精品解析：山东省济南市莱芜区2023年初中数学中考模拟冲刺卷(三)

山东省济南市莱芜区2023年初中数学中考模拟冲刺卷（三） （120分钟 150分） 第Ⅰ卷（选择题，共40分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 若一个整数12500…0用科学记数法表示为1.25×1010，则原数中“0”的个数为（　　） A. 5 B. 8 C. 9 D. 10 2. 若代数式有意义，则x的取值范围是( ) A. x＞﹣1且x≠1 B. x≥﹣1 C. x≠1 D. x≥﹣1且x≠1 3. 开学前，根据学校防疫要求，小宁同学连续14天进行了体温测量，结果统计如表： 体温（） 36.2 36.3 36.5 36.6 36.8 天数（天） 3 3 4 2 2 这14天中，小宁体温的众数和中位数分别为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 4. 下列图形中，是轴对称图形且对称轴条数最多的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在四边形材料中， ，，，，．现用此材料截出一个面积最大的圆形模板，则此圆的半径是（ ） A. B. C. D. 6. 桂林作为国际旅游名城，每年吸引着大量游客前来观光．现有一批游客分别乘坐甲乙两辆旅游大巴同时从旅行社前往某个旅游景点．行驶过程中甲大巴因故停留一段时间后继续驶向景点，乙大巴全程匀速驶向景点．两辆大巴的行程s（km）随时间t（h）变化的图象（全程）如图所示．依据图中信息，下列说法错误的是（ ） A. 甲大巴比乙大巴先到达景点 B. 甲大巴中途停留了0.5h C. 甲大巴停留后用1.5h追上乙大巴 D. 甲大巴停留前的平均速度是60km/h 7. 如图在三条横线和三条竖线组成的图形中，任选两条横线和两条竖线都可以组成一个矩形，从这些矩形中任选一个，则所选矩形含点A的概率是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，已知正方形ABCD的边长为5，点E、F分别在AD、DC上，AE＝DF＝2，BE与AF相交于点G，点H为BF的中点，连接GH，则GH的长为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 9. 如图，一次函数的图像与x轴、y轴分别交于点A、B，把直线绕点B顺时针旋转交x轴于点C，则线段长为（ ） A. B. C. D. 10. 抛物线的部分图象如图所示，对称轴为直线，直线与抛物线都经过点，下列说法：①；②；③与是抛物线上的两个点，则；④方程的两根为；⑤当时，函数有最大值，其中正确的个数是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 第Ⅱ卷（非选择题，共110分） 二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，满分24分．直接填写最后结果） 11. 分解因式：_________． 12. 一个正多边形的内角和比其外角和的度数大，则它的边数是___． 13. 如图，点A（﹣4，2）和B（2，﹣4）是一次函数y＝kx+b的图象和反比例函数y＝的图象的两个交点，则不等式kx+b＜的解集是_____． 14. 如图，在中，，是斜边上的中线，过点E作交于点F．若，的面积为5，则的值为___ 15. 如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A、C分别在轴的负半轴、轴的正半轴上，点B在第二象限.将矩形OABC绕点O顺时针旋转，使点B落在轴上，得到矩形ODEF，BC与OD相交于点M.若经过点M的反比例函数y=（x＜0）的图象交AB于点N，的图象交AB于点N, S矩形OABC=32，tan∠DOE=,,则BN的长为______________. 16. 如图，在平面直角坐标系中，直线l的函数表达式为y＝x，点O1的坐标为（1，0），以O1为圆心，O1O为半径画圆，交直线l于点P1，交x轴正半轴于点O2；以O2为圆心，O2O为半径画圆，交直线l于点P2，交x轴正半轴于点O3；以O3为圆心，O3O为半径画圆，交直线l于点P3，交x轴正半轴于点O4；…按此做法进行下去，其中的长___________． 三、解答题（本大题共10小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 计算：． 18. 解不等式组，求x的整数值． 19. 如图，已知在中，E，F分别在边上，且相交于O，连接．求证：； 20. 为更好的开展党史知识进校园活动，了解学生对党史知识的掌握程度，某校随机抽取了部分学生进行党史知识测试．并将测试结果分为A优秀，B良好，C合格，D不合格．将测试的结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图，请根据图中信息回答下列问题： （1）本次调查了 　　名学生； （2）补全条形统计图（并标注频数）； （3）扇形统计图中“B良好”所占扇形圆心角的度数为 　　度； （4）该校共有800名学生，请你估计“良好”以上的学生有　　名； （5）在测试成绩为“优秀”的学生中有四名学生会干部，他们中有3名男生和1名女生，学校想从这4人中任选2人参加市党史知识竞赛活动，请用列表法或画树状图法，求出被选中的两人恰好是一男一女的概率． 21. 为了测量高速公路某桥的桥墩高度，某数学兴趣小组在同一水平地面C、D两处实地测量，如图所示．在C处测得桥墩顶部A处的仰角为和桥墩底部B处的俯角为，在D处测得桥墩顶部A处的仰角为，测得C、D两点之间的距离为，直线、在同一平面内，请你用以上数据，计算桥墩的高度．（结果保留整数，参考数据：） 22. 如图，在中，，以AC为直径作交BC于点D，过点D作，垂足为E，延长BA交于点F． （1）求证：DE是的切线 （2）若，求的半径． 23. 遵义市开展信息技术与教学深度融合的精准化教学，某实验学校计划购买，两种型号教学设备，已知型设备价格比型设备价格每台高20%，用30000元购买型设备的数量比用15000元购买型设备的数量多4台． （1）求，型设备单价分别是多少元？ （2）该校计划购买两种设备共50台，要求型设备数量不少于型设备数量的．设购买台型设备，购买总费用为元，求与的函数关系式，并求出最少购买费用． 24. 在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B在直线上，过点B作AB的垂线，过原点O作直线l的垂线，两垂线相交于点C． （1）如图，点B，C分别在第三、二象限内，BC与AO相交于点D． ①若，求证：． ②若，求四边形的面积． （2）是否存在点B，使得以为顶点的三角形与相似？若存在，求OB的长；若不存在，请说明理由． 25. 和都是等边三角形． 将绕点A旋转到图①的位置时，连接，并延长相交于点P（点P与点A重合），有（或）成立（不需证明）； （1）将绕点A旋转到图②的位置时，连接，相交于点P，连接，猜想线段，，之间有怎样的数量关系？并加以证明； （2）将绕点A旋转到图③的位置时，连接，相交于点P，连接，猜想线段，，之间有怎样的数量关系？直接写出结论，不需要证明． 26. 如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x﹣与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y＝ax2﹣x+c（a≠0）经过A，B，C三点． （1）求过A，B，C三点抛物线的解析式并求出顶点F的坐标； （2）在抛物线上是否存在点P，使△ABP为直角三角形？若存在，直接写出P点坐标；若不存在，请说明理由； （3）试探究在直线AC上是否存在一点M，使得△MBF的周长最小？若存在，求出M点的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 山东省济南市莱芜区2023年初中数学中考模拟冲刺卷（三） （120分钟 150分） 第Ⅰ卷（选择题，共40分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 若一个整数12500…0用科学记数法表示为1.25×1010，则原数中“0”的个数为（　　） A. 5 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】把写成不用科学记数法表示的原数的形式即可. 【详解】解:表示的原数为12500000000, 原数中"0"的个数为8, 故选B. 【点睛】本题考查了把科学记数法表示的数还原成原数,科学记数法的表示的数还原成原数时，n＞0时,小数点则向右移动n位得到原数；n<0时,小数点则向左移动|n|位得到原数. 2. 若代数式有意义，则x的取值范围是( ) A. x＞﹣1且x≠1 B. x≥﹣1 C. x≠1 D. x≥﹣1且x≠1 【答案】D 【解析】 【分析】此题需要注意分式的分母不等于零，二次根式的被开方数是非负数． 【详解】依题意，得 x+1≥0且x-1≠0， 解得 x≥-1且x≠1． 故选D． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件和分式有意义的条件．函数自变量的范围一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负． 3. 开学前，根据学校防疫要求，小宁同学连续14天进行了体温测量，结果统计如表： 体温（） 36.2 36.3 36.5 36.6 36.8 天数（天） 3 3 4 2 2 这14天中，小宁体温的众数和中位数分别为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】利用众数和中位数的定义，结合表格中的统计数据计算求解即可． 【详解】解：∵由表格可得，出现了4次，出现次数最多， ∴众数为， ∵共有14个数据，将数据从小到大排列后，中位数为第7个和第8个数据的平均数， ∵前两类体温的总天数为，因此第7个、第8个数据均为， ∴中位数为． 4. 下列图形中，是轴对称图形且对称轴条数最多的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用轴对称图形的定义逐一判断即可． 【详解】解：A是轴对称图形，对称轴有1条； B不是轴对称图形； C不是轴对称图形； D是轴对称图形，对称轴有2条； 故选：D． 【点睛】本题考查识别轴对称图形，掌握轴对称图形的定义是解题的关键． 5. 如图，在四边形材料中， ，，，，．现用此材料截出一个面积最大的圆形模板，则此圆的半径是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】如图所示，延长BA交CD延长线于E，当这个圆为△BCE的内切圆时，此圆的面积最大，据此求解即可． 【详解】解：如图所示，延长BA交CD延长线于E，当这个圆为△BCE的内切圆时，此圆的面积最大， ∵，∠BAD=90°， ∴△EAD∽△EBC，∠B=90°， ∴，即， ∴， ∴EB=32cm， ∴， 设这个圆的圆心为O，与EB，BC，EC分别相切于F，G，H， ∴OF=OG=OH， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴此圆的半径为8cm， 故选B． 【点睛】 本题主要考查了三角形内切圆半径与三角形三边的关系，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键． 6. 桂林作为国际旅游名城，每年吸引着大量游客前来观光．现有一批游客分别乘坐甲乙两辆旅游大巴同时从旅行社前往某个旅游景点．行驶过程中甲大巴因故停留一段时间后继续驶向景点，乙大巴全程匀速驶向景点．两辆大巴的行程s（km）随时间t（h）变化的图象（全程）如图所示．依据图中信息，下列说法错误的是（ ） A. 甲大巴比乙大巴先到达景点 B. 甲大巴中途停留了0.5h C. 甲大巴停留后用1.5h追上乙大巴 D. 甲大巴停留前的平均速度是60km/h 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数图象中的数据，可以判断各个选项中的结论是否成立，从而可以解答本题． 【详解】解：由图象可得， 甲大巴比乙大巴先到达景点，故选项A正确，不符合题意； 甲大巴中途停留了1﹣0.5＝0.5（h），故选项B正确，不符合题意； 甲大巴停留后用1.5﹣1＝0.5h追上乙大巴，故选项C错误，符合题意； 甲大巴停留前的平均速度是30÷0.5＝60（km/h），故选项D正确，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查从函数图象中获取信息的能力，解答本题的关键是学会看函数图象，并且解决有关问题． 7. 如图在三条横线和三条竖线组成的图形中，任选两条横线和两条竖线都可以组成一个矩形，从这些矩形中任选一个，则所选矩形含点A的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意两条横线和两条竖线都可以组成矩形个数，再得出含点A矩形个数，进而利用概率公式求出即可． 【详解】解：两条横线和两条竖线都可以组成一个矩形， 则如图的三条横线和三条竖线可以组成9个矩形，其中含点A矩形4个， ∴所选矩形含点A的概率是 故选：D 【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 8. 如图，已知正方形ABCD的边长为5，点E、F分别在AD、DC上，AE＝DF＝2，BE与AF相交于点G，点H为BF的中点，连接GH，则GH的长为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据正方形的性质并利用SAS可证明△BAE≌△ADF，于是可得∠ABE＝∠DAF，进而可得△BGF是直角三角形，再根据点H为BF的中点，可知GH是BF的一半，然后根据勾股定理可以求得BF的长，从而可以得到GH的长． 【详解】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝DA，∠BAE＝∠ADF＝90°， ∵AE＝DF， ∴△BAE≌△ADF（SAS）， ∴∠ABE＝∠DAF， ∵∠ABE+∠BEA＝90°， ∴∠DAF+∠BEA＝90°， ∴∠AGE＝90°， ∴∠BGF＝90°， ∵点H为BF的中点， ∴GH＝BF， 又∵BC＝CD＝5，DF＝2，∠C＝90°， ∴CF＝3， ∴BF＝＝＝， ∴GH＝， 故选：B． 【点睛】本题考查了正方形的性质、勾股定理、直角三角形的性质以及全等三角形的判定与性质等知识，明确题意、熟练掌握上述知识是解题的关键． 9. 如图，一次函数的图像与x轴、y轴分别交于点A、B，把直线绕点B顺时针旋转交x轴于点C，则线段长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据一次函数表达式求出点A和点B坐标，得到△OAB为等腰直角三角形和AB的长，过点C作CD⊥AB，垂足为D，证明△ACD为等腰直角三角形，设CD=AD=x，结合旋转的度数，用两种方法表示出BD，得到关于x的方程，解之即可． 【详解】解：∵一次函数的图像与x轴、y轴分别交于点A、B， 令x=0，则y=，令y=0，则x=， 则A（，0），B（0，）， 则△OAB为等腰直角三角形，∠ABO=45°， ∴AB==2， 过点C作CD⊥AB，垂足为D， ∵∠CAD=∠OAB=45°， ∴△ACD为等腰直角三角形，设CD=AD=x， ∴AC==x， ∵旋转， ∴∠ABC=30°， ∴BC=2CD=2x， ∴BD==x， 又BD=AB+AD=2+x， ∴2+x=x， 解得：x=+1， ∴AC=x=（+1）=， 故选A． 【点睛】本题考查了一次函数与坐标轴的交点问题，等腰直角三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理，二次根式的混合运算，知识点较多，解题的关键是作出辅助线，构造特殊三角形． 10. 抛物线的部分图象如图所示，对称轴为直线，直线与抛物线都经过点，下列说法：①；②；③与是抛物线上的两个点，则；④方程的两根为；⑤当时，函数有最大值，其中正确的个数是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】抛物线的对称轴为直线，开口向下，可得，，故①正确；根据抛物线过点，可得，从而得到，故②错误；由抛物线的对称轴为直线，开口向下，可得当时，y随x的增大而减小，关于对称轴的对称点为，可得到，故③错误；令y=0，则解得：，故④正确；根据二次函数的性质可得当时，函数有最大值，再由直线经过点，可得，从而得到，进而得到，故⑤错误，即可求解． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线，开口向下， ∴， ∴， ∴，故①正确； ∵抛物线过点， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴，故②错误； ∵抛物线的对称轴为直线，开口向下， ∴当时，y随x的增大而减小，关于对称轴的对称点为， ∵， ∴，故③错误； 令y=0，则 解得：， ∴方程的两根为，故④正确； ， ∵， ∴当时，函数有最大值， ∵直线经过点， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴当时，函数有最大值，故⑤错误； ∴正确的有2个． 故选：A 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，一次函数的图形和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，一次函数的图形和性质，并利用数形结合思想解答是解题的关键． 第Ⅱ卷（非选择题，共110分） 二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，满分24分．直接填写最后结果） 11. 分解因式：_________． 【答案】 【解析】 【分析】要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方式或平方差式，若是就考虑用公式法继续分解因式．因此，直接提取公因式x再应用完全平方公式继续分解即可． 【详解】解： 故答案为: ． 【点睛】本题主要考查了因式分解．能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数（或式）的平方和的形式，另一项是这两个数（或式）的积的2倍． 12. 一个正多边形的内角和比其外角和的度数大，则它的边数是___． 【答案】8 【解析】 【分析】n边形的内角和为，外角和为，根据正多边形的内角和比其外角和的度数大列方程求解即可． 【详解】解：设该多边形的边数为n， 根据题意，得， 解得， 即该多边形的边数为8． 13. 如图，点A（﹣4，2）和B（2，﹣4）是一次函数y＝kx+b的图象和反比例函数y＝的图象的两个交点，则不等式kx+b＜的解集是_____． 【答案】x＞2或−4＜x＜0． 【解析】 【分析】根据图象，分别观察交点的哪一侧能够使一次函数的值小于反比例函数的值，从而求得x的取值范围． 【详解】解：由图象，得 x的取值范围是x＞2或−4＜x＜0， 故答案为：x＞2或−4＜x＜0． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，要求能够运用数形结合的思想观察两个函数值的大小关系． 14. 如图，在中，，是斜边上的中线，过点E作交于点F．若，的面积为5，则的值为___ 【答案】 【解析】 【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边一半可得，进而得到，从而有，根据三角形的面积公式求出，由勾股定理，在中，求出，再根据锐角三角函数的定义求解即可． 【详解】解：如图，连接， 是斜边上的中线，， 是的垂直平分线， ，， ， ， ， 在中，，， ， ， ， 又， ， ， ， ． 15. 如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A、C分别在轴的负半轴、轴的正半轴上，点B在第二象限.将矩形OABC绕点O顺时针旋转，使点B落在轴上，得到矩形ODEF，BC与OD相交于点M.若经过点M的反比例函数y=（x＜0）的图象交AB于点N，的图象交AB于点N, S矩形OABC=32，tan∠DOE=,,则BN的长为______________. 【答案】3 【解析】 【详解】试题分析：利用矩形的面积公式得到AB•BC=32，再根据旋转的性质得AB=DE，OD=OA，接着利用正切的定义得到an∠DOE=，所以DE•2DE=32，解得DE=4，于是得到AB=4，OA=8，同样在Rt△OCM中利用正切定义得到tan∠COM=，由OC=AB=4，可求得MC=2，则M（﹣2，4），易得反比例函数解析式为y=﹣，然后确定N点坐标（﹣8，1），可知BN=4﹣1=3． 故答案为3． 考点：1、坐标与图形变化﹣旋转；2、反比例函数系数k的几何意义；3、解直角三角形 16. 如图，在平面直角坐标系中，直线l的函数表达式为y＝x，点O1的坐标为（1，0），以O1为圆心，O1O为半径画圆，交直线l于点P1，交x轴正半轴于点O2；以O2为圆心，O2O为半径画圆，交直线l于点P2，交x轴正半轴于点O3；以O3为圆心，O3O为半径画圆，交直线l于点P3，交x轴正半轴于点O4；…按此做法进行下去，其中的长___________． 【答案】 【解析】 【分析】连接P1O1，P2O2，P3O3，易求得PnOn垂直于x轴，可得的长为圆的周长，再找出圆半径的规律即可得出结果． 【详解】解：连接P1O1，P2O2，P3O3，P4O4，…，如图所示： ∵P1是⊙1上的点， ∴P1O1=OO1， ∵直线l解析式为y=x， ∴∠P1OO1=45°， ∴△P1OO1为等腰直角三角形，即P1O1⊥x轴， 同理，PnOn垂直于x轴， ∴的长为圆的周长， ∵以O1为圆心，O1O为半径画圆，交x轴正半轴于点O2，以O2为圆心，O2O为半径画圆，交x轴正半轴于点O3，以此类推， ∴OOn=2n-1， ∴=×2π•OOn=π×2n-1=2n-2π， ∴n=2020时，= 22020-2π=22018π， 故答案为：22018π． 【点睛】本题考查了弧长的计算，一次函数图象和性质、等腰直角三角形的判定、圆周长的计算等知识；准确找到圆半径的规律是解题的关键． 三、解答题（本大题共10小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】首先计算特殊角的三角函数值、负整数指数幂、开平方和绝对值，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值即可． 【详解】解： 【点睛】此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行． 18. 解不等式组，求x的整数值． 【答案】解集为，整数值是2，3 【解析】 【分析】先求出每一个不等式的解集，再取解集的公共部分作为不等式组的解集，再求出整数值即可． 【详解】解： 解不等式①，得：， 解不等式②，得：， 则不等式组的解集为， ∴x可取的整数值是2，3． 19. 如图，已知在中，E，F分别在边上，且相交于O，连接．求证：； 【答案】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴． 【解析】 【详解】略 20. 为更好的开展党史知识进校园活动，了解学生对党史知识的掌握程度，某校随机抽取了部分学生进行党史知识测试．并将测试结果分为A优秀，B良好，C合格，D不合格．将测试的结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图，请根据图中信息回答下列问题： （1）本次调查了 　　名学生； （2）补全条形统计图（并标注频数）； （3）扇形统计图中“B良好”所占扇形圆心角的度数为 　　度； （4）该校共有800名学生，请你估计“良好”以上的学生有　　名； （5）在测试成绩为“优秀”的学生中有四名学生会干部，他们中有3名男生和1名女生，学校想从这4人中任选2人参加市党史知识竞赛活动，请用列表法或画树状图法，求出被选中的两人恰好是一男一女的概率． 【答案】（1）50 （2）见解析 （3）72 （4）400 （5） 【解析】 【分析】（1）由优秀的人数除以所占百分比即可； （2）求出C合格的人数，补全条形统计图即可； （3）由360°乘以“B良好”所占的比例即可； （4）由该校共有学生人数乘以“良好”以上的学生所占的比例即可； （5）画树状图，共有12种等可能的结果，其中被选中的两人恰好是一男一女的结果有6种，再由概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：本次调查中，一共调查学生15÷30%=50（名）， 故答案为：50； 【小问2详解】 解：C类别人数为50-（15+10+5）=20（人）， 补全图形如下： 【小问3详解】 解：“B良好”人数所在扇形的圆心角是360°×=72°， 故答案为：72； 【小问4详解】 解：估计此次综合测试C类别的学生有800×=400（名）． 【小问5详解】 解： 共有12种等可能的结果，其中被选中的两人恰好是一男一女的结果有6种， ∴被选中的两人恰好是一男一女的概率为＝． 【点睛】此题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比． 21. 为了测量高速公路某桥的桥墩高度，某数学兴趣小组在同一水平地面C、D两处实地测量，如图所示．在C处测得桥墩顶部A处的仰角为和桥墩底部B处的俯角为，在D处测得桥墩顶部A处的仰角为，测得C、D两点之间的距离为，直线、在同一平面内，请你用以上数据，计算桥墩的高度．（结果保留整数，参考数据：） 【答案】103米 【解析】 【分析】延长DC交AB于点E，设CE=x米，由题意可得AB⊥DE，解Rt△AEC求得AE，解Rt△BEC求得BE，解Rt△AED求得DE，根据CD=DE-CE列方程求得x即可； 【详解】解：延长DC交AB于点E，设CE=x米， ∵AB、CD在同一平面内，AB⊥水平地面，点C、D在同一水平地面， ∴AB⊥DE， Rt△AEC中，∠ACE=60°，EC=x米，则AE=EC•tan∠ACE=米， Rt△BEC中，∠BCE=40°，EC=x米，则BE=EC•tan∠BEC=0.84x米， Rt△AED中，∠D=30°，AE=米，则DE=AE÷tan∠D=3x米， ∵CD=DE-CE=3x-x=80米， ∴x=40米， ∴AB=AE+BE=米， ∴桥墩的高度为103米； 【点睛】本题考查了解直角三角形的实际应用，掌握正切三角函数的相关概念是解题关键． 22. 如图，在中，，以AC为直径作交BC于点D，过点D作，垂足为E，延长BA交于点F． （1）求证：DE是的切线 （2）若，求的半径． 【答案】（1） 证明：连接OD； ∵OD=OC， ∴∠C=∠ODC， ∵AB=AC， ∴∠B=∠C， ∴∠B=∠ODC， ∴ODAB， ∴∠ODE=∠DEB； ∵DE⊥AB， ∴∠DEB=90°， ∴∠ODE=90°， 即DE⊥OD， ∴DE是⊙O的切线． （2）13 【解析】 【分析】（1）连接OD，只要证明OD⊥DE即可； （2）连接CF，证OD是△ABC的中位线，得CF=2DE，再证DE是△FBC的中位线，得CF=2DE,设AE=2x，DE=3k，则CF=6k，BE=EF=AE+AF=2k+10，AC=BA=EF+AE=4k+10，然后在Rt△ACF中，由勾股定理，得 (4k+10)2=102+(6k)2， 解得：k=4，从而求得AC=4k+10=4×4+10=26，即可求得的半径OA长，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接CF， 由（1）知OD⊥DE， ∵DE⊥AB， ∴ODAB， ∵OA=OC， ∴BD=CD，即OD是△ABC的中位线， ∵AC是的直径， ∴∠CFA=90°， ∵DE⊥AB， ∴∠BED=90°， ∴∠CFA=∠BED=90°， ∴DECF， ∴ ∴BE=EF，即DE是△FBC的中位线， ∴CF=2DE, ∵， ∴设AE=2kk，DE=3k，CF=6k， ∵AF=10， ∴BE=EF=AE+AF=2k+10， ∴AC=BA=EF+AE=4k+10， 在Rt△ACF中，由勾股定理，得 AC2=AF2+CF2，即(4k+10)2=102+(6k)2， 解得：k=4， ∴AC=4k+10=4×4+10=26， ∴OA=13, 即的半径为13． 【点睛】本题考查圆周角定理，切线的判定与性质，勾股定理，三角形中位线的判定与性质，证OD是△ABC的中位线， DE是△FBC的中位线是解题的关键． 23. 遵义市开展信息技术与教学深度融合的精准化教学，某实验学校计划购买，两种型号教学设备，已知型设备价格比型设备价格每台高20%，用30000元购买型设备的数量比用15000元购买型设备的数量多4台． （1）求，型设备单价分别是多少元？ （2）该校计划购买两种设备共50台，要求型设备数量不少于型设备数量的．设购买台型设备，购买总费用为元，求与的函数关系式，并求出最少购买费用． 【答案】（1），型设备单价分别是元． （2），最少购买费用为元 【解析】 【分析】（1）设型设备的单价为元，则型设备的单价为元，根据题意建立分式方程，解方程即可求解； （2）设型设备的单价为元，则型设备的单价为元，根据题意建立一元一次不等式，求得的最小整数解，根据单价乘以数量即可求的与的函数关系式，根据一次函数的性质即可求得最少购买费用． 【小问1详解】 解：设型设备的单价为元，则型设备的单价为元，根据题意得， ， 解得， 经检验是原方程的解， 型设备的单价为元； 答：，型设备单价分别是元． 【小问2详解】 设购买台型设备，则购买型设备台，依题意， ， 解得， 的最小整数解为， 购买总费用为元，， ， ，随的增大而增大， 时，取得最小值，最小值为． 答：最少购买费用为元． 【点睛】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，理解题意列出关系式是解题的关键． 24. 在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B在直线上，过点B作AB的垂线，过原点O作直线l的垂线，两垂线相交于点C． （1）如图，点B，C分别在第三、二象限内，BC与AO相交于点D． ①若，求证：． ②若，求四边形的面积． （2）是否存在点B，使得以为顶点的三角形与相似？若存在，求OB的长；若不存在，请说明理由． 【答案】 （1）证明：如图1， ∵，∴． ∴，∴． 而， ∴． ∵，∴． ∴， ∴． ②； （2）存在，，4，9，1 【解析】 【分析】（1）①等腰三角形等角对等边，则，根据等角的余角相等和对顶角相等，得到，根据等角对等边，即可证明； ②添加辅助线，过点A作于点H，根据直线l的解析式和角的关系，分别求出线段AB、BC、OB、OC的长，则； （2）分多钟情况进行讨论：①当点C在第二象限内，时；②当点C在第二象限内，时；③当点C在第四象限内，时． 【详解】解：（1）①略 ②如图1，过点A作于点H．由题意可知， 在中，．设，． ∵，∴，解得． ∴． ∵， ∴， ∴ ∴． ∵， ∴， ∴， ： ∴． （2）过点A作于点H，则有． ①如图2，当点C在第二象限内，时，设 ∵，∴． 又∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴，∴， ∴，整理得，解得． ∴． ②如图3，当点C在第二象限内，时，延长交于点G， 则，∴． 又∵， ∴， 而， ∴， ∴ ③当点C在第四象限内，时，与相交于点E，则有． (a)如图4，点B在第三象限内． 在中，，∴ ∴， 又∵， ∴， 而 ∴， ∴ ∴， ∴， ∴ (b)如图5，点B在第一象限内． 在中 ∴，∴． 又∵， ∴ 而，∴ ∴ ∴， ∴， ∴ 综上所述，的长为，4，9，1． 【点睛】本题涉及到等腰三角形、等角的余角相等、利用切割法求四边形的面积和相似三角形等知识，综合性较强．在题中已知两个三角形相似时，要分情况考虑． 25. 和都是等边三角形． 将绕点A旋转到图①的位置时，连接，并延长相交于点P（点P与点A重合），有（或）成立（不需证明）； （1）将绕点A旋转到图②的位置时，连接，相交于点P，连接，猜想线段，，之间有怎样的数量关系？并加以证明； （2）将绕点A旋转到图③的位置时，连接，相交于点P，连接，猜想线段，，之间有怎样的数量关系？直接写出结论，不需要证明． 【答案】（1），理由见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）在上截取，连接，证明，得，再证明，得，，然后证明是等边三角形，得，即可得出结论； （2）在上截取，连接，证明，得，再证明，得出，，然后证明是等边三角形，得，即可得出结论：． 【小问1详解】 解：图②结论： 证明：在BP上截取，连接AF， ∵和都是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：图③结论：， 理由：在上截取，连接AF， ∵和都是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 即． 26. 如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x﹣与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y＝ax2﹣x+c（a≠0）经过A，B，C三点． （1）求过A，B，C三点抛物线的解析式并求出顶点F的坐标； （2）在抛物线上是否存在点P，使△ABP为直角三角形？若存在，直接写出P点坐标；若不存在，请说明理由； （3）试探究在直线AC上是否存在一点M，使得△MBF的周长最小？若存在，求出M点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）抛物线的解析式为y＝x2﹣x﹣，顶点F的坐标为（1，） （2）存在，P1（0，﹣），P2（2，﹣） （3）在直线AC上存在点M，使得△MBF的周长最小，此时M（，） 【解析】 【分析】（1）抛物线解析式中有两个待定系数a，c，根据直线AC解析式求点A、C坐标，代入抛物线解析式即可； （2）分析不难发现，△ABP的直角顶点只可能是P，根据已知条件可证AC2+BC2=AB2，故点C满足题意，根据抛物线的对称性，点C关于抛物线对称轴的对称点也符合题意； （3）由于B，F是定点，BF的长一定，实际上就是求BM+FM最小，找出点B关于直线AC的对称点B'，连接B'F，交AC于点M，点M即为所求，由（2）可知，BC⊥AC，延长BC到B'，使BC=B'C，利用中位线的性质可得B'的坐标，从而可求直线B'F的解析式，再与直线AC的解析式联立，可求M点坐标． 【小问1详解】 ∵直线y＝﹣x﹣与x轴交于点A，与y轴交于点C ∴点A（﹣1，0），C（0，﹣） ∵点A，C都在抛物线上， ∴ ∴ ∴抛物线的解析式为 ∴顶点F（1，﹣ ）． 【小问2详解】 存在： 理由：（1）可知点A（-1，0），C（0，- ）， ∴AO=1，OC=-， ∴AC=2， 设y=0，则=0，解得：x=-1或3， ∴B的坐标是（3，0）， ∴OB=3， ∴ ， ∵AC2+BC2=16，AB2=16， ∴AC2+BC2=AB2=16， ∴△ABC为直角三角形； ∴当P与C重合时符合题意,根据抛物线的对称性，点C关于抛物线对称轴的对称点也符合题意， ∴P点的坐标是（0，-）或（2，-）； 【小问3详解】 存在 理由： 延长BC到点B′，使BC＝BC，连接BF交直线AC于点M，则点M就是所求的点， ∵过点B′作BH⊥AB于点H， ∵B点在抛物线上， ∴B（3，0）， 在Rt△BOC中，tan∠OBC＝ ∴∠OBC＝30°，BC＝2 在Rt△B′BH中，B′H＝BB′＝2 BH＝B′H＝6，∴OH＝3， ∴B′（﹣3，﹣2）． 设直线B′F的解析式为y＝kx+b， ∴ ， 解得 ， ∴ ． ， 解得 ， ∴M（ ） ∴在直线AC上存在点M，使得△MBF的周长最小，此时M（）． 【点睛】考查代数几何的综合运用能力，体现数学知识的内在联系和不可分割的特点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $