2026年中考数学一轮复习二次函数综合——线段周长问题专题

2026年中考数学一轮复习二次函数综合——线段周长问题专题 1．如图，抛物线与y轴交于点A，过点A作轴交抛物线于点B，连接．动点P在线段上，连接，则的最小值为（   ） A．2 B．2.4 C．2.5 D．3 2．已知，如图，正方形的边长为4，是边上的动点，作交边于点，则的最大值为________． 3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴直线与轴交于点，顶点为 （1）求抛物线对应的函数表达式及顶点的坐标 （2）点为抛物线对称轴上一点，连接、，当于点时，求的长    4．如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点，B，C两点的坐标分别为（3，0）和（0，3）． （1）直线BC的解析式为________． （2）求抛物线所对应的函数解析式． （3）①顶点D的坐标为________；②当0≤x≤4时，二次函数的最大值为_______，最小值为__________． （4）若点M是第一象限的抛物线上的点，过点M作x轴的垂线交BC于点N，求线段MN的最大值． 5．如图抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，抛物线的对称轴l与x轴交于M点． (1)求抛物线的函数解析式； (2)设点P是直线l上的一个动点，当PA+PC的值最小时，求PA+PC长； (3)已知点N（0，﹣1），在y轴上是否存在点Q，使以M、N、Q为顶点的三角形与△BCM相似？若存在；若不存在，请说明理由． 6．二次函数图象的顶点在原点O，经过点A；点F在y轴上，直线与y轴交于点H． (1)求二次函数的解析式； (2)点P是抛物线上的点，过点P作x轴的垂线与直线交于点M，求证：； (3)当是等边三角形时，求P点的坐标． 7．如图，已知二次函数的图像经过点、和原点O．P为二次函数图像上的一个动点，过点P作x轴的垂线，垂足为，并与直线OA交于点C． (1)求出二次函数的解析式； (2)当点P在直线OA的上方时，求线段PC的最大值； (3)当时，探索是否存在点P，使得为等腰三角形，如果存在，求出P的坐标；如果不存在，请说明理由． 8．如图，在平面直角坐标系中，已知点B的坐标为，且，抛物线图象经过A，B，C三点． (1)求A，C两点的坐标； (2)求抛物线的解析式； (3)若点P是直线下方的抛物线上的一个动点，作于点D，当的值最大时，求此时点P的坐标及的最大值． 9．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过，两点，与y轴交于点C． (1)求点C的坐标； (2)如图1，在对称轴上找一点Q，使的周长最小，求点Q的坐标； (3)如图2，点P在抛物线上，过点P作轴，交直线于点D，若以P，D，O，C为顶点的四边形是平行四边形，求点P的坐标． 10．如图已知抛物线与一直线相交于两点，与y轴交于点N．其顶点为D．    (1)求抛物线及直线的函数表达式； (2)设点，求使的值最小时m的值； (3)若点P是抛物线上位于直线上方的一个动点，过点P作轴交于点Q，求的最大值． 11．已知抛物线经过点和点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图，直线l的解析式为，P为抛物线上一动点，过点P作x轴的垂线交直线l于点Q，当时，求点P的坐标． 12．如图，直线与坐标轴的交点分别为点B和点C，抛物线经过B，C两点，且与x轴交于另一点A，点P是线段上的动点，连接，在上方作，交抛物线于点E． (1)求抛物线的解析式； (2)当平分时，求PE的长度； (3)在上方的抛物线上有一动点Q，使，求Q点的坐标． 13．如图，已知抛物线与x轴交于A、B两点，过点A的直线l与抛物线交于点C， 其中A点的坐标是， C点坐标是． (1)求抛物线的解析式； (2)求出点B的坐标以及的面积； (3)若点P为抛物线对称轴上的一个动点，当周长最小时求出点P的坐标． 14．已知抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点．    (1)求抛物线的表达式． (2)若在坐标平面内存在点G，使得点G到A，B，C三点的距离都相等，请求出点G的坐标． 15．如图，已知直线与y轴交于点A，与x轴交于点D，抛物线与直线交于A、E两点，与x轴交于B、C两点，且线段．（注：抛物线的对称轴为） (1)求该抛物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴上找一点M，使的值最大，求点M的坐标． 16．综合与探究 如图1，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接． (1)求A，B，C三点的坐标并直接写出直线的函数表达式． (2)如图2，点D是第三象限内二次函数图象上的一个动点，过点D作轴于点E，与直线交于点F，设点D的横坐标为m． ①当时，求m的值． ②）如图3，隐去线段与点F，连接，交于点P，连接，设，，．试探究：在点D运动的过程中，S是否存在最大值？若存在，请直接写出S的最大值；若不存在，请说明理由． 17．如图，已知二次函数的图象与轴交于两点，与轴交于点． (1)连结，求的面积． (2)若抛物线上一点，满足的面积是的面积的一半，求点坐标． (3)若抛物线的对称轴上有一动点，求出当最小时点的坐标． 18．如图，已知抛物线经过点，两点，且与轴的另一个交点为，对称轴为直线． (1)求抛物线的表达式； (2)时，求的取值范围； (3)已知点是抛物线对称轴上一点，当的周长最小时，求点的坐标． 19．如图，抛物线经过点，，． (1)求抛物线的解析式； (2)设点P为对称轴上的一点，若使最小，求出此时点P的坐标： (3)设抛物线的顶点为D，轴于点E，在y轴上是否存在点M使得是直角三角形?若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由 20．如图是一个直角三角形斜坡截面米，米，坡面上有一棵小树（小树粗细忽略不计，点在斜坡上且与点不重合，），现在斜坡点处安装一个喷水管（高度忽略不计），喷水管喷出的水流呈抛物线形状，建立如图所示的平面直角坐标系，喷水管喷出水流的水平距离（米）与水流的高度（米）的变化规律如下表： 0 1 2 3 4 ．．． 2 2 ．．． (1)求该抛物线解析式，并写出其顶点坐标； (2)若喷水管喷出水流恰好经过树顶点． ①求小树的最大高度； ②若点到两点距离相等，求点坐标． 21．如图，在平面直角坐标系中，二次函数与正比例函数的图象都经过点，点为二次函数图象上点与点之间的一点，过点作轴的垂线，交于点，交轴于点．若点为该二次函数的顶点， (1)求二次函数的表达式； (2)求线段长度的最大值． 22．已知：如图，抛物线与轴交于点，． (1)试确定该抛物线的函数表达式； (2)观察图象，当时，y的取值范围为________； (3)已知点是该抛物线的顶点，若点是线段上的一动点，求的最小值． 23．如图，二次函数的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，直线经过B，C两点． (1)求该二次函数的表达式； (2)已知P为线段上一点，设其横坐标为t，过点P作x轴的垂线与该二次函数的图象相交于点M，再过点M作y轴的垂线与该二次函数的图象相交于另一点N． ①当的长度随t的增大而增大时，求t的取值范围； ②当时，求点P的横坐标． 24．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于点，（点在点的右边），与轴交于点，直线经过点， (1)求，，三点的坐标及直线的函数解析式． (2)是第二象限内抛物线上的一个动点，过点作轴交直线于点，设点的横坐标为（），的长为．求与的函数关系式，并写出的取值范围； (3)设抛物线的顶点为，问在轴上是否存在一点，使得为直角三角形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 25．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的函数解析式． (2)点P为直线下方抛物线上一动点，过点P作y轴的平行线交于点Q，过点P作x轴的平行线交y轴于点F，过点Q作x轴的平行线交y轴于点E，求矩形的周长最大值及此时点P的坐标． 26．已知二次函数的图象与x轴交于两点，与y轴交于点，顶点为D．如图，当时， (1)求该二次函数的解析式； (2)点P为第三象限内的抛物线上的一个动点，连接相交于点Q，求的最大值； 27．在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于点，，与轴交于．    (1)如图1，求抛物线的解析式； (2)如图2，点为直线上方抛物线上一动点，连接、，设直线交线段于点，时，求点的坐标； 28．如图，抛物线与轴交于，，与轴交于点，点在抛物线上． (1)求抛物线的解析式． (2)在抛物线的对称轴上有一点，若是以为底的等腰三角形，求点的坐标． (3)若点在抛物线上，且它的横坐标为，与交于点，当的值最小时，求点的坐标． 29．如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，点为直线上方抛物线上一点（点不与点重合），过点作轴于点，交线段于点，设点的横坐标为． (1)直接写出点的坐标为___________；点的坐标为___________； (2)当时，求点的坐标； (3)若点的横坐标为2，点是轴上的一个动点，连接，求的最小值及此时点的坐标． 30．如图1，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，直线经过两点． (1)求点与点的坐标； (2)求抛物线的表达式； (3)如图2，若点为第四象限抛物线上一动点，过点作轴，轴分别交直线于点，求的最大值； (4)如图3，将二次函数的图象沿轴向上翻折形成图象，将直线向上平移个单位长度得到直线，若与图象有两个交点，直接写出的取值范围． 参考答案 1．B 【分析】本题考查了二次函数，勾股定理等知识，先求出A、B的坐标，然后根据勾股定理求出，根据垂线段最短得出：当时，最小，然后根据等面积法求解即可． 【详解】解∶当时，， ∴， ∵轴，轴轴， ∴的纵坐标为3，轴， 把代入，得， 解得，， ∴， ∴，， ∴， 当时，最小， 此时， ∴， 即的最小值为2.4， 故选：B． 2．1 【分析】本题考查几何综合，涉及正方形的性质、相似三角形的判定与性质、二次函数求最值等知识，读懂题意，作出图形，熟练掌握相关性质是解决问题的关键． 设，证明，可得，即可求解． 【详解】解：设， ∵正方形的边长为4， ∴， ∴，， ∵，即， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴当时，取得最大值，最大值为1． 故答案为：1 3．（1），(2，1)；（2） 【分析】（1）根据抛物线对称轴列方程求出a，即可得到抛物线解析式，再根据抛物线解析式写出顶点坐标即可； （2）设对称轴与x轴的交点为B，①求出∠OAB=∠BOP，然后根据锐角的正切值相等列出等式，再求解得到PB，然后计算AB+BP即可得解； 【详解】解：（1）∵抛物线y=ax2+x的对称轴为直线x=2， ∴， ∴a=-， ∴抛物线的表达式为：y=-x2+x， ∴顶点A的坐标为（2，1）； （2）（2）设对称轴与x轴的交点为E． ①如图，在直角三角形AOB和直角三角形POB中，tan∠OAB=，tan∠BOP=， ∵OA⊥OP， ∴∠OAB=∠BOP， ∴=， ∵AB=1，OB=2， ∴， 解得PB=4， 【点睛】本题是二次函数综合题型，主要利用了二次函数的对称轴公式，二次函数图象上点的坐标特征，锐角三角函数的定义． 4．（1） ；（2） ；（3）① ；②4，-5；（4） 【分析】（1）设直线BC的解析式为 ，把点B（3，0）和C（0，3）代入，即可求解； （2）把点B（3，0）和C（0，3）代入，即可求解； （3）①将抛物线解析式化为顶点式，即可求解； ②根据抛物线的顶点式，可得当 时，有最大值4，再由二次函数的增减性，即可求解； （4）设点 ，则，可得，即可求解． 【详解】解：（1）设直线BC的解析式为 ， 把点B（3，0）和C（0，3）代入得： ， 解得： ， ∴直线BC的解析式为 ； （2）把点B（3，0）和C（0，3）代入得： ， 解得： ， ∴抛物线所对应的函数解析式为 ； （3）①， ∴点 ； ②∵ ， ∴当 时，有最大值4， ∴在直线的左侧时， 随 的增大而增大；在直线的右侧时， 随 的增大而减小， 当 时， ， 当 时， ， ∴当0≤x≤4时，二次函数的最大值为4，最小值为-5； （4）设点 ，则， ∴ ， ∴当 时， 的值最大，最大值为 ． 【点睛】本题主要考查了二次函数和一次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数和一次函数的图象和性质是解题的关键． 5．(1)y＝﹣x2+2x+3 (2)PA+PC的长为 (3)存在，点Q的坐标为或，理由见解析 【分析】（1）当x＝0时，y＝3，可得C（0，3）．再设设抛物线的解析式为y＝a（x+1）（x﹣3）（a≠0），利用待定系数法，即可求解； （2）连接PA、PB、PC，根据轴对称性可得PA＝PB．从而得到PA+PC＝PC+PB．进而得到当点P在线段BC上时，PC+AP有最小值．即可求解； （3）先求出抛物线的对称轴，可得点，再由点N（0，﹣1），B（3，0），C（0，3）．可得，可得∠CBM=∠MNO，然后分三种情况讨论，即可求解． 【详解】（1）解：把x＝0代入得：y＝3， ∴C（0，3）． 设抛物线的解析式为y＝a（x+1）（x﹣3）（a≠0）， 将点C的坐标代入上式得：3＝﹣3a，解得：a＝﹣1． ∴抛物线的解析式为y＝-（x+1）（x-3）=﹣x2+2x+3． （2）解：如图，连接PA、PB、PC， ∵点A与点B关于直线l对称，点P在直线l上， ∴PA＝PB． ∴PA+PC＝PC+PB． ∵两点之间线段最短， ∴当点P在线段BC上时，PC+AP有最小值． ∵OC＝3，OB＝3， ∴BC＝． ∴PA+PC的最小值＝． （3）解：存在，理由： 抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1． ∵抛物线的对称轴l与x轴交于M点． ∴点， ∵点N（0，﹣1），B（3，0），C（0，3）． ∴OM=ON=1，OB=OC=3， ∴， ∴∠CBM=∠MNO， 当点Q在点N下方时，∠MNQ=135°，不符合题意， ∴点Q在点N上方， 设点Q的坐标为（0，n）．则QN=n+1， ∵以M、N、Q为顶点的三角形与△BCM相似， ∴∠QMN=∠CMB或∠MQN=∠CMB， 当时，，如图（2）， ∴， ∴，解得：， ∴点； 当时，，如图（3）， ∴， ∴，解得：， ∴点， 综上所述，点Q的坐标为或． 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合题，相似三角形的判定和性质，两点之间，线段最短，待定系数法求二次函数解析式等知识，熟练掌握二次函数的图象和性质，相似三角形的判定和性质，利用数形结合思想解答是解题的关键． 6．(1)二次函数的解析式为； (2)见解析 (3)点P的坐标为或． 【分析】（1）根据题意可设函数的解析式为，将点A代入函数解析式，求出a的值，继而可求得二次函数的解析式； （2）利用勾股定理求出，表示出，可得； （3）首先可得，根据，可得关于x的方程，求出x的值即可得出答案． 【详解】（1）解：∵二次函数图象的顶点在原点O， ∴设二次函数的解析式为， 将点A代入得：， ∴二次函数的解析式为； （2）解：设P ， ∵F， ∴， ∵，且点M在直线上， ∴， ∴； （3）解：当是等边三角形时，， ∴， 在中，， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴满足条件的点P的坐标为或． 【点睛】本题考查了二次函数的综合问题，涉及了待定系数法求函数解析式、直角三角形的性质，解答本题的关键是熟练基本知识，数形结合，将所学知识融会贯通． 7．(1)y=-x2+4x (2) (3)存在，点P的坐标为或或（5，-5）或（4，0） 【分析】（1）设y=ax（x-4），把A点坐标代入即可求出答案； （2）根据点的坐标求出PC=-m2+3m，化成顶点式即可求出线段PC的最大值； （3）当0<m<3时，仅有OC=PC，列出方程，求出方程的解即可；当m≥3时，PC=CD-PD=m2-3m，，分为三种情况：当OC=PC时，当OC=OP时，当PC=OP时，即可得到答案． 【详解】（1）解∶∵二次函数的图像经过点和原点O． ∴可设二次函数的解析式为y=ax（x-4）， 把点A（3，3）代入，得：3=3a（3-4）， 解得：a=-1， ∴二次函数的解析式为y=- x（x-4）=-x2+4x； （2）解：根据题意得：0<m<3，PC=PD-CD， 设直线OA的解析式为， 把点A（3，3）代入，得：3=3k， 解得：k=1， ∴直线OA的解析式为y=x， ∵D（m，0），PD⊥x轴，P在y=-x2+4x上，C在直线OA上， ∴P（m，-m2+4m），C（m，m）， ∴PD=-m2+4m，CD= m， ∴PC=PD-CD=-m2+4m-m=-m2+3m ， ∴当时，线段PC最大，最大；值为； （3）解：存在，理由如下： ∵C（m，m），P（m，-m2+4m）， ∴OD=m，CD=m，PD=-m2+4m， ，， 当0<m<3时，仅有OC=PC， 由（2）得：PC= PD-CD=-m2+3m， ∴，解得：或0（舍去）， ∴此时； 当m≥3时，点C在点P的上方，此时PC=CD-PD=m2-3m， 当OC=PC时，， 解得：或0（舍去）， ∴此时点； 当OC=OP时，有OC2=OP2， ∴， 解得：m=5或3（舍去）或0（舍去）， ∴此时点P（5，-5）， 当PC=OP时， ， 解得：m=4或0（舍去）， ∴此时点P（4，0）； 综上所述，存在，点P的坐标为或或（5，-5）或（4，0）． 【点睛】本题主要考查对用待定系数法求二次函数的解析式，等腰三角形的性质，勾股定理，二次函数的最值等知识点的理解和掌握，用的数学思想是分类讨论思想，此题是一个综合性比较强的题目，（3）小题有一定的难度． 8．(1) (2) (3)，的最大值为 【分析】（1）根据，即可求解； （2）设抛物线的表达式为：，再把点代入，即可求解； （3）先求出直线的表达式，然后过点P作y轴的平行线交于点H，根据，可得，设点 ，则点，可得的长，再根据二次函数的性质，即可求解． 【详解】（1）解：∵点B的坐标为， ∴， ∵， ∴， ∴点； （2）解：设抛物线的表达式为：， 把点代入得：， 解得：， 故抛物线的表达式为：； （3）解：∵直线过点， ∴可设其函数表达式为：， 将点代入得： 解得：， 故直线的表达式为：， 过点P作y轴的平行线交于点H， ∵， ， ∵轴， ， ∴， ∵， ∴， 设点 ，则点， ∴， ∵ ， ∴有最大值，当时，其最大值为， 此时点． 【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及一次函数、等腰直角三角形的性质、图象的面积计算等，其中（3），用函数关系表示，是本题解题的关键 9．(1) (2)点Q的坐标为 (3)点P的坐标为或 【分析】（1）令，即可求解； （2）先求出抛物线的对称轴为直线，设点A关于直线对称点为H，连接，则H的坐标为，，可得当点A，Q，H时，最小，此时的周长最小，再求出直线的解析式，即可求解； （3）设点P的坐标为，由直线的解析式为，可得点D的坐标为，从而得到，再根据，可得当，四边形是平行四边形，从而得到，即可求解． 【详解】（1）解：对于 当时，， ∴点C的坐标为； （2）解：解：∵ ∴抛物线的对称轴为直线， 如图，设点A关于直线对称点为H，连接，则H的坐标为，， ∴， 当点A，Q，H时，最小，此时的周长最小， 设直线的解析式为， 把代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴点Q的坐标为； （3）解：设点P的坐标为 ∵，， ∴轴， ∴直线的解析式为， ∴点D的坐标为， ∴， ∵轴， ∴， 当，四边形是平行四边形， 即， 解得或， ∴点P的坐标为或． 【点睛】此题主要考查了二次函数的综合题，用到的知识点是二次函数的最值问题，平行四边形的性质，关键是根据题意作出辅助线，利用数形结合思想进行解答， 10．(1)抛物线为，直线AC为 (2) (3)的最大值为． 【分析】（1）根据待定系数法即可求得结果； （2）作直线，作点D关于直线的对称点，得坐标为，连结交直线于点M，此时三点共线时，最小，即最小，利用待定系数法求出直线的函数关系式，进而求出求出m的值； （3）设，则，表示出，根据二次函数的性质即可求得的最大值． 【详解】（1）解：由抛物线过点得 ， 解得， ∴抛物线为； 设直线为过点，得 ， 解得， ∴直线为； （2）解：∵， ∴， 令，则， 解得或，即抛物线与x轴的另一个交点为， 作直线，作点D关于直线的对称点， 得坐标为，如图，    连接交直线于点M， 此时三点共线时，最小，即最小， 设直线的关系式为：， 把点和代入得， 得，， ∴直线NM的函数关系式为：， 当时，， ∴； （3）解：如图，    ∵轴交于点Q， ∴设，则， ∴ ， ∵， ∴有最大值，最大值为． 【点睛】本题是二次函数的综合题，考查了二次函数待定系数法，利用函数关系式求最值，利用对称知识求最值，正确地作出辅助线是解题的关键． 11．(1) (2)或或或 【分析】本题主要考查了求二次函数解析式，一次函数与二次函数综合，求函数解析式，一般利用待定系数法求解；二次函数与线段长之间的关系，一般用点的坐标表示出线段的长, （1）利用待定系数法求解即可； （2）设点P的坐标为，则，根据得到方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：把点和点代入中得：， ∴， ∴抛物线解析式为； （2）解：设点P的坐标为，则， ∵， ∴，即， ∴或， 解得或或或， ∴点P的坐标为或或或． 12．(1) (2) (3)或 【分析】本题主要考查二次函数的性质以及平行线的判定和性质， （1）根据一次函数求得与坐标轴的交点B和点C，采取待定系数法即可求得二次函数解析式； （2）根据题意可证得和，判定点P在对称轴上，再结合点P和点E纵坐标相等，即可求得PE的长； （3）过点Q作轴，求得，设点Q的横坐标为a，即可的点Q和点E的坐标，求得即可求得Q点． ∴ 【详解】（1）解：直线的解析式为，当时，； 当时，解得，则，， ∵抛物线经过B，C两点， ∴解得 即抛物线． （2）∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴点P在抛物线的对称轴上，且点P和点E的纵坐标相同， ∵点P在直线的解析式为上， ∴， ∵点E在抛物线上， ∴，解得， ∵点E在上方， ∴点E的横坐标为， 则． （3）过点Q作轴，交于点E，如图， ∵抛物线与横轴的交点为和， ∴， ∵， ∴， 则， 设点Q的横坐标为a，则和， ∵点Q在上方， ∴， ∴， 则，解得或， 则点或． 13．(1) (2)， (3) 【分析】本题主要考查二次函数与一次函数的综合，掌握待定系数法是解题的关键． （1）将点A，C代入解析式中即可得到抛物线的解析式； （2）解即可求出B点坐标，的高是C点的纵坐标，计算结果即可． （3）因为的长度不变，要使周长最小，就是最小，而A，B关于对称轴对称，所以就是的最小值，此时D点就是与抛物线对称轴的交点．先用待定系数法求出直线的解析式，再求出抛物线的对称轴，即可求出交点． 【详解】（1）（1）将代入y=ax2+bx+3中得 解得 ∴抛物线的解析式为 （2）解：令 解得 ∴点B的坐标． ∴ ∴的面积． （3）设直线的解析式为 将代入得 解得 ∴直线AC的解析式为 抛物线的对称轴为 因为的长度不变，要使周长最小，就是最小，而A，B关于对称轴对称，所以就是的最小值，此时P点就是与抛物线对称轴的交点． 当时， ∴点P的坐标为 ∴抛物线的对称轴上存在点，使的周长最小． 14．(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次函数综合，线段垂直平分线的判定与性质，勾股定理等等： （1）把解析式设为交点式，再把点C坐标代入解析式中求解即可； （2）根据题意G是边垂直平分线的交点，由的垂直平分线为直线，可设点G的坐标为，利用勾股定理求出，据此利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】（1）解：设抛物线的表达式为． 将代入得，解得， ∴抛物线的表达式为． （2）解：∵点G到A，B，C三点的距离相等， ∴G是边垂直平分线的交点， ∴， ∵，， ∴的垂直平分线为直线， ∴可设点G的坐标为， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 15．(1) (2) 【分析】此题主要考查了二次函数综合以及待定系数法求二次函数解析式： （1）首先得点，，那么把A，B坐标代入，即可求得函数解析式； （2）首先得的值最大，应找到关于对称轴的对称点B，连接交对称轴的一点就是M．应让过的直线解析式和对称轴的解析式联立即可求得点M坐标． 【详解】（1）解：∵直线与y轴交于点A， 令，则， ∴点A坐标为， ∵线段，直线与x轴交于B点， ， 把点坐标代入得： ，解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：如图， 由（1）得：抛物线的对称轴为， 、关于对称， ， 要使最大，即是使最大， 由三角形两边之差小于第三边得，当A，B，M在同一直线上时，的值最大． ∵，， 设直线的解析式为 ∴，解得：， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴． 16．(1)，，；直线的函数表达式为 (2)①m的值为；②存在．S的最大值为9 【分析】本题考查了二次函数的解析式的求法和几何图形结合的综合能力的培养，要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系，解决相关问题． （1）对于，当时，，令，则，，即可求解． （2）①设点，则点，当时，即，即可求出解；②由，即可求解． 【详解】（1）将代入，得， 解得，． 点A在点B的左侧， ，． 将代入，得． ． 设直线的表达式为：， 将点A的坐标代入上式得：，则， 直线的函数表达式为． （2）①设点，轴， ，E（m，0）． 点D，F在第三象限， ． E（m，0）， ． ， ． 解得（舍去），． m的值为． ②存在．理由：由（2）知，点，， ∵， 即 故S的最大值为9． 17．(1) (2)或或或 (3) 【分析】本题主要考查了二次函数综合，面积问题，轴对称求线段和最短距离： （1）分别令得出的坐标，进而即可求解； （2）根据题意可得，进而令，代入解析式，解方程，即可求解； （3）由轴对称的性质得到，则，故当三点共线时，的值最小，即此时的值最小，求出直线解析式为，再求出抛物线对称轴为直线，在中，当时，，即． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象与轴交于两点，与轴交于点． 当时，， ∴ 当时， 解得： ∴，， ∴， ∴； （2）解：∵的面积是的面积的一半， ∴ 当时， 解得：或 当时， 解得：或 综上所述，则或或或 （3）解：如图所示，连接， ∵点P是抛物线对称轴上一点， ∴， ∴， ∴当三点共线时，的值最小，即此时的值最小， 设直线解析式为， ∴， ∴， ∴直线解析式为， ∵抛物线解析式为， ∴抛物线对称轴为直线， 在中，当时，， ∴． 18．(1) (2) (3)点 【分析】本题主要查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图象和性质，两点间线段最短： （1）利用待定系数法解答，即可求解； （2）求出点B的坐标，再观察图象，即可求解； （3）设直线与对称轴的交点为点，求出直线的解析式，可得点，再由抛物线的对称性可得，此时的值最小，即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点，两点，对称轴为直线， ∴，解得：， ∴抛物线的解析式为：． （2）解：∵二次函数的图象与轴交于、两点，，对称轴为直线， ∴， ∴当时，， ∴当时，x的取值范围为． （3）解：设直线与对称轴的交点为点， 设直线的解析式为：， ∴，解得：， ∴直线的解析式为：； ∴点， ∵直线垂直平分， ∴，， ∴，， 当点与点重合时，，此时有最小值， ∴，此时的值最小， ∵，是定值， ∴当点时，有最小值． 19．(1) (2) (3)或或或 【分析】（1）已知抛物线上的三点坐标，利用待定系数法可求出该二次函数的解析式； （2）连接交对称轴于点P，根据两点之间线段最短，得出此时最小，即最小，求出直线解析式为，得出当时，，即可得出答案； （3）分三种情况进行讨论：①以A为直角顶点；②以D为直角顶点；③以M为直角顶点；设点M的坐标为，根据勾股定理列出方程，求出t的值即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点，，， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为：； （2）解：如图1中，连接交对称轴于点P， 根据对称性可知：， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴此时最小，即最小， 设直线解析式为，则， 解得， ∴直线解析式为， ∵对称轴为直线， ∴当时，， ∴点P坐标． （3）在y轴上存在点M，能够使得是直角三角形． 理由如下： ∵， ∴顶点D的坐标为， ∵， ∴， 设点M的坐标为，则： ，， ①当A为直角顶点时，由勾股定理，得， 即， 解得， 所以点M的坐标为； ②当D为直角顶点时，由勾股定理，得， 即， 解得， 所以点M的坐标为； ③当M为直角顶点时，由勾股定理，得，即 ， 解得或， 所以点M的坐标为或； 综上可知，在y轴上存在点M，能够使得是直角三角形，此时点M的坐标为或或或． 【点睛】本题是二次函数的综合，考查了待定系数法求函数解析式，三角形周长，二次函数的顶点式，勾股定理等知识，有一定的难度，数形结合、分类讨论及方程思想的运用是解题的关键． 20．(1)， (2)①的最大值为；②点坐标为 【分析】本题考查了一次函数与二次函数的综合问题，涉及了待定系数法求函数解析式、一元二次方程等知识点，熟记相关结论即可． （1）由表格信息可知抛物线顶点为．设抛物线解析式为，将点代入即可求解； （2）①设直线解析式为，将代入可求得即解析式为．设，则,根据，即可求解； ②过作于点，设，则，由可推出，得到，将点坐标代入抛物线解析式即可求解； 【详解】（1）解：由表格信息可知抛物线顶点为． 设抛物线解析式为 将点代入得：， 解得 故抛物线解析式为． （2）解：①设直线解析式为 将代入得， 解得 即解析式为． 设，则, ∴ 故当时，的最大值为． ②过作于点，设，则 由得：为中点，即 ∵， ， 即 将点坐标代入抛物线解析式得： 整理方程得：， 解得（舍去）， 故点坐标为． 21．(1) (2)当时，线段的长度取得最大值 【分析】本题考查了二次函数的线段问题，二次函数的图象性质，求二次函数的解析式，一次函数的解析式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）利用待定系数法进行求解，即可作答； （2）正比例函数表达式为，设，则，，则，然后通过二次函数的性质即可求解； 【详解】（1）解：为二次函数的顶点， ， 解得， 二次函数表达式为； （2）解：∵正比例函数经过点， ， ， 正比例函数表达式为， 设，则， ∴， ， ∵． 当时，线段的长度取得最大值； 22．(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了用待定系数法求解析式以及二次函数图象的性质，垂线段最短，勾股定理，熟练掌握用待定系数法求解析式是解题关键． （1）将点与点坐标代入抛物线解析式得到关于的方程组，由此求出的值，从而进一步得出解析式即可； （2）由得出开口方向向下，对称轴为直线，再根据越远离对称轴的自变量所对应的函数值越小，以及结合进行分析，即可作答． （3）根据垂线段最短可知当时，最小，据此进一步利用三角形的面积公式求出即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点，， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为． （2）解：由（1）得， ∴开口方向向下，对称轴为直线， 在时，有最大值，且，越远离对称轴的自变量所对应的函数值越小， ∵， ∴把代入，得， ∴观察图象，当时，y的取值范围为． （3）解：当是边上的高时，的值最小， 由（2）得对称轴为直线，有最大值，且 ∵点是的顶点， 即， ∵，， ∴，，点到轴的距离为， ∴， ∴， ∴的最小值是． 23．(1) (2)①；②或 【分析】本题主要考查了二次函数综合，求二次函数解析式，一次函数与坐标轴的交点问题，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． （1）根据一次函数解析式求出点B和点C的坐标，再利用待定系数法求解即可； （2）①根据（1）所求可得点P和点M的坐标，进而可用含t的式子表示出的长度，再根据二次函数的增减性求解即可；②根据题意可推出点M和点N关于对称轴对称，则可求出点N的坐标，进而表示出线段的长度，再根据建立方程求解即可． 【详解】（1）解：在中，当时，，当时，， ∴， ∵二次函数的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C， ∴， ∴， ∴二次函数的表达式为； （2）解：①由题意得，，， ∴ ， ∵点P在线段上， ∴， ∵， ∴当时，的长度随t的增大而增大； ②∵轴， ∴轴， 又∵点M和点N都在二次函数的图象上， ∴点M和点N关于对称轴对称， ∵对称轴为直线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 当时，则，解得或（舍去）； 当时，则，解得或（舍去）； 综上所述，或， ∴点P的横坐标为或． 24．(1)，，，直线解析式为 (2) (3)存在，或或或． 【分析】本题考查二次函数的综合应用，涉及抛物线与坐标轴的交点问题，待定系数法求函数解析式，勾股定理等知识点，熟练掌握相关知识点，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． （1）令，求出值，令，求出的值，进而得到的坐标，待定系数法求出直线的解析式即可； （2）求出点坐标，根据两点间的距离求出的解析式，根据点在第二象限，写出m的取值范围即可； （3）分别以为直角顶点，为直角顶点和为直角顶点三种情况，进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴当时，，当时，，解得：， ∴， ∵直线经过点A，B ∴，解得：， ∴； （2）∵点P的横坐标为， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵P是第二象限内抛物线上的一个动点， ∴； ∴； （3）存在，设点， ∵， ∴， ∵， ∴； ①当点为直角顶点时：，解得：， ∴； ②当点为直角顶点时，，解得：， ∴； ③当点为直角顶点时：，解得：或， ∴或； 综上：或或或． 25．(1)； (2)矩形的周长最大值为，此时点P的坐标是． 【分析】本题考查了求二次函数解析式，求一次函数解析式，矩形的性质，二次函数的性质． （1）把代入求解即可； （2）求出，进而求出直线解析式，设，则，则，根据矩形的性质得到，求出矩形的周长的解析式，根据二次函数的性质作答即可． 【详解】（1）解：把代入得： ， 解得， ∴抛物线的函数表达式为； （2）解：当时，， ∴， 设直线解析式为，把代入得： ， 解得， ∴直线解析式为， 设，则， ∴， ∵矩形， ∴， ∴矩形的周长为， ∴当时，矩形的周长最大值为，此时点P的坐标是． 26．(1) (2)最大值为； 【分析】本题主要考查了求二次函数解析式，二次函数综合，相似三角形的性质与判定，正确作出辅助线是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）求出直线的解析式为，过点作轴，交于点，则，设，则，可得，证明，得到，即，据此可得答案． 【详解】（1）解：当时，点C的坐标为， 把点A，点B和点C的坐标代入二次函数的解析式得， ∴， ∴二次函数的解析式为； （2）设直线的解析式为， 由题意可得， 解得， 直线的解析式为， 如图1所示，过点作轴，交于点，则， 设，则 ， ∵， ∴， ， ， ∵ 当时，有最大值，最大值为． 27．(1) (2)或． 【分析】本题主要考查了二次函数的综合应用，求二次函数解析式，求一次函数解析式，二次函数的最值，相似三角形的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，数形结合，熟练掌握待定系数法． （1）用待定系数法求出二次函数解析式即可； （2）设，过点D作轴，交直线于点F，根据，可得，进而求解. 【详解】（1）解：根据点，，可设抛物线解析式为，把代入解析式，得 ， 解得， 故抛物线解析式为． （2）解：∵，， 设直线的解析式为，将，代入直线的解析式得： ， 解得， ∴直线的解析式为：． 根据抛物线的解析式为， 设， 过点D作轴，交直线于点F， 故点F的纵坐标为， ∴． 解得， ∴， ∵， ∴， ∵轴， ∴， ∴， 解得，    ∴或． 28．(1) (2) (3) 【分析】（1）利用待定系数法即可求解； （2）根据抛物线的性质可得对称轴为直线以及点，设，根据等腰三角形的定义和勾股定理列出方程，求出的值即可求解； （3）先求出直线的解析式为，过点作轴交于点，则，得到，分析可知当取得最大值时，有最小值；再利用二次函数的性质求出的最大值，即可求出点的坐标． 【详解】（1）解：将点，，点代入中， 得， 解得 抛物线的解析式为； （2）解：抛物线的解析式为， 对称轴为直线， 令，则， ， 设， 是以为底的等腰三角形， ， ， 解得， 点的坐标为； （3）解：由（2）得，， 设直线的解析式为， 把代入，得， 解得， 直线的解析式为； 如图，过点作轴交于点， 则， ， 当取得最大值时，有最小值； 点的横坐标为， ，， ， ， 当时，有最大值，此时有最小值， 点的坐标为． 【点睛】本题考查了二次函数与几何综合，涉及待定系数法、等腰三角形的定义、勾股定理、相似三角形的性质与判定，运用数形结合思想是解题的关键． 29．(1)， (2) (3)的最小值为，此时点G的坐标为 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质、一次函数的应用，解决本题的关键是掌握二次函数的图象和性质． （1）求出点B，C的坐标，可求出直线的解析式，即可求解； （2）证明为等腰直角三角形，可得，再由，可得，即可求解； （3）作点B关于y轴的对称点F，连接交y轴于点G，则点G即为所求，此时，点，求出直线的解析式，即可求解． 【详解】（1）解：对于， 当时，， 当时，， 解得：， ∴点， 设直线的解析式为， 把点代入得∶ ，解得：， ∴直线的解析式为， ∵点的横坐标为，轴， ∴点P的坐标为，点E的坐标为； 故答案为：，； （2）解：由（1）得：，，， ∴为等腰直角三角形， ∵轴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∵点为直线上方抛物线上一点， ∴， 当时， ∴点的坐标为； （3）解：如图，作点B关于y轴的对称点F，连接交y轴于点G，则点G即为所求，此时，点， ∵点的横坐标为2， ∴点， ∴， 即的最小值为； 设直线的解析式为， 把点，代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴点G的坐标为， 综上所述，的最小值为，此时点G的坐标为． 30．(1)； (2) (3) (4)或 【分析】（1）利用直线与坐标轴的交点特征，求点、坐标．令直线中，可求得点的横坐标；令，可求得点的纵坐标． （2）将点、的坐标代入抛物线解析式，得到关于、的方程组，解方程组即可求出抛物线的表达式． （3）先证明，将求的最大值转化为求的最大值．设点的坐标，根据轴得到点的坐标，进而用含的代数式表示出的长度，构造二次函数并求其最大值，从而得到的最大值． （4）先求出原抛物线沿轴翻折后的型函数解析式，再写出直线向上平移个单位后的直线解析式．通过分析直线过点、点的临界情况，以及直线与翻折后抛物线相切的临界情况，来确定的取值范围． 【详解】（1）解：直线与轴交于点， 令，得， ， ， 直线与轴交于点， 令，得， ； （2）解：抛物线过、， ， 解得， ∴抛物线的表达式为； （3）解：在中，，， 是等腰直角三角形， ， 轴，轴， ，， 是等腰直角三角形 ， ， 设，其中 轴，点在直线上， ， ， 二次函数的开口向下，对称轴为， 当时，， ； （4）解：令中，，得， 解得或， ∴点， 抛物线， 沿轴翻折后的解析式为（）， 设直线向上平移个单位得到直线：， 如图，当直线过点时， ， ， 如图，当直线过点时， ， ， 如图，当直线与翻折后的抛物线相切时， 联立方程得， ， ， ， 解得， 的取值范围为或． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $