专题15 二次函数中求线段，线段和，周长、面积等最值问题（题型专练）（全国通用）2026年中考数学二轮复习讲练测

品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 专题15二次函数中求线段，线段和，周长、面积等最值问题 内●容●导●航 第部分题型破译微观解剖，精细教学 全典例明引领 写方法透视 争变式演练 题型01二次函数中的线段最值问题 题型02二次函数中的线段和最值问题 题型03二次函数中的周长最值问题 题型04二次函数中的面积最值问题 第二部分题型训练整合应用，模拟实战 题●型●破●译 题型01二次函数中的线段最值问题、 ◆典例引领◆ 【典例01】(2026湖北襄阳二模)如图，抛物线y=axD+bx+c(a≠0)与x轴交于A(-l1,0)、B3,0)两点， 与y轴交于点C(0,3). 45 (1)求抛物线的解析式： (②)点D是抛物线上一点，位于x轴上方，连接AD、BD，,若△ABD的面积为8，求点D的坐标； (3)点E是抛物线对称轴上一点，连接CE,将CE绕点E逆时针旋转90°得到EF,连接BF,求BF的最小值. 1/12 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【典例02】(2025·辽宁抚顺一模)如图，抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧）， 点A的坐标为(-1,0)，与y轴交于点C(0,3),作直线BC.动点P在x轴上运动，过点P作PM⊥x轴，交抛 物线于点M,交直线BC于点N,设点P的横坐标为m, (1)求抛物线的解析式和直线BC的解析式； (2)当点P在线段OB上运动时，求线段MN的最大值； (3)当点P在线段OB上运动时，若aCMN是以MN为腰的等腰直角三角形时，求m的值. 。方法透视 向 1. 竖直线段最值：抛物线上点与x轴（或水平线）上点的竖直距离，化为二次函数求顶点最值。 解读 2. 水平线段最值：抛物线上两点水平距离，利用对称轴分析最大值或最小值。 3. 斜线段最值：利用两点间距离公式转化为二次函数，或用几何模型（垂线段最短、将军饮马） 求解。 方法 1. 设点坐标：设抛物线上动点坐标x,ax2+bx+C),用含x式子表示线段长。 技能 2. 配方法求最值：将线段表达式化为二次函数形式，配方或直接用顶点公式求最值。 3. 几何模型转化：斜线段最值常通过构造直角三角形，转化为水平或竖直方向线段，或利用对称、 圆模型求解。 ◆变式演练 【变式01】(2025·安徽模拟预测)已知二次函数y=ax2+bx+c,若该二次函数图像与x轴交于点A(-1,0) 、B(4,0),与y轴交于点C(0,3). B 2/12 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ()求该二次函数解析式： (2点P为二次函数图像位于第一象限上一点，连接4P、BC相交于点D,求 的最大值。 AD (3)若t<x<t+1时，总满足y<3,求t的取值范围 【变式02】(2025·四川成都三模)如图1，抛物线y=ax2-2ax+c与x轴交于点A、B两点，与y轴交于 点C,直线BC的解析式为y=-x+3. AO 图1 图2 ()求出抛物线的解析式； (2P是直线BC上方抛物线上一点，连接AP交BC于点B,当E最大时，求点P的坐标，并求出这个最大 EA 值； (3)如图2，过线段BC的中点H作直线MN交抛物线于M、N两点（点M在点N左侧），直线MC与直线 BN交于点G,求HG的最小值. ◆题型02二次函数中的线段和最值问题剩 ◆典例领· 【典例01】(2025·宁夏固原·三模)如图，抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A(-1,0),B(3,0)两点，与y轴 交于点C.点M是抛物线的顶点，直线AM与y轴交于点D. 3/12 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (1)求该抛物线的表达式： (2)求点D和点M的坐标： (3)若点H是x轴上一动点，分别连接MH,DH,求MH+DH的最小值. 【典例02】(2025江苏连云港模拟预测)如图，在平面直角坐标系x0y中，抛物线 y=(x+)(x-3)(a>0)与x轴交于A,B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C,其顶点为E,直 线y=kx-k(k≠0)与x轴交于点F,与抛物线交于M,N两点，且EF=4. B A B 备用图 (1)求抛物线的表达式 (2)若∠CFN=2LAC0,求k的值 (3)直线AM与直线BN交于点P,求PA+PB的最小值. 。方法透视 考向 1. 将军饮马模型：在抛物线上找点，使到两定点距离之和最小，利用对称转化求最值。 解读 2. 竖直线段和：抛物线上两点到x轴（或水平线）的竖直线段之和，转化为二次函数求最值。 3. 斜线段和转化：通过构造直角三角形或相似，将斜线段和转化为水平或竖直线段和，再用函数 或几何模型求解。 方法 1. 对称转化：求线段和最小值，常作定点关于对称轴的对称点，转化为两点间直线段。 技能 2. 设参列式：设动点坐标，用两点间距离公式表示线段和，转化为二次函数求最值。 3. 几何模型优先：优先识别将军饮马、胡不归、阿氏圆等几何模型，避免复杂代数运算。 ◆变式演练 【变式01】(2024山东淄博一模)如图，已知直线1：y=x+4与抛物线y=ax2+bx+2交于点A,B(1,3), 且点A在x轴上，P是y轴上一点，连接PA,PB. 4/12 厨学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (I)求k,a,b的值： (②)当PA+PB取得最小值时，求点P的坐标； (3)若直线x:m交直线1于点C(点C在线段AB上，不与端点重合)，交抛物线于点D,连接0C.设 w=OC2+CD,求w关于m的函数表达式，并求出w的最小值. 【变式02】（2025·海南海口·三模)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过点 A(-1,0)和B(0,3),与x轴的另一个交点为点C,其顶点D的横坐标为1. (①)求抛物线的表达式： (2)求四边形ACDB的面积； (3)若直线x=m与x轴交于点N,在第一象限内与抛物线交于点M,当m取何值时，使得AN+MN有最大 值，并求出最大值； (4)当-2≤x≤n时，二次函数的最大值与最小值的差为9，求n的取值范围. 题型3二次函数中的周长最值问题 ◆典例领· 【典例01】(2025山东东营中考真题)如图，抛物线y=-x2+bx+c交x轴于A、B两点，交y轴于点C, 其中A(-1,0),C(0,5). 5/12 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B (1)求抛物线的表达式： (2)点P为对称轴上一点，当△ACP的周长最小时，求点P的坐标； (3)点M为对称轴上一点，点N为抛物线上一点，若以A、C、M、N为顶点的四边形是平行四边形，请 直接写出点N的坐标. 【典例02】(2025·四川绵阳中考真题)如图，在平面直角坐标系中，直线y=2x+2与x轴交于点A,与y 3 轴交于点C,点B在y轴右侧的x轴上，抛物线y=ax2+二x+c(a≠0)经过A,B,C三点，顶点为D. 2 D (备用图) (I)求抛物线的解析式及点B,D的坐标： (②)点P在直线AC上运动，当△BDP的周长最小时，求点P的坐标： (3)探究在ABC内部能否截出面积最大的矩形EFGH(顶点E,F,G,H在ABC各边上)？若能，求出 此时矩形在AB边上的顶点的坐标；若不能，请说明理由. 《。方法透视 向 三角形周长最值：抛物线上动点与两定点构成三角形，周长最小常转化为将军饮马（两边和最 解读 小)，加定边得最值。 2. 四边形周长最值：动点在抛物线上，四边形周长最值常通过对称转化或设点坐标建立二次函数 求最值。 3.线段和为定值：已知一边长固定，求周长最值即求另两边和的最值，用几何模型或函数法求解。 方法 1.将军饮马转化：周长中固定边不变，求两动边和最小即作对称点转化为两点间线段。 技能 2. 设点坐标法：设动点坐标，用距离公式表示各边长，周长化为二次函数求顶点最值。 6/12 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 3. 化折为直：利用平移或旋转将折线段拉直，使问题转化为求两点间最短距离。 ◆变式演练◆ 【变式01】(2025·甘肃武威一模)如图，抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A(1,0),B(-3,0)两点， (①)求该抛物线的解析式： (2)求(1)中抛物线的对称轴及顶点坐标： (3)设(1)中的抛物线交y轴与C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q,使得△QAC的周长最小？若存 在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由. 【变式02】(2025·甘肃定西·三模)如图1，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A,B(-3,0)两点，与y轴交于 C(0,-3),直线y=x+m经过点B,且与y轴交于点D,与抛物线交于点E. E D D B NO 图1 图2 (①)求抛物线y=x2+bx+c的表达式： (2)连接BC,CE,求△BCE的面积； (3)如图2，直线BE与抛物线对称轴交于点F,在x轴上有M,N两点(M在N的右侧)，且MN=2,若将 线段MN在x轴上平移，当它移动到某一位置时，四边形MEFN的周长最小，求出此时周长的最小值. ◆题型04二次函数中的面积最值问题《 7/12 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ◆典例领 【典例01】(2026内蒙古通辽·一模)抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A(-2,0、B(4,0)两点，与y轴交于 点C,抛物线对称轴与抛物线交于点P,与直线BC交于点M,连接PB. M A/0 B (①)求抛物线的函数表达式： (2)在第一象限内的抛物线上是否存在点D,使得△BCD的面积最大？若存在，求出点D的坐标及△BCD面 积的最大值；若不存在，请说明理由； (3)在抛物线上是否存在点Q,使得△QMB与△PMB面积相等？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在， 请说明理由。 【典例02】(2025·四川成都模拟预测)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+4与x轴相交于 A(-1,0),B两点，与y轴相交于点C,直线BC的函数表达式为y=-x+m. 备用图 (①)求抛物线的函数表达式： (②)P是抛物线上第一象限内的一点，连接PB、PC,当△PBC的面积最大时，求点P的坐标； (3)在(2)的条件下，在x轴上取点M(3,0),Q(0,)是y轴上一动点，当过点A,M,Q的抛物线L与线段CP有 且只有一个交点时，直接写出t的取值范围. 。方法透视 向 1. 三角形面积最值：抛物线上动点与两定点构成三角形，面积常表示为水平宽×铅垂高的一半， 解读 化为二次函数求最值。 2.四边形面积最值：将不规则四边形分割为三角形或补形，转化为面积函数求最值。 8/12 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 3. 面积与线段关系：已知面积关系求点坐标，或面积最值时求参数取值范围。 方法 1. 铅垂高法：三角形面积用S=专×水平宽×铅垂高，铅垂高为二次函数，配方求最值。 技能 2. 割补法：不规则图形面积通过分割或补形转化为规则图形面积的和差，建立函数关系。 3. 判别式定界：面积最值问题也可转化为一元二次方程有解，用判别式求最值。 ◆变式演练 【变式01】(2026海南省直辖县级单位一模)如图，抛物线y=a2-2x+c与x轴相交于A、B两点，与x 轴相交于点A(-1,0),与y轴相交于点C(0,-3). B B E 图1 图2 (1)求抛物线的函数表达式； (②)如图1，若点D是第四象限内抛物线上的一个动点，当点D运动到何处时，△BCD的面积最大？求出此 时点D的坐标； (3)如图2，点E是抛物线的顶点，直线CE交x轴于点F,若点G是线段EF上的一个动点，是否存在以点 O,F,G为顶点的三角形与ABC相似.若存在，请直接写出点G的坐标；若不存在，请说明理由 【变式02】(2026山东潍坊·三模)如图，已知二次函数y=-x2+bx+c的图象与x轴交于点A-4,0)和点B ,与y轴相交于点C(0,4). 备用图 (1)求该二次函数的解析式： (2)点D在线段OA上运动，过点D作x轴的垂线，与AC交于点Q,与抛物线交于点P. ①连接AP,CP,当四边形AOCP的面积最大时，求此时点P的坐标和四边形AOCP面积的最大值； 9/12 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ②探究是否存在点P使得以点P,C,Q为顶点的三角形与△ADQ相似？若存在，求出点P的坐标；若不存 在，说明理由. 题●型●训●练 1.(2025江苏无锡模拟预测)在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+ca≠0)与x轴交于A(-1,0), B(3,0)两点，与y轴交于点C0,-3. (1)求抛物线的表达式： (②)点P是直线BC下方抛物线上的一动点，过点P作PD⊥x轴于点D,交直线BC于点E,求线段PE的最 大值及此时点P的坐标； (3)在抛物线的对称轴上是否存在点M,使得以点M,B,C为顶点的三角形是直角三角形？若存在，直接 写出点M的坐标；若不存在，请说明理由 2.(2025·天津.一模)已知抛物线y=-x2-4ax-12a(a<0)与x轴交于A,B两点（点A在点B左边）， 与y轴交于点C. (1)若点D(4,12)在抛物线上. ①求抛物线的解析式及点A的坐标； ②连接AD,若点P是直线AD上方的抛物线上一点，连接PA,PD,当△PAD面积最大时，求点P的坐标 及△PAD面积的最大值； (2)已知点Q的坐标为-2a,-8a),，连接QC,将线段QC绕点Q顺时针旋转90°，点C的对应点M恰好落在 10/12 专题15 二次函数中求线段，线段和，周长、面积等最值问题 内●容●导●航 第一部分 题型破译 微观解剖，精细教学 典例引领 方法透视 变式演练 题型01 二次函数中的线段最值问题 题型02 二次函数中的线段和最值问题 题型03 二次函数中的周长最值问题 题型04 二次函数中的面积最值问题 第二部分 题型训练 整合应用，模拟实战 题●型●破●译 题型01 二次函数中的线段最值问题 典例引领 【典例01】（2026·湖北襄阳·二模）如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)点是抛物线上一点，位于轴上方，连接，若的面积为，求点的坐标； (3)点是抛物线对称轴上一点，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，求的最小值． 【答案】(1)抛物线解析式为； (2)点； (3)有最小值为． 【分析】（1）将点、、代入即可求解； （2）先设设点，求出，根据的面积求出，即可求解； （3）先将抛物线化成顶点式，接着作直线，在直线上找一点，连接，过点作垂直于直线交直线于点，将绕点逆时针旋转得到，过点作垂直于直线交直线于点，连接，设点，推出点，，，再根据旋转的性质证明，求出点的坐标，最后根据距离坐标公式结合二次函数的最值求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过、、， 则：， 解得：， ∴抛物线的解析式为：； （2）解：∵点是抛物线上一点，位于轴上方， ∴设点， ∴， ∵、， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ， ， ， ∴点； （3）解：∵， ∴作直线，在直线上找一点，连接，过点作垂直于直线交直线于点， 将绕点逆时针旋转得到，过点作垂直于直线交直线于点，连接， ∵点是抛物线对称轴上一点， ∴设点， ∵垂直于直线交直线于点， ∴点， ∴，． ∵绕点逆时针旋转得到， ∴，， ∴． ∵垂直于直线，垂直于直线， ∴， ∵， ∴． ∵在和中， ， ∴， ∴，． ∴点， ∴点． ∵点，点， ∴， ， ， ， ∵， ∴当，有最小值为． 【典例02】（2025·辽宁抚顺·一模）如图，抛物线与轴交于A、B两点（点在点的左侧），点的坐标为，与轴交于点，作直线．动点在轴上运动，过点作轴，交抛物线于点，交直线于点，设点的横坐标为． (1)求抛物线的解析式和直线的解析式； (2)当点在线段上运动时，求线段的最大值； (3)当点在线段上运动时，若是以为腰的等腰直角三角形时，求的值． 【答案】(1)抛物线解析式为，直线解析式为 (2)的最大值为 (3) 【分析】本题为二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，二次函数最值问题，等腰直角三角形的定义等，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． （1）先利用待定系数法求得抛物线的解析式，然后求得点B的坐标，即可利用待定系数法求得直线的解析式； （2）由题意可知，此时，且点在点上方，据此得到的表达式，然后根据二次函数的性质即可求得最值； （3）当是以为腰的等腰直角三角形时，则有，可知此时点纵坐标为3，则有，据此即可解答． 【详解】（1）解：抛物线过、两点， 代入抛物线解析式可得， 解得， 抛物线解析式为， 令可得，，解， 点在点右侧， 点坐标为， 设直线解析式为， 把B、C坐标代入可得， 解得， 直线解析式为； （2）解：轴，点的横坐标为， ， 在线段上运动， 点在点上方， ， 当时，有最大值，的最大值为； （3）解：轴， 当是以为腰的等腰直角三角形时，则有， 点纵坐标为3， ，解得或， 当时，则M、C重合，不能构成三角形，不符合题意，舍去， ． 方法透视 考向解读 1. 竖直线段最值：抛物线上点与 x 轴（或水平线）上点的竖直距离，化为二次函数求顶点最值。 2. 水平线段最值：抛物线上两点水平距离，利用对称轴分析最大值或最小值。 3. 斜线段最值：利用两点间距离公式转化为二次函数，或用几何模型（垂线段最短、将军饮马）求解。 方法技能 1. 设点坐标：设抛物线上动点坐标(x, ax2+bx+c)，用含x式子表示线段长。 2. 配方法求最值：将线段表达式化为二次函数形式，配方或直接用顶点公式求最值。 3. 几何模型转化：斜线段最值常通过构造直角三角形，转化为水平或竖直方向线段，或利用对称、圆模型求解。 变式演练 【变式01】（2025·安徽·模拟预测）已知二次函数，若该二次函数图像与x轴交于点、，与y轴交于点． (1)求该二次函数解析式； (2)点P为二次函数图像位于第一象限上一点，连接相交于点D，求的最大值． (3)若时，总满足，求t的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）根据待定系数法求解即可． （2）先根据待定系数法求出直线的解析式为，过点P作轴交于点，过点A作轴交于点，则，，设，则，， 证明，得出，从而得出当时，有最大值，最大值为． （3）根据抛物线解析式得出当时，有最大值，最大值为，要使对任意x满足，总满足，则要么整个范围在左侧，要么在右侧，且端点函数值亦小于3，令，求出或，则或，即可得或． 【详解】（1）解：将点、、代入， 得， 解得：， 则二次函数解析式为． （2）解：设直线的解析式为， 将、代入得， 解得：， 则直线的解析式为， 过点P作轴交于点，过点A作轴交于点， 则，， 设， 则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴当时，有最大值，最大值为． （3）解：∵， ∴当时，有最大值，最大值为， 令，则， 解得：或， 若时，总满足， 则或， ∴或． 【变式02】（2025·四川成都·三模）如图1，抛物线与x轴交于点A、B两点，与y轴交于点C，直线的解析式为． (1)求出抛物线的解析式； (2)P是直线上方抛物线上一点，连接交于点E，当最大时，求点P的坐标，并求出这个最大值； (3)如图2，过线段的中点H作直线交抛物线于M、N两点（点M在点N左侧），直线与直线交于点G，求的最小值． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】（1）先求出，，再代入，由待定系数法即可求解； （2）作轴，交直线于点，交轴于点，过作交于点，作于点，交于点，设交轴于点，作于，由平行线分线段成比例得，进而可得最大时，最大满足题意，设，则，得，即可求得，进而可求； （3）设，，求出直线表达式为，代入点得：，求直线，直线，联立直线、表达式，得即，求出经过点的直线为，设，利用两点间的距离公式及二次函数的性质即可求出的最小值． 【详解】（1）解：直线的解析式为． 时，；时，， ， ，， 将，代入 得， 解得， ∴； （2）解：如图，作轴，交直线于点，交轴于点，过作交于点，作于点，交于点，设交轴于点，作于， ， ， 当时，， ，， ， 设直线为， 将代入得，， ， ， ，， ， ， ， 轴， ， ， ， ， ， ， 若最大，则最大， ， 最大时，最大， 而， 最大时，最大满足题意， 设，则， ， 时，，， ， ， ； （3）解： ，， 的中点为， 设，， 直线表达式为， 将代入得：， 解得：， 直线表达式为， 代入点得：， 同理可求直线：， 直线：， 联立直线、表达式得：， 解得， 即， 设经过点的直线为， 代入， 得： 比较系数得：， 解得：， 当，无论为何值，该式子恒成立，点在直线上运动， 设， ， ， 时，． 题型02 二次函数中的线段和最值问题 典例引领 【典例01】（2025·宁夏固原·三模）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．点是抛物线的顶点，直线与轴交于点． (1)求该抛物线的表达式； (2)求点和点的坐标； (3)若点是轴上一动点，分别连接，，求的最小值． 【答案】(1)； (2)的坐标为，点的坐标为； (3)． 【分析】（）利用待定系数法即可求解； （）由，得出顶点的坐标为，然后求出直线的解析式为，从而求得点的坐标为； （）作点关于轴的对称点，连接，交轴于点，又，当与重合时，即点三点共线时，有最小值，然后通过两点间的距离即可求解． 【详解】（1）解：把，两点代入抛物线解析式得： 解得 ∴抛物线的表达式为：； （2）解：由， ∴顶点的坐标为， 设直线的解析式为，把、代入可得： ， 解得， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴点的坐标为； （3）解：如图，作点关于轴的对称点，连接，交轴于点， ∵， ∴当与重合时，即点三点共线时，有最小，为． 【典例02】（2025·江苏连云港·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，其顶点为．直线与轴交于点，与抛物线交于，两点，且． (1)求抛物线的表达式． (2)若，求的值． (3)直线与直线交于点，求的最小值． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】本题考查了一次函数与二次函数综合，等腰三角形的性质，勾股定理，一元二次方程根与系数的关系． （1）先分别根据一次函数的性质，二次函数的性质求出，，，求出抛物线的对称轴为直线，则，根据求出，则； （2）根据等腰三角形三线合一得到，求出直线的表达式为，直线的表达式为，当在右侧时，证明，则，当在左侧时，设与交于点，设，过的直线交于点，根据等角对等边得到，则在中垂线上，根据中点坐标公式可知的坐标为，根据勾股定理求出将点代入，得； （3）设，，设直线的表达式为，直线的表达式为，将，坐标代入，求出，则直线的表达式为，同理得直线的表达式为，则，直线与抛物线，得到，即，，代入得到，即点在定直线上运动，作点关于直线的对称点，则，即当且仅当点在直线上时取最小值，的最小值为． 【详解】（1）解：当时，，即． 当时，，，即，， 抛物线的对称轴为直线． 将代入抛物线表达式得，即， ， ，得， 故抛物线的表达式为； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴， 当时，， 即， 设直线的表达式为， 将，代入， 则，解得， 则直线的表达式为， 同理可得直线的表达式为． ①如图1，当在右侧时，， 则， ． ②如图2，当在左侧时，设与交于点，过的直线交于点，由，得， 在中垂线上． 的坐标为． 设， 则， 解得， 即， 将点代入，得． 综上所述，的取值为或； （3）解：设，， 设直线的表达式为，直线的表达式为． 将，坐标代入，有 则，， ∴ 即． 直线的表达式为， 同理直线的表达式为， 则，， 即，， 即， 整理得， 联立直线与抛物线得到 整理得， ，． ． 即点在定直线上运动，作点关于直线的对称点， ． 当且仅当点在直线上时取最小值，的最小值为． 方法透视 考向解读 1. 将军饮马模型：在抛物线上找点，使到两定点距离之和最小，利用对称转化求最值。 2. 竖直线段和：抛物线上两点到x轴（或水平线）的竖直线段之和，转化为二次函数求最值。 3. 斜线段和转化：通过构造直角三角形或相似，将斜线段和转化为水平或竖直线段和，再用函数或几何模型求解。 方法技能 1. 对称转化：求线段和最小值，常作定点关于对称轴的对称点，转化为两点间直线段。 2. 设参列式：设动点坐标，用两点间距离公式表示线段和，转化为二次函数求最值。 3. 几何模型优先：优先识别将军饮马、胡不归、阿氏圆等几何模型，避免复杂代数运算。 变式演练 【变式01】（2024·山东淄博·一模）如图，已知直线与抛物线交于点，，且点在轴上，是轴上一点，连接． (1)求的值； (2)当取得最小值时，求点P的坐标； (3)若直线交直线于点（点在线段上，不与端点重合），交抛物线于点，连接．设，求关于的函数表达式，并求出的最小值． 【答案】(1)，， (2) (3)， 【分析】（）把代入可求出，即得直线的解析式为，进而得到，再利用待定系数法可求出的值； （）取点关于轴的对称点，连接交轴于点，可得最小，利用待定系数法求出直线的解析式进而即可求解； （）设点，则点，可得，，即得到，再把二次函数转化为顶点式即可求解； 本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的几何应用，二次函数的性质，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】（1）解：把代入，得， ∴， ∴直线的解析式为， 把代入，得， ∴， ∴， 把和代入抛物线得， ， 解得， 即，； （2）解：取点关于轴的对称点，连接交轴于点， 则此时最小， 设直线的解析式为，把和代入得， ， 解得， ∴直线的解析式为， ∴点的坐标为； （3）解：设点，则点， ∴，， ∴ ， 即， ∵， ∴当时，取最小值，最小值为． 【变式02】（2025·海南海口·三模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点和，与x轴的另一个交点为点C，其顶点D的横坐标为1． (1)求抛物线的表达式； (2)求四边形的面积； (3)若直线与x轴交于点N，在第一象限内与抛物线交于点M，当m取何值时，使得有最大值，并求出最大值； (4)当时，二次函数的最大值与最小值的差为9，求n的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)时，最大值为 (4) 【分析】本题主要考查了二次函数综合，二次函数的最值问题，待定系数法求函数解析式，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． （1）根据顶点横坐标为1可得对称轴为直线，据此利用对称轴计算公式结合待定系数法求解即可； （2）求出C、D的坐标，连接，根据列式求解即可； （3）求出的长，进而求出的长，再利用二次函数的性质求解即可； （4）分，，，三种情况根据二次函数的增减性，表示出对应情形下函数的最大值和最小值，结合最大值与最小值的差为9讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点和，且顶点横坐标为1， ∴， 解得， ∴抛物线解析式为． （2）解：令，则，解得，， ∴， 当时，， ∴， 如图所示，连接， ∵，，， ∴． （3）解：当时，， ∴，， ∴， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为． （4）解：∵对称轴为直线， ∴抛物线上横坐标为的点关于直线的对称点的横坐标为4， ①当时， 当时，最大值为， 当时，最小值为， ∴，解得（舍）． ②当时， 当时，最大值为4，当时，最小值为， ∴， ∴； ③当时， 当时，最大值为4，当时，最小值为， ∴， ∴（舍），（舍） 综上所述，n的取值范围为． 题型03 二次函数中的周长最值问题 典例引领 【典例01】（2025·山东东营·中考真题）如图，抛物线交轴于、两点，交轴于点，其中，． (1)求抛物线的表达式； (2)点为对称轴上一点，当的周长最小时，求点的坐标； (3)点为对称轴上一点，点为抛物线上一点，若以、、、为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或或 【分析】（1）把和分别代入，列方程组求出的值，即可求得二次函数解析式； （2）因为是定值，所以当的值最小时，则的周长最小．作点关于对称轴的对称点，即为点，连接，运用待定系数法求出直线的解析式，可得直线与对称轴的交点坐标，即为点的坐标； （3）分别以、、为对角线进行分类讨论求解即可． 【详解】（1）解：把，代入中得， ，解得， ； （2）解：，， 当的值最小时，则的周长最小． 作点关于对称轴的对称点，即为点， 由（1）可知抛物线的解析式为， 对称轴为直线，且， ． 如图，连接，与对称轴的交点即为点， 设直线的解析式为， 把，代入中得， ，解得， 直线的解析式为． 点的横坐标为， 把代入得， ； （3）解：设，， ①当为对角线时，设中点为，根据平行四边形的性质，点也为的中点， ，， ， ，解得， 把代入， ； ②当为对角线时，设中点为，根据平行四边形的性质，点也为的中点， ，， ， ，解得， 把代入， ； ③当为对角线时，设中点为，根据平行四边形的性质，点也为的中点， ，， ， ，解得， 把代入， ； 综上所述，若以、、、为顶点的四边形是平行四边形，此时点的坐标为或或． 【典例02】（2025·四川绵阳·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，点在轴右侧的轴上，抛物线经过A，B，C三点，顶点为． (1)求抛物线的解析式及点B，D的坐标； (2)点在直线AC上运动，当的周长最小时，求点的坐标； (3)探究在内部能否截出面积最大的矩形（顶点E，F，G，H在各边上）？若能，求出此时矩形在边上的顶点的坐标；若不能，请说明理由． 【答案】(1)，．； (2)． (3)能，边上的顶点的坐标为，或． 【分析】（1）求得点A，C坐标，利用待定系数法即可求得抛物线的解析式；利用抛物线的解析式令，解方程即可求得点B在横坐标；利用配方法即可求得点D的坐标； （2）利用勾股定理及其逆定理得到，延长至点，使，连接，交直线于点P，利用轴对称的性质可得，B关于直线对称，此时的周长最小，过点作轴于点E，利用三角形的中位线定理得到点坐标，利用待定系数法求得直线的解析式为，再与直线联立即可求得点P坐标； （3）利用分类讨论的思想方法分两种情况讨论解答：①设与交于点K，设，利用矩形的性质，相似三角形的判定与性质求得其面积，利用二次函数的性质得到当时，矩形的面积取得最大值为，再利用三角形的中位线定理解答即可；②顶点E，F，G，H在各边上，H与点C重合，设，利用矩形的性质，相似三角形的判定与性质求得据的面积，利用二次函数的性质得到当时，矩形的面积取得最大值为，再利用三角形的中位线定理解答即可． 【详解】（1）解：中， 令，则， ∴， 令，则， ∴， ∴， ∵抛物线经过A，B，C三点， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为． 令，则， ∴，或， ∴． ∵ ∴顶点； （2）∵，，， ∴， ∴，，， ∵， ∴， ∴， 延长至点，使，连接，交直线于点P，如图， 则，B关于直线对称，此时的周长最小， 过点作轴于点E， ∵轴，轴， ∴ ， ∵， ∴为的中位线， ∴， ∴， 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， ∴， ∴， ∴． （3）在内部能截出面积最大的矩形（顶点E，F，G，H在各边上），此时矩形在边上的顶点的坐标为，或． ①如图，顶点E，F，G，H在各边上，设与交于点K， 设， ∵四边形为矩形，， ∴四边形，为矩形，， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴， ∴矩形的面积 ∵， ∴当时，矩形EFGH的面积取得最大值为． ∴， ∵， ∴H为的中点， ∴． 同理，点G为的中点， ∴． ②如图，顶点E，F，G，H在各边上，H与点C重合， 设， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴矩形的面积 ∵， ∴当时，矩形的面积取得最大值为． ∴， ∴点G为的中点， ∵， ∴为的中位线， ∴ ∴， ∴． 综上，在内部能截出面积最大的矩形(顶点E，F，G，H在各边上），此时矩形在边上的顶点的坐标为，或． 方法透视 考向解读 1. 三角形周长最值：抛物线上动点与两定点构成三角形，周长最小常转化为将军饮马（两边和最小），加定边得最值。 2. 四边形周长最值：动点在抛物线上，四边形周长最值常通过对称转化或设点坐标建立二次函数求最值。 3. 线段和为定值：已知一边长固定，求周长最值即求另两边和的最值，用几何模型或函数法求解。 方法技能 1. 将军饮马转化：周长中固定边不变，求两动边和最小即作对称点转化为两点间线段。 2. 设点坐标法：设动点坐标，用距离公式表示各边长，周长化为二次函数求顶点最值。 3. 化折为直：利用平移或旋转将折线段拉直，使问题转化为求两点间最短距离。 变式演练 【变式01】（2025·甘肃武威·一模）如图，抛物线与轴交于两点， (1)求该抛物线的解析式； (2)求（1）中抛物线的对称轴及顶点坐标； (3)设（1）中的抛物线交轴与点，在该抛物线的对称轴上是否存在点，使得的周长最小？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)对称轴是直线，顶点坐标为 (3)存在， 【分析】本题考查了二次函数的图形及性质、待定系数法求解析式以及利用对称轴性质解决最短路径： （1）用待定系数法求解析式即可； （2）将解析式化为顶点式，根据顶点式求出对称轴及顶点坐标； （3）利用轴对称的性质，将求周长最小值问题转化为求两点之间线段最短的问题，点在对称轴上，而点和点关于对称轴对称，因此，的周长，当三点共线时，最小，其值为线段的长度，因此，点是直线与对称轴的交点． 【详解】（1）解：将代入抛物线中，得： ， 解得：， 该抛物线的解析式为：． （2）， 抛物线的对称轴是直线，顶点坐标为． （3）存在． 解：连接交对称轴于点，连接， 两点关于抛物线的对称轴对称， 直线与的交点即为点，此时的周长最小， ，抛物线交轴于点， 当时，，即， 设直线的解析式为：， 将代入可得： ， 解得：， 的解析式为：， 在对称轴上， 当时，，即． 【变式02】（2025·甘肃定西·三模）如图1，抛物线与轴交于两点，与轴交于，直线经过点，且与轴交于点，与抛物线交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)连接，求的面积； (3)如图2，直线与抛物线对称轴交于点，在轴上有两点（在的右侧），且，若将线段在轴上平移，当它移动到某一位置时，四边形的周长最小，求出此时周长的最小值． 【答案】(1) (2)15 (3) 【分析】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，待定系数法，轴对称最短问题等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用轴对称解决最短问题． （1）用待定系数法可得抛物线的解析式； （2）求出点E坐标，再求出，进而可得出答案； （3）由E，F为定点，可得当的和最小时，四边形的周长最小，将点向右平移2个单位长度得到点，作点关于轴的对称点，连接与轴交于点，过点作交轴于点，则，而三点共线，故此时的值最小，可得，，，，从而求出，，即知四边形周长的最小值为2． 【详解】（1）解：把代入， 得，解得， ∴抛物线的表达式为． （2）∵直线经过点， ∴直线的表达式为． 由， 解得或， ∴． ∵直线交轴于点，在中，令，则， ∴． ∴． （3）∵为定点， ∴线段的长为定值， ∴当的和最小时，四边形的周长最小． 如解图，将点向右平移2个单位长度得到点，作点关于轴的对称点，连接与轴交于点，过点作交轴于点，则， ∵三点共线， ∴， 此时的值最小． ∵， ∴抛物线的对称轴为直线． ∵，， ∴直线的表达式为． ∵点为直线与的交点， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵． ∴四边形周长的最小值为． 题型04 二次函数中的面积最值问题 典例引领 【典例01】（2026·内蒙古通辽·一模）抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点C，抛物线对称轴与抛物线交于点P，与直线交于点M，连接． (1)求抛物线的函数表达式； (2)在第一象限内的抛物线上是否存在点D，使得的面积最大？若存在，求出点D的坐标及面积的最大值；若不存在，请说明理由； (3)在抛物线上是否存在点Q，使得与面积相等？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，D的坐标为，面积最大值为8 (3)存在，点Q的坐标为：， 【分析】（1）利用抛物线与x轴交点坐标代入抛物线即可求出； （2）通过设点D坐标，再根据二次函数性质求最值； （3）根据面积相等，分情况讨论点Q的位置，通过直线与抛物线求解点Q坐标． 【详解】（1）解：已知抛物线过， ，解得， 所以抛物线表达式：； （2）解：令，得， 则可设直线的解析式：， 代入，得，解得，即， 设点，， 过D作轴交于， 则，， ， 这是开口向下的二次函数， ∵， ∴当时，的面积最大，最大面积为8， 此时D的坐标为； （3）解：由得抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为， 由（2）知直线的解析式为，则直线与对称轴交点坐标为， ∴， 过作轴交于， 设，则， ， 又与面积相等， ，即， ，解得（与点P重合，舍去）或，此时， 或，解得或， 对应Q的坐标为：， 综上，点Q的坐标为，． 【典例02】（2025·四川成都·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交于，两点，与轴相交于点，直线的函数表达式为． (1)求抛物线的函数表达式； (2)是抛物线上第一象限内的一点，连接、，当的面积最大时，求点的坐标； (3)在（2）的条件下，在轴上取点是轴上一动点，当过点的抛物线与线段有且只有一个交点时，直接写出的取值范围． 【答案】(1)抛物线的函数表达式为 (2)点的坐标为 (3)的取值范围为或 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式、坐标与图形的性质、二次函数的性质、割补法求三角形的面积，解答的关键是认真审题，寻找知识点的关联点，利用待定系数法、割补法和数形结合思想进行推理、探究和计算． （1）由待定系数法进行求解即可； （2）过点作轴交于点，求出的表达式，当最大时，最大，求解即可 （3）根据点在抛物线上，可先得出抛物线的表达式为，先对或进行分类讨论，其中发现时，抛物线与线段无交点；时，对点与点重合、抛物线过点、抛物线与线段相切三种情况进行分类讨论，根据图像进行求解即可． 【详解】（1）解：对于，令，则， 点的坐标为． 将点代入，得． 直线的函数表达式为， 令，则，解得， 点的坐标为， 将点代入， 得，解得， 抛物线的函数表达式为． （2）如图1，过点作轴交于点． 设点，则， ， ， ， 当时，有最大值，最大值为8， 此时点的坐标为． （3）由（2）知，点坐标为， 又∵， 直线的函数表达式为， 抛物线过点， 可设抛物线的函数表达式为， 在抛物线上， ， 抛物线的函数表达式为， ①当时， ， 抛物线开口向上。 又， ， 抛物线与线段无交点． ②ⅰ）当，且点与点重合时，作出图形如图2所示， 此时． 抛物线与线段只有一个交点， ． ⅱ）当，且抛物线过点时，作出图形如图3所示． 将代入，得． 抛物线与线段只有一个交点， ． ． ③当抛物线与线段相切时， 联立， 整理，得， ， 整理，得， 解得或（舍去）． 综上所述，的取值范围为或． 方法透视 考向解读 1. 三角形面积最值：抛物线上动点与两定点构成三角形，面积常表示为水平宽×铅垂高的一半，化为二次函数求最值。 2. 四边形面积最值：将不规则四边形分割为三角形或补形，转化为面积函数求最值。 3. 面积与线段关系：已知面积关系求点坐标，或面积最值时求参数取值范围。 方法技能 1. 铅垂高法：三角形面积用S = ×水平宽×铅垂高，铅垂高为二次函数，配方求最值。 2. 割补法：不规则图形面积通过分割或补形转化为规则图形面积的和差，建立函数关系。 3. 判别式定界：面积最值问题也可转化为一元二次方程有解，用判别式求最值。 变式演练 【变式01】（2026·海南省直辖县级单位·一模）如图，抛物线与轴相交于、两点，与x轴相交于点，与轴相交于点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)如图1，若点是第四象限内抛物线上的一个动点，当点D运动到何处时，的面积最大？求出此时点D的坐标； (3)如图2，点是抛物线的顶点，直线交轴于点，若点是线段上的一个动点，是否存在以点，，为顶点的三角形与相似．若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)当时，的面积最大 (3)或 【分析】（1）将，代入抛物线，即可解得、的值，即求得抛物线的函数表达式； （2）先求出点的坐标为，设点的坐标是，过点作交于点，表示出的面积，根据二次函数的性质即可得到答案； （3）连接，求得，再求出的解析式，设点，求得分两种情况讨论，即①当时，②当时，利用相似三角形的性质，即可求解． 【详解】（1）解：将，代入， 得， 解得， 抛物线的函数表达式为； （2）解：抛物线的解析式为， 令，即， 解得，， 点的坐标为， 设直线的解析式为， 把，代入可得， ， 解得， 所以直线的解析式为， 设点的坐标是， 点是直线下方抛物线上的动点， ， 过点作于点，则， ， 的面积， 当时，的面积最大值为， 当时，； （3）解：， ， 如图，连接， 设的解析式为， 将、代入， 可得， 解得， 直线的解析式为， 令，即，解得， 点的坐标为， ，且， ， ， 设点， 点在线段上， ， 则， ， 分情况讨论： ①当时，有， ， 解得，满足， 则此时， 此时点的坐标为． ②当时，有， ， 解得，满足， 此时， 此时点的坐标为， 点的坐标为或． 【变式02】（2026·山东潍坊·三模）如图，已知二次函数的图象与轴交于点和点，与轴相交于点． (1)求该二次函数的解析式； (2)点在线段上运动，过点作轴的垂线，与交于点，与抛物线交于点． ①连接，，当四边形的面积最大时，求此时点的坐标和四边形面积的最大值； ②探究是否存在点使得以点，，为顶点的三角形与相似？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)①，最大值为；②存在，点的坐标为或 【分析】（1）根据点，的坐标，利用待定系数法即可求出二次函数的表达式； （2）①先求出直线的解析式为：，设，则，用含的代数式表示的面积，进而即可求解；②分两种情况：①；②，讨论即可． 【详解】（1）解：把、代入得 ， 解之得， ∴该二次函数的解析式为； （2）解：①如图， 设直线的解析式为， 把、代入得 ， 解得， ∴直线的解析式为 设，则， ∴， ∴， ， ∴对称轴， ∵，开口向下， ∴当时，有最大值，最大值为． ∴； ②当时，如图： ∴， ∴轴， ∴点的纵坐标为， ∴， 解得舍去，， ∴， 当时， ， 过点作于， ∵，，轴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 由①得，， ∴， 解得（舍去），， ∴， 综上，点的坐标为或． 题●型●训●练 1．（2025·江苏无锡·模拟预测）在平面直角坐标系中，抛物线与 轴交于，两点，与轴交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)点是直线下方抛物线上的一动点，过点作轴于点，交直线于点，求线段 的最大值及此时点的坐标； (3)在抛物线的对称轴上是否存在点，使得以点，，为顶点的三角形是直角三角形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)抛物线的表达式为； (2)有最大值，此时； (3)存在点，使得以点，，为顶点的三角形是直角三角形，点的坐标为或或或． 【分析】本题考查了待定系数法求解析式，二次函数的性质，二次函数的最值问题，解方程等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． （）利用待定系数法即可求解； （）求出解析式为，设，则，则，然后利用二次函数的性质即可求解； （）设，则有，，，分当时，当时，当时三种情况，再通过解方程即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于，两点，与轴交于点， 设抛物线的表达式为， ∴， 解得：， ∴抛物线的表达式为； （2）解：如图， 设解析式为且过，， ∴，解得：， ∴解析式为， ∵是直线下方抛物线上的一动点，过点作轴， ∴设，则， ∴， ∴当时，有最大值， 此时； （3）解：存在点，使得以点，，为顶点的三角形是直角三角形，理由， 如图， ∵抛物线的表达式为， ∴对称轴为直线， ∵点在对称轴上， ∴设， ∵，， ∴，，， 当时， ∴， 解得， ∴， 当时， ∴， 解得， ∴或； 当时， ∴， 解得， ∴； 综上：点的坐标为或或或． 2．（2025·天津·一模）已知抛物线（）与轴交于，两点（点在点左边），与轴交于点． (1)若点在抛物线上． ①求抛物线的解析式及点的坐标； ②连接，若点是直线上方的抛物线上一点，连接，，当面积最大时，求点的坐标及面积的最大值； (2)已知点的坐标为，连接，将线段绕点顺时针旋转，点的对应点恰好落在抛物线上，求抛物线的解析式． 【答案】(1)①，；②，最大值是 (2)． 【分析】本题考查二次函数和一次函数的解析式，二次函数性质，三角形全等等知识， （1）①把点坐标代入，解得，即可求得抛物线的解析式，当时，解得，，根据题意可求点的坐标； ②设点坐标为（），设直线的解析式为，把，分别代入，即可求得直线的解析式为，过点作轴的垂线，交于点，则得点坐标为，根据可得，即可求解； （2）根据抛物线，可知对称轴是，点坐标为，可知点在抛物线对称轴上，由线段绕点顺时针旋转后对应点是点，得，，分别过点，作直线的垂线，垂足分别为点，点，则，先证明，得点坐标可表示为，把点坐标代入可求得，即可求解． 【详解】（1）解：①把点坐标代入， 有，解得． 抛物线的解析式为． 当时，有，解得，． 根据题意知点的坐标是 ②设点坐标为（） 设直线的解析式为，把，分别代入， 得，解得 直线的解析式为． 如图，过点作轴的垂线，交于点， 则点坐标为． ． 即． 当时，面积最大，最大值是． 此时点坐标为． （2）解：由抛物线解析式为， 可知其对称轴是直线，点坐标为， 故点在抛物线对称轴上． 线段绕点顺时针旋转后对应点是点， ，． 如图，分别过点，作直线的垂线，垂足分别为点，点， 则 ． ． ． ， 点坐标可表示为． 把点坐标代入，得， 解得（舍），． 抛物线的解析式为． 3．（2025·四川德阳·中考真题）如图1，在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的函数解析式； (2)如图2，连接，过点C作与抛物线相交于另一点D． ①求点D的坐标； ②如图3，点E，F为线段上两个动点（点E在点F的右侧），且，连接，．求的最小值． 【答案】(1) (2)①，②5 【分析】（1）利用两点式求解抛物线解析式； （2）①延长与x轴相交于点G，证明是等腰直角三角形，从而得到点坐标，求出直线的解析式，联立抛物线解析式求解即可；②过点O作，且，连接，，设交轴为点，然后证明四边形是平行四边形，根据，得出时，最小，进一步求出即可． 【详解】（1）解：在二次函数的图象上，设该二次函数为， ， ． （2）解：①把代入， 得， 如图，延长与x轴相交于点G． ， ． ， ． ， ． ， ， ． 设直线的解析式为：，把代入， 得解得， 直线的解析式为：， 点D是直线与二次函数的交点， 联立解析式， 解得或， ． ②如图，过点O作，且，连接，，设交轴为点． ，且， 四边形是平行四边形， ． ， ． 为等腰直角三角形， ， ，， ， ． ， 当时，最小． ， ． 此时D、E、H三点共线且轴， 点F的坐标为与点C重合，满足在线段上． 的最小值为5． 4．（2025·辽宁抚顺·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A，B（A在B的左侧），与y轴交于点，其对称轴为直线． (1)求该抛物线的函数解析式； (2)点P是抛物线在第四象限内的一点，连接，过点P作轴于点D，交于点E．记，的面积分别为，，求的最大值； (3)将抛物线关于x轴作轴对称变换，得到图象G，现将图象G沿直线平移，得到新的图象M，图象M与线段只有一个交点，求图象M顶点横坐标m的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）根据对称轴公式和点C的坐标求解即可； （2）求出，得到，则；设，则，，证明是等腰直角三角形，得到，则，可求出，据此可得答案； （3）求出图象M对应的抛物线解析式，进而求出图象M对应的抛物线恰好经过点A，点C和恰好与直线只有一个交点时m的值，结合函数图象即可得到答案． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点，其对称轴为直线， ∴， 解得， ∴抛物线的函数解析式为； （2）解：在中，当时，则， 解得或， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴； 设，则， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵，的面积分别为，， ∴， ， ∴ ， ∵点P是抛物线在第四象限内的一点， ∴， ∵， ∴当，即时，有最大值，最大值为； （3）解：原抛物线的函数解析式为，则顶点坐标为， 设直线解析式为， ∴， ∴， ∴直线解析式为； 将抛物线关于x轴作轴对称变换，得到图象G， 则图象G对应的抛物线的顶点坐标为， ∵将图象G沿直线平移，得到新的图象M， ∴图象M对应的抛物线的顶点在平行于的直线上运动，即在直线上运动， 图象对应的抛物线的顶点坐标为， ∴图象对应的抛物线解析式为， 当图象过点（由（2）可得点A坐标）时， ，解得 或； 当图象过点时， ，解得或； ∴由函数图象可知，当时，符合题意； 同理可得直线的解析式为， 当抛物线与直线恰好只有一个交点时， 联立得， 即； 则， 解得， ∴， ∵， ∴此时抛物线与直线的交点恰好在线段上，符合题意； 综上所述，的范围是或． 5．（2025·内蒙古包头·三模）已知，如图二次函数的图象与y轴交于点与x轴交于点A、B，点，抛物线的对称轴为直线．直线交抛物线于点． (1)求二次函数的解析式并写出D点坐标； (2)点Q是线段上的一动点，过点Q作交于E，连接，当的面积最大时，求点Q的坐标； (3)抛物线与y轴交于点C，直线与y轴交于点F，点M为抛物线对称轴上的动点，点N在x轴上，当四边形周长取最小值时，求出满足条件的点M的坐标和周长的最小值． 【答案】(1)，D点坐标为； (2)点Q的坐标为； (3)，四边形的最短周长为． 【分析】（1）根据点，点，抛物线的对称轴为可得关于，，的方程组，解方程求得，，的值，从而得到二次函数的解析式，再将点代入二次函数的解析式，得到关于的方程，求得的值，从而求解； （2）先求得，点的坐标，过点作，根据相似三角形的判定和性质可得，由于，配方后即可得到有最大值时，点的坐标； （3）根据待定系数法得到直线的解析式为：，过点作关于轴的对称点，即，再连接交对称轴于，轴于，由条件可知，点、是关于对称轴对称，则，得到四边形的最短周长为时直线的解析式为：，进而得到满足条件的点和点的坐标． 【详解】（1）解：由题意得：， 解得：，，， 即二次函数的解析式为：． ∵点在抛物线上，即， ∴点的坐标为； （2）解：令，即，解得：，， ∴点，的坐标分别是，． 如图，过点作，垂足为点，设点坐标为，即， ∵， ∴与相似， ∴，即， ∴， ∴， ∴ ， ∴当时，有最大值，即点的坐标为； （3）解：如图，由，两点可求得直线的解析式为：， 令，则， ∴点的坐标为， 过点作关于轴的对称点，即，连接交对称轴于点，交轴于点，再连接， 由条件可知，点、关于对称轴对称，即 即四边形的周长， 故四边形的最短周长为：． ∵点，在直线上上， ∴直线的解析式为：， ∴存在满足条件的点、，点的坐标为，点的坐标为． 公司2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $