专题03 二次函数综合题（培优专练，趋势领航+6考点突破+压轴提速）（全国通用）2026年中考数学二轮复习高效培优系列

专题03 二次函数综合题 趋势领航练 考点突破练 考点01 二次函数与线段有关问题 考点02 二次函数与图形面积有关问题 考点03 二次函数与特殊三角形存在性问题 考点04 二次函数与特殊四边形存在性问题 考点05 二次函数与相似三角形存在性问题 考点06二次函数与角度有关问题 压轴提速练 趋 势 领 航 练 【新情境问题】（2025·陕西·中考真题）某景区有一座美丽的彩虹桥，它的部分截面示意图如图所示，桥，钢缆均呈抛物线型，线段为桥面，线段为立柱，关于所在直线对称．的最低点到的距离为，到的距离为．以为原点，以所在直线为轴，以所在直线为轴，建立平面直角坐标系、 (1)求所在抛物线的函数表达式； (2)现要悬挂两条灯带来增加夜景效果，均与垂直，点分别在上，点在上，点到的距离均为．已知所在抛物线的函数表达式为，求这两条灯带的总长． 【新考法·跨学科数学建模探究】（2025·四川攀枝花·中考真题）跨学科主题学习活动中，某探究小组对“弹珠在水平轨道上运动快慢、路程随时间变化的关系”开展深入探究．先设计方案，再进行实验，利用所学知识对实验数据进行分析，并进一步应用． 【设计实验方案】如图1所示，设计一个由倾斜和水平轨道组成的实验装置，将弹珠从倾斜轨道顶端由静止释放．从弹珠运动到点处开始，用计时器、测速仪等测量并记录弹珠在水平轨道上的运动时间、运动快慢、运动路程的数据． 【收集整理数据】 运动时间 0 4 8 12 16 20 … 运动快慢 12 10 8 6 4 2 … 运动路程 0 44 80 108 128 140 … 【数学建模探究】 【猜想】根据表格中的数据分别在图2、图3的平面直角坐标系中描点、连线，观察图象并猜想：与之间的关系可以近似地用______________函数表示，与之间的关系可以近似地用______________函数表示．（选填：一次、二次、反比例） 【检验】根据猜想求出与与之间的函数关系式，并代入一组数据进行验证． 【应用】当弹珠到达水平轨道上点时，前方点处有一辆电动小车以的速度在匀速向前直线运动，若弹珠能追上小车，那么的最大值是多少？ 【新定义问题】（2025·辽宁·一模）在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标相等，则称该点为“平衡点”．例如，都是“平衡点”． (1)直接写出函数图象上的“平衡点”坐标______． (2)若二次函数的图象上有且只有一个“平衡点”，求此时函数的关系式和顶点坐标． (3)在（）的条件中，当时，函数的最小值为，最大值为，直接写出的取值范围． (4)设关于的函数的图象上有且只有一个“平衡点”为点，关于的函数（为常数且）的图象上有两个“平衡点”分别为点，点，点在点的左侧，且，直接写出的值． 【新考法问题·函数与几何模型综合】（2025·湖南邵阳·三模）如图，抛物线经过，两点，与y轴交于点C，D为直线上方抛物线上一动点，且于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，求线段长度的最大值； (3)如图2，设的中点为F，连接，，是否存在点D，使得中有一个角与相等？若存在，求点D的横坐标；若不存在，请说明理由． 考 点 突 破 练 考点01 二次函数与线段有关问题 1．（2025·海南·中考真题）如图，抛物线经过、两点．点是线段上的动点，过点作轴交抛物线于点． (1)若． ①求抛物线的解析式； ②求线段长度的最大值； ③若，求取何值时线段的长度最大（可用含的代数式表示）． (2)若，，问题（1）中③的结论是否会发生变化，请说明理由． 2．（2025·四川德阳·中考真题）如图1，在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的函数解析式； (2)如图2，连接，过点C作与抛物线相交于另一点D． ①求点D的坐标； ②如图3，点E，F为线段上两个动点（点E在点F的右侧），且，连接，．求的最小值． 3．（2025·四川眉山·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线关于直线对称，与x轴交于、B两点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)点P为抛物线对称轴上一点，连接，将线段绕点P逆时针旋转，使点B的对应点D恰好落在抛物线上，求此时点P的坐标； (3)在线段上是否存在点Q，使存在最小值？若存在，请直接写出点Q的坐标及最小值；若不存在，请说明理由． 4．（2025·四川凉山·中考真题）如图，二次函数的图像经过三点． (1)求抛物线的解析式； (2)点P在直线下方的抛物线上运动，求点P到直线的最大距离； (3)动点Q在抛物线的对称轴上，作射线，若射线绕点Q逆时针旋转与抛物线交于点D，是否存在点Q使？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 5.（2025·四川成都·三模）如图1，抛物线：的对称轴为直线，且抛物线经过．，两点，交x轴于另一点B． (1)求抛物线的解析式； (2)P在直线上方抛物线上，作轴，交线段于点D，作轴，交抛物线于另一点E，若，求点P的坐标； (3)如图2，将抛物线平移至顶点在原点，直线分别与x，y轴交于E，F两点，与新抛物线交于P、Q两点，作的垂直平分线交y轴于点N，若，设．问m是否为定值？若是，请求出m的值；若不是，请说明理由． 6．（2025·黑龙江哈尔滨·三模）已知抛物线交轴于点、，交轴于点，顶点的纵坐标为． (1)如图，求抛物线的解析式； (2)如图，点为第一象限的抛物线对称轴上一点，连接，将绕点逆时针旋转后得到线段（点在第一象限内），过点作直线轴，交轴于点，交抛物线于点，设点的纵坐标为，线段的长为，求与的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (3)如图，在（）的条件下，连接，过点作，射线交过点且与垂直的直线于点，过点作于点，点为上一点，过点作，交于点，交于点，连接，若，，求点的坐标． 考点02 二次函数与图形面积有关问题 1．（2025·黑龙江·中考真题）如图，抛物线交x轴于点A、点B，交y轴于点C，且点A在点B的左侧，顶点坐标为． (1)求b与c的值． (2)在x轴上方的抛物线上是否存在点P，使的面积与的面积相等．若存在，请直接写出点P的横坐标；若不存在，请说明理由． 2．（2026·新疆昌吉·一模）如图，已知抛物线与x轴交于两点（A在B的左侧），与y轴交于C点． (1)求抛物线的表达式． (2)点D是第一象限内抛物线上的一个动点（不与B、C重合），过D作轴于F，交直线于E，连，直线把的面积分为两部分，若，求D点坐标． 3．（2025·安徽芜湖·三模）已知抛物线的顶点始终在直线上，且与直线的另一个交点为点，抛物线与轴的交点为点． (1)用含的代数式表示，并求出的最小值； (2)已知点在第一象限，过点作轴于点，过点作于点，连接，，． ①的长是否为定值？请说明理由； ②若的面积是的面积的2倍，求的值． 4．（2025·宁夏·中考真题）如图，抛物线与轴负半轴交于点，与轴交于点，顶点的横坐标为． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，将直线沿轴向上平移个单位长度，当它与抛物线有交点时，求的取值范围； (3)如图2，抛物线的对称轴交直线于点，交轴于点，连接．抛物线上是否存在点（不与点重合），使得．若存在，直接写出点的横坐标；若不存在，说明理由． 5．（2025·四川广元·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线（）与轴交于点和点，与轴交于点． (1)求与的关系； (2)如图①，当时，点在抛物线上，，求点的坐标； (3)如图②，若抛物线上一点关于直线的对称点是的外心，求的值． 6．（2025·吉林·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线经过点．点在此抛物线上，其横坐标为，连接并延长至点，使．当点不在坐标轴上时，过点作轴的垂线，过点作轴的垂线，这两条垂线交于点． (1)求此抛物线对应的函数解析式． (2)被轴分成的两部分图形的面积比是否保持不变．如果不变，直接写出这个面积比；如果变化，说明理由． (3)当的边经过此抛物线的最低点时，求点的坐标． (4)当此抛物线在内部的点的纵坐标随的增大而减小时，直接写出的取值范围． 7．（2026·内蒙古通辽·一模）抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点C，抛物线对称轴与抛物线交于点P，与直线交于点M，连接． (1)求抛物线的函数表达式； (2)在第一象限内的抛物线上是否存在点D，使得的面积最大？若存在，求出点D的坐标及面积的最大值；若不存在，请说明理由； (3)在抛物线上是否存在点Q，使得与面积相等？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 8．（2025·安徽蚌埠·二模）已知二次函数图象的顶点是，且经过点． (1)求二次函数的解析式； (2)一次函数的图象经过点，与二次函数的图象交于A，B两点点在点的左侧），过点，分别作轴于点，轴于点． ①若点横坐标为2，求的长，并直接写出不等式的解； ②分别用，，，表示，，的面积，则的值是否为定值，若是，请求出该定值，若不是，请说明理由． 考点03 二次函数与特殊三角形存在性问题 1．（2025·江苏无锡·中考真题）已知二次函数图象的顶点为，与轴交于点，对称轴与轴交于点． (1)若该函数图象经过点，求点的横坐标； (2)若，点和在该函数图象上，证明：； (3)若是等腰三角形，求的值． 2．（2025·青海·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点，点B的坐标为，点在抛物线上． (1)求抛物线的解析式； (2)①求点A的坐标； ②当时，根据图象直接写出x的取值范围________； (3)连接交y轴于点D，在y轴上是否存在点P，使是以为直角边的直角三角形，若存在，请直接写出所有符合条件的点P坐标，若不存在，请说明理由． 3．（2025·黑龙江绥化·中考真题）综合与探究 如图，抛物线交轴于A、两点，交轴于点．直线经过、两点，若点，．点是抛物线上的一个动点（不与点A、重合）．    (1)求抛物线的函数解析式． (2)过点作直线轴于点，交直线于点，当时，求点坐标． (3)若点是直线上的一个动点．请判断在点右侧的抛物线上是否存在点，使是以为斜边的等腰直角三角形．若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 4．（2025·山东东营·中考真题）已知抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点． (1)求出抛物线的解析式； (2)如图1，点D是抛物线上位于对称轴右侧的一个动点，且点D在第一象限内，过点D作x轴的平行线交抛物线于点E，作y轴的平行线交x轴于点G，过点E作轴，垂足为点F，当四边形的周长最大时，求点D的坐标； (3)如图2，点M是抛物线的顶点，将沿翻折得到，与y轴交于点Q，在对称轴上找一点P，使得是以为直角边的直角三角形，请直接写出点P的坐标． 考点04 二次函数与特殊四边形存在性问题 1．（2025·山东东营·中考真题）如图，抛物线交轴于、两点，交轴于点，其中，． (1)求抛物线的表达式； (2)点为对称轴上一点，当的周长最小时，求点的坐标； (3)点为对称轴上一点，点为抛物线上一点，若以、、、为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点的坐标． 2．（2025·青海西宁·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，以P为顶点的抛物线的解析式为，点A的坐标是，以原点为中心，把点A顺时针旋转，得到点． (1)直接写出点的坐标和抛物线的对称轴； (2)当时，y有最大值为，求抛物线的解析式； (3)在(2)的条件下，若点M在y轴上，点N在坐标平面内，是否存在以点，P，M，N为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出所有符合条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由． 3．（2025·四川资阳·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交于两点（点在点的左边），与轴相交于点，且抛物线的顶点坐标为． (1)求抛物线的表达式； (2)是抛物线上位于第四象限的一点，点，连接相交于点，连接．若与的面积相等，求点的坐标； (3)是抛物线上的两个动点，分别过点作直线的垂线段，垂足分别为．是否存在点，使得以为顶点的四边形是正方形？若存在，求该正方形的边长；若不存在，说明理由． 考点05 二次函数与相似三角形存在性问题 1．（2025·陕西渭南·二模）如图，抛物线（a，b为常数，）与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，连接，D为第三象限抛物线上的动点，轴，交线段于点E． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)是否存在以C，D，E为顶点的三角形与相似，若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 2．（2025·黑龙江佳木斯·二模）如图，抛物线与x轴交于、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点，抛物线的顶点为M． (1)求抛物线的解析式，并写出M点的坐标； (2)若点P是线段上一个动点，连接，问是否存在点P，使得以点O、C、P为顶点的三角形与相似？若存在，直接写出P点的坐标；若不存在，请说明理由． 3．（2026·海南省直辖县级单位·一模）如图，抛物线与轴相交于、两点，与x轴相交于点，与轴相交于点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)如图1，若点是第四象限内抛物线上的一个动点，当点D运动到何处时，的面积最大？求出此时点D的坐标； (3)如图2，点是抛物线的顶点，直线交轴于点，若点是线段上的一个动点，是否存在以点，，为顶点的三角形与相似．若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 4．（2025·上海嘉定·一模）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于点和，与轴交于点，顶点为，连接． (1)求抛物线的表达式； (2)点是抛物线上对称轴右侧的点． ①当点在轴上方时，连接，如果，求点的坐标； ②如果点在对称轴上，且使与相似，请直接写出点的坐标． 考点06 二次函数与角度有关问题 1．（2025·山东淄博·中考真题）如图，一条抛物线与轴相交于，两点，与轴相交于点． (1)求抛物线对应的函数表达式； (2)问在抛物线上是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由； (3)将射线绕点逆时针旋转一定角度，使其恰好经过抛物线的顶点，再将抛物线沿直线平移，得到一条新的抛物线（其顶点为）．设这两条抛物线的交点为． ①求旋转角度的正切值； ②当时，求原抛物线平移的距离． 2．（2025·西藏·中考真题）已知抛物线过点，，与轴交于点．点是轴正半轴上的动点，点是抛物线在第四象限图象上的动点，连接，，且交轴于点，交于点． (1)当时，求抛物线的解析式； (2)如图1，在（1）的条件下，若，求直线的解析式； (3)要使得成立，请探索的取值范围（直接写出结果）； (4)如图2，，当为何值时，的长度等于1？ 3．（2025·吉林长春·中考真题）在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线经过点．点、是该抛物线上的两点，横坐标分别为、，已知点，作点关于点的对称点，作点关于点的对称点，构造四边形． (1)求该抛物线所对应的函数表达式； (2)当两点关于该抛物线的对称轴对称时，求点的坐标； (3)设抛物线在、两点之间的部分（含、两点）为图象．当时，若图象的最高点与最低点的纵坐标之差为．求的值； (4)连结、，当时，直接写出的取值范围（这里、、均是大于且小于的角）． 4．（2025·重庆·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，两点，与轴交于点，抛物线的对称轴是直线． (1)求抛物线的表达式： (2)点P是射线下方抛物线上的一动点，连接与射线交于点Q，点D，E为抛物线对称轴上的动点（点E在点D的下方），且，连接，．当取得最大值时，求点P的坐标及的最小值； (3)在（2）中取得最大值的条件下，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到抛物线，点M为点P的对应点，点N为抛物线上的一动点．若，请直接写出所有符合条件的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程． 5.（2025·四川遂宁·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，二次函数（为常数）的图像与轴交于、两点，交轴于点，对称轴为直线． (1)求二次函数关系式． (2)连接，抛物线上是否存在点，使，若存在，求出点的坐标，若不存在，说明理由． (3)在轴上方的抛物线上找一点，作射线，使，点是线段上的一动点，过点作轴，垂足为点，连结，求的最小值． 压 轴 提 速 练 1．（2025·甘肃·中考真题）如图1，抛物线分别与x轴，y轴交于A，两点，M为的中点． (1)求抛物线的表达式； (2)连接，过点M作的垂线，交于点C，交抛物线于点D，连接，求的面积； (3)点E为线段上一动点（点A除外），将线段绕点O顺时针旋转得到． ①当时，请在图2中画出线段后，求点F的坐标，并判断点F是否在抛物线上，说明理由； ②如图3，点P是第四象限的一动点，，连接，当点E运动时，求的最小值． 2．（2025·四川绵阳·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，点在轴右侧的轴上，抛物线经过A，B，C三点，顶点为． (1)求抛物线的解析式及点B，D的坐标； (2)点在直线AC上运动，当的周长最小时，求点的坐标； (3)探究在内部能否截出面积最大的矩形（顶点E，F，G，H在各边上）？若能，求出此时矩形在边上的顶点的坐标；若不能，请说明理由． 3．（2025·四川泸州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，与轴交于点和点． (1)求该抛物线的解析式； (2)点在直线上，点在轴上，是抛物线上位于第一象限的点，若四边形是正方形，求点的坐标； (3)设点在抛物线上，点在抛物线上，当时，的最小值为3，求的值． 4．（2025·广东揭阳·三模）如图，抛物线与x轴交于点和点B，与轴交于点，顶点是点D，交抛物线的对称轴于点． (1)求抛物线的解析式； (2)以为直径作，判断与的位置关系，并说明理由； (3)若抛物线对称轴上存在点，使得与相似，求点的坐标． 5．（2025·海南·三模）如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，点为抛物线的顶点，直线交轴于点． (1)求该抛物线的表达式； (2)点是第三象限内抛物线上的一个动点，作轴交于点． ①求线段的最大值及此时点的坐标； ②是否存在点，使得以点为顶点的三角形与相似？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 6．（2025·四川南充·中考真题）抛物线与x轴交于，B两点，N是抛物线顶点． (1)求抛物线的解析式及点B的坐标． (2)如图1，抛物线上两点，，若，求m的值． (3)如图2，点，如果不垂直于y轴的直线l与抛物线交于点G，H，满足．探究直线l是否过定点？若直线l过定点，求定点坐标；若不过定点，请说明理由． 7．（2026·重庆·模拟预测）如图，抛物线交轴于，两点，交轴于点，且． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，为直线上方抛物线上一点，连接、、，当取得最大值时，过点作轴交轴于点，交于点，过作交轴于点，连接，点是直线上的一动点，点是直线上的一动点且，连接、，求此时点坐标及的最小值； (3)如图2，在（2）的条件下，将抛物线关于轴对称，再沿轴向右平移4个单位得到新抛物线．点是新抛物线对称轴上的一动点，连接、、、．是否存在点满足？若存在，请直接写出所有可能点的坐标及其中一种情况的求解过程；若不存在，请说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 8 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 专题03二次函数综合题 ☑趋势领航练 ☑考点突破练 考点01二次函数与线段有关问题 考点02二次函数与图形面积有关问题 考点03二次函数与特殊三角形存在性问题 考点04二次函数与特殊四边形存在性问题 考点05二次函数与相似三角形存在性问题 考点06二次函数与角度有关问题 ☑压甜提速练 趋势领航练 【新情境问题】(2025陕西.中考真题)某景区有一座美丽的彩虹桥，它的部分截面示意图如图所示，桥 L,钢缆L,L,均呈抛物线型，线段BC为桥面，线段OA为立柱，OA⊥BC,OA=2m,L,L,关于OA所在直线 对称.L的最低点到BC的距离为)m,到0A的距离为2m.以0为原点，以BC所在直线为x轴，以OA所 在直线为y轴，建立平面直角坐标系、 M M B N2 (1)求L所在抛物线的函数表达式： (2)现要悬挂两条灯带M,N,M,N2来增加夜景效果，M,N,M,N,均与BC垂直，点M1,M2分别在L,L2上，点 心，在L上，点M,M,到01的距离均为3m.已如L所在抛物线的函数表达式为y=。2,求这两条灯 带的总长。 【详解】(1)解：由题意知，L所在抛物线的顶点为 且过A0,2), 设其衣达式为y=叫红-2+分 2=a40-22+ ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究： 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 解得a=3 .L所在抛物线的函数表达式为y= x-2+ (2)解：“点M,M2到OA的距离均为3m, 当x=3时，y=3×3-2列2+}-7 8 281 y=- 32=、9 16 16 M,N=M,N=7_-9）23 816)i6 6×223 23 这两条灯带的总长为 m 1 8 >【新考法·跨学科数学建模探究】(2025·四川攀枝花中考真题)跨学科主题学习活动中，某探究小组对“弹 珠在水平轨道上运动快慢、路程随时间变化的关系”开展深入探究.先设计方案，再进行实验，利用所学知 识对实验数据进行分析，并进一步应用. 【设计实验方案】如图1所示，设计一个由倾斜和水平轨道组成的实验装置，将弹珠从倾斜轨道顶端由静 止释放.从弹珠运动到A点处开始，用计时器、测速仪等测量并记录弹珠在水平轨道上的运动时间(S)、运 动快慢v(cm/s)、运动路程y(cm)的数据， 图1 【收集整理数据】 运动时间(S) 0 4 8 12 16 20 运动快慢v(cm/s) 12 10 8 6 2 运动路程y(cm) 0 44 80 108 128 140 【数学建模探究】 【猜想】根据表格中的数据分别在图2、图3的平面直角坐标系中描点、连线，观察图象并猜想：与t之 间的关系可以近似地用 函数表示，y与t之间的关系可以近似地用 函数表示 (选填：一次、二次、反比例) ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 v(cm/s) ◆y(cm) 12 160 10 140 120 8 100 6 80 4 60 40 2 20 04812162024s) 24681012141618202224s) 图2 图3 【检验】根据猜想求出与1，y与t之间的函数关系式，并代入一组数据进行验证. 【应用】当弹珠到达水平轨道上A点时，前方B点处有一辆电动小车以3cms的速度在匀速向前直线运动， 若弹珠能追上小车，那么AB的最大值是多少？ 【详解】解：【猜想】：描点，连线，画图如下： v(cm/s) ◆y(cm) 160 10 140 120 8 100 6 80 4 60 40 20 可4812162024t(9) 24681012141618202224(s 图2 图3 猜想：与t之间的关系可以近似地用一次函数表示，y与t之间的关系可以近似地用二次函数表示： 故答案为：一次，二次： 【检验】：设v=知+m,把(0,124,10)代入，得4k+m=10 m=12 1 k=- 解得： 2, m=12 v=-t+12, 2 验证：当1=20时，v=- ×20+12=2,符合题意： 2 c=0 设y=at2+bt+c,把点(0,0)，(8,80)，4,44)，代入，得16a+4b+c=44, 64a+8b+c=80 ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 c=0 1 解得a=- b=12 .y=- 12+12t, 验证：当1=20时，y=-×202+12×20=140,符合题意， 4 【应用】：：y=-二2+12t,设AB=d, 4 由题意，得： 12+12t2d+31, 4 d≤-+9， 4 9 :当、 =18 (1 2×- 4 时，4最大为-18+9x18=81: 故AB最大为81cm ●【新定义问题】(2025辽宁.一模)在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标相等，则称该点 为“平衡点”.例如(D,(2024,2024) 都是平衡点”. (1)直接写出函数y=x2图象上的“平衡点”坐标一 (2)若二次函数y=ax2+4x+c(a≠0)的图象上有且只有一个“平衡点” 33 22 求此时函数的关系式和顶点坐 标 3 (3)在(2)的条件中，当0≤x≤m时，函数y=ax2+4x+c-二(a≠0)的最小值为-3，最大值为1，直接写出 4 m的取值范围. (4)设关于x的函数y=x2+m的图象上有且只有一个"平衡点”为点A,关于x的函数y=x2-2x-2x+4n+2 (n为常数且n>1)的图象上有两个"平衡点”分别为点B,点C,点B在点C的左侧，且BC=2AB,直接 写出mn的值. 【详解】(1)解：：点的横坐标与纵坐标相等，则称该点为“平衡点”， 把y=x代入y=x2,得x2=x, 即x(x-1=0, 解得x1=0,x2=1, 平衡点的坐标为(0,0)或(1,1)， ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 故答案为：(0,0)或(1,1： (2)解：把y=x代入y=ax2+4x+c,得ax2+4x+c=x, 整理得，ax2+3x+c=0, :二次函数y=ax2+4x+c(a≠0)的图象上有且只有一个"平衡点”， ∴.△=9-4ac=0, 4ac=9①， :“平衡点”为 33 22 9 33 a+4×+c= 2 2 整理得，9a+4c=-18②， 联立①②，得 9a+4c=-18 4ac=9 a=-1 解得 c=-9 二次函数关系为y=-x2+4x-9 --2+ 9 :y=-x2+4x- 4 :顶点坐标为 7 24 3)解：由(2)可得，a=-1,c=-? 3 ..y=ax2+4x+c- 3-x+4r-9-3-x+4x-3=-x-22+1, 4 44 二次函数图象开口向下，对称轴直线为x=2,顶点坐标为(2,1，如图， -3 当y=-3时，-(x-2)+1=-3, ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 5 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 解得x1=0,x2=4, 当x=2时，y=1, 2≤m≤4； (4)解：把y=x代入y=x2+m,得x2+m=x, 整理得，x2-x+m=0, :关于x的函数y=x2+m的图象上有且只有一个“平衡点”为点A, .△=(-1)-4m=0, 解得m= 4 1 .y=x2+ 4 由x2+=x,整理得4x2-4r+1=0, 4 1 解得x=x=2 把y=x代入y=x2-2nx-2x+4n+2,得x2-2x-2x+4n+2=x, 整理得，x2-(2n+3x+4n+2=0, (2m+3)±V2n+32-44n+2_(2n+3)±2n-1_(2n+3)±(2n-, 2 2 解得x=2,x2=2n+1, :n>1,点B在点C的左侧， B(2,2,C(2n+1,2n+1, 8c-121-22a+1-2=212m-48-22--号 :BC=24B, .BC2=4AB2, 52a1-21-2-2-- ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究： 6 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 整理得，(2n-1)=9, 解得m,=2,n2=-1(不符合题意，舍去)， n=2, 综上所述，m= 4'n=2. 【新考法问题·函数与几何模型综合】(2025·湖南邵阳三模)如图，抛物线y=ax2+bx+3经过A(-1,0) ,B(4,0)两点，与y轴交于点C,D为直线BC上方抛物线上一动点，且DE⊥BC于点E. 图1 图2 (1)求抛物线的解析式： (2)如图1，求线段DE长度的最大值： (3)如图2，设AB的中点为F,连接CD,CF,是否存在点D,使得△CDE中有一个角与∠CF0相等？若存 在，求点D的横坐标；若不存在，请说明理由 【详解】(1)由题意，得 a-b+3=0 16a+4b+3=0 a=- 4 解得 9 b 4 能物线的医数表达式为)=-+？+3， (2)设直线BC的解析式为y=kc+b, [4k+b=0 则 b=3 k=- 解得 4, b=3 ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 宜线BC的解析式为y=一x+3 9 设Da,a+40+3,0<a<4 过点D作DM⊥x轴交BC于M点，如图1， VA 图1 则个a-+3小 4 :∠DME=LOCB,∠DEM=LBOC, ∴△DEM∽△BOC, DE OB DM BC :0B=4,0C=3, BC=5, :.DE=4DM, DE=-2a2+12a=-3a-2r+2 c0, 3 :当a=2时，DE取最大值，最大值是2 (3)存在。 假设存在这样的点D,△CDE中有一个角与∠CFO相等， :点F为AB的中点， 0r=2ta∠Cr0-0C=2. 3 OF 过点B作BG⊥BC,交CD的延长线于G点，过点G作GH1x轴，垂足为H,如图2， ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 8 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 E 图2 ①若LDCE=LCFO, tan∠DCE= GB =2, BC .BG=10, :△GBH∽△BCO, GH HB GB BO OC BC .GH=8,BH=6, G(10,8), 设直线CG的解析式为y=x+b', b'=3 10k+b'=81 1 k22 解得 b'=3 :直线CG的解析式为y=一x+3, 1 y=x+3 2 联立 32*1 9 y= x+3 44 曜得x=,或xe0(舍 ②若LCDE=LCF0, 同可得BG=多，GH=2,BH-3 ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 2 同理可得，直线CG的解析式为y=x+3, 2 V=- x+3 11 3 9 y=-2x2+2x+3 4 4 解得x= 107 或x=0(舍)， 33 综上所述，存在点D,使得：CDE申有一个角与∠CF0相等，点D的横坐标为了或0 33 考点突破练 ◆考点01二次函数与线段有关问题 1.(2025海南中考真题)如图，抛物线y=ax2+bx+c(a>0)经过A4,0)、B(-2,6)两点.点P(x,y)是 线段AB上的动点，过点P作PQ⊥x轴交抛物线于点Q. (1)若c=-4. ①求抛物线的解析式： ②求线段P9长度的最大值： ③若t≤x≤t+1,求x取何值时线段P2的长度最大（可用含t的代数式表示x)· (2)若c≠-4,1≤x。≤1+1，问题(1)中③的结论是否会发生变化，请说明理由. 【详解】(1)解：①：c=-4, 设抛物线的解析式为：y=ax2+bx-4, :抛物线y=ar2+bx+ca>0)经过A4,0)、B(-2,6)两点， 0=16a+4b-4 a=1 (6=4a-2b-4’解得： b=-3 、抛物线的解析式为：y=x2-3x-4; ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 10