专题2 线段问题-【众相原创·赋能中考】2026年中考数学几何与二次函数压轴题突破练配套课件（福建专用）

该初中数学中考复习课件聚焦二次函数线段问题这一核心考点，紧密对接中考要求，通过“一阶方法突破、二阶方法小练、三阶综合应用”分层梳理水平线段、竖直线段、斜线段的计算与最值问题，归纳“化斜为直”等解题方法，解析典型例题，体现中考备考的系统性和针对性。 课件亮点在于“方法引入+例题精讲+分层训练”模式，如例1通过设点坐标、表示线段长、配方求最值，培养学生的抽象能力和运算能力。三阶综合应用结合函数与几何综合题，强化推理意识，帮助学生掌握压轴题解题技巧，教师可依此制定精准复习计划，提升学生中考得分率。

数 学 福建 几何与二次函数压轴题突破练 1 二、二次函数压轴题突破练 专题二　线段问题 一阶　方法突破 二阶　方法小练 三阶　综合应用 1. 方法引入：平面直角坐标系中水平线段与竖直线段的长的计算公式 方法 水平线段(右减左) 竖直线段(上减下) 条件 AB∥x轴 AB∥y轴 结论 (1)已知点A，B的 位置关系，则 AB＝x2－x1； (2)未知点A，B 的位置关系，则AB＝|x1-x2| (1)已知点A，B 的位置关系， 则AB＝y1－y2； (2)未知点A，B 的位置关系， 则AB＝|y1-y2| 返回目录 2. 抛物线中水平线段与竖直线段的长的最值问题的解决方法 分类 竖直线段PQ 水平线段PM 解决方法 (1)设动点P的坐标； (2)表示竖直线段PQ的长； (3)配方法求最值 (1)利用三角函数将水平线段PM转 化为竖直线段，在Rt△PQM中，＝tanα，即PM＝ ； (2)设动点P的坐标； (3)表示竖直线段PQ的长； (4)配方法求最值 返回目录 例1　如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ x2－ x－2与x轴交于B，C两点(点C在点B左侧)，与y轴交于点A①.若点P是直线AB下方抛 物线上的一动点，且PK∥x轴②，交AB于点K，PD∥y轴③，交x轴于 点D，求 PK＋PD的最大值及此时点P的坐标. 【例题小注】①可求出点A，B，C的坐标；②PK为水平线段；③PD 为竖直线段. 返回目录 解：由题意，令y＝ x2－ x－2＝0，可得B(4，0)，C(－2，0)， 令x＝0，可得A(0，－2)，∴直线AB的解析式为y＝ x－2， 设P (0＜m＜4)，则K ， 解：由题意，令y＝ x2－ x－2＝0，可得B(4，0)，C(－2，0)， 令x＝0，可得A(0，－2)，∴直线AB的解析式为y＝ x－2， 设P (0＜m＜4)，则K ∴ PK＋PD＝ ＋ ＝－ m2＋ m＋2＝－ ＋ ， ∵－ ＜0，0＜m＜4， ∴当m＝ 时， PK＋PD有最大值，最大值为 ， 此时点P的坐标为 . 返回目录 3. 抛物线中的斜线段PH、QH与△PQH周长的最值问题的解决方法 图象 解决方法 (1)利用三角函数将斜线段转化为竖直线段，在Rt△PQH中， ＝ cos α， ＝ sin α，即PH＝PQ· cos α，QH＝PQ· sin α， 故C△PQH＝PQ＋PH＋HQ ＝PQ＋PQ· cos α＋PQ· sin α ＝ PQ； (2)设动点P的坐标； (3)表示竖直线段PQ的长； (4)配方法求最值 返回目录 例 2　 如图，已知抛物线y＝x2－2x－3与x轴交于A，B两点(点A在点 B左侧)，与y轴交于点C①，点D是直线BC下方抛物线上的动点，连接 AD交BC于点E②，求 的最小值. 【例题小注】①可求出点A，B，C的坐标；②AD与x轴不平行，构造 “X型相似”. 返回目录 解：如解图，过点D作交BC于点F，过点A轴交 BC于点G，则 ＝ .令y＝x2－2x－3＝0，可得A(－1，0)，B(3， 0)，令x＝0，可得C(0，－3)， ∴直线BC的解析式为y＝x－3，∴G(－1，－4)，∴AG＝4，设D(m， m2－2m－3)， 则F(m，m－3)，∴DF＝m－3－(m2－2m－3)＝－m2＋3m，∴ ＝ ， 当DF取最大值时， 有最小值，∵DF＝－m2＋3m＝－ ＋. 解：如解图，过点D作交BC于点F，过点A作AG∥y轴交BC于点G， 则 ＝ .令y＝x2－2x－3＝0，可得A(－1，0)，B(3，0)， 令x＝0，可得C(0，－3)， ∴直线BC的解析式为y＝x－3，∴G(－1，－4)， ∴AG＝4，设D(m，m2－2m－3)， 则F(m，m－3)，∴DF＝m－3－(m2－2m－3)＝－m2＋3m， ，当DF取最大值时， 有最小值， ∵DF＝－m2＋3m＝－ ＋ ，又∵－1＜0，0＜m＜3， ∴当m＝ 时，DF有最大值为 ，∴ 的最小值为 . 返回目录 例 3　如图，已知抛物线y＝x2－2x－3与x轴交于A，B两点(点A在点B 左侧)，与y轴交于点C，点D是直线BC下方抛物线上的动点，过点D作 DE∥y轴交BC于点E，过点D作DF⊥BC于点F，求△DEF周长的最大 值. 返回目录 DE， EF的周长＝2DF＋ED＝(1＋ )DE，设直线BC的解析式为y ＝kx＋b(k≠0)， 则 解得 ∴y＝x－3，由题意得D(t，t2－2t－则E(t，t－3)， 解：令x＝0，则y＝－3，∴C(0，－3)， 令y＝0，则x2－2x－3＝0， ∵点A在点B左侧， ∴A(－1，0)，B(3，0)，∴OB＝OC＝3，∴∠OBC＝∠OCB＝45°， ∵DE∥y轴，∴∠OCB＝∠FED＝45°， ∵DF⊥BC，∴DF＝FE＝ DE， 解得x＝3或x＝－1， ∴△DEF的周长＝2DF＋ED＝(1＋ )DE， 返回目录 －1，0)，B(3，0)，∴OB＝OC＝3， ≠0)， 则得 ∴y＝x－3，由题意得D(t，t2－2t－ 3)，则E(t，t－3)， ∴DE＝t－3－(t2－2t－3)＝－t2＋3t＝ ＋ ， ∴△DEF周长的最大值为 (1＋ ). ∴当t＝ 时，DE的值最大，最大值为 ， ∵－1＜0，0＜t＜3， 由题意得D(t，t2－2t－3)，则E(t，t－3)， 设直线BC的解析式为y＝kx＋b(k≠0)，则 解得∴y＝x－3， 返回目录 【归纳】三种线段(水平线、竖直线、斜线)的问题解题思路均为“化斜为 直”，即水平线段转化为竖直线段，斜线段转化为竖直线段，周长转化 为竖直线段. 返回目录 1. 如图，已知C(0，3)，D(4，－1)，点M从原点O开始以每秒1个单位的 速度向x轴的正半轴运动，运动时间为t秒，当MC＋MD的值最小时，t 的值为 ⁠. 3 【解析】设直线CD的函数解析式为y＝kx＋b(k≠0)， 将C(0，3)，D(4，－1)代入可得 解得 ∴直线CD的函数解析式为y＝－x＋3， 当C，M，D三点共线时，MC＋MD取得最小值， ∴当y＝0时，即－x＋3＝0，解得x＝3，∴t＝3. 返回目录 2. 如图，抛物线y＝－x2＋5x＋6与x轴正半轴交于点B，与y轴交于点 C，点D是第一象限内抛物线上的点，DF⊥x轴交BC于点F，则DF的最 大值为 ，此时点D的坐标为 ⁠. 9　 (3，12)　 返回目录 【解析】由题意可得，当y＝－x2＋5x＋6＝0时，解得B(6，0)，当x＝0 时，解得C(0，6)，设直线BC的函数解析式为y＝kx＋b(k≠0)，将 B(6，0)，C(0，6)代入可得 解得 ∴直线BC的 函数解析式为y＝－x＋6，设D(m，－m2＋5m＋6)，则F(m，－m＋ 6)，∴DF＝－m2＋5m＋6－(－m＋6)＝－m2＋6m＝－ ＋9， ∵－1＜0，0＜m＜6，∴当m＝3时，DF的最大值为9，则－m2＋5m＋6＝－32＋5×3＋6＝12，∴点D的坐标为(3，12). 返回目录 3. 如图，点B(3，0)，点C(0，3)，点E ，点M，N分别从原点以 每秒1个单位的速度向x轴、y轴的正半轴运动，运动时间为t秒， 当EM ＋EN取最小值时，求t的值. 返回目录 解：由题意可得，OM＝ON，OB＝OC，∴CN＝BM， 如解图，过点B作BP⊥BC，且使BP＝CE，连接PM，EP，则∠PBM＝∠ECN＝45°， 在△PBM和△ECN中， ， ∴△PBM≌△ECN(SAS)， ∴PM＝EN，∴EM＋EN＝EM＋PM≥EP， 当E，M，P三点共线时，EM＋EN取得最小值，此时P ， 设直线PE的函数解析式为y＝kx＋b(k≠0)，将E(， )，P(，－ ) 代入可得 返回目录 解得 ∴直线PE的函数解析式为y＝－ x＋ ， 令y＝0，得－ x＋ ＝0，解得x＝ ， ∴直线PE与x轴的交点为M(，0)，∴t的值为 . 返回目录 4. 如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y＝ x2＋bx＋c 经过点O(0，0)，对称轴过点B(2，0)，直线l过点C(2，－2)且垂直于y 轴.过点B的直线l1交抛物线于点M，N，交直线l于点Q，其中点M，Q 在抛物线对称轴的左侧. (1) 求该抛物线的解析式； 返回目录 解： ∵ 抛物线y＝ x2＋bx＋c经过点O(0，0)，对称轴过点B(2，0)， ∴ 对称轴为直线x＝2，c＝0， ∴ 抛物线与x轴的另一个交点为(4，0)，代入y＝ x2＋bx，得4＋4b＝0，解得b＝－1， ∴ 该抛物线的解析式为y＝ x2－x. ∴经过点B，M的坐标得直线l1的解析式为y＝ x－ ， 联立 解得 (与点M重合) 返回目录 (2) 当BM∶MQ＝3∶5时，求点N的坐标. 解：如解图，过点M作MG⊥ 直线l于点G， 则∠QGM＝90° . ∵B(2，0)，C(2，－2)，∴BC＝2，∠QCB＝90°， 又∵∠MQG＝∠BQC， ∴△QMG∽△QBC，∴ ＝ . ∵BM∶MQ＝3∶5， ∴ ＝ ＝ ，∴MG＝ ，∴ 点M的纵坐标为－ ， 令 x2－x＝－ ，解得x1＝1，x2＝3(舍去)， ∴M(1，－ ). ∴经过点B，M的坐标得直线l1的解析或 ∴N(6，3). 返回目录 5. 在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：y＝kx－ k与抛物线C：y＝ x2. (1) 当直线l与抛物线C只有一个公共点时，求k的值； 解：令x2＝kx－ k，即x2－kx＋ k＝0. ∵ 直线l与抛物线C只有一个公共点， ∴Δ＝(－k)2－4×1× k＝k2－2k＝k(k－2)＝0， ∴k＝0或k－2＝0， ∴k的值为0或2. 返回目录 (2) 设直线l与抛物线C交于不同的两点A，B，其中点A在第二象限，过 点A作x轴的垂线分别与抛物线y＝－x2＋k，直线OB交于点M，Q，求 证：AQ＝MQ. 证明：∵ 直线l与抛物线C交于不同的两点A，B， 令x2＝kx－ k，即x2－kx＋ k＝0，∴x＝ . 又∵ 点A在第二象限， ∴xA＝ ，xB＝ ， ∴yB＝()2. 返回目录 设直线OB的解析式为y＝k1x(k≠0)，∴k1× ＝()2， ∴k1＝ ， ∴ 直线OB的解析式为y＝ x. ∵ 过点A作x轴的垂线分别与抛物线y＝－x2＋k，直线OB交于点M， Q， ∴ 点A，M，Q的横坐标相同，∴yA＋yM＝ － ＋k＝k， yQ＝ · ＝ ＝ ，∴yA＋yM＝yQ×2， ∴Q是AM的中点，∴AQ＝MQ. 返回目录 27 $