第二十章 整式的乘法（知识清单）数学新教材人教版五四制七年级下册

第二十章 整式的乘法 知识点一 同底数幂的乘法 1.同底数幂的乘法性质：(其中都是正整数).即同底数幂相乘，底数不变，指数相加. 2.同底数幂的乘法的逆用公式：把一个幂分解成两个或多个同底数幂的积，其中它们的底数与原来的底数相同，它们的指数之和等于原来的幂的指数.即（都是正整数）. 知识点二 幂的乘方 1.幂的乘方法则： (其中都是正整数).即幂的乘方，底数不变，指数相乘. 2.幂的乘方法则逆用公式： ，根据题目的需要常常逆用幂的乘方运算能将某些幂变形，从而解决问题. 知识点三 积的乘方 1.积的乘方法则： (其中是正整数).即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘. 2.积的乘方法则逆用公式：逆用公式适当的变形可简化运算过程，尤其是遇到底数互为倒数时，计算更简便. 知识点四 整式的乘法 1.单项式乘法法则：单项式相乘，把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，连同它的指数作为积的一个因式. 　 2.单项式乘以多项式，是通过乘法的分配律，把它转化为单项式乘以单项式，即单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加. 即（a+b+c)m=am+bm+cm　　 3.多项式与多项式相乘，先用一个多项式中的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加. 即（a+b)(m+n)=am+an+bm+bn 　 知识点五 同底数幂的除法 1.(其中都是正整数).即同底数幂相除，底数不变，指数相减. 2.零指数幂：（a≠0） 负指数幂：（a≠0，p是正整数） 知识点六 乘法公式 1.平方差公式:两个数的和与这两个数的差的积,等于这两个数的平方差.即(a+b)(a-b)=a²-b² 　 2.完全平方公式:两数和(差)的平方,等于它们的平方和,加(减)它们积的2倍. 易错点1 幂的混合运算易错 1. 符号规则易混淆 负数的幂运算需先定符号：当指数为偶数时，结果为正；指数为奇数时，结果为负。 注意-an与(-a)n区别：前者是an的相反数，后者是a的n次幂。 2. 运算法则易混用 先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号先算括号内，不可颠倒顺序。 同底数幂相乘（am*an = am+n）、相除（am÷an = am-n）与幂的乘方（(am)n = amn）法则勿混淆。 例1．（24-25八年级上·福建泉州·期中）计算： 【答案】 【分析】本题考查了同底数幂的除法、幂的乘方、积的乘方运算法则以及合并同类项等知识；利用同底数幂的除法、幂的乘方、积的乘方运算法则以及合并同类项的知识计算即可． 【详解】解： ． 易错点2 含零指数运算易错 1. 底数取值易忽略限制 零指数幂的核心前提是底数不为0，即a0 = 1（a≠ 0）。若忽略此条件，直接计算00，结果无意义，这是最常见错误，需先判断底数是否为0，再进行运算。 2. 符号与底数界定易混淆 当底数含负号时，需先明确底数范围，如(-2)0 = 1（底数-2≠0，符合条件），但-20 = -1（此时底数是2，先算20=1，再取相反数），勿将负号归为底数导致结果错误。 例2．（24-25七年级上·湖南长沙·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了实数的混合运算，先算乘方、开方、绝对值，再算加减即可． 【详解】 ． 易错点3 利用幂的运算求代数式的值易错 1. 法则逆用易忽略指数关系 逆用同底数幂乘法（am+n=am × an）、幂的乘方（amn=(am)n）时，常忽略指数拆解合理性。如已知a2=3，求a6，需拆为(a2)3，而非错误拆成a4 × a2（未知a4），需先观察所求指数与已知指数的倍数或和差关系。 2. 符号与整体代换易出错 若底数含负号，代换时需保留符号，如(-a)3=-a3，勿漏负号；整体代换（如求(a2)3 - (a3)2）时，需先分别运算再相减，避免直接合并指数导致计算失误，确保每步遵循运算法则。 例3．（24-25七年级下·江苏扬州·阶段练习）（1）已知，求的值． （2）已知n为正整数，且，求的值． 【答案】（1）；（2）． 【分析】本题考查了幂的混合运算，代数式求值，掌握相关知识是解题的关键． （1）由题意可求出，根据幂的乘方逆运算和同底数幂的乘法运算可将式子变形为，整体代入求值即可； （2）根据幂的乘方和其逆用法则可将所求式子变形为，将代入求值即可． 【详解】解：（1）∵， ∴， ； （2）∵， ∴ ． 易错点4 求完全平方式中的字母系数易错 1. 忽略“±”符号致漏解 完全平方式有两种形式：(ab)2 = a2 2ab + b2，求中间项系数时，常漏写“±”。 2. 误判“a”“b”对应关系 当式子含字母系数的平方项时，易混淆a、b。 例4．（24-25八年级下·甘肃张掖·期末）如果是一个完全平方式，那么的值为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题关键．根据完全平方公式可得，利用完全平方公式计算即可得． 【详解】解：是一个完全平方式， ∴， ， ， 解得：或， 故答案为：或． 易错点4 利用乘法公式简便运算易错 1. 公式选择与适用条件易混淆 需先判断运算类型匹配公式：如遇两数和（差）的平方用完全平方公式，遇两数和乘差用平方差公式，勿混淆。 2. 符号与系数计算易失误 用完全平方公式时，勿漏中间项符号或系数的2倍；用平方差公式时，确保两数“一同一反”，若为(3-2a)(2a-3)，需先变形为-(2a-3)^2，再计算，避免符号错误导致结果偏差。 例5．（25-26八年级上·全国·课后作业）运用乘法公式计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了完全平方公式，平方差公式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用完全平方公式进行计算，即可作答． （2）先运用平方差公式进行计算，再结合完全平方公式进行计算，即可作答． （3）先运用平方差公式进行计算，再结合完全平方公式进行计算，即可作答． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． 易错点5 整式运算中的无关问题易错 1. 忽略“合并同类项”步骤致误 解决与某字母无关的问题，核心是让该字母的系数为0。常因未彻底合并同类项，直接判断系数。如化简3x^2 + (m+2)x - 5 - mx^2，需先合并x^2项得(3 - m)x^2、x项得2x，再令3 - m = 0求m，若漏合并直接分析，会得出错误结果。 2. 混淆“无关字母”与“常数项” 易误将不含无关字母的项当作需消去的部分。例如“式子与x无关”，只需消去所有含x的项（让其系数为0），常数项无需处理。如式子(2k - 1)x + 3与x无关，仅需2k - 1 = 0，勿错误地让常数项3也为0，导致求解偏差。 例5．（24-25七年级上·湖南株洲·期末）定义，如． (1)若，求x的值； (2)若的值与x无关，求值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查新定义运算，涉及解方程及方程组、整式运算、多项式无关项问题等知识，读懂题意，掌握新定义运算，灵活转化为解方程及解方程组问题是解决问题的关键． （1）根据定义得出，进行求解即可； （2）根据题意得出，求出的值即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得， 整理得， ； （2）解： ∵值与x无关， ∴ 解得， ∴． 易错点6 整式运算的中的新定义型问题易错 1. 未吃透新定义规则致错 解新定义问题需先逐字分析规则，明确运算符号、优先级及限制条件，忌凭经验套用旧公式。如定义“a※b = 2a^2 - 3ab”，计算“3※(-2)”时，需将a=3、b=-2完整代入，勿漏2a^2的系数2或错算-3ab的符号，避免因规则理解不全导致运算偏差。 2. 忽略整式性质与新定义结合 新定义运算常需结合整式化简、同类项合并等知识，易忽略二者衔接。