6.2.2向量的减法法运算 同步练习-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

6.2.2 向量的减法运算 同步练习题 2025-2026学年第二学期高一数学人教A版必修第二册 【学习目标】 1.理解相反向量的含义，向量减法的意义及减法法则.(重点) 2.掌握向量减法的几何意义. 3.能熟练地进行向量的加、减综合运算.(难点) 【例题精练】 【例1】化简： (1)； (2). 【例2】如图，已知，，，，，试用，，，，表示以下向量： (1)； (2)； (3)－； (4)＋； (5)－. 【例3】如图所示，已知平行四边形中，，． (1)用，表示向量，； (2)当，满足什么条件时，与垂直； (3)当，满足什么条件时，． 【A组基础达标】 一、单选题 1．非零向量与是相反向量，下列不正确的是（   ） A． B． C． D．方向相反 2．如图，设，，，则等于（　　） A． B． C． D． 3．若是非零向量，则“”是“”的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 4．已知菱形的边长为1，，则（   ） A．1 B． C． D．2 5．如图所示，单位圆上有动点A，B，当取得最大值时，等于（    ） A．0 B． C．1 D．2 二、多选题 6．下列关于向量的加、减运算的结果为的是（   ） A． B． C． D． 7．对于菱形ABCD，给出下列各式，其中结论正确的为（    ） A． B． C． D． 三、填空题 8．若，则的取值范围是__________. 9．如图，在三角形ABC中，若D是边BC的中点，E是边AB上一点，则________. 四、解答题 10．已知点是平行四边形内一点，且＝，＝，＝，试用表示向量、、、及． 【B组能力提升】 1．四边形中，O为任意一点，若，则四边形一定是（   ） A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．平行四边形 2．在平面上有A，B，C三点，设若与的长度恰好相等，则有（     ） A．A，B，C三点必在一条直线上 B．△ABC必为等腰三角形且∠B为顶角 C．△ABC必为直角三角形且∠B为直角 D．△ABC必为等腰直角三角形 3．已知非零向量满足，且，则____. 4．已知非零向量满足，则___________. 5．在平行四边形中，已知，且，．求． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 6.2.2 向量的减法运算 同步练习题 2025-2026学年第二学期高一数学人教A版必修第二册 【例题精练】 【例1】化简： (1)； (2). 【答案】(1) (2) 【分析】（1）（2）利用向量减法法则化简即得. 【详解】（1）. （2）. 【例2】如图，已知，，，，，试用，，，，表示以下向量： (1)； (2)； (3)－； (4)＋； (5)－. 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【分析】由向量减法法则依次计算即可得出各小问的结果. 【详解】（1）. （2）. （3）. （4）. （5）. 【例3】如图所示，已知平行四边形中，，． (1)用，表示向量，； (2)当，满足什么条件时，与垂直； (3)当，满足什么条件时，． 【答案】(1)，． (2)，应该满足 (3)，应互相垂直． 【分析】（1）由向量加法和减法法则即可直接得解； （2）由与垂直得到四边形ABCD为菱形即可求解； （3）由得到平行四边形为矩形即可求解. 【详解】（1），； （2）若与垂直，即平行四边形的两条对角线互相垂直， 则四边形为菱形， 所以，应该满足； （3）表示平行四边形的两条对角线的长相等， 这样的平行四边形为矩形，故，应互相垂直． 【A组基础达标】 一、单选题 1．非零向量与是相反向量，下列不正确的是（   ） A． B． C． D．方向相反 【答案】A 【分析】由相反向量的定义可判断. 【详解】因为非零向量与是相反向量，所以，模长相等，方向相反. 故选：A 2．如图，设，，，则等于（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由平面向量加法和减法的几何意义进行求解即可. 【详解】. 故选：A 3．若是非零向量，则“”是“”的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【分析】结合，设，，根据充分性和必要性两个角度分别判断即得. 【详解】如图作，设，， 由向量加法的平行四边形法则知：由可得是菱形， 因菱形的对角线不一定相等，故不一定成立，即充分性不成立； 又由可得是矩形，因矩形的一组邻边不一定相等， 故也不一定成立，即必要性不成立. 故“”是“”的既不充分也不必要条件. 故选：D. 4．已知菱形的边长为1，，则（   ） A．1 B． C． D．2 【答案】A 【分析】根据题意可得，结合向量的减法运算和模的定义求解. 【详解】如图： 因为菱形的边长为1，，所以是正三角形， 故，所以. 故选：A 5．如图所示，单位圆上有动点A，B，当取得最大值时，等于（    ） A．0 B． C．1 D．2 【答案】D 【分析】由题可得，可得为直径时最大. 【详解】因为，A，B是单位圆上的动点， 所以的最大值为2，此时与反向. 故选：D. 二、多选题 6．下列关于向量的加、减运算的结果为的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】利用平面向量的加减法逐项判断即可. 【详解】对于A选项，； 对于B选项，； 对于C选项，； 对于D选项，. 故选：ABD. 7．对于菱形ABCD，给出下列各式，其中结论正确的为（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【解析】由向量的加法减法法则及菱形的几何性质即可求解. 【详解】菱形中向量与的方向是不同的，但它们的模是相等的， 所以B结论正确，A结论错误； 因为，，且， 所以，即C结论正确； 因为， ，所以D结论正确. 故选：BCD 三、填空题 8．若，则的取值范围是__________. 【答案】 【分析】由，对是否共线进行分类讨论即可求解. 【详解】， 当同向共线时，； 当反向共线时，； 当不共线时，由，可得. 综上可得. 故答案为：. 9．如图，在三角形ABC中，若D是边BC的中点，E是边AB上一点，则________. 【答案】 【分析】利用平面向量的几何意义以及平面向量加法运算法则求解 【详解】因为D是边BC的中点， 所以 所以 故答案为： 四、解答题 10．已知点是平行四边形内一点，且＝，＝，＝，试用表示向量、、、及． 【详解】∵四边形为平行四边形． ∴＝＝； ＝－＝； ＝－＝ ； ＝－＝ ； ＝＋＝ ． 【B组能力提升】 1．四边形中，O为任意一点，若，则四边形一定是（   ） A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．平行四边形 【答案】D 【分析】根据向量的减法可得，进而分析求解即可. 【详解】因为，则，即， 可知两边平行且相等，所以四边形是平行四边形， 但没有足够条件判断是否为矩形、菱形或正方形，故ABC错误，D正确. 故选：D. 2．在平面上有A，B，C三点，设若与的长度恰好相等，则有（     ） A．A，B，C三点必在一条直线上 B．△ABC必为等腰三角形且∠B为顶角 C．△ABC必为直角三角形且∠B为直角 D．△ABC必为等腰直角三角形 【答案】C 【分析】以为邻边作平行四边形，根据m，n的长度相等可知平行四边形一定是矩形,即可判断. 【详解】以为邻边作平行四边形，则由m，n的长度相等可知，两对角线相等，因此平行四边形一定是矩形,所以△ABC必为直角三角形且∠B为直角． 故选：C. 3．已知非零向量满足，且，则____. 【答案】4 【分析】根据向量加减运算及向量的模长可得出平行四边形OACB是矩形，由矩形对角线相等得解. 【详解】如图所示，设，， 则， 以OA，OB为邻边作平行四边形OACB，则， 由于， 故， 所以是直角三角形，， 从而OA⊥OB，所以平行四边形OACB是矩形， 根据矩形的对角线相等得，即. 故答案为：4 4．已知非零向量满足，则___________. 【答案】 【分析】根据向量减法的三角形法则得三角形为等边三角形，根据等边三角形的几何特征进行计算即可. 【详解】如图当时，为等边三角形， 则为线段的长度， 所以. 故答案为：. 5．在平行四边形中，已知，且，．求． 【答案】 【分析】根据得到平行四边形是矩形，，计算得到答案. 【详解】，，，故， 故平行四边形是矩形, ，， ， =. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $