热点02 方程与不等式（5大题型）（热点专练）（重庆专用）2026年中考数学二轮复习讲练测

热点02 方程与不等式 热点聚焦 方法精讲 能力突破 第一部分 热点聚焦·析考情 第二部分 题型引领·讲方法 题型01 列二元一次方程组选择类 题型02 列一元二次方程选择类 题型03 应用题分式方程 题型04应用题一元二次方程 题型05 应用题一元一次方程、二元一次方程组和不等式（组） 第三部分 能力突破·限时练 近三年： 近三年考情统计 · 2023年：15分（3题） · 2024年：17分（3题） · 2025年：14分（2题） · 核心趋势：含参综合题是必考重难点，2024年分值略有上升，2025年单题分值增大。 高频题型与考点 重庆中考对这部分知识的考查呈现“基础+综合”双轨并行的特点： 1. 基础大题：实际应用（必考） · 形式：列方程（组）或不等式（组）解应用题。 · 热点背景：增长率问题（如销量、产值）与方案选择问题（利用不等式组确定方案，结合一次函数求最值）。 · 案例：2024年B卷考查了“生产任务”情境下的方程应用。 2. 中档填选：含参运算（高分关键） · 地位：通常在选择题或填空题后段（如第12、17题位置）作为拉分题出现。 · 必考模型：“不等式组+分式方程” 综合题。 · 题型：给定不等式组有解/无解或有特定整数解，同时分式方程解为正/负或非负整数，求整数参数的值或和。 · 难点：务必注意分式方程分母不为零的隐含条件（增根）。 3. 基础计算：保分题（送分） · 形式：解答题前几道，分值约8-10分。 · 内容：解一元二次方程、解分式方程、解一元一次不等式组及数轴表示。 2026年中考复习备考方向与策略建议 该板块将继续加强数学与生活的联系，利用方程或不等式解决实际问题将贯穿试卷的各个角落。 · 增长率和销售问题：预测会通过一元二次方程考查平均增长率（如项目产值、植树数量），或通过分式方程考查销售利润、单价问题。 复习建议： 1. 回归教材，确保基础分：熟练掌握各类方程（组）和不等式（组）的解法。特别是分式方程必须检验，一元二次方程要灵活运用判别式。 2. 关注本地生活热点：建议多留意重庆本地的经济发展、城市建设、文旅消费等新闻，它们极有可能成为应用题的实际背景。 题型01 列二元一次方程组选择类 解题策略 考查由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 例1（2024·重庆巴蜀中学·二诊）我国古代数学名著《孙子算经》记载一道题：“一百马，一百瓦，大马一个拖三个，小马三个拖一个”，大意为：100匹马拉100片瓦，已知1个大马拖3片瓦，3匹小马拖一片瓦，问有多少匹大马，多少匹小马？若设有m匹大马，n匹小马，那么可列方程组为（   ） A． B． C． D． 【变式1】（重庆市第二外国语学校2025年二模）《九章算术》是中国古代第一部数学专著，它对我国古代后世的数学家产生了深远的影响，该书中记载了一个问题，大意是：有几个人一起去买一件物品，每人出8元，多3元；每人出7元，少4元，问有多少人？该物品价几何？设有人，物品价值元，则所列方程组正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（重庆市开州区2024-2025学年二模）《九章算术》是中国传统数学的重要著作，方程术是它的最高成就．其中记载；今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，向：人数、物价各几何？译文：今有人合伙购物，每人出8钱，会多3钱；每人出7钱，又会差4钱，问：人数、物价各是多少？设合伙人数为x人，物价为y钱，以下列出的方程组正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式3】（重庆育才中学教育集团2024-2025学年三模）我国古代算书《四元玉鉴》中记载：“九百九十九文钱，甜果苦果买一千，甜果九个十一文，苦果七个四文钱，试问甜苦果几个？”大意是：用999文钱买了甜果和苦果共1000个，9个甜果卖11文钱，7个苦果卖4文钱，问买了甜果和苦果各多少个？设买了个甜果，个苦果，可列方程组为（    ） A． B． C． D． 【变式4】（2023年重庆实验外国语学校中考三模数学试题）《九章算术》是中国古代的一本重要数学著作，其中有一道方程的应用题：“五只雀、六只燕，共重16两，雀重燕轻．互换其中一只，恰好一样重．问每只雀、燕的重量各为多少？”解：设雀每只x两，燕每只y两，则可列出方程组为（　　） A． B． C． D． 题型02 列一元二次方程选择类 解题策略 考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 例1（2025·重庆一中·二模）2025年国庆节期间，重庆市游客数量再创新高，第一天游客数量为300万人，第三天游客数量为610万人．设平均增长率为x，可列方程为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（重庆市第一中学校2024-2025学年二模）为加强劳动教育，增加学生实践机会，某校拟用总长为5米的篱笆，在两边都足够长的直角围墙的一角，围出一块6平方米的矩形菜地作为实践基地，如图所示．设矩形的一边长为x米，根据题意可列方程（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2025·重庆巴蜀中学·二模）五一劳动节期间，重庆作为热门旅游城市接待国内游客超两千万人次，据统计重庆2023年五一假期旅游总收入为100亿元，2025年五一假期旅游总收入为196亿元，若将这两年五一假期旅游总收入的年平均增长率设为x，则符合题意的方程是（　　） A． B． C． D． 【变式3】（2025·重庆八中·中考一模）已知某市2022年工业碳排放总量为1000万吨，为响应国家“双碳”目标，该市通过技术升级，2024年的工业碳排放总量降至810万吨．若设年平均减少率为，则下列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式4】（2025·重庆开州云枫教育集团·二模）随着环保意识的增强和技术的进步，某品牌的电动汽车逐渐成为消费者的新宠，该品牌电动车今年1月份的销量为10000辆，经过两个月广告推销，3月份的销量增至12100辆．设每个月销量的平均增长率为x，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 题型03 应用题分式方程 解题策略 考查了分式方程的应用，分析题意，找到关键描述语，找出合适等量关系是解题的关键．特别注意分式方程需要检验，忘记检验会扣分，平时训练需养成检验习惯。 例1（2025·重庆一中·二模）一年一度的元旦节即将到来，某校初三年级的家委会妈妈们准备购买签字笔和圆规两种文具作为小礼物送给初三年级的孩子们，计划用2400元购买签字笔，用900元购买圆规，已知一支签字笔和一个圆规的售价之和为15元，计划购买签字笔的数量是圆规数量的4倍． (1)求计划分别购买多少支签字笔和多少个圆规？ (2)实际购买时，家委会妈妈们发现每支签字笔的售价降低了，每个圆规的售价便宜了元，根据各班对两种文具喜好的调查结果，家委会的妈妈们调整了购买签字笔和圆规的数量，实际购买圆规的数量比计划购买圆规的数量增加了个，但实际购买签字笔和圆规的总数量与计划购买签字笔和圆规的总数量相同，最终实际购买签字笔和圆规的总费用比计划购买签字笔和圆规的总费用减少了元，求的值． 【变式1】（2025重庆育才中学教育集团三模）重庆中国三峡博物馆围绕馆藏的战国青铜鸟形尊文物，开发了多款兼具文化内涵与实用性的文创商品．该系列文创商品将鸟形尊憨态可掬的形态进行卡通化复原，其造型可爱、颜色醒目，深受年轻人喜爱．其中鸟形尊冰箱贴和鸟形尊纸艺书签销售火爆．已知一个鸟形尊冰箱贴的售价比一个鸟形尊纸艺书签售价高16元，且购买三个鸟形尊冰箱贴和两个鸟形尊纸艺书签共需108元． (1)求一个鸟形尊冰箱贴的售价和一个鸟形尊纸艺书签的售价各是多少元？ (2)五一节促销期间，鸟形尊冰箱贴每个降价元，鸟形尊纸艺书签每个降价m元，促销后鸟形尊冰箱贴总销售额为3300元，鸟形尊纸艺书签总销售额为900元，且鸟形尊冰箱贴的销量比纸艺书签多，求m的值． 【变式2】．（2025·重庆西南大学附中·三模）“端午节”来临之际，各超市纷纷搞促销活动，小美发现离家不远的状元超市有蜜枣粽和肉粽两种粽子正在参加活动．购买个肉粽和个蜜枣粽需要元，购买个肉粽和个蜜枣粽需要元． (1)求肉粽和蜜枣粽的单价分别为多少元？ (2)“端午节”当天，状元超市加大促销活动力度，将肉粽的单价降低了元，蜜枣粽单价降低了，节日当天肉粽的销量是蜜枣粽销量的倍，且肉粽的销售额为元，蜜枣粽的销售额为元，求的值． 【变式3】．（2025·重庆八中·模拟）为了响应国家的“三农政策”，小李在某果园购进了一批应季水果-“五星琵琶”，这种“五星琵琶”中果比大果每千克进价少4元，小李花了3000元购买大果，5000元购买中果，且购进的中果数量是大果数量的2倍． (1)小李购进“五星琵琶”中果和大果每千克进价各多少元？ (2)小李将购进的“五星琵琶”及时进行销售．其中中果的售价比进价高50％，大果在进价的基础上每千克加价4a元进行销售，一周后，中果还剩20％，大果还剩40％没有售出．为了增加销量，减少库存和损耗，小李准备降价促销：中果每千克降价a元，大果每千克降价5元进行销售．预计除了10千克中果和2千克大果损坏不能售出外，其余全部售出．若总计获利不少于5980元，求a的最小值． 【变式4】．（2025·重庆巴南市实验集团·二模）某食品加工厂根据订单的需求会不定期采购A，B两种食材（单位：件），而两种食材的单价会根据市场变化波动． (1)第一周，该食品加工厂花费6650元一次性采购A，B两种食材共100件，此时A，B两种食材的单价分别是50元、80元，求食品加工厂采购了A，B两种食材各多少件？ (2)第二周，由于采购价格发生了变化，食品加工厂分别花费1800元、3600元一次性购买A，B两种食材，已知采购B种食材的数量是A种食材数量的1.5倍，每件A种食材的单价比每件B种食材的单价少20元，求食品加工厂第二周采购A种食材多少件？ 题型04 应用题一元二次方程 解题策略 考查了一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系（2）正确列出一元二次方程．一元二次方程一般有多个解，还需根据题目要求，考虑是否需要舍去部分解。 例1（2025·重庆·模拟）2025年1月16日，中国羽毛球协会与重庆大学举行共建羽毛球中心合作签约仪式，将共建西南地区首个羽毛球中心，这一举措不仅能培养出羽毛球精英人才，也有力地促进了重庆的羽毛球经济发展．某体育用品店分别用1400元和2000元购进A，B两种羽毛球拍，已知每副A种球拍的进价比每副种球拍的进价贵20元，且购进A种球拍的数量是购进种球拍的数量的． (1)求两种羽毛球拍每副的进价； (2)这批羽毛球拍很快被一抢而空，该店计划再购进一批羽毛球拍，此时每副A种球拍的进价不变，购进数量在第一次的基础上增加了副；每副种球拍的进价上涨了元，购进种球拍的数量在第一次的基础上减少了副，总花费元，求的值． 【变式1】（2025·重庆八中·一模）小张从家具厂家购进了A、B两种型号的木地板，已知每平米A型木地板的进价比每平米B型木地板的进价多30元，用7500元购进A型木地板和用6000元购进B型木地板的面积相同． (1)求每平米A型木地板和每平米B型木地板的进价各是多少元？ (2)在销售过程中，A型木地板因为质量更好高，更受消费者的欢迎．为了增大B型木地板的销量，该销售商决定对B型木地板进行降价销售．经调查，当B型木地板的售价为每平方米180元时，平均每天可卖出木地板的总面积为4平方米，在此基础上，售价每降低5元，平均每天将多售出1平方米．要使平均每天销售B型木地板的利润为320元，请问该销售商应将B型木地板的售价降低多少元． 【变式2】（2025·重庆杨家坪中学教育集团·一模）我校为了让学生体验化学实验的乐趣，决定从市场购买氯化钠溶液和硫酸铜溶液供实验使用．已知每瓶硫酸铜溶液的售价比氯化钠溶液的售价多2.5元，花100元用于购买的氯化钠溶液比花400元购买硫酸铜溶液少40瓶． (1)求每瓶氯化钠溶液与硫酸铜溶液的售价分别为多少元？ (2)为了加大培养学生对化学的兴趣，学校决定再次购买这两种溶液，调查发现每瓶硫酸铜溶液的成本是元，每瓶氯化钠溶液的成本是元，已知第二次购买硫酸铜的数量比第一次购买的数量少瓶，购买的氯化钠溶液的数量是第一次的2倍，商家获利330元，求的值． 【变式3】（2025·重庆大渡口区·一诊）据了解，某火锅店里主营菜品是毛肚，该火锅店第一次用15000元购进毛肚若干份，深受人们喜爱，很快售完．于是，火锅店又用12000元购入毛肚，每份的进价比第一次少了5元，所购数量与第一次购进数量相同． (1)求该火锅店第一次购进毛肚的进价为每份多少元？ (2)后续经营中，火锅店按第二次购买毛肚的进价持续进货，每份标价40元出售，每天能售出480份．为庆祝国庆节并吸引更多顾客消费，该火锅店决定降低毛肚的售价，经研究发现每份毛肚的售价每下降1元，每天的销量就增加2份．降价后，该店毛肚每日销售额为15000元，求降价后每份毛肚的实际售价． 【变式4】．（2025·重庆万州二中·二模）健康来自运动，运动创造美好生活．某个周末，小明和小华相约一起到万州南滨公园跑步锻炼，小明的跑步速度为小华的倍，若他们同时从A地出发，沿相同路线跑步2160米到达B地，则小明比小华早到6分钟． (1)求小明每分钟跑多少米？ (2)若到达B地后，小明继续沿着步道跑步到C地，在他从A地到C地整个跑步过程中前30分钟内，平均每分钟消耗热量10卡路里，超过30分钟后，每多跑2分钟，平均每分钟消耗的热量就增加1卡路里，小明共消耗1050卡路里热量，在从A地到C地整个跑步过程中，小明共用多少分钟？ 题型05 应用题一元一次方程、二元一次方程组和不等式（组） 解题策略 考查了一元一次方程的应用，二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是根据相等关系和不等式关系建立方程和不等式组． 例1（2025·重庆巴蜀中学·三模）列方程解应用题：为发展农业新质生产力，重庆农科院研发的智能采茶机器人正式上岗作业．经测试，每分钟一名工人采茶的数量比一台机器人采茶的数量少5片，若一名工人采茶6分钟、一台机器人采茶10分钟，共采茶450片． (1)分别求出一名工人和一台机器人每分钟采茶的片数； (2)经科研人员研发指导，工人和机器人的采茶速度都得以提高，机器人每分钟比之前多采2a片茶叶，工人每分钟比之前多采a片茶叶，这样，一台机器人采1200片茶叶所用的时间是一名工人采600片茶叶所用时间的1.5倍，求出a的值． 【变式1】．（重庆八中宏帆中学2024-2025学年二模）奉节脐橙果皮脆而易剥，肉质细嫩化渣、无核少络，酸甜适度，汁多爽口，是中国地理标志产品．一批发商收购了1000千克的大果和中果，共花费6800元，已知大果收购价每千克8元，中果收购价每千克5元． (1)求该批发商大果和中果各收购了多少千克？ (2)因销量可观，该批发商计划再次收购6300元的大果和6300元的中果，受价格上涨的影响，大果比中果少收购270千克，已知大果和中果的收购单价上涨金额相同，则第二次收购时大果和中果的收购价分别为每千克多少元？ 【变式2】．（2025年重庆市实验外国语学校九年级中考三模）2025年春节凸显了我国在机器人领域的强大实力，随着人工智能与物联网等技术的快速发展，人形机器人的应用场景不断拓展，某快递企业为提高工作效率，拟购买两种型号智能机器人进行快递分拣，相关信息如下： 信息一 A型机器人台数 B型机器人台数 总费用（单位：万元） 1 3 260 3 2 360 信息二 A型机器人每台每天可分拣快递33万件； B型机器人每台每天可分拣快递27万件． (1)求两种型号智能机器人的单价； (2)现该企业准备购买两种型号智能机器人共10台．需要每天分拣快递不少于300万件，且购买总费用最少，应如何选用这两种型号机器人？ 【变式3】．（重庆大学城第三中学校2024-2025学年二模）近期，我国国产动画电影“哪吒2魔童闹海”票房突破了90亿，商家推出A、B两种类型的哪吒纪念娃娃．已知购进4件A种娃娃和购进5件B种娃娃的费用相同；每个A种娃娃的进价比每个B种娃娃的进价多2元，且A种娃娃售价为15元/个，B种娃娃售价为10元/个． (1)每个A种娃娃和每个B种娃娃的进价分别是多少元？ (2)根据网上预约的情况，该商家计划用不超过1700元的资金购进A、B两种娃娃共200个，若这200个娃娃全部售完，选择哪种进货方案，商家获利最大？最大利润是多少元？ 【变式4】．（2025·重庆八中·三模）为了进一步推动垃圾分类，创建绿色社区，某社区计划购置一批可回收垃圾桶用以美化环境．计划购买中型和大型垃圾桶共140个，其中中型垃圾桶每个100元，大型垃圾桶每个160元，预计花费17600元． (1)计划购买中型垃圾桶和大型垃圾桶各多少个？ (2)实际购买时，经与商家协商：中型垃圾桶打九折；大型垃圾桶的单价每降低5元（大型垃圾桶的价格不低于中型的实际销售价格），社区就多购买10个大型垃圾桶．最后，社区购买的中型垃圾桶数量不变，大型垃圾桶的数量增加了，实际付款金额比计划多3600元，求该社区实际购买的大型垃圾桶的数量． （30分钟限时练） 1．一家商店将一种自行车按进价提高45%后标价，又以八折优惠卖出，结果每辆仍获利50元，这种自行车每辆的进价是多少元？若设这种自行车每辆的进价是元，那么所列方程为（   ） A． B． C． D． 2．2024年以来，在一系列房地产利好政策的带动下，各地楼盘销售量持续攀升，现已知某地房屋销售成交量在8月份323套基础上，9月，10月连续增长达到363套，设月平均增长率为，则可列出关于的方程为（   ） A． B． C． D． 3．春季是流感的高发时期，某校4月初有一人患了流感，经过两轮传染后，共49人患流感，假设每轮传染中平均每人传染x人，则可列方程（　　） A． B． C． D． 4．近年来，由于新能源汽车的崛起，燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑，经销商纷纷开展降价促销活动．某款燃油汽车今年2月份售价为万元，4月份售价为万元，设该款汽车这两月售价的月平均降价率是x，则所列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 5．如图，北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层．上层中心有一块圆形石板（称为天心石），环绕天心石砌块扇面形石板构成第一环，下一层的第一环比上一层的最后一环多块，向外每环依次增加块．已知每层环数相同，若上层最后一环扇面形石板为块，则下层第一环扇面形石板有（　　）​ A．块 B．块 C．块 D．块 6．中国新能源汽车技术领先全球，重庆某新能源汽车销售公司年盈利万元，年盈利万元，且从年到年，每年盈利的年增长率相同．设每年盈利的年增长率为，则列方程得（     ） A． B． C． D． 7．公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售150个，6月份销售216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同． (1)求该品牌头盔销售量的月增长率； (2)若此种头盔的进价为30元/个，测算在市场中，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨0.2元/个，则月销售量将减少2个，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？ 8．某校为举办周年校庆活动，特定制了系列文创产品，其中花费了13000元购进纪念画册和骨瓷杯若干，已知骨瓷杯总费用比纪念画册总费用的3倍还多1000元． (1)求纪念画册和骨瓷杯的总费用各是多少元？ (2)若每本纪念画册的进价比每个骨瓷杯的进价多，而骨瓷杯数量比纪念画册数量多400个．求每本纪念画册和每个骨瓷杯的进价各是多少元？ 9．某公司计划生产A货物1500吨，B货物1200吨．已知每天生产A货物的数是B货物的2倍，生产B货物所需的时间比A货物多30天． (1)公司每天可生产A，B两种货物各多少吨？ (2)生产完毕后，现计划用甲、乙两种型号的货厢共20节运送这批货物到另外一地仓库，已知90吨A货物和50吨B货物可装满一节甲型货厢，40吨A货物和100吨B货物可装满一节乙型货．若每节甲货厢的运费是1.5万元，每节乙货厢的运费是1万元．据此安排甲、乙两型货厢的节数，则方案的总运费最少是多少元？ 10．某建筑公司承建一段6000米的高速路，计划由甲、乙两个工程队同时施工，12天可完成总工程，已知甲工程队每天比乙工程队少施工100米． 根据以上信息，解答下列问题： (1)求甲、乙两个工程队计划每天各施工多少米？ (2)实际施工时，因为遭遇雨季，甲、乙两个工程队平均每天的施工量比计划都减少了m米，甲乙同时施工，完成总工程时，甲工程队施工总量是乙工程队施工总量的，求甲、乙两个工程队实际每天各施工多少米？ 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 热点02 方程与不等式 热点聚焦 方法精讲 能力突破 第一部分 热点聚焦·析考情 第二部分 题型引领·讲方法 题型01 列二元一次方程组选择类 题型02 列一元二次方程选择类 题型03 应用题分式方程 题型04应用题一元二次方程 题型05 应用题一元一次方程、二元一次方程组和不等式（组） 第三部分 能力突破·限时练 近三年： 近三年考情统计 · 2023年：15分（3题） · 2024年：17分（3题） · 2025年：14分（2题） · 核心趋势：含参综合题是必考重难点，2024年分值略有上升，2025年单题分值增大。 高频题型与考点 重庆中考对这部分知识的考查呈现“基础+综合”双轨并行的特点： 1. 基础大题：实际应用（必考） · 形式：列方程（组）或不等式（组）解应用题。 · 热点背景：增长率问题（如销量、产值）与方案选择问题（利用不等式组确定方案，结合一次函数求最值）。 · 案例：2024年B卷考查了“生产任务”情境下的方程应用。 2. 中档填选：含参运算（高分关键） · 地位：通常在选择题或填空题后段（如第12、17题位置）作为拉分题出现。 · 必考模型：“不等式组+分式方程” 综合题。 · 题型：给定不等式组有解/无解或有特定整数解，同时分式方程解为正/负或非负整数，求整数参数的值或和。 · 难点：务必注意分式方程分母不为零的隐含条件（增根）。 3. 基础计算：保分题（送分） · 形式：解答题前几道，分值约8-10分。 · 内容：解一元二次方程、解分式方程、解一元一次不等式组及数轴表示。 2026年中考复习备考方向与策略建议 该板块将继续加强数学与生活的联系，利用方程或不等式解决实际问题将贯穿试卷的各个角落。 · 增长率和销售问题：预测会通过一元二次方程考查平均增长率（如项目产值、植树数量），或通过分式方程考查销售利润、单价问题。 复习建议： 1. 回归教材，确保基础分：熟练掌握各类方程（组）和不等式（组）的解法。特别是分式方程必须检验，一元二次方程要灵活运用判别式。 2. 关注本地生活热点：建议多留意重庆本地的经济发展、城市建设、文旅消费等新闻，它们极有可能成为应用题的实际背景。 题型01 列二元一次方程组选择类 解题策略 考查由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 例1（2024·重庆巴蜀中学·二诊）我国古代数学名著《孙子算经》记载一道题：“一百马，一百瓦，大马一个拖三个，小马三个拖一个”，大意为：100匹马拉100片瓦，已知1个大马拖3片瓦，3匹小马拖一片瓦，问有多少匹大马，多少匹小马？若设有m匹大马，n匹小马，那么可列方程组为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【来源】2024年重庆市巴蜀中学九年级第二次诊断作业数学试题卷 【分析】本题考查了古籍中的方程组，熟练掌握方程组的布列是解题的关键．设有m匹大马，n匹小马，根据题意，联立方程组即可． 【详解】解：设有m匹大马，n匹小马， 根据题意，得． 故选：D． 【变式1】（重庆市第二外国语学校2025年二模）《九章算术》是中国古代第一部数学专著，它对我国古代后世的数学家产生了深远的影响，该书中记载了一个问题，大意是：有几个人一起去买一件物品，每人出8元，多3元；每人出7元，少4元，问有多少人？该物品价几何？设有人，物品价值元，则所列方程组正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：设有人，物品价值元， 由题意得，， 故选：D； 【变式2】（重庆市开州区2024-2025学年二模）《九章算术》是中国传统数学的重要著作，方程术是它的最高成就．其中记载；今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，向：人数、物价各几何？译文：今有人合伙购物，每人出8钱，会多3钱；每人出7钱，又会差4钱，问：人数、物价各是多少？设合伙人数为x人，物价为y钱，以下列出的方程组正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：设合伙人数为人，物价为钱， 依题意，得：． 故选：A． 【变式3】（重庆育才中学教育集团2024-2025学年三模）我国古代算书《四元玉鉴》中记载：“九百九十九文钱，甜果苦果买一千，甜果九个十一文，苦果七个四文钱，试问甜苦果几个？”大意是：用999文钱买了甜果和苦果共1000个，9个甜果卖11文钱，7个苦果卖4文钱，问买了甜果和苦果各多少个？设买了个甜果，个苦果，可列方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：设买了个甜果，个苦果， 由题意得，， 故选：B． 【变式4】（2023年重庆实验外国语学校中考三模数学试题）《九章算术》是中国古代的一本重要数学著作，其中有一道方程的应用题：“五只雀、六只燕，共重16两，雀重燕轻．互换其中一只，恰好一样重．问每只雀、燕的重量各为多少？”解：设雀每只x两，燕每只y两，则可列出方程组为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：设雀每只两，燕每只两，则可列出方程组为： ． 故选：B． 题型02 列一元二次方程选择类 解题策略 考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 例1（2025·重庆一中·二模）2025年国庆节期间，重庆市游客数量再创新高，第一天游客数量为300万人，第三天游客数量为610万人．设平均增长率为x，可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：设每天的平均增长率为x，那么依题意得， 故选：D． 【变式1】（重庆市第一中学校2024-2025学年二模）为加强劳动教育，增加学生实践机会，某校拟用总长为5米的篱笆，在两边都足够长的直角围墙的一角，围出一块6平方米的矩形菜地作为实践基地，如图所示．设矩形的一边长为x米，根据题意可列方程（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：设矩形的一边长为x米，则另一边长为米，由题意，得： ； 故选：C． 【变式2】（2025·重庆巴蜀中学·二模）五一劳动节期间，重庆作为热门旅游城市接待国内游客超两千万人次，据统计重庆2023年五一假期旅游总收入为100亿元，2025年五一假期旅游总收入为196亿元，若将这两年五一假期旅游总收入的年平均增长率设为x，则符合题意的方程是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【来源】重庆巴蜀中学2025年中考二模数学试卷 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据该公司第一季度及第三季度得销售利润，即可得出关于x的一元二次方程即可．找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【详解】解：由题意可得， 故选：A． 【变式3】（2025·重庆八中·中考一模）已知某市2022年工业碳排放总量为1000万吨，为响应国家“双碳”目标，该市通过技术升级，2024年的工业碳排放总量降至810万吨．若设年平均减少率为，则下列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】2025年重庆市第八中学校中考一模数学试题 【分析】本题考查了列一元二次方程，找准等量关系，正确建立方程是解题关键．根据2024年工业碳排放总量=2022年工业碳排放总量×建立方程即可得． 【详解】解：设年平均减少率为，由题意可得， 故选：B． 【变式4】（2025·重庆开州云枫教育集团·二模）随着环保意识的增强和技术的进步，某品牌的电动汽车逐渐成为消费者的新宠，该品牌电动车今年1月份的销量为10000辆，经过两个月广告推销，3月份的销量增至12100辆．设每个月销量的平均增长率为x，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】2025年重庆市开州区云枫教育集团中考二模数学试题 【分析】本题主要考查由实际问题抽象出一元二次方程．设年平均增长率为，由题意得等量关系：1月份销量增长率月份销量，根据等量关系列出方程即可． 【详解】解：设每个月销量的平均增长率为， 由题意得， 故选：B． 题型03 应用题分式方程 解题策略 考查了分式方程的应用，分析题意，找到关键描述语，找出合适等量关系是解题的关键．特别注意分式方程需要检验，忘记检验会扣分，平时训练需养成检验习惯。 例1（2025·重庆一中·二模）一年一度的元旦节即将到来，某校初三年级的家委会妈妈们准备购买签字笔和圆规两种文具作为小礼物送给初三年级的孩子们，计划用2400元购买签字笔，用900元购买圆规，已知一支签字笔和一个圆规的售价之和为15元，计划购买签字笔的数量是圆规数量的4倍． (1)求计划分别购买多少支签字笔和多少个圆规？ (2)实际购买时，家委会妈妈们发现每支签字笔的售价降低了，每个圆规的售价便宜了元，根据各班对两种文具喜好的调查结果，家委会的妈妈们调整了购买签字笔和圆规的数量，实际购买圆规的数量比计划购买圆规的数量增加了个，但实际购买签字笔和圆规的总数量与计划购买签字笔和圆规的总数量相同，最终实际购买签字笔和圆规的总费用比计划购买签字笔和圆规的总费用减少了元，求的值． 【答案】(1)计划购买400支签字笔，100个圆规 (2)10 【详解】（1）解：设一支签字笔x元，则一个圆规元， 由题意得：， 去分母，得， 解得， 经检验，是所列分式方程的解， 签字笔的单价为6元，圆规的单价为（元）， 购买签字笔的数量为：（支）， 购买圆规的数量为：（个）， 即计划购买400支签字笔，100个圆规； （2）解：由题意得：， 整理得：， 解得，， ， ． 【变式1】（2025重庆育才中学教育集团三模）重庆中国三峡博物馆围绕馆藏的战国青铜鸟形尊文物，开发了多款兼具文化内涵与实用性的文创商品．该系列文创商品将鸟形尊憨态可掬的形态进行卡通化复原，其造型可爱、颜色醒目，深受年轻人喜爱．其中鸟形尊冰箱贴和鸟形尊纸艺书签销售火爆．已知一个鸟形尊冰箱贴的售价比一个鸟形尊纸艺书签售价高16元，且购买三个鸟形尊冰箱贴和两个鸟形尊纸艺书签共需108元． (1)求一个鸟形尊冰箱贴的售价和一个鸟形尊纸艺书签的售价各是多少元？ (2)五一节促销期间，鸟形尊冰箱贴每个降价元，鸟形尊纸艺书签每个降价m元，促销后鸟形尊冰箱贴总销售额为3300元，鸟形尊纸艺书签总销售额为900元，且鸟形尊冰箱贴的销量比纸艺书签多，求m的值． 【答案】(1)一个鸟形尊冰箱贴的售价和一个鸟形尊纸艺书签的售价分别是和元 (2) 【详解】（1）解：设一个鸟形尊纸艺书签的售价为元， ∵一个鸟形尊冰箱贴的售价比一个鸟形尊纸艺书签售价高16元， ∴一个鸟形尊冰箱贴的售价为元， ∴， 解得， ∴（元）， ∴一个鸟形尊冰箱贴的售价和一个鸟形尊纸艺书签的售价分别是和元； （2）解：由（1）得一个鸟形尊冰箱贴的售价和一个鸟形尊纸艺书签的售价分别是和元； 则五一节促销期间，鸟形尊冰箱贴每个元，鸟形尊纸艺书签每个元， 依题意， 整理得 ∴， 经检验：是原分式方程的解， ∴． 【变式2】．（2025·重庆西南大学附中·三模）“端午节”来临之际，各超市纷纷搞促销活动，小美发现离家不远的状元超市有蜜枣粽和肉粽两种粽子正在参加活动．购买个肉粽和个蜜枣粽需要元，购买个肉粽和个蜜枣粽需要元． (1)求肉粽和蜜枣粽的单价分别为多少元？ (2)“端午节”当天，状元超市加大促销活动力度，将肉粽的单价降低了元，蜜枣粽单价降低了，节日当天肉粽的销量是蜜枣粽销量的倍，且肉粽的销售额为元，蜜枣粽的销售额为元，求的值． 【答案】(1)肉粽的单价为元，蜜枣粽的单价为元； (2)的值为． 【来源】2025年重庆市西南大学附属中学中考三模数学 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，分式方程的应用，读懂题意，找出等量关系，列出方程（组）是解题的关键． （）设肉粽的单价为元，蜜枣粽的单价为元，根据题意得，然后解方程组即可； （）由题意得，然后解方程并检验即可． 【详解】（1）解：设肉粽的单价为元，蜜枣粽的单价为元， 根据题意得，， 解得：， 答：肉粽的单价为元，蜜枣粽的单价为元； （2）解：由题意得，， 解得：， 经检验：是原方程的解，且符合题意， ∴的值为． 【变式3】．（2025·重庆八中·模拟）为了响应国家的“三农政策”，小李在某果园购进了一批应季水果-“五星琵琶”，这种“五星琵琶”中果比大果每千克进价少4元，小李花了3000元购买大果，5000元购买中果，且购进的中果数量是大果数量的2倍． (1)小李购进“五星琵琶”中果和大果每千克进价各多少元？ (2)小李将购进的“五星琵琶”及时进行销售．其中中果的售价比进价高50％，大果在进价的基础上每千克加价4a元进行销售，一周后，中果还剩20％，大果还剩40％没有售出．为了增加销量，减少库存和损耗，小李准备降价促销：中果每千克降价a元，大果每千克降价5元进行销售．预计除了10千克中果和2千克大果损坏不能售出外，其余全部售出．若总计获利不少于5980元，求a的最小值． 【答案】(1)中果每千克进价元，则大果每千克进价为元； (2) 【来源】2025年重庆市第八中学校中考数学模拟卷七 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）设中果每千克进价元，则大果每千克进价为元，根据小李花了3000元购买大果，5000元购买中果，且购进的中果数量是大果数量的2倍．然后列分式方程即可求解． （2）分阶段求出总收入=元、总成本元，根据总利润=总收入−总成本元，依题意列不等式即可作答． 【详解】（1）解：设中果每千克进价元，则大果每千克进价为元，依题意： ∴， 解并检验得：， 大果每千克进价为元， 答：中果每千克进价元，则大果每千克进价为元； （2）解：已知中果购进（千克），大果购进 （千克），总成本 （元）． 第一阶段销售： 中果售价比进价高，售价（ 元/千克）． 售出量 （千克），收入 （元）． 大果在进价基础上加价元，售价元/千克．售出量（千克），收入元． 剩余：中果（ 千克），大果 （千克）． 第二阶段促销（降价销售）： 中果每千克降价 元，新售价 )元/千克． 剩余千克中，损坏千克不能售出，可售量为（千克），收入 元． 大果每千克降价 元，新售价 元/千克． 剩余千克中，损坏千克不能售出，可售量千克，收入 元． 总收入)元， 总利润=总收入−总成本元， 由要求总利润不少于 5980 元，得：，解得 ， 因此，，最小值为 ． 【变式4】．（2025·重庆巴南市实验集团·二模）某食品加工厂根据订单的需求会不定期采购A，B两种食材（单位：件），而两种食材的单价会根据市场变化波动． (1)第一周，该食品加工厂花费6650元一次性采购A，B两种食材共100件，此时A，B两种食材的单价分别是50元、80元，求食品加工厂采购了A，B两种食材各多少件？ (2)第二周，由于采购价格发生了变化，食品加工厂分别花费1800元、3600元一次性购买A，B两种食材，已知采购B种食材的数量是A种食材数量的1.5倍，每件A种食材的单价比每件B种食材的单价少20元，求食品加工厂第二周采购A种食材多少件？ 【答案】(1)食品加工厂采购了A种食材45件，B种食材55件 (2)食品加工厂第二周采购A种食材30件 【来源】2025年 重庆市巴南区市实验集团九年级中考联考二模数学试题 【分析】本题考查了分式方程的应用以及二元一次方程组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出分式方程． （1）设食品加工厂采购了A种食材x件，B种食材y件，根据该食品加工厂花费6650元一次性采购A，B两种食材共100件，此时A，B两种食材的单价分别是50元、80元，列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）设食品加工厂第二周采购A种食材m件，则B种食材采购件，根据食品加工厂分别花费1800元、3600元一次性购买A，B两种食材，已知采购B种食材的数量是A种食材数量的1.5倍，每件A种食材的单价比每件B种食材的单价少20元，列出分式方程，解方程即可． 【详解】（1）解：设食品加工厂采购了A种食材x件，B种食材y件 解得： 答：食品加工厂采购了A种食材45件，B种食材55件． （2）解：设食品加工厂第二周采购A种食材m件，则B种食材采购件，则 解得， 经检验，是原分式方程的解． 答：食品加工厂第二周采购A种食材30件． 题型04 应用题一元二次方程 解题策略 考查了一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系（2）正确列出一元二次方程．一元二次方程一般有多个解，还需根据题目要求，考虑是否需要舍去部分解。 例1（2025·重庆·模拟）2025年1月16日，中国羽毛球协会与重庆大学举行共建羽毛球中心合作签约仪式，将共建西南地区首个羽毛球中心，这一举措不仅能培养出羽毛球精英人才，也有力地促进了重庆的羽毛球经济发展．某体育用品店分别用1400元和2000元购进A，B两种羽毛球拍，已知每副A种球拍的进价比每副种球拍的进价贵20元，且购进A种球拍的数量是购进种球拍的数量的． (1)求两种羽毛球拍每副的进价； (2)这批羽毛球拍很快被一抢而空，该店计划再购进一批羽毛球拍，此时每副A种球拍的进价不变，购进数量在第一次的基础上增加了副；每副种球拍的进价上涨了元，购进种球拍的数量在第一次的基础上减少了副，总花费元，求的值． 【答案】(1)种羽毛球拍每副的进价为70元，种羽毛球拍每副的进价为50元 (2)5 【来源】2025年重庆市初中学业水平暨高中招生考试数学模拟试题 - 【分析】此题主要考查了分式方程的应用以及一元二次方程的应用，正确得出等式是解题关键． （1）设A种羽毛球拍每副的进价为元，则种羽毛球拍每副的进价为元，利用文具店分别用1400元和2000元购进A，B两种羽毛球拍，购进A种球拍的数量是购进种球拍的数量的，列出方程求出答案； （2）根据总花费元，列出方程解答即可． 【详解】（1）解：设A种羽毛球拍每副的进价为元，则种羽毛球拍每副的进价为元， 由题意得，解得：， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， ∴， 答：种羽毛球拍每副的进价为70元，种羽毛球拍每副的进价为50元； （2）解：第一次购进种羽毛球拍（副）， 第一次购进种羽毛球拍（副）， 根据题意可得， 整理得， 解得或（不符合题意，舍去）， 则， 答：的值为5． 【变式1】（2025·重庆八中·一模）小张从家具厂家购进了A、B两种型号的木地板，已知每平米A型木地板的进价比每平米B型木地板的进价多30元，用7500元购进A型木地板和用6000元购进B型木地板的面积相同． (1)求每平米A型木地板和每平米B型木地板的进价各是多少元？ (2)在销售过程中，A型木地板因为质量更好高，更受消费者的欢迎．为了增大B型木地板的销量，该销售商决定对B型木地板进行降价销售．经调查，当B型木地板的售价为每平方米180元时，平均每天可卖出木地板的总面积为4平方米，在此基础上，售价每降低5元，平均每天将多售出1平方米．要使平均每天销售B型木地板的利润为320元，请问该销售商应将B型木地板的售价降低多少元． 【答案】(1)每平米A型木地板和每平米B型木地板的进价分别为150元和120元 (2)将B型木地板的售价降低元 【详解】（1）解：设每平方米B型木地板的进价为x元，则A型木地板的进价为元， 由题意得：， 解得：， 经检验：是原方程的根，且符合题意， 那么A型木地板的进价为（元）， 答：每平米A型木地板和每平米B型木地板的进价分别为150元和120元； （2）解：将B型木地板的售价降低元， 由题意得：， 解得：， 答：将B型木地板的售价降低元． 【变式2】（2025·重庆杨家坪中学教育集团·一模）我校为了让学生体验化学实验的乐趣，决定从市场购买氯化钠溶液和硫酸铜溶液供实验使用．已知每瓶硫酸铜溶液的售价比氯化钠溶液的售价多2.5元，花100元用于购买的氯化钠溶液比花400元购买硫酸铜溶液少40瓶． (1)求每瓶氯化钠溶液与硫酸铜溶液的售价分别为多少元？ (2)为了加大培养学生对化学的兴趣，学校决定再次购买这两种溶液，调查发现每瓶硫酸铜溶液的成本是元，每瓶氯化钠溶液的成本是元，已知第二次购买硫酸铜的数量比第一次购买的数量少瓶，购买的氯化钠溶液的数量是第一次的2倍，商家获利330元，求的值． 【答案】(1)每瓶氯化钠溶液与硫酸铜溶液的售价分别为元、元 (2)的值为 【详解】（1）解：设每瓶氯化钠溶液的售价为元，则每瓶硫酸铜溶液的售价为元， 根据题意列方程得， 解得：， 经检验是原方程的解， ， 答：每瓶氯化钠溶液与硫酸铜溶液的售价分别为元、元； （2）解：根据题意得 解得：或 ， 不符合题意，舍去， 的值为． 【变式3】（2025·重庆大渡口区·一诊）据了解，某火锅店里主营菜品是毛肚，该火锅店第一次用15000元购进毛肚若干份，深受人们喜爱，很快售完．于是，火锅店又用12000元购入毛肚，每份的进价比第一次少了5元，所购数量与第一次购进数量相同． (1)求该火锅店第一次购进毛肚的进价为每份多少元？ (2)后续经营中，火锅店按第二次购买毛肚的进价持续进货，每份标价40元出售，每天能售出480份．为庆祝国庆节并吸引更多顾客消费，该火锅店决定降低毛肚的售价，经研究发现每份毛肚的售价每下降1元，每天的销量就增加2份．降价后，该店毛肚每日销售额为15000元，求降价后每份毛肚的实际售价． 【答案】(1)该火锅店第一次购进毛肚的进价为每份元 (2)降价后每份毛肚的实际售价为元 【来源】2025年重庆市大渡口区中考数学一诊模拟试卷 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元二次方程的应用； （1）设该火锅店第一次购进毛肚的进价为每份元，则第二次的进价为，根据两次购进的数量相等建立分式方程，解方程并检验，即可求解； （2）设降价元，依题意得，，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：设该火锅店第一次购进毛肚的进价为每份元，则第二次的进价为，根据题意，得 ， 解得：， 经检验，是原方程的解； 答：该火锅店第一次购进毛肚的进价为每份元； （2）解：设降价元，依题意得， ， 解得：或（舍去）， ∴降价后每份毛肚的实际售价为（元）， 答：降价后每份毛肚的实际售价为元． 【变式4】．（2025·重庆万州二中·二模）健康来自运动，运动创造美好生活．某个周末，小明和小华相约一起到万州南滨公园跑步锻炼，小明的跑步速度为小华的倍，若他们同时从A地出发，沿相同路线跑步2160米到达B地，则小明比小华早到6分钟． (1)求小明每分钟跑多少米？ (2)若到达B地后，小明继续沿着步道跑步到C地，在他从A地到C地整个跑步过程中前30分钟内，平均每分钟消耗热量10卡路里，超过30分钟后，每多跑2分钟，平均每分钟消耗的热量就增加1卡路里，小明共消耗1050卡路里热量，在从A地到C地整个跑步过程中，小明共用多少分钟？ 【答案】(1)180米 (2)60分钟 【详解】（1）解：设小华每分钟跑x米，则小明每分钟跑米， 根据题意，得， 解得：， 经检验，既是所列分式方程的解，也符合题意， 则， 答：小明每分钟跑180米． （2）解：设小明从A地到C地锻炼共用y分钟， 根据题意，得， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：小明从A地到C地锻炼共用60分钟． 题型05 应用题一元一次方程、二元一次方程组和不等式（组） 解题策略 考查了一元一次方程的应用，二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是根据相等关系和不等式关系建立方程和不等式组． 例1（2025·重庆巴蜀中学·三模）列方程解应用题：为发展农业新质生产力，重庆农科院研发的智能采茶机器人正式上岗作业．经测试，每分钟一名工人采茶的数量比一台机器人采茶的数量少5片，若一名工人采茶6分钟、一台机器人采茶10分钟，共采茶450片． (1)分别求出一名工人和一台机器人每分钟采茶的片数； (2)经科研人员研发指导，工人和机器人的采茶速度都得以提高，机器人每分钟比之前多采2a片茶叶，工人每分钟比之前多采a片茶叶，这样，一台机器人采1200片茶叶所用的时间是一名工人采600片茶叶所用时间的1.5倍，求出a的值． 【答案】(1)一名工人每分钟采茶25片，一台机器人每分钟采茶30片 (2)a的值为5 【来源】2025年重庆巴蜀中学校中考三模数学试题 【分析】本题考查一元一次方程的应用及分式方程的应用，读清题意并根据对应的等量关系列出方程是解此题的关键． （1）通过设未知数，根据采茶总量列出一元一次方程求解工人和机器人每分钟采茶片数； （2）根据提高后的采茶速度和时间关系列出分式方程求解a的值． 【详解】（1）解：设一名工人每分钟采茶x片，则一台机器人每分钟采茶片， ， ， ， 则机器人每分钟采茶：（片）， 即一名工人每分钟采茶25片，一台机器人每分钟采茶30片． （2）解：设机器人提高后每分钟采茶片，工人提高后每分钟采茶片， ， ， ， ， ， ， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 即a的值为5． 【变式1】．（重庆八中宏帆中学2024-2025学年二模）奉节脐橙果皮脆而易剥，肉质细嫩化渣、无核少络，酸甜适度，汁多爽口，是中国地理标志产品．一批发商收购了1000千克的大果和中果，共花费6800元，已知大果收购价每千克8元，中果收购价每千克5元． (1)求该批发商大果和中果各收购了多少千克？ (2)因销量可观，该批发商计划再次收购6300元的大果和6300元的中果，受价格上涨的影响，大果比中果少收购270千克，已知大果和中果的收购单价上涨金额相同，则第二次收购时大果和中果的收购价分别为每千克多少元？ 【答案】(1)该批发商大果收购了600千克，中果收购了400千克 (2)第二次收购时大果的收购价为每千克10元，中果的收购价为每千克7元 【详解】（1）解：设该批发商大果收购了千克，则中果收购了千克， 则， 解得， 则， 答：该批发商大果收购了600千克，中果收购了400千克； （2）设收购单价的上涨金额为元， 由题意得， 解得（负值不符合题意，舍去）， 经检验：是分式方程的根，且符合题意； 大果收购价为（元），中果收购价为（元）， 答：第二次收购时大果的收购价为每千克10元，中果的收购价为每千克7元． 【变式2】．（2025年重庆市实验外国语学校九年级中考三模）2025年春节凸显了我国在机器人领域的强大实力，随着人工智能与物联网等技术的快速发展，人形机器人的应用场景不断拓展，某快递企业为提高工作效率，拟购买两种型号智能机器人进行快递分拣，相关信息如下： 信息一 A型机器人台数 B型机器人台数 总费用（单位：万元） 1 3 260 3 2 360 信息二 A型机器人每台每天可分拣快递33万件； B型机器人每台每天可分拣快递27万件． (1)求两种型号智能机器人的单价； (2)现该企业准备购买两种型号智能机器人共10台．需要每天分拣快递不少于300万件，且购买总费用最少，应如何选用这两种型号机器人？ 【答案】(1)A型智能机器人的单价为80万元，B型智能机器人的单价为60万元 (2)应该购进A型智能机器人5台，购买B型智能机器人5台 【详解】（1）解：设A型智能机器人的单价为x万元，B型智能机器人的单价为y万元， 解得， 答：A型智能机器人的单价为80万元，B型智能机器人的单价为60万元； （2）解：设购进A型智能机器人a台，则购买B型智能机器人台， 由题意得，， 解得，， ∵A型智能机器人的单价为80万元，B型智能机器人的单价为60万元， ∴购买A型智能机器人越少，费用越少， ∴购进A型智能机器人5台，购买B型智能机器人5台时，费用最少． 答：应该购进A型智能机器人5台，购买B型智能机器人5台． 【变式3】．（重庆大学城第三中学校2024-2025学年二模）近期，我国国产动画电影“哪吒2魔童闹海”票房突破了90亿，商家推出A、B两种类型的哪吒纪念娃娃．已知购进4件A种娃娃和购进5件B种娃娃的费用相同；每个A种娃娃的进价比每个B种娃娃的进价多2元，且A种娃娃售价为15元/个，B种娃娃售价为10元/个． (1)每个A种娃娃和每个B种娃娃的进价分别是多少元？ (2)根据网上预约的情况，该商家计划用不超过1700元的资金购进A、B两种娃娃共200个，若这200个娃娃全部售完，选择哪种进货方案，商家获利最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1)每个A种娃娃的进价是10元，每个B种娃娃的进价是8元 (2)当购进50个A种娃娃，150个B种娃娃时，商家获利最大，最大利润是550元 【详解】（1）解：设每个A种娃娃的进价是x元，每个B种娃娃的进价是y元， 根据题意得：， 解得：． 答：每个A种娃娃的进价是10元，每个B种娃娃的进价是8元； （2）解：设购进m个A种娃娃，则购进个B种娃娃， 根据题意得：， 解得：． 设这200个娃娃全部售完获得的总利润为w元， 则， 即， ∵， ∴w随m的增大而增大， ∴当时，w取得最大值，最大值为，此时（个）． 答：当购进50个A种娃娃，150个B种娃娃时，商家获利最大，最大利润是550元． 【变式4】．（2025·重庆八中·三模）为了进一步推动垃圾分类，创建绿色社区，某社区计划购置一批可回收垃圾桶用以美化环境．计划购买中型和大型垃圾桶共140个，其中中型垃圾桶每个100元，大型垃圾桶每个160元，预计花费17600元． (1)计划购买中型垃圾桶和大型垃圾桶各多少个？ (2)实际购买时，经与商家协商：中型垃圾桶打九折；大型垃圾桶的单价每降低5元（大型垃圾桶的价格不低于中型的实际销售价格），社区就多购买10个大型垃圾桶．最后，社区购买的中型垃圾桶数量不变，大型垃圾桶的数量增加了，实际付款金额比计划多3600元，求该社区实际购买的大型垃圾桶的数量． 【答案】(1)购买中型垃圾桶个，购买大型垃圾桶个 (2)个 【详解】（1）解：设购买中型垃圾桶个，购买大型垃圾桶个， 由题意可得， 解得， 答：购买中型垃圾桶个，购买大型垃圾桶个； （2）解：设垃圾桶降价元，则社区多购买个大型垃圾桶， 则可得， 解得， 由题意可得，解得， 故， 该社区实际购买的大型垃圾桶的数量为个 （30分钟限时练） 1．一家商店将一种自行车按进价提高45%后标价，又以八折优惠卖出，结果每辆仍获利50元，这种自行车每辆的进价是多少元？若设这种自行车每辆的进价是元，那么所列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，首先理解题意找出题中存在的等量关系：售价−−进价==利润，根据等量关系列方程即可，列方程的关键是正确找出题目的相等关系，此题应弄清楚两次单位“1”的不同． 【详解】解：设这种自行车每辆的进价是元，由题意可得， 故选：D． 2．2024年以来，在一系列房地产利好政策的带动下，各地楼盘销售量持续攀升，现已知某地房屋销售成交量在8月份323套基础上，9月，10月连续增长达到363套，设月平均增长率为，则可列出关于的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的增长率问题，根据某地房屋销售成交量在8月份323套基础上，9月，10月连续增长达到363套，设月平均增长率为，列式，即可作答． 【详解】解：∵某地房屋销售成交量在8月份323套基础上，9月，10月连续增长达到363套，设月平均增长率为， ∴， 故选：B 3．春季是流感的高发时期，某校4月初有一人患了流感，经过两轮传染后，共49人患流感，假设每轮传染中平均每人传染x人，则可列方程（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程的应用．由题意，第一轮过后有个人，第二轮又传染了个人，根据经过两轮传染后，共49人患流感，列出方程即可．找准等量关系，正确的列式，是解题的关键． 【详解】解：设每轮传染中平均每人传染x人，由题意，得：， 即：； 故选C． 4．近年来，由于新能源汽车的崛起，燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑，经销商纷纷开展降价促销活动．某款燃油汽车今年2月份售价为万元，4月份售价为万元，设该款汽车这两月售价的月平均降价率是x，则所列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查列一元二次方程，由题意可得3月份的售价为万元，4月份售价为万元，由此列方程即可． 【详解】解：设该款汽车这两月售价的月平均降价率是x， 由题意得：， 故选：A． 5．如图，北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层．上层中心有一块圆形石板（称为天心石），环绕天心石砌块扇面形石板构成第一环，下一层的第一环比上一层的最后一环多块，向外每环依次增加块．已知每层环数相同，若上层最后一环扇面形石板为块，则下层第一环扇面形石板有（　　）​ A．块 B．块 C．块 D．块 【答案】B 【分析】本题考查一元一次方程的应用，设每层有环，根据上层最后一环扇面形石板为81块，可列出关于的一元一次方程，解之可得出的值，再将其代入中，即可求出下层第一环扇面形石板的块数．找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 【详解】解：设每层有环， 根据题意得：， 解得：， ∴（块）， ∴下层第一环扇面形石板有块． 故选：B． 6．中国新能源汽车技术领先全球，重庆某新能源汽车销售公司年盈利万元，年盈利万元，且从年到年，每年盈利的年增长率相同．设每年盈利的年增长率为，则列方程得（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了一元二次方程的应用，设每年盈利的年增长率为，根据题意列出方程即可，读懂题意，列出方程是解题的关键． 【详解】解：设每年盈利的年增长率为， 由题意得：， 故选：． 7．公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售150个，6月份销售216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同． (1)求该品牌头盔销售量的月增长率； (2)若此种头盔的进价为30元/个，测算在市场中，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨0.2元/个，则月销售量将减少2个，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？ 【答案】(1)月增长率为 (2)该品牌头盔的实际售价应定为每个50元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据该品牌头盔4月份及6月份的月销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）设该品牌头盔的实际售价为y元，根据月销售利润每个头盔的利润月销售量，即可得出关于y的一元二次方程，解之取其正值即可求出结论． 【详解】（1）解： 设该品牌头盔销售量的月增长率为x， 由题意得：， 解得：（不合题意，舍去）． 答：该品牌头盔销售量的月增长率为． （2）解：设该品牌头盔的实际售价为y元， 由题意得：， 整理得：， 解得：（不合题意，舍去）， 答：该品牌头盔的实际售价应定为每个50元． 8．某校为举办周年校庆活动，特定制了系列文创产品，其中花费了13000元购进纪念画册和骨瓷杯若干，已知骨瓷杯总费用比纪念画册总费用的3倍还多1000元． (1)求纪念画册和骨瓷杯的总费用各是多少元？ (2)若每本纪念画册的进价比每个骨瓷杯的进价多，而骨瓷杯数量比纪念画册数量多400个．求每本纪念画册和每个骨瓷杯的进价各是多少元？ 【答案】(1)纪念画册的总费用为3000元，骨瓷杯的费用为10000元 (2)每本纪念画册的进价为30元，每个骨瓷杯的进价为20元 【分析】本题考查了一元一次方程和分式方程的实际应用． （1）设纪念画册的总费用为元，则骨瓷杯的费用为（）元，根据花费了13000元购进纪念画册和骨瓷杯，列出方程求解即可； （2）设每个骨瓷杯的进价为元，则每本纪念画册的进价为元，根据骨瓷杯数量比纪念画册数量多400个列出分式方程求解，检验即可． 【详解】（1）解：设纪念画册的总费用为元，则骨瓷杯的费用为（）元， 由题意： 解得： 元 答：纪念画册的总费用为3000元，骨瓷杯的费用为10000元． （2）解：设每个骨瓷杯的进价为元，则每本纪念画册的进价为元， 由题意：，解得 经检验，为所列方程的根且符合题意． 元 答：每本纪念画册的进价为30元，每个骨瓷杯的进价为20元． 9．某公司计划生产A货物1500吨，B货物1200吨．已知每天生产A货物的数是B货物的2倍，生产B货物所需的时间比A货物多30天． (1)公司每天可生产A，B两种货物各多少吨？ (2)生产完毕后，现计划用甲、乙两种型号的货厢共20节运送这批货物到另外一地仓库，已知90吨A货物和50吨B货物可装满一节甲型货厢，40吨A货物和100吨B货物可装满一节乙型货．若每节甲货厢的运费是1.5万元，每节乙货厢的运费是1万元．据此安排甲、乙两型货厢的节数，则方案的总运费最少是多少元？ 【答案】(1)公司每天可生产A种货物30吨，生产B种货物15吨 (2)安排甲型货厢14节，安排乙型货厢节，，则总运费最少，是万元 【分析】本题考查分式方程的实际应用，一元一次不等式组的实际应用． （1）设每天生产A货物的数是x吨，则每天生产B货物的数是吨，根据生产B货物所需的时间比A货物多30天，建立分式方程，求解，并检验即可； （2）设安排甲型货厢的节数为a节，则安排乙型货厢的节数为节，根据90吨A货物和50吨B货物可装满一节甲型货厢，40吨A货物和100吨B货物可装满一节乙型货．建立不等式组，求解即可． 【详解】（1）解：设每天生产A货物的数是x吨，则每天生产B货物的数是吨， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，则， 答：公司每天可生产A种货物30吨，生产B种货物15吨； （2）解：设安排甲型货厢的节数为a节，则安排乙型货厢的节数为节， 根据题意得：， 解得：， 则共有三种方案： 方案一：安排甲型货厢14节，安排乙型货厢节，则费用为：（万元）； 方案二：安排甲型货厢15节，安排乙型货厢节，则费用为：（万元）； 方案三：安排甲型货厢16节，安排乙型货厢节，则费用为：（万元）； 答：安排甲型货厢14节，安排乙型货厢节，，则总运费最少，是万元． 10．某建筑公司承建一段6000米的高速路，计划由甲、乙两个工程队同时施工，12天可完成总工程，已知甲工程队每天比乙工程队少施工100米． 根据以上信息，解答下列问题： (1)求甲、乙两个工程队计划每天各施工多少米？ (2)实际施工时，因为遭遇雨季，甲、乙两个工程队平均每天的施工量比计划都减少了m米，甲乙同时施工，完成总工程时，甲工程队施工总量是乙工程队施工总量的，求甲、乙两个工程队实际每天各施工多少米？ 【答案】(1)甲工程队计划每天施工200米，乙工程队计划每天施工300米 (2)甲工程队实际每天施工100米，乙工程队实际每天施工200米 【分析】本题考查一元一次方程，分式方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系列出方程． （1）设甲工程队计划每天施工米，可得：，解方程即可得甲工程队计划每天施工200米，乙工程队计划每天施工300米； （2）求出甲工程队施工总量为，乙工程队施工总量为；可得，解得，从而可得答案． 【详解】（1）设甲工程队计划每天施工米，则乙工程队计划每天施工米， 根据题意得：， 解得， ， 甲工程队计划每天施工200米，乙工程队计划每天施工300米； （2）完成总工程时，甲工程队施工总量是乙工程队施工总量的， 甲工程队施工总量为，乙工程队施工总量为； 根据题意得， 解得， 经检验，是原方程的解，符合题意， ，， 甲工程队实际每天施工100米，乙工程队实际每天施工200米． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 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