如定义“A△B = (A - B) + 2A”，化简“(2x^2)△(x^2 - 1)”时，需先按定义展开得(2x^2 - x^2 + 1) + 4x^2，再合并同类项，勿直接省略化简步骤，导致结果未达最简或出错。 例6．（24-25七年级下·江苏无锡·阶段练习）新定义：如果，那么我们称是关于的“圆满数”． (1)是______关于的“圆满数”；是______关于的“圆满数”(用含的代数式表示)； (2)若，，判断是否是关于的“圆满数”，并说明理由． 【答案】(1)， (2)是，理由见解析 【分析】本题考查了整式的乘法，整式的加减；解决本题的关键是根据“圆满数”的定义解决问题． （1）因为，那么我们称是关于的“圆满数”，所以是关于的“圆满数”，，是关于的“圆满数”，据此解答； （2）因为，，所以，如果结果是，我们称是关于的“圆满数”，如果不是，不是关于的“圆满数”． 【详解】（1）解：因为，那么我们称是关于的“圆满数”， 所以， 即是关于的“圆满数”， ， 所以是关于10的“圆满数”． 故答案为：，． （2）因为，, 所以 ， 即， 所以是关于的“圆满数”． 易错点7 利用乘法公式求解几何图形问题易错 1. 几何量与公式对应易混淆 需先明确图形边长、面积等几何量，再匹配乘法公式。如求正方形面积，若边长为a+b，用完全平方公式(a+b)^2=a^2+2ab+b^2，勿错用平方差公式；求长方形面积，若长、宽为x+y和x-y，才用平方差公式，避免因几何量与公式不匹配导致计算错误。 2. 忽略图形关系致条件遗漏 解题时需先分析图形间的和差、倍数关系，再代入公式。如两个正方形边长差为2、面积差为24，需设边长为a和a-2，用平方差公式a^2-(a-2)^2=24求解，勿漏边长关系直接套用公式，确保先建立几何量联系，再用公式计算。 例7．（24-25七年级下·内蒙古包头·期中）从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． (1)上述操作能验证的等式是______． (2)应用你（1）中得出的等式，完成下列各题： ①已知，，求的值． ②计算：． 【答案】(1) (2)①3；② 【分析】本题考查平方差公式，掌握平方差公式的结构特征是正确解答的关键． （1）分别用代数式表示图1、图2中阴影部分的面积即可； （2）①利用平方差公式将，再代入计算即可； ②将原式化为，再连续利用平方差公式即可． 【详解】（1）解：图1阴影部分的面积可以看作两个正方形的面积差，即，拼成的图2是长为，宽为的长方形， 面积为， ， 故答案为：； （2）解：① ； ② ． 9．（21-22八年级上·广东东莞·期末）如图1是一个长为，宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图2）． (1)如图1，面积为______；如图2，阴影部分的面积为________； (2)观察图2请你写出之间的等量关系是______； (3)根据（2）中的结论，解决问题：若，，求的值； (4)变式应用：若，求． 【答案】(1)；； (2) (3)或 (4) 【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，完全平方公式的变形应用，理解图形中各部分面积之间的关系是解题关键． （1）根据图形直接列代数式即可； （2）从整体和个体两方面分析大正方形的面积解答； （3）代入（2）中结论计算即可； （4）设， 得 ， ，再结合（2）中结论解答即可． 【详解】（1）解：如图1，面积为， 如图2，阴影部分的面积为， 故答案为：；； （2）解：由图2可知：大正方形的面积为，或， ， 故答案为：； （3）解：根据（2）中的结论，可得： ， 把，代入， ， 故或； （4）解：设，                        ， ，    ， ， ， ， ，         ． 故的值为． 一、单选题 1．（2025八年级上·全国·专题练习）下列四个算式中正确的有（   ） ①；②；③；④． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查了幂的乘方，解答本题的关键是熟练掌握幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘．根据幂的乘方法则依次分析即可得到结果． 【详解】解：①，故该选项错误； ②，故该选项正确； ③，故该选项正确； ④，故该选项错误； 正确的有②③，共个， 故选：C． 2．（24-25七年级下·江苏无锡·阶段练习）若的展开式中不含x项，则实数m的值为（　　） A． B．0 C．3 D．6 【答案】D 【分析】本题考查多项式乘多项式的法则，不含某一项就是该项的系数等于0．先根据多项式乘多项式展开式子，合并同类项，令的一次项的系数为0，进而求出的值．掌握多项式乘多项式的法则和合并同类项是解题的关键． 【详解】解：， 展开式中不含项， ， ， 故选：D． 3．（25-26八年级上·全国·单元测试）如果可以用完全平方公式进行因式分解，那么常数k的值是（   ） A．7 B． C．14 D． 【答案】D 【分析】本题考查了多项式的因式分解和完全平方式，属于常考题型，正确理解题意、熟练掌握基本知识是解题关键． 由题意可得是完全平方式，然后根据完全平方式的特点解答即可． 【详解】解：因为可以用完全平方公式进行因式分解， 所以， 所以． 故选：D． 二、填空题 4．（24-25七年级下·江苏扬州·期末）若是完全平方式，则m的值是 ． 【答案】1或 【分析】本题主要考查完全平方式的概念，掌握完全平方式的形式特点是解题的关键． 根据完全平方式的定义，可得，即可求出m的值． 【详解】解：一般地，形如的式子叫做完全平方式． 由于， 所以 解得或 故答案为：或 5．（24-25八年级上·湖北武汉·期末）若，，m，n为正整数，则的值等于 ． 【答案】 【分析】本题考查了同底数幂相乘的逆用，幂的乘方，利用运算法则将所求式子变形为，整体代入计算即可得解，熟练掌握运算法则，正确进行变形是解此题的关键． 【详解】解：∵，，m，n为正整数， ∴， 故答案为：． 6．（2024七年级下·河南郑州·竞赛）已知的乘积中不含项与项，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了已知多项式乘积不含某项求字母的值，多项式乘多项式法则，把式子展开，找到项与和项的所有系数，令其为，求出和的值，然后代入要求的式子进行计算即可，解题的关键是合并同类项时要注意项中的指数及字母是否相同，不含某一项就是说这一项的系数为． 【详解】解：∵ ， 又∵结果中不含项与项， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：． 三、解答题 7．（23-24七年级下·江西九江·期中）利用公式计算： (1) (2) 【答案】(1) (2)1 【分析】本题考查了平方差公式、完全平方公式，熟练掌握平方差公式、完全平方公式是解题的关键． （1）先利用平方差公式，再利用完全平方公式计算即可； （2）利用平方差公式计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 8．（24-25七年级下·安徽安庆·期末）定义为二阶行列式，规定它的运算法则为：．例如：． (1)求的值； (2)若，求的值． 【答案】(1)1 (2) 【分析】本题考查新定义运算，平方差公式，完全平方公式，根据新定义进行计算是解题的关键． （1）根据二阶行列式的运算法则进行计算即可求解； （2）根据二阶行列式的运算法则建立方程，根据完全平方公式进行计算，解方程即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解：∵， ∴， 即， 解得． 9．（24-25七年级下·贵州铜仁·阶段练习）关于x的代数式化简后不含的项和常数项． (1)分别求m、n的值； (2)求的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了整式的混合运算，幂的乘方与积的乘方，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）根据整式的混合运算法则将括号打开，再合并同类项即可化简，再由题意可得，，求解即可； （2）将，代入式子计算即可得解． 【详解】（1）解：， ∵关于x的代数式化简后不含的项和常数项， ∴，， ∴，； （2）解：∵，， ∴ 10．（24-25七年级下·江苏扬州·阶段练习）若（且，m、n是正整数），则．利用上面结论解决下面的问题： (1)如果，求x的值； (2)如果，求x的值； (3)若，，用含x的代数式表示y（结果需要化简）． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了逆用幂的乘方法则，逆用同底数幂的乘法则，解题关键是掌握逆用幂的乘方法则和逆用同底数幂的乘法则． （1）利用逆用幂的乘方法则计算； （2）逆用同底数幂的乘法计算； （3）逆用幂的乘方法则计算． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴，解得：； （2）∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 即． 11．（24-25八年级上·全国·期末）定义：任意两个数a，b，按规则运算得到一个新数c，称c为a，b的“和方差数”． (1)求的“和方差数”． (2)若两个非零数a，b的积是a，b的“和方差数”，求的值． (3)若，求a，b的“和方差数”c． 【答案】(1)19 (2)0 (3) 【分析】本题考查了含乘方的有理数的运算，完全平方公式的应用．掌握“和方差数”的定义是解题的关键． （1）根据新定义计算即可； （2）根据新定义，可得，即，再将其代入中计算即可； （3）根据题意，可知，再将代入计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：∵两个非零数a，b的积是a，b的“和方差数”， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴ ． 12．（24-25八年级上·广东东莞·期末）如图①所示，边长为的正方形中有一个边长为的小正方形，如图②所示是由图①中的阴影部分拼成的一个长方形． (1)设图①中阴影部分的面积为，图②中阴影部分的面积为，请直接用含，的式子表示，； 并写出上述过程所揭示的公式； (2)拓展提升：试利用这个公式计算： (3)迁移应用：计算 【答案】(1)，， (2) (3)2 【分析】本题考查的是平方差公式的几何应用，平方差公式的应用，熟练地推导平方差公式与运用平方差公式解决问题是关键． （1）图①阴影部分的面积等于大的正方形的面积减去小的正方形面积，图②阴影部分的面积为长方形的面积，从而可得答案；由图①与图②阴影部分的面积相等可得公式； （2）先把原式乘以，再利用平方差公式依次从左至右的进行计算即可． （3）先把原式乘以，再利用平方差公式依次从左至右的进行计算即可． 【详解】（1）解：，， ∵， ∴； （2）解： ； （3）解： . 13．（24-25七年级下·四川雅安·阶段练习）所谓完全平方式，就是对于一个整式A，如果存在另一个整式B，使，则称A是完全平方式，例如：，，所以，就是完全平方式．请解决下列问题： (1)已知，，则_______； (2)如果是一个完全平方式，则k的值为_______； (3)若x满足，求的值． 【答案】(1)6 (2)5或 (3)60 【分析】本题考查完全平方公式的应用，包括完全平方公式的展开与变形，完全平方公式的结构特征，熟练掌握完全平方公式是解决本题的关键． （1）利用完全平方公式将展开式，利用已知条件即可求出； （2）根据完全平方公式的形式，将整理成的形式，即可求解k的值； （3）先求出的值，再使用完全平方公式求解即可． 【详解】（1）解：∵， 又∵， ∴， 解得； 故答案为：6； （2）解：∵是一个完全平方式， ∴即， 即， 当，解得， 当，解得， ∴k的值为5或； 故答案为：5或； （3）解：∵， ∵， 又∵， 即， ∴， 解得． 14．（22-23七年级下·河南郑州·阶段练习）图是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图b的形状拼成一个正方形． (1)你认为图中的阴影部分的正方形的边长等于__________； (2)请用两种不同的方法求图中阴影部分的面积．（只需列出，不必化简） 方法1：__________，方法2：__________； (3)观察图你能写出下列三个代数式之间的等量关系吗？ 代数式的关系是__________． (4)根据（3）题中的等量关系，解决如下问题：若，求． 【答案】(1) (2)， (3) (4)29 【分析】本题考查完全平方公式的几何背景、正方形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． （1）由题中的已知数量结合图形即可得到图b中阴影部分正方形的边长； （2）①由（1）中所得阴影部分正方形的边长可表达出其面积；②由已知条件结合图形可得图b中大正方形的边长为，由大正方形的面积减去4个小矩形的面积可得阴影部分的面积； （3）由（2）中阴影部分小正方形面积的两种不同表示方法即可得到三个式子间的数量关系； （4）应用（3）中所得数量关系进行解答即可． 【详解】（1）解：由题意可得图b中阴影部分的小正方形的边长为：； 故答案为：； （2）解：方法1：由（1）可知阴影部分的小正方形的边长为， 阴影部分小正方形的面积为：； 方法2：由题意可得图b中大正方形的边长为：， 阴影部分小正方形的面积为：； 故答案为：； （3）解：由（2）可得：小正方形的面积， 三个式子间的数量关系为：； 故答案为：； （4）解：根据题意得：， 由（2）中所得数量关系可得：． 故答案为：29． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十章 整式的乘法 知识点一 同底数幂的乘法 1.同底数幂的乘法性质：(其中都是正整数).即同底数幂相乘， ，指数 . 2.同底数幂的乘法的逆用公式：把一个幂分解成两个或多个同底数幂的积，其中它们的底数与原来的底数 ，它们的指数 等于原来的 .即（都是正整数）. 知识点二 幂的乘方 1.幂的乘方法则： (其中都是正整数).即幂的乘方，底数 ，指数 . 2.幂的乘方法则逆用公式： ，根据题目的需要常常逆用幂的乘方运算能将某些幂变形，从而解决问题. 知识点三 积的乘方 1.积的乘方法则： (其中是正整数).即积的乘方，等于把积的每一个因式分别 ，再把所得的幂 . 2.积的乘方法则逆用公式：逆用公式适当的变形可简化运算过程，尤其是遇到底数互为倒数时，计算更简便. 知识点四 整式的乘法 1.单项式乘法法则：单项式相乘，把它们的系数、相同字母分别 ，对于只在一个单项式里含有的字母，连同它的指数作为积的 . 　 2.单项式乘以多项式，是通过乘法的分配律，把它转化为单项式乘以单项式，即单项式与多项式 ，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的 . 即（a+b+c)m=am+bm+cm　　 3.多项式与多项式相乘，先用一个多项式中的每一项乘以另一个多项式的 ，再把所得的积 . 即（a+b)(m+n)=am+an+bm+bn 　 知识点五 同底数幂的除法 1.(其中都是正整数).即同底数幂相除，底数 ，指数 . 2.零指数幂：（a≠0） 负指数幂：（a≠0，p是正整数） 知识点六 乘法公式 1.平方差公式:两个数的和与这两个数的 ,等于这两个数的 .即(a+b)(a-b)=a²-b² 　 2.完全平方公式:两数和(差)的平方,等于它们的 ,加(减)它们积的 . 易错点1 幂的混合运算易错 1. 符号规则易混淆 负数的幂运算需先定符号：当指数为偶数时，结果为正；指数为奇数时，结果为负。 注意-an与(-a)n区别：前者是an的相反数，后者是a的n次幂。 2. 运算法则易混用 先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号先算括号内，不可颠倒顺序。 同底数幂相乘（am*an = am+n）、相除（am÷an = am-n）与幂的乘方（(am)n = amn）法则勿混淆。 例1．（24-25八年级上·福建泉州·期中）计算： 易错点2 含零指数运算易错 1. 底数取值易忽略限制 零指数幂的核心前提是底数不为0，即a0 = 1（a≠ 0）。若忽略此条件，直接计算00，结果无意义，这是最常见错误，需先判断底数是否为0，再进行运算。 2. 符号与底数界定易混淆 当底数含负号时，需先明确底数范围，如(-2)0 = 1（底数-2≠0，符合条件），但-20 = -1（此时底数是2，先算20=1，再取相反数），勿将负号归为底数导致结果错误。 例2．（24-25七年级上·湖南长沙·期末）计算：． 易错点3 利用幂的运算求代数式的值易错 1. 法则逆用易忽略指数关系 逆用同底数幂乘法（am+n=am × an）、幂的乘方（amn=(am)n）时，常忽略指数拆解合理性。如已知a2=3，求a6，需拆为(a2)3，而非错误拆成a4 × a2（未知a4），需先观察所求指数与已知指数的倍数或和差关系。 2. 符号与整体代换易出错 若底数含负号，代换时需保留符号，如(-a)3=-a3，勿漏负号；整体代换（如求(a2)3 - (a3)2）时，需先分别运算再相减，避免直接合并指数导致计算失误，确保每步遵循运算法则。 例3．（24-25七年级下·江苏扬州·阶段练习）（1）已知，求的值． （2）已知n为正整数，且，求的值． 易错点4 求完全平方式中的字母系数易错 1. 忽略“±”符号致漏解 完全平方式有两种形式：(ab)2 = a2 2ab + b2，求中间项系数时，常漏写“±”。 2. 误判“a”“b”对应关系 当式子含字母系数的平方项时，易混淆a、b。 例4．（24-25八年级下·甘肃张掖·期末）如果是一个完全平方式，那么的值为 ． 易错点4 利用乘法公式简便运算易错 1. 公式选择与适用条件易混淆 需先判断运算类型匹配公式：如遇两数和（差）的平方用完全平方公式，遇两数和乘差用平方差公式，勿混淆。 2. 符号与系数计算易失误 用完全平方公式时，勿漏中间项符号或系数的2倍；用平方差公式时，确保两数“一同一反”，若为(3-2a)(2a-3)，需先变形为-(2a-3)^2，再计算，避免符号错误导致结果偏差。 例5．（25-26八年级上·全国·课后作业）运用乘法公式计算： (1)； (2)； (3)． 易错点5 整式运算中的无关问题易错 1. 忽略“合并同类项”步骤致误 解决与某字母无关的问题，核心是让该字母的系数为0。常因未彻底合并同类项，直接判断系数。如化简3x^2 + (m+2)x - 5 - mx^2，需先合并x^2项得(3 - m)x^2、x项得2x，再令3 - m = 0求m，若漏合并直接分析，会得出错误结果。 2. 混淆“无关字母”与“常数项” 易误将不含无关字母的项当作需消去的部分。例如“式子与x无关”，只需消去所有含x的项（让其系数为0），常数项无需处理。如式子(2k - 1)x + 3与x无关，仅需2k - 1 = 0，勿错误地让常数项3也为0，导致求解偏差。 例5．（24-25七年级上·湖南株洲·期末）定义，如． (1)若，求x的值； (2)若的值与x无关，求值． 易错点6 整式运算的中的新定义型问题易错 1. 未吃透新定义规则致错 解新定义问题需先逐字分析规则，明确运算符号、优先级及限制条件，忌凭经验套用旧公式。如定义“a※b = 2a^2 - 3ab”，计算“3※(-2)”时，需将a=3、b=-2完整代入，勿漏2a^2的系数2或错算-3ab的符号，避免因规则理解不全导致运算偏差。 2. 忽略整式性质与新定义结合 新定义运算常需结合整式化简、同类项合并等知识，易忽略二者衔接。如定义“A△B = (A - B) + 2A”，化简“(2x^2)△(x^2 - 1)”时，需先按定义展开得(2x^2 - x^2 + 1) + 4x^2，再合并同类项，勿直接省略化简步骤，导致结果未达最简或出错。 例6．（24-25七年级下·江苏无锡·阶段练习）新定义：如果，那么我们称是关于的“圆满数”． (1)是______关于的“圆满数”；是______关于的“圆满数”(用含的代数式表示)； (2)若，，判断是否是关于的“圆满数”，并说明理由． 易错点7 利用乘法公式求解几何图形问题易错 1. 几何量与公式对应易混淆 需先明确图形边长、面积等几何量，再匹配乘法公式。如求正方形面积，若边长为a+b，用完全平方公式(a+b)^2=a^2+2ab+b^2，勿错用平方差公式；求长方形面积，若长、宽为x+y和x-y，才用平方差公式，避免因几何量与公式不匹配导致计算错误。 2. 忽略图形关系致条件遗漏 解题时需先分析图形间的和差、倍数关系，再代入公式。如两个正方形边长差为2、面积差为24，需设边长为a和a-2，用平方差公式a^2-(a-2)^2=24求解，勿漏边长关系直接套用公式，确保先建立几何量联系，再用公式计算。 例7．（24-25七年级下·内蒙古包头·期中）从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． (1)上述操作能验证的等式是______． (2)应用你（1）中得出的等式，完成下列各题： ①已知，，求的值． ②计算：． 9．（21-22八年级上·广东东莞·期末）如图1是一个长为，宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图2）． (1)如图1，面积为______；如图2，阴影部分的面积为________； (2)观察图2请你写出之间的等量关系是______； (3)根据（2）中的结论，解决问题：若，，求的值； (4)变式应用：若，求． 一、单选题 1．（2025八年级上·全国·专题练习）下列四个算式中正确的有（   ） ①；②；③；④． A．个 B．个 C．个 D．个 2．（24-25七年级下·江苏无锡·阶段练习）若的展开式中不含x项，则实数m的值为（　　） A． B．0 C．3 D．6 3．（25-26八年级上·全国·单元测试）如果可以用完全平方公式进行因式分解，那么常数k的值是（   ） A．7 B． C．14 D． 二、填空题 4．（24-25七年级下·江苏扬州·期末）若是完全平方式，则m的值是 ． 5．（24-25八年级上·湖北武汉·期末）若，，m，n为正整数，则的值等于 ． 6．（2024七年级下·河南郑州·竞赛）已知的乘积中不含项与项，则 ． 三、解答题 7．（23-24七年级下·江西九江·期中）利用公式计算： (1) (2) 8．（24-25七年级下·安徽安庆·期末）定义为二阶行列式，规定它的运算法则为：．例如：． (1)求的值； (2)若，求的值． 9．（24-25七年级下·贵州铜仁·阶段练习）关于x的代数式化简后不含的项和常数项． (1)分别求m、n的值； (2)求的值． 10．（24-25七年级下·江苏扬州·阶段练习）若（且，m、n是正整数），则．利用上面结论解决下面的问题： (1)如果，求x的值； (2)如果，求x的值； (3)若，，用含x的代数式表示y（结果需要化简）． 11．（24-25八年级上·全国·期末）定义：任意两个数a，b，按规则运算得到一个新数c，称c为a，b的“和方差数”． (1)求的“和方差数”． (2)若两个非零数a，b的积是a，b的“和方差数”，求的值． (3)若，求a，b的“和方差数”c． 12．（24-25八年级上·广东东莞·期末）如图①所示，边长为的正方形中有一个边长为的小正方形，如图②所示是由图①中的阴影部分拼成的一个长方形． (1)设图①中阴影部分的面积为，图②中阴影部分的面积为，请直接用含，的式子表示，； 并写出上述过程所揭示的公式； (2)拓展提升：试利用这个公式计算： (3)迁移应用：计算 13．（24-25七年级下·四川雅安·阶段练习）所谓完全平方式，就是对于一个整式A，如果存在另一个整式B，使，则称A是完全平方式，例如：，，所以，就是完全平方式．请解决下列问题： (1)已知，，则_______； (2)如果是一个完全平方式，则k的值为_______； (3)若x满足，求的值． 14．（22-23七年级下·河南郑州·阶段练习）图是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图b的形状拼成一个正方形． (1)你认为图中的阴影部分的正方形的边长等于__________； (2)请用两种不同的方法求图中阴影部分的面积．（只需列出，不必化简） 方法1：__________，方法2：__________； (3)观察图你能写出下列三个代数式之间的等量关系吗？ 代数式的关系是__________． (4)根据（3）题中的等量关系，解决如下问题：若，求． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $