专题6 辅助圆问题-【众相原创·赋能中考】2026年中考数学几何与二次函数压轴题突破练配套课件（福建专用）

该初中数学中考复习课件聚焦几何压轴题中的“辅助圆问题”，系统覆盖定点定长、定弦对定角、四点共圆、点圆最值、线圆最值五大核心考点，对接中考说明中几何综合题考查要求，分析近三年中考真题（2025.25，2024.25(3)等）的考点权重，归纳典型题型及解题模型，体现备考的针对性与实用性。 课件亮点在于“分层进阶+真题突破”模式，如通过例3正方形中∠APB=90°判定P点轨迹为半圆，示范定弦对定角问题的几何直观构建，培养学生推理能力。三阶综合应用结合2025南平一检真题，指导学生运用辅助圆转化复杂问题，帮助学生掌握压轴题答题技巧，教师可依此开展系统性复习，提升学生中考冲刺效率。

数 学 福建 几何与二次函数压轴题突破练 1 一、几何压轴题突破练 专题六　辅助圆问题 一阶　方法突破 二阶　方法小练 三阶　综合应用 类型1　定点定长 方法解读 知识回顾：平面内到定点的距离等于定值的所有点构成的集合.(圆的 定义) 构造思路：若动点到平面内某定点的距离始终为定值，则其轨迹是圆 或圆弧. (1)若有共端点的三条等线段(如图1，OA＝OB＝OC)， 可考虑构造辅助圆. 图1 返回目录 (2)如图2，E为定点，F为线段BD上的动点(不含点B)，将△BEF沿EF 折叠得到△B'EF，则点B'的运动轨迹为以点E为圆心，以线段BE为半径 的一段圆弧. 图2 返回目录 例 1　如图，在四边形ABCD中，AB＝AC＝AD，∠CBD＝20°， ∠BDC＝30°，则∠BAD＝ ⁠°. 【解析】∵AB＝AC＝AD，∴B，C，D三点都在以点A为圆心，AB 长为半径的圆上.∵∠CBD＝20°，∠BDC＝30°，∴∠CAD＝ 2∠CBD＝40°，∠BAC＝2∠BDC＝60°，∴∠BAD＝∠BAC＋ ∠CAD＝100°. 【图形识别】定点是 ，定长是 ，画出隐形圆. 100　 【解析】∵AB＝AC＝AD，∴B，C，D三点都在以点A为圆心，AB 长为半径的圆上.∵∠CBD＝20°，∠BDC＝30°，∴∠CAD＝ 2∠CBD＝40°，∠BAC＝2∠BDC＝60°，∴∠BAD＝∠BAC＋ ∠CAD＝100°. A　 AB　 返回目录 例 2　如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8，P是直线AB上的一个 动点，AE＝2，△APE沿PE翻折形成△FPE，连接PF，EF，则FC的 最小值为 ⁠. 2 －2　 【图形识别】点F在以 为圆心， 长为半径的圆上运动. E　 AE　 返回目录 【解析】如解图，连接CE. ∵P是直线AB上的一个动 点，AE＝2，∴AE＝EF＝2，∴点F在以E为圆心， AE长为半径的圆上运动.在矩形ABCD中，AB＝4， BC＝8，∴CD＝AB＝4，AD＝BC＝8，∴DE＝AD －AE＝8－2＝6.在Rt△CDE中，由勾股定理得CE＝ ＝ ＝2 ，当C，F，E三点 在同一直线上时，FC有最小值，∴FC的最小值为CE －EF＝2 －2. 返回目录 类型 2　定弦对定角(2025.25，2024.25(3)) 方法解读 知识回顾：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等.(圆周角 定理) 构造思路：若线段AB的长度及其所对的∠ACB的大小不变，则点C的 运动轨迹是以AB为弦的圆. (1)如图1，当∠C＝90°时，点C在 上运动(不与点A、B重合). 结论：弦AB为☉O的直径. 图1 返回目录 (2)如图2，当∠C＜90°时，点C在优弧 上运动(不与点A、B重 合). 结论：∠AOB＝2∠C. (3)如图3，当∠C＞90°时，点C在劣弧 上运动(不与点A、B重合). 结论：∠AOB＝360°－2∠C. 图2 图3 返回目录 例 3　如图，已知正方形ABCD边长为2，E、F分别是直线BC、CD上 的动点，且满足BE＝CF，连接AE、BF，交点为P，则PD的最小值 为 ⁠. －1　 【图形识别】∠APB＝ °，P点轨迹是以 长为直径的半圆. 90　 AB　 返回目录 【解析】在正方形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝ ∠BCD. 在△ABE和△BCF中， ， ∴△ABE≌△BCF(SAS)，∴∠BAE＝∠CBF. ∵∠CBF＋∠ABF＝90°，∴∠BAE＋∠ABF＝ 90°，∴∠APB＝90°，∴点P在以AB为直径的 半圆O上，由图形可知当O，P，D在同一条直线 上时，DP有最小值，如解图.在正方形ABCD中， BC＝2，∴AO＝1＝OP. 在Rt△OAD中，OD＝ ＝ ，∴PD＝OD－OP＝ －1. 返回目录 例 4　如图，△ABC为等边三角形，AB＝2，P为△ABC内一动点，且满 足∠PAB＝∠ACP，则△APC面积的最大值是 ⁠. 【图形识别】∠APC＝120°，画出点P的运动轨迹. 　 返回目录 【解析】∵△ABC为等边三角形，∴∠ABC＝∠BAC ＝60°，AC＝AB＝2.∵∠PAB＝∠ACP，∴∠PAC ＋∠ACP＝60°，∴∠APC＝120°，∴点P的运动轨 迹是 ，如解图，过点P作PD⊥AC于点D，当O， P，B三点共线时，直线OB与AC的交点与点D重合， 此时PD长度最大，即△APC的面积最大， ∴PA＝PC，AD＝ AC＝1，∠PAC＝∠ACP＝30°， ∴PD＝AD·tan30°＝ ，∴△APC面积的最大值为 AC·PD＝ ×2× ＝ . 返回目录 类型 3　四点共圆(2025.25(3)，2021.16，24(2)) 方法解读 情形1： 知识回顾：圆内接四边形对角互补 构造思路：如图，若∠ACB＋∠ADB＝180°，则A，B，C，D四点共 圆 　　 返回目录 情形2： 知识回顾：同弧所对的圆周角相等 构造思路：如图，若∠ACB＝∠ADB，则A，B，C，D四点共圆 返回目录 例 5　如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，过点O作OE⊥BD，交 AD于点E，连接BE，若∠ABE＝20° ，则∠AOE＝(　C　) A.10°　　　B.15°　　　C.20°　　　D.30° 【图形识别】判断哪四点共圆，画出隐形圆. C 【解析】∵ 四边形ABCD是矩形，∴∠BAE＝90°.∵OE⊥BD， ∴∠BOE＝90° ，∴ 四边形ABOE对角互补，∴A，B，O，E四点 共圆，∴∠AOE＝∠ABE＝20° . 返回目录 例 6　如图，在等腰三角形ABC中，∠BAC＝120°，AB＝3.点D在CA 的延长线上，DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，连接EF，则EF的最小值 为 ⁠. 【图形识别】判断哪四点共圆，画出隐形圆. 　 返回目录 【解析】如解图，连接BD，取BD的中点O，连接 OE，OF. ∵在等腰三角形ABC中，∠BAC＝ 120°，AB＝3，∴∠ABC＝∠C＝30°，易得BC＝ 3 ，∵DE⊥AB，DF⊥BC，OB＝OD＝OE＝ OF＝ BD，∴B，D，E，F四点共圆，∴∠EOF ＝2∠EBF＝60°，∴△OEF是等边三角形，∴EF＝ OF＝ BD. ∵∠C＝∠EBF ＝30°，∴当BD⊥CD 时，BD＝ BC＝ ，此时，BD的值最小，∴EF的 最小值为 BD ＝ × ＝ . 返回目录 类型4　点圆最值 已知平面内一定点A和☉O，P是☉O上一动点，设☉O的半径为r，OA ＝d，求A，P两点之间距离的最值. 点A在圆内 点A在圆上 点A在圆外 图 示 返回目录 最 小 值 当点P在OA的延长线 上时，AP取得最小 值r－d 当点P与点A重合 时，AP取得最小值0 当点P在OA上时，AP 取得最小值d－r 点A在圆内 点A在圆上 点A在圆外 返回目录 最 大 值 当点P在AO的延长线 上时，AP取得最大 值r＋d 当点P在AO的延长线 上时，AP取得最大 值r＋d 当点P在AO的延长线 上时，AP取得最大值 d＋r 点A在圆内 点A在圆上 点A在圆外 返回目录 例 7　如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2 ，BC＝3.P为 △ABC内一点，且满足PA2＋PC2＝AC2.当PB的长度最小时，△ACP的 面积是( D ) A.3　　　　B.3 　　　　　C. 　　　　　D. D 返回目录 【解析】如解图，取AC中点O，连接OP，BO. ∵PA2＋PC2＝AC2， ∴∠APC＝90°，∴点P在以AC为直径的圆上运动.∵BP≥BO－ OP，∴当点P在线段BO上时，BP有最小值.∵点O是AC的中点， ∠APC＝90°，∴PO＝AO＝CO＝ AC＝ .∵tan∠BOC＝ ＝ ，∴∠BOC＝60°，∴△COP是等边三角形，∴S△COP＝ OC2＝ ×3＝ .∵OA＝OC，∴S△ACP＝2S△COP＝ .故选D. 【解析】如解图，取AC中点O，连接OP，BO. ∵PA2＋PC2＝AC2， ∴∠APC＝90°，∴点P在以AC为直径的圆上运动.∵BP≥BO－ OP，∴当点P在线段BO上时，BP有最小值.∵点O是AC的中点， ∠APC＝90°，∴PO＝AO＝CO＝ AC＝ .∵tan∠BOC＝ ＝ ，∴∠BOC＝60°，∴△COP是等边三角形，∴S△COP＝ OC2＝ ×3＝ .∵OA＝OC，∴S△ACP＝2S△COP＝ .故选D. 返回目录 例 8　如图，正方形ABCD的边长为4，P是以AB为直径的半圆O上一 点，则CP的最小值为 ⁠. 【解析】如解图，连接OP， OC，OC交半圆O于点P'.∵OB＝ AB＝ 2 －2　 【解析】如解图，连接OP，OC，OC交半圆O于点P'.∵OB＝ AB＝ 2，∴ OC＝ ＝2 .∵CP≥OC－OP，∴CP≥2 －2， 当点P与点P'重合时，CP取得最小值2 －2. 返回目录 类型5　线圆最值 已知☉O与直线l，点M是☉O上一动点.若☉O的半径为r，圆心O到直 线l的距离为D.求点M到直线l的距离最值. 直线与圆相离 直线与圆相切 直线与圆相交 图 示 返回目录 直线与圆相离 直线与圆相切 直线与圆相交 最 小 值 过点O作直线l的垂线，交☉O于点M1，当点M运动到点M1的位置时，点M到直线l的距离取得最小值d－r 连接OP，当点M与点P重合时，点M到直线l的距离取得最小值0 当点M为直线l与 ☉O的交点时，点 M到直线l的距离取 得最小值0 返回目录 直线与圆相离 直线与圆相切 直线与圆相交 最 大 值 过点O作直线l的垂线，其反向延长线交☉O于点M2，当点M运动到点M2的位置时，点M到直线l的距离取得最大值d＋r 连接OP，其反向延长线交☉O于点M2，当点M运动到点M2的位置时，点M到直线l的距离取得最大值2r 过点O作直线l的垂线，其反向延长线交☉O于点M2，当点M运动到点M2的位置时，点M到直线l的距离取得最大值r＋d 返回目录 例9　如图，☉O的半径是5，点A在☉O上.P是☉O所在平面内一点， 且AP＝2，过点P作直线l，使l⊥PA. (1)点O到直线l距离的最大值为 ⁠； 【解析】如解图1.∵l⊥PA，∴ 当点P在圆外且O，A，P三点共线 时，点O到直线l的距离最大，最大值为AO＋AP＝5＋2＝7； (2)若直线l与☉O相交，且交点为M，N，则当线段MN的长度最大时， OP的长为 ⁠. 7　 【解析】如解图1.∵l⊥PA，∴ 当点P在圆外且O， A，P三点共线时，点O到直线l的距离最大， 最大值为AO＋AP＝5＋2＝7； 　 图1 返回目录 【解析】如解图2.∵M，N是直线l与☉O的交点，∴ 当线段MN的长 度最大时，线段MN是☉O的直径.∵l⊥PA，∴∠APO＝90°.∵AP＝ 2，OA＝5，∴OP＝ ＝ . 图2 【解析】如解图2.∵M，N是直线l与☉O的交点，∴ 当线段MN的长 度最大时，线段MN是☉O的直径.∵l⊥PA，∴∠APO＝90°. ∵AP＝2，OA＝5，∴OP＝ ＝ . 图2 返回目录 1. 如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，点P在矩形的内部，连接 PA，PB，PC，若∠PBC＝∠PAB，则PC长的最小值是 ⁠. 2 －4　 返回目录 【解析】∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90° ， ∴∠ABP＋∠PBC＝90°.∵∠PBC＝∠PAB， ∴∠ABP＋∠PAB＝90° ，∴∠APB＝90° ，∴点P 在以AB为直径的半圆上运动，如解图，设圆心为O，连 接OC交☉O于点P，此时PC最短.∵OP＝OB＝ AB ＝4，∴OC＝ ＝2 ，∴PC的最小值 为｜OC－OP｜＝2 －4. 返回目录 2. 如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2，BC＝ ，D为平面内 一点，且∠BDA＝∠C，过点B作BE⊥BD，与DA的延长线相交于点 E，则△BDE面积的最大值为 ⁠. 　 返回目录 【解析】在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2，BC＝ ，∴AC＝ ＝3，S△ABC＝ AB·BC＝ ，∵BE⊥BD，∴∠ABC＝ ∠EBD＝90°.∵∠C＝∠BDA，∴△ABC∽△EBD，∴ ＝ ＝ ，则S△BDE＝ ·S△ABC＝ ，即当BD取得最大值时，S△BDE取得最大值，∵∠BDA＝∠C，∠ABC＝90°，∴A，B，C，D四点共圆，点D在以AC为直径的圆上，∴BD≤AC＝3，即BD的最大值为3，∴S△BDE的最大值为 . 返回目录 3. 如图，某雕塑MN位于河段OA上，游客P在步道上由点O出发沿OB方 向行走.已知∠AOB＝30°，MN＝2OM＝40 m，当观景视角∠MPN最大 时，游客P行走的距离OP是 m. 20 　 返回目录 【解析】如解图，取MN的中点F，过点F作FE⊥OB于 点E，以MN为直径作☉F. ∵MN＝2OM＝40 m，点F 是MN的中点，∴MF＝FN＝20 m，∴OF＝40 m.∵∠AOB＝30°，EF⊥OB，∴EF＝20 m，OE＝ 20 m，∴EF＝MF. ∵EF⊥OB，∴OB是☉F的切 线，切点为E，∴当点P与点E重合时，观景视角∠MPN最大，此时OP＝20 m. 返回目录 4. 如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A＝60°，M是AD边的中点，N 是AB边上一动点，将△AMN沿MN所在的直线翻折得到△A'MN，连接 A'C，则A'C长度的最小值是 ⁠. －1　 返回目录 【解析】∵△AMN沿MN所在直线翻折得到 △A'MN，∴MA'＝MA＝1，∴A'在以点M为圆心， MA长为半径的圆弧上运动.如解图，过点M作 MF⊥DC，交CD的延长线于点F，∵MA'是定值， 则A'C长度取最小值时，A'在MC上，在边长为2的菱 形ABCD中，∠A＝60°，M为AD中点，∴MD＝ AD＝1，∠FDM＝60°，，∴FD＝DM· cos 60° ＝ ，FM＝DM· sin 60°＝ ，∴CF＝CD＋DF ＝ ，∴MC＝ ＝ ，∴A'C＝MC－ MA'＝ －1. 返回目录 5. 如图，在四边形ABCD中，AC与BD互不垂直，∠BAD＝∠BCD＝ 90°，∠ACD＝30°，AD＝2，E是AC的中点，连接DE，则线段DE长 度的最小值为 ⁠. －1　 返回目录 【解析】∵∠BAD＝∠BCD＝90°，∴A，B，C，D 四点共圆，且BD为圆的直径，取BD的中点O，则圆心 为点O，如解图，连接OA，OC，取AO的中点F，连 接EF，DF. ∵∠ACD＝30°，∴∠AOD＝ 60°.∵OA＝OD，∴△AOD为等边三角形，∴AD＝ OA＝OD＝OC＝2，∠AFD＝90°，∴DF＝ .∵EF是△AOC的中位线，∴EF＝ OC＝1.在 △DEF中，DF－EF≤DE，∴当D，E，F三点共线 时，DE的长取得最小值，最小值为 －1. 返回目录 【思路探寻】 (1)由角平分线的定义得∠ABD＝∠CBD＝ ∠ABC＝60°，然后根据圆 周角定理的推论得∠ACD＝∠CAD＝60°，通过三角形的内角和定理得 ∠ADC＝60°，最后由等边三角形的判定即可求证； 返回目录 (2)延长AB至F，使BF＝BC，证明△BCF是等边三角形，所以CF＝ CB，∠FCB＝60°，证明△FCA≌△BCD(SAS)，则FA＝BD，然后由 线段和差即可求证； (3)作△ADE的外接圆☉M，连接AM，DM，所以AM＝MD，又∠AED ＝45°，则∠AMD＝90°，所以点M为定点，从而可得点E在以M为圆 心，AM＝ 为半径的圆上，当点E，M，N三点共线时，△ADE的面积最大，再由面积公式求解即可. 返回目录 证明：∵∠ABC＝120°，BD平分∠ABC， ∴∠ABD＝∠CBD＝ ∠ABC＝60°， ∴∠ACD＝∠ABD＝60°， ∠CAD＝∠CBD＝60°， ∴∠ACD＝∠CAD＝60°， ∴∠ADC＝180°－∠ACD－∠CAD＝60°， ∴∠ADC＝∠ACD＝∠CAD＝60°， ∴△ACD是等边三角形. 6. (2025南平一检)如图，在五边形ABCDE中，点A，B，C，D是☉O上 的四个点，∠ABC＝120°，BD平分∠ABC. (1)求证：△ACD是等边三角形； 返回目录 (2)求证：BD＝BA＋BC； 证明：如解图1，延长AB至F，使BF＝BC，连接CF， ∴△BCF是等腰三角形， ∵∠CBF＝180°－∠ABC＝60°， ∴△BCF是等边三角形， ∴CF＝CB，∠FCB＝60°， 由(1)知，CA＝CD，∠ACD＝60°， ∴∠FCB＋∠BCA＝∠ACD＋∠BCA， 即∠FCA＝∠BCD， 图1 图1 返回目录 在△FCA和△BCD中， ， ∴△FCA≌△BCD(SAS)，∴FA＝BD， ∵FA＝AB＋BF＝AB＋BC， ∴BD＝AB＋BC. 图1 图1 返回目录 (3)若∠AED＝45°，AC＝2，求△ADE面积的最大值. 解：如解图2，作△ADE的外接圆☉M，连接 AM，DM，∴AM＝MD， ∵∠AED＝45°，∴∠AMD＝90°， ∴点M为定点， ∵AD＝AC＝2，∴AM＝MD＝ ， ∴点E在以M为圆心，AM＝ 为半径的圆上， 如解图2，在等腰直角三角形ADM中，作MN⊥AD 于点N，MN＝1， 当点E，M，N三点共线时，△ADE的面积最大， 图2 返回目录 ∴ME＝MD＝ ，∴EN＝ME＋MN＝ ＋1， ∴S△ADE＝ AD·EN＝ ×2×(＋1)＝ ＋1. 图2 返回目录 48 $