6.2.3向量的数乘运算同步练习-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

6.2.3向量的数乘运算 一、单选题 1. "实数 " 是 " " 的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 即不充分也不必要条件 2. 在 中，点 为边 的中点. 记 ， ，则 ( ) A. B. C. D. 3. 已知点 在线段 上，且 ，若向量 ，则 ( ) A. 2 B. C. D. 4. 下列结论正确的是( ) A. 若 ，则 或 B. 若 ，则 C. 若 ，则 或 D. 若 ，其中 ，则 5. 已知平面内的两个非零向量 满足 ，则 与 ( ) A. 相等 B. 方向相同 C. 垂直 D. 方向相反 6. 在 中， 为 边上的中线， 为 的中点，则 A. B. C. D. 7. 在 中， ， 为 的中点，若 ， ，则 ( ) A. B. C. D. 8. 如图，在平行四边形 中， ( ) A. B. C. D. 二、多选题 9. 已知 为 边中点，若点 满足 ，则下列说法正确的是( ) A. 点 一定在 内部 B. C. D. 点 在直线 上 10. 已知 中，点 是边 的中点，点 是 所在平面内一点且满足 ，则下列结论正确的有( ) A. 点 是中线BD的中点 B. 点 在中线BD上但不是BD的中点 C. 与 的面积之比为 1 D. 与 的面积之比为 11. 已知向量 不共线，若 ， ，且 ，则关于实数 的值可以是( ) A. B. C. D. 三、填空题 12. 已知 是两个不共线的向量，向量 共线，则实数 _____. 13. 在 中， 是 的中点， ，点 为 的中点，则 _____. 14. 已知向量 不共线， ， ， ，则实数 _____. 四、解答题 15. 求下列未知向量 . (1) ； (2) . 16. 如图所示平行四边形 中，设向量 ， ，又 ， ，用 ， 表示 、 、 . 17. 设 为不共线的非零向量，判断下列各题中的 ， 向量是否共线. (1) ； (2) ； (3) . 6.2.3 向量的数乘运算 标准答案 一、单选题 1. 答案：A 解析：充分性：若，则，充分性成立； 必要性：若，则或，必要性不成立。 故“”是“”的充分不必要条件。 2. 答案：D 解析：为中点，由向量中点公式：。 代入，，得： 。 3. 答案：D 解析：，则，即。 又在线段上，与同向，故，即。 4. 答案：C 解析： A：模长满足，但与不一定共线，故不一定有，错误； B：若，零向量与任意向量平行，但与不一定平行，错误； C：数乘向量的性质，或，正确； D：若，则，但与可任意，错误。 5. 答案：D 解析：，数乘系数，说明与方向相反，且。 6. 答案：A 解析：利用向量数乘和加减法转化： 为中点，； 为中线，； 故。 7. 答案：A 解析：分步化简： 为中点，； ，； 代入得：。 8. 答案：D 解析：平行四边形中，代入化简： （）。 二、多选题 9. 答案：ABD 解析：为中点，故，结合条件化简： ，又，，最终得，即在上且，在内部（D、A正确）。 B：，代入、，化简得结果为，正确； C：，，故C错误。 10. 答案：AC 解析：为中点，故，代入条件得： ，即为中点（A正确，B错误）。 C：为中点，和等底等高，面积之比为1，正确； D：，，故面积之比为错误，应为的反向验证：，但原选项描述为“与的面积之比为”，结合化简：实际，，故比值为，但核心结论A、C为确定正确。 11. 答案：AB 解析：且、不共线，故存在实数，使，即： ，消去得。 A：，符合；B：，符合； C：；D：。 三、填空题 12. 答案： 解析：两向量共线，故存在实数，使。 整理得：，由、不共线，系数对应相等： ，解得，。 13. 答案： 解析：为中点，故； 为中点，，则，故。 14. 答案： 解析：且、不共线，故存在实数，使，即： ，系数对应相等： ，解得。 四、解答题 15. 解： (1) 展开原式：， 合并同类项：， 得：。 (2) 展开原式：， 合并同类项：， 移项得：， 得：。 16. 解：平行四边形中，，为中点（平行四边形对角线中点重合），故。 ① ，， 故。 ② ，， 故。 ③ 求： 。 17. 解：两向量共线的充要条件：存在唯一实数，使（）。 (1) ，，则，存在，故与共线。 (2) ，，则，存在，故与共线。 (3) ，，假设存在使，则： ，即。 因、不共线，故，无解，故与不共线。 学科网（北京）股份有限公司 $