热点04 求阴影部分面积（5大题型）（热点专练）（重庆专用）2026年中考数学二轮复习讲练测

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 热点04求阴影焙部分面积 ◆ 召热点聚集 召方法精讲 包能力突破 第一部分热点聚焦。析考情 第二部分题型引领。讲方法 题型01规则图形作差求面积 题型02割补法求面积 题型03转化伪扇形求面积 题型04转化伪三角形或四边形求面积 题型05利用对称性求面积 第三部分能力突破。限时练 ⊙热点聚售 析考情鸡 近三年： 2023年A卷16题矩形+外接圆4分 2023年B卷16题矩形+弧（中点）4分 2026年中考复习备考方向与策略建议 1.专题突破：集中练习近5年重庆中考及各区模拟卷的阴影面积填空题2.方法归纳：总结直接和差、割 补、等积变换三种方法的适用场景3.几何画图：养成标图习惯，标注已知长度、角度、圆心角。 题型引领 讲方法碧 题型01规呗则图形作差求面积 解题策略 此类题主要考查了矩形的性质，扇形面积的计算，勾股定理，等腰三角形的性质和判定，平行线的性质， 角平分线的定义，熟记扇形的面积公式是解决问题的关键.需要迅速判断出阴影部分面积是哪些规则图 形面积的和或差，也需用性质求出特殊角的度数。 例1(2025·重庆模拟)如图，在矩形ABCD中，对角AC,BD交于点0，AC=4,∠CAD=30°，以点0为圆心， OA长为半径画弧，则图中阴影部分的面积为() 1/11 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D A.8nt 3 B.8-5 c.4π5 D.4r-5 32 3 32 3 【变式1】.(2025重庆八中.中考一模)如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=6,AC=8,D为 BC中点.分别以BD、CD为半径作弧，与AC、AB分别交于E、F两点，则图中阴影部分的面积为() D E AF B A指草 8.24-25 C.24- 62 D.48-25π 【变式2】.(2024重庆模拟)如图，在菱形ABCD中，对角线AC,BD交于点O,过点O作OE⊥AB交 AB于点E,以点O为圆心，OE长为半径画弧，分别交OA,OB,OC,OD于点M,N,P,Q,若 AB=6,∠BAD=120°，则图中阴影部分的面积为 (结果保留π) D C 【变式3】.(2024.重庆沙坪坝区适应性)如图，在矩形ABCD中，AD=1,AC=2.以点A为圆心， AC的长为半径画弧交AB,AD的延长线于点E,F,则图中阴影部分的面积是 ·(结果不取近 似值) BE 【变式4】.(2024重庆巴蜀中学.二诊)如图，在菱形ABCD中，AB=4,对角线AC,BD交于点O,以 2/11 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 点A为圆心，AO长为半径作弧，交AD于点E;以点C为圆心，CO长为半径作弧，交BC于点F.若 ∠ABC=60°，则图中阴影部分的面积是() A.25- 3 B.25-2 C.45- 3 D.45-4 题型02割补法求面积 解题策略 此类题考查了阴影部分面积的求法，矩形的性质、等边三角形面积、等边三角形的判定和性质，扇形面 积的求法，锐角三角函数，解题的关键是灵活运用所学知识将阴影部分的面积转化为规则图形面积的和 差情况.利用割补法把不规则图形分割或补全为规则图形是关键。 例1(2024重庆模拟)如图，在Rt△ABC中，LACB=90°，∠ABC=30,AC=2,以C为圆心，以AC的 长为半径作弧，交AB于点D,交BC于点E,则图中阴影部分的面积是 (结果保留根号和π) C 【变式1】，(2024重庆量子巴川三模)如图，在矩形ABCD中，AB=4,以点A为圆心，AB为半径画 弧与AD交于点E,再以B为圆心，BC为半径画弧，刚好与AD也交于点E,则图中阴影部分的面积为 (结果保留π)· 【变式2】.(2025重庆巴蜀中学.二模)如图，在菱形ABCD中，以点A为圆心，AB为半径画弧，交线 段AD于点D,以AB为直径画半圆.若AB=6,∠DAB=60°，则图中阴影部分的面积为() 3/11 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D B A.995 一π一 B.99V5 一π- 2 4 C.3r-9v 2 D.3r-9v3 2 2 4 【变式3】.(2025.重庆清华中学教育集团·二模)如图，在正方形ABCD中，以点A为圆心，AD为半径 画弧BD,再以点D为圆心，DA为半径画弧AC,若AB=√2，则图中阴影部分面积为() D A.2π_V5 B.4πV5 C.2n 3 D.4n 3 32 32 34 34 【变式4】.(2025重庆万州二中教育集团二模)如图，以点O为圆心的扇形A0B中，0B=4, ∠AOB=90°，再以点A为圆心，OA为半径作弧，交弧AB于点C,则阴影部分的面积是() A店号 B.2V5-π C.4V3-π D.45-4元 题型03转化为扇形求面积 解题策略 此类题考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，扇形的面积的应用， 圆的基本性质等知识，利用把不规则图形转化成规则图形求解的能力.把阴影部分的面积转化为扇形的 面积求解是解题的关键.另外等积法经常应用在此类题中。 例1(2025重庆市第二外国语学校二模)如图，在正方形ABCD中，AB=1,以B为圆心，BA为半径作圆 弧，交CB的延长线于点E,连接DE,则图中阴影部分的面积为() 4/11 高学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A D B A牙 B. 2 c 【变式1】·(2025重庆市开州区二模)如图所示，AB为半圆0的直径，C、D、E、F是AB上的五等 分点，P为直径AB上的任意一点，若AB=4,则图中阴影部分的面积为() D 8.2 2 C. D.3 【变式2】.(2024重庆开州文峰教育集团模拟)如图，在扇形A0B中，∠A0B=90°，点E、点C分别 是半径OA、OB上的点，点D在弧AB上，若四边形OCDE为正方形，OE=2√互，则阴影部分的面积为 (结果保留刀). A E ) B 【变式3】.(2024重庆开州二诊)如图，在平行四边形ABCD中，AD=6,∠BAD=45°，点E是AD的 中点，在AB上取一点F,以点F为圆心，FB的长为半径作圆，该圆与DC边恰好相切于点D,连接BE, 则图中阴影部分面积为 ·(结果保留π) F B D 【变式4】.(2024重庆实验外国语学校.一模)如图，在扇形A0B中，半径OA的长为3，点C在弧AB上， 连接AC,BC,OC,若四边形OBCA为菱形，则图中阴影部分的面积为 5/11 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B 题型04转化为三角形或四边形求面积 解题策略 此类题考查正方形的判定和性质、矩形的性质、勾股定理的应用，掌握矩形的判定和性质是正确解答的 前提.还需要熟练掌握边三角形的判定和性质，勾股定理解直角三角形，将不规则图形转化为三角形矩 形等，解题的关键是用勾股定理求边长。 例1(2025·重庆南岸区·二模)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,BC是半圆的直径，图中阴 影部分的面积为4，则半圆的面积是 0 【变式1】.(2025重庆模拟)如图，在ABC中，∠CAB=90°，AB=AC=4,AD⊥BC于点D,以 AD为直径作半圆，交AB于点E,则阴影部分的面积为· B 【变式2】.(24-25九下.重庆开州东华初级中学二模)如图，四边形ABCD是边长为4的正方形，O是 AD的中点，以点O为圆心，OD长为半径的半圆与对角线BD交于点E,则图中阴影部分的面积为() 6/11 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A.6-π B.8-π C.4 D.8 【变式3】·(2023重庆实验外国语学校.一模)如图，矩形ABCD中，AB=2,O为AB的中点，以O为 圆心，AO为半径作半圆与边CD相交于点E、F,连接OF,以B为圆心，BE为半径作弧刚好经过点O, 则图中阴影部分的面积为■ D 0 B 【变式4】.(2024.