6.2.3 向量的数乘运算 同步练习-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

6.2.3 向量的数乘运算 同步练习题 2025-2026学年第二学期高一数学人教A版必修第二册 【例题精练】 【例1】（1）化简； （2）若，求向量. 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）利用平面向量的线性运算可化简得结果； （2）利用平面向量的线性运算可求出向量. 【详解】（1）； （2）因为，故. 【例2】设，是两个不共线的向量，已知，，. (1)求证：A，B，D三点共线； (2)若，且，求实数的值. 【答案】(1)证明见解析； (2)9. 【分析】（1）由平面向量的线性表示与共线定理，证明、共线，得出A，B，D三点共线； （2）由平面向量的共线定理列方程求出的值. 【详解】（1）由，，， 所以， 所以， 所以、共线，且有公共点B， 所以A，B，D三点共线. （2）由，且， 所以， 即， 所以，所以， 所以实数的值为9. 【例3】如图，在中，．    (1)用，表示，； (2)若点满足，证明：，，三点共线． 【答案】(1)， (2)证明见解析 【分析】（1）利用向量的线性运算和基本定理求解即可. （2）利用三点共线的判定证明即可. 【详解】（1）因为， ， . （2）由， 可得， 所以，，即， 所以，，三点共线. 【A组基础达标】 一、单选题 1．设，是向量，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据向量定义和数乘定义判断可知. 【详解】由数乘定义可知，若，则； 若，表示向量的长度是向量长度的2倍，但，的方向不一定相同， 所以由推不出， 综上，“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 2．已知平行四边形的对角线AC与BD相交于点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平面向量的线性运算求解. 【详解】. 故选：A. 3．在四边形中，，，，则四边形的形状是（    ） A．梯形 B．菱形 C．平行四边形 D．矩形 【答案】A 【分析】利用向量的运算得到，即可得到答案. 【详解】因为，，， 所以. 所以. 所以且， 所以四边形为梯形.. 故选：A 4．在正方形中，为的中点，为的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平面向量的线性运算求得正确答案. 【详解】依题意， . 故选：B 5．如图，在中，，P是上一点，若，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先利用线段比例转化向量，再统一向量基底，最后根据“三点共线时，向量分解的系数和为1”的性质求解即可. 【详解】， ， ， ， ， 是线段上一点， 三点共线， ， 解得. 故选A. 二、多选题 6．（多选）已知，是不共线的向量，下列向量，共线的有（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】BC 【分析】根据向量共线定理，即可结合选项逐一求解. 【详解】对于A, 由于，是不共线的向量，故，不共线，故A错误， 对于B, ,故，共线，B正确， 对于C, ,故，共线，C正确， 对于D, 若存在实数，使得，则，结合，是不共线的向量， 故且，此时无解，故不存在使得，故，不共线，故D错误， 故选：BC 7．如图所示，四边形为梯形，其中，，，分别为，的中点，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据向量的线性运算分别判断各选项. 【详解】A选项：，A选项正确； B选项：，B选项错误； C选项：，C选项正确； D选项：，D选项错误； 故选：AC. 三、填空题 8．已知，若记，则的值为______． 【答案】 【分析】根据向量的线性运算即可求解. 【详解】由得, 故答案为： 9．已知是两个不共线的向量，，若与是共线向量，则实数____． 【答案】 【详解】依题意可知是非零向量， 因为，所以存在实数使得， 即， 而是两个不共线的向量， 所以，解得. 四、解答题 10．如图，在中，点A是BC的中点，点D是OB上靠近点B的一个三等分点，DC和OA交于点E．设． (1)用向量表示； (2)若，求实数的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据平面向量的线性运算求解； （2）根据三点共线列出方程组求解即可． 【详解】（1）因为点A是的中点， 所以，即， 整理得， 可得， 故． （2）由题意可得， 因为三点共线，所以，且， 则， 可得，解得， 故． 【B组能力提升】 1．如图，已知，任意点关于点的对称点为，点关于点的对称点为，则向量（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题图中向量的几何关系可得且，即可得结果. 【详解】由题设及图知：且， 所以. 故选：D 2．（多选）如图，在中，点是的上一点（不包括端点），过点的直线分别交直线，于不同的两点，且，则下列结论正确的是（    ） A． B．若是的中点，则 C．若是的中点，则 D．若，则 【答案】BCD 【分析】根据向量的数乘运算法则和向量的共线定理逐一判断各选项即可. 【详解】解：，A错误； 若是的中点，则， 由三点共线可设，则， ∴， ∴，得，B，C正确； 设，则， ∵三点共线，∴，得，D正确； 故选：BCD. 3．如图，设的重心为，为平面内任意一点，，试用表示向量，则________________. 【答案】 【分析】根据空间向量的线性运算法则，即可得答案. 【详解】延长AM，交BC于点D，因为M为的重心，所以D为BC的中点，且， 则 . 4．在中，是的中点，过点的直线分别交直线，于点，，设，，则的最小值是______. 【答案】2 【分析】结合图形，利用三点共线，推出，再根据基本不等式求解即可. 【详解】如图， 因为点O是BC的中点，则， 且三点共线，则，，， 可得， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为2. 5．点O是梯形对角线的交点，，，设与同向的单位向量为，与同向的单位向量为． （1）用向量和表示和； （2）若点P在梯形所在平面上运动，且，求的最大值和最小值． 【答案】（1），；（2）最大值和最小值分别为和． 【分析】（1）根据、可求解出关于和的表示，利用平行对应的线段比例关系求解出的表示； （2）根据向量的三角不等式求解出的最大值和最小值，注意取等条件说明. 【详解】（1）因为，所以， 所以， 因为，所以， 所以； （2）因为，取等号时三点共线且在中间， 又，取等号时三点共线且在中间， 综上可知，的最大值为，最小值为. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 6.2.3 向量的数乘运算 同步练习题 2025-2026学年第二学期高一数学人教A版必修第二册 【学习目标】 1. 了解向量数乘的概念. 2. 理解并掌握平面向量数乘运算及运算规则.(重点) 3. 理解并掌握向量共线定理及其判定方法.(重点) 4.会用向量的数乘运算解决平行(共线)等平面问题.(难点) 【例题精练】 【例1】（1）化简； （2）若，求向量. 【例2】设，是两个不共线的向量，已知，，. (1)求证：A，B，D三点共线； (2)若，且，求实数的值. 【例3】如图，在中，． (1)用，表示，； (2)若点满足，证明：，，三点共线． 【A组基础达标】 一、单选题 1．设，是向量，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．已知平行四边形的对角线AC与BD相交于点，则（   ） A． B． C． D． 3．在四边形中，，，，则四边形的形状是（    ） A．梯形 B．菱形 C．平行四边形 D．矩形 4．在正方形中，为的中点，为的中点，则（    ） A． B． C． D． 5．如图，在中，，P是上一点，若，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 6．（多选）已知，是不共线的向量，下列向量，共线的有（   ） A．， B．， C．， D．， 7．如图所示，四边形为梯形，其中，，，分别为，的中点，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 8．已知，若记，则的值为______． 9．已知是两个不共线的向量，，若与是共线向量，则实数____． 四、解答题 10．如图，在中，点A是BC的中点，点D是OB上靠近点B的一个三等分点，DC和OA交于点E．设． (1)用向量表示； (2)若，求实数的值． 【B组能力提升】 1．如图，已知，任意点关于点的对称点为，点关于点的对称点为，则向量（    ）    A． B． C． D． 2．（多选）如图，在中，点是的上一点（不包括端点），过点的直线分别交直线，于不同的两点，且，则下列结论正确的是（    ） A． B．若是的中点，则 C．若是的中点，则 D．若，则 3．如图，设的重心为，为平面内任意一点，，试用表示向量，则________________. 4．在中，是的中点，过点的直线分别交直线，于点，，设，，则的最小值是______. 5．点O是梯形对角线的交点，，，设与同向的单位向量为，与同向的单位向量为． （1）用向量和表示和； （2）若点P在梯形所在平面上运动，且，求的最大值和最小值． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $