专题03 乘法公式（平方差公式与完全平方公式）六大题型（专项训练）数学新教材青岛版七年级下册

专题03 乘法公式（平方差公式与完全平方公式） 目录 A 题型建模 专项突破 1 题型一 运用平方差公式进行运算 1 题型二 平方差公式与几何图形 2 题型三 运用完全平方公式进行运算 4 题型四 完全平方公式在几何图形中的应用 6 题型五 通过对完全平方公式变形求值 8 题型六 求完全平方式中的字母系数 11 B 综合攻坚 能力跃升 14 题型一 运用平方差公式进行运算 1．（24-25七年级下·江苏苏州·月考）先化简再求值：，其中，． 2．（24-25七年级下·江苏苏州·月考）计算： (1)； (2)； (3) ； (4)； (4) ； (6)． 3．（24-25七年级下·江苏苏州·月考）先化简，再求值： (1)，其中． (2)，其中． 4．计算或化简 (1)先化简再求值：，其中，． (2)已知：，．求和的值． 题型二 平方差公式与几何图形 5．（2026七年级下·广东深圳·专题练习）如图1，边长为a的正方形中有一个边长为b的小正方形，图2是由图1中阴影部分拼成的一个长方形，设图1中阴影部分面积为，图2中阴影部分面积为． (1)请用含a，b的代数式表示________，________； (2)写出利用图形的面积关系所揭示的整式乘法公式：________； (3)利用这个公式说明既能被3整除，又能被5整除，还能被17整除． 6．（24-25七年级下·全国·课后作业）模型观念 如图①所示，从边长为的大正方形纸板中挖去一个边长为的小正方形纸板后，将其裁成四个相同的梯形，然后拼成一个平行四边形（如图②所示）． （1）图①中阴影部分的面积是____． （2）图②中拼成的平行四边形的底边长是____，对应的高是___（注意观察图①），所以平行四边形的面积是______． （3）因为①，②两个图形中阴影部分的面积相等，所以可以发现等式：___，这就是平方差公式． 7．如图，从边长为的正方形纸片中剪出一个边长为m的正方形之后，剩余部分又剪拼成一个大长方形（不重叠无缝隙），若拼成的大长方形的宽为4，则大长方形的长为_____． 8．（25-26七年级上·山东济南·期末）数形结合是一种重要数学思想方法，借助图形的直观性，可以帮助解决数学问题． 例如：图1阴影部分的面积可以解释数学公式：． (1)观察图2，根据图中阴影部分的面积可以解释数学乘法公式____________； (2)观察图3，根据图中大正方形的面积可以解释数学乘法公式____________； (3)若，根据（2）中所得的公式，求的值； (4)若满足，求的值． 题型三 运用完全平方公式进行运算 9．（24-25七年级上·宁夏银川·期中）如图是一个长为、宽为 的长方形，沿图中虚线用剪刀均匀分成四块小长方形，然后按图的形状拼成一个正方形． (1)你认为图中的阴影部分的正方形的边长等于多少？______． (2)请用两种不同的方法求图中阴影部分的面积． 方法：______（只列式，不化简） 方法：______（只列式，不化简） (3)观察图，请你写出，，之间的等量关系． (4)根据（2）题中的等量关系，解决如下问题：若，．求． 10．（24-25七年级下·四川成都·期中）将完全平方公式进行适当的变形，可以解决很多的数学问题，例如，若，，求的值． (1)简单应用：若，，求的值； (2)拓展应用：若，求的值． 11．（25-26七年级上·山东济南·期末）在学习完全平方公式：后，我们对公式的运用进一步探讨． (1)若，，求的值； (2)阅读以下解法，并解决相应问题． “若满足，求的值”． 解：设，，则，，这样就可以利用（1）的方法进行求值了． ①若满足，则________； ②若满足，求的值； ③如图，在长方形中，，，，分别是，上的点，且，分别以，为边在长方形外侧作正方形和正方形，若长方形的面积为24，求图中阴影部分的面积． (3) 12．（25-26七年级上·山东济南·月考）【概念学习】 一个含有多个字母的代数式中，任意交换其中两个字母的位置，当字母的取值均不相等，且都不为0时，代数式的值不变，这样的式子叫作对称式． 【特例感知】 代数式中任意两个字母交换位置，可得到代数式，因为，所以是对称式．而交换式子中字母m，n的位置，得到代数式，因为，所以不是对称式． 【问题解决】阅读以上材料，解答下面的问题： (1)下列代数式中是对称式的有__________（填序号）； ①    ②    ③    ④． (2)若关于m，n的代数式（）为对称式，则的值为__________； (3)在（2）的条件下，已知，且，求的值． 题型四 完全平方公式在几何图形中的应用 13．（24-25七年级下·全国·课后作业）某公园有一块边长为的正方形绿地，为了便于游人通行，决定修两条互相垂直的小路，如图所示，小路宽，问：剩余绿地的面积是多少？ 14．将完全平方公式通过适当的变形，可以解决很多数学问题．试通过完全平方公式变形，解决下列问题． (1)已知，求ab的值； (2)已知，求的值； (3)如图，点C是线段上的一点，以、为边向两边作正方形，设，两正方形的面积和，求图中阴影部分的面积． 15．观察图①，用等式表示图中图形的面积的运算为， (1)观察图②，用等式表示图中阴影部分图形的面积的运算为 ． 【应用】 (2)根据图②所得的公式，若，，求的值． (3)若满足，求的值． 【拓展】 (4)如图③，某学校有一块梯形空地，于点，，，该校计划在和区域内种花，在和的区域内种草，经测量种花区域的面积和为平方米，种草区域的面积和为平方米，求的长． 16．（25-26七年级下·山东青岛·开学考试）【知识技能】 初中数学的一些代数公式可以通过几何图形的面积来推导和验证．现有长与宽分别为a、b的小长方形若干个，用两个这样的小长方形，拼成如图1的图形，用四个相同的小长方形拼成图2的图形，请认真观察图形，解答下列问题： （1）根据图中条件，请写出图1和图2所验证的关于a、b的关系式；（用a、b的代数式表示出来） 图1表示：____________________； 图2表示：____________________； 【解决问题】 （2）如图3，点C是线段上的一点，以，为边向两边作正方形，设，两正方形的面积和，则图中阴影部分面积是______． 【拓展提升】 （3）①若x满足；求______． ②若x满足；则______． 题型五 通过对完全平方公式变形求值 17．（24-25七年级下·广东深圳·期中）在数学中，有许多关系都是在不经意间被发现的，认真观察图形，解答下列问题： (1)如图1，用两种不同的方法表示阴影图形的面积，得到一个等量关系：________． (2)若图1中、满足，求的值； (3)如图2，是线段上一点，以为边向两边作正方形，，两正方形面积和，求图中阴影部分面积． (4)如图2，是线段上一点，以为边向两边作正方形，，两正方形面积和，且，则以（）为边长的正方形面积为________． 18．（25-26七年级下·四川达州·开学考试）数学活动课上，老师准备了图1中三种不同大小的正方形与长方形，拼成了一个如图2所示的正方形． (1)请用两种不同的方法表示图2中阴影部分的面积和． 方法1：__________________；方法2：__________________． (2)请你直接写出三个代数式：，，之间的等量关系． (3)根据等量关系，解决如下问题： 已知，求的值． 19．（25-26七年级下·陕西榆林·开学考试）阅读理解：若x满足，求的值． 解：设，，则，， ． 请仿照上面的方法解答下面的问题： (1)若x满足，求的值． (2)若x满足，求的值． (3)如图，已知正方形的边长为x，E，F分别是上的点，且，，长方形的面积是48，分别以为边长作正方形和正方形，求阴影部分的面积． 20．乘法公式的探究及应用：数学活动课上，老师准备了若干张如图1所示的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为a，宽为b的长方形．用A种纸片一张、B种纸片一张、C种纸片两张拼成如图2所示的大正方形． (1)请用两种不同的方法表示图2大正方形的面积． 方法1：________________； 方法2：________________； (2)请你写出三个整式：，，之间的数量关系； (3)根据（2）中的等量关系，解答下列问题：已知，，求的值． 题型六 求完全平方式中的字母系数 21．（24-25七年级下·全国·单元测试）所谓完全平方式，就是对于一个整式，如果存在另一个整式，使，则称是完全平方式，例如：，，所以，就是完全平方式．请解决下列问题： (1)已知，，则______． (2)如果是一个完全平方式，则的值为______． (3)若x满足，求的值． (4)如图所示，在长方形中，，，点，分别是，上的点，且，分别以，为边在长方形外侧作正方形和． ①______，______；（用含的式子表示） ②若长方形的面积为，求图中阴影部分的面积和． 22．（25-26七年级上·湖南株洲·期末）阅读：我们已学完全平方公式：，观察下列式子： ①， 因为， 所以， 所以当时，原式有最小值是； ②， 因为， 所以 所以当时，原式有最大值是． (1)已知是一个完全平方式，则____________． (2)①代数式有最____________（填“小”或者“大”）值为____________； ②代数式有最____________（填“小”或者“大”）值为____________； (3)当，为何值时，有最值，最值是多少？ 23．（24-25七年级下·辽宁锦州·期末）定义一种新的运算：对于任意两个有理数，规定． 例如，；． 若为有理数，请解答下列问题： (1)若是一个完全平方式，求的值； (2)若，，求的值． 24．如图，现有甲、乙、丙三种不同的长方形纸片，小美要用这三种纸片紧密拼接成一个大正方形，先取1张甲纸片，再取16张乙纸片，则需取丙纸片的张数为（    ） A．4 B．8 C．32 D．64 1．（24-25七年级下·江苏苏州·月考）下列各式中，不能用平方差公式计算的是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·贵州黔南·月考）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 3．从图1到图2的变化过程中可以发现的结论是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26七年级上·上海·期末）已知长方形的长为a，宽为b，用四个这样的长方形围成一个大正方形，如图1所示，中空的部分是一个面积为16的小正方形．用五个这样的长方形按如图2的方式摆放，延长部分边框，构成一个新的大长方形，空白部分的面积为65，则的值为（   ） A．12 B．9 C．7 D．5 5．如图，在边长为的正方形中挖掉一个边长为的小正方形，把余下的部分剪拼成一个长方形（无重叠部分），通过计算两个图形中阴影部分的面积，可以验证的一个等式是（   ） A． B． C． D． 6．（25-26七年级上·河南驻马店·期末）我国南宋数学家杨辉所著《详解九章算术》中记载了用如图所示的三角形解释了二项和的乘方展开式中的系数规律，我们把这种数字三角形叫做“杨辉三角”，请你利用杨辉三角，计算的展开式中，含项的系数是（    ） A．15 B．10 C．9 D．6 7．（24-25七年级下·江苏苏州·月考）若是一个完全平方式，则常数a的值为_______． 8．（24-25七年级上·宁夏银川·期中）在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（其中）（如图①），把余下的部分拼成一个长方形（如图②），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证的乘法公式是__________． 9．如图，有一个圆环形的观景台，已知，，则观景台（阴影部分）的面积是______（结果保留）． 10．（24-25七年级下·四川成都·期中）若是一个完全平方式，则k的值为___________ ． 11．（25-26七年级上·山东济南·期末）如图所示，边长为的正方形边长增加b得到新正方形，新正方形的面积为；边长为a的正方形一边增加2b，另一边减小b得到的长方形，此长方形的面积为；则__________．（填“”、“”或“”） 12．（2026七年级下·全国·专题练习）观察：；，那么，________． 13．（25-26七年级上·上海崇明·期中）阅读材料：计算： 运用上述方法求__________． 14．（24-25七年级下·江苏苏州·月考）已知，求： (1)； (2)的值 15．（24-25七年级下·广西桂林·月考）[背景阅读]在数学的学习中，我们经常可以利用图形的面积关系理解代数公式，使抽象的数量关系直观化． [问题解决] （1）填空：根据图1所示图形的面积关系．可以写出的一个乘法公式是 ； （2）如果图2中阴影部分的面积为25，一个小长方形的面积为14，求的值； [拓展应用] （3）如图3，有两个正方形A，B，现将B放在A的内部得到图甲，将A，B并列放置后构造新的正方形得到图乙．设正方形A的边长为x，正方形B的边长为y（），且图甲和图乙中阴影部分的面积分别为6和28．现将三个正方形A和两个正方形B如图丙摆放，求图丙中阴影部分的面积． 16．已知，． (1)对，进行整式乘法运算； (2)甲、乙两位同学用如下方法比较，的大小． 作差法：与0比较；若大于0，则大；小于0，则大；等于0，相等． 甲认为：大于； 乙认为：不小于． 通过计算判断谁的说法正确． 17．计算： (1) (2) (3) (4) 18．（25-26六年级下·全国·课后作业）完全平方公式是同学们熟悉的公式，小玲同学在学习过完全平方公式后，通过类比学习得到（为非负整数）的计算结果，如果将（为非负整数）的每一项按字母的次数由大到小排列，就可以得到下面的等式： ，它只有一项，系数为1； ，它有两项，系数分别为1，1； ，它有三项，系数分别为1，2，1； 它有四项，系数分别为1，3，3，1． 如果将上述每个式子的各项系数排成如图所示的表格，我们可以发现一些规律，聪明的你一定也发现了，请你根据规律解答下列问题： (1)尝试写出的结果，并验证． (2)请直接写出共有__________项，各项系数的和等于__________． (3)（为非负整数）共有__________项，各项系数的和等于__________． 19．（24-25七年级下·江苏苏州·月考）如图1是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形． (1)你认为图2中的阴影部分的正方形的边长等于________． (2)请用两种不同的方法求图2中阴影部分的面积． ①________；②________． (3)观察图2你能写出三个代数式之间的等量关系________． (4)已知，求代数式的值． 20．【项目化学习】我国著名数学家华罗庚教授曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休”．数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形结合起来，可以使复杂、难懂的问题具体化，从而把握数学问题的本质，实现优化解题的目的．已知有若干张正方形卡片和长方形卡片，其中A型卡片是边长为a的正方形，B型卡片是边长为b的正方形，C型卡片是长为a，宽为b的长方形． (1)若要用这三种卡片紧密拼接成一个长为，宽为的长方形，求需要A，B，C，各型号卡片各多少张？ (2)若要用这三种卡片紧密拼接成一个正方形，先取A型卡片9张，再取B型卡片4张，还需C型卡片__________张． (3)用一张A型卡片，一张B型卡片，一张C型卡片紧密拼接成如题图所示的图形，若阴影部分的面积为32，C型卡片的面积为48，求的值． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 乘法公式（平方差公式与完全平方公式） 目录 A 题型建模 专项突破 1 题型一 运用平方差公式进行运算 1 题型二 平方差公式与几何图形 5 题型三 运用完全平方公式进行运算 8 题型四 完全平方公式在几何图形中的应用 14 题型五 通过对完全平方公式变形求值 19 题型六 求完全平方式中的字母系数 24 B 综合攻坚 能力跃升 28 题型一 运用平方差公式进行运算 1．（24-25七年级下·江苏苏州·月考）先化简再求值：，其中，． 【答案】， 【思路引导】先根据整式的混合运算法则去括号，再合并同类项即可化简，最后代入，计算即可得出结果． 【规范解答】解： ， 当，时， 原式 ． 2．（24-25七年级下·江苏苏州·月考）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【思路引导】(1)先进行幂的乘方运算，再计算同底数幂的除法，最后，合并同类项即可； (2)先进行乘方运算、负指数幂的化简、零指数幂的化简、绝对值的化简，再求和即可； (3)先运用平方差公式、完全平方公式进行展开，然后，合并同类项即可； (4)先分组，再运用平方差公式展开，然后，运用完全平方公式展开，最后，去括号、合并同类项即可； (5)先运用平方差公式进行计算，再运用完全平方公式进行展开即可； (6)先分组，再运用平方差公式进行计算，然后，运用完全平方公式进行展开即可． 【规范解答】（1）解：原式 ； （2）解：原式； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ； （5）解：原式 ； （6）解：原式 ． 3．（24-25七年级下·江苏苏州·月考）先化简，再求值： (1)，其中． (2)，其中． 【答案】(1)； (2)； 【思路引导】（1）先根据幂的乘方、同底数幂相乘，零次幂法则进行化简，再合并同类项，得出，然后把代入，进行计算，即可作答； （2）根据完全平方公式与平方差公式，单项式乘以多项式化简，然后合并同类项，最后将代入进行计算即可求解． 【规范解答】（1）解： ； 当时， ； （2）解： ， 当时， ． 4．计算或化简 (1)先化简再求值：，其中，． (2)已知：，．求和的值． 【答案】(1)化简结果为，值为 (2)， 【思路引导】本题考查乘法公式，整式的混合运算，代数式求值，完全平方公式的变形求值，熟练掌握相关公式是关键． （1）先利用乘法公式展开，再按照整式混合运算的法则进行化简，最后代入求值即可； （2）利用完全平方公式对代数式进行变形，然后求值即可． 【规范解答】（1）解：， ， ， ， 当，时， 原式， ， ， ； （2）解：由完全平方公式可得： ， ∴， 由完全平方公式可得： ， ∴． 题型二 平方差公式与几何图形 5．（2026七年级下·广东深圳·专题练习）如图1，边长为a的正方形中有一个边长为b的小正方形，图2是由图1中阴影部分拼成的一个长方形，设图1中阴影部分面积为，图2中阴影部分面积为． (1)请用含a，b的代数式表示________，________； (2)写出利用图形的面积关系所揭示的整式乘法公式：________； (3)利用这个公式说明既能被3整除，又能被5整除，还能被17整除． 【答案】(1)，， (2) (3)见解析 【思路引导】本题考查平方差公式和图形面积． （1）将图1看成大正方形减去小正方形，将图2看成一个长方形，即可解答； （2）根据即可解答； （3）根据（2）中得出的公式，将化为含有因数3、5、17的式子即可证明． 【规范解答】（1）解：，， （2）解：∵， ∴； （3）解： ， ， ∴既能被3整除，又能被5整除，还能被17整除． 6．（24-25七年级下·全国·课后作业）模型观念 如图①所示，从边长为的大正方形纸板中挖去一个边长为的小正方形纸板后，将其裁成四个相同的梯形，然后拼成一个平行四边形（如图②所示）． （1）图①中阴影部分的面积是____． （2）图②中拼成的平行四边形的底边长是____，对应的高是___（注意观察图①），所以平行四边形的面积是______． （3）因为①，②两个图形中阴影部分的面积相等，所以可以发现等式：___，这就是平方差公式． 【答案】 【思路引导】本题考查了平方差公式的几何背景及图形面积的计算，解题的关键是通过计算两种不同图形的面积，建立等式，从而推导出平方差公式． （1）用大正方形面积减去小正方形面积，得到图①阴影部分的面积； （2）观察图形，确定图②中平行四边形的底边长和高，再用底乘高计算其面积； （3）根据两个图形中阴影部分面积相等，列出等式，推导出平方差公式． 【规范解答】（1）解： 故答案为：． （2）解：底边长为；对应的高为； 故答案为：；；． （3） 故答案为：． 7．如图，从边长为的正方形纸片中剪出一个边长为m的正方形之后，剩余部分又剪拼成一个大长方形（不重叠无缝隙），若拼成的大长方形的宽为4，则大长方形的长为_____． 【答案】 【思路引导】观察图形，根据面积的和差，可得大长方形的面积，根据大长方形的面积公式，可得大长方形的长． 【规范解答】解：大正方形的面积为，小正方形的面积为， 拼成的大长方形的面积为， 大长方形的宽为4， 大长方形的长为． 8．（25-26七年级上·山东济南·期末）数形结合是一种重要数学思想方法，借助图形的直观性，可以帮助解决数学问题． 例如：图1阴影部分的面积可以解释数学公式：． (1)观察图2，根据图中阴影部分的面积可以解释数学乘法公式____________； (2)观察图3，根据图中大正方形的面积可以解释数学乘法公式____________； (3)若，根据（2）中所得的公式，求的值； (4)若满足，求的值． 【答案】(1) (2) (3)41 (4)10 【思路引导】本题考查完全平方公式、平方差公式的几何背景，掌握完全平方公式、平方差公式的结构特征是正确解答的关键． （1）用两种方法计算图形中阴影部分的面积即可； （2）用两种方法计算图形中阴影部分的面积即可； （3）根据，求解即可； （4）设，，则，，根据进行计算即可． 【规范解答】（1）解：图2阴影部分的面积可以解释数学公式：， 故答案为：； （2）解：图3阴影部分的面积可以解释数学公式： ， 故答案为：； （3）解：由（2）知，， 把代入，得， ∴； （4）解：设，，则，， ∴． 题型三 运用完全平方公式进行运算 9．（24-25七年级上·宁夏银川·期中）如图是一个长为、宽为 的长方形，沿图中虚线用剪刀均匀分成四块小长方形，然后按图的形状拼成一个正方形． (1)你认为图中的阴影部分的正方形的边长等于多少？______． (2)请用两种不同的方法求图中阴影部分的面积． 方法：______（只列式，不化简） 方法：______（只列式，不化简） (3)观察图，请你写出，，之间的等量关系． (4)根据（2）题中的等量关系，解决如下问题：若，．求． 【答案】(1) (2)， (3) (4)16 【思路引导】（1）根据图形填空即可； （2）根据面积的不同计算方法填空即可； （3）将三者关系列出等式即可； （4）利用（3）中等式计算即可． 【规范解答】（1）解：观察图b可以发现：图b中的阴影部分的正方形的边长等于， 故答案为：； （2）解：方法1：, 方法2：, 故答案为：，； （3）解：观察图b可以发现：, 即：, ∴，，之间的等量关系为：； （4）解：∵， ∴根据（2）题中的等量关系，可得 ． 10．（24-25七年级下·四川成都·期中）将完全平方公式进行适当的变形，可以解决很多的数学问题，例如，若，，求的值． (1)简单应用：若，，求的值； (2)拓展应用：若，求的值． 【答案】(1)20 (2)18 【思路引导】（1）根据完全平方公式可得，再根据，即可计算出xy的值； （2）由计算可得，把和看作整体，根据完全平方公式可得，再根据，即可计算出的值． 【规范解答】（1）解：（1）∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得． 11．（25-26七年级上·山东济南·期末）在学习完全平方公式：后，我们对公式的运用进一步探讨． (1)若，，求的值； (2)阅读以下解法，并解决相应问题． “若满足，求的值”． 解：设，，则，，这样就可以利用（1）的方法进行求值了． ①若满足，则________； ②若满足，求的值； ③如图，在长方形中，，，，分别是，上的点，且，分别以，为边在长方形外侧作正方形和正方形，若长方形的面积为24，求图中阴影部分的面积． (3) 【答案】(1)68 (2)①52；②60；③64 【思路引导】本题主要考查了完全平方公式和几何图形的结合，解题的关键是掌握数形结合的思想． （1）利用完全平方公式进行求解即可； （2）①设，则，，利用完全平方公式进行求解即可； ②设，，利用完全平方公式进行求解即可； ③设，，则，利用完全平方公式进行求解即可． 【规范解答】（1）解：∵，， ∴ ； （2）解：①设，则，， ， 故答案为：52； ②设，， ∴，， ∴ ， ∴， ∴； ③由题意得， 设，，则， ∴， ∵， ∴， ∴． 12．（25-26七年级上·山东济南·月考）【概念学习】 一个含有多个字母的代数式中，任意交换其中两个字母的位置，当字母的取值均不相等，且都不为0时，代数式的值不变，这样的式子叫作对称式． 【特例感知】 代数式中任意两个字母交换位置，可得到代数式，因为，所以是对称式．而交换式子中字母m，n的位置，得到代数式，因为，所以不是对称式． 【问题解决】阅读以上材料，解答下面的问题： (1)下列代数式中是对称式的有__________（填序号）； ①    ②    ③    ④． (2)若关于m，n的代数式（）为对称式，则的值为__________； (3)在（2）的条件下，已知，且，求的值． 【答案】(1)①②③ (2) (3)3 【思路引导】本题主要考查了分解因式，完全平方公式，同底数幂乘除法运算，幂的乘方运算，正确理解对称式的定义是解题的关键． （1）①根据同底数幂乘法运算法则得到，再根据对称式的定义判断即可；②根据幂的乘方运算法则得到，再根据对称式的定义判断即可；③再根据对称式的定义判断即可；④根据同底数幂除法运算法则得到，再根据对称式的定义判断即可； （2）根据对称式的定义可得，则可证明，根据，可得，据此可得答案； （3）根据（2）所求可得，则可求出的值，再根据完全平方公式可得答案． 【规范解答】（1）解：①， 代数式中任意两个字母交换位置，可得到代数式， 因为， ∴， ∴代数式是对称式； ②， 代数式中两个字母交换位置，可得到代数式， ∵， ∴， ∴代数式是对称式； ③代数式中两个字母交换位置，可得到代数式， ∵， ∴代数式是对称式； ④， 代数式中两个字母交换位置，可得到代数式， ∵， ∴， ∴代数式不是对称式； 故答案为：①②③； （2）解：交换代数式中字母m、n的位置可得 ∵关于m，n的代数式为对称式， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴； （3）解：由（2）可得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 题型四 完全平方公式在几何图形中的应用 13．（24-25七年级下·全国·课后作业）某公园有一块边长为的正方形绿地，为了便于游人通行，决定修两条互相垂直的小路，如图所示，小路宽，问：剩余绿地的面积是多少？ 【答案】 【思路引导】本题主要考查完全平方公式的运用，根据“剩余绿地的面积正方形的面积小路的面积”进行计算即可． 【规范解答】解： ． 故剩余绿地的面积为． 14．将完全平方公式通过适当的变形，可以解决很多数学问题．试通过完全平方公式变形，解决下列问题． (1)已知，求ab的值； (2)已知，求的值； (3)如图，点C是线段上的一点，以、为边向两边作正方形，设，两正方形的面积和，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)22 (2)7 (3)2 【思路引导】本题考查了完全平方公式的应用，灵活运用完全平方公式是解题的关键． （1）利用，代入已知条件即可解答； （2）设，则，，结合，即可解答； （3）设，则，，结合，求得的值，最后根据，即可解答． 【规范解答】（1）解：∵， ∴， ∴； （2）解：设， 则，， ∴， 即的值为7； （3）解：设，则， ∵， ∴， ， 即， ， ． 15．观察图①，用等式表示图中图形的面积的运算为， (1)观察图②，用等式表示图中阴影部分图形的面积的运算为 ． 【应用】 (2)根据图②所得的公式，若，，求的值． (3)若满足，求的值． 【拓展】 (4)如图③，某学校有一块梯形空地，于点，，，该校计划在和区域内种花，在和的区域内种草，经测量种花区域的面积和为平方米，种草区域的面积和为平方米，求的长． 【答案】(1) (2) (3) (4)长为米 【思路引导】本题考查完全平方公式的实际应用，利用完全平方式的变形求值是解题关键． （1）阴影面积为两个小正方形，也可以看作大正方形减去两个矩形，由此得到等式； （2）利用（1）的结论进行计算即可； （3）将看作，看作，则，，利用（1）的结论进行计算即可． （4）设，，由题意可得，，利用完全平方公式计算得． 【规范解答】（1）解：观察图②可知，阴影部分为两个小正方形，面积和为，也可以用大正方形减去两个矩形得到，即， ∴运算为：； （2）解：由（1）的结论得：， 又∵，， ∴； （3）解：设，，则， ∴， ∵， ∴， 由（1）的结论得：， ∴， ∴； （4）解：设，， ∵于点， ∴（平方米），（平方米），（平方米），平方米， ∵种花区域的面积和为平方米，种草区域的面积和为平方米， ∴，， ∴，， 由（1）的结论得：， ∴， ∴，即米， 答：长为米． 16．（25-26七年级下·山东青岛·开学考试）【知识技能】 初中数学的一些代数公式可以通过几何图形的面积来推导和验证．现有长与宽分别为a、b的小长方形若干个，用两个这样的小长方形，拼成如图1的图形，用四个相同的小长方形拼成图2的图形，请认真观察图形，解答下列问题： （1）根据图中条件，请写出图1和图2所验证的关于a、b的关系式；（用a、b的代数式表示出来） 图1表示：____________________； 图2表示：____________________； 【解决问题】 （2）如图3，点C是线段上的一点，以，为边向两边作正方形，设，两正方形的面积和，则图中阴影部分面积是______． 【拓展提升】 （3）①若x满足；求______． ②若x满足；则______． 【答案】（1）；；（2）32；（3）①4；②． 【思路引导】本题考查了完全平方公式以及其变形公式，熟练掌握公式是解题的关键． （1）对于图1，根据大正方形的面积等于两个长方形面积与两个正方形面积之和，得到；对于图2，根据大正方形面积等于小正方形面积与四个长方形面积之和，得到； （2）设，，则，，根据完全平方公式的变形公式，计算出图中阴影部分面积； （3）①由，，以及完全平方公式的变形公式，计算得出答案； ②由，，以及完全平方公式的变形公式，计算得出答案． 【规范解答】（1）解：由图1可知，， 由图2可知，． （2）解：设，， ∵， ∴， ∵四边形，四边形都是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴． （3）①解：∵，， ∴． ②解：∵，， ∴， ∴， ∴． 题型五 通过对完全平方公式变形求值 17．（24-25七年级下·广东深圳·期中）在数学中，有许多关系都是在不经意间被发现的，认真观察图形，解答下列问题： (1)如图1，用两种不同的方法表示阴影图形的面积，得到一个等量关系：________． (2)若图1中、满足，求的值； (3)如图2，是线段上一点，以为边向两边作正方形，，两正方形面积和，求图中阴影部分面积． (4)如图2，是线段上一点，以为边向两边作正方形，，两正方形面积和，且，则以（）为边长的正方形面积为________． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【思路引导】（1）阴影部分的面积可表示为两个小正方形的面积之和，也可表示成大正方形的面积减去两个小长方形的面积，即可得到等量关系； （2）由（1）得到的等量关系：，代入数值求解即可； （3）设正方形的边长为，正方形的边长为，则，，可得 ，根据（1），求出的值，即可得出答案； （4）设正方形的边长为，正方形的边长为，根据完全平方公式得出，进而得到，答案即可求得. 【规范解答】（1）解：图1中阴影部分的面积可以表示为两个边长分别为，的小正方形的面积之和， 即， 也可表示为边长是的大正方形的面积减去两个长、宽分别为的小长方形的面积， 即， ∴等量关系为； （2）解∶由（1）得， ∵， ∴ ； （3）解∶设正方形的边长为，正方形的边长为， 则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积为． （4）解：设正方形的边长为，正方形的边长为， ∵， ∴， ∴， ∴， 即：以（）为边长的正方形面积为． 18．（25-26七年级下·四川达州·开学考试）数学活动课上，老师准备了图1中三种不同大小的正方形与长方形，拼成了一个如图2所示的正方形． (1)请用两种不同的方法表示图2中阴影部分的面积和． 方法1：__________________；方法2：__________________． (2)请你直接写出三个代数式：，，之间的等量关系． (3)根据等量关系，解决如下问题： 已知，求的值． 【答案】(1)， (2) (3)13 【思路引导】（1）利用阴影两部分求和、总面积减去空白部分面积计算即可； （2）由（1）的两种方法即可得出； （3）利用，将变形为，再计算即可． 【规范解答】（1）解：由图可得阴影两部分求和为：， 总面积减去空白部分面积为：， 故答案为：，； （2）解：由题意可得：； （3）解：由（2）可得： ． 19．（25-26七年级下·陕西榆林·开学考试）阅读理解：若x满足，求的值． 解：设，，则，， ． 请仿照上面的方法解答下面的问题： (1)若x满足，求的值． (2)若x满足，求的值． (3)如图，已知正方形的边长为x，E，F分别是上的点，且，，长方形的面积是48，分别以为边长作正方形和正方形，求阴影部分的面积． 【答案】(1)130 (2)16 (3)28 【思路引导】（1）设，由已知条件得，根据即可求解； （2）设，结合已知可得，将两边分别平方，然后整体代换即可求解； （3）观察图形，根据线段的构成将，用含x的代数式表示出来，根据阴影部分的面积，根据（2）的方法计算即可． 【规范解答】（1）解：设，则 ， ∴． （2）解：设， 则 ， ∴， ∴， ∴，解得：， ∴． （3）解：∵正方形的边长为x，， ∴， ∴， ∵阴影部分的面积， 设，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即阴影部分的面积为28． 20．乘法公式的探究及应用：数学活动课上，老师准备了若干张如图1所示的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为a，宽为b的长方形．用A种纸片一张、B种纸片一张、C种纸片两张拼成如图2所示的大正方形． (1)请用两种不同的方法表示图2大正方形的面积． 方法1：________________； 方法2：________________； (2)请你写出三个整式：，，之间的数量关系； (3)根据（2）中的等量关系，解答下列问题：已知，，求的值． 【答案】(1)，； (2) (3) 【思路引导】本题考查完全平方公式的几何背景，熟练掌握正方形、长方形面积的求法，灵活应用完全平方公式的变形是解题的关键． （1）方法1，由大正方形的边长为，直接求面积；方法2，大正方形是由2个长方形，2个小正方形拼成，分别求出各个小长方形、正方形的面积再求和即可； （2）由（1）直接可得关系式； （3）根据求解即可． 【规范解答】（1）解：方法1：，方法2：． 故答案为：，； （2）解：由（1）可知：； 故答案为：； （3）解：①∵，，且， ∴， 解得：． 题型六 求完全平方式中的字母系数 21．（24-25七年级下·全国·单元测试）所谓完全平方式，就是对于一个整式，如果存在另一个整式，使，则称是完全平方式，例如：，，所以，就是完全平方式．请解决下列问题： (1)已知，，则______． (2)如果是一个完全平方式，则的值为______． (3)若x满足，求的值． (4)如图所示，在长方形中，，，点，分别是，上的点，且，分别以，为边在长方形外侧作正方形和． ①______，______；（用含的式子表示） ②若长方形的面积为，求图中阴影部分的面积和． 【答案】(1) (2)或 (3) (4)①，；② 【思路引导】本题考查完全平方公式的应用，利用完全平方公式变形求值，矩形与正方形的性质，掌握好相关知识是关键． （1）利用完全平方公式变形求值即可； （2）对比完全平方公式确认与，再计算出的值即可； （3）设，，利用完全平方公式求值即可； （4）①根据线段和差关系进行填空； ②由矩形的面积为，可得，利用完全平方公式变形求得，根据正方形面积公式求出阴影面积． 【规范解答】（1）解：， ∵， ∴， ∴； （2）解：在完全平方式中，，， ∴， 当时， ， ∴， 当时， ， ∴； 综上所述，或； （3）解：设，， ∴，， ， ∴， ∴； （4）解：①∵四边形是矩形， ∴，， ∴，； ②∵长方形的面积为， ∴． ∵， ∴， ∴． 22．（25-26七年级上·湖南株洲·期末）阅读：我们已学完全平方公式：，观察下列式子： ①， 因为， 所以， 所以当时，原式有最小值是； ②， 因为， 所以 所以当时，原式有最大值是． (1)已知是一个完全平方式，则____________． (2)①代数式有最____________（填“小”或者“大”）值为____________； ②代数式有最____________（填“小”或者“大”）值为____________； (3)当，为何值时，有最值，最值是多少？ 【答案】(1)4 (2)①小，5②大， (3)当时，有最小值，最小值为 【思路引导】本题考查完全平方式，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）形如的式子是完全平方式，据此解答即可； （2）①代数式，根据平方的非负性可求得代数式的最小值；②代数式，根据平方的非负性可得代数式有最大值； （3），根据平方的非负性可得代数式有最小值，此时，据此求出的值． 【规范解答】（1）解：根据完全平方式的定义是完全平方式， ∴是一个完全平方式，则． 故答案为：4； （2）解：①， ∵， ∴， ∴当时，原式有最小值是5； 故答案为：小，5； ②， ∵， ∴， ∴当时，原式有最大值是． 故答案为：大，； （3）解： ， ∵， ∴， ∴当时， 即当时， 有最小值，最小值为． 23．（24-25七年级下·辽宁锦州·期末）定义一种新的运算：对于任意两个有理数，规定． 例如，；． 若为有理数，请解答下列问题： (1)若是一个完全平方式，求的值； (2)若，，求的值． 【答案】(1)或 (2) 【思路引导】本题考查定义新运算，完全平方公式，理解新定义的法则是解题的关键： （1）根据新定义的法则，列式计算，根据完全平方公式的结构得出的值； （2）根据新定义得出，进而根据，利用完全平方公式变形求值，即可求解． 【规范解答】（1）解： ． 因为是一个完全平方式， 所以．所以或． （2）因为， 所以． 所以． 因为， 所以． 所以 24．如图，现有甲、乙、丙三种不同的长方形纸片，小美要用这三种纸片紧密拼接成一个大正方形，先取1张甲纸片，再取16张乙纸片，则需取丙纸片的张数为（    ） A．4 B．8 C．32 D．64 【答案】B 【思路引导】本题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 利用完全平方公式的结构特征即可求解． 【规范解答】解：设需取丙纸片张， 则取出的纸片总面积为， ∵用这三种纸片紧密拼接成一个大正方形， ∴是完全平方式， ∴， ∴需取丙纸片的张数为8． 故选：B． 1．（24-25七年级下·江苏苏州·月考）下列各式中，不能用平方差公式计算的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】平方差公式结构为，需两个二项式乘积中，一项相同，另一项互为相反数才能使用该公式，据此判断选项即可． 【规范解答】解：A、，相同项为，相反项为和，符合要求，能用平方差公式计算，不符合题意； B、 ，相同项为，相反项为和，符合要求，能用平方差公式计算，不符合题意； C、 ，相同项为，相反项为和，符合要求，能用平方差公式计算，不符合题意； D、，两项都互为相反数，没有相同项，不符合平方差公式结构，不能用平方差公式计算，符合题意． 2．（23-24七年级下·贵州黔南·月考）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】运用合并同类项法则，同底数幂乘法法则，幂的乘方，积的乘方法则和完全平方公式逐一判断运算是否正确． 【规范解答】解：A：，∴此选项错误； B：，∴此选项正确； C：，∴此选项错误； D：，∴此选项错误． 3．从图1到图2的变化过程中可以发现的结论是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题主要考查平方差公式，分别表示出图形的面积，再结合变化过程分析即可解题． 【规范解答】解：由图知，图的面积为， 图的面积为， 结合图1到图2的变化过程可以发现， 故选：B． 4．（25-26七年级上·上海·期末）已知长方形的长为a，宽为b，用四个这样的长方形围成一个大正方形，如图1所示，中空的部分是一个面积为16的小正方形．用五个这样的长方形按如图2的方式摆放，延长部分边框，构成一个新的大长方形，空白部分的面积为65，则的值为（   ） A．12 B．9 C．7 D．5 【答案】C 【思路引导】本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键．用代数式表示图1中间小正方形的面积，图2空白部分的面积，再根据得到的，利用完全平方公式及变形求出的值即可． 【规范解答】解：图1中，中间小正方形的边长为，面积为， 由图2可得，大长方形的长为，宽为，因此面积为， 所以，即， ，即，而， ， ，而，则, ． 故选：C． 5．如图，在边长为的正方形中挖掉一个边长为的小正方形，把余下的部分剪拼成一个长方形（无重叠部分），通过计算两个图形中阴影部分的面积，可以验证的一个等式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题考查了平方差公式的图形推导，根据两个图形中阴影部分的面积相等列式即可得到答案； 【规范解答】解：由图形可得， ， 故选：A． 6．（25-26七年级上·河南驻马店·期末）我国南宋数学家杨辉所著《详解九章算术》中记载了用如图所示的三角形解释了二项和的乘方展开式中的系数规律，我们把这种数字三角形叫做“杨辉三角”，请你利用杨辉三角，计算的展开式中，含项的系数是（    ） A．15 B．10 C．9 D．6 【答案】B 【思路引导】本题考查杨辉三角的规律，运用归纳推理思想，解题关键是掌握杨辉三角的生成规律，易错点是行数与项数的对应关系错误。 通过推导杨辉三角后续行的系数，确定展开式中含项的系数． 【规范解答】解：杨辉三角的规律是：每行两端的数为1，中间的数为上一行相邻两数之和． 由图可得展开式的系数依次为：1，4，6，4，1， 因此展开式的系数依次为：1，5，10，10，5，1， 所以， 所以展开式中含项为从左向右第4项，系数为10． 故选：B． 7．（24-25七年级下·江苏苏州·月考）若是一个完全平方式，则常数a的值为_______． 【答案】 【规范解答】解：∵是完全平方式， ， ． 8．（24-25七年级上·宁夏银川·期中）在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（其中）（如图①），把余下的部分拼成一个长方形（如图②），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证的乘法公式是__________． 【答案】 【思路引导】运用不同方法表示阴影部分的面积是解题的关键． 【规范解答】解：第一个图形中阴影部分的面积的计算方法为：边长是a的正方形的面积减去边长是b的小正方形的面积，等于； 第二个图形中阴影部分的面积的计算方法为：一个长是，宽是的长方形，面积是； 这两个图形的阴影部分的面积相等，即． 9．如图，有一个圆环形的观景台，已知，，则观景台（阴影部分）的面积是______（结果保留）． 【答案】 【思路引导】本题主要考查了圆环面积计算，平方差公式的应用，用大圆的面积减去小圆的面积，即可求解． 【规范解答】解：依题意，观景台（阴影部分）的面积是 故答案为：． 10．（24-25七年级下·四川成都·期中）若是一个完全平方式，则k的值为___________ ． 【答案】13或 【思路引导】利用完全平方公式的结构特征确定出的值即可． 【规范解答】解：是一个完全平方式， 又，， 根据完全平方公式的结构特征可得： ， 即， 当时，解得， 当时，解得， 11．（25-26七年级上·山东济南·期末）如图所示，边长为的正方形边长增加b得到新正方形，新正方形的面积为；边长为a的正方形一边增加2b，另一边减小b得到的长方形，此长方形的面积为；则__________．（填“”、“”或“”） 【答案】＞ 【思路引导】此题考查了整式的乘法公式和混合运算的应用，分别求出，，作差比较大小即可． 【规范解答】解：，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 12．（2026七年级下·全国·专题练习）观察：；，那么，________． 【答案】/ 【思路引导】本题考查平方差公式的应用．通过乘以构造平方差形式，然后连续使用平方差公式简化计算即可． 【规范解答】解： ． 故答案为： 13．（25-26七年级上·上海崇明·期中）阅读材料：计算： 运用上述方法求__________． 【答案】 【思路引导】本题考查了平方差公式，通过观察原式，仿照阅读材料的方法，将原式分子分母同时乘以，利用平方差公式逐步化简，最终得到结果． 【规范解答】解： ． 故答案为：2． 14．（24-25七年级下·江苏苏州·月考）已知，求： (1)； (2)的值 【答案】(1)13 (2)1 【思路引导】（1）化为，代值计算即可； （2）化为，代值计算即可． 【规范解答】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 15．（24-25七年级下·广西桂林·月考）[背景阅读]在数学的学习中，我们经常可以利用图形的面积关系理解代数公式，使抽象的数量关系直观化． [问题解决] （1）填空：根据图1所示图形的面积关系．可以写出的一个乘法公式是 ； （2）如果图2中阴影部分的面积为25，一个小长方形的面积为14，求的值； [拓展应用] （3）如图3，有两个正方形A，B，现将B放在A的内部得到图甲，将A，B并列放置后构造新的正方形得到图乙．设正方形A的边长为x，正方形B的边长为y（），且图甲和图乙中阴影部分的面积分别为6和28．现将三个正方形A和两个正方形B如图丙摆放，求图丙中阴影部分的面积． 【答案】（1）；（2）；（3）62 【思路引导】本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键． （1）从“整体”和“部分”两个方面分别用代数式表示图1的面积即可； （2）根据图2可得，再将，代入计算即可； （3）由图甲和乙中阴影部分的面积分别为6和28得到，，再根据代入计算即可． 【规范解答】解：（1）图1中大正方形的边长为，因此面积为， 拼成图1的四个部分的面积和为， 所以有， 故答案为：； （2）图2中，大正方形的边长为，因此面积为， 阴影部分是边长为的正方形，因此面积为，四个空白长方形的面积和为， 所以有， ∵图2中阴影部分的面积为25，一个小长方形的面积为14， ∴，， ∴， ∵， ∴； （3）∵图甲和图乙中阴影部分的面积分别为6和28，即，， ∴， ∴ ． 16．已知，． (1)对，进行整式乘法运算； (2)甲、乙两位同学用如下方法比较，的大小． 作差法：与0比较；若大于0，则大；小于0，则大；等于0，相等． 甲认为：大于； 乙认为：不小于． 通过计算判断谁的说法正确． 【答案】(1)、 (2)乙说得对 【思路引导】本题主要考查整式的混合运算，掌握整式的运算法则是解题的关键． （1）利用平方差公式进行计算得，运用单项式乘多项式得，即可作答． （2）利用作差法得，又因为，故，即可作答． 【规范解答】（1）解：， ； ； （2）解： =， ， ∴， ∴ ∴乙说得对． 17．计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【规范解答】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 18．（25-26六年级下·全国·课后作业）完全平方公式是同学们熟悉的公式，小玲同学在学习过完全平方公式后，通过类比学习得到（为非负整数）的计算结果，如果将（为非负整数）的每一项按字母的次数由大到小排列，就可以得到下面的等式： ，它只有一项，系数为1； ，它有两项，系数分别为1，1； ，它有三项，系数分别为1，2，1； 它有四项，系数分别为1，3，3，1． 如果将上述每个式子的各项系数排成如图所示的表格，我们可以发现一些规律，聪明的你一定也发现了，请你根据规律解答下列问题： (1)尝试写出的结果，并验证． (2)请直接写出共有__________项，各项系数的和等于__________． (3)（为非负整数）共有__________项，各项系数的和等于__________． 【答案】(1)，见解析 (2)6，32 (3)， 【思路引导】本题主要考查了完全平方公式的应用，能根据杨辉三角得出规律是解此题的关键．在应用完全平方公式时，要注意：①公式中的a，b可以是单项式，也可以是多项式；②对形如两数和（或差）的平方的计算，都可以用这个公式． （1）根据规律写出的结果，并用整式乘法的法则进行计算即可； （2）根据各项系数以及字母指数的变化规律写出各项，得出项数以及各项系数的和即可； （3）根据项数以及各项系数的和的变化规律，得出的项数以及各项系数的和即可． 【规范解答】（1）解：， 验证： ． （2）解：根据规律可得，共有 6 项， 各项系数分别为：1，5，10，10，5，1， 它们的和等于 32； 故答案为：6；32； （3）解：根据规律可得，共有项， ∵， ， ， ， ∴各项系数的和等于 ； 故答案为：；． 19．（24-25七年级下·江苏苏州·月考）如图1是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形． (1)你认为图2中的阴影部分的正方形的边长等于________． (2)请用两种不同的方法求图2中阴影部分的面积． ①________；②________． (3)观察图2你能写出三个代数式之间的等量关系________． (4)已知，求代数式的值． 【答案】(1) (2)； (3) (4) 【思路引导】（1）根据阴影部分正方形的边长等于小长方形的长减去宽解答； （2）①根据正方形面积公式求解，②用总面积减去四个相等的长方形面积即可． （3）阴影部分的面积相等，结合（2）可得出答案． （4）由（3）得：，再代入计算即可． 【规范解答】（1）解：由图可知，阴影部分小正方形的边长为：； （2）解：①根据正方形的面积公式，阴影部分的面积为， ②还可以用总面积减去四个相等的长方形的面积，即表示为； （3）解：阴影部分的面积相等，结合（2）可得出； （4）解：由（3）得：， ∵，， ∴， ∴． 20．【项目化学习】我国著名数学家华罗庚教授曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休”．数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形结合起来，可以使复杂、难懂的问题具体化，从而把握数学问题的本质，实现优化解题的目的．已知有若干张正方形卡片和长方形卡片，其中A型卡片是边长为a的正方形，B型卡片是边长为b的正方形，C型卡片是长为a，宽为b的长方形． (1)若要用这三种卡片紧密拼接成一个长为，宽为的长方形，求需要A，B，C，各型号卡片各多少张？ (2)若要用这三种卡片紧密拼接成一个正方形，先取A型卡片9张，再取B型卡片4张，还需C型卡片__________张． (3)用一张A型卡片，一张B型卡片，一张C型卡片紧密拼接成如题图所示的图形，若阴影部分的面积为32，C型卡片的面积为48，求的值． 【答案】(1)需要A型卡片3张，B型卡片2张，C型卡片7张； (2)12 (3)， 【思路引导】本题考查了整式乘法的几何应用，三角形、正方形、长方形的面积公式，解题的关键是掌握整式乘法的运算法则． （1）计算出拼成的长方形面积即可求解； （2）根据完全平方式的特点，即可求解； （3）由题意可得，根据，求出，进而求出即可． 【规范解答】（1）解：拼成的长方形面积为：， 需要A型卡片3张，B型卡片2张，C型卡片7张； （2）解：∵A型卡片9张，再取B型卡片4张的面积之和为， ∴添加能与组成一个完全平方式， 即是一个完全平方式，故， ∴要用这三种卡片紧密拼接成一个正方形，还需C型卡片12张； 故答案为：12； （3）解：∵C型卡片的面积为48， ∴， ， 又阴影部分的面积为32， ∴， 解得：（负值已舍去）， 又， ∴， ∴，． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $