专题01 整式的乘法72道计算题专训（专项训练）数学新教材冀教版七年级下册

专题01 整式的乘法72道计算题专训（原卷版） 目录 A题型建模・专项突破 题型一、同底数幂的乘法 1 题型二、幂的乘方与积的乘方 2 题型三、同底数幂的除法 3 题型四、幂的混合运算 5 题型五、整式乘法 6 题型六、已知多项式乘积不含某项求字母的值 8 题型七、多项式乘多项式的化简求值 9 题型八、多项式乘法中的看错问题 11 题型九、多项式乘法中的规律性问题 11 题型十、乘法公式 11 题型十一、通过对完全平方公式变形求值 11 题型十二、求完全平方公式中的字母系数 11 题型一、同底数幂的乘法 1．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 2．计算： (1)； (2)； (3)； 3．计算： (1) (2) 4．已知，，． (1)求的值． (2)求的值． 5．规定∶ ． (1)求的值； (2)若 ，求x的值． 6．已知，求下列各式的值． (1)； (2)； (3)． 题型二、幂的乘方与积的乘方 7．计算． (1)； (2)． 8．计算： (1)； (2)． 9．（1）若，，求的值． （2）若，求值． 10．在幂的运算中规定：若（且，x、y是正整数），则，利用上面规定解答下列问题： (1)若，求x的值． (2)若，求x的值． 11．已知n为正整数，且． (1)求的值； (2)求的值． 12．在学习了“幂的运算法则”后，经常遇到比较幂的大小的问题，对于此类问题，通常有两种解决方法，一种是将幂化为底数相同的形式，另一种是将幂化为指数相同的形式，请阅读下列材料：若，则、的大小关系是a________b（填“<”或“>”．） 解：，且， ， 类比阅读材料的方法，解答下列问题： (1)比较的大小； (2)比较与的大小； (3)已知．求之间的等量关系． 题型三、同底数幂的除法 13．按要求解答下列各小题． (1)已知，，则________； (2)如果，求的值． 14．已知，， (1)求的值； (2)求的值． 15．若 (且，、是正整数)，则．利用上面结论解决下面的问题： (1)如果，求的值； (2)若，，用含的代数式表示． 16．已知，，求下列各式的值． (1)； (2)． 17．已知，，求： (1)； (2)的值． 18．已知 (1)求的值． (2)求的值． 题型四、幂的混合运算 19．计算： (1) (2) 20．计算： (1)； (2)． 21．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 22．计算： 23．计算： 24．计算： (1) (2) (3) 题型五、整式乘法 25．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 26．计算： (1)； (2)． 27．计算下列各式： (1)； (2) 28．计算： (1) (2) (3) (4) 29．计算： (1)； (2)． 30．计算： (1) (2) 题型六、已知多项式乘积不含某项求字母的值 31．若的展开式中不含和项，求的值． 32．已知的展开式中不含项，常数项是，求m、n的值． 33．已知多项式与的乘积中不含有项，常数项为4． (1)求，的值； (2)计算：． 34．多项式和多项式的乘积结果中，含项的系数为，含x项的系数为5，求的值． 35．我们在学习代数式求值时，遇到这样一类题：代数式的值与的取值无关，求的值． 通常的解题思路是：把，看作字母，看作系数，合并同类项，具体解题过程如下： 原式 ∵代数式的值与的取值无关， ∴， 解得： 【理解应用】 (1)若关于的多项式的值与的取值无关，则的值为 ； (2)已知，，且的值与的取值无关，求，的值； 36．定义：一个多项式A乘一个多项式B，运算结果化简后得到多项式C，若C的项数比A的项数多1，则称B是A的“友好多项式”；若C的项数与A的项数相同，则称B是A的“特别友好多项式”． (1)若，，请判断B是否为A的“友好多项式”，并说明理由． (2)若，均是关于x的多项式，且B是A的“特别友好多项式”，求a的值． 题型七、多项式乘多项式的化简求值 37．先化简，再求值：，其中，． 38．先化简，再求值： (1)，其中； (2)，其中，． 39．（1） 化简：； （2） 先化简，再求值：，其中，． 40．先化简．再求值：，其中． 41．化简求值：，其中，． 42．“整体思想”在数学中应用极为广泛． 例如：已知，求的值． 解：∵， ∴ ∴． 请尝试应用“整体思想”解决以下问题： (1)已知，求的值； (2)已知，求的值． 题型八、多项式乘法中的看错问题 43．小明在计算一个多项式乘以时，因看错运算符号，算成了加上，得到的结果为． (1)求这个多项式； (2)请你帮助小明计算正确的结果． 44．小万和小鹿正在做一道老师留下的关于多项式乘法的习题：． (1)小万在做题时不小心将中的x写成了，结果展开后的式子中不含x的二次项，求a的值； (2)小鹿在做题时将中的一个数字看错成了k，结果展开后的式子中不含x的一次项，则k的值可能是多少？ 45．小红准备完成题目：计算时，她发现第一个因式的一次项系数被一滴墨水遮挡住了． (1)她把被遮住的一次项系数猜成2，请你帮她完成计算：； (2)老师说：“你猜错了，这个题目的正确答案是不含一次项的．”请通过计算说明原题中被遮住的一次项系数是多少？ 46．小红准备完成题目：计算时，她发现第一个因式的一次项系数被一滴墨水遮挡住了． (1)她把被遮住的一次项系数猜成2，请你帮她完成计算：； (2)老师说：“你猜错了，这个题目的正确答案是不含一次项的．”请通过计算说明原题中被遮住的一次项系数是多少？ 47．小红准备完成题目：计算，她发现第一个因式的一次项系数被墨水遮挡住了． (1)她把被遮住的一次项系数猜成3，请你完成计算：； (2)老师说：“你猜错了，这个题目的正确答案是不含一次项的，”请通过计算说明原题中被遮住的一次项系数是多少？ 48．小红准备计算题目：▅，发现第一个因式的一次项系数被墨水遮挡住了，已知这个题目的正确答案是不含三次项的，请计算求出原题中被遮住的一次项系数． 题型九、多项式乘法中的规律性问题 49．观察下列各式： ； ； ； … (1)根据前面的规律可求得________（其中为正整数）． (2)根据上述规律求的值． 50．在一次数学活动中，数学老师组织学习探究：设是方程的一个根，学习小组成员发现如下一系列等式： (1)根据以上规律，用数字填空：__________； (2)小王同学通过观察比较两个相邻等式，提出了一个猜想：设是正整数，若，则．请你判断这个猜想是否正确，并说明理由． 51．【观察思考】 ， ， ， 【规律发现】 （1）根据规律可得 ；（其中n为正整数） 【规律应用】； （2）①计算：； ②若，求的值． 52．观察下列各式： (1)根据以上的规律得：______（为正整数） (2)根据这一规律，计算： 53．综合与实践：月历中的奥秘 【提出问题】月历上的数每行、每列之间都存在一定的规律，那这些数字经过运算得到的结果是否也存在规律呢？ 【初步探究】 （1）如图1是2026年1月的月历，小芝在月历中用如图2中所示的“Z型框”框住四个数a，b，c，d．（1）用含a的代数式表示 ； ． 【拓展探究】 （2）探究的值的规律，写出你发现的结论，并说明理由． 【迁移运用】 （3）受月历中日期排列启发，小明研究形如的多项式，其中a，b是正整数且．若a，b可表示某月中两个日期的编号（1～31），请求出所有可能的m值． 54．“杨辉三角”揭示了（为非负数）展开式的各项系数的规律．在欧洲，这个表叫做帕斯卡三角形，帕斯卡是在1654年发现这一规律的，比杨辉要迟393年，比贾宪迟600年，请仔细观察“杨辉三角”中每个数字与上一行的左右两个数字之和的关系： 根据上述规律，完成下列各题： （1）将展开后，各项的系数和为_______． （2）将展开后，各项的系数和为_______． （3）写出的展开式． 下图是世界上著名的“莱布尼茨三角形”，类比“杨辉三角”，根据你发现的规律，回答下列问题： 第一行     第二行     第三行     第四行     第五行           ．．．．．． （4）请你描述一下“莱布尼茨三角形”的数字变化规律． （5）若表示第行，从左到右数第个数，如表示第四行第二个数是，则表示的数是多少？ 题型十、乘法公式 55．计算： (1)； (2)． 56．用乘法公式进行简便计算． (1)； (2)； (3)． 57．用完全平方公式计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 58．计算： (1) (2) 59．计算： (1)； (2)． 60．已知，求代数式的值． 题型十一、通过对完全平方公式变形求值 61．已知，求： (1)； (2)的值 62．已知，．求： (1)的值． (2)的值． 63．计算： (1)已知，，求的值； (2)已知，求的值． 64．若满足，求的值． 解：设，，则，， 所以． 请仿照上面的方法求解下面的问题： 若满足，求的值． 65．数学活动课上，老师准备了图1中三种不同大小的正方形与长方形，拼成了一个如图2所示的正方形． (1)请用两种不同的方法表示图2中阴影部分的面积和． 方法1：__________________；方法2：__________________． (2)请你直接写出三个代数式：，，之间的等量关系． (3)根据等量关系，解决如下问题： 已知，求的值． 66．已知，则代数式的值为___________． 题型十二、求完全平方公式中的字母系数 67．若是一个完全平方式，则k的值为___________ ． 68．若关于x的多项式（其中是常数）是完全平方式，则的值是______． 69．完全平方公式是非常重要的公式，在整式的化简、数据运算、代数推理、最值计算等方面都有巧妙的作用，根据公式解决下列问题： (1)填空：把下列各式配成完全平方式． ，； (2)求代数式的最小值． 70．已知和为有理数，现规定一种新的运算符号，定义，例如：，请根据符号的意义解决下列问题： (1)的值为_____________； (2)若是一个完全平方式，则_____________； (3)已知，且，求的值． 71．【教材呈现】 （1）分解因式： ①______；②______；③______；④______． 【归纳总结】 （2）观察以上四个多项式的系数： ，，，． 于是玉玉猜测：若多项式是完全平方式，则系数a，b，c一定存在某种关系，请你用数学式子表示a，b，c之间的数量关系：______； 【解决问题】 （3）若多项式是一个完全平方式，求实数t的值． 72．已知代数式． (1)化简代数式． (2)若（a为常数）是完全平方式，求的值． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 整式的乘法72道计算题专训（解析版） 目录 A题型建模・专项突破 题型一、同底数幂的乘法 1 题型二、幂的乘方与积的乘方 2 题型三、同底数幂的除法 3 题型四、幂的混合运算 5 题型五、整式乘法 6 题型六、已知多项式乘积不含某项求字母的值 8 题型七、多项式乘多项式的化简求值 9 题型八、多项式乘法中的看错问题 11 题型九、多项式乘法中的规律性问题 11 题型十、乘法公式 11 题型十一、通过对完全平方公式变形求值 11 题型十二、求完全平方公式中的字母系数 11 题型一、同底数幂的乘法 1．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 （3）解：原式 （4）解：原式. 2．计算： (1)； (2)； (3)； 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了同底数幂的乘法运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加进行计算即可； （2）根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加进行计算即可； （3）根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 3．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了同底数幂的乘法运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加进行计算即可； （2）根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 4．已知，，． (1)求的值． (2)求的值． 【答案】(1) (2)8 【分析】（1）可利用同底数幂的乘除运算法则，将转化为，结合已知条件求出其值，再根据指数的唯一性得到的值； （2）利用幂的乘方和同底数幂的乘除法则，将转化为，代入已知值计算即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴ ∵底数相同的幂相等时，指数相等， ∴． （2）解：． 【点睛】本题考查了同底数幂的乘除运算、幂的乘方，解题关键是熟练运用幂的运算公式，将所求式子转化为已知幂的组合形式，再代入计算． 5．规定∶ ． (1)求的值； (2)若 ，求x的值． 【答案】(1)243 (2) 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，准确理解题目中给出的式子，正确计算是解答本题的关键． （1）根据题意把写成的形式，算出最后结果即可； （2）根据给出的式子，表示出，而，根据等式算出最后结果即可． 【详解】（1）解∶ ； （2）解∶∵， ∴ ∴， 解得． 6．已知，求下列各式的值． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查同底数幂乘法的逆用，熟练掌握同底数幂乘法的逆用是解题的关键； （1）由可代入进行求解即可； （2）由可代入进行求解即可； （3）由可代入进行求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：∵， ∴； （3）解：∵， ∴． 题型二、幂的乘方与积的乘方 7．计算． (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）根据幂的乘方，可得幂，再根据同底数幂的乘法，可得答案； （2）根据幂的乘方，可得幂，再根据同底数幂的乘法，可得同类项，根据合并同类项，可得答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 8．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先计算幂的乘方，再合并同类项即可得出结果； （2）先计算乘方，再计算同底数幂的乘法，最后合并同类项即可得出结果． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 9．（1）若，，求的值． （2）若，求值． 【答案】（1） （2）或 【分析】（1）逆用同底数幂的乘法运算法则，拆分指数后代入数值计算即可； （2）利用幂的乘方运算法则，对做底数统一的变形，结合乘方的定义分别求解、的值，再计算即可． 【详解】解：（1）原式 ； （2）∵，，， ∴，， ∴或，， 当时，； 当时，； ∴或． 【点睛】本题解题关键是熟练掌握同底数幂乘法、幂的乘方的运算法则，并能正向、逆向灵活使用；平方运算的结果为正数时，底数存在正负两个解，切勿遗漏负数解导致结果不全． 10．在幂的运算中规定：若（且，x、y是正整数），则，利用上面规定解答下列问题： (1)若，求x的值． (2)若，求x的值． 【答案】(1)24 (2)4 【分析】（1）根据幂的乘方计算法则得到，则，据此根据题意求解即可； （2）根据同底数幂乘法的逆运算法则把等式变形为，进而得到，据此根据题意求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 11．已知n为正整数，且． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】根据同底数幂的乘法法则及幂的乘方法则对原式进行化简，再把代入进行计算即可． 【详解】（1）解：， ； （2）解：， ． 12．在学习了“幂的运算法则”后，经常遇到比较幂的大小的问题，对于此类问题，通常有两种解决方法，一种是将幂化为底数相同的形式，另一种是将幂化为指数相同的形式，请阅读下列材料：若，则、的大小关系是a________b（填“<”或“>”．） 解：，且， ， 类比阅读材料的方法，解答下列问题： (1)比较的大小； (2)比较与的大小； (3)已知．求之间的等量关系． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）将三个数都化为以3为底数的幂，然后比较指数大小即可； （2）将两数都化为指数为的幂，然后比较底数大小即可； （3）因为，根据已知条件，则可得，通过幂的运算可得结论． 【详解】（1）解：， 又∵， ； （2）解：， 又∵， （3）解：， 又∵， ． 题型三、同底数幂的除法 13．按要求解答下列各小题． (1)已知，，则________； (2)如果，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据同底数幂的除法法则逆用可直接进行求解； （2）根据幂乘方的法则逆用，同底数幂的乘法法则的逆用可直接进行求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴； 故答案为：3； （2）解：∵， ∴． 14．已知，， (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1)64 (2)1 【分析】（1）根据同底数幂乘法的逆用、幂的乘方的逆用将原式变形为，代入计算即可； （2）根据同底数幂除法的逆用、幂的乘方的逆用将原式变形为，代入计算即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴ ． （2）解：∵，， ∴ ． 15．若 (且，、是正整数)，则．利用上面结论解决下面的问题： (1)如果，求的值； (2)若，，用含的代数式表示． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将等式的左边化为，根据已知结论，即可求解； （2）根据，得出，代入，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， 解得：； （2）解：∵， ∴， ∴． 16．已知，，求下列各式的值． (1)； (2)． 【答案】(1)18 (2) 【分析】（1）逆用同底数幂相乘法则计算即可得出结果； （2）逆用同底数幂相除以及幂的乘方法则计算即可得出结果． 【详解】（1）解：∵，， ∴； （2）解：∵，， ∴． 17．已知，，求： (1)； (2)的值． 【答案】(1)3 (2) 【分析】（1）根据同底数幂的除法法则求解即可； （2）根据同底数幂的除法法则及幂的乘方法则求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴． （2）解：∵，， ∴． 18．已知 (1)求的值． (2)求的值． 【答案】(1) (2)2 【分析】（1）利用同底数幂的乘法和除法的逆运算，进行求解； （2）利用幂的乘方和同底数幂的除法的逆运算进行求解． 【详解】（1）解：； （2）解：． 【点睛】重点掌握幂的运算法则． 题型四、幂的混合运算 19．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了幂的运算（同底数幂的乘除、幂的乘方、积的乘方），解题关键是熟练掌握幂的各种运算法则并准确运算． （1）先分别用幂的乘方、积的乘方化简各项，再算同底数幂的乘除，最后合并同类项； （2）同理，先化简幂的乘方、积的乘方，再算同底数幂的乘除，最后合并同类项． 【详解】（1）解： ， ， ． （2）解： ， ， ． 20．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了负整数指数幂、整式的乘除混合运算，熟练掌握运算法则是关键． （1）按照相应负整数指数幂、幂的运算法则逐步计算； （2）按照相应负整数指数幂、幂的运算法则逐步计算． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式． 21．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了幂的混合运算，幂的乘方和积的乘方． （1）先算乘方，然后再算乘法； （2）先算乘方和乘法，再算加法； （3）先算乘法和乘方，再算加减法； （4）先算积的乘方，再算加法． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式； （4）解：原式． 22．计算： 【答案】 【分析】本题考查了同底数幂的除法、幂的乘方、积的乘方运算法则以及合并同类项等知识；利用同底数幂的除法、幂的乘方、积的乘方运算法则以及合并同类项的知识计算即可． 【详解】解： ． 23．计算： 【答案】 【分析】本题主要考查了幂的混合运算，分别计算积的混合运算，幂的混合运算，然后早计算同底数幂的除法，最后再计算合并同类项． 【详解】解： ． 24．计算： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了实数的运算以及积的乘方运算以及同底数幂的乘除运算，正确掌握相关运算法则是解题关键； （1）直接利用零指数幂的性质以及负整数指数幂的性质、有理数的乘方运算法则、绝对值的性质分别化简，进而得出答案； （2）直接利用积的乘方运算法则以及同底数幂的乘除运算法则分别化简，进而合并同类项得出答案． （3）先把底数化为相同，再利用同底数幂的乘法计算即可. 【详解】（1）解： ； （2）解： ． （3）解： ； 题型五、整式乘法 25．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查单项式的乘法及积的乘方运算，熟练掌握各个运算法则是解题关键． （1）直接根据单项式乘以单项式法则计算即可； （2）先计算积的乘方运算，然后计算单项式乘以单项式即可； （3）先计算积的乘方运算，然后计算单项式乘以单项式即可； （4）先计算积的乘方运算，然后计算单项式乘以单项式即可． 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： 26．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了单项式乘多项式、整式的加减运算，关键是熟练应用运算法则进行计算； （1）根据单项式乘多项式的运算法则进行计算； （2）先算单项式乘多项式，再合并同类项即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 27．计算下列各式： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据同底数幂运算法则、幂的乘方运算法则及积的乘方运算法则分别计算，再合并即可； （2）根据多项式乘以单项式的法则计算即可． 【详解】（1）解： ； （2） 28．计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)1 (2) (3)0 (4) 【分析】（1）首先计算绝对值，乘方，零指数幂和负整数指数幂，然后计算减法； （2）首先计算积的乘方，然后计算单项式乘以单项式； （3）首先计算积的乘方，然后计算单项式乘以单项式，最后合并同类项； （4）首先计算单项式乘以多项式，然后合并同类项． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 29．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据积的乘方计算，然后根据单项式乘单项式运算法则计算； （2）根据多项式乘多项式运算法则计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 30．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型六、已知多项式乘积不含某项求字母的值 31．若的展开式中不含和项，求的值． 【答案】36 【分析】直接利用多项式乘以多项式进而得出和项的系数为零进而得出答案． 【详解】解： ， 由题意知：展开式中不含和项，则有，， 解得：，， ∴． 32．已知的展开式中不含项，常数项是，求m、n的值． 【答案】， 【分析】先将多项式展开，合并同类项后，根据不含项得到项的系数为，根据常数项是得到常数项的等式，联立两个方程求解、的值． 【详解】解： 由展开式不含项，得， 由常数项为，得， 解得 ， 将代入得， 解得． 33．已知多项式与的乘积中不含有项，常数项为4． (1)求，的值； (2)计算：． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题主要考查多项式乘以多项式，掌握多项式乘以多项式的运算法则是关键.． （1）先计算A与B的乘积，合并同类项后，由乘积中不含有x项和常数项为4，列方程即可得到答案； （2）把代入，利用整式的四则运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解：， 与的乘积中不含有项，常数项为4， ，解得． 把代入，可得， 故． （2）解：根据（1）可知，， ． 34．多项式和多项式的乘积结果中，含项的系数为，含x项的系数为5，求的值． 【答案】 9 【分析】本题主要考查多项式的乘法，二元一次方程组的应用．掌握多项式的乘法法则是解题关键．根据多项式的乘法求出，再根据题意即可列出关于a，b的二元一次方程组，解出a，b的值，再计算即可． 【详解】解： ， ∵多项式和多项式的乘积结果中，含项的系数为，含x项的系数为5， ∴， 解得：． ∴． 35．我们在学习代数式求值时，遇到这样一类题：代数式的值与的取值无关，求的值． 通常的解题思路是：把，看作字母，看作系数，合并同类项，具体解题过程如下： 原式 ∵代数式的值与的取值无关， ∴， 解得： 【理解应用】 (1)若关于的多项式的值与的取值无关，则的值为 ； (2)已知，，且的值与的取值无关，求，的值； 【答案】(1) (2)， 【分析】本题主要考查了多项式乘多项式，整式的化简求值，熟练掌握整式的混合运算顺序和法则及由题意得出相关的方程是解题的关键． （1）由题可知代数式的值与的取值无关，所以含项的系数为0，故将多项式整理为，令系数为0，即可求出； （2）先计算，结合多项式的值与的取值无关，即可求出答案． 【详解】（1）解：， ∵其值与的取值无关， ∴， 解得． 故答案为：． （2）解： ∵的值与的取值无关， ∴，， 解得，． 36．定义：一个多项式A乘一个多项式B，运算结果化简后得到多项式C，若C的项数比A的项数多1，则称B是A的“友好多项式”；若C的项数与A的项数相同，则称B是A的“特别友好多项式”． (1)若，，请判断B是否为A的“友好多项式”，并说明理由． (2)若，均是关于x的多项式，且B是A的“特别友好多项式”，求a的值． 【答案】(1)B是A的“友好多项式”，理由见解析 (2) 【分析】本题主要考查了多项式乘多项式和新定义，熟练掌握以上知识点是解此题的关键． （1）先根据题意，利用多项式乘多项式法则，求出C，然后根据已知条件中的新定义进行判断即可； （2）先计算，再根据B是A的“特别友好多项式”，得到的结果只有两项，据此求解即可． 【详解】（1）解： B是A的“友好多项式”，理由如下： ∵，， ∴ ， ∴满足C的项数比A的项数多1， ∴B是A的“友好多项式”； （2）解： ， 依题意，乘积结果为两项式，故项与项的系数需为0，即且， 解得：． 题型七、多项式乘多项式的化简求值 37．先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】首先计算多项式乘以多项式和单项式乘以多项式，然后合并同类项后代数求解． 【详解】解： ∵， ∴原式． 38．先化简，再求值： (1)，其中； (2)，其中，． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查整式的乘法混合运算，涉及单项式与多项式的乘法，多项式与多项式的乘法，代数式求值，熟练掌握整式的乘法运算法则是解题的关键． （1）先利用单项式与多项式的乘法化简，再合并，最后代入求值即可； （2）先利用多项式与多项式的乘法化简，再合并，最后代入求值即可． 【详解】（1）解： ， 当时，原式； （2）解： ， 当，时，原式． 39．（1） 化简：； （2） 先化简，再求值：，其中，． 【答案】（1）；（2），24 【分析】本题考查整式的化简和求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）直接合并同类项化简即可； （2）先去括号，合并同类项，再代入数值计算． 【详解】解：（1） ； （2） ， 当，时， 原式． 40．先化简．再求值：，其中． 【答案】，0 【分析】本题考查的是整式的混合运算，先计算多项式乘以多项式，单项式乘以多项式，再合并同类项得到化简的结果，最后把代入化简后的代数式进行计算即可． 【详解】解： ， 当时， 原式 ． 41．化简求值：，其中，． 【答案】，． 【分析】本题考查了多项式乘以多项式，单项式乘以多项式，合并同类项，先根据多项式乘以多项式、单项式乘以多项式运算法则分别计算，然后合并同类项进行化简，最后把，代入计算即可，掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解： ， 当，时， 原式 ． 42．“整体思想”在数学中应用极为广泛． 例如：已知，求的值． 解：∵， ∴ ∴． 请尝试应用“整体思想”解决以下问题： (1)已知，求的值； (2)已知，求的值． 【答案】(1)10 (2)58 【分析】本题考查了代数式求值，多项式与多项式的乘法运算，掌握整体代入思想是解题的关键． （1）仿照题例，利用整体代入法解答即可； （2）先化简代数式，再整体代入计算即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴ ． （2）解：∵， ∴， ∴ ． 题型八、多项式乘法中的看错问题 43．小明在计算一个多项式乘以时，因看错运算符号，算成了加上，得到的结果为． (1)求这个多项式； (2)请你帮助小明计算正确的结果． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是多项式乘多项式，整式的加减混合运算．多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加． （1）根据整式的加减混合运算求出原多项式即可； （2）根据多项式乘多项式法则求出正确的结果即可． 【详解】（1）解：多项式 ； （2）解： ． ∴正确的计算结果是． 44．小万和小鹿正在做一道老师留下的关于多项式乘法的习题：． (1)小万在做题时不小心将中的x写成了，结果展开后的式子中不含x的二次项，求a的值； (2)小鹿在做题时将中的一个数字看错成了k，结果展开后的式子中不含x的一次项，则k的值可能是多少？ 【答案】(1) (2)或 【分析】本题主要考查多项式乘以多项式，熟练掌握多项式乘以多项式计算法则是解题的关键． （1）根据多项式乘以多项式计算法则将对应算式展开并合并同类项，令二次系数为，即可求出答案， （2）根据多项式乘以多项式计算法则将对应算式展开并合并同类项，令一次系数为，即可求出答案． 【详解】（1）解： 展开后的式子中不含x的二次项， ， 解得； （2）解：①若将中的3看成k， ， 展开后的式子中不含x的一次项， ， ． ②若将中的看成k， ， 展开后的式子中不含x的一次项， ， 解得． ③若指数2看作k，当时， 原式 不符合题意； ④若指数2看作k，当时， 原式 ， 不符合题意； 或． 45．小红准备完成题目：计算时，她发现第一个因式的一次项系数被一滴墨水遮挡住了． (1)她把被遮住的一次项系数猜成2，请你帮她完成计算：； (2)老师说：“你猜错了，这个题目的正确答案是不含一次项的．”请通过计算说明原题中被遮住的一次项系数是多少？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了多项式乘多项式，解题的关键是掌握多项式相乘的法则． （1）利用多项式乘多项式的法则进行计算即可； （2）设被遮住的一次项系数为，利用多项式乘多项式的法则展开，利用不含一次项得出，求解即可． 【详解】（1）解：由题意知： ； （2）解：设被遮住的一次项系数为， 即， 因为这个题目的正确答案是不含一次项的， 所以，所以， 所以被遮住的一次项系数为． 46．小红准备完成题目：计算时，她发现第一个因式的一次项系数被一滴墨水遮挡住了． (1)她把被遮住的一次项系数猜成2，请你帮她完成计算：； (2)老师说：“你猜错了，这个题目的正确答案是不含一次项的．”请通过计算说明原题中被遮住的一次项系数是多少？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了多项式乘多项式的运算，熟练掌握多项式乘多项式的运算法则是解题的关键． （1）根据多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加即可； （2）设被遮住的一次项系数为，根据多项式乘多项式的运算法则进行计算，再根据正确答案是不含一次项的，得到关于的方程，求出方程的解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：设被遮住的一次项系数为， 即 ， ∵这个题目的正确答案不含一次项的， ∴， 解得：， ∴被遮住的一次项系数为． 47．小红准备完成题目：计算，她发现第一个因式的一次项系数被墨水遮挡住了． (1)她把被遮住的一次项系数猜成3，请你完成计算：； (2)老师说：“你猜错了，这个题目的正确答案是不含一次项的，”请通过计算说明原题中被遮住的一次项系数是多少？ 【答案】(1) (2)2 【分析】（1）根据多项式乘以多项式的计算法则求解即可； （2）设第一次因式的一次项系数为a，则原题目变为，根据多项式乘以多项式的计算法则计算出结果，再根据结果不含一次项即一次项系数为0进行求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：设第一次因式的一次项系数为a，则原题目变为， ， ∵的计算结果不含一次项， ∴， ∴， ∴被遮住的一次项系数是2． 【点睛】本题主要考查了多项式乘以多项式，熟知相关计算法则是解题的关键． 48．小红准备计算题目：▅，发现第一个因式的一次项系数被墨水遮挡住了，已知这个题目的正确答案是不含三次项的，请计算求出原题中被遮住的一次项系数． 【答案】 【分析】本题考查了多项式乘以多项式，多项式中不含某项的条件；设一次项系数为，由多项式乘以多项式得，由多项式中不含某项的条件，即可求解；理解“多项式中不含某一项就是使得这一项的系数为零．”是解题的关键． 【详解】解：设一次项系数为， 正确答案是不含三次项， ， ， 故原题中被遮住的一次项系数为． 题型九、多项式乘法中的规律性问题 49．观察下列各式： ； ； ； … (1)根据前面的规律可求得________（其中为正整数）． (2)根据上述规律求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了平方差公式、多项式乘多项式及其规律问题等知识点，认真观察各式、归纳出规律是解题的关键． （1）由已知等式可得出x的指数为即可解答； （2）将所求代数式乘以，再根据（1）的规律计算即可． 【详解】（1）解：； ； ； …… ． 故答案为：． （2）解： ． 50．在一次数学活动中，数学老师组织学习探究：设是方程的一个根，学习小组成员发现如下一系列等式： (1)根据以上规律，用数字填空：__________； (2)小王同学通过观察比较两个相邻等式，提出了一个猜想：设是正整数，若，则．请你判断这个猜想是否正确，并说明理由． 【答案】(1)13；8 (2)猜想正确；理由见解析 【分析】本题主要考查了整式加减运算的应用，规律探索，多项式乘法，解题的关键是熟练掌握相关的运算法则． （1）根据题干的信息，得出答案即可； （2）根据，，求出，即可证明结论正确． 【详解】（1）解：∵是方程的一个根， ∴， ∴， ∴， ， ， ， ∴； （2）解：猜想正确；理由如下： ∵，， ∴ ， 即， ∴这个猜想正确． 51．【观察思考】 ， ， ， 【规律发现】 （1）根据规律可得 ；（其中n为正整数） 【规律应用】； （2）①计算：； ②若，求的值． 【答案】（1）；（2）①；② 【分析】（1）观察所给等式，发现各部分的变化规律即可解决问题； （2）①把原式化为，再结合（1）中发现的规律进行计算即可； ②由结合条件可得x的值，进而即可求解． 【详解】（1）解：因为， ， ， 所以（其中n为正整数）； （2）②解：原式 ； ②解：因为， 则，即， 解得或， 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意； 故，． 52．观察下列各式： (1)根据以上的规律得：______（为正整数） (2)根据这一规律，计算： 【答案】(1) (2) 【分析】（1）观察已知等式即可求解； （2）化为，即可求解． 【详解】（1）解：； （2）解：原式 ． 53．综合与实践：月历中的奥秘 【提出问题】月历上的数每行、每列之间都存在一定的规律，那这些数字经过运算得到的结果是否也存在规律呢？ 【初步探究】 （1）如图1是2026年1月的月历，小芝在月历中用如图2中所示的“Z型框”框住四个数a，b，c，d．（1）用含a的代数式表示 ； ． 【拓展探究】 （2）探究的值的规律，写出你发现的结论，并说明理由． 【迁移运用】 （3）受月历中日期排列启发，小明研究形如的多项式，其中a，b是正整数且．若a，b可表示某月中两个日期的编号（1～31），请求出所有可能的m值． 【答案】（1），；（2），理由见解析；（3）18或12 【分析】本题主要考查了数字变化的规律及列代数式，能根据题意得出所框月历中四个数的关系是解题的关键． （1）根据所给“Z型框”的特征，用含a的代数式分别表示出b和d即可； （2）根据题意，用a分别表示出其余字母，再据此进行计算即可； （3）根据及a，b为正整数且a，b可表示某月中两个日期的编号（1～31），求出a和b的值，据此得出m的值即可． 【详解】解：（1）由题意得：； 故答案为：，； （2），理由如下： ∵， ∴； （3）因为，a，b为正整数且a，b可表示某月中两个日期的编号（1～31）， 所以或或或． 又因为， 所以或12， 即所有可能的m值为18或12． 54．“杨辉三角”揭示了（为非负数）展开式的各项系数的规律．在欧洲，这个表叫做帕斯卡三角形，帕斯卡是在1654年发现这一规律的，比杨辉要迟393年，比贾宪迟600年，请仔细观察“杨辉三角”中每个数字与上一行的左右两个数字之和的关系： 根据上述规律，完成下列各题： （1）将展开后，各项的系数和为_______． （2）将展开后，各项的系数和为_______． （3）写出的展开式． 下图是世界上著名的“莱布尼茨三角形”，类比“杨辉三角”，根据你发现的规律，回答下列问题： 第一行     第二行     第三行     第四行     第五行           ．．．．．． （4）请你描述一下“莱布尼茨三角形”的数字变化规律． （5）若表示第行，从左到右数第个数，如表示第四行第二个数是，则表示的数是多少？ 【答案】（1）4；（2）；（3）；（4）见解析；（5） 【分析】（1）根据规律可知：将展开后，各项的系数和为4； （2）根据规律可得结论； （3）把展开，即可得出答案； （4）著名的“莱布尼茨三角形”，规律是：①下一行的第1和第2个数相加就等于上一行的第1个数，下一行的第2和第3个数相加就等于上一行的第2个数，以此类推，②每一行的第一个数都是； （5）利用（4）得到的规律，经过计算可得结论． 【详解】解：（1）， ， 故答案为：4； （2）第二行：，各项系数和为， 第三行：，各项系数和为， 第四行：，各项系数和为， 第五行：，各项系数和为， … 第行：展开后各项系数和为； 故答案为：； （3）由（2）得：， 故答案为：； （4）由题意得：这个三角的规律就是下一行的第1和第2个数相加就等于上一行的第1个数，下一行的第2和第3个数相加就等于上一行的第2个数，以此类推，还发现每一行的第一个数都是； （5）由规律可知，分子总是1， 第n行的第一个数的分母就是n， 第二个数的分母是第一个数的倍， 第三个数的分母是第二个数的分母的倍， 第四个数的分母是第三个数的分母的倍， ....， 根据图表的规律，可得第8行第6列为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了对于规律性，杨辉三角和莱布尼茨三角是比较常见的数字变化类，要求学生通过观察、分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题． 题型十、乘法公式 55．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用多项式乘多项式的法则进行求解即可； （2）利用平方差公式和完全平方公式进行运算较简便． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 56．用乘法公式进行简便计算． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)9801 (2) (3)1 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解： 57．用完全平方公式计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查完全平方公式，熟练掌握完全平方公式的结构特征是解题的关键． （1）原式运用完全平方公式进行计算即可； （2）原式运用完全平方公式进行计算即可； （3）原式运用完全平方公式进行计算即可； （4）原式运用完全平方公式进行计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． （4）解： ． 58．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的运算，熟练掌握运算法则和乘法公式是解答本题的关键． （1）先运用单项式乘多项式法则与完全平方公式计算，再合并同类项化简． （2）先运用多项式乘多项式法则与平方差公式展开各项，再去括号合并同类项化简 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 59．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： （2）解： 60．已知，求代数式的值． 【答案】 【分析】先利用乘法公式展开所求代数式，合并同类项后，根据已知等式整体代入计算即可得到结果． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ． 题型十一、通过对完全平方公式变形求值 61．已知，求： (1)； (2)的值 【答案】(1)13 (2)1 【分析】（1）化为，代值计算即可； （2）化为，代值计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 62．已知，．求： (1)的值． (2)的值． 【答案】(1)10 (2) 【详解】（1）解：，， ； （2）解：，， ， ． 63．计算： (1)已知，，求的值； (2)已知，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据，将已知条件代入，即可求解； （2）设，根据已知可得，根据变形，即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴ （2）解：设 ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ 即 64．若满足，求的值． 解：设，，则，， 所以． 请仿照上面的方法求解下面的问题： 若满足，求的值． 【答案】11 【分析】本题主要考查完全平方公式，多项式乘多项式，结合完全平方公式求得关于的等式是解题的关键． 设，，则，再利用完全平方公式可得，即可求解的值，进而可求解． 【详解】解：设，， 则，， 所以， 所以， 解得， 即． 65．数学活动课上，老师准备了图1中三种不同大小的正方形与长方形，拼成了一个如图2所示的正方形． (1)请用两种不同的方法表示图2中阴影部分的面积和． 方法1：__________________；方法2：__________________． (2)请你直接写出三个代数式：，，之间的等量关系． (3)根据等量关系，解决如下问题： 已知，求的值． 【答案】(1)， (2) (3)13 【分析】（1）利用阴影两部分求和、总面积减去空白部分面积计算即可； （2）由（1）的两种方法即可得出； （3）利用，将变形为，再计算即可． 【详解】（1）解：由图可得阴影两部分求和为：， 总面积减去空白部分面积为：， 故答案为：，； （2）解：由题意可得：； （3）解：由（2）可得： ． 66．已知，则代数式的值为___________． 【答案】 【分析】本题考查完全平方公式及代数式求值，熟练掌握完全平方公式是解题关键． 由已知方程变形得出 ，再利用完全平方公式计算所求代数式的值． 【详解】解：∵， ∴， ∴两边除以得，，即， ∴． 故答案为：． 题型十二、求完全平方公式中的字母系数 67．若是一个完全平方式，则k的值为___________ ． 【答案】13或 【分析】利用完全平方公式的结构特征确定出的值即可． 【详解】解：是一个完全平方式， 又，， 根据完全平方公式的结构特征可得： ， 即， 当时，解得， 当时，解得， 68．若关于x的多项式（其中是常数）是完全平方式，则的值是______． 【答案】4 【分析】利用完全平方公式的结构特征判断，即可得到常数的值． 【详解】解：完全平方公式的结构为，将多项式变形可得，对比完全平方公式的结构，可得， ， 69．完全平方公式是非常重要的公式，在整式的化简、数据运算、代数推理、最值计算等方面都有巧妙的作用，根据公式解决下列问题： (1)填空：把下列各式配成完全平方式． ，； (2)求代数式的最小值． 【答案】(1)，；， (2) 【分析】本题考查完全平方公式的应用，非负数的性质，熟练掌握完全平方公式的形式是关键． （1）根据两个完全平方公式的形式，分析出与，然后进行填空即可； （2）利用完全平方公式分别对和的代数式进行配方，利用平方的非负性得出原式的最小值． 【详解】（1）解：根据完全平方公式可得，在代数式中，，，则， ∴， 同理，在代数式中，套用的形式，可得，， ∴． 故答案为：，；，． （2）解：， ， ， ∵，， ∴当，时，原式取得最小值． 70．已知和为有理数，现规定一种新的运算符号，定义，例如：，请根据符号的意义解决下列问题： (1)的值为_____________； (2)若是一个完全平方式，则_____________； (3)已知，且，求的值． 【答案】(1)10 (2) (3) 【分析】本题考查了含乘方的有理数混合运算，完全平方公式的运用，整式的运算，熟练掌握相关运算方法，准确计算为解题关键． （1）根据题目中给出的定义代入计算即可； （2）根据题目中给出的定义代入得到式子，再根据完全平方公式求解即可； （3）先根据题目中给出的定义得到，再利用完全平方公式得出，代入求解即可． 【详解】（1）解：， ， 故答案为：10； （2） ， 是一个完全平方式， ， ， ， 故答案为：； （3） ， ， ， ． 71．【教材呈现】 （1）分解因式： ①______；②______；③______；④______． 【归纳总结】 （2）观察以上四个多项式的系数： ，，，． 于是玉玉猜测：若多项式是完全平方式，则系数a，b，c一定存在某种关系，请你用数学式子表示a，b，c之间的数量关系：______； 【解决问题】 （3）若多项式是一个完全平方式，求实数t的值． 【答案】（1）① ② ③ ④ ；（2）（3）或 【分析】本题考查因式分解，数字类规律探究，熟练掌握完全平方公式法因式分解是解题的关键： （1）利用完全平方公式法进行因式分解即可； （2）根据给出的等式，即可得出结果； （3）根据（2）中的规律进行求解即可． 【详解】解：（1）①；②；③；④； （2）由题意可知：； （3）由（2）可知：，解得或． 72．已知代数式． (1)化简代数式． (2)若（a为常数）是完全平方式，求的值． 【答案】(1) (2)． 【分析】本题主要考查了完全平方公式、平方差公式的应用及整式的化简求值，熟练掌握乘法公式的展开法则与完全平方式的结构特征是解题的关键． （1）通过完全平方公式、平方差公式展开代数式，再合并同类项化简； （2）根据完全平方式的结构特征求出的值，代入化简后的代数式计算． 【详解】（1）解： ； （2）解：∵是完全平方式，， ∴， 将代入得 ． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $