专题03 一次函数（专项训练）数学新教材冀教版八年级下册

专题03 一次函数（原卷版） 目录 A题型建模・专项突破 题型一、一次函数的概念辨析（常考点） 1 题型二、求一次函数自变量或函数值（常考点） 2 题型三、列一次函数解析式并求值（常考点） 3 题型四、一次函数的图像和性质（重点） 4 题型五、待定系数法求一次函数解析式（重点） 5 题型六、一次函数与一元一次方程、不等式的综合（重点） 7 题型七、一次函数的实际应用（重点） 8 题型八、一次函数与平面直角坐标系的综合（难点） 10 题型九、一次函数与几何图形的综合应用（难点） 13 B综合攻坚・能力跃升 题型一、一次函数的概念辨析 1．下列函数（1） ，（2） ，（3） ，（4） 中，是一次函数的有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 2．下列函数：①；②；③；④；⑤．其中是一次函数的有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 3．有下列函数关系式：①；②；③；④，其中一次函数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型二、求一次函数自变量或函数值 4．（2026·河北邢台·一模）无论取何值，一次函数的图象一定经过点（   ） A． B． C． D． 5．小明在学习画一次函数的图象时，列表如下： x … 0 1 2 … y … 7 2 … 小红看了之后说小明把其中一个函数值算错了，这个算错的函数值是（   ） A．2 B． C． D． 6．已知一次函数（k为常数，且），无论k取何值，该函数的图像总经过一个定点，则这个定点的坐标是（    ） A． B． C． D． 题型三、列一次函数解析式并求值 7．（21-22八年级下·河北保定·期末）已知正比例函数的图象经过点，如果和在该函数的图象上，那么a和b的大小关系是（    ） A． B． C． D． 8．（22-23八年级上·广东·单元测试）某公交公司的16路公交车每月的支出费用为4000元，每月的乘车人数（人与这趟公交车每月的利润（利润收入费用支出费用）（元的变化关系如表所示（每位乘客乘一次公交的票价是固定不变的） （人 500 1000 1500 2000 2500 3000 （元 0 1000 2000 请回答下列问题： (1)自变量为　　，因变量为　　； (2)与之间的关系式是 　　； (3)当每月乘车人数为4000人时，每月利润为多少元？ 9．（24-25八年级下·河北石家庄·期中）王老师计划组织朋友暑假去革命圣地延安两日游．经了解，现有甲、乙两家旅行社比较合适，报价均为每人元，且提供的服务完全相同．针对组团两日游的游客，甲旅行社表示，每人都按八五折收费；乙旅行社表示，若人数不超过人，每人都按九折收费，超过人，则超出部分每人按七五折收费．假设组团参加两日游的人数为人． (1)请分别写出甲、乙两家旅行社收取组团两日游的总费用与之间的函数关系式； (2)若王老师组团参加两日游的共有人，请你通过计算，在甲、乙两家旅行社中，帮助王老师选择收取总费用较少的一家． 题型四、一次函数的图像和性质 10．（25-26·上海·期中）已知一次函数的图像经过点，且随的增大而减小，则该函数图像可能是（   ） A．经过第一、二、三象限 B．经过第一、二、四象限 C．经过第一、三、四象限 D．经过第二、三、四象限 11．（24-25八年级下·河北唐山·月考）当时，函数（为常数且）有最小值是，则函数的最大值为________． 12．（24-25八年级下·河北石家庄·期中）已知关于的函数． (1)若此函数为正比例函数，求的值； (2)若此函数为一次函数，且图像不经过第二象限，求的取值范围． 题型五、待定系数法求一次函数解析式 13．（24-25八年级下·河北保定·期末）如图，已知直线交轴于点，交轴于点，直线交轴于点，与直线相交于点．则直线的解析式（　　）； A． B． C． D． 14．（22-23八年级下·河北石家庄·期中）如图所示的计算程序中，y与x之间的函数关系所对应的图象大致应为（    ） A． B． C． D． 15．如图所示，直线分别与x轴、y轴交于点A、B，以线段为边，在第二象限内作等腰直角，，则过B、C两点直线的解析式为（　　） A． B． C． D． 题型六、一次函数与一元一次方程、不等式的综合 16．如图，一次函数与的图象在同一平面直角坐标系中，则二元一次方程组的解是（    ） A． B． C． D． 17．（22-23八年级下·河北邯郸·期中）如图，已知函数的图象交于点，则根据图象可得不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 18．（2024·河南开封·二模）数形结合是我们解决数学问题常用的思想方法．如图，一次函数与（，为常数，）的图象相交于点，则不等式的解集在数轴上表示为（   ） A． B． C． D． 题型七、一次函数的实际应用 19．（2026·河北秦皇岛·一模）某水果种植基地计划租若干辆货车装运苹果和橘子共60吨（苹果和橘子都有）送往外地，要求每辆货车只能装运一种水果，且必须装满．设装运苹果的货车有辆，总利润为元． 苹果 橘子 每辆车装载量（吨） 4 6 每吨获利（元） 1200 1500 (1)若装运苹果的货车有3辆，则装运橘子的货车有_____辆； (2)求与之间的函数关系式（不写的取值范围）； (3)若装运苹果的货车的辆数不得少于装运橘子的货车的辆数，要想获得最大利润，求安排装运苹果的货车的辆数，并将最大利润的结果用科学记数法表示． 20．年，路桥南官河绿道工程中的银安街一南官大道段完成游步道建设，该游步道非常平直，长度约为米．小聪和小明两位同学都从银安街出发，沿该游步道步行到南官大道，他们的步行速度都是匀速的，小聪早分钟出发，且约定先到南官大道的人原地休息．在整个步行过程中，小聪、小明两人之间的距离s（单位：米）和小聪出发的时间（单位：分）之间的函数关系如图所示． (1)分别求出小聪和小明的步行速度，并说明点的实际意义； (2)求线段的函数表达式； (3)小聪出发几分钟时，他和小明之间的距离为180米？ 21．李老师计划购进一批宫灯，已知甲、乙两个商店的标价都是每个元．两商店的售卖方式如下： 甲商店：购买一张会员卡，享受会员价，每个宫灯可按标价的七折售卖； 乙商店：不购买会员卡，每个宫灯可按标价的九折售卖． 设李老师购买宫灯个，在甲商店购买所需费用为元，且，在乙商店购买所需费用为元． (1)甲商店一张会员卡的价格为 元； (2)求 的函数表达式； (3)若李老师准备购买个宫灯，则选哪个商店比较合算?请说明理由． 题型八、一次函数与平面直角坐标系的综合 22．（25-26八年级上·河北保定·期末）如图，直线与轴交于点，与轴交于点，直线与交于点，直线是一次函数的图象． (1)求直线的表达式； (2)当直线把线段分为两部分时，求的值； (3)若直线与直线不能围成三角形，直接写出的值． 23．（24-25八年级下·河北衡水·月考）在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴，y轴分别交于点A， (1)在如图所示的平面直角坐标系中画出该一次函数的图象，并标出点A，B； (2)①若点，在该一次函数的图象上，且，则______（用“>”或“<”填空）； ②当时，y的取值范围是______ (3)将一次函数的图象沿y轴向上平移个单位长度，所得直线与x轴交于点E，若，求m的值． 24．（24-25八年级下·河北唐山·期末）如图，直线，直线经过点，直线与直线交于点N． (1)求n的值； (2)若点N在x轴上，求k的值并在图中画出直线； (3)若点N总在点M的右侧，直接写出k的取值范围． 题型九、一次函数与几何图形的综合应用 25．（25-26八年级上·河北保定·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知一次函数的图象分别与轴、轴交于点、两点． (1)点的坐标是__________，点的坐标是__________． (2)若点是直线上一点，求直线的解析式． (3)在直线上是否存在一点，使的面积等于面积的2倍？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 26．（25-26八年级上·河北保定·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴、轴交于，两点，与直线交于点，其中点的横坐标为． (1)求直线的函数表达式． (2)为直线在第一象限上的一点，连接，．当的面积为时，求出符合条件的点的坐标． (3)为线段上的一点，当时，直接写出符合条件的点的坐标． 27．（25-26八年级上·河北保定·期末）如图，直线与轴，轴分别交于点，，直线与线段交于点，与轴交于点，与轴交于点． (1)直接写出点，点，点的坐标； (2)连接，若，求出长度，并计算的面积； (3)若，直接写出点的坐标． 1．（23-24八年级下·河北唐山·期中）在同一平面直角坐标系内，直线与直线互相平行，则的值（   ） A． B． C． D． 2．直线在平面直角坐标系中的位置如图所示，则不等式的解集是（    ）． A． B． C． D． 3．（23-24八年级上·河北保定·期中）下列关于x的函数是一次函数的是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24八年级下·河北邢台·期末）将直线向下平移3个单位长度后得到直线，下列关于的描述正确的是（　　） A． B．y随x的增大而增大 C．方程的解为 D．图象不经过第二象限 5．（22-23八年级上·河北保定·期末）如图，一次函数的图象与的图象相交于点，则方程组的解是（　　） A． B． C． D． 6．（22-23八年级下·河北石家庄·期中）如图，一次函数的图像分别与x轴、y轴交于A，B两点，过原点O作垂直于直线交于点，过点作垂直于x轴交x轴于点，过点作垂直于直线交于点，过点作垂直于x轴交x轴于点，依此规律作下去，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 7．（22-23八年级下·河北石家庄·期末）如图，点，，若N是x轴上使得的值最大的点，则的长为（　　） A． B． C．8 D．6 8．（23-24八年级下·河北廊坊·月考）将直线向右平移个单位，平移后的直线经过点，则（   ） A． B． C． D． 9．已知一次函数的图象与的图象交于点，则对于不等式，下列说法正确的是（　　） A．当时， B．当时， C．当且时， D．当且时， 10．将函数的图象记为．若一次函数的图象与有交点，则的取值范围是（   ） A． B．或 C．或 D．或 11．（21-22八年级下·河北廊坊·期末）将一次函数的图象向下平移3个单位长度，相应的函数表达式为_______． 12．（21-22八年级下·河北石家庄·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，，……，都在x轴上，点，，……在直线y＝x上，，，，，都是等腰直角三角形，如果，则点的坐标是______． 13．（22-23八年级上·河北保定·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，，直线l的表达式为：． (1)当时，直线l与x轴的交点的坐标是__________； (2)嘉嘉发现：直线l恒过一点，请你通过计算找出这点； (3)若线段AB与直线l有交点，请直接写出k的取值范围． 14．（24-25八年级下·河北唐山·期末）如图，平面直角坐标系中，有一动点和一定点，将点A先向左平移5个单位长度，再向下平移5个单位长度得到点B． (1)在图中画出点B，并连接，求直线的解析式； (2)当点P在直线上时，求点P的坐标； (3)连结、，若点P在内部（包括边上），直接写出a的取值范围． 15．（24-25八年级下·河北承德·期末）某厂家生产、两种产品，已知花费320元生产产品比花费320元生产产品数量多4个，且产品的成本比产品的成本少． (1)求、两种产品的成本各为多少元； (2)厂家计划销售两种产品共100个，若每个产品的售价为35元，每个产品的售价为25元，设销售产品个，共可获利润为元，求与的函数关系式（不要求写出的取值范围）； (3)在（2）的条件下，若销售产品的数量不超过销售产品数量的一半，则销售产品多少个时，销售利润最大，最大为多少元？ 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 一次函数（解析版） 目录 A题型建模・专项突破 题型一、一次函数的概念辨析（常考点） 1 题型二、求一次函数自变量或函数值（常考点） 2 题型三、列一次函数解析式并求值（常考点） 3 题型四、一次函数的图像和性质（重点） 4 题型五、待定系数法求一次函数解析式（重点） 5 题型六、一次函数与一元一次方程、不等式的综合（重点） 7 题型七、一次函数的实际应用（重点） 8 题型八、一次函数与平面直角坐标系的综合（难点） 10 题型九、一次函数与几何图形的综合应用（难点） 13 B综合攻坚・能力跃升 题型一、一次函数的概念辨析 1．下列函数（1） ，（2） ，（3） ，（4） 中，是一次函数的有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【解析】解：由一次函数的定义可知：和是一次函数，和都不是一次函数； 故选C． 2．下列函数：①；②；③；④；⑤．其中是一次函数的有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【解析】解：①是一次函数； ②是一次函数； ③，等号右边不是整式，不是一次函数； ④是一次函数； ⑤，未知数的最高次是2次，不是一次函数， ∴是一次函数的有①②④， 故选：B． 3．有下列函数关系式：①；②；③；④，其中一次函数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【解析】解：①是一次函数，②是一次函数，③的自变量的次数为2，不是一次函数，④的在分母上，不是一次函数， 所以一次函数有个， 故选B． 题型二、求一次函数自变量或函数值 4．（2026·河北邢台·一模）无论取何值，一次函数的图象一定经过点（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：∵， ∴整理得， ∵无论取何值，一次函数图象一定经过该定点，等式恒成立， ∴， 解得 ， ∴一次函数图象一定经过定点． 5．小明在学习画一次函数的图象时，列表如下： x … 0 1 2 … y … 7 2 … 小红看了之后说小明把其中一个函数值算错了，这个算错的函数值是（   ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【解析】解：由表格数据，前三对数据中，的值每增加1，函数值减小5， ∴当时，， 当时，， 故算错的函数值为； 故选C． 6．已知一次函数（k为常数，且），无论k取何值，该函数的图像总经过一个定点，则这个定点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：∵， 当时，， ∴无论k取何值，该函数的图像总经过一个定点； 故选：B． 题型三、列一次函数解析式并求值 7．（21-22八年级下·河北保定·期末）已知正比例函数的图象经过点，如果和在该函数的图象上，那么a和b的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为点（-2，4）在函数y=kx的图象上， 所以， 解得， 所以函数关系式为． 因为点（1，a）和点（-1，b）在该函数图像上， 所以，， 所以． 故选：D． 8．（22-23八年级上·广东·单元测试）某公交公司的16路公交车每月的支出费用为4000元，每月的乘车人数（人与这趟公交车每月的利润（利润收入费用支出费用）（元的变化关系如表所示（每位乘客乘一次公交的票价是固定不变的） （人 500 1000 1500 2000 2500 3000 （元 0 1000 2000 请回答下列问题： (1)自变量为　　，因变量为　　； (2)与之间的关系式是 　　； (3)当每月乘车人数为4000人时，每月利润为多少元？ 【答案】(1)每月的乘车人数，公交车每月的利润 (2) (3)当每月乘车人数为4000人时，每月利润为4000元 【解析】（1）解：由题意可知： 自变量是：每月的乘车人数，因变量是：公交车每月的利润． 故答案为∶ 每月的乘车人数，公交车每月的利润． （2）解：从表格中数据变化可知，每月乘车人数每增加500人，其每月的利润就增加1000元， 每位乘客坐一次车需要（元， 即函数关系式为： ． （3）解：当时， （元． 答：当每月乘车人数为4000人时，每月利润为4000元． 9．（24-25八年级下·河北石家庄·期中）王老师计划组织朋友暑假去革命圣地延安两日游．经了解，现有甲、乙两家旅行社比较合适，报价均为每人元，且提供的服务完全相同．针对组团两日游的游客，甲旅行社表示，每人都按八五折收费；乙旅行社表示，若人数不超过人，每人都按九折收费，超过人，则超出部分每人按七五折收费．假设组团参加两日游的人数为人． (1)请分别写出甲、乙两家旅行社收取组团两日游的总费用与之间的函数关系式； (2)若王老师组团参加两日游的共有人，请你通过计算，在甲、乙两家旅行社中，帮助王老师选择收取总费用较少的一家． 【答案】(1)甲旅行社收取组团两日游的总费用与之间的函数关系式为，乙旅行社收取组团两日游的总费用与之间的函数关系式为； (2)若王老师组团参加两日游的共有人，选择乙旅行社． 【解析】（1）解：根据题意可得， 甲旅行社收取组团两日游的总费用 当时，乙旅行社收取组团两日游的总费用， 当时，乙旅行社收取组团两日游的总费用， ∴乙旅行社收取组团两日游的总费用， 答：甲旅行社收取组团两日游的总费用与之间的函数关系式为，乙旅行社收取组团两日游的总费用与之间的函数关系式为． （2）解：当时， 甲旅行社收取总费用（元） 乙旅行社收取总费用（元） ∵， ∴乙旅行社收取总费用较少， 答：若王老师组团参加两日游的共有人，选择乙旅行社． 题型四、一次函数的图像和性质 10．（25-26·上海·期中）已知一次函数的图像经过点，且随的增大而减小，则该函数图像可能是（   ） A．经过第一、二、三象限 B．经过第一、二、四象限 C．经过第一、三、四象限 D．经过第二、三、四象限 【答案】B 【解析】由点代入 得，则函数图像与轴交于正半轴； 由随的增大而减小得，图像呈下降趋势； ∴一次函数图像经过第一、二、四象限． 故选B． 11．（24-25八年级下·河北唐山·月考）当时，函数（为常数且）有最小值是，则函数的最大值为________． 【答案】 【解析】解：∵， ∴随的增大而减小， ∵， ∴当时，y有最小值是， ∴， 解得， ∴， 当时，y取最大值，最大值为． 故答案为：． 12．（24-25八年级下·河北石家庄·期中）已知关于的函数． (1)若此函数为正比例函数，求的值； (2)若此函数为一次函数，且图像不经过第二象限，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【解析】（1）解：根据正比例函数的定义可得， ， 解得，且此时， 所以的值为1； （2）解：根据题意得， ∴，且， 解得， 所以，的取值范围为． 题型五、待定系数法求一次函数解析式 13．（24-25八年级下·河北保定·期末）如图，已知直线交轴于点，交轴于点，直线交轴于点，与直线相交于点．则直线的解析式（　　）； A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：∵直线与直线相交于点, ∴， 解得 ∴， 把点，代入得， ， 解得， ∴直线的解析式为：； 故选：A． 14．（22-23八年级下·河北石家庄·期中）如图所示的计算程序中，y与x之间的函数关系所对应的图象大致应为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：根据题意，得， 图象为， 故选：D． 15．如图所示，直线分别与x轴、y轴交于点A、B，以线段为边，在第二象限内作等腰直角，，则过B、C两点直线的解析式为（　　）    A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：如图，过点作轴， 则， 对于直线，令，得到， 即，， 令，得到， 即，， ∵为等腰直角三角形， 即，， ∴， ∴， 在和中 ， ∴， ∴，， 即， ∴， 设直线的解析式为， ∵， ， 解得 ， ∴过B、C两点的直线对应的函数表达式是， 故选：B． 题型六、一次函数与一元一次方程、不等式的综合 16．如图，一次函数与的图象在同一平面直角坐标系中，则二元一次方程组的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：由图知，二元一次方程组的解是， 故选：B． 17．（22-23八年级下·河北邯郸·期中）如图，已知函数的图象交于点，则根据图象可得不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：不等式表示函数的函数值大于函数的函数值， 即函数的图象在函数的图象的上方， 由图可知，当时，函数的图象在函数的图象的上方， 故不等式的解集是， 故选：C． 18．（2024·河南开封·二模）数形结合是我们解决数学问题常用的思想方法．如图，一次函数与（，为常数，）的图象相交于点，则不等式的解集在数轴上表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：由一次函数的图象可知，当时，一次函数的图象在一次函数的图象下方， ∴不等式的解集是， 在数轴上表示的解集为 ， 故选：． 题型七、一次函数的实际应用 19．（2026·河北秦皇岛·一模）某水果种植基地计划租若干辆货车装运苹果和橘子共60吨（苹果和橘子都有）送往外地，要求每辆货车只能装运一种水果，且必须装满．设装运苹果的货车有辆，总利润为元． 苹果 橘子 每辆车装载量（吨） 4 6 每吨获利（元） 1200 1500 (1)若装运苹果的货车有3辆，则装运橘子的货车有_____辆； (2)求与之间的函数关系式（不写的取值范围）； (3)若装运苹果的货车的辆数不得少于装运橘子的货车的辆数，要想获得最大利润，求安排装运苹果的货车的辆数，并将最大利润的结果用科学记数法表示． 【答案】(1)8 (2) (3)安排装运苹果的货车6辆，最大利润为元 【解析】（1）解：（辆）， （2）解：由题知，； （3）解：装运苹果的货车的辆数不得少于装运橘子的货车的辆数， ，且为正整数， ∴， ， 随的增大而减小， 当时，利润最大， 即安排装运苹果的货车的辆数为时，利润最大为（元）． 20．年，路桥南官河绿道工程中的银安街一南官大道段完成游步道建设，该游步道非常平直，长度约为米．小聪和小明两位同学都从银安街出发，沿该游步道步行到南官大道，他们的步行速度都是匀速的，小聪早分钟出发，且约定先到南官大道的人原地休息．在整个步行过程中，小聪、小明两人之间的距离s（单位：米）和小聪出发的时间（单位：分）之间的函数关系如图所示． (1)分别求出小聪和小明的步行速度，并说明点的实际意义； (2)求线段的函数表达式； (3)小聪出发几分钟时，他和小明之间的距离为180米？ 【答案】(1)小聪的速度为米/分，小明的速度为米/分，见解析 (2) (3)分钟或分钟 【解析】（1）解：小聪的速度为：（米/分）； 小明的速度为：（米/分）； 点的实际意义是：当小聪出发分钟时，小明追上小聪； （2）解：点的实际意义是小明到达终点，他到达终点所花时间为（分钟）， 点的横坐标为，他与小聪相距（米）， 点的坐标为， 点的实际意义是小聪到达终点，他到达终点所花的时间为（分钟）， 点的坐标为， 设线段的函数表达式为， 将，分别代入， 可得：， 解得：， 线段的函数表达式为； （3）解：设线段的函数表达式为， 将，分别代入， 可得：， 解得：， 线段的函数表达式为， 在线段上 当时，可得：， 解得：， 在线段上， 当时，可得， 解得：， 小聪出发分钟或分钟时，他和小明之间的距离为米． 21．李老师计划购进一批宫灯，已知甲、乙两个商店的标价都是每个元．两商店的售卖方式如下： 甲商店：购买一张会员卡，享受会员价，每个宫灯可按标价的七折售卖； 乙商店：不购买会员卡，每个宫灯可按标价的九折售卖． 设李老师购买宫灯个，在甲商店购买所需费用为元，且，在乙商店购买所需费用为元． (1)甲商店一张会员卡的价格为 元； (2)求 的函数表达式； (3)若李老师准备购买个宫灯，则选哪个商店比较合算?请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)李老师选乙商店比较合算，理由见解析 【解析】（1）解：当时，， ∴甲商店一张会员卡的价格为元， 故答案为：； （2）解：由题意得，， ∴ 的函数表达式为； （3）解：选乙商店比较合算．理由如下： 当时，，， ∵， ∴李老师选乙商店比较合算． 题型八、一次函数与平面直角坐标系的综合 22．（25-26八年级上·河北保定·期末）如图，直线与轴交于点，与轴交于点，直线与交于点，直线是一次函数的图象． (1)求直线的表达式； (2)当直线把线段分为两部分时，求的值； (3)若直线与直线不能围成三角形，直接写出的值． 【答案】(1) (2)或 (3)或或 【解析】（1）解：把代入，得， ∴， 设直线的表达式为， 把，代入，得， 解得， ∴直线的表达式为； （2）解：对于直线，当时，， 解得， ∴， ∴， 对于直线，当时，， 解得， ∴直线与x轴交于， ∵直线把线段分为两部分， ∴或， 解得或； （3）解：对于直线，当时，， ∴直线与y轴交于， ∵直线与直线不能围成三角形， ∴分三种情况讨论：①当直线经过点时， ∴， 解得； ②当时，； ③当时， ∴或或． 23．（24-25八年级下·河北衡水·月考）在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴，y轴分别交于点A， (1)在如图所示的平面直角坐标系中画出该一次函数的图象，并标出点A，B； (2)①若点，在该一次函数的图象上，且，则______（用“>”或“<”填空）； ②当时，y的取值范围是______ (3)将一次函数的图象沿y轴向上平移个单位长度，所得直线与x轴交于点E，若，求m的值． 【答案】(1)见解答图 (2)①>；② (3)m的值为 【解析】（1）解：已知一次函数的图象与x轴，y轴分别交于点A，B， 当时，， ， 当时，解得， ， 函数图象如图． （2）解：①由图象可知，一次函数随x的增大而减小， 点，在该一次函数的图象上，且， ， 故答案为：>； ②由图象可知，当时，y的取值范围是， 故答案为：； （3）解：将一次函数的图象沿y轴向上平移个单位长度，得到， 令，则求得， ， ， ， ， 的值为 24．（24-25八年级下·河北唐山·期末）如图，直线，直线经过点，直线与直线交于点N． (1)求n的值； (2)若点N在x轴上，求k的值并在图中画出直线； (3)若点N总在点M的右侧，直接写出k的取值范围． 【答案】(1) (2)；作图见解析 (3)或 【解析】（1）解：由题意，∵直线经过点， ， ． （2）解：由题意，∵直线为， ∴当时，，则与轴必定交于． 结合（1）可得直线为， 当时，， 又 ∵直线与直线交于点，且点在轴上， ， ， ， 直线，作图如下． （3）解：由题意，联立方程组， ， ， ∵点总在点的右侧，， 或， 或． 题型九、一次函数与几何图形的综合应用 25．（25-26八年级上·河北保定·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知一次函数的图象分别与轴、轴交于点、两点． (1)点的坐标是__________，点的坐标是__________． (2)若点是直线上一点，求直线的解析式． (3)在直线上是否存在一点，使的面积等于面积的2倍？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，或 【解析】（1）解：令， 令， ∴点的坐标是．点的坐标是； 故答案为：． （2）解：∵点是直线上一点， ∴，解得：， ∴点， 设直线的解析式是， 把点代入得：， 解得：， ∴直线的解析式是， 故答案为：． （3）解：存在， 由（1）得：点的坐标是，点的坐标是， ， 设点的坐标为， ∵的面积等于面积的2倍， ， 整理得， 或， 解得：或， ∴点的坐标为或． 26．（25-26八年级上·河北保定·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴、轴交于，两点，与直线交于点，其中点的横坐标为． (1)求直线的函数表达式． (2)为直线在第一象限上的一点，连接，．当的面积为时，求出符合条件的点的坐标． (3)为线段上的一点，当时，直接写出符合条件的点的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【解析】（1）解：点在上，且横坐标为， 当，， 点的坐标为， 设直线的解析式为， 将点，代入， 可得， 解得， 则直线的解析式为． 答：． （2）解：如图，过点作轴，交于点， 为直线在第一象限上的一点， 设点的坐标为， 令的，可得， 点的坐标为， ， 令的，可得， 点的坐标为，即， ， ，即或， 解得或（不合题意，舍去）， 则的坐标为． 答：． （3）解：如图，过点作轴，交于点， 点的坐标为，点的坐标为， ，为等腰直角三角形， ， 令的，可得， 点的坐标为，即， 在轴上取点，使，连接，交于点， 在和中， ， ， ， ， ， 设所在直线为， 将点和点代入， 可得， 解得， 直线为， 将直线与直线联立可得 ， 解得， 点的坐标为． 答：． 27．（25-26八年级上·河北保定·期末）如图，直线与轴，轴分别交于点，，直线与线段交于点，与轴交于点，与轴交于点． (1)直接写出点，点，点的坐标； (2)连接，若，求出长度，并计算的面积； (3)若，直接写出点的坐标． 【答案】(1)，，； (2)，的面积为； (3) 【解析】（1）解：对于直线， 令，则，解得， ； 令，则， ； 对于直线，令，则， ； 故，，． （2）解：设，则， ， ，， ， ∴， ， ， 解得，即； ， ， 的面积； （3）解：过点作于点，连接， 在中，由勾股定理得， ∵，且，， ∴，解得； 在中，由勾股定理得， ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴； 设点的坐标为()， 则， 解得(舍去负根)； 当时，， ∴点的坐标为． 1．（23-24八年级下·河北唐山·期中）在同一平面直角坐标系内，直线与直线互相平行，则的值（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：直线与直线互相平行， ． 故选：C． 2．直线在平面直角坐标系中的位置如图所示，则不等式的解集是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：由图象可得， 当x≥0时，y＝kx+b对应的函数值不大于1， ∴不等式kx+b≤1的解集是x≥0， 故选：D． 3．（23-24八年级上·河北保定·期中）下列关于x的函数是一次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：A、，是一次函数，故本选项符合题意． B、是二次函数，故本选项不符合题意． C、是反比例函数，故本选项不符合题意． D、，不是整式，不符合一次函数定义，故本选项不符合题意． 故选：A． 4．（23-24八年级下·河北邢台·期末）将直线向下平移3个单位长度后得到直线，下列关于的描述正确的是（　　） A． B．y随x的增大而增大 C．方程的解为 D．图象不经过第二象限 【答案】C 【解析】解：将直线向下平移3个单位长度后得到直线， A、∵， ∴，故本选项不符合题意； B、∵， ∴直线，y随x的增大而减小，故本选项不符合题意； C、∵， ∴，故本选项符合题意 D、∵直线经过第二、三、四象限， ∴直线不经过第一象限，故本选项不符合题意． 故选：C． 5．（22-23八年级上·河北保定·期末）如图，一次函数的图象与的图象相交于点，则方程组的解是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：代入得，解得， 所以点坐标为， 方程组的解． 故选：D． 6．（22-23八年级下·河北石家庄·期中）如图，一次函数的图像分别与x轴、y轴交于A，B两点，过原点O作垂直于直线交于点，过点作垂直于x轴交x轴于点，过点作垂直于直线交于点，过点作垂直于x轴交x轴于点，依此规律作下去，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：过分别作垂足分别为， 一次函数的图象分别与轴、轴交于， ， ， ， 可得四边形是正方形， 同理可得四边形，四边形也是正方形， 点，可求， 点，同理，即， …… ，即， 故选：B． 7．（22-23八年级下·河北石家庄·期末）如图，点，，若N是x轴上使得的值最大的点，则的长为（　　）    A． B． C．8 D．6 【答案】C 【解析】解：连接并延长交x轴于N，由三角形第三边大于两边之差得，点N为所求，    ∵，， 设直线为：， ∴，解得：， ∴：， 令，则，解得， ∴点， ∴， 故选：C． 8．（23-24八年级下·河北廊坊·月考）将直线向右平移个单位，平移后的直线经过点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】∵将直线向右平移个单位后的解析式为， ∴将点代入，得， 解得：， 故选：． 9．已知一次函数的图象与的图象交于点，则对于不等式，下列说法正确的是（　　） A．当时， B．当时， C．当且时， D．当且时， 【答案】D 【解析】解：由题知，点在的图象上， 则，． 故交点坐标为． 又得图象关于坐标原点中心对称， 且和的图象也关于坐标原点中心对称． ∴和的图象交点坐标为． 则将点代入得 ． ∴， （1）当时，如下图所示， 如图所示，图象在直线左侧部分满足不等关系． 则得出此时x的取值范围是：． （2）当，即时， 如图所示 图象在直线右侧部分满足不等关系． 则得出此时x的取值范围是：． （3）当时． 如图所示 图象在直线左侧部分满足不等关系． 则得出此时x的取值范围是：． 综上所述 x的取值范围是： 当且时，． 故答选：D． 10．将函数的图象记为．若一次函数的图象与有交点，则的取值范围是（   ） A． B．或 C．或 D．或 【答案】D 【解析】图象如图所示：设, 当时，， ， 当时，， ， 过点，当y过处，即同时过A、B时， 将代入得： 解得： 当时，的图象与在第一象限有交点， 时，当与平行时，的图象与无交点， ， 时，的图象与在第二象限有交点， 故选：D 11．（21-22八年级下·河北廊坊·期末）将一次函数的图象向下平移3个单位长度，相应的函数表达式为_______． 【答案】y＝2x-2 【解析】解：将一次函数y＝2x+1的图象向下平移3个单位长度， 相应的函数是y＝2x+1﹣3＝2x-2． 故答案为：y＝2x-2． 12．（21-22八年级下·河北石家庄·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，，……，都在x轴上，点，，……在直线y＝x上，，，，，都是等腰直角三角形，如果，则点的坐标是______． 【答案】 【解析】解：∵OA1＝1，△OA1B1是等腰直角三角形， ∴A1B1＝OA1＝1， ∵点B1在直线y＝x上， ∴B1坐标为（1，1）， ∵△B1A1A2是等腰直角三角形， ∴A1A2＝A1B1＝1， ∴OA2＝2， ∵点B2在直线y＝x上， ∴B2坐标为（2，2）， 同理可得B3坐标为（4，4），B4坐标为（8，8），…， ∴点Bn坐标为（2n-1，2n-1）， ∴点B2018的坐标为（22017，22017）， 故答案为：（22017，22017）． 13．（22-23八年级上·河北保定·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，，直线l的表达式为：． (1)当时，直线l与x轴的交点的坐标是__________； (2)嘉嘉发现：直线l恒过一点，请你通过计算找出这点； (3)若线段AB与直线l有交点，请直接写出k的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【解析】（1）解：当，直线l的表达式为：， 当时，得， 解得， ∴直线l与x轴的交点的坐标是， 故答案为：； （2）∵， ∴， 当时，， ∴直线l恒过点； （3）∵线段AB与直线l有交点 ∴直线过点和时，得k的取值范围； 如下图所示， 当直线过点和时，得 ∴ 当直线过点和时，得 ∴ ∴当时，线段AB与直线l有交点． 14．（24-25八年级下·河北唐山·期末）如图，平面直角坐标系中，有一动点和一定点，将点A先向左平移5个单位长度，再向下平移5个单位长度得到点B． (1)在图中画出点B，并连接，求直线的解析式； (2)当点P在直线上时，求点P的坐标； (3)连结、，若点P在内部（包括边上），直接写出a的取值范围． 【答案】(1)图见解析， (2) (3) 【解析】（1）解：∵点，将点A先向左平移5个单位长度，再向下平移5个单位长度得到点B． ∴点，即， 如图，点B即为所求， 设直线的解析式为， 把点，代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为； （2）解：把点代入得： ， 解得：， ∴点P的坐标为； （3）解：∵点， ∴点P在直线上， 如图， 设直线的解析式为， 把点代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 同理直线的解析式为， 联立与得： ，解得：， ∴直线与直线l的交点为， 同理直线与直线l的交点为， ∴a的取值范围为． 15．（24-25八年级下·河北承德·期末）某厂家生产、两种产品，已知花费320元生产产品比花费320元生产产品数量多4个，且产品的成本比产品的成本少． (1)求、两种产品的成本各为多少元； (2)厂家计划销售两种产品共100个，若每个产品的售价为35元，每个产品的售价为25元，设销售产品个，共可获利润为元，求与的函数关系式（不要求写出的取值范围）； (3)在（2）的条件下，若销售产品的数量不超过销售产品数量的一半，则销售产品多少个时，销售利润最大，最大为多少元？ 【答案】(1)每个产品的成本为16元，每个产品的成本为20元 (2) (3)销售产品是33个时，销售利润最大，最大为962元 【解析】（1）解：设每个产品的成本为元， ∵产品的成本比产品的成本少， ∴每个产品的成本为（元）， ∵花费320元生产产品比花费320元生产产品数量多4个， ∴， 解得：， 经检验，是所列分式方程的解， ∴（元）． 答：每个产品的成本为16元，每个产品的成本为20元． （2）解：， 与的函数关系式为． （3）解：根据题意，得， 解得：， ∵， ∴随的增大而增大， ∵且为非负整数， ∴当时值最大，最大． 答：销售产品是33个时，销售利润最大，最大为962元． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $