精品解析：2026年河南省周口市鹿邑县部分乡镇一模数学试题

河南省2026届九年级结课评估 数学 九年级全部内容 注意事项：共三个大题，满分120分，作答时间100分钟． 一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的），请把正确答案的代号填在括号中． 1. 下列各式中，是关于的二次函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 若正边形的半径等于它的边长，则的值为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 下面的调查中，最适合用普查的是（ ） A. 了解某款新能源汽车的电池的使用寿命 B. 了解某校八（1）班全体学生的体重 C. 了解我市全体初中生每周做家务的时间 D. 了解黄河中鱼的总质量 5. 在平面直角坐标系中，将抛物线向下平移个单位长度，再绕原点旋转后，得到的抛物线表达式是（ ） A. B. C. D. 6. 在平面直角坐标系中，若点关于轴的对称点是，则的值为（ ） A. B. 1 C. 7 D. 7. 中国书法是一门古老的艺术，它伴随着中华文明的发展而发展，被誉为“无言的诗，无形的舞，无图的画，无声的乐”．如图，这是正面分别用楷书、行书、楷书、隶书写有“马”字的四张卡片，它们除正面外完全相同．把这四张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则这两张卡片正面恰好都是用楷书写的“马”字的概率是（ ） A. B. C. D. 8. 关于的一元二次方程根的情况，下列判断正确的是（ ） A. 可能有两个相等的实数根 B. 一定有两个不相等的实数根 C. 不可能有一根为 D. 一定没有实数根 9. 如图，的顶点均在边长为1的正方形网格的格点上，则的值为（ ） A. B. C. D. 10. 如图1，实心小球从某处由静止下落到正下方竖直放置的弹簧上并压缩弹簧．从小球刚接触弹簧到将弹簧压缩至最短的过程中，小球的速度（单位：）与弹簧被压缩的长度（单位：）之间的函数关系近似看作二次函数，其图象如图2所示．已知为该抛物线的顶点，有一条平行于轴的直线，且．当小球的速度不小于时，弹簧被压缩的长度的取值范围是（ ） A. B. 或 C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 已知的半径为，，是上一点（不含端点），设．请写出一个使点在外的正整数的值：___________． 12. 与最接近的整数是___________． 13. 从黄河滩区的标准化大棚，到唐店村的品牌化实践，河南草莓产业正走出一条“科技育种规范种植品牌赋能”的高质量发展之路．某村2025年产草莓鲜果150万千克，假设从2025年到2027年，每年草莓鲜果产量的增长率相同，预计2027年的产量为216万千克．设每年草莓鲜果产量的增长率为，则可列方程：___________． 14. 在中国古代文化中，玉璧寓意吉祥如意，象征着美好的意愿和高贵的品质．如图，这是某玉璧的平面示意图，由一个正方形的内切圆和外接圆组成．若正方形的面积为4，则图中阴影部分的面积是___________． 15. 如图，在中，，，，为边上任意一点，连接，将绕点逆时针旋转得到线段．若点恰好落在边上，则的长为___________． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 计算以及证明 （1）计算：． （2）如图，在与中，．求证：． 17. 学习消防知识是青少年成长的“必修课”．某校九年级共有1300名学生，为了解九年级学生对消防知识的掌握情况，对九年级全体学生进行相关测试（满分100分），并选取了部分学生作为样本，根据他们的成绩（单位：分）绘制出如下的频数分布表． 九年级部分学生测试成绩频数分布表 组别 测试成绩/分 频数 A 1 B 3 C 5 D 12 E 4 根据以上信息，回答下列问题． （1）关于选取的部分学生，下列最合适的是　　　　　　．（填序号） ①随机选取该校九年级25名男生； ②随机选取该校九年级25名女生； ③随机选取该校九年级25名学生． （2）若90分以上为非常优秀，估计该校九年级这1300名学生对消防知识的掌握情况为非常优秀的人数． （3）为积极促进学生对消防知识的掌握，学校计划从本次测试在90分以上的1名女同学和3名男同学中，随机选择两名同学给全校同学分享学习消防知识的心得与方法，请用列表或画树状图的方法，求选择的两名同学恰好是一男一女的概率． 18. 如图，在中，． （1）请用无刻度的直尺和圆规作（圆心在上，的长为半径），且与所在的直线都相切．（保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）的条件下，若与的切点为，，求的长． 19. 如图，这是一张2026年1月的月历表．在此月历表上可以用一个正方形框任意圈出4个数（如2，3，9，10）． （1）若圈出的4个数中最小的数为，则最大的数为　　　　　　．（用含的代数式表示） （2）若圈出的4个数中最大的数与最小的数的乘积为105，求这4个数中最小的数． （3）方框中最大的数与最小的数的乘积与这四个数的和能为269吗？若能，请直接写出最小的数；若不能，请说明理由． 20. 如图，在中，以为直径的与相切于点，与交于点，连接，且． （1）求的长． （2）是上一点，且在的下方，连接．当是以为底边的等腰三角形时，请直接写出的面积． 21. 铭记革命先烈，赓续红色基因．某数学兴趣小组参观了位于焦作温县的张祥云烈士纪念碑，并开展了测量纪念碑高度的活动，记录如下： 活动主题 测量纪念碑的高度 实物图 和测量 示意图 测量步骤 如图，某同学在点处用测角仪测得纪念碑的最高点的仰角，另一名同学在他的正后方的点处用相同的测角仪测得点的仰角（测角仪的高度为），且图中所有的点都在同一平面内， 测量数据 在点处测得点的仰角为，在点处测得点的仰角为 参考数据 …… …… 根据以上信息，解决下列问题． （1）求该纪念碑的高度．（结果精确到m） （2）该数学兴趣小组要写出一份完整的课题活动报告，除上表中的项目外，你认为还需要补充哪些项目？（写出一个即可） 22. 某地修建一座商场，为了减少夏季和冬季的电能消耗，计划在商场的外墙建造隔热层，其建造成本P（单位：万元）与隔热层厚度x（单位： cm）满足函数解析式：．预计该商场每年的电能消耗费用T（单位：万元）与隔热层厚度x（单位：）满足函数解析式：，其中．设该商场的隔热层建造费用与5年能源消耗费用之和为y（单位：万元） （1）求T的最大值． （2）若y＝202，求该商场建造的隔热层厚度． （3）已知该商场未来5年的相关规划费用为W（单位：万元），且，求W的最小值． 23. 如图，在矩形中，分别是的中点，是直线上一动点，过点作，交直线于点是线段的中点，连接． （1）观察猜想 如图1，当点在线段的延长线上时，线段与的数量关系和位置关系为　　　　　　． （2）类比探究 如图2，当点在线段的延长线上时，（1）中的结论是否成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由． （3）拓展延伸 若，当点在线段的延长线上，且的一个内角是另一个内角的2倍时，请直接写出的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河南省2026届九年级结课评估 数学 九年级全部内容 注意事项：共三个大题，满分120分，作答时间100分钟． 一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的），请把正确答案的代号填在括号中． 1. 下列各式中，是关于的二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数的定义判断，二次函数是形如（，为常数）的整式函数，据此逐一判断即可． 【详解】解：A、是分式，不是整式，不符合定义，该选项不符合题意； B、整理得，符合，符合二次函数定义，该选项符合题意； C、中x的最高次数为1，是一次函数，该选项不符合题意； D、中，一个x对应两个不同的y值，y不是x的函数，该选项不符合题意． 2. 若正边形的半径等于它的边长，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】如图，连接、，证明是等边三角形，得，即可得出答案． 【详解】解：如图，连接、， ∵正边形的半径等于它的边长， ∴， ∴是等边三角形， ∴，即该正边形的中心角为， 又∵正边形所有中心角的和为， ∴． 3. 如图，若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据，则，最后由三角形的内角和定理计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 4. 下面的调查中，最适合用普查的是（ ） A. 了解某款新能源汽车的电池的使用寿命 B. 了解某校八（1）班全体学生的体重 C. 了解我市全体初中生每周做家务的时间 D. 了解黄河中鱼的总质量 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查普查与抽样调查的选择，适合普查的调查特征为，范围小，无破坏性，易操作，结果要求精准，范围过大或具有破坏性的调查更适合抽样调查，据此判断选项即可． 【详解】解：根据普查适用条件判断： 选项A中，调查新能源汽车电池使用寿命具有破坏性，不适合普查，不符合题意； 选项B中，某校八（）班全体学生人数少，范围小，易开展全面调查，符合题意； 选项C中，我市全体初中生数量大，调查范围广，不适合普查，不符合题意； 选项D中，黄河中鱼的数量多，调查操作难度大，不适合普查，不符合题意； 故选：B． 5. 在平面直角坐标系中，将抛物线向下平移个单位长度，再绕原点旋转后，得到的抛物线表达式是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据“上加下减”的平移法则求出向下平移后的抛物线表达式，再根据绕原点旋转的性质，确定旋转后抛物线的开口方向和顶点坐标，即可得到最终结果． 详解】解：∵将抛物线向下平移个单位长度， ∴平移后抛物线的表达式为：， ∴平移后抛物线顶点坐标为，且二次项系数为，开口向下， ∵抛物线绕原点旋转后，抛物线形状不变，开口方向向上，顶点坐标关于原点对称， ∴旋转后抛物线的二次项系数由变为，顶点坐标为， ∴旋转后抛物线的表达式为． 6. 在平面直角坐标系中，若点关于轴的对称点是，则的值为（ ） A. B. 1 C. 7 D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用关于x轴对称的点的坐标特征“关于x轴对称的点横坐标相等，纵坐标互为相反数”得到点P的横纵坐标，再运用平方差公式计算的值即可． 【详解】解：∵点关于轴的对称点是， ∴，， ∴， 由平方差公式得． 7. 中国书法是一门古老的艺术，它伴随着中华文明的发展而发展，被誉为“无言的诗，无形的舞，无图的画，无声的乐”．如图，这是正面分别用楷书、行书、楷书、隶书写有“马”字的四张卡片，它们除正面外完全相同．把这四张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则这两张卡片正面恰好都是用楷书写的“马”字的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】画树状图得出所有等可能的结果数以及卡片正面恰好都是用楷书写的“马”字的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】解：将楷书、行书、楷书、隶书四张卡片分别记为A，B，C，D， 画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中卡片正面恰好都是用楷书写的“马”字的结果有2种， ∴卡片正面恰好都是用楷书写的“马”字的概率为． 8. 关于的一元二次方程根的情况，下列判断正确的是（ ） A. 可能有两个相等的实数根 B. 一定有两个不相等的实数根 C. 不可能有一根为 D. 一定没有实数根 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，通过计算根的判别式的取值范围，结合判别式与根的情况的关系即可判断，再验证特殊情况排除错误选项． 【详解】∵方程是一元二次方程，，，， ∴ ∵无论取任意实数，， ∴， ∴方程一定有两个不相等的实数根，故B正确，A、D错误， 当时，方程变为，解得，，此时方程有一根为，故C错误， 故选：B． 9. 如图，的顶点均在边长为1的正方形网格的格点上，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】找到格点，连接，可得，再根据三角函数的定义求解即可． 【详解】解：连接，如下图： 由题意可得：， 由勾股定理可得：，， ． 10. 如图1，实心小球从某处由静止下落到正下方竖直放置的弹簧上并压缩弹簧．从小球刚接触弹簧到将弹簧压缩至最短的过程中，小球的速度（单位：）与弹簧被压缩的长度（单位：）之间的函数关系近似看作二次函数，其图象如图2所示．已知为该抛物线的顶点，有一条平行于轴的直线，且．当小球的速度不小于时，弹簧被压缩的长度的取值范围是（ ） A. B. 或 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用待定系数法求得该抛物线的解析式，再联立求得直线与抛物线的交点，结合函数图象即可求解． 【详解】解：∵为该抛物线的顶点， ∴设该抛物线的解析式为， 由图象知，抛物线经过点和， ∴， 解得， ∴该抛物线的解析式为， 联立得， 解得， 结合函数图象知弹簧被压缩的长度的取值范围是． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 已知的半径为，，是上一点（不含端点），设．请写出一个使点在外的正整数的值：___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据点与圆的位置关系确定的取值范围，再找出范围内符合要求的正整数即可． 【详解】解：∵ 的半径为，，点在外， ∴， ∵点是上不含端点的点，， ∴可得， ∴点在外的正整数的值为：． 故答案为：． 12. 与最接近的整数是___________． 【答案】 【解析】 【分析】先化简二次根式，再估算无理数的大小，通过比较与相邻整数的距离，得到最接近的整数． 【详解】解：， ∵， ∴， ，， ， ∵，， ∴， ∴，即与的差值更小， ∴更接近， ∴与最接近的整数是． 故答案为：． 13. 从黄河滩区的标准化大棚，到唐店村的品牌化实践，河南草莓产业正走出一条“科技育种规范种植品牌赋能”的高质量发展之路．某村2025年产草莓鲜果150万千克，假设从2025年到2027年，每年草莓鲜果产量的增长率相同，预计2027年的产量为216万千克．设每年草莓鲜果产量的增长率为，则可列方程：___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据“从2025年到2027两年间，把某种产品的产量由150万千克提高到216万千克”列方程即可得解． 【详解】解：设每年草莓鲜果产量的增长率为， 根据题意得． 14. 在中国古代文化中，玉璧寓意吉祥如意，象征着美好的意愿和高贵的品质．如图，这是某玉璧的平面示意图，由一个正方形的内切圆和外接圆组成．若正方形的面积为4，则图中阴影部分的面积是___________． 【答案】 【解析】 【分析】连接、相交于，作于，根据题意求得，，利用圆的面积公式求解即可． 【详解】解：如图：连接、相交于，作于， ∵正方形的面积为4， ∴， ∴，， ∴， ∴图中阴影部分的面积是． 15. 如图，在中，，，，为边上任意一点，连接，将绕点逆时针旋转得到线段．若点恰好落在边上，则的长为___________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查平行四边形的性质、全等三角形的判定及性质、解直角三角形、图形旋转的性质等： 根据题意求出，．分三种情况讨论：当点在线段或其所在直线上时，容易求出、的长度，进而判断点是否在边上；当点在线段或其所在直线上时，如图所示，过点作的垂线，交于点，过点作的垂线，交的延长线于点，容易证明，设，可求得，结合，判断点在边上，求出长度；当点在线段或其所在直线上时，如图所示，过点作的垂线，交于点，过点作的垂线，交于点，可求得，进而可求得的长度，并判断点不在边上． 【详解】解：由旋转的性质可知，，， ∴，， ∵， ∴，，，． ∵， ∴设，． ∴． ∴，． （Ⅰ）当点在线段或其所在直线上时，如图所示． ∵，． ∴，． ∴． ∴． ∵， ∴点在边上． ∴． （Ⅱ）当点在线段或其所在直线上时，如图所示，过点作的垂线，交于点，过点作的垂线，交的延长线于点． 由（Ⅰ）可知，，． 设． ∵， ∴． 又∵，， ∴． ∴，． ∴． ∵， ∴． ∴，． ∴，． ∴，， ∴，． ∴． ， ∴点在边上． ∴． （Ⅲ）当点在线段或其所在直线上时，如图所示，过点作的垂线，交于点，过点作的垂线，交于点． ∵， ∴． 又∵，， ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． ∴点不在边上．此种情况舍去． 综上所述，或． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 计算以及证明 （1）计算：． （2）如图，在与中，．求证：． 【答案】（1） （2）证明：∵ ∴，即 又∵， ∴， ∴， ∴ 【解析】 【分析】（1）根据二次根式的乘法，特殊角的三角函数值，以及零指数幂进行计算即可求解； （2）根据已知得出，结合，证明，根据相似三角形的性质即可求解． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 略 17. 学习消防知识是青少年成长的“必修课”．某校九年级共有1300名学生，为了解九年级学生对消防知识的掌握情况，对九年级全体学生进行相关测试（满分100分），并选取了部分学生作为样本，根据他们的成绩（单位：分）绘制出如下的频数分布表． 九年级部分学生测试成绩频数分布表 组别 测试成绩/分 频数 A 1 B 3 C 5 D 12 E 4 根据以上信息，回答下列问题． （1）关于选取部分学生，下列最合适的是　　　　　　．（填序号） ①随机选取该校九年级25名男生； ②随机选取该校九年级25名女生； ③随机选取该校九年级25名学生． （2）若90分以上为非常优秀，估计该校九年级这1300名学生对消防知识的掌握情况为非常优秀的人数． （3）为积极促进学生对消防知识的掌握，学校计划从本次测试在90分以上的1名女同学和3名男同学中，随机选择两名同学给全校同学分享学习消防知识的心得与方法，请用列表或画树状图的方法，求选择的两名同学恰好是一男一女的概率． 【答案】（1）③ （2）208 （3） 【解析】 【分析】（1）利用样本的代表性即可作出判断； （2）由全校总人数乘以达到优秀的学生人数所占的比例即可； （3）列表，共有12种等可能的结果，其中选择的两位同学恰好是一位男生和一位女生的结果有6种，再由概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：随机选取该校25名男生或选取该校25名女生，这些对象都缺乏代表性和广泛性，得到的结果也缺乏准确性， 随机选取该校九年级25名学生符合题意； 【小问2详解】 解：选取的学生中90分以上的人数有4人，本次选取的学生人数为25人， ∴九年级1300名学生对消防知识的掌握情况为非常优秀的学生人数约为（人）； 【小问3详解】 解：记三个男生分别为男1，男2，男3，列表如下： 女 男1 男2 男3 女 （男1，女） （男2，女） （男3，女） 男1 （女，男1） （男2，男1） （男3，男1） 男2 （女，男2） （男1，男2） （男3，男2） 男3 （女，男3） （男1，男3） （男2，男3） 由列表可知，共有12种等可能的结果，其中选择的两位同学恰好是一位男生和一位女生的结果有6种， ∴P（选择的两位同学恰好是一男一女）＝＝． 18. 如图，在中，． （1）请用无刻度的直尺和圆规作（圆心在上，的长为半径），且与所在的直线都相切．（保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）的条件下，若与的切点为，，求的长． 【答案】（1） 由题意，作图如下： （2） 【解析】 【分析】（1）根据切线的性质，得到点到的距离相等，都等于的长，进而得到圆心在的角平分线上，作的角平分线交于点，再以为圆心，的长为半径画圆即可； （2）求出半径的长，利用弧长公式进行计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接，则，， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴． 19. 如图，这是一张2026年1月的月历表．在此月历表上可以用一个正方形框任意圈出4个数（如2，3，9，10）． （1）若圈出的4个数中最小的数为，则最大的数为　　　　　　．（用含的代数式表示） （2）若圈出的4个数中最大的数与最小的数的乘积为105，求这4个数中最小的数． （3）方框中最大的数与最小的数的乘积与这四个数的和能为269吗？若能，请直接写出最小的数；若不能，请说明理由． 【答案】（1） （2）7 （3）方框中最大的数与最小的数的乘积与这四个数的和不能为269， 理由如下：设圈出的4个数中最小的数为m，则其他三个数分别为， ∵方框中最大的数与最小的数的乘积与这四个数的和为269， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴或，解得或（舍去）， 当，即圈出的最小的数为11时，结合月历可知，此时不能圈出对应的四个数， ∴方框中最大的数与最小的数的乘积与这四个数的和不能为269． 【解析】 【分析】（1）根据月历的特点列式即可； （2）设圈出的4个数中最小的数为，则最大的数为，根据题意可得方程，解方程即可得到答案； （3）设圈出的4个数中最小的数为m，则其他三个数分别为，根据题意可得方程，解方程即可得到答案． 【小问1详解】 解：由题意得，若圈出的4个数中最小的数为，则最大的数为； 【小问2详解】 解：设圈出的4个数中最小的数为，则最大的数为， ∴， ∴， ∴， ∴或， 解得或（舍去）， ∴这4个数中最小的数为7； 【小问3详解】 略 20. 如图，在中，以为直径的与相切于点，与交于点，连接，且． （1）求的长． （2）是上一点，且在的下方，连接．当是以为底边的等腰三角形时，请直接写出的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据切线的性质和圆周角定理推导出，利用相似三角形的对应边成比例求解即可； （2）连接交于F，先等腰三角形的性质和垂径定理得到，，再利用三角形的中位线得到，然后利用勾股定理计算可得到，进而利用三角形的面积公式求解即可． 【小问1详解】 解：∵为的直径， ∴，则， ∵与相切于点， ∴，则， ∴，又， ∴， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 解：如图，连接交于F， ∵是以为底边的等腰三角形， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴，则， ∴，则， ∴的面积为． 21. 铭记革命先烈，赓续红色基因．某数学兴趣小组参观了位于焦作温县的张祥云烈士纪念碑，并开展了测量纪念碑高度的活动，记录如下： 活动主题 测量纪念碑的高度 实物图 和测量 示意图 测量步骤 如图，某同学在点处用测角仪测得纪念碑最高点的仰角，另一名同学在他的正后方的点处用相同的测角仪测得点的仰角（测角仪的高度为），且图中所有的点都在同一平面内， 测量数据 在点处测得点的仰角为，在点处测得点的仰角为 参考数据 …… …… 根据以上信息，解决下列问题． （1）求该纪念碑的高度．（结果精确到m） （2）该数学兴趣小组要写出一份完整的课题活动报告，除上表中的项目外，你认为还需要补充哪些项目？（写出一个即可） 【答案】（1）该纪念碑的高度为 （2）误差分析与改进建议，总结与反思等（答案不唯一） 【解析】 【分析】（1）延长交于点，分别解和，求出，再根据线段的和差关系进行求解即可； （2）根据完整的课题报告所含内容，进行作答即可． 【小问1详解】 解：延长交于点，则由题意可知：，，，， 在中，， ∴； 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴； 答：该纪念碑高度为； 【小问2详解】 解：该数学兴趣小组要写出一份完整的课题活动报告，除上表中的项目外，还需要补充误差分析与改进建议，总结与反思等项目． 22. 某地修建一座商场，为了减少夏季和冬季的电能消耗，计划在商场的外墙建造隔热层，其建造成本P（单位：万元）与隔热层厚度x（单位： cm）满足函数解析式：．预计该商场每年的电能消耗费用T（单位：万元）与隔热层厚度x（单位：）满足函数解析式：，其中．设该商场的隔热层建造费用与5年能源消耗费用之和为y（单位：万元） （1）求T的最大值． （2）若y＝202，求该商场建造的隔热层厚度． （3）已知该商场未来5年的相关规划费用为W（单位：万元），且，求W的最小值． 【答案】（1） （2）隔热层修建时，总费用达到202万元 （3）隔热层修建时，总费用达到最小值万元 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，解一元二次方程，代数式的配方等知识点，熟练掌握二次函数的图象和性质是解决此题的关键． (1)先将，利用配方法化成顶点式，再利用二次函数的性质即可得解； (2)由题意可得，解一元二次方程得答案； (3)由题意可得，将其化成顶点式，再利用二次函数的性质即可得解． 【小问1详解】 解： ， ， 时，T随x的增大而减小， ， 当时，； 【小问2详解】 解： ， 由得，， ， 解得，或， ， （舍去）， 隔热层修建时，总费用达到202万元； 【小问3详解】 解： ， 对称轴为直线， ， 离对称轴越远，越小， ， 当时，， 隔热层修建时，总费用达到最小值万元． 23. 如图，在矩形中，分别是的中点，是直线上一动点，过点作，交直线于点是线段的中点，连接． （1）观察猜想 如图1，当点在线段的延长线上时，线段与的数量关系和位置关系为　　　　　　． （2）类比探究 如图2，当点在线段的延长线上时，（1）中的结论是否成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由． （3）拓展延伸 若，当点在线段的延长线上，且的一个内角是另一个内角的2倍时，请直接写出的面积． 【答案】（1） （2） 解：（1）中的结论成立，证明如下， 如图， 同理可得是等腰直角三角形， ∴， ∴ ∵分别为的中点， ∴， 又∵， ∴ ∴； （3）或 【解析】 【分析】（1）连接并延长交的延长线于点，根据题意得出四边形、是正方形，根据分别为的中点，得出，，结合，即可求解； （2）同（1）的方法证明，即可求解； （3）根据题意得出只有两种情况，即或满足的一个内角是另一个内角的2倍，过点作于点，设，则，进而得出，分类讨论得出，，解直角三角形，得出的值，即可求解． 【小问1详解】 解： 如图，连接并延长交的延长线于点， ∵矩形，分别是的中点， ∴， ∴四边形是菱形， 又∵ ∴四边形是正方形， 同理四边形是正方形， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形，则 ∵， ∴，， ∴是等腰直角三角形， 同理是等腰直角三角形， ∴ 又∵， ∴， ∵ ∴ ∵分别为的中点， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 略； 【小问3详解】 解：∵的一个内角是另一个内角的2倍， ∴只有两种情况，即或 如图，过点作于点， ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ 设，则， ∴，则 ∴ ∴ ∴ ∴ 当 ∴， ∵ ∴， ∴ ∴ ∴ 解得： ∴ 当时， ∴ 在中， ∴， ∴ ∴ ∴， ∵ ∴ ∴ ∴ 综上所述，的面积为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $