第二十章 整式的乘法（复习讲义）（必备知识+7题型+分层检测）数学新教材人教版五四制七年级下册

第二十章 整式的乘法（复习讲义） 1. 了解整式乘法相关运算（同底数幂的乘除、幂的乘方、积的乘方、整式乘法、乘法公式）的意义，体会它们之间的整体联系。 2. 能用同底数幂的乘法、除法性质，幂的乘方、积的乘方法则，以及单项式乘单项式、单项式乘多项式、多项式乘多项式法则进行运算。 3. 理解并利用平方差公式、完全平方公式解决问题。 知识点一 同底数幂的乘法 1.同底数幂的乘法性质：(其中都是正整数).即同底数幂相乘，底数不变，指数相加. 要点诠释：（1）同底数幂是指底数相同的幂，底数可以是任意的实数，也可以是单项式、多项式. （2）三个或三个以上同底数幂相乘时，也具有这一性质， 即（都是正整数）. 2.同底数幂的乘法的逆用公式：把一个幂分解成两个或多个同底数幂的积，其中它们的底数与原来的底数相同，它们的指数之和等于原来的幂的指数.即（都是正整数）. 知识点二 幂的乘方 1.幂的乘方法则： (其中都是正整数).即幂的乘方，底数不变，指数相乘. 要点诠释：公式的推广： (，均为正整数) 2.幂的乘方法则逆用公式： ，根据题目的需要常常逆用幂的乘方运算能将某些幂变形，从而解决问题. 知识点三 积的乘方 1.积的乘方法则： (其中是正整数).即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘. 要点诠释：公式的推广： (为正整数). 2.积的乘方法则逆用公式：逆用公式适当的变形可简化运算过程，尤其是遇到底数互为倒数时，计算更简便.如： 知识点四 整式的乘法 1.单项式乘法法则：单项式相乘，把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，连同它的指数作为积的一个因式. 　 单项式乘法法则在运用时要注意以下几点： 　 ①积的系数等于各因式系数积，先确定符号，再计算绝对值.这时容易出现的错误的是，将系数相乘与指数相加混淆； 　　 ②相同字母相乘，运用同底数的乘法法则； 　 ③只在一个单项式里含有的字母，要连同它的指数作为积的一个因式； 　　 ④单项式乘法法则对于三个以上的单项式相乘同样适用； 　　 ⑤单项式乘以单项式，结果仍是一个单项式. 2.单项式乘以多项式，是通过乘法的分配律，把它转化为单项式乘以单项式，即单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加. 即（a+b+c)m=am+bm+cm　　 单项式与多项式相乘时要注意以下几点： 　 ①单项式与多项式相乘，积是一个多项式，其项数与多项式的项数相同； 　 ②运算时要注意积的符号，多项式的每一项都包括它前面的符号； 　 ③在混合运算时，要注意运算顺序. 3.多项式与多项式相乘，先用一个多项式中的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加. 即（a+b)(m+n)=am+an+bm+bn 　 多项式与多项式相乘时要注意以下几点： 　　 ①多项式与多项式相乘要防止漏项，检查的方法是：在没有合并同类项之前，积的项数应等于原两个多项式项数的积； 　　 ②多项式相乘的结果应注意合并同类项； 　　 ③对含有同一个字母的一次项系数是1的两个一次二项式相乘 ，其二次项系数为1，一次项系数等于两个因式中常数项的和，常数项是两个因式中常数项的积.即(x+a)(x+b)=x²+（a+b)x+ab 对于一次项系数不为1的两个一次二项式(mx+a)和(nx+b)相乘可以得到. 知识点五 同底数幂的除法 1.(其中都是正整数).即同底数幂相除，底数不变，指数相减. 要点诠释：（1）同底数幂是指底数相同的幂，底数可以是任意的实数，也可以是单项式、多项式. （2）逆用公式：即（都是正整数）. 2.零指数幂：（a≠0） 负指数幂：（a≠0，p是正整数） 知识点六 乘法公式 1.平方差公式:两个数的和与这两个数的差的积,等于这两个数的平方差.即(a+b)(a-b)=a²-b² 　 公式的几种变化： ①位置变化：（b+a)（-b+a）=(a+b)(a-b)=a²-b²； （-a-b）(a-b)=(-b-a)(-b+a)=(-b+a)(-b-a)=(-b)²-a²=b²-a² ②系数变化：（2a+3b）(2a-3b)=(2a)²-(3b)²=4a²-9b² ③指数变化：（a²+b²）(a²-b²)=（a²）²-（b²）²= ④增项变化：（a-b-c）(a-b+c)=(a-b)²-c² ⑤连用公式变化：（a+b）(a-b)(a²+b²)=（a²-b²）(a²+b²)=（a²）²-（b²）²= ⑥公式逆运算：a²-b² =(a+b)(a-b) 2.完全平方公式:两数和(差)的平方,等于它们的平方和,加(减)它们积的2倍. 即完全平方和 (a+b)²=a²+2ab+b² ；完全平方差 (a-b)²=a²-2ab+b² （1）公式的特征：前平方，后平方，中间是乘积的2倍 （2）公式的变化：①a²+b²=(a+b)²-2ab；②a²+b²=(a-b)²+2ab； ③(a+b)²=(a-b)²+4ab； ④ (a-b)²=(a+b)²-4ab；⑤(a+b)²-(a-b)²=4ab。 题型一 判断整式乘法是否正确 【例1】下列各式中，计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式1-1】下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】下列运算错误的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 题型二 幂的混合运算 【例2】计算：． 【变式2-1】计算： (1)； (2)． 【变式2-2】计算： (1)； (2)． 【变式2-3】计算： (1)； (2)． 题型三 零指数幂、负整数指数幂综合计算 【例3】计算：． 【变式3-1】计算：． 【变式3-2】计算： (1)； (2)． 【变式3-3】计算： (1)； (2)． 题型四 整式乘法混合运算——化简求值 【例4】先化简，再求值： 其中． 【变式4-1】先化简，再求值：，其中，． 【变式4-2】先化简，再求值：，其中，． 【变式4-3】先化简，再求值：，其中，，． 题型五 整式乘法与几何图形面积 【例5】如图，一块长方形铁皮的长为，宽为．将这块长方形铁皮的四个角都剪去一个边长为的正方形，然后沿虚线折成一个无盖的盒子． (1)求这个盒子底面的面积；（用含a、b的式子表示） (2)当，时，求这个盒子底面的面积． 【变式5-1】如图，某学校的广场上有一块长为米，宽为米的长方形地块．中间有一块边长为米的正方形雕像，周围剩余部分（阴影部分）种植了绿化，请回答以下问题： (1)绿化的面积是多少？ (2)若，使代数式的值与的取值无关，求绿化面积的值． 【变式5-2】某小区规划在长30米，宽20米的长方形场地上，修建1横2纵三条宽均为米的通道，其余部分为绿地． (1)请求出该绿地的总面积；（用含的式子表示） (2)当时，求出该绿地的总面积． 【变式5-3】如图是某住宅的平面结构示意图及有关尺寸（墙壁厚度忽略不计，单位：）． (1)求该住宅的面积（用含，的代数式表示）． (2)该住宅的主人计划把卧室以外的地面都铺上地砖，其中卫生间的地面面积为．如果地砖的价格是每平方米80元，那么购买地砖至少需要花费多少元？ 题型六 乘法公式中几何图形的应用 【例6】综合与实践 从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形（如图），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图）． (1)上述操作可以得到一个公式：__________； (2)利用你得到的公式，计算：； (3)计算：． 【变式6-1】从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形（如图①），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图②）． (1)上述操作能验证的等式是 ．（请选择“A”“B”“C”） A．          B．        C． (2)已知，，则的值为 ． (3)计算：． 【变式6-2】【发现问题】 《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽著作，是数学发展史的一个里程碑．在该书的第2卷“几何与代数”部分，记载了很多利用几何图形来论证的代数结论． 【提出问题】 （1）观察下列图形，找出可以推出的代数公式．（下面各图形均满足推导各公式的条件，只需填写对应公式的序号） 公式①：； 公式②： 图1对应公式_________；图2对应公式_________． 【解决问题】 （2）利用《几何原本》中记载的图形所表示的乘法公式，能解决下面的问题吗？ 已知，求的值． 【能力拓展】 （3）如图3，在六边形ABCDEF中，对角线BE和CF相交于点G，当四边形ABGF和四边形CDEG都为正方形且对角线时，若，正方形和正方形的面积和为36，请求出阴影部分的面积．（提示：正方形的四条边都相等，四个角都是） 题型七 整式的运算中的新定义型问题 【例7】阅读下列材料： 让我们规定一种运算，如，再如．按照这种运算规定，请解答下列问题． (1)计算______； (2)当时，求的值； (3)若的取值与无关，求的值； 【变式7-1】在学习整式乘法一章时，小明定义：若一个整数能表示成（是整数）的形式，则称这个数为“妙数”．例如：10是“妙数”，因为；再如：（是整数），所以也是“妙数”． (1)判断20是否为“妙数”___________（填“是”或者“否”）； (2)已知（是整数）是常数，要使为“妙数”，试求出符合条件的一个值，并说明理由． 【变式7-2】教科书第一章《整式的乘除》中，我们学习了整式的几种乘除运算，积累了研究运算的经验． 现定义为二阶行列式，规定它的运算法则为：． 例如：． (1)求的值． (2)若，求x的值． 【变式7-3】对于实数a，b，定义新运算“*”，规定如下：． 例如：． (1)若，求的值． (2)若，求的值． (3)若，，求的值． 基础巩固通关测 一、单选题 1．（24-25八年级上·吉林通化·阶段练习）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 2．（重庆市育才中学教学共体2025-2026学年九年级上学期第一次自主作业检测数学试题）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·安徽芜湖·期末）要使多项式 不含x 的二次项，则与的关系是(  ) A． B． C． D． 4．（2023九年级上·湖南邵阳·竞赛）定义运算为：若（其中：，，以下同），则．如，则．设，，则（  ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级上·安徽安庆·开学考试）如图，将两张边长分别为和的正方形纸片按图，图两种方式放置长方形内（图，图中两张正方形纸片均有部分重叠），未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，若长方形中边、的长度分别为、．设图中阴影部分面积为，图中阴影部分面积为．当时，的值为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 6．（25-26八年级上·全国·课后作业）计算： ． 7．（2025八年级上·全国·专题练习）已知，则式子的值是 ． 8．（25-26八年级上·全国·单元测试）若，则a，b，c，d的大小关系为 ．（用“”连接） 9．（24-25七年级下·江苏南京·阶段练习）若是完全平方式，则常数m的值为 ． 10．（24-25七年级下·江苏连云港·阶段练习）若，则x的值为 ． 三、解答题 11．（24-25七年级下·江苏扬州·期中）计算 (1) (2) 12．（广东省深圳市部分学校2025-2026学年八年级上学期开学考试数学试卷）先化简，再求值：，其中，． 13．（24-25七年级下·陕西咸阳·期中）幸福小区有一块长方形空地，该小区物业计划在这块空地的两个角留边长相同的正方形地块修建两个鱼池，然后在剩余部分（阴影部分）铺上草坪，相应的长度如图所示． (1)用含，的代数式表示铺草坪的面积； (2)如果铺草坪每平方米的价格是元，那么当，时，铺这块草坪一共需要花费多少元？ 14．（20-21七年级下·江苏徐州·期中）（1）用不同的方法计算如图1中阴影部分的面积得到的等式： ； （2）如图2是两个边长分别为、、的直角三角形和一个两条直角边都是的直角三角形拼成，试用不同的方法计算这个图形的面积，你能发现什么？说明理由； （3）根据上面两个结论，解决下面问题：若如图3中，直角三边a、、c， ①满足，，求的值； ②若，，且，则的值是 ． 能力提升进阶练 一、单选题 1．（24-25八年级下·黑龙江大庆·期中）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·陕西西安·阶段练习）已知多项式与的乘积展开式中不含的一次项，且常数项为6，则的值为（   ） A． B． C．1.5 D．3 3．（2025·内蒙古鄂尔多斯·三模）已知，则的值为（   ） A． B． C．1 D．2 4．（24-25七年级下·江苏连云港·期中）如图，在甲、乙、丙三只袋中分别装有球9个、54个、45个，先从甲袋中取出个球放入乙袋，再从乙袋中取出个球放入丙袋，最后从丙袋中取出球放入甲袋，此时三只袋中球的个数相同，则的值等于（    ）． A．9 B．81 C．243 D．729 5．（24-25七年级下·江苏无锡·阶段练习）在矩形中将边长分别为a和b的两张正方形纸片（），按图1和图2两种方式放置（两张正方形纸片均有部分重叠），矩形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1、图2中阴影部分的面积分别为，．当时，的值为（   ） A． B． C．a D．b 二、填空题 6．（25-26八年级上·全国·单元测试）计算： ． 7．（25-26八年级上·安徽安庆·开学考试）若可以配成一个完全平方式，则的值为 ． 8．（24-25七年级下·宁夏银川·期末）如与的乘积中不含的一次项，则的值为 ． 9．（24-25七年级下·江苏苏州·阶段练习）已知 ，则值为 ． 10．（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，有一张边长为b的正方形纸板，在它的四角各剪去一个边长为a的正方形，然后将四周突出部分折起，制成一个无盖的长方体纸盒，则这个纸盒的容积为 ． 三、解答题 11．（24-25八年级下·内蒙古通辽·开学考试）运算能力计算： (1)； (2)． 12．（24-25八年级上·陕西咸阳·开学考试）计算： (1)； (2)； (3)先化简再求值：，其中． 13．（2025八年级上·全国·专题练习）已知的展开式中不含项和项． (1)求m，n的值； (2)先化简，再求值： 14．（21-22七年级下·陕西咸阳·阶段练习）（1）通过观察比较甲、乙图中的阴影部分的面积，可以得到的乘法公式是 ； （2）运用（1）中的乘法公式，计算下列各题： ①； ②． 15．（24-25七年级下·江苏南京·阶段练习）已知下列等式： ； ； ； … 小明发现规律：比任意一个偶数大3的数，与该偶数的平方差能被3整除． (1)填空：___________； (2)直接写出计算的结果：___________； (3)设偶数为2n（n为整数），试说明比2n大3的数与2n的平方差能被3整除． 16．（24-25七年级下·四川成都·期中）现有长与宽分别为a、b的小长方形若干个，用两个这样的小长方形拼成如图1的图形，用四个相同的小长方形拼成图2的图形，请认真观察图形，解答下列问题： （1）根据图中条件，请写出图1和图2所验证的关于a、b的关系式：用含a、b的代数式表示出来： 图1表示：______；图2表示：______； 根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： （2）请直接写出下列问题答案： ①若，，则______； ②若，则______． （3）如图3，点C是线段上的一点，以为边向两边作正方形，设，两正方形的面积和，求图中阴影部分面积． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $第二十章 整式的乘法(复习讲义) 1. 了解整式乘法相关运算(同底数幂的乘除、幂的乘方、积的乘方、整式乘法、乘法公式)的意义,体会它们之间的整体联系。 2. 能用同底数幂的乘法、除法性质,幂的乘方、积的乘方法则,以及单项式乘单项式、单项式乘多项式、多项式乘多项式法则进行运算。 3. 理解并利用平方差公式、完全平方公式解决问题。 知识点一 同底数幂的乘法 1.同底数幂的乘法性质:(其中都是正整数).即同底数幂相乘,底数不变,指数相加. 要点诠释:(1)同底数幂是指底数相同的幂,底数可以是任意的实数,也可以是单项式、多项式. (2)三个或三个以上同底数幂相乘时,也具有这一性质, 即(都是正整数). 2.同底数幂的乘法的逆用公式:把一个幂分解成两个或多个同底数幂的积,其中它们的底数与原来的底数相同,它们的指数之和等于原来的幂的指数.即(都是正整数). 知识点二 幂的乘方 1.幂的乘方法则: (其中都是正整数).即幂的乘方,底数不变,指数相乘. 要点诠释:公式的推广: (,均为正整数) 2.幂的乘方法则逆用公式: ,根据题目的需要常常逆用幂的乘方运算能将某些幂变形,从而解决问题. 知识点三 积的乘方 1.积的乘方法则: (其中是正整数).即积的乘方,等于把积的每一个因式分别乘方,再把所得的幂相乘. 要点诠释:公式的推广: (为正整数). 2.积的乘方法则逆用公式:逆用公式适当的变形可简化运算过程,尤其是遇到底数互为倒数时,计算更简便.如: 知识点四 整式的乘法 1.单项式乘法法则:单项式相乘,把它们的系数、相同字母分别相乘,对于只在一个单项式里含有的字母,连同它的指数作为积的一个因式. 单项式乘法法则在运用时要注意以下几点: ①积的系数等于各因式系数积,先确定符号,再计算绝对值.这时容易出现的错误的是,将系数相乘与指数相加混淆; ②相同字母相乘,运用同底数的乘法法则; ③只在一个单项式里含有的字母,要连同它的指数作为积的一个因式; ④单项式乘法法则对于三个以上的单项式相乘同样适用; ⑤单项式乘以单项式,结果仍是一个单项式. 2.单项式乘以多项式,是通过乘法的分配律,把它转化为单项式乘以单项式,即单项式与多项式相乘,就是用单项式去乘多项式的每一项,再把所得的积相加. 即(a+b+c)m=am+bm+cm 单项式与多项式相乘时要注意以下几点: ①单项式与多项式相乘,积是一个多项式,其项数与多项式的项数相同; ②运算时要注意积的符号,多项式的每一项都包括它前面的符号; ③在混合运算时,要注意运算顺序. 3.多项式与多项式相乘,先用一个多项式中的每一项乘以另一个多项式的每一项,再把所得的积相加. 即(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn 多项式与多项式相乘时要注意以下几点: ①多项式与多项式相乘要防止漏项,检查的方法是:在没有合并同类项之前,积的项数应等于原两个多项式项数的积; ②多项式相乘的结果应注意合并同类项; ③对含有同一个字母的一次项系数是1的两个一次二项式相乘 ,其二次项系数为1,一次项系数等于两个因式中常数项的和,常数项是两个因式中常数项的积.即(x+a)(x+b)=x +(a+b)x+ab 对于一次项系数不为1的两个一次二项式(mx+a)和(nx+b)相乘可以得到. 知识点五 同底数幂的除法 1.(其中都是正整数).即同底数幂相除,底数不变,指数相减. 要点诠释:(1)同底数幂是指底数相同的幂,底数可以是任意的实数,也可以是单项式、多项式. (2)逆用公式:即(都是正整数). 2.零指数幂:(a≠0) 负指数幂:(a≠0,p是正整数) 知识点六 乘法公式 1.平方差公式:两个数的和与这两个数的差的积,等于这两个数的平方差.即(a+b)(a-b)=a -b 公式的几种变化: ①位置变化:(b+a)(-b+a)=(a+b)(a-b)=a -b ; (-a-b)(a-b)=(-b-a)(-b+a)=(-b+a)(-b-a)=(-b) -a =b -a ②系数变化:(2a+3b)(2a-3b)=(2a) -(3b) =4a -9b ③指数变化:(a +b )(a -b )=(a ) -(b ) = ④增项变化:(a-b-c)(a-b+c)=(a-b) -c ⑤连用公式变化:(a+b)(a-b)(a +b )=(a -b )(a +b )=(a ) -(b ) = ⑥公式逆运算:a -b =(a+b)(a-b) 2.完全平方公式:两数和(差)的平方,等于它们的平方和,加(减)它们积的2倍. 即完全平方和 (a+b) =a +2ab+b ;完全平方差 (a-b) =a -2ab+b (1)公式的特征:前平方,后平方,中间是乘积的2倍 (2)公式的变化:①a +b =(a+b) -2ab;②a +b =(a-b) +2ab; ③(a+b) =(a-b) +4ab; ④ (a-b) =(a+b) -4ab;⑤(a+b) -(a-b) =4ab。 题型一 判断整式乘法是否正确 【例1】下列各式中,计算正确的是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【知识点】幂的乘方运算、同底数幂的除法运算、同底数幂相乘、计算单项式乘单项式 【分析】本题考查了幂的乘方、同底数幂的乘法、同底数幂的除法和单项式乘以单项式,根据合并同类项法则,同底数幂相乘,底数不变,指数相加;幂的乘方,底数不变,指数相乘;同底数幂相除,底数不变,指数相减,对各选项分析判断后利用排除法求解. 【详解】解:A、,故此选项不符合题意; B、,故此选项不符合题意; C、,故此选项符合题意; D、,故此选项不符合题意. 故选:C. 【变式1-1】下列计算正确的是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【知识点】同底数幂的除法运算、同底数幂相乘、积的乘方运算、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题考查的是同底数幂的乘法,除法,积的乘方,完全平方公式,掌握以上运算的运算法则是解题的关键.根据运算法则计算逐一判断即可. 【详解】解:A、,原式计算错误,故不符合题意; B、,原式计算正确,故符合题意; C、,原式计算错误,故不符合题意; D、,原式计算错误,故不符合题意. 故选:B. 【变式1-2】下列运算错误的是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【知识点】同底数幂的除法运算、负整数指数幂、同底数幂相乘、积的乘方运算 【分析】本题考查了整式的除法、同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方、负整数指数幂,熟练掌握各运算法则是解题的关键. 根据单项式除以单项式、同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方、负整数指数幂的运算法则逐项计算判断即可. 【详解】解∶A、,计算正确,故此选项不符合题意; B、,计算正确,故此选项不符合题意; C、,计算正确,故此选项不符合题意; D、,原计算错误,故此选项符合题意; 故选∶D. 【变式1-3】下列计算正确的是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【知识点】幂的乘方运算、同底数幂的除法运算、同底数幂相乘、负整数指数幂 【分析】本题考查了负整数指数幂、幂的乘方,同底数幂相乘,同底数幂相除,据此相关性质内容进行逐项计算,即可作答. 【详解】解:A、,因为不是同类项,即不能合并,故该选项不符合题意; B、,故该选项符合题意; C、,因为不是同类项,即不能合并,故该选项不符合题意; D、,故该选项不符合题意; 故选:B 题型二 幂的混合运算 【例2】计算:. 【答案】 【知识点】整式四则混合运算 【分析】本题考查了整式的混合运算,先根据单项式与单项式的除法、积的乘方,再算括号,后算除法. 【详解】解:原式 . 【变式2-1】计算: (1); (2). 【答案】(1) (2) 【知识点】计算单项式除以单项式、运用平方差公式进行运算、整式的加减运算 【分析】本题考查了单项式除以单项式、平方差公式、整式的加减,熟练掌握整式的运算法则是解题关键. (1)根据单项式除以单项式法则计算即可得; (2)先计算平方差公式,再计算整式的加减即可得. 【详解】(1)解:原式 . (2)解:原式 . 【变式2-2】计算: (1); (2). 【答案】(1) (2) 【知识点】计算多项式乘多项式、计算单项式除以单项式、积的乘方运算、运用平方差公式进行运算 【分析】本题考查了单项式乘单项式,单项式除以单项式,积的乘方,多项式乘多项式,平方差公式等知识内容,正确掌握相关性质内容是解题的关键. (1)先运算积的乘方,单项式乘单项式,单项式除以单项式,再合并同类项,即可作答. (2)先根据多项式乘多项式,平方差公式法则进行展开,再合并同类项,即可作答. 【详解】(1)解: . (2)解: 【变式2-3】计算: (1); (2). 【答案】(1)0 (2) 【知识点】运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算、同底数幂的除法运算 【分析】本题考查了整式的运算,解题的关键是掌握整式的运算顺序和运算法则. (1)根据同底数幂的乘除法则和幂的乘方法则计算即可; (2)先根据完全平方公式和平方差公式计算,再计算加减即可. 【详解】(1)解: ; (2)解: . 题型三 零指数幂、负整数指数幂综合计算 【例3】计算:. 【答案】11 【知识点】零指数幂、负整数指数幂 【分析】本题考查了实数的混合运算,零指数幂,负整数指数幂和乘方的运算.根据零指数幂、负指数幂和乘方的运算法则对原式进行化简,再进行计算即可. 【详解】解: . 【变式3-1】计算:. 【答案】 【知识点】负整数指数幂、零指数幂 【分析】本题考查实数的运算,先根据有理数的乘方,负整数指数幂,零指数幂,绝对值的意义将原式化简,再进行加减运算即可.掌握相应的运算法则和公式是解题的关键. 【详解】解: . 【变式3-2】计算: (1); (2). 【答案】(1)4 (2) 【知识点】幂的混合运算、负整数指数幂、零指数幂 【分析】本题考查实数的混合运算及整式的混合运算,掌握运算法则和顺序正确计算是解题关键. (1)先计算乘方,绝对值,零指数幂和负整数指数幂,然后再计算加减法即可; (2)先做乘方,然后做乘除,最后做加减; 【详解】(1)解:原式; (2)解:原式. 【变式3-3】计算: (1); (2). 【答案】(1)2 (2) 【知识点】同底数幂的除法运算、负整数指数幂、幂的乘方运算、零指数幂 【分析】(1)先根据负数的偶次幂,零指数幂,负整指数幂的运算法则进行化简,再进行加减即可; (2)根据同底数幂乘除法,积的乘方的法则进行运算,最后再并同类项即可. 【详解】(1)解: ; (2) . 【点睛】本题考查了有理数及整式的混合运算,涉及负数的幂的运算,零指数幂,负整指数幂及有理数的加减运算,同底数幂乘除法,合并同类项,根据法则正确运用是解题的关键. 题型四 整式乘法混合运算——化简求值 【例4】先化简,再求值: 其中. 【答案】. 【知识点】已知式子的值,求代数式的值、整式的混合运算 【分析】本题主要考查整式的化简求值.首先根据平方差公式和多项式乘以多项式的法则把括号里的部分展开,然后再根据合并同类项的法则合并同类项,得到:原式,利用乘法分配律把括号外面的分式与括号里面的各项分另相乘,可得结果为,再把整体代入求值即可. 【详解】解: , 当时, 原式. 【变式4-1】先化简,再求值:,其中,. 【答案】; 【知识点】已知字母的值 ,求代数式的值、整式的混合运算 【分析】本题主要考查了整式混合运算,先根据平方差公式和完全平方公式以及整式除法运算法则进行化简,然后再代入数据计算即可. 【详解】解: , 把,代入得: 原式. 【变式4-2】先化简,再求值:,其中,. 【答案】,2024 【知识点】整式的混合运算、运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题考查了整式的混合运算-化简求值,完全平方公式,平方差公式,先利用完全平方公式,平方差公式计算括号里面的运算,再算括号外的除法,然后把x,y的值代入化简后的式子进行计算,即可解答. 【详解】解: , 当,时, 原式. 【变式4-3】先化简,再求值:,其中,,. 【答案】, 【知识点】整式四则混合运算 【分析】此题主要考查整式的化简求值,解题的关键是熟知整式的乘除运算法则. 先根据整式的乘除运算法则进行化简,再代入、的值计算即可. 【详解】解: 当,时,原式. 题型五 整式乘法与几何图形面积 【例5】如图,一块长方形铁皮的长为,宽为.将这块长方形铁皮的四个角都剪去一个边长为的正方形,然后沿虚线折成一个无盖的盒子. (1)求这个盒子底面的面积;(用含a、b的式子表示) (2)当,时,求这个盒子底面的面积. 【答案】(1) (2)63 【知识点】整式加减的应用、多项式乘多项式与图形面积 【分析】本题考查了多项式乘以多项式,整式的加减运算,代数式求值,正确化简计算是解题的关键. (1)根据题意可知,这个盒子的长=等于长方形铁皮的长2倍的正方形的边长,这个盒子的宽=等于长方形铁皮的宽2倍的正方形的边长,由此求解即可得到答案; (2)把,代入求值即可 【详解】(1)解:盒子底面的面积为: (2)解:当,时,盒子底面的面积为:. 【变式5-1】如图,某学校的广场上有一块长为米,宽为米的长方形地块.中间有一块边长为米的正方形雕像,周围剩余部分(阴影部分)种植了绿化,请回答以下问题: (1)绿化的面积是多少? (2)若,使代数式的值与的取值无关,求绿化面积的值. 【答案】(1)(平方米) (2) 【知识点】多项式乘多项式与图形面积、整式加减中的无关型问题、已知字母的值 ,求代数式的值 【分析】本题考查了整式混合运算,熟练掌握运算法则是解题的关键. (1)用大长方形面积减去小正方形面积即可得到绿化的面积; (2)根据题意求出,再代入计算即可. 【详解】(1)解: (平方米); (2)解:原式 , 代数式的值与的取值无关, ,, , (平方米), 绿化面积的值为. 【变式5-2】某小区规划在长30米,宽20米的长方形场地上,修建1横2纵三条宽均为米的通道,其余部分为绿地. (1)请求出该绿地的总面积;(用含的式子表示) (2)当时,求出该绿地的总面积. 【答案】(1)平方米 (2)352平方米 【知识点】已知字母的值 ,求代数式的值、多项式乘多项式与图形面积 【分析】本题主要考查此题考查了多项式乘多项式的应用,代数式求值等知识. (1)将水平与垂直的小路平移到右边及下边,表示出剩下部分的长与宽,利用长方形的面积公式列出关系式. (2)将代入(1)式计算即可. 【详解】(1)解:依据题意得该绿地的总面积为: (平方米), 该绿地的总面积为平方米 (2)解:当时, 该绿地的总面积为:(平方米) 【变式5-3】如图是某住宅的平面结构示意图及有关尺寸(墙壁厚度忽略不计,单位:). (1)求该住宅的面积(用含,的代数式表示). (2)该住宅的主人计划把卧室以外的地面都铺上地砖,其中卫生间的地面面积为.如果地砖的价格是每平方米80元,那么购买地砖至少需要花费多少元? 【答案】(1)该住宅的面积 (2)购买地砖至少需要花费4500元 【知识点】列代数式、整式加减的应用、多项式乘多项式与图形面积 【分析】本题考查了列代数式,整式加减的应用,有理数乘法的应用,理解题意并正确列式是解题关键. (1)根据图形列式计算即可; (2)先根据卫生间的面积求出,再计算出卧室以外的面积,乘以地砖的价格求解即可. 【详解】(1)解: 即该住宅的面积; (2)解:由图形可知,卫生间的面积为, 卫生间的地面面积为, , , 卧室1的面积为, 卧室2的面积为, 卧室以外的面积为, (元). 答:购买地砖至少需要花费4500元. 题型六 乘法公式中几何图形的应用 【例6】综合与实践 从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形(如图),然后将剩余部分拼成一个长方形(如图). (1)上述操作可以得到一个公式:_; (2)利用你得到的公式,计算:; (3)计算:. 【答案】(1); (2); (3). 【知识点】平方差公式与几何图形 【分析】()求出图、阴影部分面积即可求解; ()利用()中公式即可求解; ()利用()中公式即可求解; 本题考查了平方差公式几何背景的应用,熟练掌握是解题的关键. 【详解】(1)解:图阴影部分面积为,图阴影部分面积为, 则述操作可以得到一个公式:, 故答案为:; (2)解:由()得: ; (3)解:原式 . 【变式6-1】从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形(如图①),然后将剩余部分拼成一个长方形(如图②). (1)上述操作能验证的等式是 .(请选择“A”“B”“C”) A. B. C. (2)已知,,则的值为 . (3)计算:. 【答案】(1)B (2)3 (3) 【知识点】运用平方差公式进行运算、平方差公式与几何图形 【分析】本题考查了平方差公式的几何背景,熟练掌握平方差公式是解本题的关键. (1)根据图中阴影部分面积的两种不同表示方法即可解决问题; (2)根据(1)中的发现即可解决问题; (3)根据(1)中的发现,将将平方差的形式改写成两数之和乘以两数之差的形式即可解; 【详解】(1)解:由题知, 图①中阴影部分的面积为, 图②中阴影部分的面积为, 又图②由图①中的阴影部分剪拼而得, 所以. 故选:B. (2)解:由(1)可知, , 又,, 所以. 故答案为:3. (3)解:原式 . 【变式6-2】【发现问题】 《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽著作,是数学发展史的一个里程碑.在该书的第2卷“几何与代数”部分,记载了很多利用几何图形来论证的代数结论. 【提出问题】 (1)观察下列图形,找出可以推出的代数公式.(下面各图形均满足推导各公式的条件,只需填写对应公式的序号) 公式①:; 公式②: 图1对应公式_;图2对应公式_. 【解决问题】 (2)利用《几何原本》中记载的图形所表示的乘法公式,能解决下面的问题吗? 已知,求的值. 【能力拓展】 (3)如图3,在六边形ABCDEF中,对角线BE和CF相交于点G,当四边形ABGF和四边形CDEG都为正方形且对角线时,若,正方形和正方形的面积和为36,请求出阴影部分的面积.(提示:正方形的四条边都相等,四个角都是) 【答案】(1)②,①;(2);(3) 【知识点】通过对完全平方公式变形求值、完全平方公式在几何图形中的应用 【分析】本题考查了完全平方公式,正确理解题意是解题的关键: (1)根据图形即可得出图1对应公式是;图2对应公式是; (2)先求出,得出,再根据即可得出答案; (3)设正方形的边长为,正方形的边长为,则根据题意,得,再得出求出,进而可得出答案. 【详解】(1)解:图1对应公式是;图2对应公式是, 故答案为:②;①; (2), , , . (3)设正方形的边长为,正方形的边长为, 则根据题意,得, , , . 题型七 整式的运算中的新定义型问题 【例7】阅读下列材料: 让我们规定一种运算,如,再如.按照这种运算规定,请解答下列问题. (1)计算_; (2)当时,求的值; (3)若的取值与无关,求的值; 【答案】(1)0 (2)1 (3)0 【知识点】有理数四则混合运算、整式四则混合运算、整式的加减中的化简求值 【分析】本题考查了有理数的混合运算和整式的混合运算,解题的关键是掌握新运算的运算法则. (1)根据新运算展开,再求出即可; (2)根据新运算展开,再代入求出即可; (3)根据新运算展开,合并后根据已知得出关于的方程,再代入求出即可. 【详解】(1)解:, 故答案为:0. (2)解: , 当时, 原式. (3)解: , ∵取值与无关, ∴,即, ∴. 【变式7-1】在学习整式乘法一章时,小明定义:若一个整数能表示成(是整数)的形式,则称这个数为“妙数”.例如:10是“妙数”,因为;再如:(是整数),所以也是“妙数”. (1)判断20是否为“妙数”_(填“是”或者“否”); (2)已知(是整数)是常数,要使为“妙数”,试求出符合条件的一个值,并说明理由. 【答案】(1)是 (2),理由见解析 【知识点】运用完全平方公式进行运算 【分析】本题考查完全平方公式: (1)根据新定义,进行判断即可; (2)利用完全平方公式,将转换为:,根据新定义,得到,进行求解即可. 【详解】(1)解:, ∴20是“妙数”; 故答案为:是; (2)解:,理由如下: . 为“妙数”, , 【变式7-2】教科书第一章《整式的乘除》中,我们学习了整式的几种乘除运算,积累了研究运算的经验. 现定义为二阶行列式,规定它的运算法则为:. 例如:. (1)求的值. (2)若,求x的值. 【答案】(1)9 (2) 【知识点】整式的混合运算、运用平方差公式进行运算、通过对完全平方公式变形求值 【分析】本题考查了新定义,平方差公式,完全平方公式,整式的混合运算,正确理解新定义的运算法则是解题的关键. (1)根据题意将变形为,再结合平方差公式进行运算,即可解题; (2)根据题意将变形为,再结合完全平方公式,以及整式的混合运算求解上式,即可解题. 【详解】(1)解:, ; (2)解:, , 整理得, 解得. 【变式7-3】对于实数a,b,定义新运算“*”,规定如下:. 例如:. (1)若,求的值. (2)若,求的值. (3)若,,求的值. 【答案】(1)20 (2)6 (3)3或 【知识点】已知式子的值,求代数式的值、运用平方差公式进行运算、通过对完全平方公式变形求值 【分析】此题主要考查了整式的混合运算,读懂题意,理解新定义运算的运算规定,掌握完全平方公式、平方差公式及变形是解决本题的关键. (1)先按给出的新定义运算,再整体代入求值; (2)先按给出的新定义运算,再整体代入求值; (3)先按给出的新定义运算,再根据已知,利用完全平方公式及变形求出的值,最后代入计算. 【详解】(1)解: . 当时, 原式; (2) . , 即. 原式 ; (3) . ,, ,即. . . . 或. 当,时, 原式; 当,时, 原式. 基础巩固通关测 一、单选题 1.(24-25八年级上 吉林通化 阶段练习)计算的结果是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【分析】本题主要考查了同底数幂的除法法则,掌握法则是关键.根据同底数幂的除法法则进行计算即可.底数不变,指数相减. 【详解】解:, 故选:B. 2.(重庆市育才中学教学共体2025-2026学年九年级上学期第一次自主作业检测数学试题)下列运算正确的是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【分析】本题考查了幂的乘方、合并同类项、同底数幂的除法、积的乘方和完全平方公式,熟记各运算法则是解答本题的关键.根据幂的乘方、合并同类项、同底数幂的除法、积的乘方和完全平方公式逐一判断即可. 【详解】解:A、,故不符合题意; B、,故符合题意; C、、不是同类项,不能合并同类项,故不符合题意; D、,故不符合题意; 故选:B. 3.(24-25七年级下 安徽芜湖 期末)要使多项式 不含x 的二次项,则与的关系是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【分析】本题主要考查了多项式乘法中的无关项问题,先根据多项式乘以多项式的计算法则求出的结果,再根据不含x的二次项,即含x的二次项的系数为0进行求解即可. 【详解】解: ∵多项式不含x的二次项, ∴, ∴, 故选:B. 4.(2023九年级上 湖南邵阳 竞赛)定义运算为:若(其中:,,以下同),则.如,则.设,,则( ) A. B. C. D. 【答案】B 【分析】本题考查了新定义,同底数幂的乘法. 根据题意得到,,进而得到,根据定义可知 【详解】解:∵若(其中:,,以下同),则.设,, ∴,, ∴, ∵若(其中:,,以下同),则, ∴ 故选:B. 5.(25-26八年级上 安徽安庆 开学考试)如图,将两张边长分别为和的正方形纸片按图,图两种方式放置长方形内(图,图中两张正方形纸片均有部分重叠),未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示,若长方形中边、的长度分别为、.设图中阴影部分面积为,图中阴影部分面积为.当时,的值为( ) A. B. C. D. 【答案】C 【分析】分别表示出和,再计算,结合化简求值.本题主要考查了整式的混合运算,熟练掌握整式的运算法则是解题的关键. 【详解】解:, ∴, , 故选:C. 二、填空题 6.(25-26八年级上 全国 课后作业)计算: . 【答案】 【分析】本题考查了积的乘方的逆用; 将原式变形,再逆用积的乘方运算即可. 【详解】解:原式 , 故答案为:. 7.(2025八年级上 全国 专题练习)已知,则式子的值是 . 【答案】 【分析】本题考查了同底数幂的除法. 根据同底数幂的除法法则求出的值,进而计算的值即可. 【详解】, ∴, ∴, 故答案为:. 8.(25-26八年级上 全国 单元测试)若,则a,b,c,d的大小关系为 .(用“”连接) 【答案】 【分析】本题主要考查了幂的乘方运算,熟练掌握幂的乘方法则是解题的关键.将、、、转化为指数相同的幂,再比较底数大小,从而得出它们的大小关系. 【详解】解: 因为, 所以. 故答案为:. 9.(24-25七年级下 江苏南京 阶段练习)若是完全平方式,则常数m的值为 . 【答案】4 【分析】本题考查了完全平方公式的应用,熟练掌握完全平方公式的结构特点是解题的关键;根据完全平方式得出,即可求出答案. 【详解】解:是完全平方式, , , 故答案为:4. 10.(24-25七年级下 江苏连云港 阶段练习)若,则x的值为 . 【答案】0或1 【分析】本题考查了零指数幂,有理数的乘方,熟练掌握运算法则是解题的关键.分三种情况讨论:当时;当为任意数时;当为偶数时;分别计算即可. 【详解】解:当时,,此时; 当为任意数时,,此时; 当为偶数时,,此时不合题意,舍去; 综上,x的值是0或1, 故答案为:0或1. 三、解答题 11.(24-25七年级下 江苏扬州 期中)计算 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了幂的乘方,同底数幂的乘除法,零指数幂. (1)先计算幂的乘方,再计算同底数幂的乘除法即可; (2)先计算零指数幂,同底数幂的除法,再计算加减即可. 【详解】(1)原式 ; (2)原式. 12.(广东省深圳市部分学校2025-2026学年八年级上学期开学考试数学试卷)先化简,再求值:,其中,. 【答案】,2 【分析】本题考查了整式的混合运算,熟练掌握运算顺序及乘法公式是解答本题的关键.先根据乘法公式计算,再把括号里化简,然后算除法,最后把,代入计算即可. 【详解】解: , ∵,, ∴原式. 13.(24-25七年级下 陕西咸阳 期中)幸福小区有一块长方形空地,该小区物业计划在这块空地的两个角留边长相同的正方形地块修建两个鱼池,然后在剩余部分(阴影部分)铺上草坪,相应的长度如图所示. (1)用含,的代数式表示铺草坪的面积; (2)如果铺草坪每平方米的价格是元,那么当,时,铺这块草坪一共需要花费多少元? 【答案】(1) (2)铺这块草坪一共需要花费元 【分析】此题考查了根据实际问题列代数式表示的能力,关键是能准确理解题意,并列式、化简. (1)运用长方形和正方形的面积公式进行列式、化简; (2)将,代入(2)题结果,再算出一共的花费. 【详解】(1)解:由题意得,铺草坪的面积为: ; (2)解:由题意得,当,时,铺这块草坪一共需要的总费用为: (元), 当,时,铺这块草坪一共需要花费元. 14.(20-21七年级下 江苏徐州 期中)(1)用不同的方法计算如图1中阴影部分的面积得到的等式: ; (2)如图2是两个边长分别为、、的直角三角形和一个两条直角边都是的直角三角形拼成,试用不同的方法计算这个图形的面积,你能发现什么?说明理由; (3)根据上面两个结论,解决下面问题:若如图3中,直角三边a、、c, ①满足,,求的值; ②若,,且,则的值是 . 【答案】(1);(2);(3)①;②10 【分析】本题考查了完全平方公式及勾股定理的几何背景及其应用,以及割补法求图形的面积,熟练掌握完全平方公式及勾股定理是解答本题的关键. (1)阴影部分的面积等于大阴影正方形的面积小阴影正方形的面积,也等于大正方形的面积两个长方形的面积; (2)一种方法是根据梯形的面积公式计算,另一种方法是三个直角三角形的面积和; (3)①利用完全平方公式的变形求出的值,再利用即可求出的值;②根据题意得出,然后可求出c值. 【详解】解:(1), 故答案为:; (2)发现:, 理由:图2中图形的面积:, , , . (3)①当 , 时, , , ∵, ∴, ∴(负值舍去); ② ∵,且, ∴, ∴, ∴, ∴(负值舍去), 故答案为:. 能力提升进阶练 一、单选题 1.(24-25八年级下 黑龙江大庆 期中)下列运算正确的是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【分析】本题考查整式的运算,解题的关键是根据同底数幂的乘法,多项式乘多项式,积的乘方和幂的乘方,单项式除以单项式依次进行分析判断即可. 【详解】解:A.,故此选项不符合题意; B.,故此选项不符合题意; C.,故此选项符合题意; D.,故此选项不符合题意. 故选:C. 2.(24-25七年级下 陕西西安 阶段练习)已知多项式与的乘积展开式中不含的一次项,且常数项为6,则的值为( ) A. B. C.1.5 D.3 【答案】C 【分析】本题考查多项式乘多项式,根据题意列式为,利用多项式乘多项式法则展开并计算,然后根据题意求得a,b的值,最后将其代入中计算即可. 【详解】解: , ∵展开式中不含x的一次项,且常数项为6, ∴, 解得:, 则, 故选:C. 3.(2025 内蒙古鄂尔多斯 三模)已知,则的值为( ) A. B. C.1 D.2 【答案】A 【分析】本题考查的是积的乘方运算,合并同类项,求解代数式的值,通过合并同类项并比较系数和指数,确定未知数m和n的值,再代入计算即可. 【详解】解:∵, ∴是同类项; ∴,, ∴, ∴ 故选:A 4.(24-25七年级下 江苏连云港 期中)如图,在甲、乙、丙三只袋中分别装有球9个、54个、45个,先从甲袋中取出个球放入乙袋,再从乙袋中取出个球放入丙袋,最后从丙袋中取出球放入甲袋,此时三只袋中球的个数相同,则的值等于( ). A.9 B.81 C.243 D.729 【答案】C 【分析】本题考查了幂的混合运算,找准数量关系,合理利用整体思想是解答本题的关键. 先表示每个袋子中球的个数,再根据总数可知每个袋子中球的个数,进而求出,最后逆用同底数幂相乘法则求出答案. 【详解】解:调整后,甲袋中有个球,乙袋中有个球,丙袋中有个球. ∵一共有(个)球,且调整后三只袋中球的个数相同, ∴调整后每只袋中有(个)球, ,, , , 故选:C. 5.(24-25七年级下 江苏无锡 阶段练习)在矩形中将边长分别为a和b的两张正方形纸片(),按图1和图2两种方式放置(两张正方形纸片均有部分重叠),矩形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示,设图1、图2中阴影部分的面积分别为,.当时,的值为( ) A. B. C.a D.b 【答案】B 【分析】本题主要考查了整式的混合运算,先设则,再表示出,然后代入计算得出答案. 【详解】解:∵, 设则, ∴, , ∴, 即, 故选:B. 二、填空题 6.(25-26八年级上 全国 单元测试)计算: . 【答案】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法,掌握同底数幂的乘法法则是解答本题的关键.根据同底数幂的乘法法则“同底数幂相乘,底数不变,指数相加”求解即可. 【详解】解:. 故答案为: . 7.(25-26八年级上 安徽安庆 开学考试)若可以配成一个完全平方式,则的值为 . 【答案】 【分析】本题考查了完全平方式,熟练掌握完全平方式的特点是解题的关键; 将写成,根据,得出,再求的值. 【详解】, 可以配成一个完全平方式, , 解得. 故答案为:. 8.(24-25七年级下 宁夏银川 期末)如与的乘积中不含的一次项,则的值为 . 【答案】 【分析】本题考查了多项式乘多项式,解题的关键是熟练掌握多项式乘多项式法则.先根据多项式乘多项式法则计算与的乘积,然后根据它们的乘积中不含的一次项,列出关于的方程,解方程即可. 【详解】解: 与的乘积中不含的一次项, , 解得:, 故答案为:. 9.(24-25七年级下 江苏苏州 阶段练习)已知 ,则值为 . 【答案】32 【分析】本题考查了指数幂的运算性质,解题的关键是熟练运用幂的乘方和同底数幂的乘法法则,将所求式子转化为已知条件的形式进行计算.根据指数幂的运算性质,将分解为;再利用幂的乘方法则将转化为;最后代入已知的和进行计算. 【详解】已知. 根据指数幂的运算性质:. 由幂的乘方法则,可得:, 将,代入上式:, 故答案为:32. 10.(25-26八年级上 全国 单元测试)如图,有一张边长为b的正方形纸板,在它的四角各剪去一个边长为a的正方形,然后将四周突出部分折起,制成一个无盖的长方体纸盒,则这个纸盒的容积为 . 【答案】 【分析】本题主要考查了长方体容积公式以及完全平方公式,整式的乘法,熟练掌握长方体容积公式,准确确定纸盒的长、宽、高是解题的关键.先确定折成的无盖长方体纸盒的长、宽、高,再根据长方体容积公式(容积长宽高)计算. 【详解】解:由题意可知,无盖长方体纸盒的长和宽均为,高为. 纸盒容积为 故答案为:. 三、解答题 11.(24-25八年级下 内蒙古通辽 开学考试)运算能力计算: (1); (2). 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查整式的混合运算,乘方,零次幂的计算,掌握其运算法则是解题的关键. (1)先根据单项式乘单项式、幂的乘方与积的乘方、同底数幂的除法法则计算,再合并同类项即可; (2)先根据绝对值、有理数的乘方、零指数幂的法则计算,再根据有理数的混合运算法则计算即可. 【详解】(1)解: ; (2)解: . 12.(24-25八年级上 陕西咸阳 开学考试)计算: (1); (2); (3)先化简再求值:,其中. 【答案】(1) (2) (3), 【分析】本题主要考查了整式的混合运算、代数式求值等知识点,掌握整式的混合运算法则成为解题的关键. (1)直接运用整式的混合运算法则计算即可; (2)直接运用整式的混合运算法则计算即可; (3)先运用整式的混合运算法则计算,然后利用完全平方公式变形求出x,y的值,然后代数求解即可. 【详解】(1)解: . (2)解: . (3)解: ; , , , , ∴, ∴, ∴原式. 13.(2025八年级上 全国 专题练习)已知的展开式中不含项和项. (1)求m,n的值; (2)先化简,再求值: 【答案】(1), (2), 【分析】本题考查整式乘除及化简求值,熟练掌握以上知识点是解题的关键. (1)先将多项式展开,根据不含项和项,得出对应系数为0,列方程求解m,n的值; (2)先分别化简两个代数式,再合并同类项,最后代入m,n的值. 【详解】(1) 展开式中不含项和项, ,, ,, (2)原式 ,, 原式. 14.(21-22七年级下 陕西咸阳 阶段练习)(1)通过观察比较甲、乙图中的阴影部分的面积,可以得到的乘法公式是 ; (2)运用(1)中的乘法公式,计算下列各题: ①; ②. 【答案】(1);(2)①;② 【分析】本题考查了平方差公式与图形面积、完全平方公式,熟练掌握乘法公式是解题关键. (1)甲图中阴影部分的面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积,即为;利用长方形的面积公式可得乙图中阴影部分的面积为,根据甲、乙图中的阴影部分的面积相等即可得; (2)①将原式变形为,利用平方差公式计算即可得; ②先将原式变形为,再利用平方差公式计算,然后计算完全平方公式即可得. 【详解】解:(1)甲图中阴影部分的面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积,即为, 乙图中阴影部分的面积为, 因为甲、乙图中的阴影部分的面积相等, 所以可以得到的乘法公式是, 故答案为:. (2)① . ② . 15.(24-25七年级下 江苏南京 阶段练习)已知下列等式: ; ; ; … 小明发现规律:比任意一个偶数大3的数,与该偶数的平方差能被3整除. (1)填空:_; (2)直接写出计算的结果:_; (3)设偶数为2n(n为整数),试说明比2n大3的数与2n的平方差能被3整除. 【答案】(1)19 (2)1509 (3)见解析 【分析】本题利用平方差公式和观察规律解决问题. (1)根据平方差公式可得出相应的结果; (2)同样利用平方差公式可得出相应的结果; (3)求出比大3的数,再根据平方差公式来证明题目所给的两个数是否能被3整除. 【详解】(1)解:. 故答案为:19. (2)解:. 故答案为:1509. (3)证明:由题意知,比大3的数为, 根据平方差公式,, 由于是整数,因此能被3整除, 即比大3的数与的平方差能被3整除. 16.(24-25七年级下 四川成都 期中)现有长与宽分别为a、b的小长方形若干个,用两个这样的小长方形拼成如图1的图形,用四个相同的小长方形拼成图2的图形,请认真观察图形,解答下列问题: (1)根据图中条件,请写出图1和图2所验证的关于a、b的关系式:用含a、b的代数式表示出来: 图1表示:_;图2表示:_; 根据上面的解题思路与方法,解决下列问题: (2)请直接写出下列问题答案: ①若,,则_; ②若,则_. (3)如图3,点C是线段上的一点,以为边向两边作正方形,设,两正方形的面积和,求图中阴影部分面积. 【答案】(1),;(2) ①;②;(3) 【分析】本题考查了完全平方公式的几何背景、整式的混合运算-化简求值,熟练掌握以上知识点是关键; (1)根据几何图形面积计算方法填空即可; (2)利用图1图2的计算公式计算即可; (3)根据完全平方公式计算即可. 【详解】解:(1)图1中,,组成大正方形四部分面积之和, 即:, 图2中,, 即:, 故答案为:,; (2)①由图2可得, ,, , ②由图1可得:, , , , 故答案为:①;②13; (3)由题意可得, , , , , 1 / 3 学科网(北京)股份有限公司 学科网(北京)股份有限公司 $