1.3.1 专题：磁场“旋转圆”模型 讲义-2025-2026学年高二下学期物理人教版选择性必修第二册

本高中物理讲义核心聚焦磁场“旋转圆”模型，系统阐述速度大小一定、方向不同的带电粒子在匀强磁场中运动时轨迹半径相同、圆心共圆的适用条件，通过旋转圆法界定临界条件，搭建洛伦兹力与匀速圆周运动知识的学习支架。 该资料通过16道多样化情境练习题（如圆形、扇形磁场等），强化科学思维中的模型建构与科学推理，例题解析结合几何关系培养分析能力。课中辅助教师演示临界问题分析，课后助力学生通过练习巩固模型应用，查漏补缺。

磁场“旋转圆”模型 1．适用条件 (1)速度大小一定，方向不同 粒子源发射速度大小一定、方向不同的带电粒子进入匀强磁场时，它们在磁场中做匀速圆周运动的半径相同，若射入初速度为v0，则圆周运动半径为R＝，如图所示。 (2)轨迹圆圆心共圆 带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心在以入射点为圆心、半径R＝的圆上。 2．界定方法 将半径为R＝的圆以带电粒子入射点为圆心进行旋转，从而探索粒子的临界条件，这种方法称为“旋转圆法”。 1．如图，在平面直角坐标系xOy的第一象限内，存在垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B。大量质量为m、电荷量为q的相同粒子从y轴上的点，以相同的速率在纸面内沿不同方向先后射入磁场，设入射速度方向与y轴正方向的夹角为（）。当时，粒子垂直x轴离开磁场。不计粒子的重力。则（　　） A．粒子一定带负电 B．粒子入射速率为 C．当时，粒子也垂直x轴离开磁场 D．粒子离开磁场的位置到O点的最大距离为 2．如图，在平面直角坐标系的第一象限内，存在垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B。大量质量为m、电量为q的相同粒子从y轴上的点，以相同的速率在纸面内沿不同方向先后射入磁场，设入射速度方向与y轴正方向的夹角为（）。当时，粒子垂直x轴离开磁场。不计粒子的重力。则下列结论正确的是（　　） A．粒子一定带负电 B．当时，粒子也垂直x轴离开磁场 C．粒子做圆周运动的半径为 D．粒子以不同的角进入磁场，做圆周运动的半径也不相同 3．如下图所示，电子质量为m，电荷量为e，从坐标原点O处沿xOy平面射入第一象限，射入时速度方向不同，速度大小均为，现在某一区域加一方向向外且垂直于xOy平面的匀强磁场，磁感应强度为，若这些电子穿过磁场后都能垂直射到荧光屏MN上，荧光屏与y轴平行，下列说法正确的是（　　） A．所加磁场范围的最小面积是 B．所加磁场范围的最小面积是 C．所加磁场范围的最小面积是 D．所加磁场范围的最小面积是 4．如图所示，圆心为O、半径为R的圆形区域内有垂直纸面向外的匀强磁场。从圆周上的P点在纸面内沿不同方向射入各种速率的同种带正电粒子，其中某一速率为的入射粒子，经时间t从Q点离开磁场，离开磁场时速度方向与PO连线垂直，OP与PQ的夹角。不考虑粒子所受重力及粒子间的相互作用。下列说法正确的是（　　） A．速率为的粒子在磁场中运动的轨迹半径为 B．所有速率为的入射粒子，离开磁场时的速度方向都是平行的 C．从Q点离开磁场的粒子的速率最小值为 D．速率为的粒子在磁场中运动的最长时间为t 5．如图，半径为的圆形区域内有一垂直于纸面向里、磁感应强度大小为的匀强磁场，磁场边界上的点有一同种粒子源，粒子的比荷为，粒子以相等速率沿不同方向进入磁场，其中沿直径方向飞入的粒子在有界磁场中偏转射出，粒子的重力以及粒子之间的相互作用力均可忽略，由此可以判断（　　） A．所有粒子离开磁场时的速度方向相互平行 B．粒子从点进入磁场时的速率为 C．粒子从点进入磁场时的速率为 D．若粒子从射出点沿射出速度反方向以相等速率射入，粒子将从磁场圆上与点对称的点射出 6．如图所示，在光滑绝缘的水平面上，有一半径为R的圆形区域，以圆形区域的圆心为坐标原点，在水平面内建立直角坐标系xOy。在圆形区域内（含边界）加上竖直向下的匀强磁场，在x>R的区域内加上沿x轴正方向的匀强电场。现从坐标为（0，-R）的P点向xOy平面内的圆形区域同时沿不同方向发射一群质量为m、电荷量为-q（q>0）、速度大小为v0的带电微粒（视为质点，忽略微粒之间的相互作用）。已知磁感应强度的大小，则从微粒发射到完全离开圆形区域的过程中，下列说法正确的是（　　） A．微粒最终离开圆形区域时的速度方向均相同 B．微粒最终离开圆形区域时的速度大小均相同 C．微粒在磁场中运动的总路程均为 D．微粒在磁场中运动的总时间均为 7．如图，虚线所示的半径为的圆形区域内存在一垂直于纸面的匀强磁场，磁感应强度为为磁场边界上的一点。大量相同的质量为带电量为的带电粒子某时以相同的速率经过点，在纸面内沿不同方向射入磁场。不计重力及带电粒子之间的相互作用。以下说法正确的是（　　） A．若粒子射入速率为，且这些粒子中沿半径方向进入磁场的粒子离开磁场时的速度偏向角为，则 B．若粒子射入速率为，且这些粒子中最后离开磁场的粒子离开磁场时的速度偏向角为，则 C．若粒子射入速率为，且这些粒子在磁场边界的出射点分布在六分之一圆周上，则 D．若粒子射入速率为，且这些粒子离开磁场时的速度方向均垂直于连线，则 8．如图所示，半径为R的圆形区域内有垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B，一束质量均为m、带电荷量均为的粒子从P点沿竖直方向以不同速率射入磁场，P点与圆心的连线与竖直方向之间的夹角为，不计粒子重力及粒子间的相互作用，下列说法正确的是（　　） A．该束粒子射出磁场时速度方向与过出射点的磁场区域圆半径的夹角为 B．若粒子恰好从C点射出，则其在磁场中运动的时间为 C．若粒子恰好从A点射出，则其在磁场中运动的速度为 D．从B点射出的粒子比从A点射出的粒子在磁场中运动的时间短 9．如图所示，M、N是真空中宽为d的匀强磁场的左右边界（边界上有磁场），磁感应强度为B，方向垂直纸面向里。大量比荷为k的正离子从M边界上的P点以速率进入磁场，速度方向分布在的范围内，不计离子重力，也不计离子间的相互作用，磁场区域足够长。则（　　） A．从边界N飞出磁场的离子，飞出点与P点距离小于或等于 B．从边界N飞出磁场的离子中，在磁场中运动的最短时间为 C．磁场中有离子经过的区域的面积为 D．若将M、N边界间的距离变为3d，其它条件不变，则从P点沿不同方向射入磁场的离子有可能从M边界上同一点射出磁场 10．如图所示，空间中存在范围足够大，磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向里的匀强磁场，MN为足够长的离子接收板，到MN垂直距离为h的O点有一离子源，连续不断地向平面内各方向均匀放出质量为m、带电量为+q的粒子，粒子速率均为，则（　　） A．接收板接收到离子的区域长度为2h B．能被接收的离子占总离子的 C．被接收的粒子运动最短时间为 D．被接收的粒子运动最长时间为 11．如图所示，半径为R的半圆形区域内存在垂直于纸面的匀强磁场，磁感应强度大小为B，磁场边界上P点有一个单位时间内能发射n个相同带电粒子的粒子源，粒子源发射的粒子以相同的速率v在纸面内沿不同方向射入磁场，且各个方向的粒子数均匀，为竖直放置的挡板，O为圆心，P、O两点的连线与挡板垂直。已知沿方向入射的粒子刚好能到达M点。不计粒子重力及粒子之间的相互作用，则（　　） A．粒子源发射的粒子的比荷为 B．粒子到达挡板的最短时间为 C．从磁场边界上射出的粒子，其速度方向一定竖直向上 D．单位时间内打在挡板上的粒子数为 12．如图所示，扇形区域AOC内有垂直纸面向里的匀强磁场，边界OA上有一粒子源S。某一时刻，从S平行于纸面向各个方向发射出大量同种带电粒子（不计粒子的重力及粒子间的相互作用），所有粒子的初速度大小相同，经过一段时间有部分粒子从边界OC上的不同位置射出磁场已知∠AOC=60°，且从边界OC射出的粒子在磁场中运动的最长时间等于（T为这种粒子在该磁场中运动的周期），则以下说法正确的是（　　） A．这种粒子可能带负电 B．从边界OC射出的粒子在磁场中运动的时间可能为T C．从边界OC射出的粒子在磁场中运动的时间可能为 D．从O点射出的粒子过O点时速度方向不可能沿CO所在直线 13．如图所示，平面的第一象限存在一圆形匀强磁场区域，与轴、轴分别相切于、点，其圆心为，半径为，磁感应强度大小为、方向垂直平面向里。一带电粒子从点沿方向以速度射入磁场区域，该粒子恰好经过点。现使大量此种带电粒子从点沿不同方向以速度射入磁场区域，其速度方向均处于与方向夹角不超过的范围内，且均在平面内。不计粒子的重力及粒子间的相互作用力，求： (1)该带电粒子的比荷； (2)粒子在第一象限内运动的最长时间（结果可保留根号）； (3)圆形磁场区域内，有粒子经过的区域的面积。 14．如图所示，在平面直角坐标系Oxy的第一象限内，存在垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B。大量质量为m、电量为+q的相同粒子从y轴上的点，以相同的速率在纸面内沿不同方向先后射入磁场，设入射速度方向与y轴正方向的夹角为（）。时，粒子垂直x轴离开磁场，不计粒子的重力。求： (1)粒子入射速率； (2)粒子离开磁场的位置到O点的最大距离； (3)粒子在磁场中运动的最长时间。 15．如图，在平面直角坐标系的第一象限内，存在垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B。大量质量为、电量为的相同粒子从轴上的（0，）点，以相同的速率在纸面内沿不同方向先后射入磁场，设入射速度方向与轴正方向的夹角为（）。当时，粒子垂直轴离开磁场。不计粒子的重力。求： (1)粒子入射的速率为多大？ (2)粒子离开磁场的位置到点的最大距离为多少？ 16．如图所示，质量、电荷量的带正电粒子从坐标原点O处沿平面射入第一象限内，且在与x方向夹角大于等于30°的范围内，粒子射入时的速度方向不同，但大小均为。现在某一区域内加一垂直于平面的匀强磁场，磁感应强度大小为，若这些粒子穿过磁场后都能射到与y轴平行的荧光屏MN上，并且当把荧光屏MN向左移动时，屏上光斑长度和位置保持不变。求：（） (1)粒子从y轴穿过的范围； (2)荧光屏上光斑的长度； (3)从最高点和最低点打到荧光屏MN上的粒子运动的时间差； 2 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D C B BC AD BD ACD ABC ACD B 题号 11 12 答案 ACD BD 1．D 【详解】ABC．当时，粒子垂直轴离开磁场，运动轨迹如图所示 根据左手定则可知，粒子带正电，由几何关系可得，粒子运动的半径为 由洛伦兹力提供向心力有 解得粒子入射速率 若，粒子运动轨迹如图 根据几何关系可知 可知，点不是圆心，即粒子离开磁场时与轴不垂直，故ABC错误； D．粒子离开磁场距离点距离最远时，粒子在磁场中的轨迹为半圆，如图 根据几何关系可知 解得 故D正确。 故选D。 2．C 【详解】A．根据题意可知粒子垂直轴离开磁场，根据左手定则可知粒子带正电，A错误； BC．当时，粒子垂直轴离开磁场，运动轨迹如图 粒子运动的半径为 当时，根据 说明坐标原点O不是圆心，则粒子不可能垂直x轴离开磁场，B错误，C正确； D．洛伦兹力提供向心力 解得粒子的半径为 从公式可以看出粒子以不同的角进入磁场，做圆周运动的半径都相同，D错误。 故选C。 3．B 【详解】设粒子在磁场中运动的半径为R，由牛顿第二定律得 即 电子从y轴穿过的范围为 初速度沿x轴正方向的电子沿OA运动到荧光屏MN上的P点；初速度沿y轴正方向的电子沿OC运动到荧光屏MN上的Q点；由几何知识可得 取与x轴正方向成角的方向射入的电子为研究对象，其射出磁场的点为，因其射出后能垂直打到屏MN上，故有 即 又因为电子沿x轴正方向射入时，射出的边界点为A点；沿y轴正方向射入时，射出的边界点为C点，故所加最小面积的场的边界是以为圆心、R为半径的圆的一部分，如图中实线圆所围区域，所以磁场范围的最小面积为 故B正确。 故选B。 4．BC 【详解】A．作出运动轨迹如图所示 根据几何关系可知，为等边三角形，则速率为的粒子在磁场中运动的轨迹半径为R，故A错误； B．由于粒子圆周运动的轨道半径等于磁场圆的半径，可知，粒子入射点P、磁场圆的圆心O、粒子出射点与粒子圆周运动的圆心四点连线构成的四边形为菱形，根据几何关系可知，所有速率为的入射粒子，离开磁场时的速度方向都是平行的，离开磁场时的速度方向均垂直于OP，故B正确； C．粒子做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，则有， 解得， 对速率为的粒子，结合上述有 由于速率越小，轨道半径越小，从P点射出的粒子圆周运动的最小半径 由于 解得，故C正确； D．结合上述，速率为的粒子的轨道半径 该粒子在磁场区域的轨迹为一条劣弧，对应劣弧的弦越长，运动的时间越长，可知，在磁场中运动轨迹对应的最长的弦为磁场圆的直径，根据几何关系可知，此时圆弧对应的圆心角为，则速率为的粒子在磁场中运动的最长时间 粒子速率为的入射粒子，经时间t从Q点离开磁场，结合上述有 解得，故D错误。 故选BC。 5．AD 【详解】BC．沿直径方向飞入的粒子在有界磁场中偏转射出，如图所示 根据几何关系可得 由洛伦兹力提供向心力得 联立解得粒子从点进入磁场时的速率为 故BC错误； A．由于粒子圆周运动的轨道半径为R，则任意方向进入磁场的粒子其入射点、出射点、轨迹圆心与磁场圆心四点构成棱形，则出射点速度方向始终垂直于入射点位置磁场圆的半径，如图所示 可知所有粒子离开磁场时的速度方向相互平行，故A正确； D．若粒子从射出点沿射出速度反方向以相等速率射入，根据左手定则可知，粒子所受洛伦兹力方向与射出前洛伦兹力方向相反，粒子偏转方向与射出前相反，此后轨迹入射点、出射点、轨迹圆心与磁场圆心四点构成棱形，根据磁汇聚可知，粒子将从磁场圆上与P点对称的点射出，故D正确。 故选AD。 6．BD 【详解】A．带电微粒在电场、磁场中的运动，轨迹如图所示 微粒在磁场中做匀速圆周运动，有 解得 由于微粒的轨迹圆半径和原磁场半径相同，故微粒在xOy平面内将先后经历磁发散、进入电场做匀变速直线运动、返回磁场的磁聚焦三个过程，最终从xOy平面内的Q点离开，但是速度方向不相同，故错误； B．根据运动的对称性可知，微粒最终离开圆形区域时的速度大小均相同，故B正确； CD．微粒在磁场中均经历了半个周期，运动的总路程均为πR，在磁场中运动的总时间均为 故C错误，D正确。 故选BD。 7．ACD 【详解】A．若粒子射入速率为，且这些粒子中沿半径方向进入磁场的粒子离开磁场时的速度偏向角为，如图所示 则由几何关系知粒子偏转半径为 由公式 带入已知物理量可得带电粒子的速率为 故A正确； B．若粒子射入速率为，由 化简可得 粒子偏转时间为 粒子速度相同的情况下，可知偏转时间与偏转角度或者弧长有关，若粒子射入速率为，且这些粒子中最后离开磁场的粒子弧长一定是最长的，则由几何关系可知，粒子只有从P点对应的直径的另一端射出，由题意速度偏向角为，粒子偏转半径为 由公式 带入已知物理量可得带电粒子的速率为 故B错误； C．若粒子射入速率为，且这些粒子在磁场边界的出射点分布在六分之一圆周上，可知粒子的轨迹圆与磁场圆相交的最大弦长等于粒子的运动轨迹直径，则由几何关系可知，粒子偏转半径为 由公式 带入已知物理量可得带电粒子的速率为 故C正确； D．若粒子射入速率为，且这些粒子离开磁场时的速度方向均垂直于连线，则粒子的偏转半径与圆形磁场半径相等，即 由公式 带入已知物理量可得带电粒子的速率为 故D正确。 故选ACD。 8．ABC 【详解】A．根据题意可知，粒子从P点射入磁场时，速度方向与过入射点的圆形磁场半径之间的夹角为，如图所示 由几何知识可知，该束粒子射出磁场时速度方向与过出射点的磁场区域圆半径的夹角也为，A正确； B．若粒子恰好从C点射出，粒子的运动轨迹如图甲所示，根据几何关系可知，粒子在磁场中转过的圆心角为，运动的时间为 B正确； C．若粒子恰好从A点射出，粒子的运动轨迹如图乙所示 根据几何关系可知，轨迹半径 由洛伦兹力提供向心力可知 解得 C正确； D．从B点射出的粒子在磁场中转过的圆心角大于从A点射出的粒子在磁场中转过的圆心角，根据 可知从B点射出的粒子比从A点射出的粒子在磁场中运动的时间长，D错误。 故选ABC。 9．ACD 【详解】A．根据洛伦兹力提供向心力 解得正离子运动半径为 根据几何关系可知水平向右入射的离子在N边界的切点与竖直向下入射的离子在N边界的飞出点离Р点的距离均为，故飞出点与P点距离小于或等于，故A正确； B．轨迹弦长为d的离子是从N边界飞出的离子中弦长最短，离子运动轨迹圆心角最小，为，在磁场中运动的最短时间为 故B错误； C．有离子经过的磁场区域为半径为d的两个四分之一圆和边长为d的正方形组合而成，磁场中有离子经过的区域的面积为 故C正确； D．若将M、N边界间的距离变为3d，则所有离子都从M边界上射出磁场，且初速度方向从竖直向下到竖直向上变化的过程中，根据旋转圆知识知，离子从M边界上射出的位置从P点依次向上增大到距离为2d的位置再依次向下减小到P点，故从P点沿不同方向射入磁场的离子有可能从M边界上同一点射出磁场，故D正确。 故选ACD。 10．B 【详解】A．根据洛伦兹力提供向心力有 解得 如图所示 接收板接收到离子的区域长度为，故A错误； B．当粒子的运动轨迹与接收板两侧相切时，粒子恰好能被接收板接收，此时粒子在O点的速度方向间的夹角等于180°，所以能被接收的离子占总离子的，故B正确； C．当粒子打到A点时运动时间最短，则被接收的粒子运动最短时间为，故C错误； D．粒子在右侧轨迹与MN相切时运动时间最长，则被接收的粒子运动最长时间为，故D错误。 故选B。 11．ACD 【详解】A．由于沿方向入射的粒子刚好能到达点，由几何关系可知粒子在磁场中做圆周运动的半径 由 可得粒子的比荷为 A正确； B．分析可知，当粒子在磁场中做圆周运动的圆弧所对应的弦为PO时，粒子到达挡板时所用的时间最短（粒子在磁场中运动时间最短时，对应的弧长最短），由几何关系可知，此时粒子在磁场中运动轨迹所对的圆心角为60°，故粒子到达挡板时所用的最短时间为 B错误； C．由于粒子在磁场中做圆周运动的轨迹半径刚好与磁场区域的半径相等，由几何关系可知，只要是从磁场边界上射出的粒子，其速度方向一定竖直向上，C正确； D．由于从粒子源射出的粒子全部进入磁场区域，故粒子源发射的粒子只能在粒子源右方180°范围内运动，由于沿PO方向入射的粒子刚好到达挡板MN，故粒子初速度方向在PO下方的粒子均不能射出磁场区域，所以单位时间内打在挡板上的粒子数为，D正确。 故选ACD。 12．BD 【详解】A．由运动情况结合左手定则分析可知，粒子一定带正电，A错误； BC．粒子在磁场中做匀速圆周运动，运动轨迹如下图所示 粒子在磁场中出射点和入射点的连线即为轨迹的弦，初速度大小相同，所以轨迹半径R相同设OS=d，当出射点D与S点的连线垂直于OA时，DS弦最长，轨迹的圆心角最大，粒子运动的时间最长。可得轨迹半径为 当出射点E与S点的连线垂直于OC时，弦ES最短，所对圆心角最小，粒子在磁场中运动的时间最短。则 由几何知识 θ=60° 最短时间 所以，粒子在磁场中运动的时间范围为 故B正确，C错误； D．由数学知识可知，如果从O点射出粒子的速度沿OC所在直线，则圆心在OS中垂线上，过O点做OC的垂线于OS中垂线的交点为圆心，可知轨迹半径，以此画圆可得圆的范围大于磁场的范围，故相矛盾，所以从O点射出的粒子过O点时速度方向不可能沿CO所在直线，故D正确。 故选BD。 13．(1) (2) (3) 【详解】（1）沿方向入射的粒子恰好经过点，则轨迹圆半径 由牛顿第二定律得 解得比荷 （2）由图可知，粒子从点沿偏右射入在磁场中运动时间最长，在第一象限没有磁场区域运动的位移也最大，故总时间最长。 磁场中运动为三分之一周长， 第一象限没有磁场区域运动的位移 时间 粒子在第一象限内运动的最长时间为 （3）由可知，所有粒子从磁场区域离开时，速度方向均垂直于轴，如图所示 设磁场区域上有粒子离开的最低点为，最高点为，根据几何关系可知，点与圆心重合，右侧轨迹经过点，则有 有粒子经过区域为虚线阴影部分，灰色阴影部分面积相等，则有粒子经过磁场区域的面积 14．(1) (2) (3) 【详解】（1）当时，粒子垂直x轴离开磁场，运动轨迹如图所示 根据几何关系可知，粒子做圆周运动的半径为 洛伦兹力提供向心力 所以粒子入射速率 （2）粒子离开磁场距离O点最远时，设位置为M，粒子在磁场中的轨迹为半圆，此时PM是圆的一条直径，如图所示 根据几何关系可知 解得 （3）当粒子速度方向沿y轴正方向运动时，在磁场中运动时间最长，此时由几何关系知，粒子圆弧轨迹对应的圆心角为 其中周期 所以最长时间为 15．(1) (2) 【详解】（1）当时，粒子垂直x轴离开磁场，运动轨迹如图所示 根据几何关系可知，粒子做圆周运动的半径为 由洛伦兹力提供向心力得 联立解得粒子入射的速率为 （2）粒子离开磁场距离O点最远时，设位置为M，粒子在磁场中的轨迹为半圆，此时PM是圆的一条直径，如图所示 根据几何关系可知 解得粒子离开磁场的位置到点的最大距离为 16．(1) (2)0.09m (3) 【详解】（1）设粒子在磁场中运动的半径为，由牛顿第二定律得 解得 当把荧光屏向左移动时，屏上光斑长度和位置保持不变，说明粒子出射方向平行，且都沿方向，所加磁场为圆形，半径为 如图所示，初速度沿轴正方向的粒子直接过轴。速度方向与轴正方向成角的粒子，转过的圆心角，则 粒子从轴穿过的范围为，即。 （2）初速度沿轴正方向的粒子，，由（1）知 根据几何关系有 则荧光屏上光斑的长度。 （3）粒子运动的周期 从B点和C点射出的粒子在磁场中运动的时间差 出磁场后，打到荧光屏上的时间差 从最高点和最低点打到荧光屏上的粒子运动的时间差。 $