3. 带电粒子在匀强磁场中的运动（讲义）物理人教版选择性必修第二册

本讲义聚焦带电粒子在匀强磁场中的运动这一核心知识点，以洛伦兹力演示仪观察为起点，系统梳理粒子运动规律，包括匀速圆周运动的半径与周期公式，进而拓展到单直线、双直线、圆形边界磁场的解题方法，构建从实验到理论再到应用的完整学习支架。 该资料突出实验与理论结合，通过演示仪观察培养科学探究能力，结合几何知识分析轨道提升科学思维中的模型建构。例题与变式覆盖不同磁场边界问题，课中辅助教师突破教学难点，课后助力学生巩固知识、查漏补缺，强化物理观念与问题解决能力。

第3节　带电粒子在匀强磁场中的运动 目录 学习目标 1 知识点过关 1 方法技巧点拨 2 一．洛伦兹力演示仪 2 二．带电粒子在匀强磁场中的运动 6 三．解题方法及步骤 10 综合巩固 28 1．通过洛伦兹力演示仪，观察带电粒子在匀强磁场中的运动轨迹。 2．掌握带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的半径公式和周期公式及应用。 3．能够应用几何知识分析带电粒子在匀强磁场中的运动。 一．洛伦兹力演示仪 （1）洛伦兹力演示仪：电子枪可以发射电子束。玻璃泡内充有稀薄的气体，在电子束通过时能够显示电子的径迹。励磁线圈能够在两个线圈之间产生匀强磁场，磁场的方向与两个线圈中心的连线平行。 （2）演示仪中电子轨迹特点 没有磁场 施加垂直于纸面的磁场 ①不加磁场时，电子束的径迹是一条直线。 ②加磁场后电子束的径迹是一个圆。 ③磁感应强度或电子的速度改变时，圆的半径发生变化。 二．带电粒子在匀强磁场中的运动 （1）若v∥B，洛伦兹力F＝0，带电粒子以速度v做匀速直线运动。 （2）若v⊥B，带电粒子在垂直于磁感线的平面内以入射速度v做匀速圆周运动。 ①向心力由洛伦兹力提供，即Bqv＝m。 ②轨道半径：r＝。 ③周期：T＝，T与速度v无关。 一．洛伦兹力演示仪 1．如图所示，可用洛伦兹力演示仪观察运动电子在匀强磁场中的偏转。不加磁场时，电子束的运动轨迹如何？加上磁场时，电子束的运动轨迹如何？ 【答案】运动轨迹为一条直线，轨迹为圆。 2．如果保持出射电子的速度不变，增大磁感应强度，轨迹圆半径如何变化？如果保持磁感应强度不变，增大出射电子的速度，轨迹圆半径如何变化？ 【答案】减小，增大。 1．分析带电粒子在磁场中的匀速圆周运动，要紧抓洛伦兹力提供向心力这个条件，即qvB＝m。 2．同一粒子在同一磁场中，由r＝知，r与v成正比；而由T＝知，T与速度、半径大小均无关。 【例题1】（2024·浙江杭州·一模）洛伦兹力演示仪中玻璃泡内充有稀薄气体，在电子枪发射出的电子束通过时能够显示电子的径迹。不加磁场时，电子束径迹是一条直线，如图甲所示；加磁场后，电子束径迹是一个圆，如图乙所示。则所加磁场的方向是（　　） A．水平向右 B．竖直向上 C．垂直纸面向内 D．垂直纸面向外 【答案】C 【详解】由乙图可知，电子顺时针偏转，根据左手定则，可知所加磁场是垂直纸面向内。 故选C。 【变式】（多选）（23-24高二下·广东潮州·期末）如图甲所示，洛伦兹力演示仪可通过改变出射电子的速度或磁感应强度来观察电子做圆周运动的半径r的变化，图乙中通同方向稳恒电流I后，励磁线圈能够在两线圈之间产生与两线圈中心的连线平行的匀强磁场。电子沿如图丙中所示方向进入磁场，在磁场内沿顺时针做圆周运动。则图丙中（　　） A．磁场方向垂直于纸面向外 B．磁场方向垂直于纸面向里 C．励磁线圈中电流I为顺时针方向 D．励磁线圈中电流I为逆时针方向 【答案】BC 【详解】AB．如图可知，电子射出时速度水平向左，所受向心力竖直向上，根据左手定则，可知，磁场方向垂直直面向里。故A错误，B正确； CD．磁场是电流产生的，磁场方向垂直直面向里，根据右手螺旋定则，可以判断出励磁线圈中电流I的方向为顺时针，故C正确，D错误。 故选BC。 【例题2】（多选）（25-26高二上·北京海淀·期末）如图所示是洛伦兹力演示仪示意图，电子枪向左发射电子，可以通过改变加速电压改变电子的初速度，励磁线圈通过改变电流改变所提供的匀强磁场的磁感应强度，关于实验现象，下列分析正确的是（　　） A．只增大电子加速电压，电子圆周运动的周期变小 B．为使电子顺时针做圆周运动，图中励磁线圈应该通以顺时针方向的电流 C．只增大励磁电流，电子运动的周期变小 D．只增大励磁电流，电子运动的半径变小 【答案】BCD 【详解】AC．电子在匀强磁场中做匀速圆周运动的周期公式为，该公式表明周期与电子的速度（或加速电压）无关，只与电子的比荷和磁感应强度B有关。因此，只增大电子加速电压，周期不变；只增大励磁电流，磁感应强度B增大，电子运动的周期变小，故A错误，C正确； B．电子向左运动，要使其做顺时针圆周运动，根据左手定则（电子带负电，四指指向运动的反方向，即向右），洛伦兹力需指向圆心。此时磁场方向应垂直纸面向里。根据安培定则（右手螺旋定则），励磁线圈产生向里的磁场时，线圈中的电流应为顺时针。故B正确； D．电子在磁场中运动的半径公式为，只增大励磁电流，磁感应强度B增大，电子运动的半径将变小，故D正确。 故选BCD。 【变式1】（24-25高二下·天津滨海新·期末）如图所示为洛伦兹力演示仪的结构图。电子枪发射速度与磁场垂直的电子。电子速度的大小和磁场强弱可分别由通过电子枪的加速电压和励磁线圈的电流来调节。某次操作中电子的轨迹由甲图变为乙图，下列可能的操作与判断正确的是（　　） A．仅增大励磁线圈中电流，电子运动的周期变小 B．仅增大电子枪加速电压，电子运动的周期变大 C．仅减小励磁线圈中电流，电子运动的周期变小 D．仅减小电子枪加速电压，电子运动的周期变大 【答案】A 【详解】电子在加速电场中加速，由动能定理有 电子在匀强磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力充当向心力，有 电子做圆周运动的周期，解得。仅增大励磁线圈中电流，磁感应强度B增大，电子做圆周运动的周期将变小，仅减小励磁线圈中电流，电子运动的周期变大，仅增大或减小电子枪加速电压，电子做圆周运动的周期将不变；故选A。 【变式2】（25-26高二上·四川德阳·期末）用洛伦兹力演示仪可以观察电子在磁场中的运动径迹。图甲是洛伦兹力演示仪的实物图，图乙是结构示意图。励磁线圈通电后可以产生垂直纸面的匀强磁场，励磁线圈中的电流越大，产生的磁场越强。图乙中电子经电子枪中的加速电场加速后水平向左垂直磁感线方向射入磁场。下列关于实验现象和分析正确的是（　　） A．仅增大励磁线圈中的电流，电子束径迹的半径变大 B．仅升高电子枪加速电场的电压，电子束径迹的半径变小 C．仅增大励磁线圈中的电流，电子做圆周运动的周期将变小 D．仅升高电子枪加速电场的电压，电子做圆周运动的周期将变大 【答案】C 【详解】A．仅增大励磁线圈中的电流，其产生的磁场增强，磁感应强度增大 由洛伦兹力提供向心力有 得电子束径迹的半径，则电子束径迹的半径变小，故A错误； B．电子在加速电场中加速由动能定理有，仅升高电子枪加速电场的电压，则电子束做匀速圆周运动的速率增大，由，电子束径迹的半径变大，故B错误； C．电子做圆周运动的周期，由A选项分析知仅增大励磁线圈中的电流，增大，电子做圆周运动的周期将变小，故C正确； D．由B选项分析知仅升高电子枪加速电场的电压，则电子束做匀速圆周运动的速率增大, 但电子做圆周运动的周期跟速率无关，故周期不变，故D错误。 故选C。 二．带电粒子在匀强磁场中的运动 1．洛伦兹力总是与粒子的运动方向垂直，只改变粒子速度的方向，不改变粒子速度的大小。 2．沿着与磁场垂直的方向射入磁场的带电粒子，在匀强磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力对粒子起到了向心力的作用。 1．圆心的确定：洛伦兹力始终与电荷运动方向垂直，为粒子做圆周运动提供的向心力，总是指向圆心。 ①已知两点的速度方向：根据轨迹上两点的速度方向画出洛伦兹力的方向，其延长线的交点即为圆心，如图甲。 ②已知进场速度方向和出场点：通过入射点或出射点作速度方向的垂线，再连接入射点和出射点（即圆上的弦），作其连线的中垂线，这两条线的交点就是圆弧轨道的圆心，如图乙。 2．半径的确定和计算：半径的计算一般是利用几何知识（三角函数关系、三角形知识等）求解。 3．圆心角的确定及运动时间的求解 ①粒子速度的偏向角（φ）等于圆心角（α），并等于AB弦与切线的夹角（弦切角θ）的2倍（如图丙），即φ＝α＝2θ＝ωt。 ②粒子在磁场中运动一周的时间为T，当粒子运动的圆弧所对应的圆心角为α时，其运动时间可由下式表示： t＝T或t＝T或t＝（l为弧长）。 【例题1】（23-24高二下·广东广州·开学考试）电荷量为的正离子，自匀强磁场a点如图射出，当它运动到b点时，打中并吸收了原处于静止状态的一个电子（此过程类似完全非弹性碰撞），若忽略电子质量，则接下来离子的运动轨迹是（　　） A B C D 【答案】D 【详解】离子吸收一个电子后，离子带电荷量由变为，由于碰撞的时间极短，故吸收电子后满足动量守恒定律，离子运动的动量保持不变，由洛伦兹力提供向心力 可得轨道半径为 因为离子吸收电子后，电荷量减小且新离子的动量与原来相同，故离子做圆周运动轨道半径增大，离子仍然带正电，故离子圆周运动方向没有发生变化。 故选D。 【变式1】（23-24高二下·山东菏泽·开学考试）质子和 α 粒子在同一匀强磁场中做半径相同的圆周运动，已知 α 粒子质量是质子的4倍，电荷量是质子的2倍。则下列说法正确的是（　　） A．质子和α粒子的速度大小之比为1：2 B．质子和α粒子的周期之比为2：1 C．质子和α粒子的动量之比为1：2 D．质子和α粒子的动能之比为2：1 【答案】C 【详解】A．带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的半径 因为α 粒子质量是质子的4倍，电荷量是质子的2倍，做半径相同的圆周运动，所以质子和α粒子的速度大小之比为2：1，故A错误； B． 带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的周期 因为α 粒子质量是质子的4倍，电荷量是质子的2倍，所以质子和α粒子的周期之比为1：2，故B错误； C．因为粒子的动量 因为α 粒子质量是质子的4倍，电荷量是质子的2倍，所以质子和α粒子的动量之比为1：2，故C正确； D．粒子的动能 因为α 粒子质量是质子的4倍，电荷量是质子的2倍，所以质子和α粒子的动能之比为1：1，故D错误。 故选C。 【变式2】如图所示，虚线左侧的匀强磁场磁感应强度为B1，虚线右侧的匀强磁场磁感应强度为B2，且2B1＝B2，当不计重力的带电粒子从B1磁场区域运动到B2磁场区域时，粒子的（　　） A．速率将加倍 B．轨迹半径将减半 C．周期将加倍 D．做圆周运动的角速度将减半 【答案】B 【详解】A．由于洛伦兹力不做功，则带电粒子的速率不变，故A错误； B．根据牛顿第二定律 解得 又有 2B1＝B2 则 即粒子轨迹半径减半，故B正确； C．根据 又有 则 即周期将减半，故C错误； D．根据 可知 即做圆周运动的角速度将加倍，故D错误。 故选B。 【例题2】（24-25高三上·江苏无锡·期末）氢气气泡室处在匀强磁场中，某快电子从右下方a处进入，在气泡室运动的轨迹如图所示。则在电子运动的过程中（　　） A．角速度越来越大 B．角速度越来越小 C．向心加速度越来越大 D．向心加速度越来越小 【答案】D 【详解】根据洛伦兹力提供向心力 因为轨迹半径减小，则速度减小 得 ，， 因此，角速度不变，向心加速度减小。 故选D。 【变式】（24-25高二下·江西·阶段练习）云室是一种用于显示电离粒子径迹的装置，是早期核辐射探测的重要工具。如图为一云室中带电粒子运动的轨迹照片，已知P1和P2粒子在点的初动量等大反向，速度分别为、，在匀强磁场中做匀速圆周运动的半径分别为且，不计粒子的重力，下列说法正确的是（　　） A．P1粒子比P2粒子带电量多 B．P1粒子比P2粒子带电量少 C．若磁场方向垂直纸面向里，则P1粒子带负电 D．若磁场方向垂直纸面向外，则P2粒子带正电 【答案】B 【详解】AB．根据，得。可知动量相同，电荷量小的轨道半径大，可知，故A错误，B正确； CD．由左手定则，可判断磁场垂直纸面向里，P1粒子带正电，磁场垂直纸面向外，P2粒子带负电，故CD错误。 故选B。 【例题3】（24-25高二上·江西宜春·期末）如图所示，一个质量为m、电荷量为q、不计重力的带电粒子从x轴上的P点沿与x轴成60°的方向射入第一象限的磁场方向垂直纸面向外、磁感应强度大小为B的匀强磁场中，并恰好垂直于y轴的N点（图中未画出）射出第一象限。已知OP=a，则下列说法正确的是（　　） A．粒子速度大小为 B．粒子在磁场中运动的轨道半径为 C．N与O点相距 D．粒子在磁场中运动的时间为 【答案】BC 【详解】AB．粒子运动轨迹如图所示 由牛顿第二定律得 又根据几何关系有 联立解得，，故A错误，B正确； C．根据几何关系，可得N点到O点距离为，故C正确； D．根据几何关系可知圆心角为120°，粒子运动的时间为，故D错误； 故选BC。 【变式1】（多选）（25-26高三上·安徽淮南·期中）如图所示，在Oxy平面的第一象限内存在方向垂直纸面向里，磁感应强度大小为B的匀强磁场。一带电粒子从y轴上的M点射入磁场，速度方向与y轴正方向的夹角。粒子经过磁场偏转后在N点（图中未画出）垂直穿过x轴。已知，粒子电荷量为q，质量为m，重力不计。则（　　） A．粒子带负电荷 B．粒子速度大小为 C．粒子在磁场中运动的轨道半径为 D．N与点相距 【答案】AC 【详解】A．粒子向下偏转，根据左手定则判断可知粒子带负电，故A正确； BC．粒子运动的轨迹如图 由于速度方向与y轴正方向的夹角，根据几何关系可知， 则粒子运动的轨道半径为 带电粒子在磁场中做圆周运动，根据洛伦兹力提供向心力，有 解得，故B错误，C正确； D．N与O点的距离为，故D错误。故选AC。 【变式2】（24-25高二上·陕西西安·阶段练习）如图所示，一个α粒子（氦的原子核，两个核电荷数和四个质量数）从x轴上的P点以速度沿与x轴成θ＝60°的方向射入第一象限内的匀强磁场中，恰好垂直于y轴从A点射出第一象限。一个质子（一个元电荷、一个质量数）从坐标原点O以速度沿与x轴成θ＝60°的方向射入第一象限，也恰好从A点射出第一象限。则等于（　　） A．3∶1 B．1∶3 C．4∶1 D．1∶4 【答案】B 【详解】画出粒子运动轨迹如图 根据几何可知（）粒子运动的半径为 质子（）运动的半径为 根据洛伦兹力提供向心力有 解得 故选B。 三．解题方法及步骤 （一）有界磁场问题——单直线边界磁场 （1）进入型：带电粒子以一定速度v垂直于磁感应强度B进入磁场。 图1 图2 规律要点：①对称性：若带电粒子以与边界成θ角的速度进入磁场，则一定以与边界成θ角的速度离开磁场，如图1所示。 ②完整性：比荷相等的正、负带电粒子以相同速度进入同一匀强磁场，则它们运动的圆弧轨道恰构成一个完整的圆。 （2）射出型：粒子源在磁场中，且可以向纸面内各个方向以相同速率发射同种带电粒子。 规律要点：（以图2中带负电粒子的运动轨迹为例） ①最值相切：当带电粒子的运动轨迹小于圆周时且与边界相切（如图2中a点），则切点为带电粒子不能射出磁场的最值点（或恰能射出磁场的临界点）； ②最值相交：当带电粒子的运动轨迹大于或等于圆周时，直径与边界相交的点（图2中的b点）为带电粒子射出边界的最远点。 【例题1】（2025·四川凉山·三模）如图所示，粒子、的质量分别为、，电量分别为、，它们以相同的动能从点沿方向射入无限长直边界上方的匀强磁场，与磁场边界成角，磁场方向垂直于纸面向里，则、在磁场中运动的时间之比为（　　） A．6∶1 B．4∶1 C．3∶1 D．2∶1 【答案】A 【详解】设两粒子的动能为，根据 可得，两粒子的速度分别为， 根据牛顿第二定律，周期为，所以 两粒子的圆心角分别为， 在磁场中运动时间为，所以 故选A。 【变式1】（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·月考）如图所示，甲、乙两个带等量异种电荷而质量不同的带电粒子，以相同速率经小孔垂直磁场边界进入方向垂直纸面向外的匀强磁场。粒子在磁场中做匀速圆周运动，并垂直磁场边界射出磁场，运动轨迹如图中虚线所示。不计粒子所受重力、空气阻力和粒子间的相互作用，下列说法正确的是（　　） A．甲带负电荷，乙带正电荷 B．甲、乙在磁场中运动的时间相同 C．洛伦兹力对甲、乙均做正功 D．甲的质量大于乙的质量 【答案】D 【详解】A．在点，电荷速度向下，磁场向外，甲受向左的洛伦兹力，乙受到向右的洛伦兹力，根据左手定则，甲带正电荷，乙带负电荷，故A错误； D．粒子在磁场中做匀速圆周运动，根据牛顿第二定律，有，可得 由于、、均相同，甲的轨道半径大于乙的轨道半径，说明甲的质量大于乙的质量，故D正确； B．根据带电粒子做圆周运动，有 又，可得周期，由于，故 由于、均相同，甲的质量大于乙的质量故甲运动时间大于乙运动的时间，故B错误； C．根据左手定则，洛伦兹力与速度垂直，故洛伦兹力永不做功，故C错误。 故选D。 【变式2】（25-26高二上·云南文山·月考）如图所示，虚线MN的上方存在垂直纸面向里的匀强磁场，P、Q是MN上的两点。一带负电的粒子第一次以速度大小为、方向垂直MN从P点进入匀强磁场，从Q点射出磁场；第二次以速度大小为、方向与MN成30°角从P点再次进入匀强磁场，也恰好从Q点射出磁场。不计粒子重力，则等于（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】作出粒子两次运动的轨迹如图所示 设PQ间距为L，根据几何关系，可知粒子第一次进入磁场做匀速圆周运动的半径为 第二次的半径为 根据牛顿第二定律有，解得，可知。 故选B。 【例题2】（23-24高二上·广东佛山·期中）2023年10月11日至14日，第九届中国二次离子质谱会议（SIMS China IX）在沈阳举行。某种质谱仪的磁场偏转部分如图所示，一个带正电的粒子经狭缝S后以速度垂直进入偏转磁场，最后打在荧光屏上的点。已知磁场的磁感应强度大小为，方向垂直纸面向外。已知S、H两点间的距离为，粒子重力忽略不计。 （1）在图中标记圆心位置，并画出粒子在磁场中运动的轨迹； （2）求带电粒子的比荷； （3）求带电粒子在磁场中运动的时间。 【答案】（1）见解析  ；（2）；（3） 【详解】（1）正电粒子垂直边界进入磁场，则垂直打在荧光屏上，圆心在SH中点，如图 （2）根据 粒子半径为 得 （3）带电粒子在磁场中运动的时间为 【变式1】（23-24高三上·甘肃武威·期末）如图所示，S为一离子源，为足够长的荧光屏，S到的距离为左侧区域有范围足够大的匀强磁场，磁场的磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向里。某时刻离子源S一次性沿平行纸面各个方向均匀地发出大量的质量为m、电荷量为q、速率为的正离子（此后不再喷发），不计离子受到的重力，不考虑离子之间的相互作用力。求： （1）离子从发出到打中荧光屏的最短时间和最长时间； （2）离子打中荧光屏的宽度。 【答案】（1），；（2） 【详解】（1）根据 可得离子在磁场中运动的轨迹半径 离子的运动轨迹对应的弦长最短时，离子的运动时间最短，即离子的运动轨迹恰好经过P点，如图甲所示 离子在磁场中做完整的圆周运动的周期 根据几何关系可知，轨迹对应的圆心角为，能打中荧光屏的最短时间 离子速度为时从下侧回旋，刚好和边界相切，离子速度为时从上侧回旋，刚好和上边界相切，离子的运动轨迹如图乙所示，离子打中荧光屏的最长时间 （2）离子打中荧光屏范围的总长度为图丙中的长度，由几何关系可知打中荧光屏的宽度 解得 （二）有界磁场问题——双直线边界磁场 （1）最值相切：当粒子源在一条边界上向纸面内各个方向以相同速率发射同一种粒子时，粒子能从另一边界射出的上、下最远点对应的轨道分别与两直线相切。如图所示。 （2）对称性：过粒子源S的垂线为ab的中垂线。 在图中，ab之间有带电粒子射出，可求得ab＝2＝2，最值相切规律可推广到矩形区域磁场中。 【例题1】（2025·北京朝阳·一模）如图所示，一束电子以垂直于磁感应强度B并垂直于磁场边界的速度v射入宽度为d的匀强磁场中，穿出磁场时速度方向和原来射入方向的夹角为θ＝30°，求： （1）电子运动的轨迹半径r； （2）电子的比荷； （3）电子穿越磁场的时间t。 【答案】（1）2d （2） （3） 【详解】（1）作入射、出射速度的垂线确定轨迹圆心，由几何关系，可得r = 2d （2）设电子质量为m、电量为e，由洛伦兹力提供向心力得，解得 （3）由洛伦兹力提供向心力，运动的周期，得 由，代入周期得 【变式1】（25-26高二上·江苏扬州·期末）如图所示，有宽度为d的匀强磁场，磁感应强度为B．电子以速度v从M点射入，从N点射出，速度方向与水平方向夹角，求电子： （1）运动轨迹的半径r； （2）比荷； （3）穿越磁场的时间t。 【答案】（1） （2） （3） 【详解】（1）粒子轨迹如图所示 电子做圆周运动扫过的圆心角为，几何关系可知 （2）电子在磁场中运动时有，联立解得。 （3）电子穿越磁场的时间，联立解得。 【变式2】（25-26高二上·山东·期中）如图所示，在直角坐标系中，轴右侧存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为，在处放置垂直于轴的足够大的接收屏。位于原点的粒子源可沿平面向轴右侧各个方向发射相同的正电粒子，粒子速度大小相等，轨迹半径为。已知粒子的质量为，电荷量为，粒子打到接收屏上即被吸收，不计空气阻力、粒子重力及粒子间相互作用。求： （1）粒子的速度大小； （2）粒子打到接收屏上区域的长度； （3）能打到接收屏上的粒子在磁场中运动的最短时间。 【答案】（1） （2） （3） 【详解】（1）由洛伦兹力提供向心力，解得 （2）由几何关系，粒子轨迹恰好与相切时，打到接收屏上的位置最高， 粒子沿方向进入磁场时，打到接收屏上的位置最低， 则粒子打到接收屏上区域的长度 （3）由几何关系可知，运动到点的粒子轨迹的圆心角最小， 则相应粒子运动的最短时间，解得。 【例题2】（22-23高二下·全国·课前预习）如图所示，在真空中宽为d的区域内有匀强磁场，磁感应强度为B，质量为m、带电荷量为q、速率为v0的电子从边界CD外侧垂直射入磁场，入射方向与CD边夹角为θ，为了使电子能从磁场的另一边界EF射出，v0满足的条件是什么？（不计重力作用） 【答案】 【详解】当入射速率很小时，电子在磁场中转动一段圆弧后又从同一侧射出，速率越大，轨道半径越大，当轨道与右边界相切时，电子恰好不能从磁场射出，如图所示。 电子恰好射出时，由几何知识可得 r＋rcosθ=d 又 解得 所以为了使电子能从磁场的另一边界EF射出，电子的速度 【变式1】（24-25高二下·广西玉林·期中）真空区域有宽度为l、磁感应强度为B的匀强磁场，磁场方向如图所示，MN、PQ是磁场的边界。质量为m、电荷量为q的带正电粒子（不计重力）沿着与MN夹角θ为30°的方向射入磁场中，刚好没能从PQ边界射出磁场。求粒子： （1）粒子射入磁场的速度大小v；（结果可保留根号） （2）在磁场中运动的时间t。 【答案】（1） （2） 【详解】（1）如图所示 设粒子在磁场中运动半径为r，由几何关系得，解得 由洛伦兹力提供向心力得，解得 （2）粒子做圆周运动轨迹对应的圆心角为，粒子做圆周运动的周期为 则粒子在磁场中运动的时间为 【变式2】（23-24高二上·山东青岛·阶段练习）如图所示，平面内直线abc彼此平行且间距相等，其间存在垂直纸面的匀强磁场。ab间磁场B1向外，大小为B，bc间磁场B2向里，大小未知。t=0时，一质量为m电荷量为q带负电粒子从O点垂直a射出。一段时间后粒子穿过b，速度方向与b夹角为60°。若粒子恰好不能穿出c，且最终从O点下方射出，不计重力。求： （1）磁场B2的大小； （2）整个运动过程所用时间。 【答案】（1）；（2） 【详解】（1）带电粒子运动轨迹如图 设在磁场B1区域内运动半径为R1，平行间距为，由几何关系可得 求得 设在磁场B2，区域内运动半径为R2，由几何关系可得 求得 又由 可求得 （2）带电粒子在磁场B1区域内运动时间 带电粒子在磁场B2区域内运动时间 带电粒子整个运动过程所用时间为 【变式3】（2025·山西临汾·三模）如图所示，凹型虚线为荧光屏，粒子打到荧光屏上会发光。虚线上方存在垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B。P为直线Oa上一点，从P点可以发射具有不同速率的粒子，速度方向都垂直于Oa。粒子的质量均为m，电荷量均为+q，已知Pa = L，ab = cd = L，，不计粒子的重力和粒子间的作用力。求： （1）粒子在磁场中运动的最长时间及对应粒子的速度大小； （2）bc边发光的区域长度。 【答案】（1）， （2） 【详解】（1）由分析可知，运动时间最长的粒子打到了b点，粒子转过了270°角。所以最长时间 粒子在磁场中做圆周运动的周期，所以最长时间 对应粒子运动的轨道半径r = L，由，得 可得对应粒子的速度大小 （2）粒子到达bc边的右边界为粒子轨迹恰好在d点与cd相切，射到bc边的e点。此时粒子的轨迹半径 则，所以bc边发光的区域长度 （三）有界磁场问题——圆形边界磁场 （1）圆形磁场区域规律要点 ①相交于圆心：带电粒子沿指向圆心的方向进入磁场，则出磁场时速度矢量的反向延长线一定过圆心，即两速度矢量相交于圆心；如图4。 ②直径最小：以带电粒子轨迹圆弧对应的弦为直径所作的圆，即为最小圆形磁场区域。如图5所示。 ③点入平出与平入点出：带电粒子从圆周上某点以相同速率沿不同方向射入磁场，若轨道半径R跟圆形磁场区半径r相等，则所有粒子沿与入射点切线平行的方向射出磁场（磁发散），逆向也成立，即平入点出（磁聚焦）。如图6。 （2）环状磁场区域规律要点 ①带电粒子沿（逆）半径方向射入磁场，若能返回同一边界，则一定逆（沿）半径方向射出磁场； ②最值相切：如图7，当带电粒子的运动轨迹与圆相切时，粒子有最大速度vm或磁场有最小磁感应强度B。 【例题1】（25-26高二上·北京·期末）两个质量相同、所带电荷量相等的带电粒子，以不同的速率对准圆心O沿着方向射入圆形匀强磁场区域，其运动轨迹如图所示。不计粒子的重力，下列说法正确的是（　　） A．a粒子带正电，b粒子带负电 B．a粒子在磁场中所受洛伦兹力较大 C．b粒子动能较大 D．b粒子在磁场中运动时间较长 【答案】C 【详解】A．粒子向右运动，根据左手定则，b向上偏转，带正电；a向下偏转，带负电，故A错误； B．粒子在磁场中运动时，由洛伦兹力提供向心力，即，得 故半径较大的b粒子速度大；根据洛伦兹力的计算公式可得F=qvB，两个质量相同、所带电荷量相等，则b粒子在磁场中所受洛伦兹力较大，故B错误； C．根据动能计算公式可得，b粒子速度大、则动能大，故C正确。 D．粒子运动周期，则T相同，磁场中偏转角大的运动的时间也长，由于a粒子的偏转角大，因此运动的时间长，故D错误； 故选C。 【变式1】（25-26高二上·黑龙江佳木斯·期末）如图所示，半径为R的圆形区域内有磁感应强度大小为B的匀强磁场，磁场方向垂直纸面向里。一带电粒子从C点以速度v沿直径CD方向射入磁场，经磁场偏转后从F点射出磁场。粒子在磁场中的运动时间为，如果只把磁感应强度变为原来的3倍，粒子依然以相同的速度从C点射入，粒子在磁场中的运动时间为，忽略粒子的重力，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】根据题意可知磁感应强度为时，带电粒子在磁场中运动有， 解得粒子的运动半径和周期分别为， 粒子在磁场中偏转角为，则运动时间，由几何关系可知 当把磁感应强度变为原来的3倍后，同理可得粒子的运动半径和周期分别为， 由几何关系可知粒子在磁场中的偏转角度为，运动时间，则。 故选C。 【变式2】（25-26高二上·甘肃平凉·月考）图，圆形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，质量为、电荷量为的带电粒子从圆周上的M点沿直径MON方向射入磁场。若粒子射入磁场时的速度大小为，离开磁场时速度方向偏转90°，在磁场中运动时间为；若射入磁场时的速度大小为，离开磁场时速度方向偏转60°，在磁场中运动时间为。不计重力，则和分别为（　　） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【详解】粒子在磁场中运动的周期不变，均为，运动时间 两次在磁场中转过的角度分别为90°和60°，则 设磁场的半径为R，则第一次在磁场中运动的半径r1=R 第二次在磁场中运动的半径为 根据，可得。故选B。 【变式3】（23-24高二下·天津滨海新区·期末）如图，半径为的圆形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，质量为、电荷量为的带电粒子从圆周上的点沿直径方向射入磁场。若射入磁场时的速度大小为，离开磁场时速度方向偏转，不计重力，则下列说法正确的是（　　） A．带电粒子在磁场中运动半径为 B．匀强磁场的磁感应强度大小为 C．带电粒子在磁场中运动时为 D．带电粒子在磁场中运动时为 【答案】B 【详解】AB．如图所示 根据几何关系可得带电粒子在磁场中运动半径为 由洛伦兹力提供向心力可得 解得匀强磁场的磁感应强度大小为 故A错误，B正确； CD．则带电粒子在磁场中运动的时间为，故CD错误。 故选B。 【例题2】（多选）（25-26高二上·四川眉山·期末）如图所示，真空中有两个以O为圆心的同心圆，内圆半径为R，外圆半径为3R，A为外圆上一点。内圆与外圆之间的环状区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B。一粒子源S可持续发射出质量为m，电量为的粒子，不计粒子重力，下列说法正确的是（　　） A．若粒子源放置在O点向各个方向均匀发射粒子，为使粒子均不从外圆射出，粒子的发射速度不得超过 B．若粒子源放置在O点向各个方向均匀发射粒子，为使粒子均不从外圆射出，粒子的发射速度不得超过 C．若粒子源放置A点且沿AO连线发射粒子，为使粒子不进入内圆，粒子的发射速度不得超过 D．若粒子源放置A点且沿AO连线发射粒子，为使粒子不进入内圆，粒子的发射速度不得超过 【答案】AC 【详解】AB．粒子源放在O点时，若粒子均不从外圆射出，速度最大的粒子的运动轨迹会与外圆相切，如图所示 此时有，且，解得的速度为，故A正确，B错误； CD．粒子源在A点时，粒子运动如图 此时有 同理可解得此时的速度为，故C正确，D错误。故选AC。 【变式】（25-26高二上·甘肃·期末）如图所示，两个同心圆，内圆半径为r，在两圆之间的环形区域内存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B。圆心O处有一放射源，放出质量为m、电荷量为q的速度不同的带负电粒子，粒子速度方向都和纸面平行，经检测速度为的粒子恰好未从外圆边界逸出，sin37°=0.6，cos37°=0.8，不计粒子重力及相互间的作用力。求： （1）外圆半径； （2）初速度方向与OA夹角为60°的粒子，经过匀强磁场后第一次到达内圆边界时通过A点，该粒子从O到A点运动的时间。 【答案】（1）2r （2） 【详解】（1）如图所示，速度为的粒子恰好未从外圆边界逸出，则粒子轨迹与磁场外边界相切时速度 设粒子在磁场中的轨迹半径为R1，由洛伦兹力提供向心力有，解得 由几何关系可得，所以外圆半径 （2）设粒子在磁场中的轨迹半径为R2，初速度为v2，如图所示 由几何关系得 粒子在磁场中运动的轨迹的圆心角为240°，由洛伦兹力提供向心力有 由以上两式解得， 则粒子从O到A点运动的时间 1．（24-25高二上·山西太原·期末）如图为洛伦兹力演示仪的示意图。电子枪可以发射方向可调的电子束，玻璃泡内充有稀薄气体，电子束通过时能显示电子的径迹，励磁线圈可产生垂直纸面的磁场。下列选项正确的是（　　） A．加磁场后，电子束的径迹不可能是一条直线 B．加磁场后，若电子束与磁场方向成射出，其径迹是一个圆 C．当径迹为圆时，电子束速度不变，磁感应强度变大，径迹圆的半径变小 D．当径迹为圆时，磁感应强度不变，电子束出射速度变大，径迹圆的半径变小 【答案】C 【详解】AB．加上匀强磁场后，令电子束沿着与磁场垂直的方向射入磁场，洛伦兹力提供向心力，其径迹为圆；令电子束沿着与磁场平行的方向射入磁场，电子不受洛伦兹力作用，其径迹为一条直线；加磁场后，若电子束与磁场方向成射出，其径迹是一个螺旋线，故AB错误； CD．当径迹为圆时，洛伦兹力提供向心力，可得，解得 由此可知，若电子束速度v不变，磁感应强度B变大，则径迹圆的半径r变小；若磁感应强度B不变，电子束出射速度v变大，则径迹圆的半径变大；故C正确，D错误； 故选C。 2．（25-26高二上·四川德阳·期末）用洛伦兹力演示仪可以观察电子在磁场中的运动径迹。图甲是洛伦兹力演示仪的实物图，图乙是结构示意图。励磁线圈通电后可以产生垂直纸面的匀强磁场，励磁线圈中的电流越大，产生的磁场越强。图乙中电子经电子枪中的加速电场加速后水平向左垂直磁感线方向射入磁场。下列关于实验现象和分析正确的是（　　） A．仅增大励磁线圈中的电流，电子束径迹的半径变大 B．仅升高电子枪加速电场的电压，电子束径迹的半径变小 C．仅增大励磁线圈中的电流，电子做圆周运动的周期将变小 D．仅升高电子枪加速电场的电压，电子做圆周运动的周期将变大 【答案】C 【详解】A．仅增大励磁线圈中的电流，其产生的磁场增强，磁感应强度增大 由洛伦兹力提供向心力有 得电子束径迹的半径，则电子束径迹的半径变小，故A错误； B．电子在加速电场中加速由动能定理有，仅升高电子枪加速电场的电压，则电子束做匀速圆周运动的速率增大，由 电子束径迹的半径变大，故B错误； C．电子做圆周运动的周期，由A选项分析知仅增大励磁线圈中的电流，增大，电子做圆周运动的周期将变小，故C正确； D．由B选项分析知仅升高电子枪加速电场的电压，则电子束做匀速圆周运动的速率增大, 但电子做圆周运动的周期跟速率无关，故周期不变，故D错误。 故选C。 3．（25-26高二上·浙江嘉兴·期中）质子（）和氘核（）以相同速度分别从同一位置垂直于边界射入匀强磁场，两条运动轨迹如图中a、b所示，a的半径为，b的半径为。设、和、分别是质子、氘核在磁场中所受的洛伦兹力和运动时间，则（　　） A．质子就是元电荷，轨迹b是质子的运动轨迹 B． C． D． 【答案】B 【详解】A．质子所带的电荷量等于元电荷，但不能说质子就是元电荷，由于洛伦兹力提供圆周运动的向心力，则有 解得 由于粒子的速度、所处磁场的磁感应强度相同，故越大，粒子圆周运动的半径越大，因此轨迹b是氘核的运动轨迹，故A错误； B．根据上述分析可知，故B正确； C．根据题意可知，故C错误； D．粒子在磁场中运动的时间之比为，故D错误。 故选B。 4．（多选）（2024·广西柳州·三模）如图所示，上方存在匀强磁场，同种粒子从点射入匀强磁场中，两粒子的入射方向与磁场边界的夹角分别为和，且均由点射出磁场，则两粒子（　　） A．运动半径之比为 B．初速率之比为 C．运动时间之比为 D．运动时间之比为 【答案】AC 【详解】A．设OP=2d，则由几何关系可知 ， 可知ab的运动半径之比为，选项A正确； B．根据 可得 初速率之比为，选项B错误； CD．根据 ab两粒子转过的角度之比为300°：120°=5:2，则运动时间之比为，选项C正确，D错误。 故选AC。 5．（25-26高二上·安徽·期末）如图所示，水平虚线上方存在垂直纸面向里的匀强磁场区域I，磁感应强度大小为，下方存在垂直纸面向外的匀强磁场区域，磁感应强度大小为。一带正电粒子从虚线上的点垂直向上射入磁场区域，粒子经过两磁场区域偏转，从点出发后第一次和第二次分别到达虚线上的点（图中未画出）。已知，不计带电粒子的重力。带电粒子从点运动至点的过程中，下列说法正确的是（　　） A．点位于点右侧 B．点与点重合 C．粒子在两磁场区域运动的时间之比 D．粒子在两磁场区域运动的路程之比 【答案】D 【详解】AB．根据左手定则可知，粒子在两磁场中均向左偏转，故点在点左侧，故AB错误； CD．带电粒子在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，根据牛顿第二定律，有 解得，其中 则两半径之比，路程之比，时间之比，故C错误，D正确。 故选D。 6．（25-26高二上·陕西渭南·期末）如图甲所示，有界匀强磁场I的宽度与如图乙所示的圆形匀强磁场Ⅱ的半径相等，一粒子从左边界的M点以一定初速度水平向右垂直射入磁场I，从右边界射出时速度方向偏转了角；该粒子以另一初速度从N点沿半径方向垂直射入磁场Ⅱ，射出磁场时速度方向偏转了角。已知磁场I、Ⅱ的磁感应强度相同，不计粒子受到的重力，则与的比值为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】粒子运动轨迹如图所示 粒子在磁场中做匀速圆周运动洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律得，解得 由几何知识得，，则与的比值 故选D。 7．（多选）（2023·全国甲卷·高考真题）光滑刚性绝缘圆筒内存在着平行于轴的匀强磁场，筒上P点开有一个小孔，过P的横截面是以O为圆心的圆，如图所示。一带电粒子从P点沿PO射入，然后与筒壁发生碰撞。假设粒子在每次碰撞前、后瞬间，速度沿圆上碰撞点的切线方向的分量大小不变，沿法线方向的分量大小不变、方向相反；电荷量不变。不计重力。下列说法正确的是（    ） A．粒子的运动轨迹可能通过圆心O B．最少经2次碰撞，粒子就可能从小孔射出 C．射入小孔时粒子的速度越大，在圆内运动时间越短 D．每次碰撞后瞬间，粒子速度方向一定平行于碰撞点与圆心O的连线 【答案】BD 【详解】D．假设粒子带负电，第一次从A点和筒壁发生碰撞如图，为圆周运动的圆心 由几何关系可知为直角，即粒子此时的速度方向为，说明粒子在和筒壁碰撞时速度会反向，由圆的对称性在其它点撞击同理，D正确； A．假设粒子运动过程过O点，则过P点的速度的垂线和OP连线的中垂线是平行的不能交于一点确定圆心，由圆形对称性撞击筒壁以后的A点的速度垂线和AO连线的中垂线依旧平行不能确定圆心，则粒子不可能过O点，A错误； B．由题意可知粒子射出磁场以后的圆心组成的多边形应为以筒壁的内接圆的多边形，最少应为三角形如图所示 即撞击两次，B正确； C．速度越大粒子做圆周运动的半径越大，碰撞次数会可能增多，粒子运动时间不一定减少， C错误。 故选BD。 8．（24-25高二下·吉林辽源·期末）如图所示，矩形ACDE的AC边长为，AE边长为l，矩形区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场。一不计重力的带电粒子从A点沿AC方向进入磁场，初速度大小为，恰好从D点离开磁场。已知带电粒子质量为m，带电量大小为q，则： （1）判断带电粒子的电性；求匀强磁场的磁感应强度的大小； （2）求带电粒子在磁场中运动时间。 【答案】（1）带负电， （2） 【详解】（1）根据左手定则可知，带电粒子带负电。粒子在磁场中的运动轨迹如图所示 根据几何关系可得 解得轨道半径为R＝2l 由洛伦兹力提供向心力可得 解得匀强磁场的磁感应强度的大小为 （2）由几何关系得，圆心角等于60°，所以 9．（23-24高二上·河南·期末）如图所示，长方形区域内存在垂直于纸面向里的匀强磁场，AB边长为l，AD边足够长，一质量为m，电荷量为+q的粒子从BC边上的О点以初速度垂直于BC方向射入磁场，粒子从A点离开磁场，速度方向与直线AB成30°角，不计粒子重力。求： （1）OB的长度； （2）磁场的磁感应强度大小B； （3）粒子在磁场中经历的时间。 【答案】（1）；（2）；（3） 【详解】（1）粒子运动轨迹如图 根据几何关系 解得粒子在磁场中运动的半径为2l，所以 （2）粒子在磁场中做圆周运动有 解得 （3）粒子在磁场中经历的时间 解得 10．（2025·辽宁朝阳·模拟预测）如图所示，平面直角坐标系的第二象限内存在着垂直纸面向外、磁感应强度大小为2B的匀强磁场，第三象限内存在着垂直纸面向里、磁感应强度大小为B的匀强磁场。一带负电的粒子从原点O以某一速度沿与y轴成30°角方向斜向上射入磁场，且在第二象限运动时的轨迹圆的半径为R，已知带电粒子的质量为m，所带电荷量为q，且所受重力能够忽视。 （1）粒子在第二象限和第三象限内运动的轨道半径之比 （2）粒子达成一次周期性运动的时间 （3）粒子从O点入射，第二次经过x轴的位置到坐标原点的距离 【答案】（1） （2） （3） 【详解】（1）设粒子的速度为，由 得粒子在第二象限的轨道半径为 粒子在第三象限的轨道半径为 则 （2）粒子从O点射入第二象限到再次射入第二象限，完成一次周期性运动,如图所示，粒子在磁场中运动时的圆心角为 由 得粒子在第二象限中运动的时间为 粒子在第三象限中运动的时间为 则粒子达成一次周期性运动的时间为 （3）粒子从O点入射，第一次经过x轴的位置到坐标原点的距离为 第二次经过x轴的位置到第一次经过x轴的位置的距离为 则粒子第二次经过x轴的位置到坐标原点的距离为 11．（25-26高二上·黑龙江·期中）如图所示，半径为R的圆形区域内有匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向外。一带电粒子从图中P点以速度v沿直径方向射入磁场，经磁场偏转后从Q点射出磁场。忽略粒子的重力，已知sin37°=0.6，cos37°=0.8。求： （1）粒子的比荷； （2）粒子在磁场中运动时间； （3）若圆形区域半径和圆心位置可变，要实现带电粒子从P点射入，仍从Q点射出，则圆形磁场的最小面积为？ 【答案】（1） （2）t = （3） 【详解】（1）粒子轨迹如图 几何关系可知粒子轨迹圆半径R，根据，联立解得 （2），粒子在磁场中运动的时间为T= （3）当PQ为圆形磁场直径时，圆形磁场面积最小， 几何关系可知PQ长为，则最小面积为。 12．（23-24高二上·吉林·期末）2023年10月26日，中国神舟十七号航天员乘组顺利进入中国空间站，进行为期6个月的驻留并进行大量的科学实验。由于高能宇宙射线对航天员的辐射具有非常大的危害。下图为某种磁防护方案截面图。在航天器内建立同心圆柱体形屏蔽磁场。设同心圆小圆半径为，大圆半径为，轴向足够长。设定区内为匀强磁场，磁场方向与轴平行，设定区外和防护区内无磁场。若一个质量为，带电荷量为的粒子在平行于圆柱横截面的平面内，以速度沿指向圆心方向入射，恰好打不到防护区内部。（不计粒子重力）求： （1）磁感应强度的大小是多少？ （2）粒子在设定区内的运动时间是多少？ 【答案】（1）；（2） 【详解】（1）设带电粒子的轨迹半径为，由几何关系得 解得 根据牛顿第二定律 解得 （2）带电粒子在磁场中的轨迹对应的圆心角为 ， 周期 所求时间为 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 第3节　带电粒子在匀强磁场中的运动 目录 学习目标 1 知识点过关 1 方法技巧点拨 2 一．洛伦兹力演示仪 2 二．带电粒子在匀强磁场中的运动 4 三．解题方法及步骤 7 综合巩固 15 1．通过洛伦兹力演示仪，观察带电粒子在匀强磁场中的运动轨迹。 2．掌握带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的半径公式和周期公式及应用。 3．能够应用几何知识分析带电粒子在匀强磁场中的运动。 一．洛伦兹力演示仪 （1）洛伦兹力演示仪：电子枪可以发射电子束。玻璃泡内充有稀薄的气体，在电子束通过时能够显示电子的径迹。励磁线圈能够在两个线圈之间产生匀强磁场，磁场的方向与两个线圈中心的连线平行。 （2）演示仪中电子轨迹特点 没有磁场 施加垂直于纸面的磁场 ①不加磁场时，电子束的径迹是一条直线。 ②加磁场后电子束的径迹是一个圆。 ③磁感应强度或电子的速度改变时，圆的半径发生变化。 二．带电粒子在匀强磁场中的运动 （1）若v∥B，洛伦兹力F＝0，带电粒子以速度v做匀速直线运动。 （2）若v⊥B，带电粒子在垂直于磁感线的平面内以入射速度v做匀速圆周运动。 ①向心力由洛伦兹力提供，即Bqv＝m。 ②轨道半径：r＝。 ③周期：T＝，T与速度v无关。 一．洛伦兹力演示仪 1．如图所示，可用洛伦兹力演示仪观察运动电子在匀强磁场中的偏转。不加磁场时，电子束的运动轨迹如何？加上磁场时，电子束的运动轨迹如何？ 【答案】运动轨迹为一条直线，轨迹为圆。 2．如果保持出射电子的速度不变，增大磁感应强度，轨迹圆半径如何变化？如果保持磁感应强度不变，增大出射电子的速度，轨迹圆半径如何变化？ 【答案】减小，增大。 1．分析带电粒子在磁场中的匀速圆周运动，要紧抓洛伦兹力提供向心力这个条件，即qvB＝m。 2．同一粒子在同一磁场中，由r＝知，r与v成正比；而由T＝知，T与速度、半径大小均无关。 【例题1】（2024·浙江杭州·一模）洛伦兹力演示仪中玻璃泡内充有稀薄气体，在电子枪发射出的电子束通过时能够显示电子的径迹。不加磁场时，电子束径迹是一条直线，如图甲所示；加磁场后，电子束径迹是一个圆，如图乙所示。则所加磁场的方向是（　　） A．水平向右 B．竖直向上 C．垂直纸面向内 D．垂直纸面向外 【变式】（多选）（23-24高二下·广东潮州·期末）如图甲所示，洛伦兹力演示仪可通过改变出射电子的速度或磁感应强度来观察电子做圆周运动的半径r的变化，图乙中通同方向稳恒电流I后，励磁线圈能够在两线圈之间产生与两线圈中心的连线平行的匀强磁场。电子沿如图丙中所示方向进入磁场，在磁场内沿顺时针做圆周运动。则图丙中（　　） A．磁场方向垂直于纸面向外 B．磁场方向垂直于纸面向里 C．励磁线圈中电流I为顺时针方向 D．励磁线圈中电流I为逆时针方向 【例题2】（多选）（25-26高二上·北京海淀·期末）如图所示是洛伦兹力演示仪示意图，电子枪向左发射电子，可以通过改变加速电压改变电子的初速度，励磁线圈通过改变电流改变所提供的匀强磁场的磁感应强度，关于实验现象，下列分析正确的是（　　） A．只增大电子加速电压，电子圆周运动的周期变小 B．为使电子顺时针做圆周运动，图中励磁线圈应该通以顺时针方向的电流 C．只增大励磁电流，电子运动的周期变小 D．只增大励磁电流，电子运动的半径变小 【变式1】（24-25高二下·天津滨海新·期末）如图所示为洛伦兹力演示仪的结构图。电子枪发射速度与磁场垂直的电子。电子速度的大小和磁场强弱可分别由通过电子枪的加速电压和励磁线圈的电流来调节。某次操作中电子的轨迹由甲图变为乙图，下列可能的操作与判断正确的是（　　） A．仅增大励磁线圈中电流，电子运动的周期变小 B．仅增大电子枪加速电压，电子运动的周期变大 C．仅减小励磁线圈中电流，电子运动的周期变小 D．仅减小电子枪加速电压，电子运动的周期变大 【变式2】（25-26高二上·四川德阳·期末）用洛伦兹力演示仪可以观察电子在磁场中的运动径迹。图甲是洛伦兹力演示仪的实物图，图乙是结构示意图。励磁线圈通电后可以产生垂直纸面的匀强磁场，励磁线圈中的电流越大，产生的磁场越强。图乙中电子经电子枪中的加速电场加速后水平向左垂直磁感线方向射入磁场。下列关于实验现象和分析正确的是（　　） A．仅增大励磁线圈中的电流，电子束径迹的半径变大 B．仅升高电子枪加速电场的电压，电子束径迹的半径变小 C．仅增大励磁线圈中的电流，电子做圆周运动的周期将变小 D．仅升高电子枪加速电场的电压，电子做圆周运动的周期将变大 二．带电粒子在匀强磁场中的运动 1．洛伦兹力总是与粒子的运动方向垂直，只改变粒子速度的方向，不改变粒子速度的大小。 2．沿着与磁场垂直的方向射入磁场的带电粒子，在匀强磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力对粒子起到了向心力的作用。 1．圆心的确定：洛伦兹力始终与电荷运动方向垂直，为粒子做圆周运动提供的向心力，总是指向圆心。 ①已知两点的速度方向：根据轨迹上两点的速度方向画出洛伦兹力的方向，其延长线的交点即为圆心，如图甲。 ②已知进场速度方向和出场点：通过入射点或出射点作速度方向的垂线，再连接入射点和出射点（即圆上的弦），作其连线的中垂线，这两条线的交点就是圆弧轨道的圆心，如图乙。 2．半径的确定和计算：半径的计算一般是利用几何知识（三角函数关系、三角形知识等）求解。 3．圆心角的确定及运动时间的求解 ①粒子速度的偏向角（φ）等于圆心角（α），并等于AB弦与切线的夹角（弦切角θ）的2倍（如图丙），即φ＝α＝2θ＝ωt。 ②粒子在磁场中运动一周的时间为T，当粒子运动的圆弧所对应的圆心角为α时，其运动时间可由下式表示： t＝T或t＝T或t＝（l为弧长）。 【例题1】（23-24高二下·广东广州·开学考试）电荷量为的正离子，自匀强磁场a点如图射出，当它运动到b点时，打中并吸收了原处于静止状态的一个电子（此过程类似完全非弹性碰撞），若忽略电子质量，则接下来离子的运动轨迹是（　　） A B C D 【变式1】（23-24高二下·山东菏泽·开学考试）质子和 α 粒子在同一匀强磁场中做半径相同的圆周运动，已知 α 粒子质量是质子的4倍，电荷量是质子的2倍。则下列说法正确的是（　　） A．质子和α粒子的速度大小之比为1：2 B．质子和α粒子的周期之比为2：1 C．质子和α粒子的动量之比为1：2 D．质子和α粒子的动能之比为2：1 【变式2】如图所示，虚线左侧的匀强磁场磁感应强度为B1，虚线右侧的匀强磁场磁感应强度为B2，且2B1＝B2，当不计重力的带电粒子从B1磁场区域运动到B2磁场区域时，粒子的（　　） A．速率将加倍 B．轨迹半径将减半 C．周期将加倍 D．做圆周运动的角速度将减半 【例题2】（24-25高三上·江苏无锡·期末）氢气气泡室处在匀强磁场中，某快电子从右下方a处进入，在气泡室运动的轨迹如图所示。则在电子运动的过程中（　　） A．角速度越来越大 B．角速度越来越小 C．向心加速度越来越大 D．向心加速度越来越小 【变式】（24-25高二下·江西·阶段练习）云室是一种用于显示电离粒子径迹的装置，是早期核辐射探测的重要工具。如图为一云室中带电粒子运动的轨迹照片，已知P1和P2粒子在点的初动量等大反向，速度分别为、，在匀强磁场中做匀速圆周运动的半径分别为且，不计粒子的重力，下列说法正确的是（　　） A．P1粒子比P2粒子带电量多 B．P1粒子比P2粒子带电量少 C．若磁场方向垂直纸面向里，则P1粒子带负电 D．若磁场方向垂直纸面向外，则P2粒子带正电 【例题3】（24-25高二上·江西宜春·期末）如图所示，一个质量为m、电荷量为q、不计重力的带电粒子从x轴上的P点沿与x轴成60°的方向射入第一象限的磁场方向垂直纸面向外、磁感应强度大小为B的匀强磁场中，并恰好垂直于y轴的N点（图中未画出）射出第一象限。已知OP=a，则下列说法正确的是（　　） A．粒子速度大小为 B．粒子在磁场中运动的轨道半径为 C．N与O点相距 D．粒子在磁场中运动的时间为 【变式1】（多选）（25-26高三上·安徽淮南·期中）如图所示，在Oxy平面的第一象限内存在方向垂直纸面向里，磁感应强度大小为B的匀强磁场。一带电粒子从y轴上的M点射入磁场，速度方向与y轴正方向的夹角。粒子经过磁场偏转后在N点（图中未画出）垂直穿过x轴。已知，粒子电荷量为q，质量为m，重力不计。则（　　） A．粒子带负电荷 B．粒子速度大小为 C．粒子在磁场中运动的轨道半径为 D．N与点相距 【变式2】（24-25高二上·陕西西安·阶段练习）如图所示，一个α粒子（氦的原子核，两个核电荷数和四个质量数）从x轴上的P点以速度沿与x轴成θ＝60°的方向射入第一象限内的匀强磁场中，恰好垂直于y轴从A点射出第一象限。一个质子（一个元电荷、一个质量数）从坐标原点O以速度沿与x轴成θ＝60°的方向射入第一象限，也恰好从A点射出第一象限。则等于（　　） A．3∶1 B．1∶3 C．4∶1 D．1∶4 三．解题方法及步骤 （一）有界磁场问题——单直线边界磁场 （1）进入型：带电粒子以一定速度v垂直于磁感应强度B进入磁场。 图1 图2 规律要点：①对称性：若带电粒子以与边界成θ角的速度进入磁场，则一定以与边界成θ角的速度离开磁场，如图1所示。 ②完整性：比荷相等的正、负带电粒子以相同速度进入同一匀强磁场，则它们运动的圆弧轨道恰构成一个完整的圆。 （2）射出型：粒子源在磁场中，且可以向纸面内各个方向以相同速率发射同种带电粒子。 规律要点：（以图2中带负电粒子的运动轨迹为例） ①最值相切：当带电粒子的运动轨迹小于圆周时且与边界相切（如图2中a点），则切点为带电粒子不能射出磁场的最值点（或恰能射出磁场的临界点）； ②最值相交：当带电粒子的运动轨迹大于或等于圆周时，直径与边界相交的点（图2中的b点）为带电粒子射出边界的最远点。 【例题1】（2025·四川凉山·三模）如图所示，粒子、的质量分别为、，电量分别为、，它们以相同的动能从点沿方向射入无限长直边界上方的匀强磁场，与磁场边界成角，磁场方向垂直于纸面向里，则、在磁场中运动的时间之比为（　　） A．6∶1 B．4∶1 C．3∶1 D．2∶1 【变式1】（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·月考）如图所示，甲、乙两个带等量异种电荷而质量不同的带电粒子，以相同速率经小孔垂直磁场边界进入方向垂直纸面向外的匀强磁场。粒子在磁场中做匀速圆周运动，并垂直磁场边界射出磁场，运动轨迹如图中虚线所示。不计粒子所受重力、空气阻力和粒子间的相互作用，下列说法正确的是（　　） A．甲带负电荷，乙带正电荷 B．甲、乙在磁场中运动的时间相同 C．洛伦兹力对甲、乙均做正功 D．甲的质量大于乙的质量 【变式2】（25-26高二上·云南文山·月考）如图所示，虚线MN的上方存在垂直纸面向里的匀强磁场，P、Q是MN上的两点。一带负电的粒子第一次以速度大小为、方向垂直MN从P点进入匀强磁场，从Q点射出磁场；第二次以速度大小为、方向与MN成30°角从P点再次进入匀强磁场，也恰好从Q点射出磁场。不计粒子重力，则等于（　　） A． B． C． D． 【例题2】（23-24高二上·广东佛山·期中）2023年10月11日至14日，第九届中国二次离子质谱会议（SIMS China IX）在沈阳举行。某种质谱仪的磁场偏转部分如图所示，一个带正电的粒子经狭缝S后以速度垂直进入偏转磁场，最后打在荧光屏上的点。已知磁场的磁感应强度大小为，方向垂直纸面向外。已知S、H两点间的距离为，粒子重力忽略不计。 （1）在图中标记圆心位置，并画出粒子在磁场中运动的轨迹； （2）求带电粒子的比荷； （3）求带电粒子在磁场中运动的时间。 【变式1】（23-24高三上·甘肃武威·期末）如图所示，S为一离子源，为足够长的荧光屏，S到的距离为左侧区域有范围足够大的匀强磁场，磁场的磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向里。某时刻离子源S一次性沿平行纸面各个方向均匀地发出大量的质量为m、电荷量为q、速率为的正离子（此后不再喷发），不计离子受到的重力，不考虑离子之间的相互作用力。求： （1）离子从发出到打中荧光屏的最短时间和最长时间； （2）离子打中荧光屏的宽度。 （二）有界磁场问题——双直线边界磁场 （1）最值相切：当粒子源在一条边界上向纸面内各个方向以相同速率发射同一种粒子时，粒子能从另一边界射出的上、下最远点对应的轨道分别与两直线相切。如图所示。 （2）对称性：过粒子源S的垂线为ab的中垂线。 在图中，ab之间有带电粒子射出，可求得ab＝2＝2，最值相切规律可推广到矩形区域磁场中。 【例题1】（2025·北京朝阳·一模）如图所示，一束电子以垂直于磁感应强度B并垂直于磁场边界的速度v射入宽度为d的匀强磁场中，穿出磁场时速度方向和原来射入方向的夹角为θ＝30°，求： （1）电子运动的轨迹半径r； （2）电子的比荷； （3）电子穿越磁场的时间t。 【变式1】（25-26高二上·江苏扬州·期末）如图所示，有宽度为d的匀强磁场，磁感应强度为B．电子以速度v从M点射入，从N点射出，速度方向与水平方向夹角，求电子： （1）运动轨迹的半径r； （2）比荷； （3）穿越磁场的时间t。 【变式2】（25-26高二上·山东·期中）如图所示，在直角坐标系中，轴右侧存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为，在处放置垂直于轴的足够大的接收屏。位于原点的粒子源可沿平面向轴右侧各个方向发射相同的正电粒子，粒子速度大小相等，轨迹半径为。已知粒子的质量为，电荷量为，粒子打到接收屏上即被吸收，不计空气阻力、粒子重力及粒子间相互作用。求： （1）粒子的速度大小； （2）粒子打到接收屏上区域的长度； （3）能打到接收屏上的粒子在磁场中运动的最短时间。 【例题2】（22-23高二下·全国·课前预习）如图所示，在真空中宽为d的区域内有匀强磁场，磁感应强度为B，质量为m、带电荷量为q、速率为v0的电子从边界CD外侧垂直射入磁场，入射方向与CD边夹角为θ，为了使电子能从磁场的另一边界EF射出，v0满足的条件是什么？（不计重力作用） 【变式1】（24-25高二下·广西玉林·期中）真空区域有宽度为l、磁感应强度为B的匀强磁场，磁场方向如图所示，MN、PQ是磁场的边界。质量为m、电荷量为q的带正电粒子（不计重力）沿着与MN夹角θ为30°的方向射入磁场中，刚好没能从PQ边界射出磁场。求粒子： （1）粒子射入磁场的速度大小v；（结果可保留根号） （2）在磁场中运动的时间t。 【变式2】（23-24高二上·山东青岛·阶段练习）如图所示，平面内直线abc彼此平行且间距相等，其间存在垂直纸面的匀强磁场。ab间磁场B1向外，大小为B，bc间磁场B2向里，大小未知。t=0时，一质量为m电荷量为q带负电粒子从O点垂直a射出。一段时间后粒子穿过b，速度方向与b夹角为60°。若粒子恰好不能穿出c，且最终从O点下方射出，不计重力。求： （1）磁场B2的大小； （2）整个运动过程所用时间。 【变式3】（2025·山西临汾·三模）如图所示，凹型虚线为荧光屏，粒子打到荧光屏上会发光。虚线上方存在垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B。P为直线Oa上一点，从P点可以发射具有不同速率的粒子，速度方向都垂直于Oa。粒子的质量均为m，电荷量均为+q，已知Pa = L，ab = cd = L，，不计粒子的重力和粒子间的作用力。求： （1）粒子在磁场中运动的最长时间及对应粒子的速度大小； （2）bc边发光的区域长度。 （三）有界磁场问题——圆形边界磁场 （1）圆形磁场区域规律要点 ①相交于圆心：带电粒子沿指向圆心的方向进入磁场，则出磁场时速度矢量的反向延长线一定过圆心，即两速度矢量相交于圆心；如图4。 ②直径最小：以带电粒子轨迹圆弧对应的弦为直径所作的圆，即为最小圆形磁场区域。如图5所示。 ③点入平出与平入点出：带电粒子从圆周上某点以相同速率沿不同方向射入磁场，若轨道半径R跟圆形磁场区半径r相等，则所有粒子沿与入射点切线平行的方向射出磁场（磁发散），逆向也成立，即平入点出（磁聚焦）。如图6。 （2）环状磁场区域规律要点 ①带电粒子沿（逆）半径方向射入磁场，若能返回同一边界，则一定逆（沿）半径方向射出磁场； ②最值相切：如图7，当带电粒子的运动轨迹与圆相切时，粒子有最大速度vm或磁场有最小磁感应强度B。 【例题1】（25-26高二上·北京·期末）两个质量相同、所带电荷量相等的带电粒子，以不同的速率对准圆心O沿着方向射入圆形匀强磁场区域，其运动轨迹如图所示。不计粒子的重力，下列说法正确的是（　　） A．a粒子带正电，b粒子带负电 B．a粒子在磁场中所受洛伦兹力较大 C．b粒子动能较大 D．b粒子在磁场中运动时间较长 【变式1】（25-26高二上·黑龙江佳木斯·期末）如图所示，半径为R的圆形区域内有磁感应强度大小为B的匀强磁场，磁场方向垂直纸面向里。一带电粒子从C点以速度v沿直径CD方向射入磁场，经磁场偏转后从F点射出磁场。粒子在磁场中的运动时间为，如果只把磁感应强度变为原来的3倍，粒子依然以相同的速度从C点射入，粒子在磁场中的运动时间为，忽略粒子的重力，则（　　） A． B． C． D． 【变式2】（25-26高二上·甘肃平凉·月考）图，圆形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，质量为、电荷量为的带电粒子从圆周上的M点沿直径MON方向射入磁场。若粒子射入磁场时的速度大小为，离开磁场时速度方向偏转90°，在磁场中运动时间为；若射入磁场时的速度大小为，离开磁场时速度方向偏转60°，在磁场中运动时间为。不计重力，则和分别为（　　） A．， B．， C．， D．， 【变式3】（23-24高二下·天津滨海新区·期末）如图，半径为的圆形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，质量为、电荷量为的带电粒子从圆周上的点沿直径方向射入磁场。若射入磁场时的速度大小为，离开磁场时速度方向偏转，不计重力，则下列说法正确的是（　　） A．带电粒子在磁场中运动半径为 B．匀强磁场的磁感应强度大小为 C．带电粒子在磁场中运动时为 D．带电粒子在磁场中运动时为 【例题2】（多选）（25-26高二上·四川眉山·期末）如图所示，真空中有两个以O为圆心的同心圆，内圆半径为R，外圆半径为3R，A为外圆上一点。内圆与外圆之间的环状区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B。一粒子源S可持续发射出质量为m，电量为的粒子，不计粒子重力，下列说法正确的是（　　） A．若粒子源放置在O点向各个方向均匀发射粒子，为使粒子均不从外圆射出，粒子的发射速度不得超过 B．若粒子源放置在O点向各个方向均匀发射粒子，为使粒子均不从外圆射出，粒子的发射速度不得超过 C．若粒子源放置A点且沿AO连线发射粒子，为使粒子不进入内圆，粒子的发射速度不得超过 D．若粒子源放置A点且沿AO连线发射粒子，为使粒子不进入内圆，粒子的发射速度不得超过 【变式】（25-26高二上·甘肃·期末）如图所示，两个同心圆，内圆半径为r，在两圆之间的环形区域内存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B。圆心O处有一放射源，放出质量为m、电荷量为q的速度不同的带负电粒子，粒子速度方向都和纸面平行，经检测速度为的粒子恰好未从外圆边界逸出，sin37°=0.6，cos37°=0.8，不计粒子重力及相互间的作用力。求： (1)外圆半径； (2)初速度方向与OA夹角为60°的粒子，经过匀强磁场后第一次到达内圆边界时通过A点，该粒子从O到A点运动的时间。 1．（24-25高二上·山西太原·期末）如图为洛伦兹力演示仪的示意图。电子枪可以发射方向可调的电子束，玻璃泡内充有稀薄气体，电子束通过时能显示电子的径迹，励磁线圈可产生垂直纸面的磁场。下列选项正确的是（　　） A．加磁场后，电子束的径迹不可能是一条直线 B．加磁场后，若电子束与磁场方向成射出，其径迹是一个圆 C．当径迹为圆时，电子束速度不变，磁感应强度变大，径迹圆的半径变小 D．当径迹为圆时，磁感应强度不变，电子束出射速度变大，径迹圆的半径变小 2．（25-26高二上·四川德阳·期末）用洛伦兹力演示仪可以观察电子在磁场中的运动径迹。图甲是洛伦兹力演示仪的实物图，图乙是结构示意图。励磁线圈通电后可以产生垂直纸面的匀强磁场，励磁线圈中的电流越大，产生的磁场越强。图乙中电子经电子枪中的加速电场加速后水平向左垂直磁感线方向射入磁场。下列关于实验现象和分析正确的是（　　） A．仅增大励磁线圈中的电流，电子束径迹的半径变大 B．仅升高电子枪加速电场的电压，电子束径迹的半径变小 C．仅增大励磁线圈中的电流，电子做圆周运动的周期将变小 D．仅升高电子枪加速电场的电压，电子做圆周运动的周期将变大 3．（25-26高二上·浙江嘉兴·期中）质子（）和氘核（）以相同速度分别从同一位置垂直于边界射入匀强磁场，两条运动轨迹如图中a、b所示，a的半径为，b的半径为。设、和、分别是质子、氘核在磁场中所受的洛伦兹力和运动时间，则（　　） A．质子就是元电荷，轨迹b是质子的运动轨迹 B． C． D． 4．（多选）（2024·广西柳州·三模）如图所示，上方存在匀强磁场，同种粒子从点射入匀强磁场中，两粒子的入射方向与磁场边界的夹角分别为和，且均由点射出磁场，则两粒子（　　） A．运动半径之比为 B．初速率之比为 C．运动时间之比为 D．运动时间之比为 5．（25-26高二上·安徽·期末）如图所示，水平虚线上方存在垂直纸面向里的匀强磁场区域I，磁感应强度大小为，下方存在垂直纸面向外的匀强磁场区域，磁感应强度大小为。一带正电粒子从虚线上的点垂直向上射入磁场区域，粒子经过两磁场区域偏转，从点出发后第一次和第二次分别到达虚线上的点（图中未画出）。已知，不计带电粒子的重力。带电粒子从点运动至点的过程中，下列说法正确的是（　　） A．点位于点右侧 B．点与点重合 C．粒子在两磁场区域运动的时间之比 D．粒子在两磁场区域运动的路程之比 6．（25-26高二上·陕西渭南·期末）如图甲所示，有界匀强磁场I的宽度与如图乙所示的圆形匀强磁场Ⅱ的半径相等，一粒子从左边界的M点以一定初速度水平向右垂直射入磁场I，从右边界射出时速度方向偏转了角；该粒子以另一初速度从N点沿半径方向垂直射入磁场Ⅱ，射出磁场时速度方向偏转了角。已知磁场I、Ⅱ的磁感应强度相同，不计粒子受到的重力，则与的比值为（　　） A． B． C． D． 7．（多选）（2023·全国甲卷·高考真题）光滑刚性绝缘圆筒内存在着平行于轴的匀强磁场，筒上P点开有一个小孔，过P的横截面是以O为圆心的圆，如图所示。一带电粒子从P点沿PO射入，然后与筒壁发生碰撞。假设粒子在每次碰撞前、后瞬间，速度沿圆上碰撞点的切线方向的分量大小不变，沿法线方向的分量大小不变、方向相反；电荷量不变。不计重力。下列说法正确的是（    ） A．粒子的运动轨迹可能通过圆心O B．最少经2次碰撞，粒子就可能从小孔射出 C．射入小孔时粒子的速度越大，在圆内运动时间越短 D．每次碰撞后瞬间，粒子速度方向一定平行于碰撞点与圆心O的连线 8．（24-25高二下·吉林辽源·期末）如图所示，矩形ACDE的AC边长为，AE边长为l，矩形区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场。一不计重力的带电粒子从A点沿AC方向进入磁场，初速度大小为，恰好从D点离开磁场。已知带电粒子质量为m，带电量大小为q，则： （1）判断带电粒子的电性；求匀强磁场的磁感应强度的大小； （2）求带电粒子在磁场中运动时间。 9．（23-24高二上·河南·期末）如图所示，长方形区域内存在垂直于纸面向里的匀强磁场，AB边长为l，AD边足够长，一质量为m，电荷量为+q的粒子从BC边上的О点以初速度垂直于BC方向射入磁场，粒子从A点离开磁场，速度方向与直线AB成30°角，不计粒子重力。求： （1）OB的长度； （2）磁场的磁感应强度大小B； （3）粒子在磁场中经历的时间。 10．（2025·辽宁朝阳·模拟预测）如图所示，平面直角坐标系的第二象限内存在着垂直纸面向外、磁感应强度大小为2B的匀强磁场，第三象限内存在着垂直纸面向里、磁感应强度大小为B的匀强磁场。一带负电的粒子从原点O以某一速度沿与y轴成30°角方向斜向上射入磁场，且在第二象限运动时的轨迹圆的半径为R，已知带电粒子的质量为m，所带电荷量为q，且所受重力能够忽视。 （1）粒子在第二象限和第三象限内运动的轨道半径之比 （2）粒子达成一次周期性运动的时间 （3）粒子从O点入射，第二次经过x轴的位置到坐标原点的距离 11．（25-26高二上·黑龙江·期中）如图所示，半径为R的圆形区域内有匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向外。一带电粒子从图中P点以速度v沿直径方向射入磁场，经磁场偏转后从Q点射出磁场。忽略粒子的重力，已知sin37°=0.6，cos37°=0.8。求： （1）粒子的比荷； （2）粒子在磁场中运动时间； （3）若圆形区域半径和圆心位置可变，要实现带电粒子从P点射入，仍从Q点射出，则圆形磁场的最小面积为？ 12．（23-24高二上·吉林·期末）2023年10月26日，中国神舟十七号航天员乘组顺利进入中国空间站，进行为期6个月的驻留并进行大量的科学实验。由于高能宇宙射线对航天员的辐射具有非常大的危害。下图为某种磁防护方案截面图。在航天器内建立同心圆柱体形屏蔽磁场。设同心圆小圆半径为，大圆半径为，轴向足够长。设定区内为匀强磁场，磁场方向与轴平行，设定区外和防护区内无磁场。若一个质量为，带电荷量为的粒子在平行于圆柱横截面的平面内，以速度沿指向圆心方向入射，恰好打不到防护区内部。（不计粒子重力）求： （1）磁感应强度的大小是多少？ （2）粒子在设定区内的运动时间是多少？ / 学科网（北京）股份有限公司 $