专题03 一次函数（期末复习讲义）八年级数学下学期新教材冀教版

专题03 一次函数（期末复习讲义） 内 容 导 航 明·期末考情 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型1 一次函数与正比例函数定义 题型2 求一次函数自变量和函数值 题型3 列一次函数解析式并求值 题型4 判断一次函数图像 题型5 利用一次函数图像性质求参数 题型6 一次函数图像的平移 题型7 待定系数法求一次函数解析式 题型8 一次函数与二元一次方程组的关系 题型9 一次函数与一元一次不等式的关系 题型10 分配方案问题 题型11 最大利润问题 题型12 行程问题 题型13 梯度计价问题 题型14 双一次函数应用 题型15 一次函数几何综合应用 题型16 一次函数规律探索 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 一次函数与正比例函数的定义 能依据定义准确区分一次函数、正比例函数与常数函数 基础必考小题，易错点为忽略的限制条件，混淆函数从属关系 一次函数的图像画法与图像特征 能使用两点法正确画出一次函数、正比例函数的图像 常规基础考点，常结合坐标交点考查，题型以选择、填空为主 一次函数的图像与性质 能根据、的符号判断函数经过的象限及增减性 核心重难点，各类题型均会考查，易错点为记错象限分布、增减性规律 用待定系数法求一次函数解析式 能按照步骤运用待定系数法求解一次函数、正比例函数解析式 高频解答考点，命题形式多样，常结合交点、增减性等条件综合考查 一次函数与方程、方程组、不等式的综合 能结合函数图像求解方程、方程组与一元一次不等式 综合拔高考点，侧重数形结合思想，易错点为图像与代数关系理解不到位 一次函数的实际应用 能将实际问题转化为一次函数模型并完整求解作答 期末压轴解答题常考类型，多以行程、计费、销售等生活场景命题，易错点为结果未结合实际检验 知识点01 一次函数的定义 1.一般形式：形如（为常数，且）的函数，叫做一次函数。 2.核心判定要点：为一次项系数，必须满足，若，式子变为，属于常数函数，不再是一次函数；常数项取值不受限制，当时，函数简化为，此时为正比例函数，正比例函数是特殊的一次函数；自变量的次数必须为，且自变量不能出现在分母、二次根号内部。 3.常见易错点：解题时容易忽略这一限定条件，同时混淆一次函数、常数函数与正比例函数之间的从属关系。 知识点02 一次函数的图像与性质 （一）图像特征 一次函数的图像是一条直线，也称作线性函数，日常解题常用两点法绘制图像。 1.普通一次函数两点法画图步骤：令，解得，得到直线与轴交点；令，解得，得到直线与轴交点；连接这两个交点，即可得到一次函数的完整图像。 2.正比例函数图像特点：正比例函数的图像一定经过坐标原点，使用两点法作图时，通常选取和两个点进行绘制。 （二）函数性质 一次函数的图像位置、增减性由系数、的符号共同决定。其中决定函数的增减性，决定直线与轴的交点位置。 1.当时，图像经过第一、二、三象限，随的增大而增大。 2.当时，函数为正比例函数，图像经过第一、三象限，随的增大而增大。 3.当时，图像经过第一、三、四象限，随的增大而增大。 4.当时，图像经过第一、二、四象限，随的增大而减小。 5.当时，函数为正比例函数，图像经过第二、四象限，随的增大而减小。 6.当时，图像经过第二、三、四象限，随的增大而减小。 补充规律：直线中的数值越大，直线走势越陡峭；的数值越小，直线走势越平缓。 知识点03 一次函数解析式的求解 求解一次函数解析式的核心方法为待定系数法，本质是求出系数和的值。 1.待定系数法基本步骤：设，设一次函数解析式为；代，将题目给出的点坐标或两组对应值代入解析式，得到关于的二元一次方程组；解，求解方程组，算出的具体数值；写，把求得的代回所设式子，写出最终的函数解析式。 2.常见出题条件：已知图像上两个点的坐标；已知直线与轴、轴的交点坐标；已知函数为正比例函数（此时，仅需一组对应值即可求出）；已知函数增减性（判断的符号）结合一个点的坐标解题。 知识点04 一次函数与方程、不等式的关系 （一）一次函数与一元一次方程 对于一次函数： 1.求解方程，等价于求该函数图像与轴交点的横坐标。 2.若已知（为常数），求解对应自变量的值，就是求函数图像上纵坐标为的点对应的横坐标。 （二）一次函数与二元一次方程组 1.两个一次函数图像的交点坐标，就是由两个函数解析式联立组成的二元一次方程组的解；反之，二元一次方程组的解，对应两个一次函数图像的交点坐标。 2.若两个一次函数满足且，两条直线互相平行，对应二元一次方程组无解。 3.若两个一次函数满足且，两条直线完全重合，对应二元一次方程组有无数组解。 （三）一次函数与一元一次不等式 1.解不等式，等价于求函数图像位于轴上方部分对应的自变量的取值范围。 2.解不等式，等价于求函数图像位于轴下方部分对应的自变量的取值范围。 3.解题技巧：结合函数图像直观分析，注意系数的符号会影响不等号方向，避免计算失误。 知识点05 一次函数的实际应用 此类题型核心是数学建模，把生活实际问题转化为一次函数问题求解。 1.解题完整步骤：审，通读题目，梳理已知量、未知量，挖掘题目中的数量关系；设，设定自变量，结合题意设出一次函数解析式；求，利用待定系数法求出，确定完整的函数关系式；用，借助解析式求解问题，包括求特定数值、分析最值、判断方案优劣等；验，检验计算结果，保证数值符合生活实际，如数量、长度、时间等不能为负数。 2.常见应用场景：行程问题，结合路程、速度、时间建立函数关系；计费问题，包含水电费、通讯费、交通费等分段计费题型；销售利润问题，结合单价、销量、总价、利润列式；生产调配问题，结合工作效率、工作时间、工作量解题。 题型1 一次函数与正比例函数定义 例1．下列函数中，一次函数是（     ） A． B． C． D．（，是常数） 变式1-1．当________时，函数（是常数）是正比例函数． 变式1-2．在中，若y是x的正比例函数，则k的值为______． 变式1-3．下列四个函数中是一次函数的是（   ） A． B． C． D． 题型2 求一次函数自变量和函数值 例2．已知函数的图象经过点，则的值为（     ） A． B． C． D． 变式2-1．点在直线上，则代数式的值是______． 变式2-2．已知点，在函数的图像上，则_________． 变式2-3．如图，如果输入的值为，那么输出的值为__________；如果输出的值为，则输入的值为_________． 题型3 列一次函数解析式并求值 例3．弹簧原长（不挂重物），弹簧总长L（）与重物质量x（）的关系如下表所示：当重物质量为（在弹性限度内）时，弹簧的总长L（）是（    ） 弹簧总长L（） 13 14 15 16 17 重物质量x（） A．27 B． C．20 D． 变式3-1．已知等腰三角形的周长是28． (1)直接写出底边长y关于腰长x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围； (2)当底边长为10时，求腰长． 变式3-2．小华暑假去某地旅游，导游要求大家上山时多带一件衣服，并在介绍当地山区地理环境时说，海拔每增加，气温下降．小华在山脚下看了一下随身带的温度计，气温为．试写出山上气温T（）与该处距山脚垂直高度h（）之间的函数关系式．当小华乘缆车到达山顶时，发现温度为，求山高． 变式3-3．已知． (1)若把y看成是x的函数关系式，求出其函数关系式； (2)当或时，求函数值； (3)当时，求自变量x的值． 题型4 判断一次函数图像 例4．在同一平面直角坐标系中，函数和（为常数，且）的图象可能是（     ） A． B． C． D． 变式4-1．若等腰三角形的周长是，则能反映这个等腰三角形的腰长与底边长之间的函数关系的图象是（     ） A． B． C． D． 变式4-2．在同一平面直角坐标系中，函数与的图象可能是（    ） A． B． C． D． 变式4-3．已知一次函数和，函数和的图象可能是（    ） A． B． C． D． 题型5 利用一次函数图像性质求参数 例5．一次函数的图象不经过第四象限，则（   ） A． ， B． ， C． ， D．， 变式5-1．已知正比例函数的图象经过第一、三象限，那么的取值范围是______． 变式5-2．一次函数的图象经过点，，，且，则的值可能为（　　　） A． B． C． D． 变式5-3．已知一次函数（，为常数，且）的图象经过点，；如果，那么的值可以是________（请写出一个符合条件的值）． 题型6 一次函数图像的平移 例6．将直线向下平移个单位长度，若平移后的直线与轴交于点，则的值是__________． 变式6-1．在平面直角坐标系中，若将一次函数向右平移3个单位长度可以得到一个正比例函数，则当该正比例函数图象上的点的横坐标为6时，纵坐标为（     ） A．9 B．4 C． D． 变式6-2．在平面直角坐标系中，将直线向上平移3个单位得到直线，则值为（） A．1 B． C． D．11 变式6-3．将一次函数的图象通过下列操作后，一定不能经过点的是（     ） A．关于x轴对称 B．沿y轴向上平移 C．沿x轴向左平移 D．沿y轴向下平移 题型7 待定系数法求一次函数解析式 例7．在平面直角坐标系中，将某个一次函数的图象向下平移2个单位后，恰好经过点和，则这个一次函数的表达式为（     ） A． B． C． D． 变式7-1．已知正比例函数经过点，请写出一个平行于图象的一次函数表达式_____________． 变式7-2．如图，杆秤是利用杠杆原理来称物品质量的简易衡器，其秤砣到提钮的水平距离（单位：）与所挂物重（单位：）之间满足我们学过的某种函数关系，下表是记录的几组数据，则与之间的函数关系式为（     ） 0 0.5 1 1.5 2 2.5 5.25 8 10.75 13.5 A． B． C． D． 变式7-3．如图，在平面直角坐标系中，已知点，，都在函数上． (1)常量与的值分别为：_________，_________； (2)在网格中画出函数的图像． 题型8 一次函数与二元一次方程组的关系 例8．直线与相交于点，则关于 x 的方程的解是_____． 变式8-1．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，且与x轴相交于点B，与正比例函数的图象相交于点C，点C的横坐标为1． (1)求k和b的值； (2)请直接写出方程组的解； (3)若点D在上，且满足，求点D的坐标． 变式8-2．无论k为何值，一次函数的图像恒过定点_______． 变式8-3．如图，直线：与直线：相交于点，与x轴分别交于A，B两点． (1)求b，m的值； (2)结合图象可知关于x、y的方程组的解是______； (3)直线：与直线：与x轴组成的图形面积． 题型9 一次函数与一元一次不等式的关系 例9．在直角坐标系中，一次函数图象把平面分成上、下两个部分．已知点（，−）在这个函数图象的下面，则的取值范围（     ） A． B． C． D． 变式9-1．如图，一次函数的图象分别与轴、轴交于点、点，则关于的不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 变式9-2．已知不等式的解集是，则一次函数的图象一定经过______象限． 变式9-3．如图，在中，，，动点P从点B出发，沿折线运动，到达点A时停止运动，设点P的运动路程为x，的面积为y．请解答下列问题： (1)请直接写出y与x的函数关系式及x的取值范围； (2)在平面直角坐标系中画出函数图象，并结合函数的图象，写出该函数的一条性质； (3)根据图象直接写出当时，自变量x的取值范围（误差不超过0.2）． 题型10 分配方案问题 例10．随着春季假期到来，研学旅行热潮持续升温，为进一步提升游客体验，让游客更深入感受自然与文化魅力，某景区正着力打造沉浸式旅游新场景，并计划采购一批帐篷．已知购买4个A型号的帐篷和2个B型号的帐篷共需4400元；购买3个A型号的帐篷和4个B型号的帐篷共需4800元． (1)求A，B两种型号的帐篷的单价； (2)据统计，该景区需购买A，B两种型号的帐篷共40个，且A型号的帐篷数量不少于B型号的帐篷数量的．请你设计购买成本最少的方案，并求出该方案的费用． 变式10-1．为推进“教育强国”战略，某边境县教育局计划为辖区内乡村学校采购一批智慧黑板．现有甲、乙两种型号可供选择，若购买甲型号智慧黑板2块和乙型号智慧黑板1块，共需元；若购买甲型号智慧黑板1块和乙型号智慧黑板2块，共需元． (1)甲、乙两种型号智慧黑板的单价分别是多少？ (2)该县计划购买甲、乙两种型号智慧黑板共块，其中甲型号数量不超过乙型号数量的2倍．由于运输条件限制，每块黑板需额外支付元运费．该县应如何购买，才能使总费用（含运费）最少？并求出最少总费用． 变式10-2．科技是第一生产力，随着人工智能的迅猛发展，快递业迎来了技术革命，为了提高工作效率，某仓库购买机器人进行快递分拣的工作．已知1台甲型机器人的费用比购买1台乙型机器人的费用多2万元；用25万元购买甲型机器人的数量和用20万元购买乙型机器人的数量一样多． (1)请问购买甲、乙两种型号的机器人所需的单价分别为多少？ (2)该公司计划购买这两种型号的机器人共10台（每种机器人至少购买2台），已知甲型机器人每小时分拣快递1800件，乙型机器人每小时分拣快递1500件．若使这10台机器人每小时分拣快递数量总和不少于16000件，则该公司有几种购买方案？哪种方案费用最低，最低费用是多少万元？ 变式10-3．今年春节某商家购进A，B两种不同造型的哪吒玩偶．已知购进5个A种玩偶和4个B种玩偶共需152元；购进3个A种玩偶和2个B种玩偶共需84元． (1)求A，B两种玩偶的进价； (2)由于销售情况较好，商家决定再购进A，B两种玩偶共20个，设总费用为W，若总费用低于340元但不少于329元，那么当A，B两种玩偶分别购买多少个时，总费用最少？并求出最少总费用． 题型11 最大利润问题 例11．某特产店销售A款臭豆腐挂件和B款酱板鸭挂件．购进50个A款和30个B款，共需940元；购进30个A款和50个B款，共需820元．A款售价20元/个，B款售价15元/个． (1)A、B两种挂件每个的进价分别是多少元？ (2)该商家计划购进A、B两款挂件共200个，且A款数量不少于B款数量的，总费用不超过2000元，该商家如何进货能在这批挂件全部售完时获利最大？最大利润是多少元？ 变式11-1．近年来，中国传统服饰备受大家的青睐，走上国际时装周舞台，大放异彩．某服装店计划从工厂购进长、短两款传统服饰共200件进行销售，进货价和销售价如下表： 价格／类别 短款 长款 进货价（元／件） 80 90 销售价（元／件） 100 120 设购进长款服装件，销售总利润元． (1)写出与之间的函数关系． (2)若此次进货总价不高于16800元．服装店应如何设计进货方案，才能获得最大销售利润，最大销售利润是多少？ 变式11-2．菏泽是中国牡丹之都，戏曲、武术、书画之乡，近年来文旅产业蓬勃发展．为响应“传承非遗文化，讲好菏泽故事”的号召，某社区青年创业团队计划销售两款菏泽特色文创产品：A款为牡丹主题手绘折扇，B款为面塑工艺钥匙扣．已知用900元购进的A款折扇与用720元购进的B款钥匙扣数量相同，且每件A款折扇的进价比B款钥匙扣多18元． (1)求A、B两款文创产品每件的进价各是多少元？ (2)已知A款折扇每件售价112元，B款钥匙扣每件售价86元．为扩大非遗文化影响力，团队计划再用不超过7550元的总费用购进这两款文创产品共100件进行销售，所得利润将全部用于社区非遗体验课的公益活动．请问：怎样进货才能使公益活动的资金（即利润）最大？最大资金是多少元？ 变式11-3．计划在植树节当天种植柏树和杉树．经调查，购买2棵柏树和3棵杉树共需850元；购买3棵柏树和2棵杉树共需900元． (1)求柏树和杉树的单价各是多少元； (2)本次绿化荒山，需购买柏树和杉树共80棵，且柏树的棵数不少于杉树的2倍，要使此次购树费用最少，柏树和杉树各需购买多少棵？最少费用为多少元？ 题型12 行程问题 例12．甲、乙两台智能机器人从同一地点出发，沿着笔直的路线行走了．甲比乙先出发，并且匀速走完全程，乙出发一段时间后速度提高为原来的倍．设甲行走的时间为，甲、乙行走的路程分别为、，、与之间的函数图像如图所示，根据图像所提供的信息解答下列问题： (1)乙比甲晚出发________，乙提速前的速度是每秒________，________，________； (2)求出何时乙恰好追上甲？ 变式12-1．小明步行从家出发经过学校前往图书馆，途中一直保持匀速运动．如图是小明步行时离学校的距离y（米）与行走时间x（分）之间的函数关系的图象． 下列说法一定正确的是（     ） ①小明从家到学校的距离为240米；②图中a的值是18； ③线段所表示的y与x之间的函数表达式为； ④小明与学校相距100米时，用时3.5分钟． A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①②③④ 变式12-2．4月19日，2026北京亦庄半程马拉松暨人形机器人半程马拉松举行，上演了一场“人机大战”，如图1，102支赛队和万名跑者同场参赛，全程为21公里，小明和机器人“逍遥”一起参赛，因赛前临时检修，机器人“逍遥”比小明晚出发了小时，追上小明后休息了一段时间，继续以相同的速度跑步，他们离出发点的路程关于时间的变化情况如图2所示． (1)分别求出机器人“逍遥”和小明跑步的速度． (2)求图2中线段所在直线的函数表达式． (3)当机器人“逍遥”第二次追上小明时，他们距离终点的路程是多少？ 变式12-3．4月22日，上万名大连球迷远征沈阳客场，为家乡球队助威，最终大连英博客场击败辽宁铁人，斩获中超五连胜．球迷甲、乙自驾从大连前往沈阳观赛，其中甲先出发并匀速前进，在熊岳服务区休息了一段时间后保持原来的速度前往目的地，乙比甲晚出发1小时，以的速度匀速前进，最终乙先到达沈阳．如图是甲、乙距离大连的距离（单位：）与车辆行驶时间（单位：h）的函数的完整图象． (1)请直接写出甲车的速度为_____，图中_____，_____； (2)求乙车的行进过程中的与的函数关系式，并写出自变量取值范围； (3)两车相遇时，距离沈阳的距离是多少？ 题型13 梯度计价问题 例13．“兰陵大蒜”是山东知名特色农产品，也是国家地理标志产品．为推动乡村产业高质量发展，拓宽优质农产品销售渠道，某电商平台联合当地农民专业合作社开展助农专场促销活动，对兰陵大蒜实行分段计价销售：一次性购买大蒜不超过时，按原价销售；超过时，超过部分享受助农优惠价．如图为购买大蒜消费金额（元）与购买量之间的函数图象． (1)①大蒜的原价为_________元；②求当时，与之间的函数关系式． (2)某餐馆为储备食材，在活动期间一次性购买大蒜，求该餐馆比按原价购买节省多少元？ (3)某农产品经销商通过该活动采购大蒜，共支付270元，求该经销商本次采购大蒜多少千克？ 变式13-1．甲、乙两商场以同样的价格出售同样的商品，并且又各自推出不同的优惠方案： 甲商场：所有商品打折； 乙商场：一次性购物不超过元不打折，超过元时，超出的部分打折． (1)设原价为元，甲、乙两个商场的购物金额分别，，请直接分别写出与，与之间的表达式； (2)请你按照下表中自变量的值代入（1）中的表达式计算，分别得到了，的几组对应值： x/元 /元 /元 则表格中， ， (3)在如图所示的同一平面直角坐标系中，描出（2）中补全后的表格里各组数值所对应的点，并画出，函数的图象．    (4)根据以上分析，在购买原价相同的同种商品时，应该如何选择这两家商场购物更省钱？请写出购物更省钱的方案（直接写出结论）． 变式13-2．中国电力发电量全球第一，为AI竞赛等国家战略提供坚实的能源基础．为节约用电，某市采用“阶梯电价”的方法按月计算电费：不超过200千瓦时，每千瓦时0.5元；超过200千瓦时但不超过400千瓦时，超过部分每千瓦时0.6元；超过400千瓦时，超过部分每千瓦时0.8元． (1)写出电费y（元）与月用电量x（千瓦时）的函数关系； (2)小明家上个月的电费是228元，求小明家上个月的用电量； (3)这个月小明家想把电费控制在160元以下，请你计算出小明家这个月用电量的范围． 变式13-3．某景区门口有两个停车场，按停车小时数收费．A停车场，每小时收费3元，B停车场，前3小时收费10元，超过3小时的部分，每小时收费2元． (1)设A停车场停车小时，收费元，B停车场停车小时，收费元，分别写出与，与的函数解析式，并写出的取值范围； (2)王老师要停车5小时，选择哪个停车场更省钱？请说明理由； (3)当停车多少小时时，两个停车场收费相差3元？ 题型14 一次函数几何综合应用 例14．如图，直线与过点的直线相交于点，与y轴相交于点B． (1)求直线的解析式； (2)点P在直线上，且点P不与点B重合，轴，交直线于点Q．若，求点P的坐标． 变式14-1．如图，点A的坐标为，点B是x轴正半轴上的一动点，以为边作等腰直角，使，如果点B的横坐标为x，点C的纵坐标为y，那么表示y与x的函数关系的图像大致是（     ） A． B． C． D． 变式14-2．如图，在平面直角坐标系中，是以为斜边的等腰直角三角形，，点的坐标为．若将向左平移，使点落在直线上，则平移的距离是________． 变式14-3．如图，在平面直角坐标系中，直线过点，与轴、轴分别交于点、，过点的直线与轴、轴分别交于点、． (1)______，点坐标______，点坐标______； (2)若点、关于点对称， ①求直线的解析式； ②求的面积； (3)在（2）的条件下，已知点在直线上，若的面积是面积的，直接写出点的坐标． 题型15 一次函数规律探索 例15．正方形，，按如图所示的方式放置，点，，和点，，，分别在直线（）和轴上，已知点，点的坐标是________． 变式15-1．如图，直线与直线分别与轴交于点．一动点从点出发，先沿垂直于轴的方向运动，到达直线上的点处后，改为平行于轴的方向运动，到达直线上的点处；再沿垂直于轴的方向运动，到达直线上的点处后，又改为平行于轴的方向运动，到达直线上的点处…照此规律运动，动点依次经过点…则的长度为______． 变式15-2．如图，在平面直角坐标系中，点，，，都在轴上，点，，都在直线上，并且，，，分别与轴垂直，，，分别与直线垂直，若，则的面积为__________． 变式15-3．如图，直线与轴，轴分别交于A，B两点，一动点从点出发，沿平行于轴的直线运动，到达直线上的点处，再沿平行于轴的直线运动，到达直线上的点处，再沿平行于的直线运动，到达直线上的点处，再沿平行于轴的直线运动，到达直线上的点处……如此运动下去，则点的坐标为______． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（2025·26八年级下·上海·阶段检测）下列函数中属于一次函数的是（     ） A． B． C． D． 2．（2026·陕西西安·二模）在平面直角坐标系中，直线（、为常数，且）与直线关于轴对称，则的值是（    ） A． B． C． D． 3．（2026·山西大同·三模）连翘茶是山西药茶的典型代表，历史悠久，主产于平定冠山．泡茶时，水温很有讲究，连翘茶的冲泡温度一般建议在，为了冲泡出来的茶口感更佳，徽徽同学在煮茶时记录了水温T（单位：℃）随时间t（单位：）变化的数据，如表： 时间 0 2 4 6 水温 18 34 50 66 若水温的变化是均匀的，则当水温达到时，所需的时间是（     ） A． B． C． D． 4．（2025·26八年级下·山西运城·阶段检测）已知关于的不等式的解集是，则一次函数的图象可能是（     ） A． B． C． D． 5．（2026·陕西西安·模拟预测）数形结合是解决数学问题常用的思想方法．如图，已知直线与直线交于点，则关于的不等式的解集为（     ） A． B． C． D． 6．（2026·湖南岳阳·二模）点在函数的图像上，则代数式的值等于_______． 7．（2025·26八年级下·陕西榆林·阶段检测）已知点在一次函数（k为常数且）的图象上，则：______．（填“”“”或“”） 8．（2025·26八年级下·陕西榆林·阶段检测）已知直线（为常数，且）经过点，求的值及直线与坐标轴的交点坐标． 9．（2024·25八年级下·广东广州·期中）在如图所示的平面直角坐标系中，画函数的图象 (1)①列表，②描点，③连线 x … 0 1 2 … y … … (2)观察图象可知，当x由小变大时，y随x的增大而________；（填“增大”或“减小”） (3)点在这个函数的图象上，则________． 10．（2026·陕西安康·一模）浮箭漏是中国古代重要的计时仪器，由供水壶和箭壶组成，箭壶内装有箭尺，水匀速地从供水壶流到箭壶，箭壶内的水位逐渐上升，箭尺也随之匀速上浮，可通过读取箭尺的刻度计算时间．某校趣味数学小组仿制了一套浮箭漏，并从函数角度进行实验探究．实验小组通过观察，每2小时记录一次箭尺读数，得到下表： 供水时间/时 0 2 4 6 8 箭尺读数/厘米 6 18 30 42 54 (1)小组成员将以上数据整理并在平面直角坐标系中描点，观察各点的分布规律，发现它们在同一条直线上，请求出与之间的函数表达式． (2)如果本次实验记录的开始时间是上午9：30，那么当箭尺读数为72厘米时是几点钟？（箭尺最大读数为100厘米） 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（2026·广东惠州·二模）2025年12月19日，惠阳区半岛体育公园上演1000架无人机表演，为2025粤港澳大湾区无人机竞速大赛开幕式助兴．如图1，是在空中参与飞行表演的两架无人机．如图2，在平面直角坐标系中，线段，分别表示1号、2号无人机在队形变换过程中飞行高度，（米）与飞行时间（秒）的函数关系，其中，线段与相交于点，轴于点，点的横坐标为25，则在第（     ）秒时1号和2号无人机在同一高度． A．14 B．15 C．16 D．17 2．（2026·浙江丽水·二模）两位同学去某景区游览，甲乘观光车从景点出发，沿景区公路（如图）去景点，车速为，同时，乙骑电动车从景点出发，比甲迟到达景点，设甲行驶的时间为，甲和乙离景点的路程分别为，，，与之间的函数图象如图所示． (1)求乙骑车离景点的路程与之间的函数关系式； (2)当甲追上乙时，求的值． 3．（2026·陕西渭南·二模）端午节是中国四大传统节日之一，有赛龙舟、吃粽子等习俗．某单位准备购买某品牌粽子作为福利在端午节发放给员工．采购人员通过市场调查得知：在甲超市购买该品牌粽子的费用（元）与粽子的盒数（盒）之间的关系如图所示；在乙超市购买该品牌粽子的费用（元）与粽子的盒数（盒）之间的函数关系式为． (1)求与之间的函数关系式； (2)该单位现计划购买200盒粽子，选甲、乙哪家超市购买更划算？ 4．（2025·26八年级下·山东济南·期中）如图，在直角坐标系中，直线：与x轴交于点A，与直线交于，直线分别与x轴、y轴交于C、D，连接． (1)求出m、n的值； (2)直接根据图象写出关于x的不等式的解集； (3)将直线沿y轴向上平移后与直线交于点E，若的面积为6，求平移后的直线表达式． 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．若，且，，设，则一次函数的图象不经过（     ）． A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．（2025·26八年级下·上海·阶段检测）如图所示是函数的图象，若，则的取值范围为___________． 3．（2025·26七年级下·江苏南通·期中）已知，，且满足．线段交y轴于C． (1)_________，_________． (2)求C点的坐标． (3)若，动点P从D点开始在x轴上以每秒3个单位的速度向左运动．同时点Q从C点开始在y轴上以每秒1个单位向下运动．问：经过多少秒钟，与的面积相等？ 4．（2025·26八年级下·四川绵阳·阶段检测）定义：我们把一次函数与正比例函数的交点称为一次函数的“亮点”．例如求的“亮点”，联立方程组：，解得，则的“亮点”为． (1)由定义可知，一次函数的“亮点”为　 　 ． (2)一次函数的“亮点”为，求，的值． (3)若直线与轴交于点，与轴交于点，且直线上没有“亮点”，点在轴上，使，求满足条件的点的坐标． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 一次函数（期末复习讲义） 内 容 导 航 明·期末考情 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型1 一次函数与正比例函数定义 题型2 求一次函数自变量和函数值 题型3 列一次函数解析式并求值 题型4 判断一次函数图像 题型5 利用一次函数图像性质求参数 题型6 一次函数图像的平移 题型7 待定系数法求一次函数解析式 题型8 一次函数与二元一次方程组的关系 题型9 一次函数与一元一次不等式的关系 题型10 分配方案问题 题型11 最大利润问题 题型12 行程问题 题型13 梯度计价问题 题型14 双一次函数应用 题型15 一次函数几何综合应用 题型16 一次函数规律探索 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 一次函数与正比例函数的定义 能依据定义准确区分一次函数、正比例函数与常数函数 基础必考小题，易错点为忽略的限制条件，混淆函数从属关系 一次函数的图像画法与图像特征 能使用两点法正确画出一次函数、正比例函数的图像 常规基础考点，常结合坐标交点考查，题型以选择、填空为主 一次函数的图像与性质 能根据、的符号判断函数经过的象限及增减性 核心重难点，各类题型均会考查，易错点为记错象限分布、增减性规律 用待定系数法求一次函数解析式 能按照步骤运用待定系数法求解一次函数、正比例函数解析式 高频解答考点，命题形式多样，常结合交点、增减性等条件综合考查 一次函数与方程、方程组、不等式的综合 能结合函数图像求解方程、方程组与一元一次不等式 综合拔高考点，侧重数形结合思想，易错点为图像与代数关系理解不到位 一次函数的实际应用 能将实际问题转化为一次函数模型并完整求解作答 期末压轴解答题常考类型，多以行程、计费、销售等生活场景命题，易错点为结果未结合实际检验 知识点01 一次函数的定义 1.一般形式：形如（为常数，且）的函数，叫做一次函数。 2.核心判定要点：为一次项系数，必须满足，若，式子变为，属于常数函数，不再是一次函数；常数项取值不受限制，当时，函数简化为，此时为正比例函数，正比例函数是特殊的一次函数；自变量的次数必须为，且自变量不能出现在分母、二次根号内部。 3.常见易错点：解题时容易忽略这一限定条件，同时混淆一次函数、常数函数与正比例函数之间的从属关系。 知识点02 一次函数的图像与性质 （一）图像特征 一次函数的图像是一条直线，也称作线性函数，日常解题常用两点法绘制图像。 1.普通一次函数两点法画图步骤：令，解得，得到直线与轴交点；令，解得，得到直线与轴交点；连接这两个交点，即可得到一次函数的完整图像。 2.正比例函数图像特点：正比例函数的图像一定经过坐标原点，使用两点法作图时，通常选取和两个点进行绘制。 （二）函数性质 一次函数的图像位置、增减性由系数、的符号共同决定。其中决定函数的增减性，决定直线与轴的交点位置。 1.当时，图像经过第一、二、三象限，随的增大而增大。 2.当时，函数为正比例函数，图像经过第一、三象限，随的增大而增大。 3.当时，图像经过第一、三、四象限，随的增大而增大。 4.当时，图像经过第一、二、四象限，随的增大而减小。 5.当时，函数为正比例函数，图像经过第二、四象限，随的增大而减小。 6.当时，图像经过第二、三、四象限，随的增大而减小。 补充规律：直线中的数值越大，直线走势越陡峭；的数值越小，直线走势越平缓。 知识点03 一次函数解析式的求解 求解一次函数解析式的核心方法为待定系数法，本质是求出系数和的值。 1.待定系数法基本步骤：设，设一次函数解析式为；代，将题目给出的点坐标或两组对应值代入解析式，得到关于的二元一次方程组；解，求解方程组，算出的具体数值；写，把求得的代回所设式子，写出最终的函数解析式。 2.常见出题条件：已知图像上两个点的坐标；已知直线与轴、轴的交点坐标；已知函数为正比例函数（此时，仅需一组对应值即可求出）；已知函数增减性（判断的符号）结合一个点的坐标解题。 知识点04 一次函数与方程、不等式的关系 （一）一次函数与一元一次方程 对于一次函数： 1.求解方程，等价于求该函数图像与轴交点的横坐标。 2.若已知（为常数），求解对应自变量的值，就是求函数图像上纵坐标为的点对应的横坐标。 （二）一次函数与二元一次方程组 1.两个一次函数图像的交点坐标，就是由两个函数解析式联立组成的二元一次方程组的解；反之，二元一次方程组的解，对应两个一次函数图像的交点坐标。 2.若两个一次函数满足且，两条直线互相平行，对应二元一次方程组无解。 3.若两个一次函数满足且，两条直线完全重合，对应二元一次方程组有无数组解。 （三）一次函数与一元一次不等式 1.解不等式，等价于求函数图像位于轴上方部分对应的自变量的取值范围。 2.解不等式，等价于求函数图像位于轴下方部分对应的自变量的取值范围。 3.解题技巧：结合函数图像直观分析，注意系数的符号会影响不等号方向，避免计算失误。 知识点05 一次函数的实际应用 此类题型核心是数学建模，把生活实际问题转化为一次函数问题求解。 1.解题完整步骤：审，通读题目，梳理已知量、未知量，挖掘题目中的数量关系；设，设定自变量，结合题意设出一次函数解析式；求，利用待定系数法求出，确定完整的函数关系式；用，借助解析式求解问题，包括求特定数值、分析最值、判断方案优劣等；验，检验计算结果，保证数值符合生活实际，如数量、长度、时间等不能为负数。 2.常见应用场景：行程问题，结合路程、速度、时间建立函数关系；计费问题，包含水电费、通讯费、交通费等分段计费题型；销售利润问题，结合单价、销量、总价、利润列式；生产调配问题，结合工作效率、工作时间、工作量解题。 题型1 一次函数与正比例函数定义 例1．下列函数中，一次函数是（     ） A． B． C． D．（，是常数） 【答案】C 【分析】详解】解：A、中不是整式，不符合一次函数定义，故此选项不符合题意； ∵ B、中自变量的次数为，不符合一次函数定义，故此选项不符合题意； C、符合（，）的形式，满足一次函数定义，故此选项符合题意； D、中只说明，是常数，未要求，不满足一次函数定义，故此选项不符合题意． 变式1-1．当________时，函数（是常数）是正比例函数． 【答案】 【分析】详解】解：根据题意得，且， 解得且， ． 变式1-2．在中，若y是x的正比例函数，则k的值为______． 【答案】1 【分析】详解】中，是的正比例函数 ， 解方程，得， 由，得， 因此． 变式1-3．下列四个函数中是一次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：一次函数的定义为：形如（，为常数，且）的函数叫做一次函数， 选项A中，自变量的次数为，不符合一次函数定义； 选项B中，符合的形式，其中，，满足一次函数定义； 选项C中不是整式函数，不符合一次函数定义； 选项D中不是整式函数，不符合一次函数定义 题型2 求一次函数自变量和函数值 例2．已知函数的图象经过点，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：点在函数的图象上， 将，代入得 ， 即的值为，选项符合题意． 变式2-1．点在直线上，则代数式的值是______． 【答案】 【分析】详解】解：∵点在直线上， ∴， ∴， ∴． 变式2-2．已知点，在函数的图像上，则_________． 【答案】 【分析】详解】解：点在函数的图象上 将代入 得． 变式2-3．如图，如果输入的值为，那么输出的值为__________；如果输出的值为，则输入的值为_________． 【答案】 或/11或 【分析】详解】若输出的值为，， 输出； 若输出的值为， 令，解得，，符合题意； 令，解得，，符合题意； 若输出的值为，则输入的值为或． 题型3 列一次函数解析式并求值 例3．弹簧原长（不挂重物），弹簧总长L（）与重物质量x（）的关系如下表所示：当重物质量为（在弹性限度内）时，弹簧的总长L（）是（    ） 弹簧总长L（） 13 14 15 16 17 重物质量x（） A．27 B． C．20 D． 【答案】A 【分析】详解】解：由表格数据可得，重物质量每增加，弹簧总长增加， ∴重物质量每增加，弹簧伸长， ∵弹簧原长为， ∴可得与的关系式为， 将代入得，． 变式3-1．已知等腰三角形的周长是28． (1)直接写出底边长y关于腰长x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围； (2)当底边长为10时，求腰长． 【答案】(1) (2)腰长为9 【详解】（1）解：， ∵， 解得：. （2）解：当时， ∴， ∴， ∴， ∴，即腰长为9． 变式3-2．小华暑假去某地旅游，导游要求大家上山时多带一件衣服，并在介绍当地山区地理环境时说，海拔每增加，气温下降．小华在山脚下看了一下随身带的温度计，气温为．试写出山上气温T（）与该处距山脚垂直高度h（）之间的函数关系式．当小华乘缆车到达山顶时，发现温度为，求山高． 【答案】函数关系式为，山高为 【分析】详解】解：已知海拔每增加，气温下降， 因此每升高，气温下降． 山脚气温为，山上气温等于山脚气温减去高度h对应的总降温， 因此函数关系式为：， 将山顶温度代入函数关系式得：， 解得． 变式3-3．已知． (1)若把y看成是x的函数关系式，求出其函数关系式； (2)当或时，求函数值； (3)当时，求自变量x的值． 【答案】(1) (2)1或 (3)7 【详解】（1）解：移项，得， 两边都除以2，得； （2）解：当时，； 当时，； （3）解：当时，， 解得． 题型4 判断一次函数图像 例4．在同一平面直角坐标系中，函数和（为常数，且）的图象可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】详解】解：选项A中，一次函数中的，，则，正比例函数中的，产生矛盾，故选项A不符合题意； 选项B中，一次函数中的，，则，正比例函数中的，产生矛盾，故选项B不符合题意； 选项C中，一次函数中的，，则，正比例函数中的，故选项C符合题意； 选项D中，一次函数中的，，则，正比例函数中的，产生矛盾，故选项D不符合题意． 变式4-1．若等腰三角形的周长是，则能反映这个等腰三角形的腰长与底边长之间的函数关系的图象是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】详解】解：根据题意得，， ∴， 根据三角形的三边关系得，， ∴，即， 解得， ∴y与x的函数关系式为，只有D选项符合． 变式4-2．在同一平面直角坐标系中，函数与的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵中 ∴函数经过第一，三象限，故C选项不符合题意； 当时， ∴函数经过第二，四象限，函数经过第一，二，三象限，故A选项符合题意；B选项不符合题意； 当时， ∴函数经过第一，三象限，函数经过第一，三，四象限，故D选项不符合题意． 变式4-3．已知一次函数和，函数和的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】详解】当时，与均过一、二、三象限，所以正确，不符合题意； 当时，过一、三、四象限，过一、二、四象限，所以选项不符合题意； 题型5 利用一次函数图像性质求参数 例5．一次函数的图象不经过第四象限，则（   ） A． ， B． ， C． ， D．， 【答案】B 【分析】详解】解：的图象不经过第四象限， 该图象经过第一、二、三象限，或仅经过第一、三象限， ，或，， 综上可得，，． 变式5-1．已知正比例函数的图象经过第一、三象限，那么的取值范围是______． 【答案】 【分析】详解】解：正比例函数的图象经过第一、三象限， ，解得． 变式5-2．一次函数的图象经过点，，，且，则的值可能为（　　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】详解】解：， 与异号， 随增大而减小， 一次函数中， 把代入函数解析式得：， ， ， ， 的值可能为． 变式5-3．已知一次函数（，为常数，且）的图象经过点，；如果，那么的值可以是________（请写出一个符合条件的值）． 【答案】 （答案不唯一） 【分析】详解】一次函数的图象经过点，，，， 在一次函数中，随的增大而增大， ， 的值可以是（答案不唯一）． 题型6 一次函数图像的平移 例6．将直线向下平移个单位长度，若平移后的直线与轴交于点，则的值是__________． 【答案】 【分析】详解】根据一次函数图象平移规则，直线上下平移时，一次项系数不变，只改变常数项，向下平移个单位长度，常数项减，原直线解析式为，向下平移个单位长度后，平移后直线的解析式为：， 已知平移后的直线与轴交于点，将代入平移后的解析式得：， 因此， 故答案为：． 变式6-1．在平面直角坐标系中，若将一次函数向右平移3个单位长度可以得到一个正比例函数，则当该正比例函数图象上的点的横坐标为6时，纵坐标为（     ） A．9 B．4 C． D． 【答案】B 【分析】详解】∵一次函数向右平移3个单位长度，根据一次函数“左加右减”的平移规则， ∴平移后的函数解析式为 ∵平移后得到正比例函数，正比例函数的常数项为0， ∴ 解得 ∴平移后的正比例函数为 将代入解析式得 即横坐标为6时，纵坐标为4． 变式6-2．在平面直角坐标系中，将直线向上平移3个单位得到直线，则值为（） A．1 B． C． D．11 【答案】C 【分析】详解】解∶将直线向上平移3个单位，得到直线， ∵平移后的直线为， ∴，， ∴． 变式6-3．将一次函数的图象通过下列操作后，一定不能经过点的是（     ） A．关于x轴对称 B．沿y轴向上平移 C．沿x轴向左平移 D．沿y轴向下平移 【答案】D 【分析】详解】解：A. 关于轴对称，变换规则为不变，换为，得 ，即. 当时，，变换后图象经过点，A不符合要求； B. 设沿轴向上平移个单位，解析式为；将代入得 ，解得，存在符合条件的平移，因此可以经过，B不符合要求； C. 设沿轴向左平移个单位，解析式为；将代入得 ，解得，存在符合条件的平移，因此可以经过，C不符合要求； D. 设沿轴向下平移个单位，解析式为；将代入得 ，解得，不存在满足条件的正平移距离，因此一定不能经过点，D符合要求． 题型7 待定系数法求一次函数解析式 例7．在平面直角坐标系中，将某个一次函数的图象向下平移2个单位后，恰好经过点和，则这个一次函数的表达式为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】详解】解：设平移后得到的一次函数解析式为， ∵平移后的图象经过点和， ∴将代入解析式，得， 将和代入解析式，得，解得， ∴平移后的一次函数解析式为， ∵原一次函数向下平移2个单位得到平移后的函数，根据平移“上加下减”的规律，将平移后的函数向上平移2个单位即可得到原函数， ∴原一次函数的表达式为． 变式7-1．已知正比例函数经过点，请写出一个平行于图象的一次函数表达式_____________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】详解】解：正比例函数经过点 则， 解得 则一个平行于图象的一次函数表达式可以是（答案不唯一）． 变式7-2．如图，杆秤是利用杠杆原理来称物品质量的简易衡器，其秤砣到提钮的水平距离（单位：）与所挂物重（单位：）之间满足我们学过的某种函数关系，下表是记录的几组数据，则与之间的函数关系式为（     ） 0 0.5 1 1.5 2 2.5 5.25 8 10.75 13.5 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】详解】解：观察可知，与之间呈一次函数关系， 设一次函数的解析式为， 当时，， ， 解得， 一次函数的解析式为． 变式7-3．如图，在平面直角坐标系中，已知点，，都在函数上． (1)常量与的值分别为：_________，_________； (2)在网格中画出函数的图像． 【答案】(1)； (2)图见解析 【详解】（1）解：将点，代入，得， 解得； （2）解：如图，直线即为所作函数的图象． 题型8 一次函数与二元一次方程组的关系 例8．直线与相交于点，则关于 x 的方程的解是_____． 【答案】 【分析】详解】解：直线经过点， ， 解得， 交点的坐标为， 关于的方程的解是． 变式8-1．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，且与x轴相交于点B，与正比例函数的图象相交于点C，点C的横坐标为1． (1)求k和b的值； (2)请直接写出方程组的解； (3)若点D在上，且满足，求点D的坐标． 【答案】(1)， (2) (3)点D的坐标或． 【详解】（1）解：∵点C在上，且点C的横坐标为1， 将代入，得， ， 将，代入， 得， 解得 ； （2）解：变形为， 由图象和方程组知，的解为函数与的交点坐标，即， ∴方程组的解为； （3）解：∵点D在上，直线的解析式为， 设，过点作轴于点M，过点作轴于点N， 当时，，解得， ∴， ∴，， ∴， 解得， ∴， ∴． 当点在延长线上时， 同理得， 解得， ∴， ∴， 综上，点D的坐标或． 变式8-2．无论k为何值，一次函数的图像恒过定点_______． 【答案】 【详解】解：函数可化为， ∵无论k为何值，一次函数的图像恒过一定点， ∴， 解得， ∴无论k为何值，一次函数的图像恒过定点． 故答案为：． 变式8-3．如图，直线：与直线：相交于点，与x轴分别交于A，B两点． (1)求b，m的值； (2)结合图象可知关于x、y的方程组的解是______； (3)直线：与直线：与x轴组成的图形面积． 【答案】(1)， (2) (3) 【详解】（1）解：把点代入， 得， ∴， 把点代入，得， ∴； （2）解：∵直线：与直线：相交于点， ∴关于x、y的方程组的解是． （3）解：在直线：中，令，则，解得， ∴， 直线：中，令，则，解得， ∴， ∴， ∴． 题型9 一次函数与一元一次不等式的关系 例9．在直角坐标系中，一次函数图象把平面分成上、下两个部分．已知点（，−）在这个函数图象的下面，则的取值范围（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】详解】解：∵点在一次函数图象的下面， ∴点的纵坐标小于当时的函数值， ∴， 解得：． 变式9-1．如图，一次函数的图象分别与轴、轴交于点、点，则关于的不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵一次函数的图象与轴交于点， ∴关于的不等式的解集是． 变式9-2．已知不等式的解集是，则一次函数的图象一定经过______象限． 【答案】一、二、四 【分析】详解】解：不等式的解集是， ，且当时，，即一次函数与轴交于点， 将代入得：， 整理得， ， ∴， 对于一次函数，，，根据一次函数的性质，其图象一定经过第一，第二，第四象限． 变式9-3．如图，在中，，，动点P从点B出发，沿折线运动，到达点A时停止运动，设点P的运动路程为x，的面积为y．请解答下列问题： (1)请直接写出y与x的函数关系式及x的取值范围； (2)在平面直角坐标系中画出函数图象，并结合函数的图象，写出该函数的一条性质； (3)根据图象直接写出当时，自变量x的取值范围（误差不超过0.2）． 【答案】(1)当时，，当时， (2)图象见解析；性质：当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小 ； (3)或 【详解】（1）解：在中，，， ∴ 当时，， 当时，， （2）解：图象如图所示： 性质：当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小 ； （3）由图象可知， 当时，或， 解得：或， 当时，自变量x的取值范围是或． 题型10 分配方案问题 例10．随着春季假期到来，研学旅行热潮持续升温，为进一步提升游客体验，让游客更深入感受自然与文化魅力，某景区正着力打造沉浸式旅游新场景，并计划采购一批帐篷．已知购买4个A型号的帐篷和2个B型号的帐篷共需4400元；购买3个A型号的帐篷和4个B型号的帐篷共需4800元． (1)求A，B两种型号的帐篷的单价； (2)据统计，该景区需购买A，B两种型号的帐篷共40个，且A型号的帐篷数量不少于B型号的帐篷数量的．请你设计购买成本最少的方案，并求出该方案的费用． 【答案】(1)A、B两种型号的帐篷的单价分别为800元，600元 (2)购买A型号的帐篷10个，B型号的帐篷30个时，购买成本最少，该方案所需费用26000元 【详解】（1）解：设A型号的帐篷的单价为x元，B型号的帐篷的单价为y元， 根据题意得：， 解得：， 答：A、B两种型号的帐篷的单价分别为800元，600元； （2）解：设购买A型号的帐篷a个，则B型号的帐篷个， 根据题意得：， 解得：， 设购买A、B两种型号的帐篷的总价为w元， 则， ， 随a的增大而增大， 当时，w最小，此时， 的最小值为， 答：购买A型号的帐篷10个，B型号的帐篷30个时，购买成本最少，该方案所需费用26000元． 变式10-1．为推进“教育强国”战略，某边境县教育局计划为辖区内乡村学校采购一批智慧黑板．现有甲、乙两种型号可供选择，若购买甲型号智慧黑板2块和乙型号智慧黑板1块，共需元；若购买甲型号智慧黑板1块和乙型号智慧黑板2块，共需元． (1)甲、乙两种型号智慧黑板的单价分别是多少？ (2)该县计划购买甲、乙两种型号智慧黑板共块，其中甲型号数量不超过乙型号数量的2倍．由于运输条件限制，每块黑板需额外支付元运费．该县应如何购买，才能使总费用（含运费）最少？并求出最少总费用． 【答案】(1)元；元 (2)购买甲型号块，乙型号块；元 【详解】（1）解：设甲、乙两种型号智慧黑板的单价分别为a元和b元，由题意得： 解得 答：甲、乙两种型号智慧黑板的单价分别为元和元； （2）解：设购买甲型号智慧黑板x块，则购买乙型号智慧黑板块，设总费用为y元， 由题意得， 解得， ， ∵， ∴y随x的增大而减小， ∴当时，总费用最少， 最少总费用（元）， 答：购买甲型号智慧黑板块，乙型号智慧黑板块时，总费用最少，最少总费用为元． 变式10-2．科技是第一生产力，随着人工智能的迅猛发展，快递业迎来了技术革命，为了提高工作效率，某仓库购买机器人进行快递分拣的工作．已知1台甲型机器人的费用比购买1台乙型机器人的费用多2万元；用25万元购买甲型机器人的数量和用20万元购买乙型机器人的数量一样多． (1)请问购买甲、乙两种型号的机器人所需的单价分别为多少？ (2)该公司计划购买这两种型号的机器人共10台（每种机器人至少购买2台），已知甲型机器人每小时分拣快递1800件，乙型机器人每小时分拣快递1500件．若使这10台机器人每小时分拣快递数量总和不少于16000件，则该公司有几种购买方案？哪种方案费用最低，最低费用是多少万元？ 【答案】(1)甲型机器人单价为10万元，乙型机器人单价为8万元 (2)共有5种购买方案，购买甲型机器人4台、乙型机器人6台时总费用最低，最低费用为88万元 【详解】（1）解：设甲型机器人单价为x万元，则乙型机器人单价为万元，根据题意得： ， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 此时， 答：甲型机器人单价为10万元，乙型机器人单价为8万元； （2）解：设购进甲型机器人m台，则购进乙型机器人台，根据题意得： ， 解得：， 根据题意得：m为正整数， 所以m取4，5，6，7，8， 所以共有5种购买方案， 设所需费用为w万元，则 ， ∵， ∴w随m的增大而增大， ∴当时，所需费用最低，最低费用为88万元， 即共有5种购买方案，购买甲型机器人4台、乙型机器人6台时总费用最低，最低费用为88万元． 变式10-3．今年春节某商家购进A，B两种不同造型的哪吒玩偶．已知购进5个A种玩偶和4个B种玩偶共需152元；购进3个A种玩偶和2个B种玩偶共需84元． (1)求A，B两种玩偶的进价； (2)由于销售情况较好，商家决定再购进A，B两种玩偶共20个，设总费用为W，若总费用低于340元但不少于329元，那么当A，B两种玩偶分别购买多少个时，总费用最少？并求出最少总费用． 【答案】(1)A种玩偶的进价是16元，则B种玩偶的进价是18元 (2)当购买15个A种玩偶，购进5个B种玩偶时，总费用最少，最少总费用为330元 【详解】（1）解：设A种玩偶的进价是x元，则B种玩偶的进价是y元，根据题意得： ， 解得， 答：A种玩偶的进价是16元，则B种玩偶的进价是18元； （2）解：设购进m个A种玩偶，则购进个B种玩偶， 根据题意得：， 解得， 设总费用为W元， 则， ∵， ∴W随m的增大而减小， ∵m为正整数， ∴当时，W最小，最小值为330， 此时， ∴当购买15个A种玩偶，购进5个B种玩偶时，总费用最少，最少总费用为330元． 题型11 最大利润问题 例11．某特产店销售A款臭豆腐挂件和B款酱板鸭挂件．购进50个A款和30个B款，共需940元；购进30个A款和50个B款，共需820元．A款售价20元/个，B款售价15元/个． (1)A、B两种挂件每个的进价分别是多少元？ (2)该商家计划购进A、B两款挂件共200个，且A款数量不少于B款数量的，总费用不超过2000元，该商家如何进货能在这批挂件全部售完时获利最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1)每个A款挂件的进价为14元，每个B款挂件的进价为8元 (2)该商家购进50个A款挂件，150个B款挂件时获利最大，为1350元 【详解】（1）解：设每个A款挂件的进价为元，每个B款挂件的进价为元， 由题意得，， 解得， 答：每个A款挂件的进价为14元，每个B款挂件的进价为8元； （2）解：设购进个A款挂件，则购进个B款挂件， 利润． 由题意得， 解得，， ，随的增大而减小 当时，取得最大值，最大值元 答：该商家购进50个A款挂件，150个B款挂件时获利最大，为1350元 变式11-1．近年来，中国传统服饰备受大家的青睐，走上国际时装周舞台，大放异彩．某服装店计划从工厂购进长、短两款传统服饰共200件进行销售，进货价和销售价如下表： 价格／类别 短款 长款 进货价（元／件） 80 90 销售价（元／件） 100 120 设购进长款服装件，销售总利润元． (1)写出与之间的函数关系． (2)若此次进货总价不高于16800元．服装店应如何设计进货方案，才能获得最大销售利润，最大销售利润是多少？ 【答案】(1)； (2)当购进长款服装80件，购进短款服装件时，能获得最大销售利润，最大销售利润是元． 【详解】（1）解：∵购进长款服装件， ∴购进短款服装件， 由表格可知 ； （2）解：∵此次进货总价不高于16800元， ∴， 解得：， ∵， ∴y随x增大而增大， ∴当购进长款服装80件，购进短款服装件时，能获得最大销售利润，最大销售利润是（元）． 变式11-2．菏泽是中国牡丹之都，戏曲、武术、书画之乡，近年来文旅产业蓬勃发展．为响应“传承非遗文化，讲好菏泽故事”的号召，某社区青年创业团队计划销售两款菏泽特色文创产品：A款为牡丹主题手绘折扇，B款为面塑工艺钥匙扣．已知用900元购进的A款折扇与用720元购进的B款钥匙扣数量相同，且每件A款折扇的进价比B款钥匙扣多18元． (1)求A、B两款文创产品每件的进价各是多少元？ (2)已知A款折扇每件售价112元，B款钥匙扣每件售价86元．为扩大非遗文化影响力，团队计划再用不超过7550元的总费用购进这两款文创产品共100件进行销售，所得利润将全部用于社区非遗体验课的公益活动．请问：怎样进货才能使公益活动的资金（即利润）最大？最大资金是多少元？ 【答案】(1)A款文创产品每件的进价90元，则B文创产品每件的进价是72元 (2)购进A款文创产品19件，购进B款文创产品81件，才能使销售完后获得的利润最大，最大利润是1552元 【详解】（1）解：设款文创产品每件的进价元，则款文创产品每件的进价是元， 根据题意得，， 解得， 经检验，是原分式方程的解， ∴（元）， 答：款文创产品每件的进价元，则文创产品每件的进价是元； （2）解：设购进 A 款文创产品x件，则购进 B款文创产品件，总利润为 W元． 由题意，得． 解之，得． ∵x 应为正整数， ∴x 最大取 19． ． ∵，W 随 x 的增大而增大， ∴当时，利润最大，W 最大， 此时 B 款：（件）． 答：购进 A 款文创产品 19 件，购进 B 款文创产品 81 件，才能使销售完后获得的利润 最大，最大利润是 1552 元． 变式11-3．计划在植树节当天种植柏树和杉树．经调查，购买2棵柏树和3棵杉树共需850元；购买3棵柏树和2棵杉树共需900元． (1)求柏树和杉树的单价各是多少元； (2)本次绿化荒山，需购买柏树和杉树共80棵，且柏树的棵数不少于杉树的2倍，要使此次购树费用最少，柏树和杉树各需购买多少棵？最少费用为多少元？ 【答案】(1)柏树每棵元，杉树每棵元； (2)柏树购买棵，杉树购买棵时，购树费用最少，最少费用为元． 【详解】（1）解：设柏树每棵元，杉树每棵元， 根据题意得：， 解得， 答：柏树每棵元，杉树每棵元； （2）解：设购买柏树棵时，购树的总费用为元，则购买杉树的棵数为棵， 由题意得：，解得， 结合（1）的结论得：， ， 随的增大而增大， 又为整数， 当时，取得最小值，最小值为， 此时，， 即柏树购买棵，杉树购买棵时，购树费用最少，最少费用为元． 题型12 行程问题 例12．甲、乙两台智能机器人从同一地点出发，沿着笔直的路线行走了．甲比乙先出发，并且匀速走完全程，乙出发一段时间后速度提高为原来的倍．设甲行走的时间为，甲、乙行走的路程分别为、，、与之间的函数图像如图所示，根据图像所提供的信息解答下列问题： (1)乙比甲晚出发________，乙提速前的速度是每秒________，________，________； (2)求出何时乙恰好追上甲？ 【答案】(1)，，， (2)当秒时，乙追上了甲 【详解】（1）解：由图可知，乙比甲晚出发，乙提速前的速度是， 乙提速后的速度是， 乙提速后的所用的时间为， ， 甲的速度为， ， 故答案为：，，，； （2）设段对应的函数关系式为， 在上， ， 解得， ． 设段对应的函数关系式为， 在上， ， 解得， ， 由乙追上了甲得， 解得． 答：当秒时，乙追上了甲． 变式12-1．小明步行从家出发经过学校前往图书馆，途中一直保持匀速运动．如图是小明步行时离学校的距离y（米）与行走时间x（分）之间的函数关系的图象． 下列说法一定正确的是（     ） ①小明从家到学校的距离为240米；②图中a的值是18； ③线段所表示的y与x之间的函数表达式为； ④小明与学校相距100米时，用时3.5分钟． A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①②③④ 【答案】A 【分析】详解】解：由图象可知：小明家到学校的距离为240米，即①正确； 小明步行的速度是（米/分）， 小明家到图书馆的距离为（米），则小明从家到新华书店所用时间为（分），即；故②正确； 设线段所表示的y与x之间的函数表达式为（k、b为常数，且）． 将坐标分别代入得： 得，解得， ∴线段所表示的y与x之间的函数表达式为，即③正确； 同理可得：线段所表示的y与x之间的函数表达式， 当时，，解得； 当时，，解得． ∴在分钟和分钟时，小明距离学校100米，故④不正确． 综上，正确的有①②③， 故选A． 变式12-2．4月19日，2026北京亦庄半程马拉松暨人形机器人半程马拉松举行，上演了一场“人机大战”，如图1，102支赛队和万名跑者同场参赛，全程为21公里，小明和机器人“逍遥”一起参赛，因赛前临时检修，机器人“逍遥”比小明晚出发了小时，追上小明后休息了一段时间，继续以相同的速度跑步，他们离出发点的路程关于时间的变化情况如图2所示． (1)分别求出机器人“逍遥”和小明跑步的速度． (2)求图2中线段所在直线的函数表达式． (3)当机器人“逍遥”第二次追上小明时，他们距离终点的路程是多少？ 【答案】(1)， (2) (3) 【详解】（1）解：小明的速度：， 机器人“逍遥”的速度：，， ； （2）解：，， 设线段的函数表达式为 把和代入， 得 解得， ； （3）解：设小明的函数解析式为， 把点代入，得， ， 联立得， 解得，， 离终点的路程为． 变式12-3．4月22日，上万名大连球迷远征沈阳客场，为家乡球队助威，最终大连英博客场击败辽宁铁人，斩获中超五连胜．球迷甲、乙自驾从大连前往沈阳观赛，其中甲先出发并匀速前进，在熊岳服务区休息了一段时间后保持原来的速度前往目的地，乙比甲晚出发1小时，以的速度匀速前进，最终乙先到达沈阳．如图是甲、乙距离大连的距离（单位：）与车辆行驶时间（单位：h）的函数的完整图象． (1)请直接写出甲车的速度为_____，图中_____，_____； (2)求乙车的行进过程中的与的函数关系式，并写出自变量取值范围； (3)两车相遇时，距离沈阳的距离是多少？ 【答案】(1)，， (2) (3) 【详解】（1）解：甲的速度为，； （2）解：由题意得， （3）解：由题意得，当时，， ∴， 解得 此时距离沈阳 题型13 梯度计价问题 例13．“兰陵大蒜”是山东知名特色农产品，也是国家地理标志产品．为推动乡村产业高质量发展，拓宽优质农产品销售渠道，某电商平台联合当地农民专业合作社开展助农专场促销活动，对兰陵大蒜实行分段计价销售：一次性购买大蒜不超过时，按原价销售；超过时，超过部分享受助农优惠价．如图为购买大蒜消费金额（元）与购买量之间的函数图象． (1)①大蒜的原价为_________元；②求当时，与之间的函数关系式． (2)某餐馆为储备食材，在活动期间一次性购买大蒜，求该餐馆比按原价购买节省多少元？ (3)某农产品经销商通过该活动采购大蒜，共支付270元，求该经销商本次采购大蒜多少千克？ 【答案】(1)18； (2)节省30元 (3)该经销商本次采购大蒜 【详解】（1）解：①根据图象，当时，， ∴原价为（元）； ②根据图象，当时，与之间满足一次函数关系， 设时，与之间的函数关系式为， 将，代入，得，解得， 与之间的函数关系式为； （2）解：当时，原价花费：（元）； 实际花费：（元）； ∴（元）， 答：该餐馆比按原价购买节省30元； （3）解：， 当时，由解得． 答：该经销商本次采购大蒜． 变式13-1．甲、乙两商场以同样的价格出售同样的商品，并且又各自推出不同的优惠方案： 甲商场：所有商品打折； 乙商场：一次性购物不超过元不打折，超过元时，超出的部分打折． (1)设原价为元，甲、乙两个商场的购物金额分别，，请直接分别写出与，与之间的表达式； (2)请你按照下表中自变量的值代入（1）中的表达式计算，分别得到了，的几组对应值： x/元 /元 /元 则表格中， ， (3)在如图所示的同一平面直角坐标系中，描出（2）中补全后的表格里各组数值所对应的点，并画出，函数的图象．    (4)根据以上分析，在购买原价相同的同种商品时，应该如何选择这两家商场购物更省钱？请写出购物更省钱的方案（直接写出结论）． 【答案】(1)； (2)； (3)见解析 (4)①当时，，购买原价相同的同种商品时，选择在甲商场购物更省钱；②当时，，购买原价相同的同种商品时，在甲、乙商场购物花钱一样多；③当时，，购买原价相同的同种商品时，选择在乙商场购物更省钱 【详解】（1）解：； ． （2）解：根据题意，得当时，（元）， 当时，（元）， （3）解：画图如下： （4）解：根据题意，得， 解得， ①当时，，购买原价相同的同种商品时，选择在甲商场购物更省钱； ②当时，，购买原价相同的同种商品时，在甲、乙商场购物花钱一样多； ③当时，，购买原价相同的同种商品时，选择在乙商场购物更省钱． 变式13-2．中国电力发电量全球第一，为AI竞赛等国家战略提供坚实的能源基础．为节约用电，某市采用“阶梯电价”的方法按月计算电费：不超过200千瓦时，每千瓦时0.5元；超过200千瓦时但不超过400千瓦时，超过部分每千瓦时0.6元；超过400千瓦时，超过部分每千瓦时0.8元． (1)写出电费y（元）与月用电量x（千瓦时）的函数关系； (2)小明家上个月的电费是228元，求小明家上个月的用电量； (3)这个月小明家想把电费控制在160元以下，请你计算出小明家这个月用电量的范围． 【答案】(1)电费与月用电量的函数关系为 (2)小明家上个月的用电量为410千瓦时 (3)小明家这个月的用电量范围为千瓦时 【详解】（1）解：由题意，当时，． 当时，． 当时，． 即电费与月用电量的函数关系为； （2）解：不超过200千瓦时，最高电费为（元）， 超过200千瓦时但不超过400千瓦时，最高电费为（元）， 而小明家上个月的电费是228元，， 说明小明家的用电量超过了400千瓦时， 则把代入中，得，解得． 答：小明家上个月的用电量为410千瓦时． （3）解：由（2）可知不超过200千瓦时，最高电费为元，超过200千瓦时但不超过400千瓦时，最高电费为元， 这个月小明家想把电费控制在160元以下，， 小明家的用电量小于400千瓦时． 当时，，那么，得， 当时，，符合题意． 答：小明家这个月的用电量范围为千瓦时． 变式13-3．某景区门口有两个停车场，按停车小时数收费．A停车场，每小时收费3元，B停车场，前3小时收费10元，超过3小时的部分，每小时收费2元． (1)设A停车场停车小时，收费元，B停车场停车小时，收费元，分别写出与，与的函数解析式，并写出的取值范围； (2)王老师要停车5小时，选择哪个停车场更省钱？请说明理由； (3)当停车多少小时时，两个停车场收费相差3元？ 【答案】(1)， (2)选择B停车场更省钱，理由： 当时：A停车场：（元）； B停车场：， （元）， ， 选择B停车场更省钱． (3)当停车小时或小时时，两个停车场收费相差元 【详解】（1）解：A停车场：每小时收费3元，停车小时， ； B停车场：前3小时收费10元，超过3小时的部分每小时收费2元： 当时，； 当时，， ． （2）解：当时：A停车场：（元）； B停车场：， （元）， ， 选择B停车场更省钱． （3）解：分两种情况讨论： ①当时， ，收费相差3元，即 解得（不符合，舍去）或； ②当时： ，收费相差3元， 即， ， 解得或（不符合，舍去）， 综上，当停车小时或小时时，两个停车场收费相差元． 题型14 一次函数几何综合应用 例14．如图，直线与过点的直线相交于点，与y轴相交于点B． (1)求直线的解析式； (2)点P在直线上，且点P不与点B重合，轴，交直线于点Q．若，求点P的坐标． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：由题意得，把代入，得 解得， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 把 代入得， 解得， ∴直线的解析式为； （2）解：在直线中，令，得， ∴， ∴， 设，由轴，得， ∴ ∵ ∴ 解得或（舍） ∴． 变式14-1．如图，点A的坐标为，点B是x轴正半轴上的一动点，以为边作等腰直角，使，如果点B的横坐标为x，点C的纵坐标为y，那么表示y与x的函数关系的图像大致是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】详解】解：由题意可得：，， ，，，点C的纵坐标是y， 作轴，作于点D，如图所示： ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴， ∵点C到x轴的距离为y，点D到x轴的距离等于点A到x轴的距离， ∴， 结合选项可得，A符合题意． 【点睛】本题考查动点问题的函数图象，明确题意、建立相应的函数关系式是解答本题的关键． 变式14-2．如图，在平面直角坐标系中，是以为斜边的等腰直角三角形，，点的坐标为．若将向左平移，使点落在直线上，则平移的距离是________． 【答案】 【分析】详解】如图，过点作轴于点， 是以为斜边的等腰直角三角形， ，点的坐标为， 点的坐标为， 设直线的解析式为， 将，代入得 ， ，解得， 直线的解析式为， 设平移后点的对应点为，则点的纵坐标为， 将向左平移，使点落在直线上， 当时，，解得， 平移的距离为． 变式14-3．如图，在平面直角坐标系中，直线过点，与轴、轴分别交于点、，过点的直线与轴、轴分别交于点、． (1)______，点坐标______，点坐标______； (2)若点、关于点对称， ①求直线的解析式； ②求的面积； (3)在（2）的条件下，已知点在直线上，若的面积是面积的，直接写出点的坐标． 【答案】(1)，， (2)①；② (3)或 【详解】（1）解：将点代入直线得，， 解得：， 直线， 令，得，令，得， 点A的坐标为，点B的坐标为； （2）解：①∵点，关于点对称， ∴点D是的中点， ∴点的坐标为， 将，代入，得 ，解得， 直线的解析式为； ②当时， 解得： ∴ ∴ ∴的面积为 （3）解：由（2）可得 ∵的面积是面积的， ∴， ∵点在直线上， 设的纵坐标为， 当在点的下方时， ∴ ∴ 代入直线的解析式； ∴ 解得： ∴； 当在点的上方时， ∴ ∴ 代入直线的解析式； ∴ 解得： ∴ 综上所述，或 题型15 一次函数规律探索 例15．正方形，，按如图所示的方式放置，点，，和点，，，分别在直线（）和轴上，已知点，点的坐标是________． 【答案】 【分析】详解】解：∵ ∴， ∴ ∴ 将代入，得 ∴直线的解析式是 将代入 ∴， ∴，， ∴， 同理可得，， ．．．．．．， ∴． ∴点的坐标是． 变式15-1．如图，直线与直线分别与轴交于点．一动点从点出发，先沿垂直于轴的方向运动，到达直线上的点处后，改为平行于轴的方向运动，到达直线上的点处；再沿垂直于轴的方向运动，到达直线上的点处后，又改为平行于轴的方向运动，到达直线上的点处…照此规律运动，动点依次经过点…则的长度为______． 【答案】 【分析】详解】解：在直线中，令，则，故， 在直线中，令，则，故， 根据题意将代入直线中得，故， 将代入直线中得，故， ∴， 同理可得，， ∴；；…， 由此可得，， ∴的长度为． 变式15-2．如图，在平面直角坐标系中，点，，，都在轴上，点，，都在直线上，并且，，，分别与轴垂直，，，分别与直线垂直，若，则的面积为__________． 【答案】 【分析】详解】解：在中，当时，， ∵，轴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵与直线垂直， ∴是等腰直角三角形， ∴， 同理可得， ， ……， 以此类推可知，， ∴， 同理可得是等腰直角三角形， ∴， ∴， 故答案为：． 变式15-3．如图，直线与轴，轴分别交于A，B两点，一动点从点出发，沿平行于轴的直线运动，到达直线上的点处，再沿平行于轴的直线运动，到达直线上的点处，再沿平行于的直线运动，到达直线上的点处，再沿平行于轴的直线运动，到达直线上的点处……如此运动下去，则点的坐标为______． 【答案】 【分析】详解】解：对于， 令，得， ， 如图，根据题意作出点，连接， ∵ 将代入得， 解得 ∴ ∴ 根据题意得，四边形，，都是平行四边形， ∴ ∴，即 ∴ ∵ ∴四边形是平行四边形， ∴ ∴点与点重合， ∴动点每运动次为一个循环， ， ∴点与点重合，即点的坐标为． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（2025·26八年级下·上海·阶段检测）下列函数中属于一次函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵选项A中，含和项，不符合一次函数定义，∴ A错误； ∵选项B中，的最高次数为2，不符合一次函数定义，∴ B错误； ∵选项C中，符合一次函数（）的形式，∴ C正确； ∵选项D中，未说明，当时不是一次函数，∴ D错误． 2．（2026·陕西西安·二模）在平面直角坐标系中，直线（、为常数，且）与直线关于轴对称，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解： 对于直线， 令得，得交点； 令得，得交点， ，关于轴对称的点分别为，， 直线经过上述两个对称点， ∴将代入得， 将和代入得： ，解得， . 3．（2026·山西大同·三模）连翘茶是山西药茶的典型代表，历史悠久，主产于平定冠山．泡茶时，水温很有讲究，连翘茶的冲泡温度一般建议在，为了冲泡出来的茶口感更佳，徽徽同学在煮茶时记录了水温T（单位：℃）随时间t（单位：）变化的数据，如表： 时间 0 2 4 6 水温 18 34 50 66 若水温的变化是均匀的，则当水温达到时，所需的时间是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：水温变化均匀， 是的一次函数． 设，把，代入得 解得 与的函数解析式为． 把代入解析式得，解得． 4．（2025·26八年级下·山西运城·阶段检测）已知关于的不等式的解集是，则一次函数的图象可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A．不等式的解集是，故不符合题意； B．不等式的解集是，故符合题意； C．不等式的解集是，故不符合题意； D．不等式的解集是，故不符合题意． 5．（2026·陕西西安·模拟预测）数形结合是解决数学问题常用的思想方法．如图，已知直线与直线交于点，则关于的不等式的解集为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：点在直线上， 解得， 两直线交点的横坐标为， 由图象可知，当时，直线的图象在直线的图象上方， 关于的不等式的解集为． 6．（2026·湖南岳阳·二模）点在函数的图像上，则代数式的值等于_______． 【答案】0 【详解】解：∵点在函数的图象上， ∴， 整理得， 将代入 ， ． 7．（2025·26八年级下·陕西榆林·阶段检测）已知点在一次函数（k为常数且）的图象上，则：______．（填“”“”或“”） 【答案】 【详解】解：一次函数解析式为，， ， 随的增大而增大， 点在该函数图象上，且， ． 8．（2025·26八年级下·陕西榆林·阶段检测）已知直线（为常数，且）经过点，求的值及直线与坐标轴的交点坐标． 【答案】；直线与轴的交点坐标为，与轴的交点坐标为． 【详解】解：把点代入中， 得，解得， 所以直线的函数解析式为， 当时，， 当时，， 则直线与轴的交点坐标为，与轴的交点坐标为． 9．（2024·25八年级下·广东广州·期中）在如图所示的平面直角坐标系中，画函数的图象 (1)①列表，②描点，③连线 x … 0 1 2 … y … … (2)观察图象可知，当x由小变大时，y随x的增大而________；（填“增大”或“减小”） (3)点在这个函数的图象上，则________． 【答案】(1)填表见解析，画图见解析 (2)增大 (3) 【分析】 【详解】（1）解：列表： x … 0 1 2 … y … … 画图如下： （2）解：观察图象可知，当x由小变大时，y随x的增大而增大； （3）解：∵点在这个函数的图象上， ∴， 解得：． 10．（2026·陕西安康·一模）浮箭漏是中国古代重要的计时仪器，由供水壶和箭壶组成，箭壶内装有箭尺，水匀速地从供水壶流到箭壶，箭壶内的水位逐渐上升，箭尺也随之匀速上浮，可通过读取箭尺的刻度计算时间．某校趣味数学小组仿制了一套浮箭漏，并从函数角度进行实验探究．实验小组通过观察，每2小时记录一次箭尺读数，得到下表： 供水时间/时 0 2 4 6 8 箭尺读数/厘米 6 18 30 42 54 (1)小组成员将以上数据整理并在平面直角坐标系中描点，观察各点的分布规律，发现它们在同一条直线上，请求出与之间的函数表达式． (2)如果本次实验记录的开始时间是上午9：30，那么当箭尺读数为72厘米时是几点钟？（箭尺最大读数为100厘米） 【答案】(1) (2)晚上八点半 【分析】 【详解】（1）解：根据题意可知函数为一次函数， 设与之间的函数表达式为， 由题意可得， 解得， ； （2）解：当时，， 上午9：30过了11个小时后是晚上8：30， 当箭尺读数为72厘米时是晚上八点半． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（2026·广东惠州·二模）2025年12月19日，惠阳区半岛体育公园上演1000架无人机表演，为2025粤港澳大湾区无人机竞速大赛开幕式助兴．如图1，是在空中参与飞行表演的两架无人机．如图2，在平面直角坐标系中，线段，分别表示1号、2号无人机在队形变换过程中飞行高度，（米）与飞行时间（秒）的函数关系，其中，线段与相交于点，轴于点，点的横坐标为25，则在第（     ）秒时1号和2号无人机在同一高度． A．14 B．15 C．16 D．17 【答案】B 【详解】解：，当时，， ∴点的坐标为， 由题意知点的坐标为， 设， 将代入得， ∴， ∴， ∴线段对应的函数表达式为：， 联立，则， 解得：， ∴， ∴点的坐标为， ∴则在第15秒时1号和2号无人机在同一高度． 2．（2026·浙江丽水·二模）两位同学去某景区游览，甲乘观光车从景点出发，沿景区公路（如图）去景点，车速为，同时，乙骑电动车从景点出发，比甲迟到达景点，设甲行驶的时间为，甲和乙离景点的路程分别为，，，与之间的函数图象如图所示． (1)求乙骑车离景点的路程与之间的函数关系式； (2)当甲追上乙时，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）解：甲的速度为，到的路程为． 甲到达景点的时间： ∵乙比甲迟到达景点． ∴乙到达景点的时间： 设． 函数图象过点和． 当时：， 当时：， 将代入得：， 解得， ∴； （2）解：∵甲从景点出发，速度为． ∴， 当甲追上乙时，． ∴， 解得． 3．（2026·陕西渭南·二模）端午节是中国四大传统节日之一，有赛龙舟、吃粽子等习俗．某单位准备购买某品牌粽子作为福利在端午节发放给员工．采购人员通过市场调查得知：在甲超市购买该品牌粽子的费用（元）与粽子的盒数（盒）之间的关系如图所示；在乙超市购买该品牌粽子的费用（元）与粽子的盒数（盒）之间的函数关系式为． (1)求与之间的函数关系式； (2)该单位现计划购买200盒粽子，选甲、乙哪家超市购买更划算？ 【答案】(1) (2)选甲超市购买更划算 【分析】 【详解】（1）解：当时，设， 由图知，过点， ， 解得， 此时， 当时，设， 由图知，过点，， ， 解得， 此时， 综上，； （2）解：当时，（元）， （元）， ， 选甲超市购买更划算． 4．（2025·26八年级下·山东济南·期中）如图，在直角坐标系中，直线：与x轴交于点A，与直线交于，直线分别与x轴、y轴交于C、D，连接． (1)求出m、n的值； (2)直接根据图象写出关于x的不等式的解集； (3)将直线沿y轴向上平移后与直线交于点E，若的面积为6，求平移后的直线表达式． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】 【详解】（1）解：∵直线：经过 ， ∴， 解得， ， 将代入直线，得：， 解得， ，； （2）解：根据图象可以看出，关于x的不等式的解集为； （3）解：由（1）得直线的解析式为， 设点E坐标为， 令，解得， ∴， 令 ，解得， ∴， ∴， 将代入，则， ∴， ∴， ∴ ， ∵的面积为6，且 ， ∴点E在第二象限， ∴ ∴ ． ∴， 则 ， ∴点E坐标为， 设直线平移后的解析式为，则 ， 解得， ∴平移后的直线表达式为． 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．若，且，，设，则一次函数的图象不经过（     ）． A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【详解】解：∵， ∴，， ∵，， ∴，解得， ∴， 将代入得：， ∵， ∴，可得且， ∴对于一次函数，斜率，轴截距， ∴函数图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限． 2．（2025·26八年级下·上海·阶段检测）如图所示是函数的图象，若，则的取值范围为___________． 【答案】 【详解】解：由图象可得， 令，解得， 令，解得， 在同一坐标系中作出如图所示， 由图可知，若，则的取值范围为． 3．（2025·26七年级下·江苏南通·期中）已知，，且满足．线段交y轴于C． (1)_________，_________． (2)求C点的坐标． (3)若，动点P从D点开始在x轴上以每秒3个单位的速度向左运动．同时点Q从C点开始在y轴上以每秒1个单位向下运动．问：经过多少秒钟，与的面积相等？ 【答案】(1)， (2) (3)​秒或秒 【分析】 【详解】（1）解：∵，，， ∴， 解得：； （2）解：由（1）知，， 设直线的解析式为 则 解得： ∴直线的解析式为 当时，，即 （3）解：设运动时间为秒， 动点从向左运动，速度为3单位/秒，因此坐标为， ∴的长度为． ∵的高为到轴的距离， ∴； 动点从向下运动，速度为1单位/秒，因此坐标为， ∴的长度为． ∵的底， ∴； 令面积相等，得． 分两种情况： 当即​时：， 解得，符合条件； 当即​时：， 解得，符合条件； 因此，经过​秒或秒时，与面积相等． 4．（2025·26八年级下·四川绵阳·阶段检测）定义：我们把一次函数与正比例函数的交点称为一次函数的“亮点”．例如求的“亮点”，联立方程组：，解得，则的“亮点”为． (1)由定义可知，一次函数的“亮点”为　 　 ． (2)一次函数的“亮点”为，求，的值． (3)若直线与轴交于点，与轴交于点，且直线上没有“亮点”，点在轴上，使，求满足条件的点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】 【详解】（1）解：联立方程组：，解得， 则的“亮点”为； （2）解：一次函数的“亮点”为， 是方程组的解， 则，解得； （3）解：当时，；当时，； 直线与轴交点，与轴交点， 直线上没有“亮点”， 一次函数与正比例函数没有交点， 即一次函数图象与正比例函数图象平行， ，即直线的表达式为， 直线与轴交点，与轴交点， 设，如图所示： ，， ， ，即， 则或， 解得或， 满足条件的点的坐标为或． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $