专题5 角度问题-【众相原创·赋能中考】2026年中考数学几何与二次函数压轴题突破练配套课件（福建专用）

该初中数学中考复习课件聚焦二次函数与几何综合压轴题，覆盖特殊角、等角、倍半角等核心考点，对接中考说明分析考点权重，归纳定点/动点特殊角构造、等角相似应用等常考题型，体现备考针对性与实用性。 课件亮点在于分层进阶训练体系，通过构造直角三角形、隐圆等方法（如例1用全等构造45°角），培养学生推理意识与几何直观，帮助掌握压轴题解题技巧。教师可依此系统指导学生冲刺，提升中考得分率。

数 学 福建 几何与二次函数压轴题突破练 1 二、二次函数压轴题突破练 专题五　角度问题 一阶　方法突破 二阶　方法小练 三阶　综合应用 分类 定点为特殊角顶点 动点为特殊角顶点 引例 已知A(1，1)、B(6，3)，求x轴上的点P坐标，使得∠PAB＝45° 已知A(1，1)、B(6，3)，求x轴 上的点P坐标，使得∠APB＝ 45° 1. 二次函数中的特殊角 (一般为30°、45°、60°、90°及这些角的和差角，如150°、135°、 120°、75°、15°) 返回目录 分类 定点为特殊角顶点 动点为特殊角顶点 图示 方法 构造直角三角形 构造隐形圆 图解 返回目录 分类 定点为特殊角顶点 动点为特殊角顶点 结论 构造全等： △DAB≌△EBC→C(8，－2) →直线AC：y＝－ x＋ →点P(，0) 构造全等： △ACM≌△MDB→M(4，－1)， r＝ →P1(4－2 ，0)， P2(4＋2 ，0) 返回目录 例1　【定点构造直角三角形】如图，抛物线y＝－x2＋4x－3与x轴交于 点A、B，与y轴交于点C，已知Q为抛物线上一点，若∠ACQ＝45°， 求点Q的坐标. ∴AF＝DE，CE＝DF. 设DE＝AF＝a，∵OA＝1，OF＝CE， 返回目录 解：∵抛物线的表达式为y＝－x2＋4x－3，∴A(1，0)、B(3，0)、 C(0，－3)， 设直线BC对应的函数表达式∵∠CDE＋∠DCE＝90°，∴∠DCE＝∠ADF，又∵∠E＝∠AFD＝ 90°， ∴△CDE≌△DAF(AAS)， ∴AF＝DE，CE＝DF. 设DE＝AF＝a，∵OA＝1，OF＝CE， ∴CE＝DF＝a＋1. 解：∵抛物线的表达式为y＝－x2＋4x－3， ∴A(1，0)、B(3，0)、C(0，－3)， 设直线BC对应的函数表达式为y＝kx＋b(k≠0)， 将B(3，0)、C(0，－3)代入可得直线BC对应的函数表达式为y＝x－3. 如图，取点Q，连接CQ，过点A作AD⊥CQ于点D，过点D作DF⊥x 轴于点F，过点C作CE⊥DF于点E. ∵∠ACQ＝45°，∴AD＝CD， 又∵∠ADC＝90°，∴∠ADF＋∠CDE＝90°， ∵∠CDE＋∠DCE＝90°，∴∠DCE＝∠ADF， 又∵∠E＝∠AFD＝90°， ∴△CDE≌△DAF(AAS)， ∴AF＝DE，CE＝DF. 设DE＝AF＝a， ∵OA＝1，OF＝CE， 返回目录 解：∵抛物线的表达式为y＝－x2＋4x－3，∴A(1，0)、B(3，0)、 C(0，－3)， 设直线BC对应的函数表达式∵∠CDE＋∠DCE＝90°，∴∠DCE＝∠ADF，又∵∠E＝∠AFD＝ 90°， ∴△CDE≌△DAF(AAS)， ∴AF＝DE，CE＝DF. 设DE＝AF＝a，∵OA＝1，OF＝CE， ∴CE＝DF＝a＋1. 由OC＝3，则DF＝3－a，即a＋1＝3－a，解得a＝1.∴D(2，－2)， ∴CE＝DF＝a＋1. 由OC＝3，则DF＝3－a，即a＋1＝3－a，解得a＝1.∴D(2，－2)， 又∵C(0，－3)， 可得直线CD的函数表达式为y＝ x－3，设Q ， 代入y＝－x2＋4x－3， 得 m－3＝－m2＋4m－3， m＝－m2＋4m， m2－ m＝0， 又∵m≠0，则m＝ ， ∴点Q的坐标为 . 返回目录 例2　【动点构造隐形圆】如图，已知抛物线y＝ (x＋2)(x－4)与x轴从 左至右依次交于A，B两点，与y轴交于点C，经过点B的直线y＝－ x ＋b与抛物线的另一交点为D.试判断直线BD上是否存在点E，使 ∠AEC＝45°？若存在，请直接写出点E的横坐标；若不存在，请说明 理由. 解：不存在.理由如下∵二次函数的解析式为y＝ (x＋2)(x－4)，∴A(－ 2，0)，B(4，0).当x＝0时，y＝－2，∴C(0，－2)，∴OA＝OC＝2， 如图B＝ ＞2，∴直线BD与☉O相 离，∴∠AEC＜45°，∴在直线BD上不存在点E，使∠AEC＝45°. 返回目录 与☉O相 离，∴∠AEC＜45°，∴在直线BD上不存在点E，使∠AEC＝45°. 解：不存在.理由如下：∵二次函数的解析式为y＝ (x＋2)(x－4)， ∴A(－2，0)，B(4，0).当x＝0时，y＝－2，∴C(0，－2)， ∴OA＝OC＝2，如图，以点O为圆心，2为半径画圆， 在 上取一点E1，过点O作OF⊥BD于点F， y＝－ x＋b，得b＝3，∴y＝－ x＋3， 设BD与y轴交于点M，则M(0，3)，OM＝3，OB＝4， ∴BM＝5，∴S△OBM＝ ×3×4＝ ×5OF，∴OF＝ ＞2， ∴直线BD与☉O相离，∴∠AEC＜45°， ∵∠AOC＝90°，∴∠AE1C＝45°，把B(4，0)代入 ∴在直线BD上不存在点E，使∠AEC＝45°. 返回目录 2. 二次函数中的等角 图示 图1 图2 图3 方法 解读 (1)如图1，两等角顶点相同，利用对称构造等角(∠CBO＝∠ABO)； (2)两等角顶点不同时，①如图2，利用公共边＋平行线构造等角(∠DOB＝∠OBA)；②如图3，平行线＋角平分线→等腰三角形(△EBO)； (3)利用两个等角所在三角形构造相似三角形； (4)出现等角，利用等角的三角函数值相等解决问题； (5)出现等角，构造隐形圆，利用同弧所对的圆周角相等解决问题 返回目录 例3　【无公共边(相似型)等角→利用三角函数】如图，抛物线y＝ax2－ 4ax＋m与x轴交于A、B两点，点A的坐标是(1，0)，与y轴交于点C. (1)求抛物线的对称轴和点B的坐标； 解：∵抛物线y＝ax2－4ax＋m与x轴交于A、B两点， ∴抛物线的对称轴为直线x＝－ ＝2， ∴B(3，0). ∵点A的坐标是(1，0)， 返回目录 (2)过点C作CP⊥对称轴于点P，连接BC交对称轴于点D，连接BP，且 ∠BPD＝∠BCP，求抛物线的解析式. 解：(1)∵抛物线y＝ax2－4ax＋m与x轴交于A、B两点， ∴抛物线的对称轴为直线x＝－ ＝2，∵点A的坐标是(1，0)， ∴B(3，0). (2)∵抛物线y＝ax2－4ax＋m，∴C(0，m)，∵CP⊥对称轴于点P， ， m)， 解：∵抛物线y＝ax2－4ax＋m，∴C(0，m)， ∵CP⊥对称轴于点P，∴P(2，m)， ∵B(3，0)，∴直线BC的解析式为y＝－ x＋m， ∵BC交对称轴于点D，∴D(2， m)， ∴PC＝2，PD＝ m－m＝－ m，BP＝ ，BC＝ ， ∵∠PBD＝∠CBP，∠BPD＝∠BCP，∴△PBD∽△CBP， ∴ ＝ ， 返回目录 ＝∠BCP，∴△PBD∽△CBP，∴ ＝ ，∴ ＝ ，∴m＝－ 或m＝ (舍去)，∵A(1，0)在抛物 线上，∴a－4a－ ＝0，∴a＝－ ，∴抛物线的解析式为y＝－ x2＋ x－ . ∴ ＝ ，∴m＝－ 或m＝ (舍去)， ∵A(1，0)在抛物线上，∴a－4a－ ＝0，∴a＝－ ， ∴抛物线的解析式为y＝－ x2＋ x－ . 返回目录 3. 二次函数中角的倍半角问题 图 示 图1 图2 方 法 解 读 (1)将一个二倍角直接进行平分，辅助线为作大角角平分线或者作平 行线. 如图1，若∠AOB是某个角的二倍角，则作OC平分∠AOB，这样就 会出现∠AOC＝∠COB，若再作一条平行线，根据内错角相等，则 会出现∠AOC＝∠COB＝∠ODP，根据等角就会出现角度的转化 和边长的转化； 返回目录 方 法 解 读 (2)将小角作为等腰三角形的底角构造一个等腰三角形，辅助线为作 线段相等，此时等腰三角形的顶角的补角即为该小角的二倍角. 如图2，若∠AOC是小角，则可以在OC上取点B，作BP＝OP，则∠PDB＝∠APB＝∠AOC＋∠OBP＝2∠AOC，如果是求点坐标， 需注意切勿漏解； (3)如果方法(1)(2)都无法直接求出，则需要分析两个等角所在几何图 形，考虑是否构造全等三角形，或者通过等角的三角函数值相同来 解决相关问题 返回目录 例4　【有公共边→构造等腰三角形】如图，抛物线y＝ax2＋6x＋c交x 轴于A，B两点，交y轴于点C，直线y＝x－5经过点B，C. (1)求抛物线的解析式； 解：(1)∵直线y＝x－5，∴当x＝0时，y＝－5，∴C(0，－5)， 于点H，作点M关于AN的对称点M'，连接AM'，∴AM ＝AM'，∴∠AMM'＝∠AM'M， 此时∠AM'M＝2∠ACB，∵AB＝4，∠ABC＝45°，∴BN＝2 ， 在等腰直角三角形BNH中，BH＝HN＝2，∴N(3，－2)， ∵N是MM'的中点，∴M' ；综上所述：点M的坐标为 解：∵直线y＝x－5，∴当x＝0时，y＝－5，∴C(0，－5)， 令y＝0，则x＝5，∴B(5，0)， 将B(5，0)，C(0，－5)代入y＝ax2＋6x＋c， 得 解得 ∴抛物线的解析式为y＝－x2＋6x－5. 返回目录 (2)过点A的直线交直线BC于点M，连接AC，当直线AM与直线BC的夹 角等于∠ACB的2倍时，请求出点M的坐标. AMM'＝∠AM'M， 此时∠AM'M＝2∠ACB，∵AB＝4，∠ABC＝45°，∴BN＝2 ， 在等腰直角三角形BNH中，BH＝HN＝2，∴N(3，－2)， ∵N是MM'的中点，∴M' ；综上所述：点M的坐标为 解：令y＝0，则－x2＋6x－5＝0，解得x＝1或x＝5， ∴A(1，0)，当∠AMB＝2∠ACB时，∠ACB＝∠CAM， ∴CM＝AM，设M(m，m－5)， 解得m＝ ，∴M ； ∴m2＋m2＝(m－1)2＋(m－5)2， 返回目录 当∠AMC＝2∠ACM时，如图，过点A作AN⊥BC交于点N，过点N 作NH⊥x轴交于点H，作点M关于AN的对称点M'，连接AM'， ∴AM＝AM'，∴∠AMM'＝∠AM'M， 此时∠AM'M＝2∠ACB，∵AB＝4，∠ABC＝45°， 在等腰直角三角形BNH中，BH＝HN＝2，∴N(3，－2)， ∵N是MM'的中点，∴M' ； 综上所述：点M的坐标为或 . 返回目录 1. 如图，抛物线y＝ x2－ x－2与x轴交于A，C(点A在点C的左侧)两 点， B(6，4)是该抛物线上的点，过点B作BD⊥x轴，垂足为D，延长 BD至点E，连接AE，BC，使∠EAC＝∠ABC，求点E的坐标. 解：易得A(－2，0)，C(4，0)，∠BAC＝∠CBD，设E(6，t)， ∵∠EAC＝∠ABC，∴∠EAB＝∠ABE， ∴EA＝EB＝4－t， 在直角△ADE中，AD2＋DE2＝AE2， ∴82＋(－t)2＝(4－t)2，解得t＝－6， ∴点E的坐标为(6，－6). 返回目录 2. 已知抛物线y＝ax2＋bx＋4与x轴相交于点A(1，0)，B(4，0)，与y轴 相交于点C. (1) 求抛物线的表达式； 解：抛物线的表达式为y＝x2－5x＋4. 返回目录 (2) 如图，取线段OC的中点D，在抛物线上是否存在点Q，使tan∠QDB ＝ ？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由. 解：存在.理由如下： 由(1)易得C(0，4)，∵D为OC的中点，∴D(0，2)， ∴OD＝2.∵B(4，0)，∴OB＝4. 在Rt△BOD中，tan∠OBD＝ ＝ ，当tan∠QDB＝ ＝tan∠OBD时，∠QDB＝∠OBD. ①当点Q在DB上方时，如解图，过点D作DQ∥x轴， 交抛物线于点Q1，Q2，此时∠QDB＝∠OBD， 点Q的纵坐标为2.设点Q的横坐标为t，则t2－5t＋4＝2， 返回目录 解得t＝ ，∴Q1 ，Q2 ； ②当点Q在DB下方时，如解图，设DQ与x轴交于点E，则DE＝BE， 设E(p，0)，则DE2＝OE2＋OD2＝p2＋4，BE2＝(4－p)2， ∴p2＋4＝(4－p)2，解得p＝ ，∴E . 则直线DE的解析式为y＝－ x＋2.联立 综上所述，点Q的坐标为 或 或(3，－2)或 ， . 解得 或 ∴Q3 ，Q4(3，－2). 返回目录 25 $