重庆南开（融侨）·二模)如图，正方形ABCD的边长为4Cm,分别以AB、BC为直径 画圆，则图中阴影部分的面积为 cm2. D 题型05利用对称性求面积 解题策略 此类题主要考查了矩形的性质，扇形面积的计算，勾股定理，等腰三角形的性质和判定，平行线的性质， 角平分线的定义，熟记扇形的面积公式是解决问题的关键.需要迅速判断出阴影部分面积是哪些规则图 形面积的和或差，也需用性质求出特殊角的度数。并利用对称性求出其中一个然后乘以相应倍数即可。 例12024重庆中考)如图，在矩形ABCD中，分别以点A和C为圆心，AD长为半径画弧，两弧有且仅 有一个公共点.若AD=4,则图中阴影部分的面积为() 7/11 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A.32-8元 B.165-4π C.32-4π D.16V5-8π 【变式1】，(2024重庆一中.三模)如图，在菱形ABCD中，连接AC,以点A为圆心，AB为半径的圆交 AC于点E,以点C为圆心，CD为半径的圆交AC于点F,如果AB=5,∠BAD=30°，那么图中阴影部分 的面积为. (结果保留刀) D E F B 【变式2】.(2024重庆三模)如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O,且AC⊥AB,以 0为圆心，分别以OA、OC的长为半径画弧交对角线BD于点E、F,若AC=4,∠ABO=30°，则图中阴 影部分的面积为 【变式3】.(2023重庆模拟)如图，菱形的ABCD对角线AC,BD交于点0，分别以点B,D为圆心， BO的长为半径画弧，分别交BC,AD于点E,F.若AB=2,LABC=120°，则图中阴影部分的面积为 .(结果保留刀) B 【变式4】(2024重庆江津中学校·二模)如图，矩形ABCD内接于圆0，分别以AB、BC、CD、AD为直径 向外作半圆.若AB=6,BC=8,则阴影部分的面积是 B 8/11 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 能力突破仙 很时练罗 (30分钟限时练) 1.如图，在半径为2，圆心角为90°的扇形内，以BC为直径作半圆，交弦AB于点D,则图中阴影部分的 面积是() A D B A.元-1 B.元-2 C.π+1 D.元+2 2.如图，正方形ABCD的对角线交于点O,⊙O为正方形ABCD的外接圆，EF为OO直径.若EF=1,则 图中阴影部分的面积为() A. π1 816 84 c D.1 168 3.如图，边长为2的正方形ABCD内接于O0,分别以点B,D为圆心，AB的长为半径画弧，两弧交于 4,C两点，则图中阴影部分的面积为() D B A.π-2 B.π-4 C.3π-2 D.3π-6 4.顶角为120°的等腰三角形AB0的底边AB与⊙0相切，若⊙0的半径为2，则阴影部分图形的面积为() 9/11 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 825- c5-号 025- 5.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=6,以点C为圆心交AB于点D,交AC于点E,则 图中阴影部分的面积为() B D E C π 6.如图，将△ABC绕点C顺时针旋转120°得到△A'B'C,已知AC=3,BC=2,则线段AB扫过的图形（阴 影部分)的面积为 7.如图，在扇形A0B中，∠A0B=90°，半径0A=2,C是BO的中点，过点C作CD⊥B0交AB于点D, 过点D作DE⊥AO,垂足为E,则图中阴影部分的面积是 .(结果保留刀) B 8.如图，AB是O0的直径，弦CD⊥AB,∠CDB=30°，CD=6V5,则阴影部分图形的面积为 D 9.如图，在四边形ABCD中，AB=AD=2,BC=CD,∠ABC=∠ADC=90°，∠C=60°.分别以A,C两点 为圆心，AD,CD的长为半径作弧，两弧围成如图所示阴影.则阴影部分的面积为 10/11 热点04 求阴影部分面积 热点聚焦 方法精讲 能力突破 第一部分 热点聚焦·析考情 第二部分 题型引领·讲方法 题型01 规则图形作差求面积 题型02 割补法求面积 题型03 转化为扇形求面积 题型04 转化为三角形或四边形求面积 题型05 利用对称性求面积 第三部分 能力突破·限时练 近三年： 2023年 A卷 16题 矩形+外接圆 4分 2023年 B卷 16题 矩形+弧（中点） 4分 2026年中考复习备考方向与策略建议 1. 专题突破：集中练习近5年重庆中考及各区模拟卷的阴影面积填空题 2. 方法归纳：总结直接和差、割补、等积变换三种方法的适用场景 3. 几何画图：养成标图习惯，标注已知长度、角度、圆心角。 题型01 规则图形作差求面积 解题策略 此类题主要考查了矩形的性质，扇形面积的计算，勾股定理，等腰三角形的性质和判定，平行线的性质，角平分线的定义，熟记扇形的面积公式是解决问题的关键．需要迅速判断出阴影部分面积是哪些规则图形面积的和或差，也需用性质求出特殊角的度数。 例1（2025·重庆·模拟）如图，在矩形中，对角交于点，以点为圆心，长为半径画弧，则图中阴影部分的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【来源】2025年重庆市初中学业水平暨高中招生考试数学模拟试题 - 【详解】解：因为四边形是矩形，， 所以，即扇形的半径， 已知，在矩形中，， 所以， 可得，即扇形的圆心角， 在中，，， 所以是等边三角形， 可得， ， 阴影部分面积． 故选：D． 【变式1】．（2025·重庆八中·中考一模）如图，在中，，，，为中点．分别以为半径作弧，与分别交于、两点，则图中阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】2025年重庆市第八中学校中考一模数学试题 【分析】本题考查了勾股定理，扇形面积，先算出，再结合图中阴影部分的面积，分别代入数值计算，即可作答． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∵为中点， ∴， ∵分别以为半径作弧，与、分别交于、两点， ∴图中阴影部分的面积 ． 故选：B． 【变式2】．（2024·重庆·模拟）如图，在菱形中，对角线，交于点O，过点O作交于点E，以点O为圆心，长为半径画弧，分别交，，，于点M，N，P，Q，若，，则图中阴影部分的面积为________．（结果保留π）    【答案】 【来源】2024年重庆中考数学模拟试题 【分析】根据菱形的性质，勾股定理，正弦函数，扇形的面积公式，解答即可． 【详解】解：∵ 菱形，，， ∴，，， ∴，， ∵， ∴， ∴ ． 故答案为：． 【变式3】．（2024··重庆沙坪坝区·适应性）如图，在矩形中，，．以点A为圆心，的长为半径画弧交，的延长线于点E，F，则图中阴影部分的面积是__________．（结果不取近似值） 【答案】 【来源】2024年重庆市沙坪坝区初中适应性考试数学试题 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理的应用，扇形的面积的计算，综合掌握以上知识点并熟练运用是解题的关键．先证明，计算，再利用割补法求解即可． 【详解】解：∵矩形，，． ∴，， ∴ ． 故答案为： ． 【变式4】．（2024·重庆巴蜀中学·二诊）如图，在菱形中，，对角线，交于点O，以点A为圆心，长为半径作弧，交于点E；以点C为圆心，长为半径作弧，交于点F．若，则图中阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，，，， ∵， ∴、是等边三角形，， ∴，， ∴结合作图可得：点E是的中点，点F是的中点， ∴， ∴， ∴，， ∴； 故选D 题型02 割补法求面积 解题策略 此类题考查了阴影部分面积的求法，矩形的性质、等边三角形面积、等边三角形的判定和性质，扇形面积的求法，锐角三角函数，解题的关键是灵活运用所学知识将阴影部分的面积转化为规则图形面积的和差情况．利用割补法把不规则图形分割或补全为规则图形是关键。 例1（2024·重庆·模拟）如图，在中，，以C为圆心，以的长为半径作弧，交于点D，交于点E，则图中阴影部分的面积是 _________．（结果保留根号和π） 【答案】 【来源】2024年重庆中考数学模拟预测试题 【分析】本题考查了扇形面积计算公式、等边三角形的判定与性质、含30度的直角三角形的性质，勾股定理等知识；求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积．连接，由含30度角直角三角形的性质及勾股定理可求得；再有可判定是等边三角形，则，从而；根据即可求解． 【详解】解：如图，连接， ， ， 由勾股定理得：； ， 是等边三角形， ， ，且D点是的中点， ； ， ； ， ； 故答案为：． 【变式1】．（2024·重庆量子巴川·三模）如图，在矩形中，，以点A为圆心，为半径画弧与交于点E，再以B为圆心，为半径画弧，刚好与也交于点E，则图中阴影部分的面积为_______（结果保留π）． 【答案】8 【来源】2024年重庆市量子巴川中考全真演练数学试题（三模） 【分析】本题主要考查了扇形面积计算，勾股定理，矩形的性质，连接，根据矩形的性质得出，根据勾股定理求出，根据等腰三角形的性质求出，分别求出，，，最后求出阴影部分的面积即可． 【详解】解：连接，如图所示： 根据作图可知：，， ∵四边形为矩形， ∴， ∴，， ∴， ∴，， ， ∴ ． 故答案为：8． 【变式2】．（2025·重庆巴蜀中学·二模）如图，在菱形中，以点为圆心，为半径画弧，交线段于点，以为直径画半圆．若，，则图中阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【来源】重庆巴蜀中学2025年中考二模数学试卷 【分析】本题考查扇形面积的计算及等边三角形的性质，能够将阴影部分的面积转化为两个扇形的面积与等边三角形之间的关系是解题的关键．本题利用等于阴影部分的面积进行计算即可． 【详解】解：如图作半圆的圆心，连接，并作于点， ， ， ， 为等边三角形， ∴， ， ， ， 在直角中，勾股定理可得：， ， ， ， 阴影部分的面积． 故选：D． 【变式3】．（2025·重庆清华中学教育集团·二模）如图，在正方形中，以点为圆心，为半径画弧，再以点为圆心，为半径画弧．若，则图中阴影部分面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：如图所示，设两弧交于点F，过点F作于点E，连接，， ∵四边形是正方形， ∴ ∴是等边三角形 ∵ ∴，， ∴ ∴， ∴， ∴． 故选：A． 【变式4】．（2025·重庆万州二中教育集团·二模）如图，以点O为圆心的扇形中，，，再以点A为圆心，为半径作弧，交弧于点C，则阴影部分的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：如图，连接，，作于点H， 由作图知，， 是等边三角形， ， ， 是等边三角形，， ，， ， ， ， ， ， 阴影部分的面积， 故选D． 题型03 转化为扇形求面积 解题策略 此类题考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，扇形的面积的应用，圆的基本性质等知识，利用把不规则图形转化成规则图形求解的能力．把阴影部分的面积转化为扇形的面积求解是解题的关键．另外等积法经常应用在此类题中。 例1（2025重庆市第二外国语学校二模）如图，在正方形中，，以为圆心，为半径作圆弧，交的延长线于点，连接，则图中阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：在正方形中，，， ，，， ， ， 故选：A． 【变式1】．（2025重庆市开州区二模）如图所示，为半圆的直径，、、、是上的五等分点，为直径上的任意一点，若，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图所示，连接，，， ∵、、、是上的五等分点， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴和是等底等高，， ∴半径 ∴， 故选：C． 【变式2】．（2024·重庆开州文峰教育集团·模拟）如图，在扇形中，，点E、点C分别是半径上的点，点D在弧上，若四边形为正方形，，则阴影部分的面积为______（结果保留）． 【答案】 【来源】2024年重庆市开州区文峰教育集团九年级中考模拟考试数学试题 【分析】本题考查正方形的性质，扇形的面积公式．连接，交于点F．由正方形的性质得出，即根据扇形面积公式求出扇形的面积即可． 【详解】解：如图，连接，交于点F． ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴ ． 故答案为：． 【变式3】．（2024·重庆开州·二诊）如图，在平行四边形中，，，点E是的中点，在上取一点F，以点F为圆心，的长为半径作圆，该圆与边恰好相切于点D，连接，则图中阴影部分面积为________.（结果保留） 【答案】 【来源】2024年重庆市开州区初中教育集团二诊考试数学模拟试题 【分析】本题考查了平行四边形的性质，切线的性质，扇形的面积公式，连接，由平行四边形的性质求出，由切线的性质得出，求出证得，由扇形的面积公式可得出答案． 【详解】连接， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵以点F为圆心，的长为半径作圆，该圆与边恰好相切于点D， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵E为的中点， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式4】．（2024·重庆实验外国语学校·一模）如图，在扇形中，半径的长为3，点C在弧上，连接，，．若四边形为菱形，则图中阴影部分的面积为________．    【答案】 【详解】解：四边形为菱形， ，， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ； 故答案：． 题型04 转化为三角形或四边形求面积 解题策略 此类题考查正方形的判定和性质、矩形的性质、勾股定理的应用，掌握矩形的判定和性质是正确解答的前提．还需要熟练掌握边三角形的判定和性质，勾股定理解直角三角形，将不规则图形转化为三角形矩形等，解题的关键是用勾股定理求边长． 例1（2025·重庆南岸区·二模）如图，在中，，，BC是半圆的直径，图中阴影部分的面积为4，则半圆的面积是_______． 【答案】 【详解】解：如图：连接OD，设半圆的半径为r， ∵△ABC是等腰直角三角形， ∴∠B=45°， ∴∠DOC=90°， ∴图中非阴影部分的面积， ∵AC=BC=2r， ，， ， ， 得， 解得， 半圆的面积为：， 故答案为：2π． 【点睛】本题考查了扇形的面积公式，等腰直角三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键． 【变式1】．（2025·重庆·模拟）如图，在中，，，于点，以为直径作半圆，交于点，则阴影部分的面积为______． 【答案】2 【来源】2025年重庆市九年级下学期数学模拟试题 【分析】根据圆周角定理得出DE＝AE，进而得出阴影部分面积之和等于S△EBD，再利用三角形面积公式求出即可． 【详解】解：连接， 在中，，，于点， ， ， 为直径， ， ， ， ∴，， ， 阴影部分面积， 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了等腰直角三角形的性质以及圆周角定理，根据已知得出阴影部分面积等于S△EBD是解题关键． 【变式2】．（24-25九下·重庆开州东华初级中学·二模）如图，四边形是边长为4的正方形，O是的中点，以点O为圆心，长为半径的半圆与对角线交于点E，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C．4 D．8 【答案】C 【详解】解：如图，连接，，， ∵为直径， ∴，即， ∵正方形， ∴， ∴在上， ∴， ∴阴影部分的面积为：正方形的面积的， ∵四边形是边长为4的正方形， ∴阴影部分的面积为：； 故选：C 【变式3】．（2023·重庆实验外国语学校·一模）如图，矩形中，，O为的中点，以O为圆心，为半径作半圆与边相交于点E、F，连接，以B为圆心，为半径作弧刚好经过点O，则图中阴影部分的面积为______. 【答案】/ 【来源】2023年重庆实验外国语学校中考一模数学试题 【分析】连接，，根据题意得出，是等边三角形，得出，根据阴影部分面积即可求解． 【详解】解：如图所示，连接，， 依题意，， ∴是等边三角形， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， 又∵， ∴是等边三角形， ∵，O为的中点， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴阴影部分面积， 故答案为：． 【变式4】．（2024·重庆南开（融侨）·二模）如图，正方形的边长为，分别以、为直径画圆，则图中阴影部分的面积为______． 【答案】 【详解】解：连接、，则图中几个小弓形的面积都相等， ∴阴影部分的面积=正方形面积=， 故答案为：． 题型05 利用对称性求面积 解题策略 此类题主要考查了矩形的性质，扇形面积的计算，勾股定理，等腰三角形的性质和判定，平行线的性质，角平分线的定义，熟记扇形的面积公式是解决问题的关键．需要迅速判断出阴影部分面积是哪些规则图形面积的和或差，也需用性质求出特殊角的度数。并利用对称性求出其中一个然后乘以相应倍数即可。 例1（2024·重庆·中考）如图，在矩形中，分别以点和为圆心，长为半径画弧，两弧有且仅有一个公共点．若，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【来源】2024年重庆市中考真题（A卷）数学试题 【分析】本题考查扇形面积的计算，勾股定理等知识．根据题意可得，由勾股定理得出，用矩形的面积减去2个扇形的面积即可得到结论． 【详解】解：连接， 根据题意可得， ∵矩形，∴，， 在中，， ∴图中阴影部分的面积． 故选：D． 【变式1】．（2024·重庆一中·三模）如图，在菱形中，连接，以点为圆心，为半径的圆交于点，以点为圆心，为半径的圆交于点，如果，，那么图中阴影部分的面积为_____．（结果保留） 【答案】 【来源】2024年重庆一中初下学期期消化作业三模数学试题 【分析】本题考查了扇形面积公式，菱形的性质，解直角三角形，熟练掌握菱形的性质和扇形面积公式是解题的关键．根据菱形的性质，四条边相等，对角线平分对角，可得两个扇形的半径和圆心角都相同，利用扇形面积公式可求出两个扇形的面积，过点作于点，根据，可求出，即可求出菱形的面积，利用菱形面积减去两个扇形的面积即得到阴影部分的面积． 【详解】解： 四边形为菱形，，， ，， 图中两个扇形的半径都是5，圆心角都是， 两个扇形面积和为：， 过点作于点，如图， ， ， 菱形的面积， 图中阴影部分的面积为：． 故答案为：． 【变式2】．（2024·重庆·三模）如图，平行四边形的对角线、交于点，且，以为圆心，分别以、的长为半径画弧交对角线于点、，若，，则图中阴影部分的面积为________． 【答案】 【来源】2024年重庆市九年级第三阶段质量检测数学试题 【分析】本题考查平行四边形的性质，扇形的面积公式，解直角三角形，掌握不规则图形的面积的计算方法是解题的关键． 根据平行四边形的性质求线段的长，利用求扇形的圆心角和线段的长，再用三角形的面积减去扇形的面积求阴影部分的面积． 【详解】∵， ∴， ∵， ∴， ∵平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积为：， 故答案为：． 【变式3】．（2023·重庆·模拟）如图，菱形的对角线，交于点，分别以点，为圆心，的长为半径画弧，分别交，于点，．若，，则图中阴影部分的面积为______．（结果保留） 【答案】 【来源】2023年重庆市中考预测数学模拟预测题（四） 【分析】本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质、扇形的面积公式、勾股定理，由菱形的性质得出，，，从而得出和是等边三角形，由等边三角形的性质结合勾股定理得出，，再由进行计算即可得出答案． 【详解】解：四边形为菱形， ，，， 和是等边三角形， ，，，，， ， 故答案为：． 【变式4】（2024·重庆江津中学校·二模）如图，矩形内接于圆，分别以为直径向外作半圆．若，则阴影部分的面积是________________． 【答案】 【详解】解：连接， ∵矩形内接于圆， ∴， ∴，且为圆的直径， 由图可知：阴影部分的面积等于矩形的面积加上四个半圆的面积减去圆的面积， 即：； 故答案为：48． （30分钟限时练） 1．如图，在半径为，圆心角为的扇形内，以为直径作半圆，交弦于点，则图中阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据为直径，可得，根据等腰直角三角形的性质可得垂直平分，，为的中点，再由阴影部分的面积是扇形的面积与的面积之差即可得出． 【详解】解：如图，连接， 在中，， ∵是半圆的直径， ∴，即， 在等腰直角三角形中，垂直平分，， ∴． 故选：A． 2．如图，正方形的对角线交于点O，为正方形的外接圆，为直径．若，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由，再结合扇形面积公式以及三角形面积公式求解即可． 【详解】解：∵与正方形均为中心对称图形，且正方形的对角线交于点O，为正方形的外接圆，为直径， ∴， ∵， ∴， ∵正方形的对角线交于点O， ∴， ∴， ∴图中阴影部分的面积为． 3．如图，边长为2的正方形内接于，分别以点为圆心，的长为半径画弧，两弧交于两点，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，先求出，，得到，进而求出，则，即可解答． 【详解】解：如图，连接． ∵在正方形中，， ， ， ． ， ， ． ． ． 4．顶角为的等腰三角形的底边与相切，若的半径为2，则阴影部分图形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过点O作于点C，设与等腰三角形相交于点E，点F，利用等腰三角形三线合一的性质得出，，通过正切的定义得出，最后根据代入计算即可． 【详解】解：过点O作于点C，设与等腰三角形相交于点E，点F， 则，， ∴， ∴， ∴ 5．如图，在中，，，，以点C为圆心交于点D，交于点E，则图中阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了含角的直角三角形性质，等边三角形的判定与性质和扇形面积的知识，掌握以上知识是解答本题的关键；由题意可得：， ，，求得，再证得是等边三角形，然后即可求解； 【详解】解：连接，如图： ， 由题意可得：在中，，，， ∴， ，， ∴， ∵点C为圆心交于点D，交于点E， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∴，， ∴， ∴点是斜边的中点， ∴， ∴， ， ∴， 故选：C 6．如图，将绕点顺时针旋转得到，已知，，则线段扫过的图形（阴影部分）的面积为_______． 【答案】 / 【分析】本题主要考查了旋转的性质、扇形的面积公式，由旋转可知，整个图形的面积为：，，根据即可求出结果． 【详解】解：将绕点顺时针旋转得到， ， 整个图形的面积为：， 扫过的图形的面积为：， 由旋转可知， ， ． 7．如图，在扇形中，，半径，是的中点．过点作交于点，过点作，垂足为，则图中阴影部分的面积是________．（结果保留） 【答案】/ 【分析】求得，再证明四边形为矩形，可得，则可得阴影部分的面积为扇形的面积． 【详解】解：是的中点， ， ， ， ， ， ，，， 四边形为矩形， ， ． 8．如图，是的直径，弦，，，则阴影部分图形的面积为_______． 【答案】 【分析】根据垂径定理可得，根据圆周角定理可得，即可得出，然后解直角三角形得，的长度，然后证明出，得到，最后利用代数求解即可． 【详解】解：如图，设线段、交于点， ∵是的直径，弦，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ， ∴， 又∵，， ∴ ∴ ∴． 9．如图，在四边形中，．分别以A，C两点为圆心，的长为半径作弧，两弧围成如图所示阴影．则阴影部分的面积为_______． 【答案】 【分析】连接，证明是的平分线，得，求出，由勾股定理得，再根据求解即可． 【详解】解：连接，如图， ∵ ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ． 10．如图，半径为3的扇形中，，C是上一点，于D，于E，连接，若，图中阴影部分的面积为________． 【答案】 【分析】连接，根据矩形的性质得出圆心角的度数和阴影部分的面积． 【详解】解：如图，连接， ∵，，， ∴四边形为矩形，， ∵， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积为． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $