专题02 幂的运算14大题型专训（专项训练）数学新教材冀教版七年级下册

专题02 幂的运算14大题型专训（原卷版） 目录 A题型建模・专项突破 题型一、同底数幂的乘法运算 1 题型二、幂的乘方运算 2 题型三、积的乘方运算 3 题型四、同底数幂的除法运算 5 题型五、零指数幂、负整数指数幂与整数指数幂 6 题型六、幂的混合运算 8 题型七、幂运算的化简求值 9 题型八、利用幂的运算比较大小 11 题型九、幂的运算中用x表示y类型题 11 题型十、幂的有规律计算题（压轴） 11 题型十一、幂的新定义运算（压轴） 11 题型十二、幂的新定义运算（劳格数） 11 题型十三、幂的新定义运算（抽象函数类） 11 题型十四、幂的运算实际应用 11 B综合攻坚・能力跃升 题型一、同底数幂的乘法运算 1．若，则下列结论：①，②，③，④，正确的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．已知，，则__________．（用含x，y的代数式表示） 3．（1）试说明能被5整除； （2）若能被8整除，试说明一定也能被8整除． 题型二、幂的乘方运算 4．已知，则的值为（　　） A． B． C． D． 5．若，则的值是________ 6．若（且，m，n是正有理数），则．利用该结论解决下面的问题： (1)如果，求x的值； (2)如果，求x的值． 题型三、积的乘方运算 7．已知n是正整数，且，则 ___________． 8．计算：______． 9．下面是小刘同学完成的一道作业题，请你参考小刘的方法解答下列问题： 作业 计算：． 解：原式． (1)计算：； (2)若，请求出的值． 题型四、同底数幂的除法运算 10．已知，则的值为________． 11．计算下列各题： (1)； (2)； (3)； (4)． 12．【课内回顾】如果一个幂的结果等于，有如下三种情况： ①底数不为零的零指数幂，例如； ②底数为的整数指数幂，例如； ③底数为的偶数指数幂，例如． 【知识运用】 (1)若，则_________； (2)若，求的值； (3)若，求的值． 题型五、零指数幂、负整数指数幂与整数指数幂 13．计算：． 14．（1）若，求的值； （2）若，求的值． 15．计算：． 题型六、幂的混合运算 16．计算： (1) (2)； (3)先化简，再求值：，其中． 17．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 18．计算： (1)； (2)； (3)． (4)； 题型七、幂运算的化简求值 19．化简：． 20．化简： (1)； (2) (3)． 21．先化简，再求值：，其中，． 题型八、利用幂的运算比较大小 22．已知，，，．先计算、、、的值，再比较它们的大小，并用“”连接起来． 23．比较下列各题中幂的大小： (1)比较，，，这4个数的大小关系； (2)已知，，，比较a、b、c的大小关系； (3)已知，，比较P，Q的大小关系； 24．幂的运算逆向思维可以得到；；等，在解题过程中，根据算式的结构特征，逆向运用幂的运算法则，常可以化繁为简，化难为易，使问题巧妙获解． (1)若，求的值． (2)比较大小：若，，，则，，的大小关系是什么? 题型九、幂的运算中用x表示y类型题 25．（1）已知，m，n为正整数，用含a，b的代数式表示； （2）已知n为正整数，且，求 的值； （3）若 用含x的代数式表示y． 26．若（，，都是正整数），则，利用上面结论解决问题： (1)如果，求的值； (2)如果，求x的值； (3)若，，用含的代数式表示． 27．若（且是正整数），则．利用上面结论解决下面的问题： (1)若，求x的值． (2)若，，用含x的代数式表示y． 题型十、幂的有规律计算题（压轴） 28．探究与应用 ●探究规律：计算下列各式 （1）；（2）；（3）都是正整数） 描述你发现的规律：__________________________________． ●提出猜想：根据你发现的规律，如果m，n都是正整数，那么_____________． ●验证规律： 请补充上述证明过程． ●应用规律：计算下列各式 （1）；     （2）；     （3） 29．阅读下列各式：，，…… (1)发现规律：______，______． (2)应用规律： ①填空：______，______； ②计算：． (3)若，请求出n的值． 30．（1）填空：、、… （2）探索（1）中式子的规律，请写出第n个等式：　 　； （3）直接计算：　 　； （4）利用（2）中发现的规律计算：． 题型十一、幂的新定义运算（压轴） 31．定义：如果（，为正数），那么我们把叫做的D数，记作．例如：因为，所以；因为，所以，D数有如下运算性质： ，其中．下列说法错误的是（    ） A． B． C． D． 32．定义：两正数，之间的一种运算，记作；若，则．例如：因为，所以． （1）根据上述规定，填空：＝_______； （2）小明在研究这种运算时发现一个现象：． 小明给出了如下的证明：设，则根据定义，得，即所以，即，所以． 请你尝试运用这种方法解决问题：已知a、m、n均为正数，填空：_______ 33．规定两数a，b之间的一种运算，记作，如果，则．我们叫为“雅对”． 例如：因为，所以．我们还可以利用“雅对”定义说明等式成立．证明如下： 设，，则，， 故， 则 ， 即． (1)根据上述规定，填空： ； ； ． (2)计算 ，并说明理由． (3)利用“雅对”定义证明：，对于任意自然数n都成立． 题型十二、幂的新定义运算（劳格数） 34．阅读以下材料： 苏格兰数学家纳皮尔（，1550﹣1617年）是对数的创始人．他发明对数是在指数书写方式之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉（，1707﹣1783年）才发现指数与对数之间的联系．对数的定义：一般地，若（且），那么x叫做以a为底N的对数，记作，比如指数式可以转化为对数式，对数式可以转化为指数式． 我们根据对数的定义可得到对数的一个性质： （，，，），理由如下： 设，，则，， ∴，由对数的定义得． 又∵， ∴． 根据上述材料，结合你所学的知识，解答下列问题： (1)填空：①________，②________； (2)求证：（，，，）； (3)拓展运用：计算． 35．阅读材料． 对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔（1550-1617年），纳皮尔发明对数是在指数书写方式之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉（1707-1783年）才发现指数与对数之间的联系． 对数的定义：一般地，若（，），那么x叫做a为底N的对数，记作，比如指数式可以转化为对数式，对数式可以转化为指数式．我们根据对数的定义可得到对数的一个性质为（，，，）．理由如下： 设，，则，， ∴， 由对数的定义，得， 又∵， ∴． 请你仔细阅读上面的材料之后，解答下列问题． (1)将指数式转化为对数式为 ． (2)计算： ． (3)求证：（，，，）． (4)直接写出的值． 36．阅读材料： 定义：如果，那么称a为n的劳格数，记为， 例如：，那么称2是100的劳格数，记为． 填空：根据劳格数的定义，在算式中，______相当于定义中的n，所以______； 直接写出______； 探究：某数学研究小组探究劳格数有哪些运算性质，以下是他们的探究过程 若a、b、m、n均为正数，且，， 根据劳格数的定义：，______， ∵ ∴，这个算式中，______相当于定义中的a，______相当于定义中的n， ∴______，即， 请你把数学研究小组探究过程补全 拓展：根据上面的推理，你认为：______． 题型十三、幂的新定义运算（抽象函数类） 37．规定新运算：（其中m、n为正整数）．例如， 若，则． (1)若， ①求的值； ②当，求n的值； (2)若，求的值． 38．我们知道，同底数幂的乘法法则为（其中，m，n为正整数）．类似的，我们规定关于任意正整数m，n的一种新运算：（其中m，n为正整数）． 例如，若，则．． (1)若， ①填空：_______； ②当，求的值． (2)若，化简：． 39．我们知道，同底数幂的乘法法则为（其中为正整数），类似地，我们规定关于任意正整数m、n的一种新运算： (其中m、n为正整数)；例如，若，则． (1)若，则：① ； ② 当 ； (2)若，化简：． 题型十四、幂的运算实际应用 40．数学活动：进位制的认识和探究 【阅读材料】如图，第十四届国际数学教育大会（简称ICME-14）于2021年在上海举办．会徽以中国文化中的“洛书”与“河图”为原本，展现了我国古代数学的文化魅力，其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数3745，记为．八进制数是以8作为进位基数的数字系统，有0~7共8个基本数字．八进制数3745换算成十进制数是．（规定当时，）． 【任务探究】在现实生活中，我们用得最多的是十进制记数法，满十进一．但在计算机领域中，用到的更多的是二进制记数法．一个二进制数的各数位上的数字为0和1，满二进一．在计算机中输入一个十进制数89，经过计算机处理将其转换成一个二进制数： ． （1）任务1：将十进制数45转换成二进制数是__________．将二进制数转换成十进制数是__________． （2）任务2：二进制数的数位有两个数字0和1，满二进一．二进制数的加法法则如下： ，，，（读作“壹零”，意思是结果为0，并向高位进1）．这四条规则是二进制所有计算的基础． 根据二进制数加法法则，计算__________． 【拓展应用】任务3：如图1，是小明的准考证号的二维码的简易编码（黑色代表1，白色代表0），每一行都代表一个二进制的数字，将每一行的二进制数字转换成十进制数，依次组合到一起就是小明的十进制的十位准考证号2412072813． 图2是小辉的准考证号的二维码的简易编码，请通过计算求出小辉的十进制的十位准考证号． 41．在数学的奇妙世界里，我们常常会遇到一些独特的运算规则．现在定义一种新的运算“”，对于任意的有理数a和b，有，其中 m，n是正整数．同时，我们还知道整式乘法和幂运算的相关知识，比如同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即 ；幂的乘方，底数不变，指数相乘，即．并且我们会利用二元一次方程组来解决一些未知量的问题． (1)已知， ①求 m， n 的值； ②若，，求的值． (2)对于任意非零实数α，b，c，若新运算“”满足，且存在某个常数k，使得，求 m，n的值和常数k． 42．阅读理解： 我们通常学习的数都是十进制数，使用的数码共有10个：0、1、2、3、4、5、6、7、8、9，表示具体数时采用“逢十进一”的原则，比如：，（这里我们规定：a≠0时，），又如：．而现代的计算机和依赖计算机的设备都使用二进制数，用到的数码只有两个：0和1，表示具体数时“逢二进一”．二进制数和十进制数可以互相转化，二进制数的运算也和十进制数的运算类似． ①我们可以把十进制整数转化成二进制整数．比如：，所以103用二进制数码表示是1100111，记为； ②也可以把十进制分数或者小数转化为二进制小数，比如：，所以可以表示成二进制小数，记为． 这里还可以把分子1和分母8都转化为二进制数，在二进制下用分了除以分母得到的二进制小数表示： 由于，，所以，而可以类比十进制数一样做除法，只是商和余数都只能是0或1：，所以； ③与十进制数类似，二进制也有循环小数，比如： ，由，可知． 问题解决： (1)将十进制数35化成二进制数为：（______）．二进制小数化为十进制分数是______． (2)将十进制分数化成二进制小数：；． (3)在十进制中，循环小数都可以化为分数，比如：将化为分数形式． 设（A）　　则（B）． 得：即，于是得到． 同样，二进制中的循环小数也可以用类似的方法化为十进制分数． 请二进制循环小数化成十进制分数，保留计算过程． 1．（25-26七年级下·河北张家口·月考）下列式子中，正确的有（   ） ①②③④ A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 2．（25-26七年级下·河北张家口·月考）已知，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级上·河北张家口·月考）已知，若，则的值为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26七年级上·江苏盐城·期末）若a，b是正整数，且满足，则下列a与b的关系正确的是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级上·河北邯郸·期末）若，则的值为__________． 6．（24-25七年级下·河北石家庄·月考）（1）若，则的值为______． （2）若，则的值是______． 7．（2025·河北邯郸·二模）已知，均为正整数，若，则用的代数式表示________． 8．（24-25八年级上·湖北襄阳·期末）若，则a＝___________． 9．（24-25七年级下·江苏泰州·月考）（1）已知，求的值； （2）已知，，求的值． 10．（25-26八年级上·河北衡水·期末）已知，，． (1)求的值； (2)求的值； (3)直接写出，，之间的数量关系． 11．（24-25七年级上·湖南永州·期中）规定两数a，b之间的一种运算，记作，如果，则．我们叫为“雅对”． 例如：因为，所以．我们还可以利用“雅对”定义说明等式成立．证明如下： 设，，则，， 故， 则 ， 即． (1)根据上述规定，填空： ； ； ． (2)计算 ，并说明理由． (3)利用“雅对”定义证明：，对于任意自然数n都成立． 12．（24-25七年级下·河北石家庄·月考）定义一种幂的新运算：，请利用这种运算规则解决下列问题： (1)求的值； (2)若，求的值； (3)若运算的结果为108，则t的值是多少？ 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 幂的运算14大题型专训（解析版） 目录 A题型建模・专项突破 题型一、同底数幂的乘法运算 1 题型二、幂的乘方运算 2 题型三、积的乘方运算 3 题型四、同底数幂的除法运算 5 题型五、零指数幂、负整数指数幂与整数指数幂 6 题型六、幂的混合运算 8 题型七、幂运算的化简求值 9 题型八、利用幂的运算比较大小 11 题型九、幂的运算中用x表示y类型题 11 题型十、幂的有规律计算题（压轴） 11 题型十一、幂的新定义运算（压轴） 11 题型十二、幂的新定义运算（劳格数） 11 题型十三、幂的新定义运算（抽象函数类） 11 题型十四、幂的运算实际应用 11 B综合攻坚・能力跃升 题型一、同底数幂的乘法运算 1．若，则下列结论：①，②，③，④，正确的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查同底数幂的乘法，根据同底数幂的乘法公式即可求出a、b、c的关系． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 即， ∴①，正确，符合题意； ∴②， ∴，正确，符合题意； ③，错误，不符合题意； ④，正确，符合题意； 综上，正确的结论是①②④，共3个， 故选：C． 2．已知，，则__________．（用含x，y的代数式表示） 【答案】/ 【分析】本题主要考查幂的乘方及同底数幂的乘法进行变形，进而解决问题．利用指数运算性质，将分解为，再分别用和表示各部分． 【详解】由已知 ，得 ； 由 ，且 ，得 ， 所以 ； 因此 ． 故答案为：． 3．（1）试说明能被5整除； （2）若能被8整除，试说明一定也能被8整除． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】本题考查了同底数幂的乘法， （1）根据即可判断； （2）先逆用乘法分配律将变形为，进而可说明结论成立． 【详解】解：（1） 为整数 能被5整除 （2） 能被8整除，能被8整除 能被8整除 题型二、幂的乘方运算 4．已知，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了幂的运算，掌握幂的乘方与同底数幂的乘法法则是解题的关键． 根据幂的乘方与同底数幂的乘法将式子化简，再将代入，即可求解． 【详解】解：， ． 故选：D． 5．若，则的值是________ 【答案】2 【分析】本题考查指数运算，幂的乘方，同底数幂相乘等．根据题意先将等式左边整理，再将等式右边整理即可得到本题答案． 【详解】解：∵， ， ∴， ∴， ∴． 故答案为：2． 6．若（且，m，n是正有理数），则．利用该结论解决下面的问题： (1)如果，求x的值； (2)如果，求x的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了幂的乘方、同底数幂的乘法以及若（且），则的结论，熟练掌握幂的运算法则和整体代换思想是解题的关键． （1）先将等式左边的底数统一为2，再根据若（且），则的结论，列出关于的方程求解． （2）先提取公因式，将等式左边化简，再把等式右边的数转化为以2为底的幂，最后根据若（且），则的结论，列出关于的方程求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 题型三、积的乘方运算 7．已知n是正整数，且，则 ___________． 【答案】184 【分析】本题考查幂的运算，根据积的乘方对式子化简，再逆用幂的乘方进行运算即可． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为： 8．计算：______． 【答案】 【分析】利用积的乘方的逆运算进行简便计算即可. 【详解】解：原式. 9．下面是小刘同学完成的一道作业题，请你参考小刘的方法解答下列问题： 作业 计算：． 解：原式． (1)计算：； (2)若，请求出的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据积的乘方运算的逆用即可求解； （2）根据根据同底数幂的乘法、幂的乘方进行计算即可． 本题主要考查了幂运算，掌握相关运算方法是解题的关键． 【详解】（1）解：原式； （2）解：∵ ，， ∴ ，， ∴ ， 又∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 题型四、同底数幂的除法运算 10．已知，则的值为________． 【答案】1 【分析】本题考查同底数的除法和幂的乘方，先将25和125化为以5为底的幂，再利用同底数幂的除法法则和指数相等求解即可． 【详解】解：因为， 所以， 所以， 因此， 解得． 故答案为：1． 11．计算下列各题： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查幂的运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）原式先计算同底数幂的除法，再进行积的乘方运算即可得到答案； （2）原式先计算幂的乘方，再进行同底数幂的除法运算即可得到答案； （3）原式先计算幂的乘方，再进行同底数幂的除法运算即可得到答案； （4）原式先计算幂的乘方，再进行同底数幂的乘除法运算即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 12．【课内回顾】如果一个幂的结果等于，有如下三种情况： ①底数不为零的零指数幂，例如； ②底数为的整数指数幂，例如； ③底数为的偶数指数幂，例如． 【知识运用】 (1)若，则_________； (2)若，求的值； (3)若，求的值． 【答案】(1)； (2)的值为或或； (3)的值为或． 【分析】此题主要考查了同底数幂的除法的法则，零指数幂的定义等，分类讨论是解决问题的关键． （1）根据同底数幂的除法法则进行运算，得到，再根据零指数幂的定义求解即可； （2）根据题意进行的分类讨论，即可求解； （3）先分类讨论：（）当且时，求出的值并判断；（）当时，整理，得：，再根据题意进行的分类讨论，即可求解． 【详解】（1）解：∵， 又∵， ∴， ∴，解得：； （2）∵， ∴如果一个幂的结果等于，有如下三种情况： ①底数不为零的零指数幂，即且，解得：； ②底数为1的整数指数幂，即，解得：； ③底数为的偶数指数幂，即且为偶数，解得：，检验：为偶数，即成立， ∴综上，的值为或或； （3）∵， ∴分类讨论： （）当且时，解得：且，矛盾，不成立； （）当时，整理，得：， ∴如果一个幂的结果等于，有如下三种情况： ①底数不为零的零指数幂，即且，解得：； ②底数为的整数指数幂，即，解得：； ③底数为的偶数指数幂，即且为偶数，解得：，检验：不为偶数，即不成立； ∴综上，的值为或． 题型五、零指数幂、负整数指数幂与整数指数幂 13．计算：． 【答案】 【分析】本题考查实数的运算． 利用有理数的乘方法则，负整数指数幂，零指数幂计算即可； 【详解】解： . 14．（1）若，求的值； （2）若，求的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了幂的乘方以及同底数幂的除法，负整数指数幂，熟记幂的运算法则是解答本题的关键． （1）根据幂的乘方以及同底数幂的除法法则，负整数指数幂的含义计算即可； （2）根据幂的乘方以及同底数幂的乘法和负整数指数幂法则计算即可． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴， ∴． （2）∵， ∴， ∴． 15．计算：． 【答案】 【分析】本题考查了实数的运算，根据零指数幂、负整数指数幂以及绝对值的性质，积的乘方的逆用进行解答即可． 【详解】解：原式 ． 题型六、幂的混合运算 16．计算： (1) (2)； (3)先化简，再求值：，其中． 【答案】(1) (2) (3)，． 【分析】本题主要考查了幂的混合运算，整式的化简求值： （1）先算幂的乘方和积的乘方，再计算同底数幂除法，最后合并同类项即可求解； （2）把 作为一个整体，根据同底数幂乘除法计算法则求解即可； （3）先算括号内的同底数幂乘除法，幂的乘方和积的乘方，再计算除法，最后再代入求值，即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ， 当时，原式 17．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3)2 (4) 【分析】本题考查幂的运算．掌握相关运算法则，正确的计算是解题的关键． （1）根据同底数幂的运算法则计算即可； （2）根据同底数幂的运算法则计算后，合并即可； （3）先进行乘方，零指数幂和负整数指数幂的运算，再进行加减运算即可； （4）先进行幂的相关运算，再合并即可． 【详解】（1）解：原式； （2）原式； （3）原式； （4）原式． 18．计算： (1)； (2)； (3)． (4)； 【答案】(1)24 (2) (3) (4) 【分析】（1）首先根据零指数幂与负整数指数幂的运算、有理数的乘方运算，进行运算，再进行有理数的加减运算，即可求解； （2）首先进行积的乘方运算，再进行同底数幂的乘法运算，即可求解； （3）根据同底数幂的乘除法运算法则进行运算，即可求解； （4）首先根据积的乘方与幂的乘方运算法则进行运算，再进行整式的混合运算，即可求解． 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： 【点睛】本题考查了零指数幂与负整数指数幂的运算，整式的混合运算，熟练掌握和运用各运算法则是解决本题的关键． 题型七、幂运算的化简求值 19．化简：． 【答案】 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法和除法，幂的乘方的逆运算，解题的关键是熟练掌握以上运算法则． 利用同底数幂的乘法和除法，幂的乘方的逆用进行计算即可． 【详解】解：原式 ． 20．化简： (1)； (2) (3)． 【答案】(1) (2) (3)0 【分析】本题考查了幂的乘方，积的乘方，以及同底数幂的乘法，除法，熟练掌握相关运算法则是解题关键． （1）根据同底数幂的乘法，积的乘方，同底数幂除法的运算法则进行计算即可； （2）运用幂的乘方和积的乘方公式进行计算即可． 【详解】（1）解：（1） ； （2） ； （3） ． 21．先化简，再求值：，其中，． 【答案】5 【分析】利用同底数幂的除法，幂的乘方化简，再将 ， 代入计算即可． 【详解】解： ， 把，代入，则原式． 【点睛】本题主要考查同底数幂的除法，幂的乘方运算，掌握同底数幂的除法，幂的乘方的运算法则是解决问题的关键． 题型八、利用幂的运算比较大小 22．已知，，，．先计算、、、的值，再比较它们的大小，并用“”连接起来． 【答案】，，，， 【分析】先分别根据负整数指数幂、零指数幂及有理数乘方的法则计算出、、、的值，再比较出其大小即可． 【详解】.解：， ， ， ， ． 【点睛】本题考查的是负整数指数幂，零指数幂，熟知负整数指数幂、零指数幂及有理数乘方的法则是解答此题的关键． 23．比较下列各题中幂的大小： (1)比较，，，这4个数的大小关系； (2)已知，，，比较a、b、c的大小关系； (3)已知，，比较P，Q的大小关系； 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】（1）根据幂的乘方的逆用进行转换得、、，，比较即可； （2）根据幂的乘方的逆用进行转换得、、，比较即可； （3）依据积的乘方公式及同底数的幂的除法化简可得即可得结果． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ； （2）， ， ， ， ， ； （3） ． 【点睛】此题考查了幂的乘方的逆用，积的乘方以及同底数幂的除法；解题的关键是利用相关公式将底数或指数统一． 24．幂的运算逆向思维可以得到；；等，在解题过程中，根据算式的结构特征，逆向运用幂的运算法则，常可以化繁为简，化难为易，使问题巧妙获解． (1)若，求的值． (2)比较大小：若，，，则，，的大小关系是什么? 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用幂的乘方及同底数幂的乘法的逆运算求解． （2）将a、b、c化简为相同的指数进行比较大小． 【详解】（1）解： 解得： （2）解： 【点睛】此题考查了幂的计算法则及拓展应用，解题的关键是正确运用计算法则及逆运算． 题型九、幂的运算中用x表示y类型题 25．（1）已知，m，n为正整数，用含a，b的代数式表示； （2）已知n为正整数，且，求 的值； （3）若 用含x的代数式表示y． 【答案】（1） （2）32 （3） 【分析】本题考查了幂的运算，熟练掌握同底数幂的乘法逆运算、幂的乘方以及幂的乘方逆运算法则是解题的关键． （1）利用同底数幂的乘法逆运算以及幂的乘方逆运算求解即可； （2）通过幂的乘方运算以及幂的乘方逆运算将原式变形为，即可代入求解； （3）通过同底数幂的乘法逆运算以及幂的乘方逆运算将变形为，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：∵， ∴； （3）解：∵， ∴， 即． 26．若（，，都是正整数），则，利用上面结论解决问题： (1)如果，求的值； (2)如果，求x的值； (3)若，，用含的代数式表示． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了同底数幂的乘、除法运算法则、幂的乘方的逆运算等知识，熟练的掌握公式及其它的逆向变形是解决此类问题的关键． （1）将看成，然后再使用同底数幂相乘，指数不变，底数相加即可得到答案； （2）将和分别看成和，然后再使用同底数幂的乘法运算法则即可得到答案； （3）对第一个等式移项得到，再将第二个等式中的看成是，再利用幂的乘法运算法则即可得到答案． 【详解】（1）解：∵ ； （2）， ， 即，则， 解得：； （3）， ， ． 27．若（且是正整数），则．利用上面结论解决下面的问题： (1)若，求x的值． (2)若，，用含x的代数式表示y． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法，幂的乘方的逆用； （1）把左边都换成以为底数的幂，再根据底数相同指数相等列方程计算即可； （2）根据计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ， ∴， 解得； （2）解：∵，， ∴． 题型十、幂的有规律计算题（压轴） 28．探究与应用 ●探究规律：计算下列各式 （1）；（2）；（3）都是正整数） 描述你发现的规律：__________________________________． ●提出猜想：根据你发现的规律，如果m，n都是正整数，那么_____________． ●验证规律： 请补充上述证明过程． ●应用规律：计算下列各式 （1）；     （2）；     （3） 【答案】探究规律：同底数幂相乘，底数不变，指数相加；提出猜想：；验证规律：见详解；应用规律：（1）；（2）；（3） 【分析】本题主要考查了同底数幂乘法有关的规律问题，正确理解题意找到规律是解题的关键． 探究规律：根据乘方的意义计算每个小题即可得到规律； 提出猜想：根据得到的规律即可得到答案； 验证规律：根据乘方的意义计算即可得到答案； 应用规律：根据发现的规律进行计算即可． 【详解】解：探究规律： ； ； ，发现的规律是：同底数幂相乘，底数不变，指数相加； 故答案为：同底数幂相乘，底数不变，指数相加； 提出猜想：根据发现的规律可得：； 故答案为：； 验证规律：； 应用规律：计算下列各式 （1）；     （2）；     （3）． 29．阅读下列各式：，，…… (1)发现规律：______，______． (2)应用规律： ①填空：______，______； ②计算：． (3)若，请求出n的值． 【答案】(1)， (2)①，  ② (3) 【分析】本题主要考查了积的乘方计算，积的乘方的逆运算： （1）根据题意计算求解即可； （2）①利用积的乘方的逆运算求解即可； ②把原式变形为，进而求解即可； （3）根据幂的乘方和积的乘方逆运算法则解答即可． 【详解】（1）解：，， 故答案为：，； （2）解：①； ； 故答案为：，； ② ； （3）解：， ∴， 解得． 30．（1）填空：、、… （2）探索（1）中式子的规律，请写出第n个等式：　 　； （3）直接计算：　 　； （4）利用（2）中发现的规律计算：． 【答案】（1）0、1、2；（2）；（3）2；（4）． 【分析】（1）根据有理数的乘方和零次幂的性质计算即可； （2）结合（1）中式子的规律，即可写出第n个等式； （3）根据（2）中式子的规律，即可计算； （4）逆用（2）中发现的规律计算即可． 【详解】解：（1），，， 故答案为：0、1、2； （2）由题意得，第n个等式为：； 故答案为：； （3） ， 故答案为：2； （4） ． 【点睛】本题考查了规律型：数字的变化类，有理数的乘方运算，零次幂的性质，解决本题的关键是根据数字的变化寻找规律并能够应用规律． 题型十一、幂的新定义运算（压轴） 31．定义：如果（，为正数），那么我们把叫做的D数，记作．例如：因为，所以；因为，所以，D数有如下运算性质： ，其中．下列说法错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了幂的运算性质，本题是新定义型，正确理解新定义的规定并熟练运用是解题的关键．利用新定义的规定对每个选项进行逐一判断即可得出结论． 【详解】解：， ． 选项的结论正确，不符合题意； 若， ， ， ， 选项的结论正确，不符合题意； ， 选项的结论不正确，符合题意； ，， 则， 选项的结论正确，不符合题意． 故选：B 32．定义：两正数，之间的一种运算，记作；若，则．例如：因为，所以． （1）根据上述规定，填空：＝_______； （2）小明在研究这种运算时发现一个现象：． 小明给出了如下的证明：设，则根据定义，得，即所以，即，所以． 请你尝试运用这种方法解决问题：已知a、m、n均为正数，填空：_______ 【答案】 / 【分析】（1）根据零指数幂即可求解； （2）设，，根据新定义可得，即可求解． 【详解】（1）∵， ∴， 故答案为：． （2）设， ∴ ∴ ∴ 即， 故答案为：． 【点睛】本题考查了新定义运算，零指数幂，同底数幂的乘法，幂的乘方的应用，熟练掌握以上知识是解题的关键． 33．规定两数a，b之间的一种运算，记作，如果，则．我们叫为“雅对”． 例如：因为，所以．我们还可以利用“雅对”定义说明等式成立．证明如下： 设，，则，， 故， 则 ， 即． (1)根据上述规定，填空： ； ； ． (2)计算 ，并说明理由． (3)利用“雅对”定义证明：，对于任意自然数n都成立． 【答案】(1)2，0，3 (2)，见解析 (3)见解析 【分析】此题考查了实数的运算，弄清题中的新运算是解本题的关键： （1）根据题干规定计算即可得到结论； （2）设，，根据同底数幂的乘法法则即可求解； （3）设，于是得到，即根据“雅对”定义即可得到结论． 【详解】（1）解：∵， ∴； ∵， ∴； ∵， ∴； 故答案为：2，0，3； （2）解：设，， 则，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （3）解：，于是得到，即， ∴，即， ∴． 题型十二、幂的新定义运算（劳格数） 34．阅读以下材料： 苏格兰数学家纳皮尔（，1550﹣1617年）是对数的创始人．他发明对数是在指数书写方式之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉（，1707﹣1783年）才发现指数与对数之间的联系．对数的定义：一般地，若（且），那么x叫做以a为底N的对数，记作，比如指数式可以转化为对数式，对数式可以转化为指数式． 我们根据对数的定义可得到对数的一个性质： （，，，），理由如下： 设，，则，， ∴，由对数的定义得． 又∵， ∴． 根据上述材料，结合你所学的知识，解答下列问题： (1)填空：①________，②________； (2)求证：（，，，）； (3)拓展运用：计算． 【答案】(1)； (2)证明见解析 (3) 【分析】本题考查了乘方运算的逆运算及同底数幂的乘除法运算，对数与指数之间的关系以及相互转化的关系，解题的关键是明确新定义，明白指数与对数之间的关系以及相互转化关系． （1）直接根据定义计算即可； （2）设，，根据对数的定义可表示为，，计算，参照所给资料的证明过程进行证明即可； （3）根据公式及（2）的结论进行计算即可． 【详解】（1）解：①， 故答案为：5； ②， 故答案为：0； （2）证明：设，，则，， ∴，由对数的定义得． 又∵， ∴（，，，）． （3）解： ． 35．阅读材料． 对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔（1550-1617年），纳皮尔发明对数是在指数书写方式之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉（1707-1783年）才发现指数与对数之间的联系． 对数的定义：一般地，若（，），那么x叫做a为底N的对数，记作，比如指数式可以转化为对数式，对数式可以转化为指数式．我们根据对数的定义可得到对数的一个性质为（，，，）．理由如下： 设，，则，， ∴， 由对数的定义，得， 又∵， ∴． 请你仔细阅读上面的材料之后，解答下列问题． (1)将指数式转化为对数式为 ． (2)计算： ． (3)求证：（，，，）． (4)直接写出的值． 【答案】(1) (2) (3)见解析 (4) 【分析】本题是新定义试题，主要考查幂的运算性质、新定义对数与指数之间的关系； （1）根据对数式的定义转化即可； （2）根据对数式的定义进行计算，即可求解； （3）先设，，根据对数的定义可表示为指数式为：，，计算的结果，类比所给材料的证明过程可得结论； （4）根据公式：和的逆用，计算可得结论． 【详解】（1）解：将指数式转化为对数式为， 故答案为：． （2）解：∵， ∴ （3）证明：设，，则，， ∴，由对数的定义得， 又∵， ∴； （4） 36．阅读材料： 定义：如果，那么称a为n的劳格数，记为， 例如：，那么称2是100的劳格数，记为． 填空：根据劳格数的定义，在算式中，______相当于定义中的n，所以______； 直接写出______； 探究：某数学研究小组探究劳格数有哪些运算性质，以下是他们的探究过程 若a、b、m、n均为正数，且，， 根据劳格数的定义：，______， ∵ ∴，这个算式中，______相当于定义中的a，______相当于定义中的n， ∴______，即， 请你把数学研究小组探究过程补全 拓展：根据上面的推理，你认为：______． 【答案】1000，3；﹣8；b，a＋b，，a＋b；－． 【分析】根据新定义法则进行运算即可． 【详解】解：∵如果，那么称a为n的劳格数，记为， ∴，那么称3是1000的劳格数，记为． ∴在算式中，1000相当于定义中的n，所以3；﹣8； ∵， ∴， ∵，， ∴＝pq， ∴这个算式中，pq相当于定义中的a， 相当于定义中的n， ∴＝＋， 即， 设，， ∴，， ∵， ∴＝a－b＝－， 即－． 故答案为：1000，3；﹣8；b，a＋b，，a＋b；－． 【点睛】此题考查了新定义问题，用到了幂的相关运算，解题的关键是理解新定义及其运算法则． 题型十三、幂的新定义运算（抽象函数类） 37．规定新运算：（其中m、n为正整数）．例如， 若，则． (1)若， ①求的值； ②当，求n的值； (2)若，求的值． 【答案】(1)①25；②3 (2)243 【分析】本题考查了乘方及同底数幂的乘法，新定义，理解新定义的规则是解题的关键． （1）①按照新定义的运算规则有，再代入值进行计算即可； ②根据新的运算，再将相应的值代入运算即可； （2）结合新的运算，利用同底数幂的乘法的法则进行运算即可． 【详解】（1）解：， ． ② ， 又， ， ， ． （2）解：依题意得，，， . 38．我们知道，同底数幂的乘法法则为（其中，m，n为正整数）．类似的，我们规定关于任意正整数m，n的一种新运算：（其中m，n为正整数）． 例如，若，则．． (1)若， ①填空：_______； ②当，求的值． (2)若，化简：． 【答案】(1)①125；② (2) 【分析】（1）①根据新的运算，再将相应的值代入运算即可； ②根据新的运算，再将相应的值代入运算即可； （2）结合新的运算，利用同底数幂的乘法的法则进行运算即可． 本题主要考查同底数幂的乘法，数字的变化规律，解答的关键是理解清楚所给的新的运算． 【详解】（1）解：①， ∴ ； ②， ， ， ， ， ； （2）解： ， ， ， ， ． 39．我们知道，同底数幂的乘法法则为（其中为正整数），类似地，我们规定关于任意正整数m、n的一种新运算： (其中m、n为正整数)；例如，若，则． (1)若，则：① ； ② 当 ； (2)若，化简：． 【答案】(1)①125；②2 (2) 【分析】本题考查了乘方及同底数幂的乘法，新定义，理解新定义的规则是解题的关键． （1）①按照新定义的运算规则有，再代入值进行计算即可； ②由，则，即可求得n的值； （2）由，再由同底数幂的运算法则计算即可． 【详解】（1）解：①由于， 而， 所以； 故答案为：125； ②， ， ， ， ， 故答案为：2； （2）解：， ，，，，……，， ． 题型十四、幂的运算实际应用 40．数学活动：进位制的认识和探究 【阅读材料】如图，第十四届国际数学教育大会（简称ICME-14）于2021年在上海举办．会徽以中国文化中的“洛书”与“河图”为原本，展现了我国古代数学的文化魅力，其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数3745，记为．八进制数是以8作为进位基数的数字系统，有0~7共8个基本数字．八进制数3745换算成十进制数是．（规定当时，）． 【任务探究】在现实生活中，我们用得最多的是十进制记数法，满十进一．但在计算机领域中，用到的更多的是二进制记数法．一个二进制数的各数位上的数字为0和1，满二进一．在计算机中输入一个十进制数89，经过计算机处理将其转换成一个二进制数： ． （1）任务1：将十进制数45转换成二进制数是__________．将二进制数转换成十进制数是__________． （2）任务2：二进制数的数位有两个数字0和1，满二进一．二进制数的加法法则如下： ，，，（读作“壹零”，意思是结果为0，并向高位进1）．这四条规则是二进制所有计算的基础． 根据二进制数加法法则，计算__________． 【拓展应用】任务3：如图1，是小明的准考证号的二维码的简易编码（黑色代表1，白色代表0），每一行都代表一个二进制的数字，将每一行的二进制数字转换成十进制数，依次组合到一起就是小明的十进制的十位准考证号2412072813． 图2是小辉的准考证号的二维码的简易编码，请通过计算求出小辉的十进制的十位准考证号． 【答案】（1），41；（2）；（3）小辉的十进制的十位准考证号是2410272108 【分析】本题主要考查新定义下的有理数的乘方运算及加法运算，根据题目所给定义和规律对题目提供的特殊问题进行讨论和解决是解决此类问题的主要思路． （1）按照题目所给方法计算即可； （2）由题意，先将转化为十进制，再转化为二进制即可求解； （3）将图形中的二进制转化为十进制，进而可得答案． 【详解】解：（1）由题意，， ， 故答案为：，41； （2）由题意，， ， ∴， ∵， ∴； （3）解：第一行：， 第二行：， 第三行：， 第四行：， 第五行：， 所以小辉的十进制的十位准考证号是2410272108． 41．在数学的奇妙世界里，我们常常会遇到一些独特的运算规则．现在定义一种新的运算“”，对于任意的有理数a和b，有，其中 m，n是正整数．同时，我们还知道整式乘法和幂运算的相关知识，比如同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即 ；幂的乘方，底数不变，指数相乘，即．并且我们会利用二元一次方程组来解决一些未知量的问题． (1)已知， ①求 m， n 的值； ②若，，求的值． (2)对于任意非零实数α，b，c，若新运算“”满足，且存在某个常数k，使得，求 m，n的值和常数k． 【答案】(1)①；② (2) 【分析】本题考查定义新运算，幂的运算，熟练掌握新定义，是解题的关键： （1）①根据新定义，得到，即可得出结果；②根据新定义，列出方程组进行求解即可； （2）根据，推出，进而得到，根据，得到，进行求解即可． 【详解】（1）解：①∵， ∴， ∴； ②∵，， ∴， 两式相乘可得：， ∴； （2）∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵为正整数，为常数，为任意非零有理数， ∴； 综上：． 42．阅读理解： 我们通常学习的数都是十进制数，使用的数码共有10个：0、1、2、3、4、5、6、7、8、9，表示具体数时采用“逢十进一”的原则，比如：，（这里我们规定：a≠0时，），又如：．而现代的计算机和依赖计算机的设备都使用二进制数，用到的数码只有两个：0和1，表示具体数时“逢二进一”．二进制数和十进制数可以互相转化，二进制数的运算也和十进制数的运算类似． ①我们可以把十进制整数转化成二进制整数．比如：，所以103用二进制数码表示是1100111，记为； ②也可以把十进制分数或者小数转化为二进制小数，比如：，所以可以表示成二进制小数，记为． 这里还可以把分子1和分母8都转化为二进制数，在二进制下用分了除以分母得到的二进制小数表示： 由于，，所以，而可以类比十进制数一样做除法，只是商和余数都只能是0或1：，所以； ③与十进制数类似，二进制也有循环小数，比如： ，由，可知． 问题解决： (1)将十进制数35化成二进制数为：（______）．二进制小数化为十进制分数是______． (2)将十进制分数化成二进制小数：；． (3)在十进制中，循环小数都可以化为分数，比如：将化为分数形式． 设（A）　　则（B）． 得：即，于是得到． 同样，二进制中的循环小数也可以用类似的方法化为十进制分数． 请二进制循环小数化成十进制分数，保留计算过程． 【答案】(1)，； (2)，； (3)． 【分析】（1）根据十进制与二进制间的关系求解即可； （2）根据十进制与二进制间的关系求解即可； （3），进而得，根据二进制与十进制间的关系解方程即可． 【详解】（1）解：， ∴， ， 故答案为：，； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：，； （3）解：设，则 ∴， 即． 【点睛】本题主要考查了乘方，二进制与十进制间的转化，一元一次方程的应用，有理数的混合运算，熟练掌握二进制与十进制的转化方法是解题的关键． 1．（25-26七年级下·河北张家口·月考）下列式子中，正确的有（   ） ①②③④ A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】按照运算法则逐个计算判断每个式子是否正确，统计正确个数即可得到答案． 【详解】解：① ∵ ，式子右边为， ∴①错误． ② ∵，式子右边为， ∴②错误． ③ ∵，，左右两边相等， ∴ ③正确． ④ ∵，左右两边相等， ∴ ④正确． 综上，正确的式子共2个． 2．（25-26七年级下·河北张家口·月考）已知，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用幂的乘方性质，将三个数化为同指数的幂，再通过比较底数大小判断a，b，c的大小即可． 【详解】解：首先将a，b，c变形为指数相同的幂，50、75、100的最大公约数为25． ∵， ， ， 又∵，指数， ∴，即． 3．（25-26七年级上·河北张家口·月考）已知，若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了乘方，同底数幂，熟练掌握以上知识是解题的关键． 左边表示个3相乘，即，右边表示个3相加，即，根据等式关系求解． 【详解】解：∵左边，右边，且等式成立， ∴， 代入，得， ∴， ∴的值为． 故选：C． 4．（25-26七年级上·江苏盐城·期末）若a，b是正整数，且满足，则下列a与b的关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查同底数幂的乘法运算，正确掌握同底数幂的乘法性质是解题关键．先将等式左右两边转化为同底数幂的形式，再利用同底数幂相等则指数相等的性质推导a与b的关系． 【详解】解：∵， ， 又∵， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 5．（24-25八年级上·河北邯郸·期末）若，则的值为__________． 【答案】 【分析】本题考查了已知式子的值，求代数式的值，同底数幂相乘，幂的乘方的逆用等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． 先将化为，再逆用幂的乘方，接着利用同底数幂相乘计算，然后整体代入求值． 【详解】解：∵， ∴． ． 故答案为：． 6．（24-25七年级下·河北石家庄·月考）（1）若，则的值为______． （2）若，则的值是______． 【答案】 8 11或 【分析】本题考查了同底数幂的乘法及幂的乘方的正用与逆用，求代数式的值； （1）由得，再把4与32分别表示成2为底的幂，利用幂的乘方及同底数幂的乘法得，再整体代入即可求解； （2）由可求得a与b的值，即可求解． 【详解】解：（1）∵， ∴， ， 故答案为：8； （2）∵， ∴， 即， ∴，， 即，， 当，时，， 当，时，， 综上，的值为11或， 故答案为：11或． 7．（2025·河北邯郸·二模）已知，均为正整数，若，则用的代数式表示________． 【答案】 【分析】本题主要考查同类项的加法，同底数幂的乘法，幂的乘方，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． 根据相应的运算法则进行运算即可． 【详解】，， ， ， ． 8．（24-25八年级上·湖北襄阳·期末）若，则a＝___________． 【答案】或2或0 【分析】本题主要考查了零次幂、有理数乘方等知识点，灵活运用相关运算法则成为解题的关键． 根据任何非零数的零次幂为1、1的任何次幂均为1、的偶次方为1成为解题的关键． 【详解】解：由题意可得或，解得或； 当时，． 综上，a可取值或2或0． 故答案为：或2或0． 9．（24-25七年级下·江苏泰州·月考）（1）已知，求的值； （2）已知，，求的值． 【答案】（）；（）． 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，同底数幂的除法逆用，幂的乘方，代数式求值，掌握运算法则是解题的关键． （）由，得，然后由，最后代入求解即可； （）由，把，代入求解即可． 【详解】解：（）∵， ∴， ∴ ； （）解： ． 10．（25-26八年级上·河北衡水·期末）已知，，． (1)求的值； (2)求的值； (3)直接写出，，之间的数量关系． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题主要考查了整式的有关运算，解题关键是熟练掌握同底数幂相乘法则和幂的乘方法则． （1）利用幂的乘方的逆运算，整理得，然后计算即可； （2）利用同底数幂相乘的逆运算，整理得，然后计算即可； （3）根据（1）、（2）的计算结果进行判断即可． 【详解】（1）解：； （2）； （3）∵由（1）、（2）得，， ∴， ∴． 11．（24-25七年级上·湖南永州·期中）规定两数a，b之间的一种运算，记作，如果，则．我们叫为“雅对”． 例如：因为，所以．我们还可以利用“雅对”定义说明等式成立．证明如下： 设，，则，， 故， 则 ， 即． (1)根据上述规定，填空： ； ； ． (2)计算 ，并说明理由． (3)利用“雅对”定义证明：，对于任意自然数n都成立． 【答案】(1)2，0，3 (2)，见解析 (3)见解析 【分析】此题考查了实数的运算，弄清题中的新运算是解本题的关键： （1）根据题干规定计算即可得到结论； （2）设，，根据同底数幂的乘法法则即可求解； （3）设，于是得到，即根据“雅对”定义即可得到结论． 【详解】（1）解：∵， ∴； ∵， ∴； ∵， ∴； 故答案为：2，0，3； （2）解：设，， 则，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （3）解：，于是得到，即， ∴，即， ∴． 12．（24-25七年级下·河北石家庄·月考）定义一种幂的新运算：，请利用这种运算规则解决下列问题： (1)求的值； (2)若，求的值； (3)若运算的结果为108，则t的值是多少？ 【答案】(1)96； (2)22； (3)3 【分析】（1）根据所给的新定义把代入中进行求解即可； （2）先根据积的乘方求出，再根据进行求解即可； （3）先求出，再根据，得到，由此即可得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴ ； （2）解：∵，， ∴， ∴ ∴ ； （3）解： ， ∵， ∴ ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了同底数幂乘法，幂的乘方，幂的乘方的逆运算等计算，正确理解所给的新定义是解题的关键． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $