，再将函数的图象向右平移个单位长度， 即得函数的图象. 故选：C. 变式15-3．（多选）将函数的图象向左平移个单位，再将横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象，则（    ） A．函数的图象的一条对称轴为直线 B．函数的图象的一个对称中心为 C．函数的周期为 D．不等式的解集为 【答案】BD 【详解】将函数的图象向左平移个单位长度，得到， 将所得图象上所有点的横坐标扩大为原来的2倍，得到函数， 选项 A：的对称轴为，​不是它的对称轴，A 错误； 选项 B：的对称中心为，当时，对称中心为，B 正确； 选项 C：的周期为，不是​，C 错误； 选项 D：解不等式，得：， 所以不等式的解集为，D 正确. 一、单选题 1．已知角的终边绕原点O逆时针旋转后与角的终边重合，且，则的取值可以为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为角的终边绕原点O逆时针旋转后与角的终边重合， 所以， 又因为， 所以， ，得. A：令，显然该方程无整数解，本选项不符合题意； B：令，显然该方程无整数解，本选项不符合题意； C：令，显然该方程无整数解，本选项不符合题意； D：令，显然该方程有整数解，本选项符合题意； 2．已知是第一象限角，则下列一定为正值的是（        ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于A，由题终边可能在第一象限，轴正半轴，或第二象限，则可能为正值，负值或0，故A错误； 对于B，终边可能在第一象限或第三象限，则可能为正值或负值，故B错误； 对于C，由B分析，可能为正值或负值，故C错误； 对于D，由B分析，一定为正值，故D正确. 故选：D 3．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由，得， 所以. 故选：C 4．把函数的图象上的所有点的横坐标变为原来的两倍（纵坐标不变），再将函数图象向左平移个单位长度后，所得图象对应的函数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】把函数的图象上的所有点的横坐标变为原来的两倍（纵坐标不变）得到函数， 再将函数图象向左平移个单位长度后，所得图象对应的函数． 5．若，则＝（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为， 所以 故 ， 因为， 又， 所以. 6．函数与图象的交点个数为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【详解】两个函数都是偶函数，所以两个函数图象的交点也关于轴对称， 的最大值为1，，，，， 如图可知，当时，两个函数的图象有3个交点，根据对称性可知，时，两个函数的图象也有3个交点，所以共有6个交点.    7．已知函数在上不单调，则函数图象的对称中心为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 在上单调递增，不合题意； 在上单调递增，不合题意； 在上单调递增，不合题意； 图象如图，满足题意，它的对称中心为．故选A． 二、多选题 8．已知函数，则（   ） A． B．的最小正周期为 C．图象的对称中心为 D．不等式的解集为 【答案】AD 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，最小正周期，故B错误； 对于C，由得，，则的对称中心为，故C错误； 对于D，由得，则， 解得，，故D正确. 9．下列函数中，周期为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【详解】正弦函数的最小正周期为，若周期为， 则，解得． 故选：CD． 10．已知函数的部分图像如图所示，且阴影部分的面积为，则下列说法正确的有（   ） A．函数的最小正周期为 B．为函数的一个对称轴 C．要得到函数，需将函数向右平移个单位长度 D．函数在区间上单调递增 【答案】ABD 【详解】如图，， 由对称性可知，阴影部分的面积等于矩形的面积，即， 解得，函数的最小正周期为，故A正确； ，解得，又函数过点， ，解得， ，， 则，又，为最小值， 所以为函数的一个对称轴，故B正确； 要得到函数，需将函数向右平移个单位长度，故C错误； ，， 因为在上单调递增，且， 所以函数在区间上单调递增，故D正确． 故选：ABD． 三、填空题 11．已知，函数在区间上严格增，则的取值范围是________. 【答案】 【详解】因为，，因此： ， 又因为函数在区间上严格增， 所以且,得且, 所以当时，,得；当时，由,所以不等式组无解； 当时，由,不等式组无解； 综上所述，，故的取值范围为. 12．已知函数的部分图象如图所示，其中，函数在不单调，则a的取值范围为______． 【答案】 【详解】由，得函数的最小正周期，解得， 由图象得，且，则，， 当时，，，则， 当时，，，则， 由函数在不单调，得，解得， 所以的取值范围是. 故答案为： 四、解答题 13．已知． (1)化简 (2)若a是第二象限角，且，求的值． (3)若，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】 【详解】（1）； （2）a是第二象限角，且，， 则； （3），． 14．已知函数的最小正周期为． (1)若，，求的值； (2)将函数的图象向右平移个单位，再向上平移1个单位，得到的图象对应函数记为，求函数在上的值域． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）函数的最小正周期为， ，解得， 即， ， ，则， ，则， ， ， ， ，即， ∴. （2）， 的图象向右平移个单位后得到的函数为，即， 再向上平移1个单位得到的图象对应函数为， ， 当时，， 令，则， 则在区间上单调递减，在区间上单调递增，则， ， ， 函数在上的值域为． 15．为监测风力发电机叶片的运行状态，在其中一片叶片的尖端安装一个传感器（可视为点P），在稳定运行阶段，叶片可视作在匀速转动.如图，点P在时刻t（单位：秒）距离地面的高度y（单位：米）满足（，，），已知叶片长40米，旋转中心O距离地面80米，每片叶片转一圈需要12秒，点P的起始位置在最低点处. (1)求A，，，b； (2)在叶片转动的一圈内，试问有多长时间点P距离地面的高度不低于100米？ 【答案】(1)； (2)4s 【分析】 【详解】（1）根据意义可知，即，解得； 因为每片叶片转一圈需要12秒，即周期为s，，所以； 由点P的起始位置在最低点处，即可知时，， 即，可得，又，所以. （2）由（1）可知； 令，可得，即， 因此可得 由题意可得，所以， 因此或， 解得，所以； 即在叶片转动的一圈内，有4s时间点P距离地面的高度不低于100米. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $