专题3 面积问题-【众相原创·赋能中考】2026年中考数学几何与二次函数压轴题突破练配套课件（福建专用）

该初中数学中考复习课件聚焦二次函数与几何综合的面积问题，紧密对接中考压轴题考查要求，通过“一阶方法突破（割补法、铅垂法等）、二阶方法小练、三阶综合应用”分层梳理，结合中考真题（如2022福建卷）分析面积计算、最值等常考题型，体现备考针对性。 课件亮点在于“方法归纳+真题实战”模式，如通过铅垂法推导△BCD面积表达式，培养学生数学思维（推理能力）和模型观念，助力掌握压轴题解题技巧。教师可利用分层训练设计复习计划，帮助学生高效突破中考难点，提升得分率。

数 学 福建 几何与二次函数压轴题突破练 1 二、二次函数压轴题突破练 专题三　面积问题 一阶　方法突破 二阶　方法小练 三阶　综合应用 1. 割补法 分类 围栏和差 重叠和差 图形 结论 S△PAB＝S四边形AMNB－S△PAM－S△PBN S△PBC＝S△POC＋S△POB－S△OBC 返回目录 例1　如图，抛物线y＝ (x－4)2的顶点M在x轴上，与y轴交于点N，在 对称轴右侧的抛物线上有一点P，且 ＝12，求点P的坐标. x2－4x－24＝0，解得x1＝2＋2 ，x2＝2－2 (舍去)，∴P(2 ＋2 ，8－2 ). 返回目录 点P为对称轴右侧抛物线上一点，∴N(0，4)，M(4，0). 设P ，∵S△PMN＝ －S△MON－S△PDM， S△PMN＝12， ∴12＝ × ·x－ ×4×4－ (x－4) ， 整理得x2－4x－24＝0，解得x1＝2＋2 ，x2＝2－2 (舍去)，∴P(2 ＋2 ，8－2 ). 解：如图，作PD⊥x轴于点D， ∵抛物线y＝ (x－4)2＝ x2－2x＋4，点P为对称轴右侧抛物线上一点， ∴N(0，4)，M(4，0).设P ， ∵S△PMN＝ －S△MON－S△PDM，S△PMN＝12， ∴12＝ × ·x－ ×4×4－ (x－4) 整理得x2－4x－24＝0， 解得x1＝2＋2 ，x2＝2－2 (舍去)， ∴P(2＋2 ，8－2 ). 返回目录 例2　如图，抛物线y＝ x2＋x－4与x轴交于A，B两点，与y轴交于点 C，点M为抛物线在第三象限内的一动点，其横坐标为m，△AMC的面 积为S，求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值. 返回目录 解：y＝ x2＋x－4，当x＝0时，y＝－4，令y＝ x2＋x－4＝0，则x ＝－4或x＝2， ∴点A、B、C的坐标分别为(－4，0)、(2，0)、(0，－4)， 设点M(m， m2＋m－4)，解法一：连接OM，则S＝S△AMO＋S△OMC －S△AOC ＝ ×4×[－( m2＋m－4)]－ ×4×(－m)－8＝－m2－4m＝－(m＋2)2 ＋4. 解：y＝ x2＋x－4，当x＝0时，y＝－4， 令y＝ x2＋x－4＝0，则x＝－4或x＝2， ∴点A、B、C的坐标分别为(－4，0)、(2，0)、(0，－4)， 设点M(m， m2＋m－4)， 解法一：连接OM，则S＝S△AMO＋S△OMC－S△AOC ＝ ×4×[－( m2＋m－4)]－ ×4×(－m)－8 ＝－m2－4m＝－(m＋2)2＋4. 即S的最大值为4. 返回目录 即S的最大值为4. 解法二：由A、 解法二：由A、C坐标得直线AC的表达式为y＝－x－4， 如图，过点M作MH∥y轴交AC于点H， 设点H(m，－m－4)， 由题意得S＝ ×MH·OA ＝ ×4×(－m－4－ m2－m＋4) ＝－m2－4m＝－(m＋2)2＋4≤4， 即S的最大值为4. 返回目录 2. 铅垂法 分类 铅垂线过中间顶点 铅垂线过左边顶点 铅垂线过右边顶点 图形 结论 S△ABC＝ CD· S△ABC＝ AD· S△ABC＝ BD· 返回目录 例3　如图，已知抛物线y＝－x2＋2x＋3与x轴交于A、B两点，与y轴 交于点C，点D是第一象限内抛物线上的一个动点，过点D作DF⊥x轴 于点F，交直线BC于点E，连接BD，CD.设点D的横坐标为m， △BCD的面积为S，求S关于m的函数解析式及自变量m的取值范围，并 求出S的最大值. 解：∵抛物线y＝－x2＋2x＋3，∴A(－1，0)，B(3，0)，C(0，3)， 则E(m，－m＋3)， ∴DE＝(－m2＋2m＋3)－(－m＋3)＝－m2＋3m， 返回目录 解：∵抛物线y＝－x2＋2x＋3，∴A(－1，0)，B(3，0)，C(0，3)， 设直线BC的函数解析式为y 解得 ∴y＝－x＋3， 由题意得D(m，－m2＋2m＋3)，则E(m，－m＋3)， ∴DE＝(－m2＋2m＋3)－(－m＋3)＝－m2＋3m， 解：∵抛物线y＝－x2＋2x＋3，∴A(－1，0)，B(3，0)，C(0，3)， 设直线BC的函数解析式为y＝kx＋b(k≠0)， ∵直线BC过点B(3，0)，C(0，3)，∴ 解得 ∴y＝－x＋3， 由题意得D(m，－m2＋2m＋3)，则E(m，－m＋3)， ∴DE＝(－m2＋2m＋3)－(－m＋3)＝－m2＋3m， ∴S＝ OB·DE＝ (－m2＋3m)＝－ m2＋ m ＝－ ＋ (0＜m＜3)， ∵－ ＜0，∴当m＝ 时，S有最大值，最大值为 ， ∴S关于m的函数解析式为S＝－ m2＋ m(0＜m＜3)， S的最大值为 . 返回目录 例4　如图，抛物线y＝－x2＋2x＋1与y轴交于点A，与它的对称轴直线 x＝1交于点B，过定点E的直线y＝kx－k＋4(k＜0)与该抛物线交于点 M，N. 若△BMN的面积等于1，求k的值. 返回目录 解：对于抛物线y＝－x2＋2x＋1，令x＝0，则y＝1， ∴点A的坐标为(0，1)， ∵直线解析式可化为y＝kx－k＋4＝k(x－1)＋4， ∴当x＝1时，y＝4， 即该直线所过定点E的坐标为(1，4)， ∴点E在直线x＝1上. ∵y＝－x2＋2x＋1＝－(x－1)2＋2，∴点B(1，2)，∴BE＝4－2＝2. ∵S△BMN＝1，∴S△BMN＝ BE·｜xN－xM｜＝1， 返回目录 即该直线所过定点E的坐标为(1，4)， ∴点E在直线x＝1上. ∵y＝－x2＋2x＋1＝－(x－1)2＋2，∴点B(1，2)，∴BE＝4－2＝2. 得x2＋(k－2)x－k＋3＝0，解得x ＝ ， 则xN＝ ，xM＝ ∴xN－xM＝1，由 得x2＋(k－2)x－k＋3＝0， 解得x＝ ， 则xN＝ ，xM＝， 由xN－xM＝1得 ＝1，∴k＝±3. ∵k＜0，∴k＝－3. 返回目录 3. 平行转化法 分类 顶点转化到x轴上(PM∥AC) 顶点转化到y轴上(PM∥AB) 图形 结论 S△PAC＝S△MAC S△PAB＝S△MAB 返回目录 例5　如图，抛物线y＝x2－2x－3与x轴交于A，B两点(A在B的左边)， 与y轴交于点C.P为第四象限抛物线上一点，过点B作BQ∥CP交y轴 于点Q，求△CPQ面积的最大值及此时点P的坐标. 解：∵抛物线的解析式为y＝x2－2x－3，∴A(－1，0)，B(3，0)， C(0，－3)， 如解图，连接BC，BP，过于点G，可得直线BC 的解析式为y＝x－3. 返回目录 解：∵抛物线的解析式为y＝x2－2x－3，∴A(－1，0)，B(3，0)， C(0，－3)， 解：∵抛物线的解析式为y＝x2－2x－3，∴A(－1，0)，B(3，0)， C(0，－3)， 如解图，连接BC，BP，过点P作PG∥y轴交BC于点G，可得直线BC 的解析式为y＝x－3. 设P(x，x2－2x－3)，则G(x，x－3)， ∴PG＝x－3－(x2－2x－3)＝－x2＋3x， ∵P为第四象限抛物线上一点，∴0＜x＜3， ∵BQ∥CP，∴S△CPQ＝S△BCP， ∴S△CPQ＝S△BCP＝ ×OB×PG＝ ×3×(－x2＋3x) ， ∵－ ＜0，∴当x＝ 时，△CPQ面积的最大值为 ，此时P(，－ ). 返回目录 例6　抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于A，B两点，点A在点B的右 边，与y轴交于点C，且过点(2，6)，对称轴为直线x＝ .连接BC， AC，点E是线段AB上的动点(不含端点A，B)，过点E作EF∥BC交AC 于点F，连接CE. 求△CEF面积的最大值. 返回目录 解：(1)由题意，得 解得 ∴抛物线的解析 式为y＝－x2＋3x＋4. 在y＝－x2＋3x＋4中，令y＝0，得－x2＋3x＋4＝0，解得x1＝－1，x2 ＝4， 令x＝0，则y＝4，∴A(4，0)，B(－1，0)，C(0，4). 则直线AC的表达式为y＝－x＋4，直线BC的表达式为y＝4x＋4， 设点E的坐标为(n，0)，则可设直线EF的表达式为y＝4(x－n)，联立 得点F坐标为(， )， ∵EF∥ 解：由题意，得 解得 ∴抛物线的解析式为y＝－x2＋3x＋4. 在y＝－x2＋3x＋4中，令y＝0，得－x2＋3x＋4＝0， 解得x1＝－1，x2＝4， 则直线AC的表达式为y＝－x＋4， 直线BC的表达式为y＝4x＋4， 令x＝0，则y＝4， ∴A(4，0)，B(－1，0)，C(0，4). 返回目录 解：(1)由题意，得 解得 ∴抛物线的解析 式为y＝－x2＋3x＋4. 在y＝－x2＋3x＋4中，令y＝0，得－x2＋3x＋4＝0，解得x1＝－1，x2 ＝4， 令x＝0，则y＝4，∴A(4，0)，B(－1，0)，C(0，4). 则直线AC的表达式为y＝－x＋4，直线BC的表达式为y＝4x＋4， 设 联立 得点F坐标为(， )， ∵EF∥BC， ∴ ＝ ＝ BE·yF ＝ (n＋1) ＝ n2＋ n＋ ， 当e＝ 时， 的最大值为 . 设点E的坐标为(n，0)，则可设直线EF的表达式为y＝4(x－n)， 返回目录 4. 面积转化法 分类 等面积转化为平行线 (S△ACE＝S△BDE) 面积比转化为高的比或底的比 图形 结论 AD∥BC ＝ 返回目录 例7　 如图，二次函数y＝ax2＋bx－3的图象与x轴交于A(－2，0)， B(4，0)两点，与y轴交于点C.点N是二次函数图象上异于点C的动 点，若△NAB的面积与△CAB的面积相等，求点N的坐标. 综上，点N的坐标为(1＋ ，3)或(1－ ，3)或(2，－3). 返回目录 解：(1)把A(－2，0)，B(4，0)代入y＝ax2＋bx－3， h， ∵△NAB的面积与△CAB的面积相等，则点N在直线y＝3和直线y＝－3 上， 当 x2－ x－3＝3时，解得x1＝1＋ ，x2＝1－ ，此时点N的坐 标为(1＋ ，3)或(1－ ，3)； 当 x2－ x－3＝－3时，解得x3＝2，x4＝0(舍去)，此时点N的坐标为 ，3)或(1－ ，3)或(2，－3). 解：把A(－2，0)，B(4，0)代入y＝ax2＋bx－3， 得 解得 ∴二次函数的解析式为y＝ x2 － x－3. 令x＝0，则y＝－3，∴C(0，－3)，∴OC＝3. ∵△NAB的面积与△CAB的面积相等， 则点N在直线y＝3和直线y＝－3上， 设△NAB的底边AB上的高为h， 返回目录 解：(1)把A(－2，0)，B(4，0)代入y＝ax2＋bx－3， 当 x2－ x－3＝3时，解得x1＝1＋ ，x2＝1－ ， 此时点N的坐标为(1＋ ，3)或(1－ ，3)； 当 x2－ x－3＝－3时，解得x3＝2，x4＝0(舍去)， 此时点N的坐标为(2，－3)； 综上，点N的坐标为(1＋ ，3)或(1－ ，3)或(2，－3). 返回目录 例8　如图，经过定点A的直线y＝k(x－2)＋1(k＜0)交抛物线y＝－x2＋ 4x于B，C两点(点C在点B的右侧)，D为抛物线的顶点. (1)求点A的坐标； 解：∵A为直线y＝k(x－2)＋1上的定点， ∴A的坐标与k无关，令x－2＝0， ∴x＝2，此时y＝1，∴点A的坐标为(2，1). 返回目录 (2) 若 ＝2 ，求k的值.别过点B，C作直线AD的垂线，垂足分别为M，N，设B，C 的横坐标分别为x1，x2， ∵△ACD的面积是△ABD面积的2倍，∴CN＝2BM，∴x2－2＝2(2－ x1)，∴2x1＋x2＝6. 联立 得x2＋(k－4)x－2k＋1＝0，① 解法 解：∵y＝－x2＋4x＝－(x－2)2＋4， ∵点A的坐标为(2，1)，∴AD⊥x轴. 如图，分别过点B，C作直线AD的垂线，垂足分别为M，N， 设B，C的横坐标分别为x1，x2， ∵△ACD的面积是△ABD面积的2倍， ∴顶点D的坐标为(2，4)， ∴CN＝2BM，∴x2－2＝2(2－x1)，∴2x1＋x2＝6. 联立 得x2＋(k－4)x－2k＋1＝0，① 返回目录 得x2＋(k－4)x－2k＋1＝0，① 解法 解法一：解得x1＝ ，x2＝ ， ∴2× ＝6， 化简得 ＝－3k，解得k＝－ (正值已舍去). 解法二：由①得x1＋x2＝4－k，又由2x1＋x2＝6， 得x1＝2＋k. ∴(2＋k)2＋(k－4)(2＋k)－2k＋1＝0， 解得k＝± .∵k＜0，∴k＝－ . 返回目录 1. 若A(4，0)，B(1，4)，O(0，0)，则△ABO的面积为 ⁠. 8　 返回目录 2. 如图，抛物线y＝ax2＋bx与x轴交于点A，B(1，4)为抛物线上一点， 连接AB，P为直线AB上方抛物线一点，连接OB，OP，OP与AB相交于 点C，作PD∥OB交AB于点D，记△CDP，△CPB，△CBO的面积分别 为S1，S2，S3，若 ＝ ，则 ＝ 　 　； ＝ 　 　. 　 　 【解析】∵PD∥OB，∴△PDC∽△OBC， ∴ ＝ ，∵ ＝ ，∴ ＝ ， ∴ ＝ ＝ ＝ ， ＝ ＝ . 返回目录 3. 如图，抛物线y＝－ x2＋ x与x轴交于点A，点B在抛物线上，且横 坐标为1，P是直线AB上方抛物线上一点，若△PAB的面积为4，则点P的 坐标为 ⁠. 或(3，4)　 返回目录 【解析】如解图，过点P作PQ⊥x轴，交AB于点Q，由题图可得A(4， 0)，B(1，4)，∴直线AB的函数解析式为y＝－ x＋ ，设P(m，－ m2 ＋ m)，则Q ，∴PQ＝－ m2＋ m－ ＝－ m2＋ m－ ，∴S△PAB＝S△PQB＋S△PQA＝ PQ(xA－xB)＋ PQ(xA－xp)＝ PQ(xA－xB)＝ PQ， ∴ ＝4，化简得， m2－5m＋6＝0，解得m＝2或m＝3， ∴点P的坐标为 或(3，4). 返回目录 4. (2024闽清模拟)已知抛物线y＝ax2＋c交x轴于点A，B(2，0)，交y轴 于点C(0，2). (1) 求此抛物线的解析式； 解：该抛物线的解析式为y＝－ x2＋2. 返回目录 (2)P为抛物线上的一个动点. ①若S△PAC＝2S△ABC，求点P的横坐标； 解：如解图1，过点P作PM∥y轴交AC的延长线于点M， 当y＝0时，即0＝－ x2＋2，解得x＝±2，∴A(－2，0)， ∴S△ABC＝ AB·CO＝ ×4×2＝4， 由点A，C的坐标得直线AC的解析式为y＝x＋2. 设P ，则M(m，m＋2)， 图1 ∴PM＝m＋2－ ＝ m2＋m， 返回目录 ∴S△PAC＝S△PAM－S△PCM＝ PM·OA＝ m2＋m. ∵S△PAC＝2S△ABC，∴ m2＋m＝8， 解得m＝－1± ， ∴点P的横坐标为－1± ； 图1 返回目录 ②直线OP与抛物线的另一个交点为Q，过点Q作QE∥y轴，交直线y＝4 于点E. 求证：P，C，E三点共线. 图2 证明：如解图2，设直线OP的表达式为y＝tx，P . 联立直线OP和抛物线的解析式得tx＝－ x2＋2， 整理得 x2＋tx－2＝0，则xP·xQ＝－4， ∵xP＝n，∴xQ＝－ ，∴点E ， 由点C，P的坐标得直线CP的解析式为y＝－ nx＋2， 当x＝－ 时，y＝－ n× ＋2＝4， ∴点E在直线CP上，即P，C，E三点共线. 返回目录 5. (2022福建)在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2＋bx经过 A(4，0)，B(1，4)两点. P是抛物线上一点，且在直线AB的上方. (1)求抛物线的函数解析式； 解：将A(4，0)，B(1，4)分别代入y＝ax2＋bx，得 解得 ∴抛物线的函数解析式为y＝－ x2＋ x. 图1 返回目录 (2)若△OAB的面积是△PAB面积的2倍，求点 P的坐标； 解：设直线AB的函数解析式为y＝kx＋t(k≠0)， 将A(4，0)，B(1，4)分别代入y＝kx＋t，得 解得 ∴直线AB的函数解析式为y＝－ x＋ . 如解图1，过点P作PM⊥x轴，垂足为M，PM交AB 于点N. 过点B作BE⊥PM，垂足为E， ∴S△PAB＝S△PNB＋S△PNA＝ PN·BE＋ PN·AM＝ PN·(BE＋AM)＝ PN. 图1 返回目录 ∵A(4，0)，B(1，4)，∴S△OAB＝ ｜xA｜·｜yB｜＝ ×4×4＝8. ∵△OAB的面积是△PAB面积的2倍，∴2× PN＝8，∴PN＝ . 设P (1＜m＜4)，则N ， ∴PN＝－ m2＋ m－ ＝ ， 即－ m2＋ m－ ＝ ，解得m1＝2，m2＝3. ∴点P的坐标为 或(3，4). 图1 返回目录 (3)如图，OP交AB于点C，PD∥BO交 AB于点D.记△CDP，△CPB， △CBO的面积分别为 S1，S2，S3. 判断 ＋ 是否存在最大值？ 若存在， 求出最大值；若不存在，请说明理由. 返回目录 解：存在.∵PD∥OB，∴△DPC∽△BOC， ∴ ＝ ＝ .∵ ＝ ， ＝ ，∴ ＋ ＝ . 如解图2，延长AB交y轴于点F， 图2 由(2)知直线AB的函数解析式为y＝－ x＋ ， 将x＝0代入y＝－ x＋ ，解得y＝ ， ∵F ，∴OF＝ . 过点P作PH⊥x轴，垂足为H，PH交AB于点G. ∵PD∥OB，∴∠PDC＝∠OBC，∴∠PDG＝∠OBF， ∵PG∥OF，∴∠PGD＝∠OFB， 返回目录 设P (1＜n＜4)，则G ， ∴PG＝－ n2＋ n－ ， ∴ ＋ ＝ ＝ PG＝ × ＝－ ＋ . 又∵－ ＜0，1＜n＜4， ∴当n＝ 时， ＋ 存在最大值，最大值为 . ∴△PDG∽△OBF，∴ ＝ . 图2 返回目录 43 $