2026年广东东莞市中考数学自编模拟卷

2026届广东省东莞市中考数学自编模拟卷 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C C A D A B C B C 一．选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．当前，国产人形机器人技术突破显著，不仅能完成后空翻，还可精准实现前空翻，相关表演刷屏海内外，标志着中国开启人形机器人制造黄金时代．若人形机器人向前进行10次空翻记作+10，则人形机器人向后进行15次空翻应记作（　　） A．+15 B．﹣15 C．+5 D．﹣5 【分析】根据正负数表示一对相反意义的量，向前为正，则向后为负，进行判断即可． 【解答】解：根据题意可知，人形机器人向后进行15次空翻记作﹣15． 故选：B． 【点评】本题考查了正数和负数，掌握正数和负数的意义是关键． 2．古人云“车马很慢，书信很远”，曾几何时，春运“一票难求”是无数人的共同记忆，而如今，发达的铁路网让“千里归乡一日还”成为现实．2026年春运，铁路客运量约5.4亿人次，峰值刷新了历史纪录．数据“5.4亿”用科学记数法表示为（　　） A．0.54×109 B．5.4×107 C．5.4×108 D．54×107 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数． 【解答】解：5.4亿＝540000000＝5.4×108． 即数据“5.4亿”用科学记数法表示为5.4×108． 故选：C． 【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 3．下列各式计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】通过算术平方根的性质和二次根式运算法则逐一验证各选项的正确性即可． 【解答】解：根据二次根式的运算法则逐项分析判断如下： ∵， ∴A错误，不符合题意； ∵， ∴B错误，不符合题意； ∵， ∴C正确，符合题意； ∵， ∴D错误，不符合题意． 故选：C． 【点评】本题考查二次根式的运算，熟练掌握运算法则是关键． 4．中国科学院国家天文台阿里观测基地位于素有“世界屋脊”之称的西藏阿里地区，天文台的观测部分主体是一个圆柱体底座与可开合的半球形穹顶组成，其示意图的俯视图是（　　） A． B． C． D． 【分析】找到从上面看所得到的图形即可． 【解答】解：从上面看这个几何体，是一个圆． 故选：A． 【点评】本题考查了简单组合体的三视图，熟练掌握这些数学知识是解题的关键． 5．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，M，N分别为AB，BC的中点，若AB＝10，MN＝3，则BC的长为（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 【分析】由已知得MN为△ABC的中位线，得AC＝2MN＝6，在Rt△ABC中，根据勾股定理得求解 【解答】解：∵M，N分别为AB，BC的中点， ∴AC＝2MN＝6． 在Rt△ABC中，AB＝10，AC＝6，． 故选：D． 【点评】本题考查了三角形的中位线定理和勾股定理，解题的关键是掌握三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半． 6．为了解学生体质健康状况，体育老师随机抽取班上10名学生进行立定跳远测试，其成绩（单位：cm）如下：235，210，238，235，240，239，216，239，235，237．这组数据的中位数和众数分别是（　　） A．236，235 B．236，239 C．235，236 D．235，235 【分析】因为数据是偶数个，所以计算中位数时需将数据排序后取中间两数的平均值，众数为出现次数最多的数，据此求解即可． 【解答】解：测试成绩排序后为：210，216，235，235，235，237，238，239，239，240， 其中第5和第6个数据为235，237， 所以中位数是； 因为出现次数最多的数据是235， 所以这组数据的众数是235． 故选：A． 【点评】本题考查了求一组数据中位数和众数，熟练掌握求一组数据中位数和众数是关键． 7．随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车逐渐成为人们喜爱的交通工具．某品牌新能源汽车7月份的销售量为6000辆，9月份的销售量为8000辆．若设9月份该新能源汽车销售量的月平均增长率为x，则可列方程为（　　） A．6000（1+x）＝8000 B．6000（1+x）2＝8000 C．6000（1+2x）＝8000 D．6000×2（1+x）＝8000 【分析】设平均增长率为x，增长前的量为a，经过n次增长后的量为b，则有a（1+x）n＝b，根据平均增长率公式a（1+x）n＝b列出方程即可． 【解答】解：设平均增长率为x，增长前的量为a，经过n次增长后的量为b，则有a（1+x）n＝b，根据平均增长率公式a（1+x）n＝b列出方程为： 6000（1+x）2＝8000． 故选：B． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用．理解题意正确列出等量关系是解题的关键． 8．人工智能的发展使得智能机器人送餐成为一种时尚．如图，某餐厅的机器人小乐和小文从出餐口出发，准备给相距450cm的客人送餐，小乐比小文先出发，且速度保持不变，小文出发一段时间后将速度提高到原来的2倍．若小乐行进的时间为x（单位：s），小乐和小文行进的路程y1，y2（单位：cm）与x之间的函数图象如图所示，则下列说法正确的是（　　） A．小乐比小文先出发17s B．小文提速后的速度为15cm/s C．小乐的速度为10cm/s D．小文比小乐提前15s到达客人位置 【分析】根据图象信息求出运动速度逐项判断即可求解． 【解答】解：小乐的图象从x＝0开始，小文的图象从x＝15开始，所以小乐比小文先出发15s，故A选项错误； ∵当x＝15s时，y2＝0，当x＝17s时，y2＝30cm， ∴小文提速前的速度是， ∵小文出发一段时间后速度提高为原来的2倍， ∴小文提速后速度为30cm/s，故B选项错误； 故提速后小文行走所用时间为：， ∴m＝17+14＝31s， ∴A（31，310）， ∴小乐的速度为， ∴C选项说法正确符合题意； ∴； ∴m﹣n＝45﹣31＝14s，故D选项说法错误； 故选：C． 【点评】本题考查了一次函数的运用，理解图象，掌握行程问题的数量关系，数形结合是解题的关键． 9．如图，正方形的边长为a，以各边为直径在正方形内画半圆，在正方形内随机取点，则此点来自阴影部分的概率是（　　） A．2 B．1 C． D．1 【分析】求得阴影部分的面积后除以正方形的面积即可求得概率． 【解答】解：如图， 图中四个半圆都通过正方形的中心，用正方形的面积减去四空白的面积，剩下的就是阴影部分的面积，而正方形的面积减去两个半圆的面积就得两个空隙的面积， 所以所求阴影部分的面积为a2﹣[a2﹣π•（）2]×2a2﹣a2a2． 正方形的面积为a2， 故正方形内随机取点，则此点来自阴影部分的概率是， 故选：B． 【点评】本题考查了几何概率的知识，解题的关键是求得阴影部分的面积，难度不大． 10．如图，在矩形ABCD中，O为对角线BD的中点，AD＝5，E为边BC上一点，且BE＝1，连接AE，取AE的中点F，连接OF，则的值为（　　） A． B． C． D． 【分析】如图：取AB中点M，连接OM和FM，可得OM，FM分别为△ABD和△ABE中位线，利用中位线定理可证O，F，M三点共线，可求得OM，FM，再根据线段的和差求得OF，最后代入计算即可． 【解答】解：如图，在矩形ABCD中，O为对角线BD的中点，AD＝5，F为AE的中点，BE＝1，取AB中点M，连接OM和FM， ∴OM，FM分别为△ABD和△ABE中位线， ∴，且OM∥AD∥BC，FM∥BE， ∴O，F，M三点共线， ∴． ∴， 故选：C． 【点评】本题主要考查三角形中位线、矩形的性质等知识点，正确作出辅助线、构造出三角形的中位线是解题的关键． 二．填空题:本大题共5小题，每小题3分，共15分. 11．因式分解：12ab2﹣8a2bc＝　4ab（3b﹣2ac）　 ． 【分析】直接提取公因式即可． 【解答】解：原式＝4ab（3b﹣2ac）． 故答案为：4ab（3b﹣2ac）． 【点评】本题考查了因式分解﹣提公因式法，掌握因式分解的方法是关键． 12．如图是一架人字梯及其侧面示意图，已知AB∥CD∥EF，AC＝5cm，CE＝3cm，BD＝4cm，则DF的长为 　cm ． 【分析】根据平行线分线段成比例定理得出，把已知数据代入计算即可． 【解答】解：∵AB∥CD∥EF， ∴， ∵AC＝5cm，CE＝3cm，BD＝4cm， ∴， ∴DFcm， 故答案为：cm． 【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键． 13．请写出一个常数c的值，使得关于x的方程x2+3x+c＝0有两个不相等的实数根，则c的值可以是　2（答案不唯一）　 ． 【分析】由原方程有两个不相等的实数根，可得出Δ＝9﹣4c＞0，解之可得出c的取值范围，任取其内一个符合题意的值即可． 【解答】解：∵关于x的方程x2+3x+c＝0有两个不相等的实数根， ∴Δ＝32﹣4×1×c＝9﹣4c＞0， 解得：c， ∴c的值可以是2． 故答案为：2（答案不唯一）． 【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当Δ＞0时，一元二次方程有两个不相等的实数根”是解题的关键． 14．计算：cos60°　　 ． 【分析】将特殊角的三角函数值代入，再根据负整数指数幂的运算法则即可得解． 【解答】解：原式， ． 故答案为：． 【点评】本题考查的知识点是特殊角的三角函数值、负整数指数幂，解题关键是熟练掌握相关计算法则． 15．抛物线y＝ax2+bx+c的顶点坐标为（1，﹣2），则bc+1的最大值为　3　 ． 【分析】由顶点坐标可得抛物线的顶点式，从而表示出b和c关于a的表达式，代入bc+1得到关于a的二次函数，求其最大值即可． 【解答】解：∵y＝ax2+bx+c的顶点坐标为（1，﹣2）， ∴抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2﹣2， 展开得y＝ax2﹣2ax+a﹣2， ∴b＝﹣2a，c＝a﹣2． 则bc+1＝（﹣2a）（a﹣2）+1＝﹣2a2+4a+1． 得出关于a的二次函数y＝﹣2a2+4a+1，∵二次项系数为﹣2＜0， 故开口向下，有最大值， 当时取得最大值， 最大值为﹣2×12+4×1+1＝3； 故答案为：3． 【点评】本题考查二次函数的性质，解题的关键是由顶点坐标可得抛物线的顶点式，从而表示出b和c关于a的表达式． 三．解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分. 16．下面是小王同学在黑板上解分式方程的部分过程，请你认真阅读，并解决老师提出的问题． 解分式方程： 解：第一步 2x﹣1＝3（x﹣1）﹣6（x+2）第二步 2x﹣1＝3x﹣3﹣6x+12第三步 … 问题解决： （1）以上解方程的过程中，第　三　 步开始出现错误，错误的原因是　括号前面是“﹣”，去括号后，第二个括号内的第二项没有变号　 ； （2）请写出解该分式方程的正确过程． 【分析】（1）去第二个括号时第二项没有变号，出现错误； （2）根据解分式方程的步骤进行求解即可． 【解答】解：（1）小王同学在黑板上解分式方程的过程中，去括号时，﹣6（x+2）的第二项没有变号． 故答案为：三；括号前面是“﹣”，去括号后，第二个括号内的第二项没有变号； （2）， 2x﹣1＝3（x﹣1）﹣6（x+2）， 2x﹣1＝3x﹣3﹣6x﹣12， 2x﹣3x+6x＝1﹣3﹣12， 5x＝﹣14， 解得：， 检验：当时，3（x+2）≠0， ∴原分式方程的解为． 【点评】本题考查了解分式方程，掌握解分式方程的步骤是关键． 17．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为点E，点F是上的一点，延长AF交DC的延长线于点G，连接AD，FC，FD．若∠GFC＝65°，求∠CFD的大小． 【分析】连接AC、AD，由∠ADC+∠AFC＝180°，∠GFC+∠AFC＝180°，推导出∠ADC＝∠GFC＝65°，由AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，根据垂径定理得，则∠ACD＝∠ADC＝65°，求得∠CFD＝∠CAD＝50°． 【解答】解：连接AC， ∵∠ADC+∠AFC＝180°，∠GFC+∠AFC＝180°， ∴∠ADC＝∠GFC＝65°， ∴AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB， ∴， ∴∠ACD＝∠ADC＝65°， ∴∠CAD＝180°﹣∠ACD﹣∠ADC＝50°， ∴∠CFD＝∠CAD＝50°， ∴∠CFD的度数是50°． 【点评】此题重点考查垂径定理、线段的垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理、同角的补角相等、圆周角定理等知识，正确地添加辅助线是解题的关键． 18．如图1，10米跳台运动员起跳后路线可以看成是抛物线的一部分（如图2中曲线部分所示），跳水运动员在10米跳台B点跳水时，起跳后达到最高点，其重心C离起跳台面的高度为1米．跳水的起跳板AB的长度为6米，起跳台距水面OA为10米．若运动员在B点起跳后过最高点再次距离水面10米时，水平方向移动了2米． （1）求抛物线的解析式（不必写自变量的取值范围）； （2）该运动员落水点E离跳台中心O的水平距离OE为多少米？（结果保留根号） 【分析】（1）根据题意得到抛物线的顶点坐标为（7，11），设抛物线对应的函数解析式为y＝a（x﹣7）2+11把点B（6，10）代入，运用待定系数法即可求解； （2）把y＝0代入计算即可求解． 【解答】解：（1）∵跳板AB的长度为6m，运动员起跳后，运动员在B点起跳后过最高点再次距离水面10米时，水平方向移动了2米，起跳后达到最高点，其重心C离起跳台面的高度为1米， ∴抛物线的顶点坐标为（7，11）， 设抛物线对应的函数解析式为y＝a（x﹣7）2+11， ∵抛物线过点B（6，10）， ∴将点B（6，10）代入，得a＝﹣1， ∴跳水运动员在空中的运动轨迹对应的函数解析式y＝﹣（x﹣7）2+11； （2）由（1）知，抛物线对应的函数解析式y＝﹣（x﹣7）2+11， 当y＝0时，则﹣（x﹣7）2+11＝0， 解得，（不符合题意，舍去）， ∴跳水运动员入水点C距池边点O的水平距离为（7）m． 【点评】本题主要考查二次函数的运用，理解题目中各点的坐标，掌握待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象与坐标轴交点的计算方法是解题的关键． 四．解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分. 19．已知：如图，正方形ABCD中，点M在对角线BD上，点N在DC边上．现有三个选项：①BM＝BC；②MN⊥BD；③DM＝CN； 请任选两个为条件，另一个为结论组成一个命题．先判断命题的正确性再证明或举反例． 【分析】由正方形的性质推出∠C＝90°，∠CDM＝45°，判定△DMN是等腰直角三角形，推出DM＝NM，判定Rt△BMN≌Rt△BCN（HL），得到NM＝NC，推出DM＝CN． 【解答】解：选①②为条件，③为结论组成一个命题，命题是真命题，理由如下： 连接BN， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠C＝90°，∠CDM＝45°， ∵MN⊥BD， ∴∠NMB＝∠NMD＝90°， ∴△DMN是等腰直角三角形， ∴DM＝NM， 在Rt△BMN和Rt△BCN中， ， ∴Rt△BMN≌Rt△BCN（HL）， ∴NM＝NC， ∴DM＝CN． 【点评】本题考查命题与定理，全等三角形的判定和性质，正方形的性质，关键是判定Rt△BMN≌Rt△BCN（HL）． 20．某学校在八，九年级学生中各随机抽取10名学生对每月的AI工具使用次数进行整理，描述和分析（次数x表示，共分成四组，A：10≤x＜15；B：15≤x＜20；C：20≤x＜25；D：x≥25）．下面给出了部分信息： 八年级10名学生每月使用次数分别是：11，13，17，19，20，22、25，27，28，28． 九年级10名学生每月使用次数在C组中的数据是：20，20，21，24． 八、九年级抽取的学生每月使用次数统计表 年级 八年级 九年级 平均数 21 21 中位数 21 a 众数 b 27 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中a＝　20　 ，b＝　28　 ，m＝　40　 ． （2）你认为该校八，九年级中哪个年级学生每月AI工具使用次数更多？请判断并说明理由． （3）若该校共有八，九年级学生共3200名，请你根据样本数据，估计该校八，九年级学生每月AI工具使用次数不低于20次的学生总人数． 【分析】（1）用九年级C组人数除以总人数可得m%，根据中位数、众数的定义可得b，a； （2）根据两个年级的平均数相同，但是八年级的中位数和众数均大于九年级的中位数和众数可得结论； （3）用3200乘以样本中两个年级学生每月利用工具进行赋能学习次数不低于20次的学生人数占比即可得到答案． 【解答】解：（1）∵九年级数据中C组数据有4个， ∴，即m＝40， ∵九年级A组数据个数为：10×10%＝1，B组数据个数为：10×30%＝3，C组中的数据是：20，20，21，24． ∴第5，6位数据分别是20，20， ∴九年级数据的中位数， ∵八年级数据中28出现的次数最多， ∴八年级数据的众数b＝28， 故答案为：20，28，40； （2）八年级学生每月AI工具使用次数更多， 理由如下：从平均数看，两个年级学生每月AI工具使用次数相同， 从中位数看，八年级的中位数大于九年级的中位数， 从众数看，八年级的众数大于九年级的众数， ∴八年级学生每月AI工具使用次数更多； （3）用3200乘以样本中两个年级学生每月利用工具进行赋能学习次数不低于20次的学生人数占比可得： （人）， 答：该校八，九年级学生每月AI工具使用次数不低于20次的学生总人数为1920人． 【点评】本题主要考查了中位数，众数，用样本估计总体，扇形统计图等等，正确理解题意是解题的关键． 21．综合与实践 目标 篮球架安装是否合格及测量伸臂距离地面的高度 工具 测角仪、卷尺 素材1 小敏借助测角仪测得：∠BED＝90°，∠CAB＝150°，∠ABE＝120°． 素材2 为计算篮球架的伸臂AC距离地面的高度，小明在点M处测得：EM＝4.8米，∠CME＝60°．在距离点M左侧1.2米的N处测得：∠CNE＝45°． （参考数据：，，） 任务一 利用素材1，判断篮球架安装是否合格，并说明理由．（篮球架安装要求：伸臂AC∥地面DE，支架BE⊥地面DE）． 任务二 利用素材2，求篮球架的伸臂AC距离地面DE的高度．（结果保留一位小数） 【分析】任务一：根据题意得到BE⊥DE，合格，如图所示，过点B作BP∥DE，根据平行线的判定可得AC∥DE，合格，由此即可求解； 任务二：如图所示，过点C作CH⊥DE于点H，则∠CHM＝90°，可得∠MCH＝30°，设MH＝x米，则，可得米，根据题意得到∠NCH＝45°，△CNH是等腰直角三角形，则HN＝HC，即，由此即可求解． 【解答】解：任务一：篮球架安装合格， ∵∠BED＝90°， ∴BE⊥DE，合格， 过点B作BP∥DE， ∴∠PBE＝∠BED＝90°， ∴∠ABP＝∠ABE﹣∠PBE＝120°﹣90°＝30°， ∴∠CAB+∠ABP＝150°+30°＝180°， ∴AC∥BP， ∴AC∥DE，合格， 任务二：如图所示，过点C作CH⊥DE于点H，则∠CHM＝90°， ∵∠CME＝60°， ∴∠MCH＝30°， 设MH＝x米，则， ∴米， ∵∠CNE＝45°，∠CHN＝90°， ∴HN＝HC，即， ， ∴米， ∴篮球架的伸臂AC距离地面DE的高度约为2.8米． 【点评】本题主要考查平行线的判定和性质，解直角三角形的运用，掌握解直角三角形的计算是关键． 五．解答题（三）：本大题共2小题，第22小题13分，第23小题14分，共27分. 22．《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽著作，是数学发展史的一个里程碑．在该书的第2卷“几何与代数”部分，记载了很多利用几何图形来论证的代数结论，利用几何给人以强烈印象将抽象的逻辑规律体现在具体的图形之中． （1）我们在学习许多代数公式时，可以用几何图形来推理，观察下列图形，找出可以推出的代数公式．（下面各图形均满足推导各公式的条件，只需填写对应公式的序号） 公式①；（a+b+c）d＝ad+bd+cd； 公式②：（a+b）（c+d）＝ac+ad+bc+bd； 公式③；（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2； 公式④：（a+b）2＝a2+2ab+b2． 图1对应公式 　①　 ，图2对应公式 　②　 ，图3对应公式 　③　 ，图4对应公式 　④　 ． （2）如图5，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，D为BC的中点，E为边AC上任意一点（不与端点重合），过点E作EG⊥BC于点G，作EH⊥AD于点H，过点B作BF∥AC交EG的延长线于点F．记△BFG与△CEG的面积之和为S1，△ABD与△AEH的面积之和为S2． ①若E为边AC的中点，则的值为 　2　 ； ②若E不为边AC的中点时，试问①中的结论是否仍成立？若成立，写出证明过程；若不成立，请说明理由． 【分析】（1）观察图象可得图1对应公式①，图2对应公式②，图3对应公式④，图4对应公式③；（2）由图可得S矩形AKLC＝AK•AC＝a（a﹣b）＝BF•BD＝S矩形DBFG，即可得S正方形BCEF＝a2＝S矩形AKHD+b2，从而有a2＝（a﹣b）（a+b）+b2，故（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2； （2）①设BD＝m，由已知可得△ABD、△AEH、△CEG、△BFG是等腰直角三角形，四边形DGEH是矩形，求得AD＝BD＝CD＝m，根据线段中点的定义得到HE＝DGm＝AH，求得CG＝CD﹣DGm，BG＝FG＝BD+DGm，根据三角形的面积公式得到结论； ②设BD＝a，DG＝b，由已知可得△ABD、△AEH、△CEG、△BFG是等腰直角三角形，四边形DGEH是矩形，根据矩形和等腰直角三角形的性质得到AD＝BD＝CD＝a，AH＝HE＝DG＝b，EG＝CG＝a﹣b，FG＝BG＝a+b，根据三角形的面积公式得到结论． 【解答】解：（1）观察图象可得： 图1对应公式①，图2对应公式②，图3对应公式④，图4对应公式③； 故答案为：①，②，④，③； （2）①设BD＝m， 由已知可得△ABD、△AEH、△CEG、△BFG是等腰直角三角形，四边形DGEH是矩形， ∴AD＝BD＝CD＝m， ∵E是AC中点， ∴HE＝DGm＝AH， ∴CG＝CD﹣DGm，BG＝FG＝BD+DGm， ∴S1＝S△BFG+S△CEGmmmmm2， S2＝S△ABD+S△AEHm2mmm2， ∴2； 故答案为：2； ②E不为边AC的中点时①中的结论仍成立，证明如下： 设BD＝a，DG＝b， 由已知可得△ABD、△AEH、△CEG、△BFG是等腰直角三角形，四边形DGEH是矩形， ∴AD＝BD＝CD＝a，AH＝HE＝DG＝b，EG＝CG＝a﹣b，FG＝BG＝a+b， ∴S1＝S△BFG+S△CEG（a+b）2（a﹣b）2＝a2+b2， S2＝S△ABD+S△AEHa2b2（a2+b2）， ∴2． 【点评】本题考查矩形的性质，等腰直角三角形的性质，涉及平方差、完全平方公式的推导及应用，解题的关键是数形结合思想的应用． 23．定义：如图1，点M关于点P的对称点为点T，点T关于原点O的对称点为点N，则称点N为点M关于点P的二次对称点． 【概念理解】 （1）点P（3，4），点N为点M关于点P的二次对称点，则MN＝ 　10　 ． （2）若点Q（﹣2，0），A（t，0），点B为点A关于点Q的二次对称点，则点B的坐标为 　（4+t，0）　 ．（用t的代数式表示） 【形成技能】 （3）点D为点C关于点P（3，4）的二次对称点，且PC、PD都与坐标轴平行．直接写出点C的坐标． 【灵活运用】 （4）如图2，点F为点E关于点P（3，4）的二次对称点，连接FP，当动点F在直线m上滑动时，点E也随之而滑动，已知直线m的解析式为，若在运动过程中，一定存在∠EPF＝90°的情形．求b的取值范围． 【分析】（1）设M（a，b），根据点N为点M关于点P的二次对称点，可得N（a﹣6，b﹣8），故MN10； （2）∵由A（t，0）关于Q（﹣2，0）的对称点T（﹣4﹣t，0），又T（﹣4﹣t，0）关于原点（0，0）的对称点B（4+t，0），即得A关于点Q的二次对称点B的坐标为（4+t，0）； （3）设C（m，n），可得C关于点P（3，4）的二次对称点D坐标为（m﹣6，n﹣8）；由PC、PD都与坐标轴平行，分四种情况：①若PC∥x轴，PD∥x轴，则；②若PC∥x轴，PD∥y轴，则；③若PC∥y轴，PD∥x轴，则；④若PC∥y轴，PD∥y轴，则，分别解方程组可得答案； （4）连接EF，设直线yx+b（b＞0）交x轴于G，交y轴于K，求出G（﹣2b，0），K（0，b），知OG＝2b，OK＝b，GKb，由点F为点E关于点P（3，4）的二次对称点，可得EF＝10，EP＝HP，OF＝OH，而当∠EPF＝90°时，FP为EH的垂直平分线，有FH＝EF＝10，FO＝HOFH＝5，故点F在以O圆心，5为半径的⊙O上运动，用面积法求出当⊙O与直线m相切时，b，即可得b的取值范围为0＜b． 【解答】解：（1）设M（a，b）， ∵点N为点M关于点P的二次对称点， ∴P为MT的中点， ∵P（3，4）， ∴T（6﹣a，8﹣b）， ∵N，T关于原点（0，0）对称， ∴N（a﹣6，b﹣8）， ∴MN10， 故答案为：10； （2）∵A（t，0）关于Q（﹣2，0）的对称点T（﹣4﹣t，0），又T（﹣4﹣t，0）关于原点（0，0）的对称点B（4+t，0）， ∴A关于点Q的二次对称点B的坐标为（4+t，0）； 故答案为：（4+t，0）； （3）设C（m，n）， ∵C（m，n）关于点P（3，4）的对称点T（6﹣m，8﹣n），又T（6﹣m，8﹣n）关于原点的对称点D（m﹣6，n﹣8）， ∴C关于点P（3，4）的二次对称点D坐标为（m﹣6，n﹣8）； 由PC、PD都与坐标轴平行，分四种情况： ①若PC∥x轴，PD∥x轴，则， 方程组无解，故这种情况不存在； ②若PC∥x轴，PD∥y轴，则， 解得， ∴C（9，4）； ③若PC∥y轴，PD∥x轴，则， 解得， ∴C（3，12）； ④若PC∥y轴，PD∥y轴，则， 方程组无解，故这种情况不存在； 综上所述，C的坐标为（9，4）或（3，12）； （4）连接EF，设直线yx+b（b＞0）交x轴于G，交y轴于K，如图： 在yx+b中，令x＝0得y＝b，令y＝0得x＝﹣2b， ∴G（﹣2b，0），K（0，b）， ∴OG＝2b，OK＝b，GKb， ∵点F为点E关于点P（3，4）的二次对称点， ∴同（1）可得EF＝10，EP＝HP，OF＝OH， ∴当∠EPF＝90°时，FP为EH的垂直平分线， ∴FH＝EF＝10，FO＝HOFH＝5， ∴点F在以O圆心，5为半径的⊙O上运动， 当⊙O与直线m相切时，OF⊥GK， 此时2S△GOK＝OG•OK＝GK•FO， ∴2b•bb×5， 解得b， ∵在运动过程中，一定存在∠EPF＝90°的情形， ∴b的取值范围为0＜b． 【点评】本题考查了点的坐标一轴对称，一次函数的综合，切线的性质，勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026届广东省东莞市中考数学自编模拟卷 一．选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．当前，国产人形机器人技术突破显著，不仅能完成后空翻，还可精准实现前空翻，相关表演刷屏海内外，标志着中国开启人形机器人制造黄金时代．若人形机器人向前进行10次空翻记作+10，则人形机器人向后进行15次空翻应记作（　　） A．+15 B．﹣15 C．+5 D．﹣5 2．古人云“车马很慢，书信很远”，曾几何时，春运“一票难求”是无数人的共同记忆，而如今，发达的铁路网让“千里归乡一日还”成为现实．2026年春运，铁路客运量约5.4亿人次，峰值刷新了历史纪录．数据“5.4亿”用科学记数法表示为（　　） A．0.54×109 B．5.4×107 C．5.4×108 D．54×107 3．下列各式计算正确的是（　　） A． B． C． D． 4．中国科学院国家天文台阿里观测基地位于素有“世界屋脊”之称的西藏阿里地区，天文台的观测部分主体是一个圆柱体底座与可开合的半球形穹顶组成，其示意图的俯视图是（　　） A． B． C． D． 5．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，M，N分别为AB，BC的中点，若AB＝10，MN＝3，则BC的长为（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 6．为了解学生体质健康状况，体育老师随机抽取班上10名学生进行立定跳远测试，其成绩（单位：cm）如下：235，210，238，235，240，239，216，239，235，237．这组数据的中位数和众数分别是（　　） A．236，235 B．236，239 C．235，236 D．235，235 7．随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车逐渐成为人们喜爱的交通工具．某品牌新能源汽车7月份的销售量为6000辆，9月份的销售量为8000辆．若设9月份该新能源汽车销售量的月平均增长率为x，则可列方程为（　　） A．6000（1+x）＝8000 B．6000（1+x）2＝8000 C．6000（1+2x）＝8000 D．6000×2（1+x）＝8000 8．人工智能的发展使得智能机器人送餐成为一种时尚．如图，某餐厅的机器人小乐和小文从出餐口出发，准备给相距450cm的客人送餐，小乐比小文先出发，且速度保持不变，小文出发一段时间后将速度提高到原来的2倍．若小乐行进的时间为x（单位：s），小乐和小文行进的路程y1，y2（单位：cm）与x之间的函数图象如图所示，则下列说法正确的是（　　） A．小乐比小文先出发17s B．小文提速后的速度为15cm/s C．小乐的速度为10cm/s D．小文比小乐提前15s到达客人位置 9．如图，正方形的边长为a，以各边为直径在正方形内画半圆，在正方形内随机取点，则此点来自阴影部分的概率是（　　） A．2 B．1 C． D．1 10．如图，在矩形ABCD中，O为对角线BD的中点，AD＝5，E为边BC上一点，且BE＝1，连接AE，取AE的中点F，连接OF，则的值为（　　） A． B． C． D． 二．填空题:本大题共5小题，每小题3分，共15分. 11．因式分解：12ab2﹣8a2bc＝　 　 ． 12．如图是一架人字梯及其侧面示意图，已知AB∥CD∥EF，AC＝5cm，CE＝3cm，BD＝4cm，则DF的长为 　 　 ． 13．请写出一个常数c的值，使得关于x的方程x2+3x+c＝0有两个不相等的实数根，则c的值可以是　 　 ． 14．计算：cos60°　 　 ． 15．抛物线y＝ax2+bx+c的顶点坐标为（1，﹣2），则bc+1的最大值为　 　 ． 三．解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分. 16．下面是小王同学在黑板上解分式方程的部分过程，请你认真阅读，并解决老师提出的问题． 解分式方程： 解：第一步 2x﹣1＝3（x﹣1）﹣6（x+2）第二步 2x﹣1＝3x﹣3﹣6x+12第三步 … 问题解决： （1）以上解方程的过程中，第　 　 步开始出现错误，错误的原因是　 　 ； （2）请写出解该分式方程的正确过程． 17．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为点E，点F是上的一点，延长AF交DC的延长线于点G，连接AD，FC，FD．若∠GFC＝65°，求∠CFD的大小． 18．如图1，10米跳台运动员起跳后路线可以看成是抛物线的一部分（如图2中曲线部分所示），跳水运动员在10米跳台B点跳水时，起跳后达到最高点，其重心C离起跳台面的高度为1米．跳水的起跳板AB的长度为6米，起跳台距水面OA为10米．若运动员在B点起跳后过最高点再次距离水面10米时，水平方向移动了2米． （1）求抛物线的解析式（不必写自变量的取值范围）； （2）该运动员落水点E离跳台中心O的水平距离OE为多少米？（结果保留根号） 四．解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分. 19．已知：如图，正方形ABCD中，点M在对角线BD上，点N在DC边上．现有三个选项：①BM＝BC；②MN⊥BD；③DM＝CN； 请任选两个为条件，另一个为结论组成一个命题．先判断命题的正确性再证明或举反例． 20．某学校在八，九年级学生中各随机抽取10名学生对每月的AI工具使用次数进行整理，描述和分析（次数x表示，共分成四组，A：10≤x＜15；B：15≤x＜20；C：20≤x＜25；D：x≥25）．下面给出了部分信息： 八年级10名学生每月使用次数分别是：11，13，17，19，20，22、25，27，28，28． 九年级10名学生每月使用次数在C组中的数据是：20，20，21，24． 八、九年级抽取的学生每月使用次数统计表 年级 八年级 九年级 平均数 21 21 中位数 21 a 众数 b 27 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中a＝　 　 ，b＝　 　 ，m＝　 　 ． （2）你认为该校八，九年级中哪个年级学生每月AI工具使用次数更多？请判断并说明理由． （3）若该校共有八，九年级学生共3200名，请你根据样本数据，估计该校八，九年级学生每月AI工具使用次数不低于20次的学生总人数． 21．综合与实践 目标 篮球架安装是否合格及测量伸臂距离地面的高度 工具 测角仪、卷尺 素材1 小敏借助测角仪测得：∠BED＝90°，∠CAB＝150°，∠ABE＝120°． 素材2 为计算篮球架的伸臂AC距离地面的高度，小明在点M处测得：EM＝4.8米，∠CME＝60°．在距离点M左侧1.2米的N处测得：∠CNE＝45°． （参考数据：，，） 任务一 利用素材1，判断篮球架安装是否合格，并说明理由．（篮球架安装要求：伸臂AC∥地面DE，支架BE⊥地面DE）． 任务二 利用素材2，求篮球架的伸臂AC距离地面DE的高度．（结果保留一位小数） 五．解答题（三）：本大题共2小题，第22小题13分，第23小题14分，共27分. 22．《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽著作，是数学发展史的一个里程碑．在该书的第2卷“几何与代数”部分，记载了很多利用几何图形来论证的代数结论，利用几何给人以强烈印象将抽象的逻辑规律体现在具体的图形之中． （1）我们在学习许多代数公式时，可以用几何图形来推理，观察下列图形，找出可以推出的代数公式．（下面各图形均满足推导各公式的条件，只需填写对应公式的序号） 公式①；（a+b+c）d＝ad+bd+cd； 公式②：（a+b）（c+d）＝ac+ad+bc+bd； 公式③；（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2； 公式④：（a+b）2＝a2+2ab+b2． 图1对应公式 　 　 ，图2对应公式 　 　 ，图3对应公式 　 　 ，图4对应公式 　 　 ． （2）如图5，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，D为BC的中点，E为边AC上任意一点（不与端点重合），过点E作EG⊥BC于点G，作EH⊥AD于点H，过点B作BF∥AC交EG的延长线于点F．记△BFG与△CEG的面积之和为S1，△ABD与△AEH的面积之和为S2． ①若E为边AC的中点，则的值为 　 　 ； ②若E不为边AC的中点时，试问①中的结论是否仍成立？若成立，写出证明过程；若不成立，请说明理由． 1．定义：如图1，点M关于点P的对称点为点T，点T关于原点O的对称点为点N，则称点N为点M关于点P的二次对称点． 【概念理解】 （1）点P（3，4），点N为点M关于点P的二次对称点，则MN＝ 　 　 ． （2）若点Q（﹣2，0），A（t，0），点B为点A关于点Q的二次对称点，则点B的坐标为 　 　 ．（用t的代数式表示） 【形成技能】 （3）点D为点C关于点P（3，4）的二次对称点，且PC、PD都与坐标轴平行．直接写出点C的坐标． 【灵活运用】 （4）如图2，点F为点E关于点P（3，4）的二次对称点，连接FP，当动点F在直线m上滑动时，点E也随之而滑动，已知直线m的解析式为，若在运动过程中，一定存在∠EPF＝90°的情形．求b的取值范围． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $