第3单元 团体操表演——因数与倍数（知识清单）数学青岛版五四制四年级下册

第3单元 团体操表演——因数与倍数 单元知识清单 一、因数与倍数的意义 1.定义：在整数除法中（商是整数且没有余数），被除数是除数和商的倍数，除数和商是被除数的因数。 例： ，则12是3和4的倍数，3和4是12的因数。 2.相互依存性：因数和倍数是相互依存的，不能单独说某个数是因数或倍数。 3.研究范围：只在非0自然数范围内研究因数和倍数。 二、找一个数的因数 1.方法： 列举法：从1开始，成对列举能整除该数的所有整数。 例：找18的因数：1×18=18，2×9=18，3×6=18，所以18的因数有1,2,3,6,9,18。 集合表示法：用大括号列出所有因数，如18的因数：{1,2,3,6,9,18}。 2.特征：一个数的因数个数是有限的，最小因数是1，最大因数是它本身。 三、找一个数的倍数 1.方法： 列举法：用该数依次乘1,2,3,...，所得的积都是它的倍数。 例：找5的倍数：5×1=5，5×2=10，5×3=15，...，所以5的倍数有5,10,15,...。 2.特征：一个数的倍数个数是无限的，最小倍数是它本身，没有最大倍数。 四、2、3、5的倍数特征 1.2的倍数特征：个位上是0,2,4,6,8的数（即偶数）。 例：2,14,20,36都是2的倍数。 奇数：不是2的倍数的数，个位上是1,3,5,7,9。 2.5的倍数特征：个位上是0或5的数。 例：5,10,25,40都是5的倍数。 3.3的倍数特征：一个数各位上的数字之和是3的倍数。 例：12（1+2=3）、27（2+7=9）、135（1+3+5=9）都是3的倍数。 4.同时是2和5的倍数：个位上必须是0。 五、质数与合数 1.质数（素数）：一个数只有1和它本身两个因数。 最小的质数是2（唯一的偶质数），其他质数都是奇数（如3,5,7,11,...）。 2.合数：一个数除了1和它本身，还有其他因数。 最小的合数是4，合数至少有3个因数（如4的因数有1,2,4）。 3.1的特殊性：1既不是质数也不是合数（只有1个因数）。 六、易错点提示 1.因数与倍数的范围：必须是整数除法且没有余数，小数和分数不在研究范围内。 2.质数与合数的判断：质数只有2个因数，合数至少有3个因数，1既不是质数也不是合数。 3.特殊数的倍数特征：同时是2、3、5的倍数，个位必须是0且各位数字之和是3的倍数（如30,60,90）。 题型一：因数和倍数的认识 【例1】一个数的因数一定小于它的倍数。( ) 【答案】× 【分析】根据一个数的因数的个数是有限的，最小的因数是1，最大的因数是它本身，一个数的倍数的个数是无限的，最小的倍数是它本身，所以一个数的因数一定小于或等于它的倍数。 【详解】因为一个数的最大因数是它本身，最小的倍数是它本身，如12的最大因数是12，最小倍数是12，它的最大因数和最小倍数相等，所以一个数的因数一定小于它的倍数的说法错误。 故答案为：× 【练1】因为3×4＝12，所以3是因数，4是因数，而12是倍数。( ) 【答案】× 【分析】因数和倍数是两个相互依存的概念，不能单独存在。在叙述时，一定要说明哪个数是哪个数的因数或倍数，而不能说成某数是因数或倍数。 【详解】因为3×4＝12，所以说3是12的因数，4也是12的因数，12是3和4的倍数。 故答案为：× 题型二：找一个数的倍数及倍数的特征 【例2】一个自然数比20小，它既是3的倍数，又有因数5，这个自然数是( )。 【答案】15 【分析】根据题意可知，这个自然数既是3的倍数，也是5的倍数；根据求一个数的倍数，就把这个数依次乘1、2、3……，分别找出20以内3的倍数和5的倍数，即可解答。 【详解】20以内3的倍数有：3、6、9、12、15、18 20以内5的倍数有：5、10、15、20 20以内既是3的倍数又是5的倍数的是：15 所以，一个自然数比20小，它既是3的倍数，又有因数5，这个自然数是15。 【练2】8的倍数有（　　）个。 A．4 B．5 C．无数 【答案】C 【分析】求一个数的倍数的方法：用这个数分别乘自然数1，2，3，4，5⋯，所得积就是这个数的倍数，因为自然数的个数是无限的，所以一个数倍数的个数是无限的，据此解答。 【详解】由分析可知：8的倍数有无数个； 故答案为：C 【点睛】本题主要考查倍数的意义，注意一个数倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是他本身。 题型三：根据倍的特征解决问题 【例3】丽丽买来一袋苹果，苹果的个数既是30的因数，又是5的倍数。丽丽可能买了多少个苹果？ 【答案】丽丽可能买了5个、10个、15个或30个苹果。 【分析】根据找一个因数的方法先找出30的因数，接着从30的因数中找出5的倍数，即找出个位是0或5的数，据此解答。 【详解】 30的因数有1、2、3、5、6、10、15、30。 30的因数中是5的倍数的数有5、10、15、30。 答：丽丽可能买了5个、10个、15个或30个苹果。 【练3】在体育课上，有32名同学参加实心球训练，要平均分成五组，至少要再来几名同学？或者离开几名同学？两种情况下，每组各有几名同学？ 【答案】 至少要再来3名同学，每组有7名同学；或者离开2名同学，每组有6名同学。 【分析】先计算32名同学平均分成五组时的余数，根据余数确定至少再来或离开的同学数量，进而求出每组的人数。 【详解】（名）（名） 因为平均分组时剩余2名同学，所以让这2名同学离开，此时总人数为：（名） 每组人数为：（名） 因为5 组每组6名剩余2名同学，要使每组人数增加1人（即每组7人），需要的总人数为：（名） 至少再来的同学数为：（名） 每组人数为：（名） 答：至少要再来3名同学，每组有7名同学；或者离开2名同学，每组有6名同学。 题型四：2、3、5倍数的特征 【例4】25□是一个三位数，当□里填( )时，它既是2的倍数又是5的倍数，也就是10的倍数；当□里填( )时，它既是2的倍数又是3的倍数，也就是6的倍数。 【答案】 0 2或8 【分析】一个数既是2的倍数，又是5的倍数，则这个数的个位数字是0；末尾数字是0、2、4、6、8的数为偶数；3的倍数特征：各个数位上的数字之和是3的倍数，这个数字就是3的倍数。据此填空即可。 【详解】根据2、3、5的倍数特征可知：25□是一个三位数，当□里填0时，它既是2的倍数又是5的倍数，也就是10的倍数；当□里填2或8时，它既是2的倍数又是3的倍数，也就是6的倍数。 【练4】1至100的数中，同时是2、3、5倍数的数有（    ）个。 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据题干可知，2的倍数的数的特征是：个位上是0、2、4、6、8的数；5的倍数的数的特征是：个位上是0或5的数都是5的倍数；同时是2和5的倍数的数的特征是：个位上是0的数；3的倍数的数的特征是：各位上的数字之和是3的倍数，这个数就是3的倍数；据此找出满足的数即可解此题。 【详解】1至100的数中，个位上是0的数有：10、20、30、40、50、60、70、80、90、100；这些数同时是2和5的倍数。 上述这些数满足3的倍数的特征的有：30、60、90； 由此可知，同时是2、3、5倍数的数有：30、60、90。 故答案为：C 题型五：运算性质（奇数和偶数） 【例5】a是非0自然数，若a＋3的和是奇数，a一定是（    ）。 A．质数 B．合数 C．奇数 D．偶数 【答案】D 【分析】一个数，如果只有1和它本身两个因数，那么这样的数叫做质数； 一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，那么这样的数叫做合数。 整数中，是2的倍数的数叫做偶数，不是2的倍数的数叫做奇数。 奇数与偶数的运算性质：偶数＋偶数＝偶数，奇数＋奇数＝偶数，偶数＋奇数＝奇数。 【详解】A．设a为质数3，3＋3＝6，6是偶数，不符合题意； B．设a为合数9，9＋3＝12，12是偶数，不符合题意； C．设a为奇数1，1＋3＝4，4是偶数，不符合题意； D．设a为偶数2，2＋3＝5，5是奇数，符合题意。 所以，a是非0自然数，若a＋3的和是奇数，a一定是偶数。 故答案为：D 【点睛】本题考查质数与合数、奇数与偶数的意义以及奇数与偶数的运算性质，可以通过举例得到答案。 【练5】洋洋到蛋糕店买面包，甜甜圈2元一个，奶油面包3元一个，三明治10元一个，她买了一些甜甜圈和三明治，付给营业员50元，找回了11元，你能不计算，很快帮洋洋判断找回的钱数对吗，为什么？ 【答案】不对；理由见详解 【分析】根据偶数的倍数是偶数，偶数＋偶数＝偶数，偶数－偶数＝偶数，进行分析。 【详解】找得不对；理由：偶数的倍数是偶数，偶数＋偶数＝偶数，偶数－偶数＝偶数。因为2和10都是偶数，所以无论买了几个甜甜圈和三明治，所花的钱数都是偶数，所以找回的钱数也是偶数，11是奇数，所以找得不对。 【点睛】关键是掌握奇数和偶数的运算性质。 题型六：9的倍数的特征 【例6】一个数是9的倍数，它（    ）是3的倍数。 A．一定 B．不一定 C．不可能 【答案】A 【分析】根据题意，因为9是3的倍数（9＝3×3），所以任何能被9整除的数也一定能被3整除。例如：9、18、27等9的倍数，除以3后均无余数。因此，一个数是9的倍数，它“一定”是3的倍数。以此答题即可。 【详解】根据分析可知： 一个数是9的倍数，它一定是3的倍数。 故答案为：A 【练6】要使4aa5这个四位数是9的倍数，则a可以是（ ）。 A．1 B．3 C．6 D．9 【答案】D 【分析】各个数位上数字之和是9的倍数，则这个数就是9的倍数，据此即要解答。 【详解】要使4＋a＋a＋5的和就是9的倍数，则a＝0或a＝9，所以要使4aa5这个四位数是9的倍数，则a可以是9。 故答案为：D 题型七：找一个数的因数及因数的特征 【例7】因为，所以91只有13和7两个因数。( ) 【答案】 × 【分析】一个数的因数包括1和它本身，以及能整除它的其他整数。91可以分解为13×7，但1和91本身也是它的因数，所以91的因数有1、7、13、91，据此解答。 【详解】根据分析可知，91的因数有1、7、13、91，原题表达错误。 故答案为：× 【练7】若甲数＝2×3×7，则甲数的因数共有（    ）个。 A．8 B．6 C．7 D．3 【答案】A 【分析】由题意得，甲数＝2×3×7＝6×7＝42。可以用列乘法算式的方法来找甲数的全部因数，然后数出它的因数的个数即可。 【详解】由分析得，甲数＝42。1×42＝42，2×21＝42，3×14＝42，6×7＝42，所以甲数的因数有：1，2，3，6，7，14，21，42，一共有8个因数。 故答案为：A 题型八：根据因数的特征解决问题 【例8】算一算，拼一拼。用24个边长1厘米的小正方形能拼成多少种不同的长方形？写出你的思考过程。 【答案】4种；思考过程见详解 【分析】因数：如果a×b＝c（a、b、c是不为0的自然数），那么a、b是c的因数，如：4×9＝36，4和9是36的因数，据此先找出24的所有因数，即24＝1×24＝2×12＝3×8＝4×6，这些因数组合分别对应长方形的长和宽，据此确定能拼成的长方形的个数。 【详解】24＝1×24＝2×12＝3×8＝4×6 长方形的长可能是24厘米，宽是1厘米；长可能是12厘米，宽是2厘米；长可能是8厘米，宽是3厘米，长可能是6厘米，宽是4厘米；所以可以拼成4种不同的长方形。 答：用24个边长1厘米的小正方形能拼成4种不同的长方形。 【练8】张大叔要把120个石榴装盒，他现有的包装盒有四种规格；A种包装每盒装4个，B种包装每盒装6个，C种包装每盒装8个，D种包装每盒装9个。选用哪种包装恰好能把120个石榴装完？符合要求的包装有几种？ 【答案】A、B、C；3种 【分析】要判断选用哪种包装恰好能把120个石榴装完，就是看120能否被每种包装每盒所装的个数整除，若能整除则该种包装符合要求。 【详解】A种：120÷4＝30（盒），没有余数，说明120能被4整除，所以A种包装符合要求。 B种：120÷6＝20（盒），没有余数，说明120能被6整除，所以B种包装符合要求。 C种：120÷8＝15（盒），没有余数，说明120能被8整除，所以C种包装符合要求。 D种：120÷9＝13（盒）……3（个），有余数，说明120不能被9整除，所以D种包装不符合要求。 答：选用A、B、C包装恰好能把120个石榴装完，符合要求的包装有3种。 题型九：因数和倍数的综合应用 【例9】今年春节的时候，爸爸用微信给乐乐发了一个红包。红包里的钱数既是63的因数，又是9的倍数。爸爸给乐乐的红包里可能是多少元？ 【答案】9元或63元 【分析】先找出9的倍数，再根据一个数最大的因数是它本身，从9的倍数中判断63的因数。 【详解】由分析得， 9的倍数有：9、18、27、36、45、54、63…… 9×1＝9 63＝9×7 答：爸爸给乐乐的红包里可能是9元或63元。 【点睛】此题考查的是找一个数的因数和倍数的方法，掌握一个数最大的因数是它本身是解题关键。 【练9】有一个电话号码是****﹣ABCDEFG。已知：A是5的最小倍数；B是最小的自然数；C是5的最大因数；D既是4的倍数，又是4的因数；E的所有因数是1、2、3、6；F的所有因数是1、3；G只有一个因数。这个电话号码是多少？ 【答案】****﹣5054631 【分析】一个数的倍数的个数是无限的，一个数的最小倍数是它本身，没有最大倍数；一个数的因数的个数是有限，最小的因数是1，一个数的最大因数是它本身；最小的自然数是0，1只有一个因数，据此解答。 【详解】A：5的最小倍数是5； B：最小的自然数是0； C：5的最大因数是5； D：它既是4的倍数，又是4的因数，这个数是4； E：它的所有因数是1，2，3，6，这个数是6； F：它的所有因数是1，3，这个数是3； G：它只有一个因数，这个数是1； 由此得：这个电话号码是****﹣5054631。 【点睛】此题考查的目的是理解因数与倍数的意义，明确一个数的最小倍数和最大因数都是它本身是解答本题的关键。 题型十：质数和合数的认识 【例10】在1、7、12、13、66中，质数有 ，合数有 ；奇数有 ，偶数有 。 【答案】 7、13 12、66 1、7、13 12、66 【分析】一个数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数。一个数，如果除了1和它本身还有其它的因数，这样的数叫做合数；整数中，是2的倍数的数叫做偶数，不是2的倍数的数叫做奇数。个位上是0，2，4，6，8的数是偶数，个位上是1，3，5，7，9的数是奇数。据此解答。 【详解】1只有因数1，所以1既不是质数，也不是合数；7只有因数1和7，所以7是质数；12的因数有：1，2，3，4，6，12，所以12是合数；13只有因数1和13，所以13是质数；66的因数有：1，2，3，6，11，22，33，66，所以66是合数。 由奇数和偶数的特点可知，1、7、13是奇数，12、66是偶数。 在1、7、12、13、66中，质数有7、13，合数有12、66；奇数有1、7、13，偶数有12、66。 【练10】13，33，41，51，67，77，81，91这些数中( )是质数，( )是合数。 【答案】 13、41、67 33、51、77、81、91 【分析】一个大于1的自然数，除了1和它自身外，不能被其他数整除的数， 即除了1和它本身以外不再有其他因数，这样的数叫质数，否则叫合数，据此判断各数。 【详解】13除了1和13，没有其它因数，所以是质数； 33除了1和33，还有因数3和11，所以是合数； 41除了1和41，没有其它因数，所以是质数； 51除了1和51，还有因数3和17，所以是合数； 67除了1和67，没有其它因数，所以是质数； 77除了1和77，还有因数7和11，所以是合数； 81除了1和81，还有因数3、9和27，所以是合数； 91除了1和91，还有因数13和7，所以是合数。 这些数中13、41、67是质数，33、51、77、81、91是合数。 题型十一：质数和合数的综合运用 【例11】学校的花圃种了若干行（不止一行）向日葵，每行的棵数都相等。三位同学数向日葵的棵数，小悦说有53棵，小亮说有57棵，小明说有59棵。他们之中只有一人数对了，（    ）数对了。 A．小悦 B．小亮 C．小明 D．不确定 【答案】B 【分析】由于种向日葵是若干行（不止一行）且每行的棵数都相等，因此总棵数应为：行数×每行棵数，即总棵数需要时合数（能分解两个大于1的整数的乘积）；据此判断判断53、57、59是否为合数；53和59是质数，无法分解为两个大于1的整数相乘；57是合数，符合条件。因此小亮数对了。 【详解】53只有1和53两个因数，59只有1和59两个因数，53和59都是质数，无法能分解两个大于1的整数的乘积，所以小悦和小明都数错了。    57有1、3、19、57四个因数，所以57是合数，能分解两个大于1的整数的乘积，所以小亮数对了。 故正确答案为：B 【练11】陈景润“1＋2”定理：1个偶数＝1个质数＋1个质数×1个质数，其中偶数必须足够大。请根据这个定理分一分下面的偶数。如：20＝5＋5×3或20＝11＋3×3；18＝( )×( )＋( )；24＝( )＋( )×( )。 【答案】 3 5 3 2 2 11 【分析】首先要明确质数的定义（大于1的自然数，除了1和自身外无其他因数），枚举出质数如下：2、3、5、7、11、13等。 （1）找到三个质数a、b、c，使得18＝a×b＋c。 若c＝3，则a×b＝18－3＝15，而15＝3×5（3和5均为质数），满足定理，即18＝3×5＋3。 若c＝2，则a×b＝18－2＝16，16可拆为2×8（8不是质数）、4×4（4不是质数），均不满足。 若c＝5，则a×b＝18－5＝13，13是质数，只能拆为1×13（1不是质数），不满足。 （2）找到三个质数m、n、p，使得24＝m＋n×p。 若m＝2，则n×p＝24－2＝22，22＝2×11（2和11均为质数），满足定理，即24＝2＋2×11。 若m＝3，则n×p＝24－3＝21，21＝3×7（3和7均为质数），满足定理，即24＝3＋3×7。 若m＝5，则n×p＝24－5＝19，19是质数，拆为1×19（1不是质数），不满足。 【详解】根据分析可知： 陈景润“1＋2”定理：1个偶数＝1个质数＋1个质数×1个质数，其中偶数必须足够大。请根据这个定理分一分下面的偶数。如：20＝5＋5×3或20＝11＋3×3；18＝3×5＋3；24＝2＋2×11（或24＝3＋3×7）。 题型十二：质因数的含义 【例12】下列说法正确的是（    ）。 A．1是质数 B．2是最小的合数 C．3是15的质因数 D．8的因数有5个 【答案】C 【分析】质数是只有1和它本身两个因数；合数是除了1和它本身还有别的因数。 把一个合数用质数相乘的形式表示出来叫做分解质因数。这些质数叫这个合数的质因数。 一个数能够整除另一个数，这个数就是另一个数的因数。 【详解】A．1是只有1这个因数，所以1既不是质数，也不是合数，原说法不正确； B．2只有1和2两个因数，所以2是质数，原说法不正确； C．15分解质因数是15＝3×5，3是15的质因数，正确； D．8的因数有1，2，4，8共4个，原说法不正确； 故答案为：C 【练12】一个数的最大因数是45，它的全部因数有( )，其    中( )是它的质因数。 【答案】 1，3，5，9，15，45 3，5 【分析】根据一个数的最大因数是本身，由题干可知这个是就是45；通过试除法来找45的因数；然后根据如果一个整数的因数是质数，为质数的因数就叫做这个数的质因数；来找出45因数中的质因数；据此可解此题。 【详解】根据分析：45全部因数有：1、3、5、9、15、45；其中3、5是它的质因数。 题型十三：分解质因数 【例13】把下面各数分解质因数。 18      28     75        56 【答案】；；； 【分析】把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫作分解质因数；把一个数分解质因数，要从最小的质数除起，一直除到结果为质数为止；依此解答。 【详解】 【练13】用短除法分解质因数。 24＝                135＝                   42＝ 【答案】24＝2×2×2×3；135＝5×3×3×3；42＝2×3×7 【分析】把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫分解质因数。用短除法分解质因数，把这个数写在短除号里面，除以它的质因数，一直除到所得的商是质数为止，把所有的除数和最后的商连乘起来即可。 【详解】24＝2×2×2×3 135＝5×3×3×3 42＝2×3×7 1．用和这两张数字卡片摆出来的两位数一定是（    ）。 A．奇数 B．偶数 C．质数 D．合数 【答案】D 【分析】自然数中，是2的倍数的数叫偶数，不是2的倍数的数叫奇数。像2、3、5…这样只有1和它本身两个因数的数，叫作质数（素数）；像4、6、8…这样除了1和它本身，还有其他因数的数，叫作合数。1只有一个因数，既不是质数也不是合数。用这两张卡片组成数字，再判断即可。 【详解】4和5组成的两位数是45和54。45＝3×3×5，45既是奇数又是合数，54＝2×3×3×3，54既是偶数又是合数。所以，这两张数卡片摆出来的两位数一定是合数。 故答案为：D 2．下列分解质因数，正确的是（    ）。 A．8＝2×4 B．20＝2×2×5 C．15＝1×3×5 D．12＝2＋3＋5 【答案】B 【分析】每个合数都可以写成几个质数相乘的形式，其中每个质数都是这个合数的因数，把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。据此逐一分析各项即可。 【详解】A．在8＝2×4中，4不是质数，所以A选项错误。 B．20＝2×2×5，其中2和5都是质数，且2×2×5＝20，符合分解质因数的定义，所以B选项正确。 C．在15＝1×3×5中，1既不是质数也不是合数，分解质因数是把合数写成几个质数相乘的形式，所以C选项错误。 D．12＝2＋3＋5，这是加法运算，而分解质因数是乘法形式，所以D选项错误。 所以，正确的是B选项。 故答案为：B 3．一个两位数，个位数字既是偶数又是质数，十位数字既不是质数又不是合数，这个两位数是（    ）。 A．32 B．16 C．12 【答案】C 【分析】既是偶数又是质数的数是2，则这个两位数个位上的数是2。0和1既不是质数也不是合数，而这个两位数十位上不能是0，则十位上是1，这个数就是12。 【详解】由分析得：这个两位数个位是2，十位是1，这个两位数是12。 故答案为：C 4．下面各数中，既是2的倍数又是3的倍数的是（    ）。 A．15 B．18 C．23 D．25 【答案】B 【分析】个位数字是0、2、4、6、8的数是2的倍数；各个数位上的数字之和是3的倍数，这个数就是3的倍数。 【详解】根据分析： A．15不是2的倍数，是3的倍数； B．18既是2的倍数又是3的倍数； C．23不是2的倍数也不是3的倍数； D．25不是2的倍数也不是3的倍数。 故答案为：B 5．五年级植树76棵，比四年级植树棵数的2倍少6棵。四年级植树（    ）棵。 A．26 B．32 C．41 【答案】C 【分析】五年级植树76棵，比四年级植树棵数的2倍少6棵，那么用五年级植树的棵数加6棵，数量就正好是四年级植树的2倍，用（76＋6）÷2可算出四年级植树棵数。 【详解】（76＋6）÷2 ＝82÷2 ＝41（棵） 所以四年级植树41棵。 故答案为：C 6．4025至少减去( )是3的倍数；2907至少加上( )是5的倍数。 【答案】 2 3 【分析】3的倍数特征：各个数位上的数字相加，和要能被3整除；5的倍数特征：个位上是0或5的数；据此解答。 【详解】4＋0＋2＋5＝11，11不是3的倍数，比11小且最接近11，又是3的倍数的数是9，11－9＝2，则4025至少减去2是3的倍数；； 2907个位上是7，不是5的倍数，比7大并且是5的倍数最小是10，10－7＝3，则2907至少加上3是5的倍数。 7．37□是一个三位数，既是3的倍数又是5的倍数，□中可以填( )。 【答案】5 【分析】5的倍数特征：个位上是0或5的数。 3的倍数特征：一个数各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。 根据5的倍数特征可知，这个数的个位只能是0或5，即这个数只可能是370或375，分别计算这两个数是不是3的倍数，即可解答。 【详解】由分析可知，这个数可能是370或375。 3＋7＋0＝10，10不是3的倍数，所以370不满足题意； 3＋7＋5＝15，15是3的倍数，所以375满足题意。 37□是一个三位数，既是3的倍数又是5的倍数，□中可以填5。 8．社会主义核心价值观一共有24个字，24的因数有( )个，它的最小因数是( )，最大因数是( )，把24分解质因数是( )。 【答案】 8 1 24 24＝2×2×2×3 【分析】根据求一个数的因数的方法求出24的因数；一个非零自然数因数的个数是有限的，最小的因数是1，最大的因数是它本身；把24写成质数相乘的形式，即分解质因数。 【详解】由于1×24＝24，2×12＝24，3×8＝24，4×6＝24，所以24的因数有1，2，3，4，6，8，12，24；因为24＝2×12，12＝4×3，4＝2×2，所以24＝2×2×2×3 因此24的因数一共有8个，它的最小因数是1，最大因数是24，把24分解质因数是24＝2×2×2×3。 9．小红和明明折纸鹤，小红折的个数是明明的5倍，若小红给明明24个后，还比明明多8个。原来小红折了( )个纸鹤。 【答案】70 【分析】通过分析小红和明明纸鹤数量的变化关系，将倍数关系转化为数量差与明明纸鹤数量的倍数关系来求解。 （1）求出小红比明明多的纸鹤数量：小红给明明24个后，还比明明多8个，那么原来小红比明明多的纸鹤数量为：24×2＋8＝56个； （2）转化倍数关系：小红折的个数是明明的5倍，那么小红比明明多的部分就是明明折的纸鹤数量的：5－1＝4倍； （3）求出明明原来折的纸鹤数量：小红比明明多56个纸鹤，且多出来的数量是明明的4倍，所以明明原来折的纸鹤数量为：56÷4＝14个； （4）求出小红原来折的纸鹤数量因为小红折的个数是明明的5倍，所以小红原来折的纸鹤数量为：14×5＝70个 【详解】（24×2＋8）÷（5－1） ＝（48＋8）÷4 ＝56÷4 ＝14（个） 14×5＝70个 所以，原来小红折了70个纸鹤。 10．三个连续奇数的和是69，其中最小的奇数是( )，最大的奇数是( )。 【答案】 21 25 【分析】三个连续的奇数，相邻的两个奇数相差2。三个连续奇数的和是中间奇数的3倍，则中间奇数是69÷3＝23。最小的奇数比中间奇数小2，是23－2＝21。最大的奇数比中间奇数大2，是23＋2＝25。据此解答。 【详解】69÷3＝23 23－2＝21 23＋2＝25 三个连续奇数的和是69，其中最小的奇数是21，最大的奇数是25。 11．一个三位数，它的个位上是最小的质数，十位上是最小的合数，百位上是一位数中最大的偶数，这个三位数是 。 【答案】842 【分析】一个数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫作质数。一个数，如果除了1和它本身还有其它的因数，这样的数叫作合数。整数中，是2的倍数的数叫作偶数，不是2的倍数的数叫作奇数。据此解答。 【详解】最小的质数是2，最小的合数是4，一位数中最大的偶数是8，所以这个三位数的个位、十位、百位上的数字分别是2、4、8。 故这个三位数是842。 12．一个数各个数位上数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。如321各个数位上数的和为3＋2＋1，即和是6，因为6是3的倍数，所以321就是3的倍数。画线式子中的3表示3个( )。 【答案】百 【分析】在数321中，数字3位于百位，表示3个百（即300），虽然计算数位和时直接相加各个数位上数字（3、2、1），但画线式子中的3特指百位上数字。 【详解】一个数各个数位上数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。如321各个数位上数的和为3＋2＋1，即和是6，因为6是3的倍数，所以321就是3的倍数。画线式子中的3表示3个百。 13．一个两位数，十位上的数既是合数又是奇数，个位上的数既是偶数又是质数，这个数是( )。 【答案】92 【分析】十位上的数既是奇数又是合数，应该是9，个位上的数既是偶数又是质数，应该是2。据此解答。 【详解】由分析得： 一个两位数，十位上的数既是合数又是奇数，个位上的数既是偶数又是质数，这个数是92。 14．用短除法把下面各数分解质因数。 28            60            57            140 【答案】28＝2×2×7；60＝2×2×3×5；57＝3×19；140＝2×2×5×7 【分析】根据题意，分解质因数就是把一个合数写成几个质数连乘的形式，一般先从简单的质数试着分解。以此答题即可。 【详解】根据分析可知： 28＝2×2×7                    60＝2×2×3×5                 57＝3×19                 140＝2×2×5×7                                                                   15．四年级数学社团有男生48人，女生36人。现将男、女生混编成几个相同的小组（没有人员剩余），其中每个小组里的男、女生人数分别相等，最多可编成几个小组？ 【答案】12个 【分析】要使每个小组的男、女生人数分别相等且没有剩余，需找到男生人数48和女生人数36的最大公因数，可用质因数分解法来找出最大公因数：全部共有的质因数相乘的积就是这几个数的最大公因数。 【详解】48＝2×2×2×2×3 36＝2×2×3×3 所以最大公因数为：2×2×3＝12 答：最多可编成12个小组。 16．工厂进来一块长48米，宽32米的布料，现在要把这块布裁剪成同样大小的正方形，并且没有剩余，每块正方形布的边长最长是多少米？能裁多少块？ 【答案】 16米；6块 【分析】要将这块布裁剪成同样大小的小正方形布，且没有剩余，也就是求长和宽的公因数；要求每块小正方形布的边长最长是多少米，也就是求长和宽的最大公因数，用短除法计算；短除法：把公有的质因数从小到大依次作为除数，连续去除这几个数，直到得出的商只有公因数1为止；然后把所有的除数连乘起来，所得的积就是这几个数的最大公因数；再分别用48和32除以最大公因数，计算出长边能剪多少块、短边能剪多少块，最后将长边剪的块数和短边剪的块数相乘计算出总块数；据此解答。 【详解】 （米） （块） （块） （块） 答：每块正方形布的边长最长是16米，能裁6块。 17．趣味手工课上，老师给同学们发了一块长35厘米、宽21厘米的长方形布料用于裁剪大小相同的正方形手绢，且布料不能有剩余。正方形手绢的边长最长是多少厘米？能裁多少块这样的手绢？ 【答案】 7厘米；15块 【分析】首先分解质因数，求出35和21的最大公因数，手绢的最大边长就是35厘米和21厘米的最大公因数，然后用长方形的长35厘米除以35和21的最大公因数，求出沿长边可以裁几块，用长方形的宽21厘米除以35和21的最大公因数，求出沿宽边可以裁几块，再用沿长边裁的块数乘沿宽边裁的块数，即可算出一共能裁多少块。 【详解】35＝5×7；21＝3×7 35和21的最大公因数是7 所以正方形手绢的边长最长是7厘米。 ＝ （块） 答：要把它裁成正方形手绢（没有剩余），手绢的边长最长是7厘米，能裁15块。 18．王爷爷要围出一个面积为35平方米的长方形的小菜园，要求小菜园的长和宽都是整数且都是质数。围出这个小菜园需要多少米的篱笆？若每米篱笆的价格为12元，王爷爷准备300元够吗？ 【答案】24米；够 【分析】先把35分解质因数35＝5×7，5和7都是质数（只有1和它本身两个因数的数是质数），即7是长，5是宽，再根据长方形周长＝（长＋宽）×2求出围出这个小菜园需要多少米的篱笆；再乘每米篱笆的价格为12元求出总价，再与300元比较。 【详解】35＝5×7 （5＋7）×2 ＝12×2 ＝24（米） 24×12＝288（元） 288＜300 答：围出这个小菜园需要24米的篱笆，王爷爷准备300元够。 19．学校购买了75朵黄花和60朵红花，将黄花、红花搭配插在花瓶中，要求每个花瓶中的搭配完全相同，最多可以插多少瓶？ 【答案】15瓶 【分析】75和60的最大公因数是几，就最多可以插几瓶。用短除法求75和60的最大公因数，每次用75和60的公因数去除，直到商是互质数为止，除数的乘积就是75和60的最大公因数。 【详解】 3×5＝15（瓶） 答：最多可以插15瓶。 20．有85个苹果，如果每5个装一袋，能正好装完吗？如果每3个装一袋，至少还需要买来多少个苹果？ 【答案】能；2个 【详解】试题分析：先计算一下85能不能被5和3整除，如果能，就能正好装完，反之，则不能；求至少还需几个，先求出余数，然后用除数减去余数，即至少买的个数． 解：因为85÷5=17，所以每5个装一袋，能正好装完； 85÷3=28（袋）…1（个）， 至少增加：3﹣1=2（个）； 答：每5个装一袋，能正好装完，如果每3个装一袋，至少还需要买来2个苹果． 点评：此题考查了找一个数因数的方法，应注意灵活运用． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第3单元 团体操表演——因数与倍数 单元知识清单 一、因数与倍数的意义 1.定义：在整数除法中（商是整数且没有余数），被除数是除数和商的倍数，除数和商是被除数的因数。 例： ，则12是3和4的倍数，3和4是12的因数。 2.相互依存性：因数和倍数是相互依存的，不能单独说某个数是因数或倍数。 3.研究范围：只在非0自然数范围内研究因数和倍数。 二、找一个数的因数 1.方法： 列举法：从1开始，成对列举能整除该数的所有整数。 例：找18的因数：1×18=18，2×9=18，3×6=18，所以18的因数有1,2,3,6,9,18。 集合表示法：用大括号列出所有因数，如18的因数：{1,2,3,6,9,18}。 2.特征：一个数的因数个数是有限的，最小因数是1，最大因数是它本身。 三、找一个数的倍数 1.方法： 列举法：用该数依次乘1,2,3,...，所得的积都是它的倍数。 例：找5的倍数：5×1=5，5×2=10，5×3=15，...，所以5的倍数有5,10,15,...。 2.特征：一个数的倍数个数是无限的，最小倍数是它本身，没有最大倍数。 四、2、3、5的倍数特征 1.2的倍数特征：个位上是0,2,4,6,8的数（即偶数）。 例：2,14,20,36都是2的倍数。 奇数：不是2的倍数的数，个位上是1,3,5,7,9。 2.5的倍数特征：个位上是0或5的数。 例：5,10,25,40都是5的倍数。 3.3的倍数特征：一个数各位上的数字之和是3的倍数。 例：12（1+2=3）、27（2+7=9）、135（1+3+5=9）都是3的倍数。 4.同时是2和5的倍数：个位上必须是0。 五、质数与合数 1.质数（素数）：一个数只有1和它本身两个因数。 最小的质数是2（唯一的偶质数），其他质数都是奇数（如3,5,7,11,...）。 2.合数：一个数除了1和它本身，还有其他因数。 最小的合数是4，合数至少有3个因数（如4的因数有1,2,4）。 3.1的特殊性：1既不是质数也不是合数（只有1个因数）。 六、易错点提示 1.因数与倍数的范围：必须是整数除法且没有余数，小数和分数不在研究范围内。 2.质数与合数的判断：质数只有2个因数，合数至少有3个因数，1既不是质数也不是合数。 3.特殊数的倍数特征：同时是2、3、5的倍数，个位必须是0且各位数字之和是3的倍数（如30,60,90）。 题型一：因数和倍数的认识 【例1】一个数的因数一定小于它的倍数。( ) 【练1】因为3×4＝12，所以3是因数，4是因数，而12是倍数。( ) 题型二：找一个数的倍数及倍数的特征 【例2】一个自然数比20小，它既是3的倍数，又有因数5，这个自然数是( )。 【练2】8的倍数有（　　）个。 A．4 B．5 C．无数 题型三：根据倍的特征解决问题 【例3】丽丽买来一袋苹果，苹果的个数既是30的因数，又是5的倍数。丽丽可能买了多少个苹果？ 【练3】在体育课上，有32名同学参加实心球训练，要平均分成五组，至少要再来几名同学？或者离开几名同学？两种情况下，每组各有几名同学？ 题型四：2、3、5倍数的特征 【例4】25□是一个三位数，当□里填( )时，它既是2的倍数又是5的倍数，也就是10的倍数；当□里填( )时，它既是2的倍数又是3的倍数，也就是6的倍数。 【练4】1至100的数中，同时是2、3、5倍数的数有（    ）个。 A．1 B．2 C．3 D．4 题型五：运算性质（奇数和偶数） 【例5】a是非0自然数，若a＋3的和是奇数，a一定是（    ）。 A．质数 B．合数 C．奇数 D．偶数 【练5】洋洋到蛋糕店买面包，甜甜圈2元一个，奶油面包3元一个，三明治10元一个，她买了一些甜甜圈和三明治，付给营业员50元，找回了11元，你能不计算，很快帮洋洋判断找回的钱数对吗，为什么？ 题型六：9的倍数的特征 【例6】一个数是9的倍数，它（    ）是3的倍数。 A．一定 B．不一定 C．不可能 【练6】要使4aa5这个四位数是9的倍数，则a可以是（ ）。 A．1 B．3 C．6 D．9 题型七：找一个数的因数及因数的特征 【例7】因为，所以91只有13和7两个因数。( ) 【练7】若甲数＝2×3×7，则甲数的因数共有（    ）个。 A．8 B．6 C．7 D．3 题型八：根据因数的特征解决问题 【例8】算一算，拼一拼。用24个边长1厘米的小正方形能拼成多少种不同的长方形？写出你的思考过程。 【练8】张大叔要把120个石榴装盒，他现有的包装盒有四种规格；A种包装每盒装4个，B种包装每盒装6个，C种包装每盒装8个，D种包装每盒装9个。选用哪种包装恰好能把120个石榴装完？符合要求的包装有几种？ 题型九：因数和倍数的综合应用 【例9】今年春节的时候，爸爸用微信给乐乐发了一个红包。红包里的钱数既是63的因数，又是9的倍数。爸爸给乐乐的红包里可能是多少元？ 【练9】有一个电话号码是****﹣ABCDEFG。已知：A是5的最小倍数；B是最小的自然数；C是5的最大因数；D既是4的倍数，又是4的因数；E的所有因数是1、2、3、6；F的所有因数是1、3；G只有一个因数。这个电话号码是多少？ 题型十：质数和合数的认识 【例10】在1、7、12、13、66中，质数有 ，合数有 ；奇数有 ，偶数有 。 【练10】13，33，41，51，67，77，81，91这些数中( )是质数，( )是合数。 题型十一：质数和合数的综合运用 【例11】学校的花圃种了若干行（不止一行）向日葵，每行的棵数都相等。三位同学数向日葵的棵数，小悦说有53棵，小亮说有57棵，小明说有59棵。他们之中只有一人数对了，（    ）数对了。 A．小悦 B．小亮 C．小明 D．不确定 【练11】陈景润“1＋2”定理：1个偶数＝1个质数＋1个质数×1个质数，其中偶数必须足够大。请根据这个定理分一分下面的偶数。如：20＝5＋5×3或20＝11＋3×3；18＝( )×( )＋( )；24＝( )＋( )×( )。 题型十二：质因数的含义 【例12】下列说法正确的是（    ）。 A．1是质数 B．2是最小的合数 C．3是15的质因数 D．8的因数有5个 【练12】一个数的最大因数是45，它的全部因数有( )，其    中( )是它的质因数。 题型十三：分解质因数 【例13】把下面各数分解质因数。 18      28     75        56 【练13】用短除法分解质因数。 24＝                135＝                   42＝ 1．用和这两张数字卡片摆出来的两位数一定是（    ）。 A．奇数 B．偶数 C．质数 D．合数 2．下列分解质因数，正确的是（    ）。 A．8＝2×4 B．20＝2×2×5 C．15＝1×3×5 D．12＝2＋3＋5 3．一个两位数，个位数字既是偶数又是质数，十位数字既不是质数又不是合数，这个两位数是（    ）。 A．32 B．16 C．12 4．下面各数中，既是2的倍数又是3的倍数的是（    ）。 A．15 B．18 C．23 D．25 5．五年级植树76棵，比四年级植树棵数的2倍少6棵。四年级植树（    ）棵。 A．26 B．32 C．41 6．4025至少减去( )是3的倍数；2907至少加上( )是5的倍数。 7．37□是一个三位数，既是3的倍数又是5的倍数，□中可以填( )。 8．社会主义核心价值观一共有24个字，24的因数有( )个，它的最小因数是( )，最大因数是( )，把24分解质因数是( )。 9．小红和明明折纸鹤，小红折的个数是明明的5倍，若小红给明明24个后，还比明明多8个。原来小红折了( )个纸鹤。 10．三个连续奇数的和是69，其中最小的奇数是( )，最大的奇数是( )。 11．一个三位数，它的个位上是最小的质数，十位上是最小的合数，百位上是一位数中最大的偶数，这个三位数是 。 12．一个数各个数位上数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。如321各个数位上数的和为3＋2＋1，即和是6，因为6是3的倍数，所以321就是3的倍数。画线式子中的3表示3个( )。 13．一个两位数，十位上的数既是合数又是奇数，个位上的数既是偶数又是质数，这个数是( )。 14．用短除法把下面各数分解质因数。 28            60            57            140 15．四年级数学社团有男生48人，女生36人。现将男、女生混编成几个相同的小组（没有人员剩余），其中每个小组里的男、女生人数分别相等，最多可编成几个小组？ 16．工厂进来一块长48米，宽32米的布料，现在要把这块布裁剪成同样大小的正方形，并且没有剩余，每块正方形布的边长最长是多少米？能裁多少块？ 17．趣味手工课上，老师给同学们发了一块长35厘米、宽21厘米的长方形布料用于裁剪大小相同的正方形手绢，且布料不能有剩余。正方形手绢的边长最长是多少厘米？能裁多少块这样的手绢？ 18．王爷爷要围出一个面积为35平方米的长方形的小菜园，要求小菜园的长和宽都是整数且都是质数。围出这个小菜园需要多少米的篱笆？若每米篱笆的价格为12元，王爷爷准备300元够吗？ 19．学校购买了75朵黄花和60朵红花，将黄花、红花搭配插在花瓶中，要求每个花瓶中的搭配完全相同，最多可以插多少瓶？ 20．有85个苹果，如果每5个装一袋，能正好装完吗？如果每3个装一袋，至少还需要买来多少个苹果？ 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $